FUNÇÕES. 1.Definição e Conceitos Básicos

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1 FUNÇÕES 1.Definição e Conceitos Básicos 1.1. Definição: uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado Domínio de f, D(f); um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada a A, um único elemento b = f(a) B. Isto é, A,! f() B. Observações: 1- Para esta apostila, que trata apenas de funções reais de variável real, A e B serão subconjuntos não vazios do conjunto dos reais, em geral intervalos ou união de intervalos; - IMPORTANTE!! Não confundir f e f(): f é o nome da função, enquanto f() é o valor que a função f assume no ponto A. 1.. Eemplos a) f : R R; f() = l l (função Módulo) b) g : [10, + ) R; g() = 10 c) h : R \ { 0 } R; h() = 1 d) i ; R + R; i() = ln e) (Função de Dirichlet) f : R { 0; 1 }; f() = 0, 1, Q R - Q 1.3. IMAGEM ( direta e inversa ) DE UM CONJUNTO POR UMA FUNÇÃO Quando percorre o Domínio de f, f() descreve um conjunto denominado Imagem de f, ou Im(f). Assim, temos que Im(f) = { f(), A }. Convém atentar que Im(f) B. Eemplos (relativos a 1. ): a) Im(f) = R + b) Im(g) = R + c) Im(h) = R \ { 0 } d) Im(i) = R e) Im(f) = { 0 ; 1 } Entretanto, o conceito de Imagem não se restringe a isso. Consideremos, agora, os subconjuntos X A e Y B. Denomina-se IMAGEM DIRETA de X através de f o conjunto

2 f(x) = {f(), X}; mais importante ainda é a IMAGEM INVERSA de Y através de f, dada por f -1 (Y) = { A, f() Y }. Esclarecendo com eemplos: a) f : R \ { 0 } R; f() = 1/, com X = ( /3; 5 ] e Y = [ 0; 1 ] f(x) = [1/5; 3/) e f -1 (Y) = [ 1; + ) b) g: R R; g() = 4, X = Y = [ -1, ]. Neste caso, g(x) = [ 0; 16 ] e g -1 (Y) = [ 0, 4 ] PROPRIEDADES 1) f(x Y) = f(x) f(y) ) f(x Y) f(x) f(y) 3) Se X Y f(x) f(y) 4) f -1 (W Z) = f -1 (Z) f -1 (W) 5) f -1 (W Z) = f -1 (Z) f -1 (W) 6) Se Z W f -1 (Z) f -1 (W) 7) f -1 (Y C ) = (f -1 (Y)) C 8) f -1 (W Z) = f -1 (W) f -1 (Z). GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO.1. Def.: O conjunto G(f) = { (;f()); A } é denominado gráfico de f. É, portanto, um subconjunto de todos os pares ordenados (;y) de números reais... Eemplos a) Função Módulo b) g() = 10 c) h() = 1 d) i() = ln

3 e) ( Esboce! ) 3. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 3.1. Sejam f, g : A B; A, B R. Define-se: a) f + g: A R por (f + g)() = f() + g(); b) f. g: A R por (f. g)() = f(). g(); c) f / g: A R por (f / g)() = f() / g(). A operação mais importante envolvendo funções, entretanto, é a COMPOSIÇÃO: 3.. Def.: Sejam A, B, C R, com B C, f : A B e g: C R. Definimos FUNÇÃO COMPOSTA gof : D A R por: gof() = g(f()), D. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!!!: 1) O domínio de gof consiste nos A tais que f() pertença ao domínio de g. Por isso é obrigatório que B C!! ) O contradomínio de gof é o contradomínio de g Eemplo: Sejam f: R R; f() = + 3 e g: R \ { - } R; g()= /(+). Achemos gof e fog. a) Com relação a gof, temos que D(gof) = { R; f() R \ { - } } = { R; } = R \ { -5 }. Assim, gof : R \ { 5 } R; (gof) () = g(f()) = g(+3) = ( 3) 5

4 b) Efetuando o mesmo procedimento para fog: D(fog)={ R / g() R } = R \ { - }; portanto, fog : R \ { - } R; (fog) () = f(g()) = f = PERIODICIDADE E MONOTONICIDADE 4.1.Def.: f é PERIÓDICA t R, t 0, tal que A + t A e f( + t)= f(). Observações: 1) O número t é chamado de UM período de f; ) O menor período positivo T é denominado O PERÍODO de f, e então f é periódica de período T. 4..Def.: Uma função f: A R B é denominada crescente (não decrescente) se 1 < f( 1 ) f( ); e é dita estritamente crescente se 1 < f( 1 ) < f( ). Analogamente, uma função f é chamada decrescente (não crescente) se 1 < f( 1 ) f( ); e é denominada estritamente decrescente se 1 < f( 1 )>f( ). Todas essas funções são ditas MONÓTONAS ou MONOTÔMICAS Propriedades (Prove!): Sejam as funções f: A B e g: B C. Assim, 1) Se f e g são estritamente crescentes, então gof também é estritamente crescente; ) Se f e g são estritamente decrescentes, então gof é ESTRITAMENTE CRESCENTE (atenção!!!); 3) Se f é estritamente decrescente e g é estritamente crescente, então gof é estritamente decrescente; 4) Se f é estritamente crescente e g é estritamente decrescente, então gof é estritamente decrescente. 5.INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, BIJEÇÃO 5.1.Def.: Seja f: A R B R Dizemos que f é INJETORA (INJETIVA, BIUNÍVOCA) 1, A com 1, então f( 1 ) f( ), isto é, 1, A tais que f( 1 ) = f( ), então 1 = Dizemos que f é SOBREJETORA (SOBREJETIVA) y B, A tal que f() = y. Em outras palavras, Im(f) = B.

5 Observação: TODA função pode se tornar sobrejetora se restringirmos o contradomínio à sua imagem Dizemos que f é BIJETORA (BIJETIVA) f é injetora e sobrejetora, isto é, y B,! A / f() = y. 5.. Eemplos: 1) f: R R, f() = a + b; a, b R; a 0 a- Temos que f é injetora; senão, dados 1 e R com f( 1 ) = f( ), temos a 1 + b = a + b a 1 = a.como a 0, então 1 =. b- Além disso, f é sobrejetiva: dado y R, consideremos = (y - b) / a R, então f() = a + b = a. 1 a y b + b = y. ) g: R R; g() = a- Nesse caso, g não é injetora, pois g(-1) = g(1) = 1, mas -1 1; b- a função g também não é sobrejetora, pois -4 R e não eiste R / g() = -4. Repare que, se construirmos h: R + R + ; h() =, teremos h uma função BIJETORA Algumas propriedades importantes (Prove!) Sejam as funções f: A B e g: B C. Então são válidas as seguintes afirmações: 1) Se f e g são injetoras, então gof é injetiva de A em C. ) Se f e g são sobrejetivas, então gof é sobrejetiva de A em C. 3) Se f e g são bijetivas, então gof é bijetiva de A em C Toda função estritamente crescente/decrescente é biunívoca. A recíproca é verdadeira??? f(x Y) f(x) f(y) somente se f é injetora. O que se pode concluir a partir dessa propriedade e da propriedade ) do item ? 6. INVERSÃO DE UMA FUNÇÃO 6

6 6.1.Uma função I A : A A definida por I A () =, para todo A, é chamada Função Identidade de A. Com essa definição temos todas as ferramentas necessárias para a compreensão da FUNÇÃO INVERSA, um dos conceitos mais requisitados pelo ITA. 6..Def.: Seja f: A B; A, B R. Uma função g: B A é denominada FUNÇÃO INVERSA de f gof = I = fog Eemplos: 1) f: R R, f() = 9. Uma inversa de f é g: R R,g() = 9, pois (gof)() = (fog)() =. ) f: R R, f() = a + b,com a 0; a, b R.Uma inversa de f é g:r R, g() = ( - b) / a 3) f: R R +, f() = não admite inversa pois, considerando g: R + R, g() = como inversa temos gof(-) = g(f(-)) = g(4) = -. Entretanto, se f : R + R +, f() = então g() = é uma inversa de f. Observa-se, portanto, que não são todas as funções que admitem inversa. Temos, na verdade: 6.3.Teorema: f: A B possui inversa f é bijetora. Demonstração: ( ) f possui inversa g: B A tal que fog = I = gof. (I) Mostremos que f é biunívoca: sejam 1, A tais que f( 1 ) = f( ) g(f( 1 )) = g(f( )) 1 = ; (II) Mostremos que f é sobrejetora: dado y B, considere = g(y) A. Então f() = f(g(y)) = y. ( ) f é bijetora Dado y B,! A / f() = y. Seja então g: B A tal que g(y) =. Assim, (gof)() = g(f()) = g(y) = ; e (fog)(y) = f(g(y)) = f() = y (cqd) Corolário: se f admite inversa ela é única, e será denotada por f -1. Note que D(f) = CD(f -1 ) e vice-versa! Para visualizarmos o teorema graficamente (IMPORTANTE): ao refletir o gráfico da função dada em relação à diagonal principal (y = ) obtemos o gráfico da função inversa. Observe o eemplo a seguir: 7

7 Vejamos agora um eemplo esclarecedor a respeito da obrigatoriedade de que a função seja bijetora para que sua inversa eista: 6.4.Propriedades 1) A inversa de uma função estritamente crescente é estritamente crescente; a inversa de uma função estritamente decrescente é estritamente decrescente. ) Sejam as funções f: A B e g: B C; se gof = I A, então g é sobrejetora e f é injetora (essa propriedade é muito importante, já caiu em várias provas). 7. PARIDADE 7.1. a) Dizemos que f é PAR f(-) = f() b) Dizemos que f é ÍMPAR f(-) = -f() Observe que para definirmos função par e ímpar tomamos como pressuposto que + e D(f); neste caso, D(f) é denominado CONJUNTO SIMÉTRICO. D(f) 8

8 7..Eemplos: f: R R; f() = + 5 é uma função par; g: R R; g() = 3 + é uma função ímpar. Observações importantes!!!!! 1) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eio das ordenadas enquanto o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. ) Se f é uma função par, então gof é par(independentemente de g!). Por que?? 3) Se f é ímpar e g é ímpar, então gof é ímpar. 8. FUNÇÕES ELEMENTARES 8.1. FUNÇÃO CONSTANTE: é a função f() = k, k R, D(f). 8.. FUNÇÃO ALGÉBRICA: é toda função formada por um número finito de operações sobre a função identidade e a função constante. Eemplos: 1) Função linear: f()= a + b, R, com a 0 ) Função polinomial: f() = a 0 n + a 1 n a n a n, R, a 0 0 3) Função racional: f() = p() / q(), onde p e q são funções polinomiais e q não é o polinômio identicamente nulo. Lembrar que D(f) = { R : q() 0 } 8.3. FUNÇÕES TRANSCENDENTES 1) Funções eponenciais: a, 0 < a 1; D(f) = R e Im(f) = R + \ { 0 } ) Funções logaritmicas: log a, 0 < a 1; D(f) = R + \ { 0 } e Im(f) = R Vejamos graficamente como as funções eponenciais e logaritmicas se comportam, bem como a relação de inversão que eiste entre elas: 9

9 3) Funções trigonométricas: sen, cos, tg, sec, cossec e cotg. Analisar Domínio, Imagem e paridade de cada uma delas (Eercício) 4) Funções trigonométricas inversas: arcsen, arccos, arctg, arcsec, arccossec, arccotg. Analisar paridade, Domínio e Imagem de cada uma. 5) Funções hiperbólicas a) senh = e e e (negrito) e cosh = e b) tgh = senh cosh 8.4. Outros Eemplos (esboce os gráficos!) 1) Função maior inteiro menor ou igual a ) f() = [ ] - ; D(f) = R, Im(f) = ( -1; 0 ] [ ] : R Z 10

10 3) f: R * { -1; 1}; f() = / I I 4) f: R R; f() = 1, 0, N R - N 9. LIMITAÇÃO 9.1.Def.: Seja f: A B a) Dizemos que f é limitada superiormente quando L / f() L, A; neste caso, L é uma cota superior de f. A MENOR das cotas superiores é chamada SUPREMO. b) Dizemos que f é limitada inferiormente quando M tal que f() M, A; assim, M é denominada cota inferior de f. A MAIOR das cotas inferiores é denominada ÍNFIMO. c) Dizemos que f é LIMITADA quando N : l f() l < N, A. 9.. Eemplos de funções limitadas: 1) seno, cosseno ) [ ] 3) Função de Dirichlet 4) O eemplo 4) do item 8.4 5) A função f() = é ILIMITADA em R, mas é limitada em [ a; b ]; a, b R 6) A função g() = 1/ é ilimitada em R, mas é limitada em [ a; b ] 0 [ a; b ]; e é ilimitada em ( 0, a ] [ a, 0 ), com a, b R. 11