Funções - Terceira Lista de Exercícios

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1 Funções - Terceira Lista de Exercícios Módulo 1 - Trigonometria e Funções Trigonométricas 1. Converta de graus para radianos: (a) 0 (b) 10 (c) 45 (d) 15 (e) 170 (f) 70 (g) 15 (h) 700 (i) 1080 (j) 6. Converta de radianos para graus: (a) 5π (b) π (c) π (d) π 6 (e) 10π (f) π. Um caçador está sentado numa plataforma construída numa árvore a 0 metros do chão. Ele vê um tigre sob um ângulo de 0 abaixo da horizontal. A que distância está o tigre? 4. Considere um triângulo com lados a, b e c, onde os ângulos opostos a estes lados são Â, B e Ĉ, respectivamente. Prove a lei dos senos onde: sen  a = sen B b = sen Ĉ. c (Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como a base. Estas serão todas iguais.) 5. Considere um triângulo ABC, com lados a, b e c e ângulo θ como mostra a figura. Com base nele, prove a lei dos cossenos: (Dica: use o Teorema de Pitágoras.) a = b + c bc cos θ, 1

2 6. Deduza fórmulas em termos de sen θ e cos θ de: (a) sen θ (b) cos θ (c) cos 4θ (d) sen 4θ 7. Prove as seguintes identidades trigonométricas (a) 1 + tg t = sec t (c) sen(a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a (d) cos(a ± b) = cos a cos b sen a sen b (b) 1 + cotg t = cossec t tg a + tg b (e) tg(a + b) = 1 tg a tg b (f) cos θ = cos θ sen θ = cos θ 1 = 1 sen θ (g) sen θ = 1 cos θ (h) cos θ = 1 + cos θ 8. Utilize o que foi verificado no exercício anterior para mostrar que: (a) sen θ sen φ = 1 [cos(θ φ) cos(θ + φ)] (b) cos θ cos φ = 1 [cos(θ φ) + cos(θ + φ)] (c) sen θ cos φ = 1 [sen (θ + φ) + sen (θ φ)] ( ) ( ) θ + φ θ φ (d) sen θ + sen φ = sen cos ( ) ( ) θ + φ θ φ (e) sen θ sen φ = cos sen ( ) ( ) θ + φ θ φ (f) cos θ + cos φ = cos cos ( ) ( ) θ + φ θ φ (g) cos θ cos φ = sen sen 9. Mostre que sen 1 o + sen 9 o = sen 89 o. 10. Resolva: (a) cos x + = 5 cos x (b) cos 7x = cos x (c) sen x + cos x = 0 (d) sen x sen x + sen x = Faça o estudo completo das funções cossecante e cotangente, definidas respectivamente por: (a) f : t cossec t = 1 sen t (b) f : t cotg t = cos t sen t.

3 1. Sem utilizar calculadora, complete a seguinte tabela, marcando quando a função não estiver definida. θ 0 π 6 sen θ π 4 π π π π 4 π 5π 4 π 10π 6 cos θ tan θ sec θ cotg θ cossec θ 1. Qual é a diferença entre sen x, sen x e sen(sen x)? Expresse cada uma das três funções em forma de composição. 14. Utilizando uma calculadora, calcule o valor da função para valores de θ dados em radianos. (a) sen θ, onde θ = 0; 1; 1,5; -,6; π; π ; e (b) cos θ, onde θ = 0; 1;,5; ; 580; -78; π, π ; e π. (c) tg θ, onde θ = 0; 1; 1,5; π; π 4 ; e (d) cotg θ, onde θ = 1; 1,5; π ; π ; π 4 ; e 700. (e) sec θ, onde θ = 0; 1; 1,5; π; π 4 ; e (f) cossec θ, onde θ = 1; 1,5; π ; π ; π 4 ; e Expresse as seguintes funções em termos de sen θ e cos θ (a) tg θ (b) cos θ (c) sen θ (d) cossec θ (e) cotg θ 16. Se os ângulos de um triângulo medem x, x + 1 e x + (em radianos), encontre x. 17. Um satélite foi lançado em uma órbita circular ao redor da Terra. Se sua distância do centro da Terra é de aproximadamente km, que distância ele percorre quando varre um ângulo de π, com respeito ao centro da Terra? 4

4 18. A seguir temos o triângulo ABC, onde AB = BC = CA = e AM = MC. Com base nele encontre: (a) O comprimento BM (c) sen θ, cos θ, sen β, cos β, tg θ e tg β. (b) θ e β em radianos. 19. Dado um triângulo ABC, se Ĉ = π/ e  = B, encontre  em radianos e calcule cos Â, sen  e tg Â. (Dica: Aqui  representa o ângulo no vértice A, B o ângulo no vértice B, e Ĉ representa o ângulo no vértice C. Faça um desenho.) 0. Calcule os seguintes valores das funções em cada ângulo. (Dica: Use identidades trigonométricas.) (a) sen( π + π 4 ) (b) cos( π + π 4 ) (c) cos( π + π) (d) sen(π) + cos(π) (e) sen( π 1 ) 1. Em t = 0 dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas, com velocidades constantes v 1 e v, que formam um ângulo θ. (a) Qual é a distância entre os carros t horas depois deles passarem pelo cruzamento? (b) Calcule a distância entre os carros 1 hora após passarem pelo cruzamento se: (i) v 1 = v e θ = π (ii) v 1 = v e θ = π 4 (iii) v 1 = v e θ = 0 (iv) v 1 = v e θ = π. Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f g e g f e seus respectivos domínios de definição: (a) f(x) = 9 9x e g(x) = cotg x. (b) f(x) = cos x e g(x) = 1 4x 4

5 . Encontre funções f e g de modo que a função h possa ser escrita como h = f g. Nem f nem g devem ser a função identidade. (a) h(x) = sen x (b) h(x) = sen x (c) h(x) = sen x (d) h(x) = sen(cos x) (e) h(x) = sen x (f) h(x) = sen x (g) h(x) = cos x (h) h(x) = tan(x + 1) (i) h(x) = sen x (j) h(x) = cossec x (k) h(x) = sen x + sen x + 1 (l) h(x) = sen(cos x) 4. Dizer como as funções f(x) = x, g(x) = 4 x e h(x) = tg x devem ser compostas para que se obtenha a função h(x) = 4 tg x. 5. Escavações arqueológicas encontraram um antigo aparelho que, ao que tudo indica, era utilizado para tocar LP s. As marcações de velocidade do aparelho eram 1, 45 e 78 rotações por minuto. Em cada caso, qual é o período do movimento? 6. Calcular o período das funções (a) tg 4x (b) sen(x ) (c) tg( π 4 x). (d) cos( x ) (e) cossec( π 7 x) (f) cotg(7bx) (onde B > 0). 7. Esboce o gráfico das seguintes funções, identificando cuidadosamente as amplitudes e períodos. Não use calculadora gráfica ou computador. (a) y = sen x (b) y = sen x (c) y = sen θ. (d) y = 4 cos x (e) y = 4 cos( 1 t) (f) y = 5 sen t 4 8. Relacione as funções abaixo com os gráficos da figura, explicando os por quês. (a) y = cos(t π ) (b) y = cos t (c) y = cos(t + π ). 5

6 9. Nos itens a seguir, encontre uma possível fórmula para cada gráfico 0. A profundidade de um tanque oscila, conforme uma senóide, uma vez a cada 6 horas, em torno de uma profundidade média de 7 metros. Se a profundidade mínima é de 5,5 metros e a máxima é de 8,5 metros, encontre uma fórmula para a profundidade em função do tempo, medido em horas. 1. Uma população de animais varia de forma senoidal entre um mínimo de 700 em 1 o de janeiro e um máximo de 900, em 1 o de julho. (a) Esboce o gráfico da população versus tempo. (b) Encontre uma fórmula para a população em função do tempo t, medido em meses desde o início do ano.. A voltagem V, de um ponto de luz residencial é dada em função do tempo t (em segundos), por V = V 0 cos(10πt). (a) Qual é o período da oscilação? (b) O que V 0 representa? (c) Esboce o gráfico de V versus t, identificando os eixos. 6

7 . É dado que duas funções trigonométricas têm período π e que seus gráficos cortam-se em x =, 64, mas não é dado nada mais. (a) Você sabe dizer se os gráficos dessas funções se cortam em algum outro valor de x, positivo e menor? Se for o caso, qual é esse valor? (b) Encontre um valor de x, maior que,64, para o qual os gráficos se cortam. (c) Encontre um valor negativo de x para o qual os gráficos se cortam. 4. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen t + cos t. (b) Qual é o período de sen t? E de cos t? (c) Use a resposta da parte (b) para justificar sua resposta da parte (a). 5. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen 4x + cos x. (b) Dê a resposta exata ao item anterior (como um múltiplo de π). (c) Determine o período de sen 4x e de cos x e use esses valores para explicar sua resposta na parte (a). 6. Se m e n são dois números naturais, obtenha o período da função cos(mx)+ sen(nx). 7. Defina e trace o gráfico das inversas das seguintes restrições principais de funções trigonométricas (não dê resultados aproximados): (a) cos : [0, π] [ 1, 1] (b) cotg :]0, π[ R (c) sec : [0, π[ ] π, π] [1, + [ ], 1] (d) cossec : [ π, 0[ ]0, π ] ], 1] ]1, [ 8. Calcule: (a) arcsen 1 (b) arccos 1 (c) arctg 1 (d) arctg (e) arcsen 1 (f) arccos (g) arctg 0 (h) arcsen 1 (i) arcsen 0 (j) arccos 1 (k) arccos 0 (l) arccotg( 1) (m) arctg( 1) (n) arccotg (o) arcsen( 1 ) (p) arccos 1 7

8 9. Prove que sen : [ π, π ] R é estritamente crescente. 40. Prove que tg x é estritamente crescente em ] π, π [. 41. Para simplificar a expressão cos(arcsen x), começamos colocando θ = arcsen x, com as restrições π θ π e 1 x 1. Como sen θ = x, pela definição de arcsen, podemos construir um triângulo retângulo e calcular o terceiro lado pelo Teorema de Pitágoras: Observe que cos(arcsen x) é cos θ. Desta forma, o desenho nos mostra que: cos(arcsen x) = 1 x Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule: (a) cos(arcsen x) (b) sen(arccos x) (c) cos(arctg x) (d) cos(arcsec x) (e) tg(arccos x) (f) sen(arccos 1) (g) cos(arcsen 1 ) (h) tg(arccos 0) Módulo - Polinômîos e Funções Racionais 4. Se f(x) = x, g(x) = x + x 4 e h(x) = x + x 4 + x 6 e k(x) = x 6 6x 4 + x encontre números reais a, b e c tais que k = af + bg + ch. 4. Obtenha α R de modo que os polinômios f(x) = x 4 + 0x 4αx + 4 e g(x) = x + x + verifiquem a condição f = g. 8

9 44. Em cada caso, determine um polinômio do segundo grau f(x) de modo que: (a) f(0) = 1, f(1) = 4 e f( 1) = 0. (b) f(1) = 0 e f(x) = f(x 1) para todo x 45. (a) Se f(x) e g(x) são dois polinômios, prove que existem polinômios q(x) e r(x) tais que f(x) = g(x) q(x) + r(x), onde o grau de r(x) é menor que o grau de g(x). Explique o que isso significa em termos de divisão de polinômios. (b) Mostre que se a é uma raiz de um polinômio f(x), isto é, f(a) = 0, então f(x) = (x a)q(x), Onde q(x) é um polinômio com grau um a menos que f(x). 46. Nos itens a seguir, fatore o polinômio o máximo possível. (a) p(x) = x + x + 4x (b) p(y) = y + y 8y + (c) p(x) = x + x 6x + (d) p(x) = x 4 5x 10x 6. (e) p(x) = x 7x + 8x + 1 (f) p(x) = x 7 (g) p(x) = x 4 1 (h) p(y) = x x x + 1 (i) p(x) = x 4 x 4x 8x (j) p(x) = x 4 + x x x (k) p(x) = x 4 + 7x (l) p(x) = x 4 (m) p(x) = x 47. Observe como fazemos fazemos para colocar a expressão na forma p(x) q(x), ( 1 1 onde p e q são polinômios: y x x 1 ) : y ( 1 1 y x x 1 ) = 1 ( ) y x = 1 y y x xy xy. Faça o mesmo para os itens a seguir, escrevendo cana um como um quociente de polinômios na forma p(x) q(x) : 9

10 (a) (c) (e) (g) 1 x 1 y x y ( x + 1 ) 1 x 1 x x x + 1 x x 1 + ( 1 y + 1 ) ( 1 (b) 4xy x + 1 y ) 4 (d) 1 x 1 1 y 1. (f) (h) 1 + (1 + t) 1 + t (1 + t ) x + 4x + 1 x (x + 1) (i) 1 6 (x x ) + 1 (j) 1 4 (x 1 x ) + 1 (k) 1 + (m) 1 x + 1 xy ( x 1 ) ( (l) x + 1 ) 1 4x x x 1 (n) x x 48. Em cada item efetue as divisões de polinômios indicadas, conforme ilustra o exemplo a seguir: (a) (d) x + x + 1 x 1 (x ) (b) 4x + 4x + 1 x x x (e) x 1 x x + (g) x + 1 x 1 x (j) x(x 9) (m) x + 1 x Nos itens a seguir: = x (x 1) (c) 5 + t 5 t (f) 4x + 1 x 1 x (h) (i) x 1 + x x + (k) x x + (l) x5 + 1 x + x + 1 (n) x 1 x 1 Encontre todos os valores de x para os quais a função não está definida. Expresse a função f(x) na forma p(x), onde p e q são polinômios. q(x) Então fatore e simplifique onde for possível. 10

11 Determine para quais valores de x se tem f(x) = 0. Determine para quais valores de x se tem f(x) > 0, e para quais se tem f(x) < 0. (a) x (b) 4x x x 10 (c) 5 t 1 (d) 1 1 x 1 (e) (f) 4 x (x 1) (g) (h) x x + 1 (i) x x + (k) (j) x x(x 9) 7 x + x + x 9 (l) 9x x 9x + 1 (m) x x x Dividindo o polinômio f(x) por x x + 5 obtemos quociente x + 1 e resto x 5. Determine f(x). (Há várias possibilidades.) 51. Determine os números a e b de modo que o polinômio f(x) = x 4 ax + +(a b)x + bx + (a + b) seja divisível por g(x) = x x Determinar p e q de modo que x seja divisível por x + px + q. 5. Se x + px + q é divisível por x + ax + b e por x + rx + s prove que b = r(a + r). 54. Determinar a de modo que a divisão de x 4 ax + (a + )x + a + 1 por x tenha resto Determinar um polinômio do terceiro grau que se anula em x = 1 e que dividido por x + 1, x + e x tenha resto Qual deve ser o valor do coeficiente c para que os restos da divisão de x 10 + ax 4 + bx + cx + d por x + 1 e x 1 sejam iguais? 11

12 57. As divisões de um polinômio f(x) por x 1, x e x são exatas. O que se pode dizer do grau de f? 58. O resto da divisão de um poliômio f(x) por x + e x + 4 produz restos 0 e 1, respectivamente. Qual o resto da divisão de f(x) por (x + )(x + 4)? 59. O gráfico de cada uma das figuras abaixo representa um polinômio. Para cada um deles determine: (a) qual o menor grau possível do polinômio. (b) O coeficiente líder do polinômio é positivo ou negativo? (O coefciente líder é o coeficiente da potência mais alta de x.) 60. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios: (a) f(x) = (x + )(x 1)(x ) (b) f(x) = 5(x 4)(x 5) (c) f(x) = 5(x 4)(5 x ) (d) f(x) = 5(x 4) (x 5) 61. Para que inteiros positivos n, o polinômio f(x) = x n é uma função (a) par (b) ímpar 6. Que polinômios são pares? E ímpares? Existem polinômios que não são nem pares nem ímpares? 6. Se f(x) = ax + bx + c, o que você pode dizer de a, b e c se: (a) (1,1) está no gráfico de f(x)? (b) (1,1) é o vértice do gráfico de f(x)? 1

13 (c) A intersecção do gráfico com o eixo dos y é (0,6)? (d) Encontre uma função quadrática que satisfaça todas as três condições anteriores. 64. Encontre um polinômio cujas raízes sejam -, -1, 1 e 4, todas com multiplicidade Em cada caso, encontre um polinômio com coeficientes inteiros cujas raízes sejam: (a) + 1 e 1 (b) + e (c) 6, 1 5 e Para cada um dos itens a seguir: encontre uma possível fórmula para o gráfico; obtenha os intervalos aproximados onde a função é crescente e onde é decrescente. 67. Encontre os polinômios cúbicos que representam o gráfico de: 1

14 68. Transladando o gráfico de x encontre o polinômio cúbico com gráfico semelhante ao da figura 69. Encontre todas as raízes racionais dos seguintes poinômios (a) f(x) = x x x (b) f(x) = x + 8 (c) f(x) = x + x 6 x (d) f(x) = x 4 7x Quais as possíveis raízes inteiras da equação x + 4x + x 4 = 0? 71. Resolva a equação x x x + = O gráfico de uma função racional é dado pela figra abaixo: Se f(x) = g(x)/h(x) com g(x) e h(x) ambas funções quadráticas, obtenha as fórmulas para g(x) e h(x). (Há várias possibilidades.) 7. Determine uma condição necessária e suficiente para que f(x) = a 0 + a 1 x + a x b 0 + b 1 x + b x seja uma função constante, onde a 0, b 0, a 1, b 1, a, b são não nulos. 74. (a) Calcule as assíntotas (verticais e horizontais) e esboçe o gráfico de f(x) = x x. 14

15 (b) Mostre que f é uma função injetora em seu domínio e que f(x) = f 1 (x). 75. Encontre as assíntotas e esboce o gráfico de: (a) f(x) = (b) f(x) = (x ) x 1 (c) f(x) = x (d) f(x) = x x x 1 (e) f(x) = x x + 1 Atenção: Nos itens (d) e (e) há assíntotas inclinadas. Nesses casos faça primeiro a divisão do polinômio para depois traçar o gráfico. Confira seus esboços com um programa de computador. 76. Encontre as assíntotas e esboce o gráfico de f(x) = x x x + 1. x Um terreno é delimitado na forma de um retângulo com área 144 m. (a) Escreva uma expressão para o merímetro P como uma função do comprimeto x. (b) Esboce um gráfico da função perímetro e determine, aproximadamente, a partir do gráfico, as dimensões nas quais o perímetro é mínimo. 78. A figura a seguir ilustra o gráfico de h(x). Com base nele faça o que se pede e responda à pergunta: (a) Esboçe o gráfico de y = h 1 (x), e de y = 1 h(x). 15

16 (b) O que acontece com a assíntota quando você esboça o gráfico da inversa? 79. Construa o gráfico de f(x) = x + x e, a partir dele, obtenha o número de raízes reais de f(x) = Quantas são as raízes da equação x 10x + 5x 1 = 0 no intervalo [0, [? 81. Determine α de modo que f(x) = x + x + 5x + α tenha pelo menos uma raiz no intervalo ], 0[. 8. Dizemos que um número é algébrico se ele é a raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que os seguintes números são algébricos: (a) (b) (c) + (d) + (e) + 8. Mostre que o número α = é inteiro. (Dica: 9 9 construa um polinômio tendo α como raiz, e mostre que todas suas raízes são inteiras.) 84. Desafio. Indicamos por Q[x] o conjunto dos polinômios de todos os graus na variável x, com coeficientes racionais. Chamamos um subconjunto I Q[x] de ideal se: para todos os p(x), q(x) I tem-se p(x) + q(x) I. para todos os f(x) Q[x] e p(x) I tem-se f(x)p(x) I Prove que se I é um ideal de Q[x] existe um polinômio h(x) de modo que todo elemento de I pode ser obtido multipicando h(x) por algum polinômio de Q[x]. Gabarito 1. a. π/6. b. π/18. c. π/4. d. π/4. e. 17π/18. f. π/. g. π/1. h. 70π/18. i. 6π. j. π/5.. a b. 90. c d. 5. e f metros. 16

17 6. a. sin(θ) = sin(θ) 4 sin (θ). b. cos(θ) = 4 cos (θ) cos(θ). c. cos(4θ) = 8 cos 4 (θ) + 8 cos (θ) + 1. d. sin(4θ) = 4 sin(θ) cos (θ) 4 sin (θ) cos(θ). 10. a. x = kπ, k Z. b. x = kπ/ ou x = kπ/5, k Z. c. x = ± π + kπ ou x = 7π 6 + kπ ou x = π 6 + kπ, k Z. d. x = kπ ou x = π + kπ ou x = ± π + kπ, k Z. π π π π π π 5π π 10π θ 0 π sin(θ) cos(x) tan(θ) sec(θ) 1 1 cotg(x) cossec(x) a. sin(0) = 0, sin(1) = 0.84, sin(1.5) = 1, sin(.6) = 0.5, sin(π) = 0, sin( π/) = 1, sin(5000) = b. cos(0) = 1, cos(1) = 0.54, cos(.5) = 0.8, cos() = 0.99, cos(580) = 0.5, cos( 78) = 0.97, cos(π) = 1, cos( π/) = 0, cos(π/) = 0. c. tg(0) = 0, tg(1) = 1.56, tg(1.5) = 14.1, tg(π) = 0, tg(π/4) = 1, tg(1000) = d. cotg(1) = 0.64, cotg(1.5) = 0.07, cotg(π/), cotg(π/) = 0.58, cotg(π/4) = 1, cotg(700) = e. sec(0) = 1, sec(1) = 1.85, sec(1.5) = 14.14, sec(π) = 1, sec(π/4) = 1.41, sec(1000) = f. cossec(1) = 1.19, cossec(1.5) = 1, cossec(π/) = 1, cossec(π/) = 1.15, cossec(π/4) = 1.41, cossec(700) =

18 a. sen θ cos θ b. 1 + cos θ π , 9816 km. 18. a. b. θ = π e β = π 6 c. 1 cos θ d. 1 cos θ e. 1 + cos θ 1 cos θ c. sen θ =,cos θ = 1,sen β = 1,cos β = 19.  = π 4, cos  =,sen  =, tg  = 1 0. a. (1 + ) 4 (1 ) b. 4 c. 0,tg θ =,tg β = d. 1 e. 1. a. t v 1 + v v 1 v cos θ b. a. v 1 b. v 1 c. 0 d. v. a. (f g)(x) = 1 cotg x, Dom(f g) = [ π n Z 4 + nπ, ] 4 π + nπ ; (g f)(x) = cotg( 1 x ), Dom(g f) = ( 1, 1) b. (f g)(x) = cos( [ 1 1 4x ), Dom(f g) =, 1 ] ; (g f)(x) = 1 4 cos x, Dom(g f) = [ π + nπ, ] π + nπ. a. f(x) = sen x, g(x) = x b. f(x) = sen x, g(x) = x c. f(x) = x, g(x) = sen x d. f(x) = sen x, g(x) = cos x e. f(x) = x, g(x) = sen x f. f(x) = x, g(x) = sen x 4. g h f 5. 1, 791 seg; 1, seg; 0, 769 seg 6. n Z g. f(x) = cos x, g(x) = x h. f(x) = tg x, g(x) = x + 1 i. f(x) = x, g(x) = sen x j. f(x) = x g(x) = cossec x k. f(x) = x +x+1 g(x) = sen x l. f(x) = sen x g(x) = cos x 18

19 a. π 4 7. a. P = π, A = b. P = π, A = b. π c. 4 d. π e. 196 f. c. P = π, A = d. P = π, A = 4 π 7B e. P = 8π, A = 4 f. P = π, A = 1 8. a. h(t) b. f(t) c. g(t) ( x ) ( πx ) 9. (a) f(x) = sen (f) f(x) = sen 4 ( x ) ( 9 ) (b) f(x) = + sen π (x 1) ( 4 (g) f(x) = sen x ) 9 (c) f(x) = 5 cos ( ) π (x + ) (h) f(x) = sen (d) f(x) = 4 sen (x) ( 9 x (e) f(x) = 8 cos 10) 0. h(t) = 7 + 1, 5 sen ( ) πt 1. (b) p(t) = sen ( πt 6 π ). (a) O período de oscilação é de 1 60 segundos. (b) V 0 representa a voltagem máxima que é atingida.. (a) Como o período é π em ambas, temos que as duas funções se cortam em, 64 π, que é positivo e menor que, 64. (b) As funções se cortam em, 64 + Kπ para todo K Z. Em particular para todo K inteiro positivo. (c) As funções se cortam em, 64 π, que é negativo. 4. (a) O período é π. (b) O período de sen t é π e de cos t é π. (c) O período de sen t + cos t é π pois este é o menor número positivo multiplo de π e π. 5. (a) O período é, (b) O período é π. (c) O período de sen4x é π e de cos x é π. Logo o período de sen 4x + cos x é o menor número positivo multiplo de π e π, que é π. 6. O período é Mπ, onde M = mmc(m, n). mn 19

20 { π } { } 5π 8. (a) 6 + kπ; k Z 6 + kπ; k Z. { π } { } 5π (b) + kπ; k Z + kπ; k Z. { π } (c) 4 + kπ; k Z. { π } (d) + kπ; k Z. { π } { } π (e) 4 + kπ; k Z 4 + kπ; k Z. { π } { } 11π (f) 6 + kπ; k Z 6 + kπ; k Z. (g) {kπ; k Z}. { π } (h) + kπ; k Z. (i) {kπ; k Z}. (j) {kπ; k Z}. { π } (k) + kπ; k Z. { } π (l) 4 + kπ; k Z. { } π (m) 4 + kπ; k Z. { π } (n) 6 + kπ; k Z. { } { } 7π 11π (o) 6 + kπ; k Z 6 + kπ; k Z. { π } { } 7π (p) 4 + kπ; k Z 4 + kπ; k Z. [ 9. Se temos θ, φ π, π ] com θ > φ, então θ + φ ] π, π[ e θ ( ) ( ) θ + φ θ φ φ ]0, π]. Assim, como sen θ sen φ = cos sen, ( ) ( ) θ + φ θ φ cos > 0 e sen > 0, temos que sen θ sen φ > 0, ou seja, sen θ > sen φ. Portanto a função é estritamente crescente. ] 40. Se temos θ, φ π, π [ com θ > φ, então θ φ ]0, π[. Além disso, 0

21 temos que: tg θ tg φ = (1 + tg θ tg φ) tg (θ φ) ( ) sen θ sen φ sen (θ φ) = 1 + cos θ cos φ cos (θ φ) ( ) cos (θ φ) cos θ cos φ sen (θ φ) = 1 + cos θ cos φ cos (θ φ) cos (θ φ) sen (θ φ) = cos θ cos φ cos (θ φ) sen (θ φ) = cos θ cos φ com sen (θ φ) > 0, cos θ > 0 e cos φ > 0. Logo tg θ tg φ > 0 e a função é estritamente crescente. 41. (a) cos (arcsen x) = 1 x (b) sen (arccos x) = 1 x (c) cos (arctg x) = (d) cos (arcsec x) = 1 x 1 x x (e) tg (arccos x) = x (f) sen (arccos 1) = 0 ( (g) cos arcsen 1 ) = (h) tg (arccos 0) = 4. a = 8, b = 9, c = a) f(x) = x + x + 1 b) 46. a) (x 1)(x +x+) b) (x 1)(x+)(x 1) c) (x 1)(x +x ) d) (x )(x+1)(x + x + ) 47. a) 1 xy b) 4y + 4x + 14xy 1y + 6x + 5xy c) 6xy 6y 6x 5xy d) 6xy e) x e) (x )(x 4x 4) f) (x )(x +x+9) g) (x 1)(x+1)(x + 1) h) (x )(x+1)(x 1) 1 6 f) t4 t t t (1 + t ) g) x 1 x h) 1 x i) x4 + 6x 6x 1 i) x(x x 4x 8) j) (x 1)x(x + 1)(x + ) k) (x )(x 1) l) (x )(x + ) m) (x )(x + ) j) x1 + x x 6 k) 16x8 + 8x x 4 l) x + 1 x x n) x x + 1 x

22 Valores de x para os quais a função f(x) não está definida. a) x = 0 b) x = 0 c) t = 5 d) x = 1 e x = 1 e) x = / f) x = 1/ g) x = 1 e x = 1 h) i) x = j) x = 0, x = e x = k) x = l) x = 0, x = e x = m) x = Expressão de f(x) fatorada e os zeros. a) x 4x + 4 ; zeros: x = x b) 4x + 4x + 1 ; zeros: x = x 1/ c) t + 5 ; zeros: x = 5 5 t x d) 1 x ; zeros: x = 0 e) 6x + ; zeros: x = 1/ 4x + 6 f) 4x + 1 ; zeros: x = 1/4 x 1 g) x + 1 x 1 ; zeros: h) x + x + 1 ; zeros: i) x x + ; zeros: x = 0 x j) ; zeros: x = x(x 1/ 9) k) x x + ; zeros: x = 0 x l) ; zeros: x = x(x 1/ 9) m) (x 1) (x + ) ; zeros: x = x + 1 e x = Valores onde a função é positiva e negativa. a) f(x) < 0 se x < 0; f(x) > 0 se x > 0; b) f(x) < 0 se x < 0; f(x) > 0 se x > 0; c) f(x) < 0 se x < 5 e x > 5 ; f(x) > 0 se 5 < x < 5; d) f(x) < 0 se x < 1 e x > 1 ; f(x) > 0 se 1 < x < 1; e) f(x) < 0 se / < x < 1/; f(x) > 0 se x < / e x > 1/ ; f) f(x) < 0 se x < 1/; f(x) > 0 se x > 1/; g) f(x) < 0 se 1 < x < 1; f(x) > 0 se x < 1 e x > 1 ; h) f(x) > 0 para qualquer x real; i) f(x) < 0 se x > 0; f(x) > 0 se x < 0; j) f(x) < 0, se < x < 0, 1/ < x < ; f(x) > 0 se x <, 0 < x < 1/ e x > k) f(x) < 0 se x > 0; f(x) > 0 se x < 0; l) f(x) < 0, se < x < 0, 1/ < x < ; f(x) > 0 se x <, 0 < x < 1/ e x >

23 m) f(x) < 0 se < x < ; f(x) > 0 se x <, < x < 1 e x > 1; 51. a = 7 e b = p = 1/ e q = 1/ 54. a = 55. p(x) = x + x 4x c = , e são raizes de f. 58. x I. a). b) negativo. II. a) 4. b) positivo. III. a) 4. b) negativo. IV. a) 5. b) negativo. V. a) 5. b) positivo. 61. a. para n par. b. para n ímpar. 6. São pares os que só têm potência par. Ex: x 6 5x 4 + x + 1. São ímpares os que só têm potência ímpar. O polinômio x + 1 não é par nem ímpar, por exemplo. 6. a. a + b + c = 1. b. b = a = c. c. c = 6. d. f(x) = 5x 10x x 4 x 9x + x a. x 4 6x + 1. b. x 4 10x + 1. c. x 5 x 4 1x +x +6x a. f(x) = (x + )(x 1)(x 4). b. f(x) = x(x + )(x 4). c. f(x) = (x + )(x 1)(x )(x 5). d. f(x) = (x + )(x ) (x 5). 67. a. f(x) = 1 5 x 4 5 x 7 5 x +. b. f(x) = 1 x x + x f(x) = 1 4 x + x + x

24 a.. b. -. c. Não existe. d. Não existe , 1,. 71. x = 1, x = 1 ou x =. 7. Por exemplo, g(x) = x e h(x) = x + 1. a 7. 0 b 0 = a 1 b 1 = a b = constante, ou seja, um polinômio é múltiplo do outro. 74. a. Assíntota vertical: x =. Assíntota horizontal: y = 75. a. x = e y = 0. b. x = 1, x = 1 e y = 0. c. x = e y = x + 4. d. x = 1, x = 1 e y = x. e. y = Assíntota: y = x a. P (x) = x +88 x. b. x = 1, y = Há apenas uma raíz real. 80. Nenhuma. 81. α (0, 14). 8. a. Polinômio: x. b. Polinômio: x. c. Polinômio: x 4 10x + 1. d. Polinômio: x 4 6x + 7. e. Polinômio: x 8 10x