MAT Cálculo Diferencial e Integral I para Economia - 1 semestre de 2013 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 15.6.

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1 MAT 46 - Cálculo Diferencial e Integral I para Economia - semestre de 203 Registro das aulas e eercícios sugeridos - Atualizado Segunda-feira, 4 de março de 203 Apresentação do curso. pluigi Veja-se o arquivo relativo às informações do curso na minha pagina web *** Os principais sistemas numéricos usados no curso: o conjunto N dos números naturais, Z dos números inteiros relativos, Q dos números racionais e R dos números reais. Definição (intuitiva) de número real: um número real é um alinhamento decimal, itado ou não, periódico ou não, com sinal. Em R são definidas duas operações, soma e produto e uma relação de ordem. A parte seguinte, em azul, é facultativa; pode ser pulada Estas operações verificam as propriedades seguintes: S) Propriedade comutativa da soma: a, b R, a + b = b + a; S2) Propriedade associativa da soma: a, b, c R, (a + b) + c = a + (b + c); S3) Eistência do elemento neutro da soma: a R, a + 0 = a e 0 é dito elemento neutro da soma; S4) Eistência do oposto: a R eiste um elemento de R, a, dito oposto de a, tal que a+( a) = 0 (a + ( a) = 0 pode ser escrito simplesmente a a = 0). Analogamente temos propriedade do produto: P) Propriedade comutativa do produto: a, b R, ab = ba; P2) Propriedade associativa do produto: a, b, c R, (ab)c = a(bc); P3) Eistência do elemento neutro do produto: a R, a = a e é dito elemento neutro do produto; P4) Eistência do inverso: a R, a 0, eiste um elemento de R, /a, tal que a /a =. A propriedade distributiva liga soma e produto: SP) a, b, c R, (a + b)c = ac + bc. As duas propriedades seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento: OS) a, b, c R, se a b, então a + c b + c; OP) a, b, c R, con c > 0, se a b, então ac bc. Eercício. (feito em sala de aula) Não eiste nenhum número racional cujo quadrado é igual a 2. Dado un número real a, definimos módulo (ou valor absoluto) de a número não negativo { a se a 0 a = a se a < 0. Eercício 2. Provar as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b R, a + b a + b, a b a b.

2 2 Eercício 3. (feito em sala de aula) Determine o conjunto das soluções da inequação Eercício 4. Verdadeiro ou falso? (justifique) () a soma de dois números irracionais é irracional; (2) a soma de dois números racionais é racional; (3) a soma de dois números um racional e o outro irracional é irracional; Eercício 5. Prove que não eiste nenhum número racional cujo quadrado é igual a 3. Eercício 6. Sejam dados quatro números reais positivos a, b, c, d. Prove que { a min b d}, c a + b { a c + d ma b, c }. d { a O símbolo acima min b d}, c denota o mínimo entre a b e c. Analogamente o outro. d Eercício. Resolver algumas das inequações seguintes > > > < < > 3 7. < > 9. < > + 2 (2 )( + ) ( ) Eercício 25. Dado um número R, a parte inteira de, denotada por [], é definida como o maior número inteiro menor ou igual a. Por eemplo: [3/2] =, [4] = 4, [ 3] = 3, [ 9/0] =, [π] = 3, [ 26] = 5, etc. Prove que, dados, y R quaisquer, temos [ + y] [] + [y]. Outros eercícios: Guidorizzi, pagg. 0-4, núm. -23, faça alguns; pagg , núm. -2, faça alguns. 2. Quarta feira 6 março 203 Definição de raiz n-esima. Dados um número inteiro n e um número real não negativo, a raiz enésima de, em símbolos n, é o número não negativo y tal que y n =. Teorema Eistência e unicidade da raiz n-esima. (Sem demonstração.) Dado um número real não negativo eiste e é única a raiz enésima de.

3 3 Observação: é fácil ver que se < 0 e n é par, não eiste a raiz n-esima de. Por outro lado, se n é impar, pode ser definida n = n. Note que o termo n é a raiz definida acima, sendo positivo. Eercício 26. Provar que, dado > 0, a raiz quadrada de é única (sugestão: usar a propriedade que liga o ordenamento e o produto). Dados a e b reais, definição de intervalo de etremos a e b: [a, b] = { R : a b}, (a, b] = { R : a < b}, [a, b) = { R : a < b}, (a, b) = { R : a < < b}. O primeiro é dito fechado, o quarto é dito aberto. Intervalos iitados: [a, + ) = { R : a }, (, b] = { R : b}, Observação: + e não são números. (a, + ) = { R : a < }, (, b) = { R : < b}. Definição de função. Dados A e B conjuntos quaisquer, uma função f : A B é una lei que a cada elemento de A associa um e só um elemento de B. A se chama domínio da função, B é dito contradomínio. O conjunto dos valores atingidos por f se chama imagem de f, Im (f) ou f(a), ou seja: Im (f) = {y B : eiste A tal que f() = y}. Im (f) é um subconjunto do contradomínio (pode ser igual). A função é dita injetora se, para todos a, b A, tais que a b, temos f(a) f(b). É dita sobrejetora se Im (f) = B. Se f é injetora e sobrejetora é chamada bijetora (ou correspondência biunívoca). Definição. Dado um subconjunto E de R, uma função real é uma função f : E R. Eemplos. () f : R R, f() =. (2) f : R R, f() =, não é uma função. De fato, para cada < 0, não eiste. (3) Pelo contrário, é bem definida a função f : [0, + ) R, f() =. (4) f : R R, f() = 2. Im (f) = [0, + ). (5) f : [0, ] R, f() = 2. O domínio e a imagem desta função são diferentes dos aqueles do eemplo anterior. Se duas funções têm domínios diferentes são duas funções, ainda se possuem a mesma lei. { / se 0 (6) f : R R, f() = (7) f : [0, 4] R, f() = 0 se = 0. { + 3 se se 3 < 4. É dito gráfico de f o subconjunto de R 2 G(f) = {(, y) R 2 tal que E, y = f()}. Eercícios: dadas as funções seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado

4 , (, ) , [0, 5] 29. 2, (, 3) , ( 3, 2) 3. [ 2] 2, ( 2, 2] 32. (difícil) ( []), (, + ) No eercício acima [ 2] é a parte inteira de 2. Eercício 33. Uma função f : R R é chamada par se f() = f( ), para todo. É chamada impar se f() = f( ), para todo. Prove que 2 + é par e que é impar. Sejam A, B dois conjuntos, e f : A B uma função dada. Dado um subconjunto C de B, é dito imagem inversa de C o conjunto { A : f() C}. Dada f : E R e dado um suconjunto B de E, a função g : B R, definida por g() = f() para todo B é dita restrição de f em B, o símbolo é f B. Se f : A B é injetora, definimos a função inversa de f como a função g : Im f A que associa a cada y Im f o único A tal que f() = y. Neste caso f é também chamada inversível e a função inversa é denotada, em geral, por f. Observação: cuidado em não fazer confusão entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre é um conjunto e a função inversa, quando eiste, que é uma função. A notação não ajuda, sendo f o mesmo símbolo para os dois conceitos. Sejam duas funções f : A R e g : B R, tais que Im f B. g f : A R, a função (g f)() = g(f()). Analogamente, se Im g A, definimos f g : A R como (f g)() = f(g()). Definimos função composta Uma função f : E R é dita monótona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada, 2 em E, com < 2, resulta f( ) f( 2 ) (resp. f( ) < f( 2 )). Uma função f : E R é dita monótona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada, 2 em E, com < 2, resulta f( ) f( 2 ) (resp. f( ) > f( 2 )). Eercício 34. Estudar a monotonia das funções seguintes: () f : R R, f() = 2, (2) f : [2, 6] R, f() = 4, (3) f : [0, + ) R, f() =, (4) f : (, 2), f() =, (5) f[ 5, 4] [, 2], f() = /. Eercício 35. Desenhar os gráficos das funções acima. Eercício 36. Provar que a soma e de duas funções crescentes é uma função crescente. A composição de duas funções crescentes é uma função crescente? E o produto? Eercícios: dadas as funções seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados ao lado 37. 2, ( 0, 3] , (0, 5)

5 , R 40., [0, ] 4. [ + 2 ], (, 4) 42. sign ( 2 2), (/2, 2) Escreva as composições f g e g f das funções seguintes, determinando os domínios das funções obtidas 43. f() = + 3, g() = f() = 2, g() = 45. f() = +, g() = f() = 2, g() = ( ) f() = +, g() = f() = 2, g() = 3 Escreva as funções seguintes como composição de funções. podem não ser as únicas possíveis.) Determine, para cada função seguinte, o maior domínio onde é inversível. { { + 2 se 0 < < 2 se < 0 5. f() = 52. f() = + se 2 < < 3 se < 2 (As composições obtidas Eercício 53. Provar que uma função estritamente crescente ou decrescente é inversível. Se f : A R é inversível, necessariamente é estritamente monótona? Procure eemplos. Eercício 54. Eercício 55. Eercício 56. Eercício 57. Eercício 58. Outros Eercícios: A função f : R R, definida como f() = 2 é invertível? A função f : R R, definida como f() = 3 é invertível? A função f : [ 3, 2] [0, ] R, definida como f() = 2 é invertível? A função f : R R, definida como f() = é invertível? A função f : [0, + ) R, definida como f() = é invertível? Guidorizzi, pág. de 49 a 55, faça alguns. Stewart, pág. 23 e 24, faça alguns dos eercícios da cada grupo, a partir do núm. 2 até o fim. Pág. 47 e 48, faça alguns dos eercícios entre e 2; entre 35 e 53, e 59a 3. Seta-feira 8 março 203 Eercício 59. (feito em sala de aula) Determine a imagem inversa f ([, 2]), onde f() = Observação: Façam atenção: infelizmente o símbolo f pode representar duas coisas bem diferentes: seja a imagem inversa de um conjunto (ou de um ponto), seja a função inversa de f (quando f é inversível ou injetora, o que é a mesma coisa). No eercício acima podemos escrever f ([, 2]) = { R : f() [, 2]}. Uma outra família de funções são as potências com epoente racional. Se n é inteiro, n, sabemos que eiste e é única a raiz n-esima de (veja-se o teorema da página??). Portanto é definida a função n. Se n é par, o domínio é [0, + ), se n é impar, o domínio é R. A raiz n pode ser denotada pelo símbolo n.

6 6 Dado um racional positivo qualquer, m/n, onde m e n são primos ente si, é definida a função m/n = n m, cujo domínio é [0, + ) se n é par, enquanto é R se n é impar. Dado um racional negativo, m/n, onde m, n Z são primos ente si, é definida a função m/n =, m/n cujo domínio é (0, + ) se n é par, enquanto é R\{0} se n é impar. O leitor deve entender que a definição acima é totalmente abstrata. Se a potência com epoente inteiro e positivo é simplesmente uma maneira de escrever mais rapidamente um produto de fatores iguais, a potência com epoente inteiro e negativo, ou mais em geral, racional (positivo ou negativo) ou com epoente nulo não são produtos. A razão que jusifica a definição acima de a r, r Q, é a necessidade de definir uma função que verifique as propriedades das potências e que seja uma etensão do caso com epoente inteiro e positivo. Observação: para não correr o risco de encontrar raizes com índice par de números negativos, a potência a r será definida (eceto casos muito particulares) geralmente com a positivo. Resumindo, a potência com epoente racional verifica as propriedades seguintes: para cada ) a 0 = ; 2) r R, r = ; 3) r R, a r > 0; 4) r, r 2 R, a r+r2 = a r a r2 ; 5) r R, (ab) r = a r b r ; 6) r, r 2 R, (a r ) r2 = a rr2 ; 7) r, r 2 R, tali che r < r 2 : se a > allora a r < a r2, mentre se a < allora a r > a r2 ; 8) r R, r > 0, se a < b allora a r < b r. Lembramos que 0 n = 0 se n è inteiro e positivo. Por outro lado a operação 0 0 não faz sentido. Eercício 60. O leitor pode tentar dar uma justificativa do fato que 0 0 não pode ser definido? Eercício 6. É um interessante eercício para o leitor provar as propriedades 7 e 8 acima. Observação: A propriedade 7 quer dizer que a função f : Q R, definida por f(r) = a r é estritamente crescente se a >, estritamente decrescente se 0 < a <. A propriedade 8 quer dizer que a função g : [0, + ) R, definida por g() = r, onde r é racional positivo fiado, é estritamente crescente. A função a r onde a variável é o epoente e a base é fiada se chama função eponencial, enquanto r, onde a base é variável e o epoente é fiado, se chama função potência. As potências com epoente racional podem ser estendidas às potências com epoente real, da maneira seguinte. Seja a R, a > 0 e seja b R. Por eemplo suponhamos a >. O número b pode ser representado em notação decimal b = b 0, b b 2..., onde b 0 é inteiro e os b i, i, são as cifras decimais alinhadas (as cifras decimais podem ser finitas, ou seja, B pode ser racional, não necessariamente irracional). Sendo a >, a seqência de números a b0, a b0,b, a b0,bb2,... etc. é crescente. Poderia provar-se (não entramos nos detalhes, não é tão fácil) que a sequência acima tende, quando n crescer, para um número real. Este número real será definido como a b. A definição de a b no caso 0 < a < é analoga, só que a sequência de potências considerada decresce. Enfim, com o memso processo, chegamos a definir que b =. Observação: a função eponencial a é estritamente crescente em R se a > e estritametne decrescente se 0 < a <. Em âmbos os casos é inversivel. Mais em geral, poderia provar-se que as potências com epoente real verificam todas as propriedades -8 acima (não damos aqui a demonstração).

7 7 Seja a positivo fiado e a. A função inversa de a é chamada logaritmo em base a de. Sendo (0, + ) a imagem de a (seja com a > que com 0 < a < ), o domínio do logaritmo é (0, + ) enquanto a imagem do logaritmo é tudo R porque o domínio de a é R. Eercício 62. O leitor refleta sobre o fato acima e prove entende-lo com clareza. O símbolo da função logaritmo é log a Eercício 63. Usando o fato que a é estritamente crescente em R se a > e estritamente decrescente se 0 < a <, prove que log a é estritamente crescente em (0, + ) se a > e estritamente decrescente se 0 < a <. O logaritmo satisfaz as propriedades seguintes que podem ser obtidas diretamente das propriedades das potências. ) a,, y R, a > 0, > 0, y > 0, segue log a (y) = log a + log a y; 2) a,, y R, a > 0, > 0, y > 0, segue log a (/y) = log a log a y; 3) a,, α R, a > 0, > 0, segue log a ( α ) = α log a ; 4) a, b, R, a > 0, b > 0 > 0, segue log a = log a b log b. Eercício 64. Prove as propriedades do logaritmo. y = log a, a > y = a, a > y = a, a < y = log a, a < gráficos de f() = a e f() = log a, con a > e a <. Observação: observando o tipo de curvatura dos gráficos acima, dizemos que, a é uma função convea; o logaritmo é conveo se 0 < a <, enquanto é côncavo se a >. As informações que temos agora não permitem esclarecer a razão destas afirmações. Precisa o conceito de derivada de uma função, que será introduzido depois. As funções trigonométricas. Seja a circunferência C do plano cartesiano, com centro na origem e raio, dita circunferência trigonoométrica. Observando a figura, A é o ponto de coordenadas (, 0) enquanto P é um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunferência, o arco de etremos A e P no sentido anti-horário, tem um comprimento entre 0 e 2π.

8 8 P O A Chamo este comprimento, portanto [0, 2π]. Definimos o seno de, sen, como a ordenada de P, e o cosseno de, cos, como a abscissa di P. O domínio pode ser estendido de [0, 2π] a R. Outros Eercícios: Guidorizzi, pág. 66/7, faça alguns. Stewart, pág. 23 e 24, faça alguns dos eercícios da cada grupo, a partir do núm. 2 até o fim. Pág. 47 e 48, faça alguns dos eercícios entre e 2; entre 35 e 53, e 59a 4. Segunda-feira, de março de 203 Em relação à construção das potências com epoente real podemos dizer que a epressão 0 0 não tem significado. Isso porque queremos que a potência a b mude com continuidade se mudam a ou b. Se olhamos 0 /n, não temos problemas em dizer que 0 /n = 0 (simplesmente pela definição de raiz). Quando n tende para +, /n tende para zero. Portanto um valor coerente de 0 0 seria zero. Por outro lado a 0 = para qualquer a > 0. Neste caso, como a 0 fica constante igual a mesmo quando a tende para zero, um valor coerente de 0 0 seria. Como estamos vendo, não temos possibilidade de definir 0 0 que esteja de acordo com as outras propriedades. Seja agora E um subconjunto de R. Um número real M é dito majorante de E se M para todo E. Um número real m é dito menorante de E se m para todo E. Um conjunto E é dito itado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto é dito itado inferiormente se admite pelo menos um menorante. É dito itado se é itado superiormente e inferiormente. Se E é itado superiormente definimos supremo de E, sup E, o mínimo dos majorantes; se E é itado inferiormente definimos ínfimo de E, inf E, o máimo dos minorantes. Se E é iitado superiormente escrevemos sup E = +, se E é iitado inferiormente escrevemos inf E =. O máimo de um conjunto E é o elemento maior, se eiste, enquanto o mínimo é o elemento menor, se eiste. Um conjunto é dito finito se possui um número finito de elementos. Propriedade de continuidade de R (sem prova): um conjunto de números reais, itado superiormente (inferiormente) admite supremo (ínfimo) em R.

9 9 Q não verifica a propriedade de continuidade. Verifique este fato como eercício. do fato que, por eemplo, não eiste nenhum racional cujo quadrado seja 2. É uma conseqüência Eercício Determine o supremo e o ínfimo dos conjuntos seguintes e, se eistem, o máimo e o mínimo. 65. (2, 3) 66. [0, + ) 67. [ 5, ) (, 4] 68. (0, 3] [3, 5] 69. { n }, n 70. { + n }, n 7. { Q : 2 < 2} 72. { 2n } n 2 +, n N Uma função é dita itada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela é itada (superiormente, inferiormente). Neste caso o supremo (ínfimo) de f, sup f (inf f) é, por definição, o supremo (ínfimo) de Im f. *********** As funções sen e cos são definidas em R com imagem igual ao intervalo [, ]; são periodicas com período 2π. Conseqüência imediata do teorema de Pitagora: sen 2 + cos 2 = para todo R. As fórmulas algébricas das funções trigonométricas podem ser provadas usando a ferramenta clássica da geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova. Dados, y R, adição: prostaférese Eercício 73. Determine sen 2 e cos 2 sen ( + y) = sen cos y + sen y cos, cos( + y) = cos cos y sen sen y; sen sen y = 2 cos + y 2 sen y, cos cos y = 2 sen + y 2 2 sen y. 2 Determine sen 2 e cos 2 em função de sen e cos (fórmulas de duplicação). em função de sen e cos (fórmulas de divisão). Uma outra função trigonométrica é a tangente: tg = sen cos, definida quando o coseno não é nulo; portanto o domínio é o conjunto { R : π } 2 + kπ, k Z. Eercício 74. Provar que a tangente é periódica com período π. Dica: use as fórmulas de duplicação. A funções trigonométricas não são invertíveis (porque são priódicas). Porém, observamos que sen é estritamente crescente em [ π/2, π/2]. Então, a restrição de sen a [ π/2, π/2] é invertível. A sua função inversa se chama arcoseno, arcsen : [, ] R com imagem igual a [ π/2, π/2]. Analogamente, cos è invertível em [0, π]. A sua função inversa se chama arcocosseno, arccos : [, ] R, com imagem [0, π].

10 0 A tangente è invertível em ( π/2, π/2). A sua função inversa se chama arcotangente, arctg : R R, e tem imagem ( π/2, π/2). y = sen y = cos gráficos de f() = sen e f() = cos. y = tg gráfico de f() = tg. gráficos de f() = arcsen, f() = arccos e f() = arctg. Eercício 75. Desenhe o gráfico de f() = [2 + ] (parte inteira). [ ] Eercício (difícil) 76. Desenhe o gráfico de f() = (parte inteira). Eercícios. Diga se as funções seguintes são periódicas. Se sim, encontre o período. 77. cos, sen 2, tg, 80. sen ( 2 ), 8. 4, 82. [], 83. cos 4, 84. sen (3). Eercícios. Diga se as funções seguintes são pares ou impares.

11 , , 88. [], sen, 89. sen 2, 90. cos 3. Eercício 9. Determine alguns eemplos de funções injetoras e não monótonas. Eercício 92. Em relação aos gráficos acima, dados os gráficos das funções eponenciais e trigonométricas, justifique os desenhos dos gráficos das funções inversas. Eercícios. Escreva as funções seguintes como soma de uma função par e de uma impar sen 2 + cos 96. f() 2 No último eercício (que é difícil) f() é uma função qualquer. Pede-se que f seja escrita como g + h onde g é par e h é impar e as duas funções são obtidas através de operações algébricas oportunas sobre f. Eercícios 97. Desenhe os gráficos das funções f() = ma{, 2 } e g() = ma{, 2 } 98. Desenhe o gráfico de Dada f() = 2 + 2, determine a imegaem inversa de (0, 3) 00. Determine o período de cos 3 Eercícios Desenhe os gráfico das funções seguintes. 0. sen (2), 02. cos(/2), 03. sen, cos, 05. sen, 06. sen, sen, sen, 09. sen. Eercícios Determine a inversa (se eistir) das funções seguintes. 0. 3,. 2, 2. 2, 3., 4. arctg, 5. /, , 7. 2, 8. + log 0 ( + ), Eercício 20. Desenhe o gráfico de f() = arcsen ( sen ) (precisa pensar com calma sobre o fato que seno e arcoseno são uma a inversa da outra claramente quando seno é restrito ao domínio onde é inversível) 2. 2, Eercícios Determine o domínio das funções seguintes: 22. 2, sen, 24., 25. arcsen (+), log( + 3), 28. log arctg ( 2 ), 29. arccos +.,

12 2 Outros Eercícios: Stewart, pág. 78, do núm. ao núm. 20, e 23, 24, 25, 26; pág. 76, faça alguns (são todos importantes). 5. Quarta-feira 3 de março de 203 Como foi dito para mim, o eercício 6 está errado. A versão correta é a seguinte: Sejam dados quatro números reais positivos a, b, c, d. Prove que { a min b d}, c a + c { a b + d ma b, c d { a O símbolo acima min b d}, c denota o mínimo entre a b e c. Analogamente o outro. d Observação: a epressão log (ou seja, sem denotar a base) significará logaritmo em base e. Nos livro é muitas vezes denotado por ln. Eu do contrário usarei a notação log. }. Introdução ao conceito de ite de uma função. Primeiro tipo de ite. Definição. Seja I um intervalo de R e I ou um etremo de I (as duas condições não são necessariamente alternativas). Seja f : I R uma função dada. O número real l é dito ite de f() para que tende para, em símbolos escreve-se f() = l, se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que f() l < ε para cada I, tal que 0 < < δ. Eercícios: prove, usando a definição de ite, que os ites seguintes são corretos = = = / = 0 Observação: os eercícios acima são difíceis; não se preocupe se não conseguir Eercícios: tente justificar o fato que os ites seguinte não eistem não eiste 35. [] não eiste 2 Segundo tipo de ite. Definição 2. Seja f : (a, + ) R uma função dada. O número real l é dito ite de f() para que tende para +, em símbolos escreve-se f() = l, + se, para cada ε > 0, esiste r R tal que f() l < ε para cada (a, + ), tal que > r.

13 3 Eercício 36. Escreva a definição acima no caso análogo onde tende para Eercício 37. Prove, usando a definição de ite, que + = 0. Terceiro tipo de ite. Definição 3. Seja I um intervalo de R e I ou um etremo de I. Seja f : I R uma função dada. Dizemos que + é o ite de f() para que tende para, em símbolos escreve-se f() = +, se, para cada m R, esiste δ > 0 tal que f() > m para cada I, tal que 0 < < δ. Eercício 38. Escreva a definição acima no caso análogo onde o ite é. Eercícios: prove, usando a definição de ite, que os ites seguintes são corretos = Quarto tipo de ite. + 2 = 0 Definição 4. Seja f : (a, + ) R uma função dada. Dizemos que + é o ite de f() para que tende para +, em símbolos escreve-se f() = +, + se, para cada m R, esiste r R tal que f() > m para cada (a, + ), tal que > r. Eercício 4. Escreva a definição acima nos casos análogos onde tende para e o ite é (quantos são os casos?) Eercícios: prove, usando a definição de ite, que os ites seguintes são corretos. 42. = = = = 0 Observação: é importante destacar que a definição de ite não cuida do valor da função no ponto. A função pode não ser definida (como no caso / e no estudo para 0) ou pode ser definida e ter valor diferente do ite, que, de fato, estuda o comportamento da função quando tende para. Por eemplo, dada { + 2 se 4 f() = se = 4 (que, repito, é uma função, não são duas funções), podemos provar que 4 f() = 6 (e não ). Vamos agora apresentar uma lista de ites. São resultados que podem ser provados só através da definição. Não vamos entrar em detalhes. O leitor usará os ites desta lista como ferramenta (junta com outras ferramentas que iremos ver) para abordar ites mais compleos.

14 4 = ; a = a, para cada a > 0, a ; log a = log a, para cada a > 0, a > 0; sen = sen ; cos = cos ; + a = +, se a > ; a = 0, se a > ; log a = +, se a > ; + log a =, se a > ; 0 sen não eiste; ± + a = 0, se 0 < a < ; a = +, se 0 < a < ; log a =, se 0 < a < ; + log a = +, se 0 < a < ; 0 cos = não eiste. ± Teorema (Álgebra dos ites - formas finitas) (sem demonstração) Seja I um intervalo de R e I ou um etremo de I. Sejam f, g : I R duas funções dadas; ou sejam f, g : (a, + ) R ou f, g : (, b) R. Sejam dados os ites Então, f() = l R, e () (f() + g()) = l + m (soma); (2) (f() g()) = l m (diferença); (3) (f() g()) = l m (produto); (4) (f()/g()) = l/m, se m 0 (razão). g() = m R. Os ites = e, dada uma constante real a, a = a podem ser provados só usando a definição. A partir dos dois resultados, todos os ites de polinômios e funções racionais (razões de polinômios), se são das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a álgebra dos ites. 6. Seta-feira 5 de março de 203 Um outra lista de ites que vamos dar sem prova é a seguinte: seja α R fiado e a função α definida in (0, + ). Então: α = α ; + α = +, se α > 0; + α = 0, se α < 0; Observação: o leitor pode observar facilmente que, no caso que α Z, os ites acima podem ser deduzidos sabendo que = e usando a álgebra dos ites no caso do produto. Se o epoente não for inteiro precisa usar a definição para provar os ites acima.

15 5 Eercício 46. Nos casos particulares em que o epoente seja de formas oportunas, o domínio da função α pode não ser itado ao intervalo (0, + ). Analize os vários casos e determine as várias etensões possíveis do domínio. Álgebra dos ites - formas infinitas: resolvíveis e indeterminadas (sem demonstração) Seja I um intervalo de R e I ou um etremo de I. Sejam f, g : I\{} R duas funções dadas; ou sejam f, g : (a, + ) R ou f, g : (, b) R. Temos os casos seguintes: ) se 2) se 3) se 4) se f() = +, e f() =, e f() = +, e f() =, e g() = m R, então g() = m R, então g() = +, então g() =, então (f() + g()) = + ; (f() + g()) = ; (f() + g()) = + ; (f() + g()) = ; Produto: (f() g()) = + nos casos seguintes: 5a) se 5b) se 5c) se 5d) se f() = +, e f() =, e f() = +, e g() = m R, m > 0; f() =, e g() = m R, m < 0; g() = + ; g() = ; (f() g()) = nos casos seguintes: 6a) se 6b) se 6c) se f() =, e f() =, e f() = +, e g() = m R, m > 0; g() = m R, m > 0; g() = ; Quociente: (f()/g()) = + nos casos seguintes: 7a) se f() = +, e g() = m R, m > 0;

16 6 7b) se f() =, e g() = m R, m < 0; 7c) se f() = + ou l > 0, e g() = 0, com sinal positivo em um intervalo ( δ, +δ); 7d) se f() = ou l < 0, e g() = 0, com sinal negativo em um intervalo ( δ, +δ); (f()/g()) = nos casos seguintes: 7a) se 7b) se f() =, e f() = +, e g() = m R, m > 0; g() = m R, m < 0; 7c) se f() = ou l < 0, e g() = 0, com sinal positivo em um intervalo ( δ, +δ); 7d) se f() = + ou l > 0, e g() = 0, com sinal negativo em um intervalo ( δ, +δ); Os casos acima representam as formas resolvíveis porque conseguimos estabelecer uma regra geral. Os casos abaio são as assim chamadas formas indeterminadas. Não temos de fato a possibilidade de escrever uma álgebra dos ites para as formas seguintes. A eistência e o valor dos ites nos casos seguintes depende do eercício: +, 0 (± ), ± / ±, 0/0. Eercícios: calcule os ites seguintes (se eistem) e 54. a Eercício 59. Prove a fórmula seguinte: ( n ) = ( n + n )( ), onde n é inteiro positivo fiado. Procure uma fórmula análoga para a fatoração de n + Outros eercícios: Guidorizzi, pág. 93, núm.,4,5;

17 7 7. Segunda-feira 8 de março de 203 Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo Ecercícios abordados e resolvidos em sala de aula.. Estude a inequação < Prove que a soma de dois números racionais é racional. Prove que a soma de um número racional e um número irracional é irracional. 3. Prove que [] + [y] [ + y] para todo, y R ([] denota a parte inteira de ). 4. Determine a imagem do intervalo (, ) através da função Para abordar o eercício uma técnica possível é a seguinte: use a propriedade do ordenamento dos números reais segundo a qual ac bc se a b e c > 0. Use para provar que 3 (e consequentemente 3 + 2) é uma função crescente. 5. Determine a imagem do intervalo ( 2, ] através da função [ 2] 2 (de novo [ ] denota a parte inteira). 6. Determine a imagem inversa de (0, 5) através da função Escreva f() = 2 + como soma de uma função par e de uma impar. 8. Desenhe o gráfico da função f() = ma{, 2 } e da função g() = ma{, 2 }. 9. Calcule o domínio de arccos Quarta-feira 20 de março de 203 Teorema do confronto. (com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos eercícios das provas) Primeiro resultado. Seja I um intervalo de R e I ou um etremo de I. Sejam f, g, h : I R funções dadas. Suponhamos que f() g() h() para cada. Sejam dados os ites Então, Eercício 60. f() = l, e g() = l. h() = l, onde l R. Em sala de aula foi provado o caso. Prove o caso + ou Segundo resultado. Seja I um intervalo de R e I ou um etremo de I. Sejam f, g : I R funções dadas. Suponhamos que f() g() para cada. Seja dado o ite f() = l R,

18 8 e suponhamos que eista o ite Então, este ite é l. g(). Terceiro resultado. Seja I um intervalo de R e I ou um etremo de I. Sejam f, g : I R funções dadas. Suponhamos que f() g() para cada. Seja dado o ite Então, Eercício 6. (qual pode ser?). f() = +. g() = +. Prove este terceiro resultado. Em seguida, dê o enunciado no outro caso possível Eercício 62. Prove, usando a definição, que 0 = 0. Eercício 63. Prove, usando a definição, que + n = +, para cada n, n N. Eercício 64. (díficil) Prove, usando a definição, que + sen não eiste (dica: sen tem infinitas vezes os valores e. Ou seja, imagens con distância 2. Se o ite eistisse, chamamos l R e se pegássemos ε <, sen deveria ficar, definitivamente, dentro de uma faia de largura < 2... acerte os detalhes). Eercício 65. Usando o comportamento de sen, tente entender (e desenhar o gráfico) o comportamente de sen (/) quando, em particular, é próimo de zero. Aplicação do teorema do confronto. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos eercícios das provas): se f() é itada e g() = 0, então, (f()g()) = 0. Eercícios: calcule os ites seguintes (se eistem) 66. ( ) ( sen + ) cos sen cos 69. ([] + ) 7. 2 ( + 2)( 3) π + cos π / ( )

19 ( ) sen ( ) Teorema (ite de funções compostas sem prova). Seja f() dada e suponhamos que eista o ite f() = l onde l R ou l = ±. Seja g() uma outra função dada e suponhamos que eista o ite g() = m l onde m R ou m = ±. Suponhamos que a composição g(f()) seja bem definida e que, se l R, f() l para e próimo de. Então, g(f()) = m. Observação: parece estranha a hipótese f() l para e próimo de. Todavia, se não for verificada a condição, o ite da composição pode não ser m, como no caso seguinte: { 0 se 0 f() = 0, R, g() = se = 0. É fácil ver que 0 g(f()) =, enquanto 0 g() = 0. Uma condição que pode substituir a condição acima é g(l) = m, se m e l for reais. Esta condição será encontrada no caso das funções contínuas. Eemplos de ites que podem ser provados usando o teorema acima: + 2 +, 0 sen 2 Eercício 86. 2, 0 sen 2 3, 0 cos. Calcule os ites acima, mostrando, nos detalhes, como é usado o teorema. Definição (ites direito e esquerdo) Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, I e f : I R uma função dada. Denotamos por g : (, b) R, g() = f() a restrição de f a (, b). Dizemos que l R ou l = ± é o ite direito de f() para que tende para, em símbolos é se Analogamente, denotamos por f() = l, + h : (a, ) R, g() = l. h() = f() 9

20 20 a restrição de f a (a, ). Dizemos que l R ou l = ± é o ite esquerdo de f() para que tende para, em símbolos é se f() = l, h() = l. Teorema (sem prova) Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, I e f : I R uma função dada. Então, f() = l se e somente se f() = l = f(). + Outros eercícios: Guidorizzi, pág. 94, núm. 4, 5, 8; pág. 04, núm.,2,3; pág. 08, faça alguns; pág. 2/3, faça alguns; pág. 7, faça alguns; pág. 25/6, faça alguns. Stewart, pág. 2/3, núm. de 39 a 44, de 45 a Seta-feira 22 de março de 203 Eercício 87. Diga se eiste o ite seguinte: + cos π π. Eercício: calcule, se eistem, os ites seguintes: 88. ( sen + ) + [] sen cos ) 92. Diga qual é, entre as seguintes, a definição correta do ite 4 f() = 7. a) Para cada λ e µ positivos, se 4 < µ e 4 então, f() 7 < λ. c) Para cada µ > 0 eiste λ > 0 e eiste tal que 4 < λ e f() 7 < µ. e) Para cada µ > 0 eiste λ > 0 tal que se 4 < λ e 4 então f() 7 < µ. b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0, se 4 < µ então, f() 7 < λ. d) Para cada µ > 0 eiste λ > 0 tal que se 4 < λ e λ então, f() 7 < µ. f) Nenhuma das respostas acima é correta. 93. Suponhamos que f() =. + Diga qual, entre as afirmações seguintes, é correta.

21 2 a) Se > 0 então f() < 0. b) Eiste ε > 0 tal que f() < 0 para cada > ε. c) Para cada ε > 0 eiste η > 0 tal que para > η temos f() > ε > 0. d) Nenhuma das respostas acima é correta. 94. Consideramos a proposição seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I, seja 0 I fiado. Suponhamos que f() g() para cada e que f() = 0. 0 Então, g() = 0. A proposição é: 0 a) Verdadeira se colocamos a hipótese suplementar g() 0, I. c) Verdadeira sem necessidade de outras hipóteses suplementares. e) Falsa, também colocando as hipóteses suplementares acima. b) Verdadeira se colocamos a hipótese suplementar g() 0, I. d) Verdadeira se colocamos a hipótese suplementar f( 0 ) = g( 0 ) = Dada f : R R, suponhamos que f() =. Então: + a) f é decrescente. b) + f(2 ) = +. c) m 0, temos f() 0 se m. d) m 0 e k 0 f() k se m. e) f() = + f) Nenhuma das respostas acima é correta. 96. Dada f : N N, f() = + diga quais (podem ser mais que uma) das afirmações são corretas. a) f é injetora. b) f é sobrejetora. c) f é itada inferiormente. d) A notação f() = + non faz sentido porque o domínio é N e a variável a ser usada deve ser denotada por n. Eercício 97. Procure uma f : R R que não seja crescente, mas que verifique f() = +. Esta função deve ser definitivamente crescente? Isto é, eiste r + tal que f é crescente em (r, + )? Definição de função contínua. Sejam I intervalo de R, f : I R uma função dada e I dado. f é dita contínua em se f() = f(). f é dita contínua em I (ou, simplesmente, contínua) se é contínua em todos os pontos de I. O conceito de continuidade de uma função é pontual. Ou seja, dizemos que uma função é contínua em um ponto. Outros conceitos, já encontrados, são só globais: invertibilidade, itação de uma função, monotonia. Não faz sentido, por eemplo, dizer que uma função é itada (ou inversível, ou crescente) em um ponto.

22 22 Eemplos: diretamente da definição e de alguns ites das funções elementares, já vistos nas aulas anteriores (e dados sem prova) segue que são contínuas: os polinômios P (), as funções racionais P ()/Q() nos pontos tais que Q() 0, as raizes, as funções trigonométricas, as funções eponenciais e logarítmicas. Definição: se f : I R é descontínua em I, dizemos que é um ponto de descontinuidade. Portanto não faz sentido dizer que é um ponto de descontinuidade para f se não pertence ao domínio da função. Eercício 98. Determine em quais pontos são contínuas as funções seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade): { { / se se 2 f() = /, f() = g() = f() = sen 0 se = 0. 2 se < 3. { { cos se > π + 3 se > 2 se > g() = f() = g() = se = se < π. 2 2 se <. 2 se <. Eercício 99. Determine em quais pontos são contínuas a função sinal, a função parte inteira e a função de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade). Teorema (Álgebra das funções contínuas sem prova). Sejam f, g : I R contínuas em um ponto I. Então, são contínuas em : f + g, f g, f g, f/g se 0. Teorema (sem prova). Seja f : I R contínua em I. Seja J um intervalo que contém Im f e seja g : J R contínua em y = f(). Então, g f é contínua em. Eercício 200. Determine em quais pontos são contínuas as funções seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade): { / se { se 0 sen (/) se 0 f() = f() = + f() = 0 se = 0. 2 se < 0. 0 se = 0. + f() = 2 se 0 f() = [] se = 0. Eercício 20. (muito díficil) Seja f : (0, ] R definida como { /n se = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m n) f() = 0 se é irracional. Prove que f é contínua nos pontos irracionais de (0, ] e discontínua nos racionais. Outros eercícios: Guidorizzi, pág. 8, núm. de 5 a 2; e 27. Stewart, pág. 33, núm. de 5 a 20.

23 23 0. Segunda-feira de abril de 203 Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo Ecercícios abordados e resolvidos em sala de aula.. Calcule (se eistir) + sen + cos Calcule (se eistir) + 3. Calcule (se eistir) sen Seja f : R R uma função que verifica a propriedade seguinte: f() =. Diga se alguma + ) das afirmações seguintes é verdadeira: a) f() < 0 para todo real. b) f() < 0 para todo positivo. c) eiste ε > 0 tal que f() < 0 para todo > ε. 5. Determine os pontos onde f() = / é contínua onde não é contínua e os pontos de descontinuidade. (Dizer que é um ponto onde f não é contínua é a mesma coisa que dizer que é um ponto de descontinuidade?) 6. Diga se f() = + 2 admite um prolongamento contínuo na origem Calcule (se eistir) +. Quarta-feira 3 de abril de 203 Teorema da conservação do sinal para as funções contínuas. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos eercícios das provas) Sejam I intervalo e f : I R contínua em I. Suponhamos f() 0. Então eiste δ > 0 tal que f() tem o mesmo sinal de f() para todo ( δ, + δ) I. Teorema do anulamento para as funções contínuas. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos eercícios das provas) Seja f : [a, b] R contínua (em todo o domínio). Seja f(a)f(b) < 0. Então, eiste c (a, b) tal que f(c) = 0. Uma conseqüência do teorema do anulamento é o resultado seguinte. Teorema dos valores intermediários para as funções contínuas. (sem prova) Seja I intervalo (qualquer) e f : I R contínua. Então, f atinge todos os valores entre inf f e sup f Lembramos que inf f e sup f são, respectivamente, o ínfimo e o supremo de Im f. O teorema diz que o intervalo aberto (inf f, sup f) é contido em Im f. Não podemos saber, em geral, se [inf f, sup f] = Im f (ou um dos etremos pertence à imagem), porque não sabemos a priori se f possui ḿaimo ou mínimo. Uma conseqüência (corolário) imediato do teorema é que, dada uma função contínua definida em um intervalo, a imagem é um intervalo.

24 24 Atenção ao fato que se o domínio não é um intervalo, a imagem não necessariamente é um intervalo. Uma aplicação importante do teorema dos valores intermediários é a eistência da raiz quadrada de um número positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema à função 2 definida em (0, + ) (lembrando a definição correta de raiz quadrada). Uma outra aplicação é a eistência de, pelo menos, uma solução real de qualquer equação polinomial de grau impar. Devido ao fato que, se P () é um polinômio de grau impar, + P () = + se o coeficiente da potência de grau máimo é positivo (, se negativo) e P () = (+, se aquele coeficiente é negativo). Podemos construir algoritmos para aproimar a raiz quadrada de um número positivo, como para aproimar as soluções reais de equações polinomiais ou de equações mais complicadas (e. tg = p, onde p é dado). Eercícios: 202. Construa, como feito em sala de aula, algoritmos para aproimar a raiz quadrada de um número positivo e para determinar uma solução (aproimada) de uma equação polinomial de grau impar (escolha o polinômio e o erro na aproimação) 203. Prove que a equação 3 + = a possui uma e só uma solução real para cada a R dado Seja f : R R contínua. Suponhamos que 5 < f() < + para cada R. Prove que a equação f() = 0 possui pelo menos uma solução Procure Im f, onde f é a função do eercício acima Prove que a equação = 0 possui pelo menos uma solução real. * * * É interessante a relação entre continuidade e invertibilidade de uma função. É importante lembrar (ou observar, se não lembra) que é óbvio que uma função estritamente monótona é inversível. O vice-versa é falso. Eercício 207. Consideramos as funções seguintes: f() = { se [0, ) se [2, 3] g() = { se [0, ) 3 se [, 2] h() = { se [0, ) 5 se [2, 3] Desenhe o gráfico de f, g e h. Determine se são contínuas, inversíveis, monótonas, e se o domínio é um intervalo. Se são inversíveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se são contínuas, monótonas, e se o domínio é um intervalo. Em particular, a função f do eercício é contínua e inversível, mas a inversa é descontínua. A h é contínua e inversível, mas não é monótona. Esta falta de propriedade acontece porque o domínio não é um intervalo. Teorema (monotonia de uma função inversível). contínua e inversível. Então é monótona. (Sem prova) Seja I intervalo, f : I R O resultado mais importante é o seguinte (cuja prova é baseada no teorema acima)

25 25 Teorema (continuidade da função inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I R contínua e inversível. Então a função inversa f é contínua. São contínuas, como consequência do teorema acima, as funções trigonométricas inversas: arcsen, arccos e arctg. Outros eercícios: Guidorizzi, pág. 40/, faça alguns. Stewart, pág. 33, núm. 35,36,37,38,39,45,47,48,49,50, Seta-feira 5 de abril de 203 Concluímos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso. Lembre que, dada f : A R, onde A é um conjunto qualquer, o máimo de f é definido como o máimo da imagem de f, se eiste. Enquanto o mínimo de f é definido como o mínimo da imagem de f (se eiste). Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma função f : [a, b] R contínua possui máimo e mínimo. Eercícios: 208. Seja f : [0, ] R, f() = [] ([] é a parte inteira de ). Prove que f não possui máimo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada? 209. Seja f : [0, ) R, f() =. Prove que f não possui máimo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada? 20. Seja f : [0, + ) R, f() =. Prove que f não possui máimo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada? 2. Procure emplos de funções que não respeitam algumas das hipóteses do Teorema de Weierstrass, mas que possuem máimo e mínimo. Pode ser provado (não é um eercício fácil) que a função f() = é itada. Pelo teorema dos ites das funções monótonas, o ite ( + ) + eiste e é finito. Chamamos e este valor. Se chama número de Neper. ( + ) é crescente em [, + ) e Eercício 22. Prove que e. De fato, provaremos em seguida, agora não é possível, que 2 < e < 3. ( Eercício 23. Determine o domínio de + ). Podemos provar (não é fácil) que ( + = e. )

26 26 Usando o ite das funções compostas, podemos provar que [( log + ) ] [( =, e + log + ) ] =. O ite das funções composta, já visto na página??, é um resultado impostante e que apresenta problemas. Agora, com o conceito de continuidade, podemos reformula-lo em termos mais simples. Sejam f() e g(y) duas funções dadas e suponhamos que a composição g(f()) seja bem definida em um certo intervalo (vamos fazer as coisas mais simples). Suponhamos que g seja contínua. Suponhamos que eista o ite f() = l onde l R ou l = ±. Seja g() uma outra função dada e suponhamos que eista o ite Então, g() = m l onde m R ou m = ±. g(f()) = m. Voltando ao ite (pegando só o primeiro dos dois) log + [( + ) ], usando o ite das funções compostas, log = g enquanto f() = ( + = e, + ) ( + ). Sabendo que e usando a fórmula acima temos y e log y =. Aqui estamos usando o fato que log é uma função contínua. A fórmula para calcular o ite de funções compostas pode ser vista come uma fórmula de troca de variável. No sentido seguinte. Estudamos de novo o ite Definimos a nova varável y = [( + [( + ) ]. log + ) ]. Sabemos que y e quando +. Portanto o ite acima se torna igual a y e log y. Que sabemos ser porque log é contínua. A troca de variável, em geral, pode ser usada se a função é contínua. Sabendo que [( + ) ] ( = log + ), temos ( log + ) =. + Trocando a variável, e pondo y = /, vemos que y tende para 0 (com valores positivos) quando tende para +. Portanto, segue, log( + y) = y 0 + y

27 27 Usando o ite [( log + ) ] =, e desenvolvendo os passos análogos aos anteriores, temos (prove como eercício) Ou seja log( + y) = y 0 y log( + y) = y 0 y Eercício 24. Prove, com uma oportuna troca de variável, Eercícios: e = Determine as soluções de 2 2. Em seguida, estude a imagem da função f() = 2 2, definida em [0, + ). Use, agora, a continuidade da função e os teoremas sobre as funções contínuas. Podemos responder eaustivamente o a resposta tem que ser incompleta? 26. Determine o domínio de 2 sen +. A função é crescente? Calcule, se eistem, os ites seguintes: 0 ( + + 2, sen 0 ( sen n + 2 ) 28. Determine n N tal que o ite seguinte seja finito e não nulo: Desenhe o gráfico de 2 6. Em seguida, conhecendo o gráfico de log, desenhe mais ou menos aproimadamente o gráfico de f() = log( ). Determine em quais intervalos f é crescente e em quais é decrescente. Determine, enfim, a imagem de f restrita ao intervalo [ 4, 4]. (Sugestão: sabemos que y = 2 6 é a equação de uma parábola. Uma propriedade geométrica de uma parabola genérica y = 2 + a + b diz que, se a curva corta o eio X em dois pontos α e β, ela atinge o mínimo no ponto médio entre α e β) ) 3. Segunda-feira 8 de abril de 203 Ecercícios em sala de aula e sugeridos para o trabalho em casa Desenhe o gráfico da função f() = 2 6. Para este desenho usamos o conhecimento geral do comportamento das parábolas e o fato de que o mínimo (ou o máimo) são obtidos nos pontos médios entre os dois pontos de anulamento de f. Sabendo onde uma parábola é crescente e onde é decrescente, determine os intervalos onde é crescente e onde é decrescente a função g() = f(). Prove o fato geral de que se l() for uma função crescente, então l() é decrescente. Desenhe o gráfico de g. Seja h() = log( + g()). Determine os intervalos onde h é crescente e onde é decrescente, usando (e provando) o fato geral seguinte. A composição de duas funções crescentes é uma função crescente. 22. Determine as soluções de >.

28 Determine as soluções de + 2 < Determine o supremo e o ínfimo do conjunto {/n : n N, n } Seja f() =, definida em (0, ). Determine se é crescente, decrescente ou nenhuma da duas. Tente eplicar os vários detalhe, começando pela prova do fato de que / é decrescente em (0, ). Em seguida, calcule a imagem de f. Use o fato de que f é contínua e o teorema dos valores intermediários Determine o domínio das funções seguintes: 2, , 3, ( ) 3/2, 2, log( + 3), log( arctg ), arcsen ( + ) Escreva a inversa (e o domínio dela) se eistir. Se a inversa não eistir, determine subconjuntos do domínio onde é inversível. 3, arctg, /, 2, + 2, Quarta-feira 0 de abril de 203 Eercícios para preparação da prova Determine o supremo e ínfimo do conjunto A = {/n, n N, n }. Determine, depois, se o conjunto tem máimo e mínimo Calcule 3 cos + 5 cos(/) e 3 cos + 5 sen (/) Calcule Determine para quais valores de a é contínua a função seguinte: { e se > 0 f() = 2 + a se 0 5. Seta-feira 2 de abril de 203 Prova P 6. Segunda-feira 5 de abril de 203 Introduzimos agora a noção de função derivável e de derivada de uma função.

29 29 Seja I um intervalo de R, f : I R uma função dada e 0 I dado. Variando m R, as equações y = f( 0 ) + m( 0 ) representam as retas secantes ao gráfico de f no ponto ( 0, f( 0 )) (só ecluindo a reta vertical que tem equação = 0 ). Seja agora I e o correspondente ponto no gráfico de f, (, f()). A razão f() f( 0 ) 0 se chama razão incremental de f, relativa a 0 e e é o coeficiente angular da secante por ( 0, f( 0 )) e (, f()). Se eiste o ite desta razão quando 0, este ite dá, intuitivamente, o coeficiente angular de uma reta posição ite das secantes (quando 0 ). Definição 5. Se eiste e é finito o ite f() f( 0 ) = l, 0 0 então dizemos que f é derivável em 0 e o número l se chama derivada de f em 0. a derivada de f em 0 (se eiste) é denotada, normalmente, por um dos símbolos seguintes: O primeiro é aquele mais comun. f ( 0 ), df d ( 0), Df( 0 ), Df() =0. Uma outra forma de escrever a razão incremental e portanto o ite acima é obtida pondo 0 = h. Temos f( 0 + h) f( 0 ) f( 0 + h) f( 0 ) e, h h 0 h A noção de derivada é pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma função em um ponto. Dada f : I R, se f é derivável em todos os pontos de I, dizemos que f é derivável e fica bem definida uma nova função, a derivada de f, f (), definida em I. Se f é derivável 0, a reta de equação y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) é definida como a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, f( 0 )). Atenção: a precedente é a definição de reta tangente; outras possíveis definições, como a reta que encosta o gráfico só em um ponto, são corretas só em casos muito particulares, por eemplo a circunferência. 0 Reta secante e reta tangente em ( 0, f( 0)). Eercício 23. Na parábola de equação y = 2 procure um ponto onde a reta tangente à parabola forma um ângulo de π/4 com o eio. 0

30 30 Eercício 232. Um corpo cai de uma altura de 5 mt, sujeto só à força peso (desconsiderando o atrito do ar). A função espaço dependendo do tempo é s(t) = 2 gt2, onde g é a constante gravitacional terrestre, e vale cerca 9, 8 mt/sec 2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo. Derivadas de algumas funções elementares. FUNÇÃO f() DERIVADA c (função constante) 0 n (n N, n ) sen cos e Eercício 233. f () n n cos sen e Prove os resultados da tabela acima (como feito em sala de aula). Se α > 0 e > 0 a função f() = α é derivável em todo (0, + ) e f () = α α, analogamente ao caso n com n inteiro. Só que neste caso a prova é mais difícil e omitida. Eercício 234. Prove que não é derivavel em zero. Eercício 235. Determine em quais pontos é derivável. Eercício 236. Dados os gráficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os gráficos das derivadas. a b c a c d a c d