Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites

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1 Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores que 1 (Esquerda), tem valores respectivos para y. Figura 1. Representação da aproimação de um pela direita e pela esquerda. Figura 2. Valores de y para aproimação de pela direita e pela esquerda. Nota-se que a medida que aproima-se de 1, y aproima-se de 3. Logo, quando tende a 3 ( 1),y tende a 3 (y 3). Assim pode-se dizer que o ite da função para 1 é igual a 3. De forma genérica: (2 + 1) = 3 1 f() = b a

2 Definição: Uma função f() tem ite b quando tenda a a, se é possível tornar f() arbitrariamente próimo de b, desde que adota-se valores de, a suficientemente próimo de a (por ambos os lados de a). 7.2 Propriedades 1ª) a [f() ± g()] = a f() ± a g() O ite da soma é a soma dos ites. O ite da diferença é a diferença dos ites. 1 [ ] = = = ª) a [f() g()] = a f() a g() O ite do produto é o produto dos ites. Eemplo π [33 cos ] = 3 3 cos = 3π 3 cos π = 3π 3 π π 3ª) a f() g() = a f() a g() O ite do quociente é o quociente dos ites desde que o denominador não seja zero. cos cos = = cos = 1 1 = 1 4ª) a f() n = ( a f() n 1 (2 + 1) 3 = 1 ( 2 + 1) 3 = ( ) 3 = 8

3 n n 5ª) a f() = a f() = = = ª) a [ln f()] = ln [ a f()], para a f() > 0 [ln e 2 ] = ln [ 2 ] = ln e 2 = 2 e 7ª) a [sen f()] = sen[ a f()] 1 [sen (2 + 3)] = sen[( 2 + 3)] = sen 4 1 8ª) a e f() = e a f() 1 e2 +3 = e = e Limites laterais Definição Limite à direita: Se f() tende para L 1 quando tende para a através de valores maiores que a diz-se que L 1 é o ite de f() quando tende para a pela direita e indica-se por a f() = L 1. Definição Limite à esquerda: Se f() tende para L 2 quando tende para a através de valores menores que a diz-se que L 2 é o ite de f() quando tende para a pela esquerda e indica-se por a f() = L 2. O ite de f() para a eiste se, e somente se, os ites laterais à esquerda e a esquerda são iguais, ou seja: Se a + f() = a f() = b, então a f() = b

4 Considere a função Determinar 2 f(), 2 + f(). f() = { 2 1 se se > 2 f() = 2 1 para 2, ou seja a esquerda de 2 f() = 2 7 para > 2, ou seja a direita de -2 Para ite a esquerda de -2 Para ite a direita de -2 2 (2 1) = ( 2) 2 1 = 3 2 +(2 7) = 2. ( 2) + 7 = 3 Como os ites laterais são iguais, eiste um ite para função. 7.4 Continuidade Dizemos que uma função f() é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas: a) Eistir f(a) b) Eistir a f() c) a f() = f(a) Verificar se a função abaio é continua em = 2 Verificar se 2 f() = f(a). 7 6 se < 2 f() { 2 2 se 2 Inicialmente observa-se que f() = 2 2 para 2, assim f(2) = 8. Agora calcula-se os ites laterais, logo: 2 + f() = = = 8 e f() = 7 6 = = f() = f(2), portanto, f() é contínua em = 2

5 7.4.1 Propriedades das funções contínuas Se f() e g() são contínuas em = a, então: a) f() ± g()é contínua em a b) f() g()é contínua em a c) f() é contínua em a g() Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios: Polinômios Funções racionais Funções raízes Funções trigonométricas inversas Funções trigonométricas Funções eponenciais Funções logarítmicas 7.5 Limites infinitos Conforme sabemos, a epressão ( tende para infinito) significa que assume valores superiores a qualquer número real e ( tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que assume valores menores que qualquer número real. + f() = 0 ou f() = 0, ou seja, a medida que aumenta ou diminui respectivamente, y tende a zero e o ite é zero. 0 + f() =, ou seja, quando tende a zero por valores maiores que zero, y tende ao infinito e o ite é infinito. 0 f() =, ou seja, quando tende a zero por valores menores que zero, y tende para menos infinito = +, pois a medida que tende a zero por valores maiores que 0, y tende a infinito.

6 Tabela 1. Demonstração dos valores de y a medida de que tende a zero. y = ,5 2 0,1 10 0, , Limites eponenciais Considere o ite f(), em que f() = (1 + 1 ), logo: (1 + 1 ) = e Em que e representa a base dos logaritimos ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproimado é 2, Tabela 2. Representação de y a medida que tende ao infinito. y = (1 + 1 ) ,25 3 2, , , , ,7181

7 7.7 Teorema do Confronto Se f() g() h() quando está próimo de a, (eceto possivelmente em a) e os ites f e g, ambos eistem quando tende a a, então: f() = h() = L a a g() = L a 1. Determine o ite infinito: Lista de Eercícios Limite: a) b) c) 1 2 ( 1) 2 d) 5 e ( 5) 3 e) 3 + ln( 2 9) f) π cot g) g) Calcule os ites a seguir: a) 5 ( ) b) c) d) g) 0 (3+) 3 9 e) g) 0 t Calcule o ite de g(), quando tende a 1,onde: 4. Demostre que: a) 0 = 0 b) 0, não eiste c) 0 2 sen 1 = se 1 g() = { π se = 1

8 5. Demonstre que a função f() = é contínua no intervalor [ 1,1] 6. Calcule o ite, se eistir: a) 3 b) t 1 t 4 1 t c) d) h 0 (+h) 3 3 h 7. Encontre valores de a e b de forma que f seja continua em toda parte: 8. Calcule os ites abaio: 2 4 se < 2 f() { 2 a 2 b + 3 se 2 < 3 2 a + b se 3 a) e 1 b) sen c) ( 2 ) d) e) f) ( )