FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UNIDADE DE NOVA ANDRADINA SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA CÁLCULO I FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS CLAUDIA DA SILVA NABARRO DAVID CARDOSO SIQUEIRA DENISE FARIAS BOEIRA EDILSON A. DO NASCIMENTO EMERSON F. A. DO COUTO IVAIR R. DE OLIVEIRA LEILA R. B. BARBOSA MARINA A. DE OLIVEIRA MÁRIO S. DE A. MENDONÇA ROSIMEIRE DA SILVA OLIVEIRA ROSVELY T. T. DA VEIGA VALÉRIA DOS SANTOS PEREIRA DEZEMBRO 2 NOVA ANDRADINA - MS

2 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UNIDADE DE NOVA ANDRADINA SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA CÁLCULO I FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Trabalho apresentado no curso de graduação, Segunda Licenciatura em Informática, como requisito para conclusão da disciplina de Cálculo I, sob a orientação do Prof. Msc. Márcio Demetrius Martinez. DEZEMBRO 2 NOVA ANDRADINA - MS

3 INTRODUÇÃO Tendo em vista os significativos avanços da tecnologia e suas contribuições para o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem matemático tornase interessante a observação de recursos tecnológicos utilizados como ferramenta didática. O uso de recursos computacionais além de motivar as aulas de matemática, contribuir para a formação de conceitos, aprofundarem o entendimento dos mesmos através da eploração e integração dos aspectos gráficos, geométricos, numéricos e analíticos, permite também a construção de modelos matemáticos abstratos, simples e precisos. Com o uso destes recursos as aulas de matemática tornam-se inovadoras reforçando o papel da linguagem gráfica e relativizando a importância do Cálculo. O presente trabalho tem por objetivo observar e analisar as funções trigonométricas e sua aplicabilidade através do software matemático MuPAD. Além da pesquisa bibliográfica, propõe a utilização do software educacional MuPAD que foi utilizado na disciplina de Cálculo I. Este software possibilita a epansão dos limites da sala de aula proporcionando aos alunos uma melhor construção dos conhecimentos matemáticos e permitindo aliar a teoria à prática tornando o conteúdo significativo e contetualizado em uma abordagem interdisciplinar, melhorando a qualidade das aulas ministradas. 2 BREVE HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA Trigonometria é o estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo, sua origem etimológica provém do grego: tri (três), gono (ângulo) e metrien (medida). Embora a origem da trigonometria seja incerta, há registros de que os povos egípcios e babilônicos utilizavam as relações entre os lados e os ângulos para resolver problemas relacionados à Astronomia. Por volta da segunda metade do século II a.c, o astrônomo Hiparco de Nicéia construiu uma tábua com os valores das cordas de ângulos de º a 8º, a qual passou a ser conhecida como a primeira tabela trigonométrica, a partir deste feito Hiparco passou a ser considerado o Pai da Trigonometria. No entanto, foi Ptlomeu

4 quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, sua obra Almagesto apresenta uma tabela de cordas semelhante à tabela de senos. As relações entre a Trigonometria e a Astronomia estavam intrinsecamente ligadas ao estudo dos triângulos curvos de lados curvilíneos formados sobre a superfície esférica, dessa forma a Trigonometria Esférica teve seu desenvolvimento anterior ao da Trigonometria Plana. Os estudos trigonométricos esféricos eram baseados na relação entre um arco arbitrário e sua corda, tais estudos eram utilizados nos cálculos astronômicos e na navegação. A partir da relação do comprimento de uma corda, os árabes e os hindus calculavam o seno, que era a metade da corda do arco duplo de raio unitário, já o conceito de cosseno correspondia ao seno do complemento de um ângulo, tanto os conceitos de seno e cosseno surgiram da necessidade de calcular problemas relativos à Astronomia. O conceito de tangente, cuja denominação antiga era função sombra, tinha como concepção a associação das sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal, a variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo formado entre os raios solares e a vara que modificava o tamanho da sombra. O estudo das sombras foi importante para o cálculo das alturas das pirâmides, bem como para a criação do relógio do sol. Dessa forma, diferentemente dos conceitos de seno e cosseno, os conceitos de tangente e cotangente não surgiram a partir da associação de ângulos e cordas. Somente por volta do século XV surgiram as primeiras tabelas de secante e cossecante, as quais não eram utilizadas pelos astrônomos antigos. No século XVIII, Euler realizou a sistematização dos conceitos de seno, cosseno e tangente como números ligados ao círculo de um raio, assim como as notações utilizadas atualmente. Contudo, somente em 63, a Trigonometria passou a ter um tratamento funcional, quando Roberval esboçou uma curva do seno. As funções trigonométricas como o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante estabelecem as relações das medidas de ângulos a medidas de segmentos de reta. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas ao estudo de triângulos, seu campo de aplicação estende-se a diversos campos como mecânica, eletricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, entre outros.

5 3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 3. Função seno Sabemos que a todo número real corresponde um único ponto M do ciclo trigonométrico; a ordenada de M, OM, relação ao sistema cartesiano uov, é uma função de, isto é, a cada corresponde um único número OM. Essa função é denominada função seno. Definição: Seja M a imagem, no ciclo, do número real. Por definição: seno de é a ordenada de M. Representação: sen = OM v M o M() A u Observações: A definição do seno de um ângulo agudo, no triângulo retângulo, é coerente com a definição acima, restringindo-se aos valores de pertencentes ao intervalo

6 ], [. De fato, se ], [, então sua imagem M está no º quadrante do ciclo e sen = OM. Por outro lado, é a medida em radianos do ângulo agudo AÔM e, considerando o v triângulo M 2 OM conforme indica a figura abaio, temos: M M sen = 2. OM Como e M o M M 2 A u OM = Raio ( ), segue que: OM sen = = OM Devemos notar, ainda, o uso freqüente da unidade grau em medidas de ângulos. Neste caso, o seno da medida do ângulo é o seno do número real que se obtém eprimindo a medida em radianos, por eemplo: sen 3º = sen, sen 6º = sen sen 9º = sen. M O M 2 As mesmas observações são válidas para as demais funções trigonométricas. 3.. VALORES NOTÁVEIS E SINAIS X 2 sen -

7 X (3º) (4º) (6º) sen Analisando os sinais da ordenada de M, cada quadrante, temos: v º Quadrante: ], [ sen > 2º Quadrante: ] [ sen > 3º Quadrante: ], [ sen < 4º Quadrante: ], [ sen < + + u 3..2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Se percorremos no intervalo [, 2 vejamos o que acontece com f() = sen.

8 Pela figura acima, obtemos a seguinte tabela para o seno: 2 sen Fazendo um diagrama com em abscissas e f() = sen em ordenadas, podemos representar os pares (, sen ) da tabela anterior por pontos e ligá-los para obtermos parte do gráfico da função seno, chamado senóide. Gráfico = sen (), no intervalo ], [ plotfunc2d(sin(), =..PI) sin()

9 Gráfico = sen (), no intervalo ], 2 [ plotfunc2d(sin(), =..2*PI) sin() DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM que O domínio da função seno é IR e a imagem é o intervalo [-,]. Isso significa e vice-versa: Nota-se como o domínio da função seno é IR, a senóide continuará tanto à direita de 2 e à esquerda de. Pois a figura acima mostra apenas uma parte do gráfico. A função seno é uma função periódica, pois observamos que a partir de 2 ela começa a repetir os seus valores.

10 Observe o gráfico abaio: Gráfico = sen (), no intervalo ], 4 [ plotfunc2d(sin(), =..4*PI) sin() Função cosseno Sabemos que todo número real corresponde um único ponto M do ciclo trigonométrico; a abscissa de M, OM 2, em relação ao sistema cartesiano uov, é uma função de, isto é, que a cada corresponde um único número OM 2. Essa função é denominada função cosseno. Definição: Seja M a imagem, no ciclo, do número real. Por definição: cosseno de é a abscissa de M.

11 Representação: cos = OM 2 v o M M 2 A u 3.2. VALORES NOTÁVEIS E SINAIS cos X (3º) (4º) (6º) cos Sinais: º Quadrante: ], [ cos > 2º Quadrante: ] [ cos < 3º Quadrante: ], [ cos < 4º Quadrante: ], [ cos > + + u

12 3.2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Analogamente ao que aconteceu na função seno, se fizermos percorrer no intervalo [, 2 vejamos o que acontece com f() = sen(). Pela figura acima, obtemos a seguinte tabela para o seno: 2 cos Representando os pares(, cos ) por pontos de um plano cartesiano e ligando-os, obtemos parte do gráfico da função cosseno, chamado cossenóide.

13 Gráfico = cos (), no intervalo ], [ plotfunc2d(cos(), =..PI) cos() Gráfico = cos (), no intervalo ], 2 [ plotfunc2d(cos(), =..2*PI) cos() DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM O domínio da função cosseno é IR e a imagem é o intervalo [-,]. A função cosseno é periódica e de período p = 2

14 Nota-se como o domínio da função cosseno é IR, a cossenóide continuará tanto à direita de 2 e à esquerda de. Pois a figura acima mostra apenas uma parte do gráfico. A função cosseno é uma função periódica, pois observamos que a partir de 2 ela começa a repetir os seus valores. Observe o gráfico abaio: Gráfico = cos (), no intervalo ], 4 [ plotfunc2d(cos(), =..4*PI) cos() Propriedades das funções seno e cosseno 3.3. FUNÇÃO LIMITADA Dizemos que uma função f: A B é limitada se eistir um número M, M >, que satisfaz a condição: para todo As funções seno e cosseno são limitadas porque: e, para todo. Reconhecendo uma função limitada: Uma função é limitada quando seu gráfico situa-se numa faia horizontal do plano cartesiano.

15 Veja uma eemplo: plotfunc2d(cos(), = -2*PI..2*PI) cos() = cos ( ) plotfunc2d(sin(), = -2*PI..2*PI) sin() = sen ( ) FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR Dizemos que uma função é par se: : A B. Dizemos que uma função é ímpar se: : A B. Logo, observamos que os números e têm, no ciclo, imagens simétricas em relação ao eio das abiscissas. Então, temos e

16 cosseno é função par. para todo, onde concluímos que o seno é função ímpar e o v sen -sen o cos u Para reconhecermos uma função par basta observarmos se o seu gráfico é simétrico em relação ao eios das ordenadas, ou seja, verifique que numa função par, pontos de abscissas opostas têm a mesma ordenada. Já uma função ímpar o seu gráfico é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano, ou seja, basta verificarmos que numa função ímpar, pontos de abscissas opostos têm ordenadas também opostas. 3.4 Função tangente Para a definição da tangente de um arco, é necessário acoplar um terceiro eio ao ciclo trigonométrico. Na figura, o eio (vertical) das tangentes é obtido quando se tangencia, por uma reta, o ciclo no ponto A de origem dos arcos. Unindo-se o centro O à etremidade do arco e prolongando-se esse raio, ele interceptará o eio das tangentes no caso, no ponto T. Por definição, a medida algébrica do segmento AT é a tangente do arco radiano. A orientação do eio das tangentes é cima, sendo do quadrante, temos: tg = AT>.

17 Como temos feito até aqui, procuraremos associar a cada número real o valor de tg, introduzindo a função = tg DOMÍNIO Inicialmente poderíamos pensar no conjunto R como possível domínio da função = tg. Ocorre porém que, no caso de termos, por eemplo, = π, 2 deia de eistir o ponto T, visto que a reta que une o centro O à etremidade do arco torna-se paralela ao eio das tangentes, não o interceptando, portanto. O mesmo ocorre quando = 3 π/2. Assim, podemos dizer que não eistem tg (π/2), tg (3 π/2), etc. De maneira geral, escrevemos não eiste tg(π/2 + k π ), k є Z. senos π 2 tangentes o A cossenos 3 π 2 Concluímos que o domínio da função = tg é D= є R π + k π, k є Z 2 A imagem da função = tg é o intervalo ]-, + [. Relação Fundamental: tg = sen, cos válida para qualquer є R π + k π, k є Z. 2

18 3.4.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA plotfunc2d(tan(),=..pi/6) =tg, no intervalo [, π] tan() plotfunc2d(tan(),=pi/4..pi/3) =tg, no intervalo [π/4, π/3] tan()

19 plotfunc2d(tan(),=pi/2..pi) =tg, no intervalo [π/2, π] tan() e+8-2.e+8-3.7e+8 -e+8 plotfunc2d(tan(),=3*pi/2..2*pi) =tg, no intervalo [3π/2,2 π] tan() e+8-2.e+8-3.7e+8 -e+8

20 plotfunc2d(tan(),=..2*pi) =tg, no intervalo [, 2π] tan() plotfunc2d(tan(),=pi..3*pi) = tg(), no intervalo [π, 3 π] 3.7 tan()

21 3. Função cossecante Considere o ciclo trigonométrico da figura. sen D M M A o M S cos Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto M, interceptamos o eio das abscissas no ponto S e o eio das ordenadas no ponto D. Da figura, definimos cossec = OD. Utilizando a semelhança de triângulos, podemos obter: OD = = cossec, sen sen Domínio = k π, k є Z. Imagem = cossec - ou cossec 3..EXERCÍCIOS ) Qual é o domínio da função = cossec ( + π/7)? RESOLUÇÃO: A condição de eistência é: + π k π. Logo, - π + k π, k є Z. 7 Portanto, D ={ є R - π/7 + k π, k є Z}. Criando o gráfico pelo software Mupad da função no intervalo [-, ], temos: plotfunc2d((/sin ( + PI/7)),=-..) 7

22 /sin( + /7*PI) ) Encontre o valor da epressão = (cossec π/2 + 2cossec(-π/2)/(cossec π/2 cossec 3 π/2). Resolvendo pelo Mupad, temos: (/sin(pi/2)+2*(/sin(-pi/2)))/(/sin(*pi/2)-/sin(3*pi/2))= = -/2 Criando o gráfico dessa função através do software Mupad, temos: plotfunc2d((/sin(pi/2)+2*(/sin(-pi/2)))/(/sin(*pi/2)-/sin(3*pi/2))).7 -/

23 3.6 Função secante A função secante não eiste para arcos da forma (2k+) /2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este real, a secante de, denotada por sec(). Segue uma tabela com valores de no intervalo [,2 ]. /4 /2 3 /4 /4 3 /2 7 /4 2 não eiste não eiste Gráfico: O segmento OV mede sec(). = sec() plotfunc2d(sec(), =..2*PI) /cos() Quando assume valores próimos de de zero e a fração /cos() em valor absoluto, tende ao infinito. /2 ou de 3 /2, cos() se aproima

24 3.6. PROPIEDADES O domínio da função é o conjunto IR ={, }, e o contradomínio da função é, sabendo que a função secante é periódica de. Im(sec()) = IR - { pert IR / -<<} O gráfico é simétrico em relação à origem (,). plotfunc2d(sec(), =-PI/2..*PI/2) /cos() REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Gráfico da função =sec(), no intervalo [, 2π] plotfunc2d(/cos(),=..2*pi) /cos()

25 Gráfico da função = sec(/2), no intervalo [, 2π] plotfunc2d(sec(/2),=..2*pi) /cos(/2*) Gráfico da função = sec(2/), no intervalo [-, ] plotfunc2d(sec(2*/),=-..) /cos(2/*)

26 3.7 Função cotangente A função cotangente não eiste para arcos da forma (k+) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada real, a cotangente de, denotada por: Segue uma tabela com valores de f no intervalo [,2 ]. /4 /2 3 /4 /4 3 /2 7 /4 2 não eiste - não eiste - não eiste Gráfico: O segmento Os' mede cot(). =cot() plotfunc2d(cot(), =..2*PI) cot()

27 Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próima de (ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe PROPRIEDADES O domínio da função é R/ {k, k Z}, e o contradomínio da função é todo o conjunto R; O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R. O gráfico é simétrico em relação à origem (,). = cotg() plotfunc2d(cot(), =-PI..3*PI) cot()

28 3.7.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Gráfico da função = cotg(), no intervalo [, 2π] cos()/sin() Gráfico da função = cotg(/2), no intervalo [-,] plotfunc2d(cos(/2)/sin(/2),=-..) cos(/2*)/sin(/2*)

29 plotfunc2d(cos((3* +)/2)/sin((3* +)/2),=-..) cos(3/2* + /2)/sin(3/2* + /2)

30 4. Referências bibliográficas BOYER, C.B. História da Matemática, Editora Blücher, São Paulo, SP, 974. BOULOS, PAulo.Cálculo Diferencial e Integral - Volume. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 999 GIOVANNI, José Ru, BONJORNO, José Roberto. MATEMÁTICA COMPLETA. 2ª série do ensino médio, 2. ed. São Paulo:FTD, 2. GUIDORIZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol I. ª ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2. IEZZI, Gelson, DOLCE, Osvaldo, DEGENSZAJN, David, PÉRIGO, Roberto, ALMEIDA, Nilze de. MATEMÁTICA: Ciência e Aplicações. 2ª série do ensino médio, volume 2. São Paulo: Atual, 24. IEZZI, Gelson [et al.]. Matemática: ª série, 2º grau. ed.rev. - São Paulo: Atual, 99. IEZZI, Gelson [et al.] Matemática: ciência e aplicações, 2ª série: ensino médio, matemática. 2ºed. Sao Paulo: Atual, 24. (Coleção Matemática: ciência e aplicações).