2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x).

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1 1. Algumas funções básicas 2. Tipos de funções Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eio y, isto é, f( ) = f(). Eemplos: A função f() = n onde n inteiro positivo é par? (veja aqui) f() = 2 f( ) = A função f() = cos() é par? Dê outros eemplos de funções pares. Uma função f é ímpar se é simétrica em relação à origem, isto é, f( ) = f(). Eemplos: A função f() = n onde n inteiro positivo é ímpar? (veja aqui) f() = 3 f( ) = 12

2 A função f() = sen() é ímpar? Dê outros eemplos de função ímpar. Toda função deve ser par ou ímpar? Funções crescentes e decrescentes Uma função f é estritamente crescente em um intervalo [a, b] Dom(f) se para todo 1, 2 [a, b] tal que 1 < 2 tem-se que f( 1 ) < f( 2 ). Uma função f é estritamente decrescente em um intervalo [a, b] Dom(f) se 1, 2 [a, b] tal que 1 < 2 tem-se que f( 1 ) > f( 2 ). Eemplos: Verifique os intervalos onde as seguintes funções são crescentes e decrescentes: 13

3 Funções injetora, sobrejetora e bijetora Uma função f : A B é dita sobrejetora se para todo y B eiste A tal que f() = y. Em outras palavras, Im(f) = B. Eemplos: Verifique se as funções abaio são sobrejetoras: Uma função f : A B é dita injetora se 1, 2 A tal que f( 1 ) = f( 2 ) tem-se que 1 = 2. Teste da reta horizontal: Se todas as retas paralelas ao eio que cortam o gráfico de f o fazem em um único ponto, então f é injetora. Eemplos: Verifique se as funções abaio são injetoras: 14

4 Uma função f : A B é bijetora se é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Eemplos: Verifique se as funções dos eemplos anteriores são bijetoras. 3. Operações com funções Soma de funções: (f + g)() = f() + g() Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g) Eemplo: Sejam f() = e g() = 1. veja aqui Multiplicação de funções: (f g)() = f() g() Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) 15

5 Eemplo: Sejam f() = 1 e g() =. Determine o domínio e o gráfico das funções f, g e f g e determine a epressão de (f g)(). Divisão de funções: ( ) f () = f() g g(), g() 0 Dom ( ) f = (Dom(f) Dom(g)) { Dom(g) g() = 0} g Eemplo: Sejam f() = ln e g() = 2 1. Determine o domínio das funções f, g e f g. Composta de funções: Sejam f e g funções tais que Im(f) Dom(g), então definimos (g f)() = g(f()), Dom(g f) e Dom(g f) = { Dom(f) f() Dom(g)} Eemplo: Sejam f() =, g() = 1 e h() = 3 (a) Calcule g h() e determine o seu domínio: Dom(g h) = { Dom(h) h() = 3 Dom(g) } = 16

6 g h() = g(h()) = (b) Calcule (f g h)() e determine o seu domínio: Dom(f g h) = { Dom(g h) (g h)() Dom(f)} (f g h)() = Eercício: Sejam f() = 1 e g() = 1 2. Determine os domínios de f, g e f g. Calcule f g(). Observação 1. Em geral, f g f g. Eemplo: Tome f() = 1 e g() = 17

7 (f g)() = f() g() = 1 = 1, Dom(f g) = (f g)() = f(g()) = 1 g() = 1, Dom(f g) = { Dom(g) g() Dom(f)} = Eercício: Encontre outro eemplo onde f g f g. Observação 2. Em geral, f g g f. Eemplo: Tome f() = + 1 e g() =. f g() = f( ) = + 1 g f() = g(f()) = g( + 1) = + 1 Eercício: Encontre outro eemplo onde f g g f. Inversa de funções: Uma função g é dita função inversa de f se: Im(g) = Dom(f) e Im(f) = Dom(g) Para todo Dom(g) temos que (f g)() = e para todo Dom(f) temos que (g f)() = Em tal caso dizemos que f é invertível e denotamos a sua inversa g por f 1. Observação 3. Em outras palavras, Observação 4. Em geral, f 1 () (f()) 1. f é invertível f é bijetora Eemplo: Seja f() = 3, R. Já vimos anteriormente que essa função é bijetora e portanto f é invertível. E a sua inversa é f 1 () = 3 (Verifique!) que é diferente da função (f()) 1 = 1 f() = 1 3. Observação 5. O gráfico da função f 1 é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y =. 18

8 Um método para tentar determinar a inversa: Seja f() = 3, R que já vimos anteriormente que é invertível e que Dom(f 1 ) = R e Im(f 1 ) = R. Assim, Eemplos: { } { } f() = 3 = y 3 y = 3 y = 3 f 1 () = 3 (a) Função logarítmica Função eponencial Eercício: A função f() = 2 é invertível em R? Em caso afirmativo determine a sua inversa e esboce o gráfico da inversa e em caso negativo determine um domínio onde isso ocorra. (b) Funções trigonométricas inversas: Nenhuma das funções trigonométricas é invertível em seu domínio. Entretanto, para cada uma delas podemos considerar uma restrição no domínio, de maneira a obter uma função invertível. Arcoseno: Devemos tomar sen : [ π 2, π ] [ 1, 1] 2 19

9 Assim a sua inversa neste intervalo será a função arcsen : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] Arcocosseno: Devemos tomar cos : [0, π] [ 1, 1] arcsen() = y = sen(y) 20

10 Assim a sua inversa neste intervalo será a função arcsen : [ 1, 1] [0, π] arccos() = y = cos(y) ( Arcotangente: Devemos tomar tg : π 2, π ) R 2 21

11 Assim a sua inversa neste intervalo será a função arctg : R ( π 2, π ) 2. arctg() = y = tg(y) 22