Trigonometria. 1 História. 2 Aplicações

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1 Trigonometria 1 História As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que envolvem a cotangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 33. O desenvolvimento da trigonometria está bastante ligado à astronomia. Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.c. obtiveram várias informações que foram transmitidas aos gregos. Foi essa astronomia primitiva que deu origem à trigonometria esférica. Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis trigonométricas. Em "Os elementos"é possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos, porém enunciadas em linguagem geométrica. Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria"pois fez um tratado em doze livros que se ocupa da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica: uma tábua de cordas. Ptolomeu também construiu uma tabela de cordas que fornece o seno dos ângulos com incrementos de 15". Evidentemente Hiparco fez estes cálculos para usá-los em sua astronomia. Também parece ter sido Hiparco o primeiro a dividir o círculo em 360 o na sua tábua de cordas. A mais influente e significativa obra trigonométrica da antiguidade foi a "Syntaxis matematica", obra escrita por Ptolomeu. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram Almagesto, por designação da língua, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome. Aplicações Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar 1

2 a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas, em sistemas de navegação por satélite e em GPS. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, que descrevem as ondas sonoras e luminosas. Campos que fazem uso da trigonometria incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, na qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, tomografia computadorizada e ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptografia), sismologia, meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos. 3 Razões Trigonométricas Figura 1: Triângulo Retângulo

3 sen(θ) = b a cos(θ) = c a tg(θ) = b c Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sidos tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos. Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura. Para os triângulos retângulos, em que 0 < θ < 90 o (figura 1), temos: 1. tg(θ) = sen(θ) cos(θ), θ π + Kπ, K Z. sen(θ) = cos(90 o θ) 3. tg(θ) = 1 tg(90 o θ) 4 Ângulos Notáveis 0 o 30 o 45 o 60 o 90 1 sen(θ) cos(θ) tg(θ) Unidades de Arcos 1. Grau: 1 o = 1 da circunferência o = 60 (60 minutos de grau) 1 = 60 (60 segundos de grau) 3

4 . Radiano: Medida do arco cujo comprimento tem a mesma medida do raio da circunferência. πrad = 180 o 6 Ciclo Trigonométrico Através do ciclo trigonométrico (figura ), podemos expandir as definições das funções trigonométricas para quaisquer valores de θ. Figura : Ciclo Trigonométrico O raio da circunferência vale uma unidade. O eixo dos senos é análogo ao eixo y e o dos cossenos ao eixo x do plano cartesiano. O sentido positivo dos arcos é anti-horário (à partir do ponto (1;0) do plano cartesiano, denominado "origem dos arcos"). Como podemos observar, 1 sen(θ) 1 e 1 cos(θ) 1, já a tangente e a cotangente podem assumir qualquer valor real. Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como identidades trigonométricas. Muitas expressam relações geométricas importantes. Aqui há algumas das identi- 4

5 dades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário. Para cada grupo de identidades, uma delas será demonstrada, as demais ficam a cargo do leitor. 6.1 Identidades Fundamentais 1. tg(θ) = sen(θ) cos(θ). cotg(θ) = cos(θ) sen(θ) 3. cossec(θ) = 1 sen(θ) 4. sec(θ) = 1 cos(θ) 5. sen (θ) + cos (θ) = tg (θ) = sec (θ) Demonstração: Temos que sen (θ) + cos (θ) = 1. Dividindo a igualdade por cos (θ), temos: cqd tg (θ) = cossec (θ) 6. Identidades de Adição 1 + tg (θ) = sec (θ) 1. sen(a ± b) = sen(a)cos(b) ± sen(b)cos(a) Demontração: Temos o seguinte triângulo: Sabendo que a área de um triângulo (figura 1) é dada por: A = a.b.sen(θ) Sendo θ o ângulo entre os lados de medidas a e b. Assim: 5

6 Dividindo por bc: b.c.sen(α+β) = b.h.sen(β) + c.h.sen(α) cos(α) = h c cos(β) = h b b.c.sen(α + β) = b.h.sen(β) + c.h.sen(α) sen(α + β) = h b.sen(α) + h c.sen(β) cqd. sen(α + β) = sen(α).cos(β) + sen(β).cos(α). cos(a ± b) = cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) 3. tg(a ± b) = tg(a)±tg(b) 1 tg(a)tg(b) 4. cotg(a ± b) = cotg(a)cotg(b) 1 cotg(a)±cotg(b) Utilizando as "Identidades de Adição", podemos deduzir as "Identidades de Duplicação", considerando, em cada uma das fórmulas, b = a e sinal positivo. 6.3 Identidades de Duplicação 1. sen(a) = sen(a)cos(a) Demonstração: sen(a) = sen(a + a) 6

7 cqd. sen(a) = sen(a).cos(a) + sen(a).cos(a) sen(a) = sen(a)cos(a). cos(a) = cos (a) sen (a) 3. tg(a) = tg(a) 1 tg (a) 4. cotg(a) = cotg (a) 1 cotg(a) Desafio: Deduza as fórmulas de { sen (nθ) cos (nθ) Dica: e iθ = cos (θ) + isen (θ) 6.4 Identidades de Fatoração 1. sen(a) ± sen(b) = sen( a±b Demonstração: Sendo: Temos: )cos( a b ) { x = a+b y = a b sen(a) ± sen(b) = sen(x + y) ± sen(x y) sen(a)±sen(b) = [sen(x)cos(y) ± sen(y)cos(x)]±[sen(x)cos(y) sen(y)cos(x)] sen(a)±sen(b) = sen(x)cos(y)±sen(y)cos(x)±sen(x)cos(y) sen(y)cos(x) cqd. sen(a) ± sen(b) = sen(x)cos(y) sen(a) ± sen(b) = sen( a ± b )cos(a b ). cos(a) + cos(b) = cos( a±b a b )cos( ) 3. cos(a) cos(b) = sen( a±b a b )sen( ) 7

8 4. tg(a) ± tg(b) = sen(a±b) cos(a)cos(b) 5. cotg(a) ± cotg(b) = sen(a±b) sen(a)sen(b) 6.5 Identidades de Prostaférese A prostaférese é o contrário da fatoração, ou seja, a transformação de um produto em uma soma. 1. sen(a)cos(b) = sen(a + b) + sen(a b) Demonstração: Sabendo que: Sendo: Temos: cqd. sen(a) + sen(b) = sen( a + b )cos(a b ) { x = a+b y = a b sen(x + y) + sen(x y) = sen(x)cos(y) sen(x)cos(y) = sen(x + y) + sen(x y). cos(a)cos(b) = cos(a + b) + cos(a b) 3. sen(a)sen(b) = cos(a b) cos(a + b) 7 Equações Trigonométricas Equações Fundamentais em θ sen(θ) = a cos(θ) = a tg(θ) = a. 8

9 Equações não Fundamentais: 1. Redutíveis por meio de identidades trigonométricas.. a.sen(θ) + b.cos(θ) = c 1 a Solução: sen(θ) = c b.cos(θ) a ( ) c b.cos(θ) + cos (θ) = 1 a ( ) ( ) ( ) b bc c a + 1 cos (θ) cos(θ) + a a 1 = 0 a Solução: Num triângulo retângulo de catetos a e b; e hipotenusa a + b, temos: cos(α) = a a + b e sen(α) = b a + b ( ( ) ( ) a b sen(θ) + cos(θ) = a + b a + b ( ) c sen(θ)cos(α) + sen(α)cos(θ) = a + b ( ) c sen(θ + α) = a + b 3. a.sen (θ) + b.sen(θ)cos(θ) + c.cos (θ) = d Solução: (a d).tg (θ) + b.tg(θ) + (c d) = 0, cos(θ) 0 4. Redutíveis por fatoração. 5. Redutíveis por prostaférese. tg(θ) = b ± b 4(a d)(c d) a ) c a + b 6. Equações não-coordenáveis: Não podem ser reduzidas às fundamentais por nenhum dos métodos anteriores. 9

10 8 Identidades Triangulares Figura 3: Identidades Triangulares Lei dos Senos A lei dos senos é uma relação entre os lados e ângulos de um triângulo qualquer e o raio R de sua circunferência circunscrita. O teorema diz que: a sen(a) = b sen(b) = c sen(c) = R Podendo ser demonstrado por Geometria Analítica e Vetores ou por Teorema do ângulo inscrito. As duas demonstrações podem ser encontradas nas referências. Lei dos Cossenos A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria. Este teorema é atribuído ao matemático persa Ghiyath al-kashi. O teorema diz que: a = b + c bc.cos(a) b = a + c ac.cos(a) c = a + b ab.cos(a) Podendo ser demonstrado por Geometria Analítica e Vetores ou por Teorema de Pitágoras. 10

11 As duas demonstrações podem ser encontradas nas referências. Referências leo/imatica/historia/trigonometria.html Livro de Matemática do Sistema de Ensino Poliedro 11