Funções - Segunda Lista de Exercícios

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1 Funções - Segunda Lista de Exercícios Módulo - Exponenciais e Potências. Nos itens a seguir escreva a expressão dada na forma p/q, onde p e q são números inteiros. Por exemplo: = 4 + a) 3 3 b) c) 4 ( 3 5 = + = 5 ) ( d) ) 3 e) 0 3 f) 5 3 g) ( 8) 3 h) 6 4 i) j) k) l) m) 6 ( ) ( ) n) o) Assuma que todas as variáveis representam número reais positivos somente. Escreva cada uma das seguintes expressões como um produto ou quociente de potências onde cada variável apareça uma única vez, e todos os expoentes são positivos. Veja o exemplo: ( x y z 0 x 3 y 4 z ) = x3 y 4 z x y z 0 = x4 z y 6 a) x 3 x 5 b) (x y 3 ) c) x5 x d) (x 3 ) e) (x ) 3 f) (x 3 ) 3 g) (x y ) h) (x 3 y ) 6 i) (x y 3 ) 0 j) x m) a b c ab 3 c 0 n) y k) x y 3 ( x y 3 ) ( a b x 0 y 5 o) 3 0 ab ) l) a x 3 b y

2 3. Nos itens a seguir, escreva a expressão dada como uma fração simples, envolvendo somente expoentes positivos. Assuma que todas as variáveis representam números reais positivos somente. a) x + y b) x y x + (x y) c) d) x + y x e) (x + x ) f) x + x g) a + b h) x y + y x r r i) + j) (x + y) k) (a b) l) x y + x y s s m) x y x y n) x + y a ( a ) (x y) o) b + p) (x y ) b q) x + y x y r) x y x + y 4. Nos problemas a seguir calcule o fator A. Por exemplo, se y + y = Ay encontramos A = + y. Confira: Ay = ( + y)y = y + y. a) y 3 4 = Ay 4 b) x 3 5 = Ax 5 c) x 3 = Ay 3 d) y 4 = Ay e) x 3 + x = Ax f) y + y = Ay g) x x 3 = Ax 3 h) a 3 + a 3 = Aa i) x 3 + x 3 = Ax 3 j) x 3 + x = Ax 5. Nos itens a seguir, encontre uma fórmula que se ajuste às funções representadas pelos dados: a) x 0 3 f (x) 4,30 6,0 8,43,80 b) t 0 3 g (t) 5,50 4,40 3,5,8 6. Encontre as funções exponenciais que possuem o seguinte gráfico:

3 7. A meia-vida do rádio-6 é de 60 anos. (a) Obtenha uma fórmula para a quantidade Q de rádio que resta após t anos, dado que a quantidade inicial é Q 0. (b) Que percentual da substância resta após 500 anos? 8. Nos Jogos olímpicos de 968, nos arredores da Cidade do México, houve muita discussão a respeito do efeito da grande altitude (37 metros) poderia causar aos atletas. Presumindo-se que a pressão atmosférica decaia exponencialmente em 0,4% a cada 30 metros, de que percentual fica reduzida a pressão atmosférica ao se deslocar do mar até a Cidade do México? 9. Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que, após 0 anos, ainda restam 70% da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número t qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual a meia-vida? Quanto tempo é preciso para que reste somente 0% da quantidade inicial? E para que reste somente 0%? (Use tentativa e erro onde for necessário.) 0. Escreva cada uma das expressões, a seguir, racionalizando o denominador e simplificando onde seja possível. Por exemplo: x + y x + y x + y = = x y x y x + y ( x y)( x + y) =, x y onde assumimos que x y. a) d) 3 b) x + y x y e) x f) x y g) x + x x + h) x x + x c) x + a x + a i) x x x + + x j) x x x + x 3

4 . Esboce os gráficos de y = x / e y = x /3 no mesmo sistema de eixos. Qual função tem valores maiores, quando x?. O que acontece com o valor de y = x 4 quando x? E quando x? 3. Faça alguns cálculos usando valores particulares de x, para verificar que y = x /3 fica acima de y = x / e que y = x / fica acima de y = x para 0 < x <. 4. Através de tentativa e erro, use uma calculadora para encontrar, com uma precisão de duas casas decimais, o ponto próximo a x = 0 onde y = x e y = x 3 se cruzam. 5. Use uma calculadora (ou um software) que faça gráficos, para encontrar o(s) ponto(s) de intersecção dos gráficos de y = (,06) x e y = + x. 6. Para que valores de x temos 4 x > x 4? 7. Determine os valores inteiros de x e y que satisfazem a equação x+ + x = 3 y+ 3 y. x y = 8. Resolva o seguinte sistema 8 3 x y = Resolva as equações: a) (0,533...) x = 5 64 d) (0,4) x + (0,6) x = (0,9) x e) 5x b) 5 x 3 = c) 7 = 3 5x 9 x = 5 x+ f) 4 8x = 56 g) x + 4 x = 5 h) 65 x 5 ( ) x = 5 5 i) (3x+ ) 4 = 0x 5 0. Devido às sementes aperfeiçoadas e às novas técnicas agrícolas, a produção de grãos de uma certa região vem aumentando. Ao longo de um período de 0 anos, a produção anual (em milhões de toneladas) foi a seguinte: ,35 5,90 6,49 7,05 7,64 4

5 No mesmo período, a população (em milhões de habitantes) foi de: , 56,9 60,9 65, 69,7 (a) Encontre uma função linear ou exponencial que se ajuste, de modo aproximado, a cada conjunto de dados. (Escolha o tipo de função que melhor se ajustar). (b) Se esta região foi auto-sustentável para este tipo de grão em 970, ela foi auto-sustentável entre 970 e 990? (Ser auto-sustentável significa que cada pessoa tem uma quantidade suficiente de grãos. Como fica a quantidade de grãos por pessoa nos anos seguintes?) Módulo - Logaritmos e o número e. Resolva as seguintes equações. Uma calculadora e o uso de logaritmos pode ser necessário. a) 4 x = 7 b) 5 x+ = 9 c) 6 x+3 = 354 d) x 5 = 873 e) x 4 = 687 f) x 7/ = 5,4 g) = (,0) t h) 7 3 t = 5 t i) 5,0(,04) t =,0(,03) t. Resolva para x: a) 3 x = 6 x+3 b) 7 x = x c) x = 5 x+ d) 8 x+ = 3 3x e) y = 3x f) 0y = 0 x 3. Simplifique o máximo possível as expressões a) log A + logb log A logb b) log(0 x+7 ) c) 0 log A d) 0 logq e) 0 logp f) 0 (logb)/ g) log A log A logb logb logα h) logα 3logB 4. Resolva para x: (aqui log x = log 0 x) a) log(3x ) log(x + ) = b) log(x 6) + log(x + 6) = c) log(x ) log(x + ) = d) log(x 4) log(x ) = 5

6 5. Encontre a equação da reta l, da figura a seguir 6. O período de duplicação é o tempo necessário para que uma grandeza que cresce exponencialmente dobrar seu valor. Calcule o período de duplicação de preços que estão subindo a uma taxa de 5% ao ano. 7. A população de uma certa região cresce exponencialmente. Se em 990 (t = 0) havia pessoas em uma cidade em 000 esse número subiu para pessoas, encontre uma fórmula para a população em qualquer instante t. Qual será a população em 00? E o período de duplicação? 8. (a) Encontre o período de duplicação D, para as seguintes taxas de crescimento anual: i %, %, 3%, 4% e 5%. (b) Como d diminui à medida que i aumenta, poderíamos supor que D é inversamente proporcional à i, isto é, que D = k/i. Use suas respostas ao item anterior para confirmar que D = 70/i, aproximadamente. Esta é a Regra dos 70 usada pelos banqueiros. Para calcular, de forma aproximada, o período de duplicação de um investimento, o banqueiro divide 70 pela taxa de rendimento anual. 9. A meia-vida de uma substância radioativa é de dias. Se inicialmente existe uma quantidade de 0,3 gramas: (a) Obtenha uma equação que dê a quantidade Q, da substância, em função do tempo. (b) Em quanto tempo a substância ficará reduzida a grama? 6

7 30. Dado um número a > 0 definimos o logaritmo de base a, log a x, como a função inversa de a x, isto é, log a x = c significa a c = x. Dados então a,b > 0 mostre que vale a seguinte relação log a x = log b x log b a. 3. Nos itens a seguir, encontre o valor da expressão dada: a) log 3 8 b) log 4 6 c) log 6 ( ) ( ) ( ) d) log e) log 3 3 f) log 7 4 ( ) 64 g) log h) log 7 i) log ( ) j) log 8 k) log 6 l) log Se log b a = log a b, que tipo de relação existe entre a e b? 33. Com ajuda de uma calculadora da relação log a x = log b x, construa uma tabela de logaritmos para os primeiros dez inteiros, nas seguintes bases: log b a a) b) 3 c) Sabendo que a > 0, simplifique as expressões dadas: a) log a a x b) a log a x c) a x+log a x d) log a (xa x ) e) a log a x f) a log a ax g) log a (a log a a ) h) a log a 3 i) log a (x a x ) j) log a (a x x ) k) a log a (ax ) l) a log a x 35. Determine x em cada item: a) log 5 x = 3 b) log 6 x = 3 c) log x = 0 d) log 0 x = e) log 0 x = f) log 6 x = 4 7

8 36. Determine a em cada item: a) log a 6 = 3 b) log a 65 = 4 c) log a a = d) log a 49 = e) log a = Determine y em cada item: f) log a 5 = 3 a) log y = 3 b) 6 log 6 y = c) 4 log 4 y = 9 d) y log 4 6 = 6 e) y log 7 4 = 4 f) y log 3 = 38. Determine x em cada item: a) 5 log 5 7 = x b) 3 log x 5 = 5 c) 0 log x 7 = 7 d) k log k 4 = x e) 7 log x k = k f) 8 log 8 x = y 39. Efetue as expressões indicadas, simplificando-as o máximo possível. a) lne + ln(/e) b) lne + e lne c) ln(e lne) + ln(lne) d) e ln e 40. Simplifique completamente as expressões: ln A (lnb)/ a) ln A 3lnB + ln(ab) b) e c) ln(xe ln x ) d) ln(e ln(e lne)) 4. Resolva as equações em x: a) x = e x+ b) e 3x = 4e 5x c) 4e x 3 5 = e d) 0 x+3 = 5e 7 x 4. Nos itens a seguir, converta a função dada para a forma P = P o a kt. a) P = P 0 e 0,t e a = b) P = P 0 e 0,97t e a = 3 c) P = P 0 e,5t e a =,7 d) P = P 0 e πt e a = e 43. Converta as funções para a forma P o e kt, determinando quais representam crescimento e quais decaimento exponencial. a) P = P 0 t b) P = 0(,7) t c) P = 5,3(0,) t P = 74(0,9) t 8

9 44. Resolva as seguintes equações para t a) a = be t b) P = P 0 e kt c) ae kt = e bt com k b d) ce αt = be γt/n, onde αn γ 45. Encontre a função inversa de f (x) = 50e 0,x. 46. Seja f (x) = + e x. (a) A função f é crescente ou decrescente? Por quê? (b) Verifique se f é inversível e, caso seja, calcule sua inversa. (c) Qual o domínio de f? (d) Esboce os gráficos de f e de f em um mesmo sistema cartesiano, e explique explique a relação entre os gráficos. 47. (a) Uma população cresce de acordo com a equação P(t) = P 0 e kt (com P 0 e k constantes). Encontre o valor da população em função do tempo t, se ela cresce a uma taxa contínua de % ao ano e inicia em milhão. (b) Desenhe um gráfico da população que você encontrou no item anterior versus tempo. 48. O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade P de poluente (medido em mg/litro) está diminuindo de acordo com a equação P = P 0 e kt, onde t representa o tempo em horas. Se 0% do poluente são removidos nas primeiras cinco horas: (a) Que porcentagem do poluente ainda permanecem após 0 horas? (b) Quanto tempo levará até que o poluente seja reduzido a 50%? (c) Desenhe um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico. (d) Explique por que a quantidade de poluente pode diminuir dessa forma. 49. Uma das componentes principais de uma contaminação nuclear, como a de Chernobyl, é o estrôncio-90, que decai exponencialmente a uma taxa contínua de aproximadamente,47% ao ano. Estimativas preliminares, após o desastre de Chernobyl, sugeriram que levaria uns 00 anos até que a região fosse novamente segura para a habitação humana. Que percentual do estrôncio-90 original ainda permaneceria após esse tempo? 9

10 50. Um quadro de Vermeer (63-675) ainda contém 99,5% de seu carbono-4 (meia-vida de 5730 anos). A partir dessa informação, você pode determinar se o quadro é ou não falsificado? Explique sua resposta. 5. A matéria de jornal a seguir é do The New York Times, de 7 de maio de 990. Preencha os três espaços em branco. (Para o último espaço, suponha que os juros foram capitalizados anualmente, e dê sua resposta em dólares. Despreze a ocorrência de anos bissextos.) Módulo 3 - Composição de Funções e Mudanças de Escala 5. (a) Escreva uma equação para o gráfico obtido, através de uma expansão vertical de fator, do gráfico de y = x, seguido de uma translação vertical de unidade para cima. Esboce o gráfico. (b) Qual é a equação, se a ordem das transformações (expandir e transladar), na parte (a), for trocada? (c) Os dois gráficos são iguais? Explique o efeito de trocar a ordem das transformações. 53. Qual é a diferença (se é que existe) entre ln(ln(x)), ln (x) e (ln(x))? 0

11 54. A função degrau de Heaveside, H, é dada pelo gráfico a seguir: Com base nela, esboce o gráfico das seguintes funções: a) H(x) b) H(x) + c) H(x + ) d) H(x) e) H( x) 55. Sejam S(x) = x e H(x) = x +. Mostre que: a) (S(H(x))) = H(x) b) (H(S(x))) = H(x) + S(x) 56. Se f (x) = log x e g (x) = x, obtenha o valor e simplifique as expressões: a) f () b) f () c) f (x) f (x ) d) f (x) + f () e) f (g (x)) f) f (f (g (x))) g) g (f (x)) h) f (x) + f ( + x) i) g (g (f (x))) 57. Se f (x) = ln x e g (x) = e x, obtenha o valor e simplifique as expressões: a) f () b) f (e ) c) g (f (x)) d) f (3) + f ( x) e) f (x ) f (x + ) f) f (f (g (x))) g) f (x) + f (0 + x) h) f (g (x)) i) g (g (f (x))) 58. Considere as funções f e g dadas pelos gráficos a seguir: Com base nelas: a) Encontre f (g ()), g (f ()) e f (f ()). b) Esboce os gráficos de f (g (x)), g (f (x)) e f (f (x)).

12 59. Considere as funções: senh x = ex e x cosh x = ex + e x Com base nelas, calcule: seno hiperbólico de x cosseno hiperbólico de x a) cosh(0) e cosh() b) senh(0) e senh() c) cosh(ln x) e senh(ln x) d) senh x cosh x e) senh( x) e cosh(x) f) senh x + cosh x 60. Considere o gráfico das funções dadas a seguir: Com base neles, esboce o gráfico das seguintes funções: a) y = f (x) b) y = f (x + ) c) y = f (x) + d) y = g (x) e) y = g (x + ) f) y = g (x) + 6. Considere o gráfico da função y = f (x) dado a seguir: Com base nele, esboce o gráfico das seguintes funções: a) y = f (x) b) y = f (x) c) y = f (x)

13 Módulo 4 - Trigonometria e Funções Trigonométricas 6. Converta de graus para radianos: (a) 30 (b) 0 (c) 45 (d) 35 (e) 70 (f) 70 (g) 5 (h) 700 (i) 080 (j) Converta de radianos para graus: (a) 5π 3 (b) π (c) 3π (d) π 36 (e) 0π (f) 3π 64. Um caçador está sentado numa plataforma construída numa árvore a 30 metros do chão. Ele vê um tigre sob um ângulo de 30 abaixo da horizontal. A que distância está o tigre? 65. Considere um triângulo com lados a, b e c, onde os ângulos opostos a estes lados são Â, B e Ĉ, respectivamente. Prove a lei dos senos onde: sen  a = sen B b = senĉ. c (Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como a base. Estas serão todas iguais.) 66. Considere um triângulo ABC, com lados a, b e c e ângulo θ como mostra a figura. Com base nele, prove a lei dos cossenos: (Dica: use o Teorema de Pitágoras.) a = b + c bc cosθ, 67. Deduza fórmulas em termos de senθ e cosθ para: (a) sen 3θ (b) cos3θ (c) cos4θ (d) sen 4θ 3

14 68. Prove as seguintes identidades trigonométricas (a) + tg t = sec t (c) sen(a ± b) = sen a cosb ± senb cos a (d) cos(a ± b) = cos a cosb sen a senb tg a + tgb (e) tg(a + b) = tg a tgb (b) + cotg t = cossec t (f) cosθ = cos θ sen θ = cos θ = sen θ (g) sen θ = cosθ (h) cos θ = + cosθ 69. Utilize o que foi verificado no exercício anterior para mostrar que: (a) sen θ sen φ = [cos(θ φ) cos(θ + φ)] (b) cosθ cosφ = [cos(θ φ) + cos(θ + φ)] (c) sen θ cosφ = [sen(θ + φ) + sen(θ φ)] ( ) ( ) θ + φ θ φ (d) sen θ + sen φ = sen cos ( ) ( ) θ + φ θ φ (e) sen θ sen φ = cos sen ( ) ( ) θ + φ θ φ (f) cosθ + cosφ = cos cos ( ) ( ) θ + φ θ φ (g) cosθ cosφ = sen sen 70. Resolva: (a) cos x + 3 = 5cos x (b) cos7x = cos3x (c) sen x + cos x = 0 (d) sen 3x sen x + sen x = 0 (d) sen x + cos x = 0 (e) sen x sen x = 0 7. Faça o estudo completo das funções cossecante e cotangente, definidas respectivamente por: (a) f : t cossec t = sen t (b) f : t cotg t = cos t sen t. 4

15 7. Sem utilizar calculadora, complete a seguinte tabela, marcando quando a função não estiver definida. θ 0 π 6 senθ cosθ tanθ secθ cotgθ cossec θ π 4 π 3 π π 3 3π 4 π 5π 4 3π 0π Qual é a diferença entre sen x, sen x e sen(sen x)? Expresse cada uma das três funções em forma de composição. 74. Utilizando uma calculadora, calcule o valor da função para valores de θ dados em radianos. (a) senθ, onde θ = 0; ;,5; -,6; π; π ; e (b) cosθ, onde θ = 0; ;,5; 3; 580; -78; π, π ; e 3π. (c) tgθ, onde θ = 0; ;,5; π; π 4 ; e 000. (d) cotgθ, onde θ = ;,5; π ; π 3 ; π 4 ; e 700. (e) secθ, onde θ = 0; ;,5; π; π 4 ; e 000. (f) cossecθ, onde θ = ;,5; π ; π 3 ; π 4 ; e Expresse as seguintes funções em termos de funções seno e/ou cosseno somente (a) tgθ (b) cos θ (c) sen θ (d) cossec θ (e) cotg θ 76. Se os ângulos de um triângulo medem x, x + e x + (em radianos), encontre x. 77. Um satélite foi lançado em uma órbita circular ao redor da Terra. Se sua distância do centro da Terra é de aproximadamente km, que distância ele percorre quando varre um ângulo de π 4, com respeito ao centro da Terra? 5

16 78. A seguir temos o triângulo ABC, onde AB = BC = C A = e AM = MC. Com base nele encontre: (a) O comprimento BM (c) senθ, cosθ, senβ, cosβ, tgθ e tgβ. (b) θ e β em radianos. 79. Dado um triângulo ABC, se Ĉ = π/ e  = B, encontre  em radianos e calcule cos Â, sen  e tg Â. (Dica: Aqui  representa o ângulo no vértice A, B o ângulo no vértice B, e Ĉ representa o ângulo no vértice C. Faça um desenho.) 80. Calcule os seguintes valores das funções em cada ângulo. (Dica: Use identidades trigonométricas.) (a) sen( π 3 + π 4 ) (b) cos( π 3 + π 4 ) (c) cos( π + π) (d) sen(3π) + cos(3π) (e) sen( π ) 8. Em t = 0 dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas, com velocidades v e v. As duas estradas se cruzam formando um ângulo θ. (a) Qual é a distância entre os carros t horas depois deles passarem pelo cruzamento? (b) Calcule a distância entre os carros hora após passarem pelo cruzamento se: (a) v = v e θ = π 3 (b) v = v e θ = π 4 (c) v = v e θ = 0 (d) v = v e θ = π 3 8. Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f g e g f e seus respectivos domínios de definição: (a) f (x) = 9 9x e g (x) = cotg x. (b) f (x) = cos x e g (x) = 4x 6

17 83. Encontre funções f e g de modo que a função h possa ser escrita como h = f g. Nem f nem g devem ser a função identidade. (a) h(x) = senx (b) h(x) = sen x (c) h(x) = sen x (d) h(x) = sen(cos x) (e) h(x) = sen 3x (f) h(x) = sen x (g) h(x) = cos x (h) h(x) = tan(x + ) (i) h(x) = sen x (j) h(x) = cossec x (k) h(x) = 3sen x + sen x + (l) h(x) = sen(cos x) 84. Dizer como as funções f (x) = x, g (x) = 4 x e h(x) = tg x devem ser compostas para que se obtenha a função h(x) = 4 tg x. 85. Escavações arqueológicas encontraram um antigo aparelho que, ao que tudo indica, era utilizado para tocar LP s. As marcações de velocidade do aparelho eram 33, 45 e 78 rotações por minuto. Em cada caso, qual é o período do movimento? 86. Calcular o período das funções (a) tg4x (b) sen(x ) (c) tg( π 4 x). (d) cos( 3 x ) (e) cossec( π 7 x) (f) cotg(7bx) (onde B > 0). 87. Esboce o gráfico das seguintes funções, identificando cuidadosamente as amplitudes e períodos. Não use calculadora gráfica ou computador. (a) y = 3sen x (b) y = 3senx (c) y = 3senθ. (d) y = 4cosx (e) y = 4cos( 4 t) (f) y = 5 sent 88. Relacione as funções abaixo com os gráficos da figura, explicando os por quês. (a) y = cos(t π ) (b) y = cos t (c) y = cos(t + π ). 7

18 89. Nos itens a seguir, encontre uma possível fórmula para cada gráfico 90. A profundidade de um tanque oscila, conforme uma senóide, uma vez a cada 6 horas, em torno de uma profundidade média de 7 metros. Se a profundidade mínima é de 5,5 metros e a máxima é de 8,5 metros, encontre uma fórmula para a profundidade em função do tempo, medido em horas. 9. Uma população de animais varia de forma senoidal entre um mínimo de 700 em o de janeiro e um máximo de 900, em o de julho. (a) Esboce o gráfico da população versus tempo. (b) Encontre uma fórmula para a população em função do tempo t, medido em meses desde o início do ano. 9. A voltagem V, de um ponto de luz residencial é dada em função do tempo t (em segundos), por V = V 0 cos(0πt). (a) Qual é o período da oscilação? (b) O que V 0 representa? (c) Esboce o gráfico de V versus t, identificando os eixos. 8

19 93. É dado que duas funções trigonométricas têm período π e que seus gráficos cortam-se em x = 3,64, mas não é dado nada mais. (a) Você sabe dizer se os gráficos dessas funções se cortam em algum outro valor de x, positivo e menor? Se for o caso, qual é esse valor? (b) Encontre um valor de x, maior que 3,64, para o qual os gráficos se cortam. (c) Encontre um valor negativo de x para o qual os gráficos se cortam. 94. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen3t + 3cos t. (b) Qual é o período de sen3t? E de cos t? (c) Use a resposta da parte (b) para justificar sua resposta da parte (a). 95. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen4x + 3cosx. (b) Dê a resposta exata ao item anterior (como um múltiplo de π). (c) Determine o período de sen4x e de cosx e use esses valores para explicar sua resposta na parte (a). 96. Se m e n são dois números naturais, obtenha o período da função cos(mx) + sen(nx). 97. Defina e trace o gráfico das inversas das seguintes restrições principais de funções trigonométricas (não dê resultados aproximados): (a) cos : [0,π] [,] (b) cotg :]0,π[ R (c) sec : [0, π [ ] π,π] [,+ [ ], ] (d) cossec : [ π,0[ ]0, π ] ],] ], [ 98. Calcule: (a) arcsen (b) arccos (c) arctg (d) arctg 3 (e) arcsen (f) arccos 3 (g) arctg0 (h) arcsen (i) arcsen0 (j) arccos (k) arccos0 (l) arccotg( ) (m) arctg( ) (n) arccotg 3 (o) arcsen( ) (p) arccos 9

20 99. Prove que sen : [ π, π ] R é estritamente crescente. 00. Prove que tg x é estritamente crescente em ] π, π [. 0. Para simplificar a expressão cos(arcsen x), começamos colocando θ = arcsen x, com as restrições π θ π e x. Como senθ = x, pela definição de arcsen, podemos construir um triângulo retângulo e calcular o terceiro lado pelo Teorema de Pitágoras: Observe que cos(arcsen x) é cosθ. Desta forma, o desenho nos mostra que: cos(arcsen x) = x Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule: (a) cos(arcsen x) (b) sen(arccos x) (c) cos(arctg x) (d) cos(arcsec x) (e) tg(arccos x) (f) sen(arccos ) (g) cos(arcsen ) (h) tg(arccos0) 0