Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções decrescentes Dizemos que uma função f : D C é crescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) < f ( 2 ). Dizemos que uma função f : D C é decrescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) > f ( 2 ). f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 1 ) f ( 2 ) Parte 3 Pré-Cálculo 3 Parte 3 Pré-Cálculo 4

2 Funções monótonas não-decrescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). Funções monótonas não-decrescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). f ( 2 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 1 ) Parte 3 Pré-Cálculo 5 Parte 3 Pré-Cálculo 6 Funções monótonas não-crescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). Funções monótonas não-crescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 ) Parte 3 Pré-Cálculo 7 Parte 3 Pré-Cálculo 8

3 Observações Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente, decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescente neste conjunto. Observações Eistem funções que não são monótonas. Por eemplo, a função descrita na figura abaio não é monótona no conjunto S =[ 1, 4]. Contudo, ela é monótona em [ 1, 0], em[0, 1], em[1, 3] eem[3, 4]. Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótona não-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em um conjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto. 40 Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentes simplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas nãocrescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, que negar (por eemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto S não implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescente neste conjunto. Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela é crescente ou ela é decrescente neste conjunto Parte 3 Pré-Cálculo 9 Parte 3 Pré-Cálculo 10 Eemplo Mostre que a função = f () = 2 é crescente no intervalo S =[0, + ). Demonstração. Sejam 1, 2 S =[0, + ), com 1 < 2. Com estas condições, vale que 2 > 0e 2 1 > 0. Como 1 0e 2 > 0, segue-se que > 0. Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temos que ( 2 1 )( ) > 0. Sendo assim, > 0 e, consequentemente, 2 2 > 1 2, isto é, f ( 2 ) > f ( 1 ). Mostramos então que 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) < f ( 2 ). Logo, f é uma função crescente em S. Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! Em quais intervalos a função f abaio é crescente? f : R R f () = f é crescente nos intervalos (, 1 ] 1 (ln(2)) 2 ln(2) =(, ] e [ 1+ 1 (ln(2)) 2 ln(2), + ) =[ ,+ ). A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! Parte 3 Pré-Cálculo 11 Parte 3 Pré-Cálculo 12

4 Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! f : R R f () = Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas Parte 3 Pré-Cálculo 13 Parte 3 Pré-Cálculo 14 Funções injetivas Funções injetivas Dizemos que f : D C é injetiva se elementos diferentes de D são transformados por f em elementos diferentes em C, isto é, se f satisfaz a seguinte condição: 1, 2 D, se 1 2, então f ( 1 ) f ( 2 ). Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D C é injetiva se ela satisfaz a seguinte condição: 1, 2 D, se f ( 1 )=f( 2 ), então 1 = 2. (Ir para o GeoGebra) Parte 3 Pré-Cálculo 15 Parte 3 Pré-Cálculo 16

5 Funções injetivas Funções injetivas (Ir para o GeoGebra) (Ir para o GeoGebra) Parte 3 Pré-Cálculo 17 Parte 3 Pré-Cálculo 18 Eemplo Mostre que a função f : R R definida por = f () =2 + 1 é injetiva. Demonstração. Sejam 1, 2 R tais que f ( 1 )=f( 2 ). Temos que f ( 1 )=f( 2 ) = = = 2. Eercício Mostre que a função f :[0, + ) R definida por = f () = 2 é injetiva. Demonstração. Sejam 1, 2 R tais que f ( 1 )=f( 2 ). Temos que f ( 1 )=f( 2 ) 1 2 = = 0 ( 1 2 )( )=0. Assim, 1 2 = 0ou = 0, isto é, 1 = 2 ou 1 = 2. No caso em que 1 = 2, como 1 0e 2 0, concluímos que obrigatoriamente 1 = 0e 2 = 0. Em particular, 1 = 2. Outra demonstração. sejam 1, 2 [0, + ), com 1 2. Então 1 < 2 ou 2 < 1. Como f é crescente em [0, + ), segue-se que f ( 1 ) < f ( 2 ) ou f ( 2 ) < f ( 1 ). Nos dois casos, f ( 1 ) f ( 2 ). Parte 3 Pré-Cálculo 19 Parte 3 Pré-Cálculo 20

6 Funções sobrejetivas Funções sobrejetivas Dizemos que f : D C é sobrejetiva se sua imagem é igual ao seu contradomínio, isto é, se para todo C, pode-se encontrar (pelo menos) um elemento D tal que f () =. (Ir para o GeoGebra) Parte 3 Pré-Cálculo 21 Parte 3 Pré-Cálculo 22 Funções sobrejetivas Funções sobrejetivas f : R R f () =1 não é injetiva! Mas g : R {1} g() =1 é injetiva! (Ir para o GeoGebra) Parte 3 Pré-Cálculo 23 Parte 3 Pré-Cálculo 24

7 Eemplo Mostre que a função f : R R definida por = f () =2 + 1 é sobrejetiva. Demonstração. Seja R. Observe que f () = = 2 = 1 = 1 2. Assim, =( 1)/2 R é tal que f () =. Isto mostra que f é sobrejetiva. Atenção! Mostrar que a função f :[0, + ) [0, + ) definida por = f () = 2 é sobrejetiva é bem mais complicado! Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade, que será visto em Cálculo I -A-. Parte 3 Pré-Cálculo 25 Parte 3 Pré-Cálculo 26 Funções bijetivas Funções bijetivas f : R R f () =2 + 1 é bijetiva. Dizemos que f : D C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva. 0 Parte 3 Pré-Cálculo 27 Parte 3 Pré-Cálculo 28

8 Funções bijetivas f : R R f () = 2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva. Funções bijetivas f : R [0, + ) f () = 2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva). 0 0 Parte 3 Pré-Cálculo 29 Parte 3 Pré-Cálculo 30 Funções bijetivas f : [0, + ) [0, + ) f () = 2 é bijetiva. Novas funções a partir de antigas: operações com funções 0 Parte 3 Pré-Cálculo 31 Parte 3 Pré-Cálculo 32

9 Operações com funções Eemplo: soma Sejam f : D f R e g : D g R duas funções reais. Definimos as funções soma f + g, diferença f g, produto f g e quociente f /g da seguinte forma: (f +g)() = f ()+g(), com D f+g = D f D g (f g)() = f () g(), com D f g = D f D g (f g)() = f () g(), com D f g = D f D g (f / g)() = f () / g(), com D f / g = { D f D g g() 0}. f () =1 + 2, g() = 3. D f =[2, + ), D g = R. (f + g)() =f ()+g() = = 2 + 2, D f +g = D f D g =[2, + ). Parte 3 Pré-Cálculo 33 Parte 3 Pré-Cálculo 34 Eemplo: diferença Eemplo: produto f () =1 + 2, g() = 3. D f =[2, + ), D g = R. f () =1 + 2, g() = 3. D f =[2, + ), D g = R. (f g)() =f () g() =1 + 2 ( 3) =4 + 2, D f g = D f D g =[2, + ). (f g)() =f () g() =(1 + 2) ( 3), D f g = D f D g =[2, + ). Parte 3 Pré-Cálculo 35 Parte 3 Pré-Cálculo 36

10 Eemplo: quociente Cuidado! f () =1 + 2, g() = 3. f () =, g() =. D f =[2, + ), D g = R. D f = R, D g = R. (f /g)() =f ()/g() = 1 + 2, 3 D f /g = D f D g { D g g() =0} =[2, + ) {3}. ( ) f () = f () g g() = = 1, D f /g = D f D g { D g g() =0} = R {0}. Parte 3 Pré-Cálculo 37 Parte 3 Pré-Cálculo 38 Composição de funções Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que C g D f. A composição de f e g é a função f g : D g C f definida por: Composição de funções (f g)() =f (g()). Parte 3 Pré-Cálculo 39 Parte 3 Pré-Cálculo 40

11 Composição de funções Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que C g D f. A composição de f e g é a função f g : D g C f definida por: (f g)() =f (g()). Composição de funções Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que C g D f. A composição de f e g é a função f g : D g C f definida por: (f g)() =f (g()). (entrada) (saída) (entrada) (saída) Parte 3 Pré-Cálculo 41 Parte 3 Pré-Cálculo 42 Eemplo Eemplo f () = 2 + 3, g() =. f () = 2 + 3, g() =. (f g)() =f (g()) = f ( )=( ) = + 3. (g f )() =g(f ()) = g( 2 + 3) = Parte 3 Pré-Cálculo 43 Parte 3 Pré-Cálculo 44

12 Eemplo Identificando composições f () = 2 + 3, g() =. h() =( 2 + 1) 10 =(f g)() (f g)() = + 3, (g f )() = onde Moral: (em geral) f g g f. A operação de composição de funções não é comutativa! f () = 10 e g() = Parte 3 Pré-Cálculo 45 Parte 3 Pré-Cálculo 46 Identificando composições Identificando composições h() =tg( 5 )=(f g)() h() = 4 3 =(f g)() onde onde f () = tg() e g() = 5. f () = e g() =4 3. Parte 3 Pré-Cálculo 47 Parte 3 Pré-Cálculo 48

13 Identificando composições Identificando composições h() =8 + =(f g)() h() =1/( + 1) =(f g)() onde onde f () =8 + e g() =. f () =1/ e g() = + 1. Parte 3 Pré-Cálculo 49 Parte 3 Pré-Cálculo 50 Funções inversíveis Dizemos que uma função f : D C é inversível se eiste função g : C D tal que Funções inversíveis e (g f )() =g(f ()) =, para todo D (f g)() =f (g()) =, para todo C. Neste caso, dizemos que g éainversa de f e escreveremos: g = f 1. Parte 3 Pré-Cálculo 51 Parte 3 Pré-Cálculo 52

14 Eemplo Eemplo Parte 3 Pré-Cálculo 53 Parte 3 Pré-Cálculo 54 Eemplo A função f : D = R C = R = f () =2 + 1 é inversível, pois g : C = R D = R = g() =( 1)/2 Cuidado Cuidado! f 1 () e (f ()) 1 denotam objetos diferentes! é tal que (g f )() =g(f ()) = g(2 + 1) =((2 + 1) 1)/2 =, D = R e (f g)() =f (g()) = f (( 1)/2) =2(( 1)/2)+1 =, C = R. Podemos então escrever que f 1 () =g() =( 1)/2. f 1 () é a função inversa de f calculada em. (f ()) 1 é igual a 1/f (). No eemplo anterior, f 1 () =( 1)/2, enquanto que (f ()) 1 =(2 + 1) 1 = 1/(2 + 1). Parte 3 Pré-Cálculo 55 Parte 3 Pré-Cálculo 56

15 Proposição Proposição f : D C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva, isto é, se, e somente se, 1. f é injetiva: para todo 1, 2 D, se 1 2, então f ( 1 ) f ( 2 ) e, ao mesmo tempo, 2. f é sobrejetiva: para todo C, eiste pelo menos um D tal que f () =. Demonstração: ( ) Se f : D C é inversível, então eiste uma função g : C D tal que D, (g f )() =g(f ()) = e C, (f g)() =f (g()) =. Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então eistem 1, 2 D tais que 1 2 e f ( 1 ) = f ( 2 ). Mas, se f ( 1 ) = f ( 2 ), então g(f ( 1 )) = g(f ( 2 )), isto é, 1 = 2, uma contradição. Assim f : D C é injetiva. Seja C. Se = g(), então f () =f (g()) =. Isso mostra que f : D C é sobrejetiva. Como f : D C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D C é bijetiva. Parte 3 Pré-Cálculo 57 Parte 3 Pré-Cálculo 58 Demonstração: ( ) Como f : D C é sobrejetiva, para todo C, eiste D tal que f () =. Mais ainda: como f é injetiva, esse é único. Considere então a função g : C D definida por g() = = o único elemento de D tal que f () =. Observe que g(f ()) = g() =, D e f (g()) = f () =, C. Sendo assim, f é inversível e sua inversa é f 1 = g. Observações Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácil seja com a definição, seja com a proposição anterior. A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar se uma função é inversível (localmente). Parte 3 Pré-Cálculo 59 Parte 3 Pré-Cálculo 60

16 O gráfico da função inversa O gráfico da função inversa Seja f uma função real inversível. Se f (1) =2, então f 1 (2) =1. Assim, o ponto (1, 2) pertence ao gráfico de f e (2, 1) pertence ao gráfico de f 1. Se f (2) =3, então f 1 (3) =2. Assim, o ponto (2, 3) pertence ao gráfico de f e (3, 2) pertence ao gráfico de f 1. Se f () =, então f 1 () =. Assim, o ponto (, ) pertence ao gráfico de f e (, ) pertence ao gráfico de f 1. (Ir para o GeoGebra) Parte 3 Pré-Cálculo 61 Parte 3 Pré-Cálculo 62 O gráfico da função inversa Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa? Se uma mesma escala foi usada para os eios e, os gráficos de f e f 1 são simétricos com relação a reta =. Se uma mesma escala foi usada para os eios e, o gráfico da inversa f 1 é obtido fazendo-se uma refleão do gráfico de f com relação a reta =. Parte 3 Pré-Cálculo 63