MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org

2 A Matemática tem muito em comum com a música, a dança e os esportes. Existem habilidades a serem aprendidas e uma sequência a ser seguida, caso você queira ser bom no que faz. Você não pode simplesmente ler matemática, ou apenas ouvir matemática, ou até mesmo entender matemática. Você FAZ a matemática, e aprender a fazê la bem, requer prática. É por isso que as tarefas de casa existem, mas a maioria das pessoas precisa de mais! Carolyn Wheater Practice Makes Perfect

3 Etimologia A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τριγωνομετρία τρίγωνο (Triângulo) + μέτρηση (medida) A 'Ciência dos Triângulos'; Ramo da Matemática que estuda a aplicação da aritmética na geometria. Vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus ( )

4 História da Trigonometria Criação da Matemática Grega; Surgiu devido as necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia; Inicialmente desenvolveu se a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fez se necessária; Os estudos dos triângulos esféricos vinham sendo feitos desde os últimos pitagóricos (300 a.c.);

5 Euclides (300 a.c.): estudos sobre Geometria Esférica; Aristarco de Samos (300 a.c.): estimou uma razão entre as distâncias da terra ao sol e da terra a lua e também uma razão entre o diâmetro do sol e a da terra. Eratóstenes (250 a.c.): calculou o raio da terra; Apolônio de Perga (200 a.c.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π; Menelao de Alexandria (100 a.c.): vários teoremas sobre trigonometria esférica. Teodósio (20 a.c.): compilou o que os gregos sabiam sobre o assunto em seu livro Sobre a Esfera; Ptolomeu (150 d.c.): ápice da trigonometria grega com a obra Almagesto (A sintaxe Matemática).

6 Hiparco de Nicéia Considerado o Pai da Trigonometria, viveu em torno de 120 a.c. Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos). Organizou a confecção de um catálogo de estrelas e um calendário de equinócios. O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia.

7 Hiparco de Nicéia Fez um tratado de 12 livros que se ocupa da construção de uma tabela trigonométrica para usar em sua astronomia; Usou a divisão do círculo em 360 partes como os babilônios; Usou a trigonometria para prever eclipses, fazer calendários e navegação. Criou o primeiro astrolábio, equipamento destinado a medir a distância de qualquer astro em relação ao horizonte;

8 OBS: Tabela de cordas Os matemáticos gregos não usavam seno de um ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo. Por influência babilônia, os gregos usavam o raio com comprimento 60 e dividiam o círculo em 360 fatias. = = 1 2 = A Os matemáticos gregos usavam as frações sexagemais babilônias, daí a razão de adotarem o raio igual a 60. O α C D

9 Almagesto (Ptolomeu, 150 d.c.) Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo geocêntrico; Com as técnicas expostas no livro, Ptolomeu é capaz de resolver qualquer triângulo, decompondo o convenientemente em triângulos retângulos; Deduziu expressões que mais tarde, em notação moderna, seriam a expressão para seno da soma e da diferença e a identidade fundamental: 2 + cos 2 = 1

10 Trigonometria pelo mundo Hindus Continuou sendo aplicada à astronomia; No século V, abandonaram a tabela de cordas e adotaram a tabela de senos; A trigonometria hindu era essencialmente aritmética, enquanto a grega era mais geométrica;

11 Trigonometria pelo mundo Árabes Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus; Introduziram a tangente, cotangente, secante e cossecante, para facilitar os cálculos; Já conheciam a lei dos senos para triângulos (al Biruni, 1408); Nasir Eddin sistematizou os conhecimentos até então existentes sobre trigonometria em seu Tratado sobre o Quadrilátero.

12 Trigonometria pelo mundo Chega a Índia por volta de 400 d.c. (astronomia); Por volta de 800 d.c. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia); Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe Al Battani;

13 Trigonometria pelo mundo A partir do renascimento, época da expansão marítima européia, a trigonometria passou a ser usada na cartografia e na topografia (Fibonacci); Necessidade de se refazer os cálculos da astronomia posicional, devido a adoção do sistema heliocêntrico de Copérnico ( ); Desenvolvimento da navegação exigia mapas mais precisos e cálculos mais exatos da efemérides astronômicas.

14 Trigonometria pelo mundo Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria. George Peurbach ( ): Traduziu o Almagesto diretamente do grego e calculou tabelas de senos mais precisas; Regiomontanus ( ): organizou a trigonometria como parte da matemática independente da astronomia. Bartholomaus Pitiscus ( ): introduziu o termo Trigonometria (medida dos ângulos de um triângulo).

15 Origens dos nomes das relações trigonométricas Seno A palavra meia corda em sânscrito, língua dos antigos hindus, é jiva; Como em várias outras línguas, em árabe se escrevem somente as consoantes das palavras; v e b se confundem. Jaib significa bacia, bolso. Traduziram jaib para o latim, isto é, sinus.

16 Origens dos nomes das relações trigonométricas Tangente: significado geométrico. α t r =

17 Origens dos nomes das relações trigonométricas Secante: Na figura abaixo, o segmento que define a secante, corta o círculo. Do latim, cortar=secare. s α r =

18 Origens dos nomes das relações trigonométricas Cosseno, Cotangente e Cossecante: Seno, tangente e secante do arco complementar t' r β s' s α t r = =, sen =, = =

19 Aplicações Outros campos da matemática: Análise, Cálculo; Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil, Medicina, Telecomunicações, Navegação, Aviação, Astronomia;

20 O ensino de trigonometria Segundo os PCN, ensino médio, o objetivo do ensino da trigonometria é: Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.

21 Conteúdo da disciplina Trigonometria no triângulo retângulo Trigonometria na circunferência Funções Trigonométricas