CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof

2 AULA 0 - FUNÇÕES. - Conceito matemático de função Definição : Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Definição : Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos. Definição : Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B. (Eq.) A B {(, y )/ A e y B }. Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B, dá-se o nome de relação r de A em B a qualquer subconjunto de A B. (Eq.) r é relação de A em B r A B. Eemplo: Sejam os conjuntos A {0,,,}, B {0,,4,6,8,0} e a relação r de A em B, tal que y, A e y B. Escrever os elementos dessa relação r. Como A : 0 y 0 (0,0) A B ; y (,) A B ; y 4 (,4) A B ; y 6 (,6) A B. Então, r {(0,0), (,), (,4), (,6)}. A 0 r 0 B [Fig.]: Representação da relação por diagrama. y [Fig.]: Representação da relação por sistema cartesiano. 0

3 Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B, o conjunto r é formado pelos pares (, y ) em que o elemento A é associado ao elemento y B mediante uma lei de associação (no caso, y ).. - Definição de função Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B. Nos eercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B. Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação. Eemplos: ) Dados os conjuntos A {0,5,5} e B {0,5,0,5,0,5}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula y +5, com A e y B. 0 y 5 (0,5) A B ; 5 y 0 (5,0) A B ; 5 y 0 (5,0) A B. A B Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. A cada elemento de A está associado um único elemento de B. Neste caso, a relação de A em B epressa pela fórmula y +5 é uma função de A em B. ) Dados os conjuntos A {,0,,5} e B {0,,5,0,0}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula y, com A e y B. 0 y 0 (0,0) A B ; y (,) A B ; 5 y 5 (5,5) A B. A B O elemento de A não está associado a nenhum elemento de B. Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B.

4 ) Dados os conjuntos A {,,,} e B {,,6,9}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula y, com A e y B. y 9 (,9) A B ; y (,) A B ; y (,) A B ; y 9 (,9) A B. A - - Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. A cada elemento de A está associado um único elemento de B. Neste caso, a relação de A em B epressa pela fórmula y é uma função de A em B. 6 9 B 4) Dados os conjuntos A {6,8} e B {,,}, seja a relação de A em B epressa pela 4 fórmula y, com A e y B. A B 6 y ou y (6, ) e (6,) A B ; 8 y (8,) A B. Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. O elemento 6 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B. Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B.. Notação de Função Quando temos uma função de A em B, podemos representá-la da seguinte forma: f : A B (lê-se: função de A em B ) a y (lê-se: a cada valor de A associa-se um só valor y B ) A letra f, em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g, h, etc. Numa função g : R R, dada pela fórmula y 8, podemos também escrever g ( ) 8. Neste caso, g ( ) significa o valor de y quando, ou g ( ) 6.

5 .4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) a y f ( ) (a cada elemento A corresponde um único y B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D. O domínio da função também chamado campo de definição ou campo de eistência da função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável. O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD. É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Cada elemento do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im. Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma. f : A B a y f ( ) D A, CD B, Im { y CD / y é correspondente de algum valor de }. Eemplos: ) Dados os conjuntos A {,,0,} e B {,0,,,,4}, determinar o conjunto imagem da função f : A B definida por f ( ) +. f ( )( )+ f ( )( )+ f (0)(0)+ f ()()+4 Im {,,,4} A B ) Dada a função f : R R definida por f ( ) a +b, com a,b R, calcular a e b, sabendo que f ()4 e f ( ). A lei de formação da função é f ( ) a +b ou y a +b. f ()4 e y 4 4 a +b (i) f ( ) e y a ( )+b (ii) De (i) e (ii), temos: a + b 4 a + b b b e a a e b f ( ) +. 4

6 .5 Função Composta Tome as funções f : A B, definida por f ( ), e g : B C, definida por g ( ). Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g. f : A B : a cada A associa-se um único y B, tal que y. g : B C : a cada y B associa-se um único z C, tal que z y. Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A C, que faz a composição entre as funções f e g : A B C g f y z f. [Fig. ]: Função composta h : A C : a cada A associa-se um único z C, tal que z y ( ) 4. h Essa função h de A em C, dada por h ( )4, é denominada função composta de g e De um modo geral, para indicar como o elemento z C é determinado de modo único pelo elemento A, escrevemos: z g ( y ) g ( f ( )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.) ( g o f )( ) g ( f ( )) Eemplos: ) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( ) + e g ( ) Determine: a) f ( g ( )). f ( g ( )) f ( ) + f ( g ( )). b) g ( f ( )). g ( f ( )) g ( +)( +) g ( f ( )) +4. ( + +) c) Os valores de para que se tenha f ( g ( )) g ( f ( )). f ( g ( )) g ( f ( ))

7 ) Sendo f ( ) e f ( g ( ))6 +8, determine g ( ). Como f ( ), então f ( g ( )) g ( ). Como f ( g ( ))6 +8, então g ( ) g ( ) 6 +8 g ( ) g ( ) g ( ) +..6 Função Inversa Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições abaio:. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio. Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa f se for bijetora..6. Determinação da Função Inversa Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa. Para isso trocamos a variável por y na lei que define a função e em seguida isolamos o y, obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida. Eemplo: ) Obter a lei da função inversa f da função f dada por y +. y + função f. y + trocando a variável por y e y por. y isolando y. Então, y é a lei da função inversa da função dada por y +. Logo: f ( ) + e f ( ) ) Construir os gráficos das funções f e coordenadas. f do eercício anterior, num mesmo sistema de f ( ) f ( ) Note que os gráficos das funções f e f são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do o e o quadrantes. 4 y f f - 6

8 ) Determinar a função inversa g da função g ( ) + 5 y função g. y + 5 y trocando a variável por y e y por. ( y ) y +5 isolando y. y y 5 y ( ) y , cujo domínio é D R. Logo, g : R R + 5 dada por y é a função inversa procurada. AULA 0 EXERCÍCIOS ) Seja a relação de A {0,, } em B {0,,,, 4, 5} definida por g() 4 +. Faça o diagrama de g e verifique se g é uma função de A em B. Em caso afirmativo escreva o conjunto imagem. ) Seja a função f de D {,,, 4, 5} em R definida por f() ( )( 4). Determine o seu conjunto imagem. ) Sejam f e g funções reais definidas, para todo o número real não nulo, por: 5 f ( ) 8 + ( ) e 5 g ( ) ( + ) Se a e b são números reais distintos tais que f(a) g(a) e f(b) g(b), calcule a + b 4) Considere a função f() real, definida por f() 4 e f( + ) f() 5. Determine o valor de f(0) 5) Determine o domínio das seguintes funções: a) f ( ) 4 5 b) f ( ) c) y + 7 d) f ( ) ) Sendo f ( ), e g ( ) 4, ache o valor de f ( g()) + g f. 7) Se f ( ), qual o valor de para que f(f())? + 6 8) Dada a função f ( ) com 5. 5 calcule: a) f - () b) f - (4) Respostas: ) sim, Im{0, } ) Im {-, 0, } ) 4) 9 5) a) D R b) D R {-, } c) D R D R < < 4, e, d) { } 6) 9 7) ) a) b) 7

9 AULA 0 - FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja formulação matemática é epressa por um polinômio.. - Função polinomial do o grau A função polinomial do o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio de grau. Representação da função polinomial do o grau: independente. Eemplo: f ( ) a +b, com a,b R (a 0). a e b são os coeficientes e a variável Em uma função polinomial do o grau, y f ( ), sabe-se que f ()4 e f ( )0. Escreva a função f e calcule f. Se f é polinomial do o grau, então podemos escrever: y a +b. Usando os dados do problema: f ()4 e y 4. Então, a +b 4 a +b 4 (i). f ( )0 e y 0. Então, a ( )+b 0 a +b 0 (ii). Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a + b 4 a + b 4 (ii) a + b 0 ( ) a b 0 Se a, então +b 4 b 6. A função f é dada por f ( ) +6. Cálculo de f : f A função é f ( ) +6 e f 7. a 6 a.. - Função linear Seja a função polinomial do o grau f ( ) a +b. No caso de b 0, temos f ( ) a, e ela recebe o nome especial de função linear. Obs.: Se, em uma função linear tivermos a, teremos f ( ) ou y, que se dá o nome de função identidade. 8

10 .. Gráfico de uma função polinomial do o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do o grau, atribuímos valores do domínio à variável e calculamos as respectivas imagens. Eemplo: Construir o gráfico da função real f dada por y. y Par ordenado 5 (, 5) (, ) 0 (0, ) (,) (,) 5 (,5) 5 4 y Definição 9: O gráfico da função linear y a (a 0) é sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. Definição 0: O gráfico da função polinomial do o grau y a +b (a 0) intercepta o eio das ordenadas no ponto (0,b )... Determinação de uma função a partir do gráfico Nos eercícios abaio, determine a lei de formação da função f ( ) a +b. Eemplo: ) Determine a lei de formação da função f, cujo gráfico cartesiano é: 5 4 y

11 Sabendo-se que y a +b, do gráfico, temos que: e y a ( )+b a +b (i). e y a ()+b a +b (ii). (i) a + b (ii) a + b b Se b, então a +b a + a Logo: A função é f ( ) +. b ) Determine a lei de formação da função f, cujo gráfico cartesiano é: 5 4 y Sabendo-se que y a +b, do gráfico, temos que: e y a ()+b a +b (i). e y a ()+b a +b (ii). (i) a + b ( ) a b (ii) a + b a + b a a Se a, então +b b 4 Logo: A função é f ( ) Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do o grau Seja f a função polinomial do o grau definida por f ( ) a +b. Podemos determinar que: i) A função f é crescente se o coeficiente a >0; ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0. Eemplo: 0

12 Construir os gráficos das funções f e g do o grau a seguir: i) f ( ) + ii) g ( ) + 5 y 5 y i) Aumentando os valores atribuídos a, aumentam também os valores correspondentes da imagem f ( ). ii) Aumentando os valores atribuídos a, diminuem os valores correspondentes da imagem g ( ) Estudo do sinal da função polinomial do o grau Definição : Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de temos f ( )>0, f ( )<0 ou f ( ) Zero de uma função polinomial do o grau Definição : Denomina-se zero ou raiz da função f ( ) a +b o valor de que anula a função, isto é, torna f ( )0. Definição : Geometricamente, o zero da função polinomial do o grau f ( ) a +b, a 0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eio. Eemplo: Dada a lei de formação da função y 4, construir o gráfico e determinar os valores reais de para os quais: a) y 0; b) y >0 e c) y < y Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. O zero da função é: Logo, a reta intercepta o eio no ponto de abscissa. A solução do problema é: a) f ( )0 { R ; }; b) f ( )>0 { R ; < }; c) f ( )<0 { R ; > }.

13 ..5. Quadro de sinais da função polinomial do o grau f ( ) a +b, a 0 Zero da função: a +b 0 a b a >0 a <0 b a b a f( )<0 b a f( )>0 f( )>0 b a f( )<0 f ( ) 0 a b f ( ) 0 a b f ( )> 0 > a b f ( )> 0 < a b f ( )< 0 < a b f ( )< 0 > a b. Inequações do o grau Definição 4: Denomina-se inequação do o grau na variável toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: a +b 0; a +b >0; a +b 0; a +b <0. com a, b R e a 0. Eemplo: Verificar se 4( ) ( +) é uma inequação do o grau. 4( ) ( +) Logo, 4 é um polinômio do o grau, então 4( +) ( +) é uma inequação do o grau... - Resolução de inequações do o grau Definição 5: Para se resolver uma inequação do o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).

14 Eemplos: ) Resolver a inequação seguinte: 4( ) ( +). Represente a solução na reta real. 4( ) ( +) S{ R ; } ) Resolver a inequação seguinte: + 4 ( ) 4 ( ) + > Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum: > Simplificando: 0 +0> +4 0 > 0+4 > 6 Multiplicando por ( ): <6 6 < 6 S{ R ; < } > +. Represente a solução na reta real Sistemas de inequações do o grau Definição 6: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Eemplo: Resolver a inequação <. Apresente o conjunto solução S e represente na reta real. Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema: (i) < (i) > (ii) (ii) (i) (ii) S{ R ; < } (i) (ii)

15 .. - Inequação-produto e inequação-quociente Uma inequação do o grau do tipo pode ser epressa por um produto de inequações do o grau, fatorando o o membro da desigualdade: ( ) ( +4) 0. Definição 7: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Eemplos: ) Resolver a inequação ( + ) ( +) 0. ( + ) ( +) 0 ( +) ( ) ( +) 0 f() + f() 0 a > 0 g() g() 0 a > 0 h() + h() 0 a < 0 f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou } ) Resolver a inequação + 0. f() + f() 0 / a < 0 g() g() 0 a < 0 f ( ) g( ) f ( ) g( ) S{ R ; <} 4

16 ) Resolver a inequação ( + ) ( ) 0 f() + f() 0 a > 0 g() g() 0 a > 0 h() h() 0 a > 0 f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou < } 4) Determine o domínio da função y ( + ) ( ) 5 f() + f() 0 a > 0 g() g() 0 a > 0 h() 5 h() 0 5 a > 0 f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - 5 D{ R ; ou >5} 0 5

17 AULA 0 EXERCÍCIOS ) Dada a função f() 5, determine: a) f() b) o valor de para que f() 0 ) Em uma função polinomial do o grau, y f(), sabe-se que f() 4 e f(-) 0. Escreva a função f e calcule f ) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fia, no valor de R$900,00 e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Epressar a lei da função que representa seu salário mensal b) Calcular o salário do vendedor que durante um mês ele vendeu R$ ,00 em produtos 4) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de.000 dólares no ano de 985, e de.600 dólares em 99. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (), considerando 0 para o ano de 985, para o ano de 986, para o ano de 987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 985? 5) Considere as funções f e g definidas em R por f() 8 e g() a) Ache as raízes das funções f e g b) Sabendo que os gráficos de f e g são retas concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de intersecção. 6) Resolver a inequação 4 + ( ) 0 7) Determinar o conjunto verdade da inequação: 8) Resolver o sistema 4( ) + > < 0 9) João possui um terreno de 000m, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira, etc) deve ter 00m, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máimo, R$ ,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar? 0) Determinar o domínio da função y + Respostas: ) a) 8 b) /5 ) f() e f(-/) 7 ) a) y ,08 b) R$ 4900,00 4) a) y b) 05 5) a) 8 e 0 b) (, 6) 6) 7) S R 6 S R < S R 8) { } 9) entre 00m e 400m 0) D { R < } 6

18 AULA 0. - Função polinomial do o grau Definição 8: A função f : R R dada por f ( ) a +b + c, com a, b e c reais e a 0, denomina-se função polinomial do o grau ou função quadrática. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função. Note que se a 0 temos uma função do o grau ou uma função constante. Eemplo: Considere a função f do o formação dessa função e calcule f (5). Resolução Tome f ( ) a +b + c, com a 0. grau, em que f (0)5, f () e f ( ). Escreva a lei de f (0) 5 a (0) +b (0)+ c 5 c 5 c 5 f () a () +b ()+ c a +b i) f ( ) a ( ) +b ( )+ c a b 4 ii) Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a + b (ii) a b 4 (i)+(ii) a 6 a b A lei de formação da função será f ( ) + +5 f (5) (5) +(5)+5 f (5) Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função polinomial do o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática: (i) Concavidade (ii) Zeros ou raízes (iii) Vértice.. - Concavidade A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( ) a +b + c do o grau depende do sinal do coeficiente a : 7

19 a >0: concavidade para CIMA a <0: concavidade para BAIXO [Fig.4]: Concavidade de uma função quadrática... - Zeros de uma função quadrática Definição 9: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( ) a +b + c são as raízes da equação do o grau a +b + c 0, ou seja: Raízes: Considerando Δ b ± b 4ac. a b 4 ac, pode-se ocorrer três situações: i) Δ>0 as duas raízes são reais e diferentes: b + Δ a e b ii) Δ0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla):. a iii) Δ<0 não há raízes reais. b Δ a Obs.: Em uma equação do o grau a +b + c 0, a soma das raízes é S e o produto é P tal que: b c S + e P. a a. Definição 0: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do o grau são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eio Vértice da parábola Considere as parábolas abaio e observe o vértice V ( V, y V ) em cada uma: y Eio de simetria y V(, ) V y V V(, ) [Fig.5]: Vértice de parábolas (Δ>0 para as duas). V y V 8

20 Uma forma de se obter o vértice V ( V, y V ) é: V y V a +, já que o vértice encontra-se no eio de simetria da parábola; V +b V + c, já que o V foi obtido acima., Outra forma de se obter o vértice V ( V V b a e y V Δ. 4a y V ) é aplicando as fórmulas:..5 - Gráfico de uma parábola Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Eemplos: ) Construir o gráfico da função y +, determinando sua imagem. a >0 concavidade voltada para cima. Zeros da função: Ponto onde a parábola corta o eio y : + 0 ( +)0 0 e. 0 y 0 (0,0) y 5 4 Vértice da parábola: V y V b a Δ 4 4a 4 V (, ) V Imagem: y para todo Real Im { y R ; y } ) Construir o gráfico da função y +4 5, determinando sua imagem. a <0 concavidade voltada para baio. Zeros da função: Δ 4. / zeros reais. Ponto onde a parábola corta o eio y : 0 y 5 (0, 5) y 5 4 Vértice da parábola: V y V b 4 a V (, ) Δ 4 4a V Imagem: y para todo Real Im { y R ; y } 9

21 ..6 - Estudo do sinal da função quadrática Os valores reais de que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaio. f ( ) a +b + c com ( a, b e c R e a 0) a >0 a <0 f ( )>0 para < ou > f ( )<0 para < ou > f ( )<0 para < < f ( )>0 para < < f ( )0 para ou f ( )0 para ou f ( )>0 para f ( )<0 para f ( )<0 / real f ( )>0 / real f ( )0 para f ( )0 para f ( )>0 real f ( )<0 / real f ( )0 / real f ( )<0 real f ( )>0 / real f ( )0 / real.4 - Inequações do o grau Definição : Denomina-se inequação do o grau na variável toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: a +b + c 0; a +b + c >0; a +b + c 0; a +b + c <0. com a, b, c R e a 0. 0

22 .4. - Resolução de inequações do o grau Definição : Para se resolver uma inequação do o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). Eemplo: ) Resolver a inequação Resolução +>0. Estudar a variação do sinal da função f ( ) +. a >0 Concavidade para cima. +0 Δ>0 Duas raízes reais diferentes. ± S{ R ; < ou >}. Obs: somente valores positivos. ) Resolver a inequação Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( ) a > Concavidade para cima. Δ0 Raiz dupla (única). 0 5 S R. Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero. ) Resolver a inequação Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( ) a < Δ <0 Concavidade para baio. Não possui zeros reais. / real S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero Sistemas de inequações do o grau Definição : O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.

23 Eemplo: ) Resolver o sistema de inequações < 0 Resolução (i) (ii) +5< Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( ) a > Δ4>0 Concavidade para cima. Duas raízes reais diferentes. 6 ± 4 S(i){ R ; 4 ou }. Reta real: Resolução de (ii): +5<0 < 5. S(ii){ R ; 5}. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) -5 (i) (ii) -5 S{ R ; 5}. ) Resolver a inequação 4< 4 +. Resolução (i) 4< <0 ( ) >0. (ii) Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( ). a >0 Concavidade para cima. 0 ( )0 Zeros{0,}. Δ>0 Duas raízes reais diferentes. ± 0 0 S(i){ R ; <0 ou >}. Reta real: 0

24 Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( ) 6. a >0 Concavidade para cima. 60 Δ5>0 Duas raízes reais diferentes. ± 5 - S(ii){ R ; }. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) 0 - (ii) - (i) (ii) - 0 S{ R ; <0 ou < } Inequação-produto e inequação-quociente Definição 4: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Eemplos: ) Resolver a inequação ( ) ( +4)>0. Resolução f() a > 0 Δ6 > 0 - e g() +4 a < 0 Δ5 > 0 f() 4 e g()

25 f ( ) g( ) f( ) g( ) -4 - S{ R ; 4< < ou < <}. ) Resolver a inequação Resolução f() 5 +6 a > 0 Δ > 0 e g() 6 a > 0 Δ64 > 0 4 e 4 f() g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) -4 4 S{ R ; < 4 ou ou >4}. ) Determine o domínio da função f ( ) Resolução 0 6. f só representa um número real se f() 0 a > 0 Δ49 > 0 e 5 g() 6 a > 0 g() 0 6 f() g()

26 f ( ) g( ) f ( ) g( ) D { R ; 5 ou >6}. AULA 0 EXERCÍCIOS ) Considere a função f do 0 grau, onde f(0) 5, f() e f(-). Escreva a lei de formação dessa função e calcule f(5). ) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y + m passe pelo ponto (, 6) ) Determinar os zeros da função y 4 5 4) Seja a função f() + k. Sabendo que essa função possui dois zeros reais iguais, determine o valor real de k. 5) A função f() + k + 6 possui duas raízes reais, m e n, de modo que 5 + m n. Determine o valor de f(-) nessa função 6) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f() ) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por y a + b 9 tenha o vértice no ponto (4, - 5) 8) Determinar o conjunto imagem da função f() + 9) A função f() 6 admite valor máimo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 0) Considerar todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre esses retângulos, determinar aquele que terá área máima. Qual será essa área? ) Determinar p de modo que a função f() p + (p ) + p assuma valores positivos para todo real. ) Resolver a inequação + 0 ) Determinar o conjunto solução da inequação ) Resolver a inequação 4 < ) Resolver a inequação < f(5) - 65 ) 4 ) 5 e - 4) / 5) 5 6) V, 0 0 7) a e b - 8 8) Im y R / y 4 9) O valor mínimo da função é y - 5/4 0) O retângulo que terá a maior área será o de lados 0 cm e 0cm, e a área máima será de 400 cm. ) p R / p > 4 S R, ou, ) { } ) S R 4) S { R < 0 ou < } 5) S { R < - ou -< <} Respostas ) f()

27 AULA 04 FUNÇÃO EXPONENCIAL. Revisão de Potenciação.. - Potências com epoente natural Sendo a um número real e n um número natural, com n, definimos: (Eq.4) (Eq.5) (Eq.6) n a a 4 a a 4 K a. n fatores Para n e n 0 são definidos: a a. 0 a ( a 0)... - Potências com epoente inteiro Se a é um número real não-nulo ( a 0) e n um número inteiro e positivo, definimos: (Eq.7) n a n. a.. - Potências com epoente racional Se a é um número real positivo e n m um número racional, com n inteiro positivo, definimos: (Eq.8) m n a n a m...4 -Potências com epoente real Podemos considerar que as potências com epoente real têm significado no conjunto dos números reais. Temos, por eemplo: 0 5, Propriedades Para as potências com epoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias: m n m n a a a +. m n m n a : a a ( a 0). m n m n ( a ) a. n a b) ( n n a b. n a b n a b n (b 0). 6

28 Eemplos ) Dê o resultado mais simples de ( ): 5. Resolução Usando as propriedades, temos: ( ): 5 ( ): : 5 5 ) Calcule o valor da epressão Resolução ) Simplifique. Resolução ( ) ) Calcule 8. Resolução 4 Primeira resolução: Segunda resolução: 8 ( ) ) Determine o valor de 8, 0 : 8,. Resolução 0 7 8, 0 : 8, 0, 7 0, , 4 0, 5 ( ) 9. 0) Qual o valor de 5 ( 0 ) :( 0, )? Resolução 5 ( 0 ) :( 0, ) 5 0 :(0 ) 5 0 : 0 0 ( 5) Equações eponenciais Definição 5: Chama-se equação eponencial toda equação que contém incógnita no epoente. Eemplo:

29 Resolução de equações eponenciais Para resolver uma equação eponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato: Definição 6: Se a >0, a e é a incógnita, a solução da equação Eemplos: ) Resolver a equação Resolução 4 5. a p a é p. Usando as propriedades das potências, vamos transformar o o e o membros da equação em potências de mesma base: 4 5 S 9. ( ) ) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se: a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois? b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de unidades? Resolução 50 a) Obs: 50% 0,5 00 Um ano depois: , (+0,5)8000,5 Dois anos depois: (8000,5),58000 (, 5) Três anos depois: (8000 (, 5) ),58000 (, 5) t Produção P, t anos depois: P8000 (, 5) b) Fazendo P40500, na fórmula anterior, obtemos a equação: t (, 5) Resolvendo a equação: t (, 5) t (, 5). Obs:, t 8 6 t 4 4 t 4 t 4. Desse modo, a produção anual da empresa será de unidades após 4 anos. 8

30 ) Determine o conjunto solução da equação Resolução 0 Sabendo que 8, temos: S{ }. 8 + no universo dos números reais... - Resolução de equações eponenciais com o uso de artifícios Para se resolver determinadas equações eponenciais, são necessárias algumas transformações e artifícios. Eemplos: ) Resolver a equação Resolução Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: ( ) ( ) Fazendo y, temos a equação do o grau em y : 5 ± 5 6 y 5 y +40 y y 4 e y. Voltando à igualdade y : y 4: y 4. y : y 0 0. S{0,}. ) Determine o conjunto solução da equação Resolução Preparando a equação, temos: Fazendo 5 y, temos: 5 y 5 y 4 y 54 y y 4 y 50 y y Voltando à igualdade 5 y : y 5: 5 y y : 5 y S{} Esta equação não tem raiz em R, pois. - Função eponencial 5 >0, para todo real. Definição 7: A função f : R R dada por f ( ) a (com a >0 e a ) é denominada função eponencial de base a. 9

31 .. - Gráfico da função eponencial no plano cartesiano Dada a função f : R R, definida por f ( ) a (com a >0 e a ), temos dois casos para traçar seu gráfico: (i) a > e (ii) 0< a <. (i) a >. ) Traçar o gráfico de f ( ). f ( ) y OBS.: Quanto maior o epoente, maior é a potência crescente. (ii) 0< a <. a, ou seja, se a > a função f ( ) a é ) Traçar o gráfico de f ( ). f ( ) y

32 Obs.: Quanto maior o epoente, menor é a potência f ( ) a é decrescente. Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações: a, ou seja, se 0< a < a função.. - Características da função eponencial Seja f : R R, definida por f ( ) a (com a >0 e a ). Domínio da função f são todos os números reais D R. Imagem da função f são os números reais positivos Im R +. A curva da função passa pelo ponto (0,). A função é crescente para a base a >. A função é decrescente para a base 0< a <..4 - Inequações eponenciais Definição 8: São inequações eponenciais aquelas que aparecem incógnitas no epoente Resolução de inequações eponenciais Para resolver inequações eponenciais, devemos observar dois passos importantes: ) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; ) Verificar a base da eponencial, a > ou 0< a <, aplicando as propriedades abaio. Caso (i): a > Caso (ii): 0< a < m a > a n m > n As desigualdades têm mesmo sentido Eemplos: ) Resolva a inequação >. Resolução 5 Como, a inequação pode ser escrita: > 5 Caso (i): a >. >5. S{ R ; >5}. m a > a n m < n As desigualdades têm sentidos diferentes ) Resolva a inequação + ( ). Resolução + ( ) + 0 ( ) ( ) Caso (i): a >. + 0 Tome f ( ) + f ( ) S{ R ; / ou 0}.

33 ) Resolva a inequação + < 7 Resolução + 7 < Caso (ii): 0< a <. +> 7 > 0 ( ) <0. S{ R ; <0}.. AULA 04 EXERCÍCIOS ) Uma cultura inicial de 00 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. a) Qual a população dessa cultura após horas do instante inicial? b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 5.00 bactérias? ) Resolva as equações: a) b) ) Determine o conjunto solução das seguintes equações: a) b) c) 4 5 4) Se f() + e g(), determine para que f(g()). 5) Cada golpe de uma bomba etrai 0% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de m e, inicialmente, esta cheio. a) Após o 5 o golpe, qual o valor mais próimo para o volume de óleo que permanece no tanque? b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes? 6) Resolva as inequações: a) ( 5) ( 5) b) < C) X + 0,75 + < 7) Determine o domínio da função y Respostas: ) a) 800 bactérias b) 9 horas ) a) / b) 4 ) a) {0, } b) {, } c) {, } 4) 0 5) a) 0,59m b) f(n). (0,9) n 6) a) { R /, ou, 4} b) { R / > } c) { R / < 0} 7) { / } R

34 AULA 05 4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 4. Definição de Logaritmo Definição 9: Dados dois números reais positivos, a e b, com a, eiste um único número real de modo que a b. Este número é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se log a b. Podemos então, escrever: (Eq.9) a b log a b ( a >0 e b >0). Na igualdade log b, temos: a é a base do logaritmo; b é o logaritmando ou antilogaritmo; é o logaritmo. a Eemplos: Calcular o valor de nos eercícios seguintes: ) log. ) log ) log ) log ) log OBS. : base é 0. log b significa log b 0. Quando não se indica a base, fica subentendido que a 4. - Conseqüências da definição Tome a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se verificar que:

35 ) O logaritmo de em qualquer base é igual a zero. 0 log a 0, pois a. ) O logaritmo da própria base é igual a. log a a, pois a a. ) O logaritmo de uma potência da base é igual ao epoente. log m a a m, pois m a a m. 4) O logaritmo de b na base a é o epoente ao qual devemos elevar a para obter b. a b a log b, pois a b log b Propriedades dos logaritmos ) Logaritmo de produto loga ( y) log a + log a y ( a >0, >0 e y >0). ) Logaritmo de quociente log a loga log a y ( a >0, >0 e y >0). y ) Logaritmo de potência log m a m log a ( a >0, >0 e m R ) Cologaritmo a Cologaritmo de um número positivo b numa base a ( a >0) é o logaritmo do inverso desse número b na base a. (Eq.0) Eemplo: colog a b log a colog a b log a b ( a >0 e b >0). b Sabendo que log a e log 5b, calcule os logaritmos abaio, em função de a e b. a) log 5 log 5 log ( 5) log + log 5 a +b. b) log 675 log 675 log ( 5 ) log + log 5 log +log 5 a +b. c) log log log 0 5 log 0 log 5 b Mudança de base As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base. A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. 4

36 Seja: log a b a b. Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos: log c a log c b log log c a log c b log Então: log log a b log b a (Eq.) c ( a >0, c >0 e b >0). c Eemplos: ) Sendo log 0, e log 0,4, calcule log 6. log 6 c c b a, mas log a b. log 6 log( ) log + log 0, + 0, 4 0, 7 7. log log log 0, 0, ) Resolva a equação log + log 4 + log 6 7. A condição de eistência é >0. Transformando para a base : log + log 4 + log 6 7 log log log log 4 log6 log log + log log + log + log log 8 log satisfaz a condição de eistência. Logo, o conjunto solução é: S{6}. ) Resolva a equação log ( +)+ log ( )5. Condições de eistência são: +>0 e >0 > e >. Então: >. log ( +)+ log ( )5 log [( +) ( )]5 ( +) ( ) ±6 6 não satisfaz a condição de eistência mas, 6 satisfaz. Logo, o conjunto solução é: S{6}. 5

37 4.6 - Função logarítmica A função eponencial g : R R + definida por g ( ) a (com a >0) é bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaio. Definição 0: A função f : logarítmica de base a. + R R definida por f ( ) log (com a >0) é chamada função Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função eponencial. Seja f : R+ R, tal que y log a e f : R R +, tal que y a. Os gráficos de f e f serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal. (i) a > y a y y log a y a Gráfico da função logarítmica e eponencial ( a >). (ii) 0< a <. y a y y y log a Gráfico da função logarítmica e eponencial (0< a <). 6

38 4.7 - Inequações logarítmicas Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Eemplos: ) Resolva a inequação log ( ) log 4. Condição de eistência: >0 > (i). Base: (0< a <). Como a base é um número entre 0 e, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. 4 (ii). A solução da inequação deve satisfazer as duas condições: (i) (ii) 7 S{ R ; < 7}. (i) (ii) 7 ) Resolva a inequação log 4 ( ) log 4 ( +0). a Condição de eistência: >0 <0 ou > (i). a Condição de eistência: +0>0 > 5 (ii). Base: ( a >) ou 5 (iii). A solução da inequação deve satisfazer as três condições: (i) 0 (ii) -5 (iii) - (i) (ii) (iii) -5-0 S{ R ; 5< ou 5}. 5 7

39 ) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 0% ao ano. Depois de quanto tempo, aproimadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use log0 0,) p p 0 ( 0,) t p p 0 (0,8) t p p 0 p 0 Procura-se p, logo: 8 0 t t t p 0 8 p 0 ( p0 0) 0 t t 0 0 Aplicando log 0 em ambos os membros, temos: log 0 t log 0 ( t log 0 ( t 0 ) t log 0 0 ) log 0 t t log0 + log0 0 log0 t log0 t log0 0 0,t 0, t 0,0,9t t 0, 0,t t O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de anos AULA 05 EXERCÍCIOS ) Resolva as seguintes equações: a) log ( 4) b) log ( ) c) (log ) log 6 0 d) log 5 (log ) ) Sabendo que log 0,0 e log 0,477, calcule: a) log 6 b) log 5 c) log,5 d) log ) Qual o conjunto solução da equação a) log ( ) log ( ) 4 + b) + log log0 00 a) log (5 ) > log 4 b) log ( 4) > c) log ( ) + log ( ) Respostas: ) a) b) ½ c) {/9, 7} d) 4 ) a) 0,778 b) 0,699 c) 0,98 d) 0,85 ) a) b) 00 4) { R / <, ou, > 4, e, 5} 5) a) S { R / > } b) S { R / > 6} c) S R / 5} { < 4) Determine o campo de eistência da função ( ) log ( ) log ( 0 5) f + 5) Resolva as inequações: 8

40 AULA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 5. - Seno e cosseno de um arco: Tome o arco α dado na figura abaio: N O P α M A [Fig.5] Arco α para o conceito de seno e cosseno. Seno de um arco é a ordenada do ponto P. (Eq.) sen αon MP. Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P. (Eq.) cos αom NP. 5.. Conseqüências: Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que nem maiores que +. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre e +, o que nos permite concluir: (Eq.4) sen α e cos α Função seno e função cosseno Função seno é a função que associa a cada arco R o número sen R, ou y sen. Função cosseno é a função que associa a cada arco R o número cos R, ou y cos Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno ( y sen ) e a função cosseno ( y cos ) vamos variar no intervalo [0,π] Função seno: y sen y O A O π π π π 6 4 π π π [Fig.6]Gráfico da função seno. 9

41 Conclusões O domínio da função y sen é o conjunto dos números reais, isto é, D R. A imagem da função y sen é o intervalo [,+], isto é, sen +. Toda vez que somamos π a um determinado valor de, a função seno assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sen é p π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco. Quando adicionamos k π ao arco, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica de período π. (Eq.5) sen sen ( + k π), k Z (Inteiros) Seno é função ímpar No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números e têm imagens simétricas em relação ao eio das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen ( ) sen. Quando uma função f é tal que f ( ) f ( ), para todo do seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. Como sen ( ) sen, para todo real, podemos afirmar que a função seno é ímpar Função cosseno y cos y O A O π π π π 6 4 π π π [Fig. ]: Gráfico da função cosseno Conclusões O domínio da função y cos é o conjunto dos números reais, isto é, D R. A imagem da função y cos é o intervalo [,+], isto é, cos +. O período da função y cos é p π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco. Quando adicionamos k π ao arco, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica de período π. (Eq.6) cos cos ( + k π), k Z (Inteiros) Cosseno é função par No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números e têm imagens simétricas em relação ao eio das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. Então, cos ( )cos. 40

42 Quando uma função f é tal que f ( ) f ( ), para todo do seu domínio, dizemos que f é uma função par. Eemplos: Como cos ( )cos, para todo real, podemos afirmar que a função cosseno é par. ) Construa o gráfico da função y sen, dando o domínio, a imagem e o período. sen sen y π π π ( ) y O π π π π π Observando o gráfico, temos: D R, Im [,], e p π. ) Construa o gráfico da função y cos, dando o domínio, a imagem e o período. cos y 0 0 π π 0 0 π π π π 0 0 π 4π Observando o gráfico, temos: D R, Im [,], e p 4π. y O π π π 4π 5. - Tangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaio: eio das tangentes N O α P M T A [Fig. ]: Arco α para o conceito de tangente. 4

43 Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT). (Eq.7) tan α AT Conseqüências O eio vertical, suporte de AT, é chamado eio das tangentes. π Podemos dizer que tan α só é definida se α R e α + k π ( k Z ) Função tangente π Função tangente é a função que associa a cada arco R, com + k π (k Z ), o número tan R, ou y tan Gráfico da função tangente Para estudar a função tangente ( y tan ) vamos variar no intervalo [0,π]. y,7 0,58 O A O π π π π 6 4 π π 0,58,7 π [Fig. 4]: Gráfico da função tangente Conclusões O domínio da função y tan é o conjunto dos números reais R, com π + k π (k Z ), isto é, D { R / π + k π, k Z }. A imagem da função y tan é o conjunto dos números reais. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função tangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y tan é p π. (Eq.8) tan ( + k π) tan, k Z Tangente é uma função ímpar Como tan ( ) tan, para todo real, com π + k π (k Z ), podemos afirmar que a função tangente é ímpar. 4

44 5. - Cotangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaio: N O B α P M A C eio das cotangentes [Fig. 5]: Arco α para o conceito de cotangente. Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC). (Eq.9) cot α BC Conseqüências O eio horizontal, suporte de BC, é chamado eio das cotangentes. Podemos dizer que cot α só é definida se α R e α k π ( k Z ) Função cotangente Função cotangente é a função que associa a cada arco R, com k π (k Z ), o número cot R, ou y cot Gráfico da função cotangente Para estudar a função cotangente ( y cot ) vamos variar no intervalo [0,π].,7 0,58 y O A O π π π 6 4 π π π π 0,58,7 [Fig. 6]: Gráfico da função cotangente Conclusões O domínio da função y cot é o conjunto dos números reais R, com k π (k Z ), isto é, D { R / k π, k Z }. A imagem da função y cot é o conjunto dos números reais. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função cotangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y cot é p π. cot ( + k π)cot, k Z. 4

45 Cotangente é uma função ímpar Como cot ( ) cot, para todo real, com k π (k Z ), podemos afirmar que a função cotangente é ímpar Secante e cossecante de um arco Tome o arco α dado na figura abaio: D N O α P M A S [Fig. 7]: Arco α para o conceito de secante e cossecante. Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eio das abscissas no ponto S e o eio das ordenadas no ponto D. (Eq.0) sec αos. (Eq.) cossec αod Função secante e cossecante Função secante é a função que associa a cada arco R, com π + k π (k Z ), o número sec R, ou y sec Função cossecante é a função que associa a cada arco R, com k π (k Z ), o número cossec R, ou y cossec Gráfico da função secante Para estudar a função secante ( y sec ) vamos variar no intervalo [0,π].,4,5 y O A O π π 4 π 6 π π π π,5,4 [Fig. 8]: Gráfico da função secante. 44

46 Conclusões O domínio da função y sec é o conjunto dos números reais R, com π + k π (k Z ), isto é, D { R / π + k π, k Z }. A imagem da função y sec é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a ou menores ou iguais a, isto é, Im { y R / y ou y }. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função secante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sec é p π. (Eq.) sec ( + k π)sec, k Z Gráfico da função cossecante Para estudar a função cossecante ( y cossec,4,5 y ) vamos variar no intervalo [0,π]. O A O π π π π 6 4 π π π,5,4 [Fig. 9]: Gráfico da função cossecante Conclusões O domínio da função y cossec é o conjunto dos números reais R, com k π (k Z ), isto é, D { R / k π, k Z }. A imagem da função y cossec é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a ou menores ou iguais a, isto é, Im { y R / y ou y }. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função cossecante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y cossec é p π. (Eq.) cos sec ( + k π) cossec, k Z Relações trigonométricas Será feito o estudo das relações que eistem entre as funções trigonométricas, pois elas têm muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como base o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado. 45

47 D eio das tangentes B N O α P T MA S C eio das cotangentes [Fig. 0]: Funções trigonométricas no ciclo. Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α: sen αon ; cos αom ; tan α AT ; cot α BC ; sec αos e cossec αod. Analisando as funções no ciclo e fiando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: O unidade cossecα secα BD F senα tanα α A C E cosα cotα [Fig. ]: Funções adaptadas no ciclo. Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: sen α AB ; cos αoa ; tan αcd ; cot αoe ; sec αod e Daí tiram-se três triângulos semelhantes: cossec αof. ΔOAB ΔOCD ΔOEF. O α cosα B A senα O D α tanα C O secα α cossecα cotα [Fig. ]: Triângulos semelhantes. F E Usando o teorema de Pitágoras sen α+cos α; tan α+sec α; cot α+ cossec α Usando semelhança entre triângulos 46

48 Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os triângulos: secα Razões do triângulo para : sec α ; cosα cosα tan α senα sen α tan α. cosα cosα cossecα Razões do triângulo para : cossec α ; senα senα cotα cosα cosα cot α. senα senα cossecα secα secα Razões do triângulo para : cossec α ; tanα tanα cotα cot α. tanα tanα Eemplos: Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os eercícios que seguem abaio: ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. tan α sen α ; secα cos α. secα ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. sen α cos α cossecα cotα cossecα ;. ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. cossecα sec α ; cot α tan α. cotα Identidades trigonométricas A igualdade sen α+cos α é verdadeira para qualquer α pertencente aos domínios das funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica. Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou seja, após uma demonstração. Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas acima, que são identidades. 47

49 Processo para demonstrar identidades Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma mesma epressão. Eemplos: Nos eercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades: ) tan α sen α tan α sen α O α cosα Levar do triângulo para : B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα tan α sen α tan α sen α sen α sen α sen α sen α cos α cos α 4 sen α sen α sen αcos α cos α cos α 4 sen α sen α(sen α) cos α cos α 4 4 sen α sen α C.Q.D. (como queríamos demonstrar). cos α cos α F E ) (+cot α) +( cot α) cossec α O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E Todas as funções já se encontram no triângulo, basta desenvolver: (+cot α) +( cot α) cossec α (+cot α) +( cot α) cossec α +cot α+cot α+ cot α+cot α cossec α +cot α cossec α (+cot α) cossec α cossec α cossec α C.Q.D. ) sec α+ cossec αsec α cossec α O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E 48

50 Levar do triângulo para : sec α+ cossec αsec α cossec sec α sec α sec α+ sec α tan α tan α 4 sec αtan α + sec α sec α tan α tan α 4 sec α (tan α + ) sec α tan α tan α 4 sec α (sec α) sec α tan α tan α 4 4 sec α sec α C.Q.D. tan α tan α α 4) senα cosα cossecα secα O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E Levar dos triângulos e para : senα cosα cossecα secα senα cosα senα cosα sen α cos α sen αsen α C.Q.D. 5) cossecα senα cot α secα cosα O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E 49

51 Levar dos triângulos e para : cossecα senα cot α secα cosα cossecα cossecα cot α cossecα cotα cotα cossecα cossec α cossecα cot α Obs: cossec α cot α cossec α cot α cotαcossecα cot α cotαcossecα cot α cossecα cossec α cot α cot αcossecα cot α cossecα + cot α cot α cot α + 0 cot α cot αcot α C.Q.D. AULA 06 - EXERCÍCIOS ) Dado sen /4, com 0<< π /, calcular cos. ) Para que valores de a temos, simultaneamente, sena + e cos a? π ) Dado cos, com < < π, calcule tg. tgα + cot gα 4) Simplifique a epressão. secα cot gα 5) Demonstre as seguintes identidades: a) ( + cotg )( cos ) b) tg + cotg tg. Cossec sen cos c) tg + cos + cos Respostas: 7 ) cos 4 ) a 0 ou a - ) tg 4) sec α 50

52 AULA LIMITES 6. - Noção Intuitiva: Seja a função f() +. Vamos dar valores a que se aproimem de, pela sua direita (valores maiores que ) e pela sua esquerda (valores menores que ) e calcular o valor correspondente de y. y + y +,0 0,6,0 0,7,0 0,9,04 0,95, 0,98, 0,99 Notamos que a medida que se aproima de, y se aproima de, ou seja, quando tende para ( ), y tende para (y ), ou seja: lim ( + ) De forma geral, escrevemos: lim f ( b a ) Propriedades:. lim [ f ( ) ± g( )] lim f ( ) lim g( ) a a ± f g a. lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ). lim lim a f ( ) g( ) a f ( ) lim lim a a a f ( ) g( ) n lim a0 f ( ), n * 4. ( ) 5. lim a a f n N n f ( ) n lim a f ( ), n N sen( f ( )) sen lim f ( ) 6. lim ( ) Eemplos: a ) ) lim ( + a * a g ) lim ( cos π ) cos ) lim

53 4) lim ( + ) 5) lim + 6) lim sen( + ) 7) lim ( + 4 ) 4 8) lim 4 + 9) lim ) lim + ) lim + ) lim 0 ) lim ( ) 4) lim 0 (cos + sen ) 5

54 8 5) lim 4 h 6) lim h h 5 + t 5 7) limt 0 t (4 + t) 6 8) limt 0 t + + 9) lim + 0) lim 0 4 ) lim 5 5

55 AULA 07 - EXERCÍCIOS ) lim ( ) ( 4 + ) (4 ) ) lim ) lim ) lim ) lim + 6) lim ) lim ) lim ) lim + 4 0) lim ) lim 4 4 ) lim 4 ) lim ) lim 5) lim ) lim 4 + 7) lim 5 Respostas ) 8 ) 4 ) 6 5 4) -0 5) - 6) -4 7) 8) 9) 80 0) ) 0 ) 4 ) 4 4) 4 5) 6) 4 7)

56 AULA LIMITES INFINITOS: Quando os valores assumidos pela variável são tais que > N, sendo N tão grande quanto se queria, então se diz que o limite da variável é infinito. lim + ou lim Igualdades Simbólicas: 6... Tipo Soma: a. () + ( ± ) ± b. (+ ) + (+ ) + c. - + (- ) - d. - indeterminado 6... Tipo Produto: a. 5 ( ± ) ± b. (-5) ( ± ) m c. (+ )(+ ) + d. (+ )(- ) - e. ± 0 indeterminado 6... Tipo Quociente: c a. 0 b. c 0 c. 0 0 d. e indeterminado Tipo Potência: + a. c + (c>) + b. c 0 (0<c<) c. 0 0 d. c 0 e. ( + ) + + f. ( ) c (se c for ímpar) g. ( ) c + (se c for par) h. ( + ) 0 i. ( ± ) c 0 j. 0 0 indeterminado k. ( ± ) 0 indeterminado ± l. indetermindado 55

57 Obs.: O limite de uma função polinomial quando tende ao infinito, é o limite do termo de maior grau. Eemplos: ) lim ( + + ) ) lim ) lim + 5 lim ) ) lim ) lim ( ) 56

58 AULA 08 EXERCÍCIOS ) lim (5 + ) 5 4 ( + ) 4 ( + ) 4 + ( ) ( 5 + ) + ( + ) ) lim ) lim 4) lim 5) lim 6) lim + 7) lim ) lim 9) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ( + ) + + 4) lim ) lim + 5 6) lim ) lim 4 + 8) lim ( ) 9) lim ( ) Respostas: ) + ) - ) - 4) + 5) + 6) - 7) + 8) 9) 0 0) ) 0 ) + ) 4) 5) - 6) 7) 8) 9) + 57

59 AULA LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: sen lim 0 Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que: Sen 0,008 0,008 0,006 0,006 0,004 0,004 0,00 0,00 0,00 0,00 Usando valores de 0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próimos. Eemplos: sen ) lim 0 cos ) lim 0 sen sen 5 ) lim 0 sen + sen sen + sen 5 4) lim sen + sen 5) lim

60 tg 6) lim 0 cos 7) lim 0 8) lim 0 senm senn AULA 09 EXERCÍCIOS sen sen lim 0 4 tg lim 0 sen4 lim 0 sen tg lim 0 tg5 cos lim 0 sen sec lim 0 tg + sen lim 0 sen cos lim 0 tg tg sen lim 0 sen sen lim 0 + sen ) lim 0 ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) cos5 cos ) lim 0 sen4 sen sen ) lim 0 sen sen( + a) sena lim 0 cos lim 0 4) 5) Respostas: ) / ) ¼ ) / 4) 4/ 5) /5 6) ½ 7) ½ 8) 9) - 0) 0 ) 0 ) 0 ) 4) cos a 5) / 59

61 AULA LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: lim + e () Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e, cujo valor aproimado é,7888 X +,5,70 0,597 00, , ,78 y temos: Nota-se que a medida que, + e De forma análoga, efetuando a substituição y 0 ) y lim ( + y e () y e 00000,78 Ainda de forma mais geral, temos: () lim 0 y ( ) l y + ky e kl (4) lim + k l e kl a (5) lim 0 ln a (6) lim 0 Eemplos: e ) lim + 4 ) lim ( + 0 ) 60

62 ) lim 0 e sen 4) lim 0 5 5) lim + 6) lim ( + ) 0 7) lim 0 sen e 8) lim 0 e sen 9) lim 0 4 sen 5 0) lim 0 4 ) lim log 6 + 6

63 AULA 0 EXERCÍCIOS 4 ) lim ) lim e 5+ 4 ) lim 4 e + + 4) lim log ) lim ln + 0 log + 6) lim 7) lim + + 8) lim + 9) lim ) lim ) lim + ) lim + + ) lim 4) lim ( ) 5) lim ( 0 ) 4 6) lim ) lim + + 8) lim + + ln( + ) 9) lim 0 ln( + ) 0) lim 0 Respostas ) 8 ) e ) e - 4) - 5) ln4 6) 0 7) e 8) e / 9) e 0) e ) e 4 ) e 6 ) e -6 4) e 4 5) e -6 6) e - 7) e 4 8) e 9) ½ 0) / 6

64 AULA 6.5 LIMITES LATERAIS: Consideramos uma função y f(), da qual queremos achar os limites laterais para tendendo a a, ou seja, queremos calcular: y lim f ( )? a+? a Limite lateral à direita y lim f ( )? a? a Limite lateral à esquerda Vejamos como proceder em cada caso: Limite a direita (quando a + ) Fazemos a seguinte troca de variável: Eemplo: lim ( + 4 ) + a + h, com h > 0 a, devemos ter h 0 Limite a esquerda (quando a - ) Fazemos a seguinte troca de variável: a h, com h > 0 a devemos ter h 0 Eemplo: lim ( + 4 ) a f O Limite de uma função eiste quando lim ( ) lim ( ) a+ f 6

65 AULA EXERCÍCIOS ) lim ( + ) lim lim lim + lim ( + 4 ) ) 4) 5) + ) lim + lim ( + 6) 7) ) + ( + ) 8) lim 9) lim lim + 0) 0 ) lim + 0 ) lim 4 ) lim ) lim c) Respostas: - - se f ( ) se se lim f ( ) lim f ( + ) 9 ) ) 4) 6 5) 6) 7) 0 8) 0 9) - 0) + ) 0 ) + ) 4 4) 0 5) a) e 5 b) e - c) e e ) < > 5) Calcule os limites laterais solicitados. a) f ( ) 4 + lim f ( ) + se se se lim > < f (, ), lim ( ) f b) f ( ) 0 - lim f ( ) + se < se se > e f ( ) lim 64

66 AULA 7 - ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 7. INTRODUÇÃO: Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas eistam. Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta, pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função 7. ASSÍNTOTA VERTICAL Dizemos que a reta a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: i. lim + a f ( ) ii. lim + a f ( ) iii. lim a f ( ) iv. lim f ( ) a 7. ASSÍNTOTA HORIZONTAL Dizemos que a reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: i. lim + f ( ) b ii. lim f ( b Eemplos: ) ) Seja a função eistirem. f ( ). Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela ( ) 65

67 ) Considere a função verticais, se ela eistirem. 4 f ( ) ( ). Encontre a equação das assíntotas horizontais e 66

68 8 FUNÇÕES CONTÍNUAS 8. DEFINIÇÃO: Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições: i. f (a) ii. lim f ( ) a a f iii. lim ( ) ( ) f a Eemplos: Verifique se as funções abaio são contínuas no ponto indicado: ) f ( ) 5 + em 4 ) f ( ) em 67

69 ) se < f ( ) se em se > AULA EXERCÍCIOS Escreva a equação das assíntotas das funções abaio, faça um esboço do gráfico da função: 5 ) y + ) y ) y 4) y ( ) 5) y + Verifique se as funções abaio são contínuas nos pontos indicados 6) se f ( ) em se 9 7) f ( ) em 8) f ( ) 5 em 9) 5 + se f ( ) em se < Respostas ) é a equação da assíntota vertical e y 0 é a assintota horizontal ) é a equação da assíntota vertical e y é a assintota horizontal ) 0 é a equação da assíntota vertical e y 0 é a assíntota horizontal 4) é a equação da assíntota vertical e y 0 é a assíntota horizontal 5) é a equação da assíntota vertical e y - é a assíntota horizontal 6) a função não é contínua 7) a função é continua 8) a função é contínua 9) a função não é contínua 68

70 AULA 9 DERIVADAS 9. INTRODUÇÃO: O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências naturais como humanas. O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução de problemas cotidianos. 9. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: Seja f uma função representada no gráfico abaio: y f ( ) Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor P(, f()). Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (, f()). y f ( ) 69

71 Seja P(, f()) e Q ( + h, f( +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q. y f+h ( ) Q f ( ) s f () P R + h Sabemos que o coeficiente angular m PQ da reta secante é dado pr QR mpq ms tgα PR f ( + h) f ( ) m s (i) inclinação da reta secante h Podemos tomar no gráfico pontos Q, Q, Q, Q 5,... Q n cada vez mais próimos de P, a reta s(pq) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero. y f+h ( ) Q f ( ) s Q Q f () P Q R + h Logo: m m t t lim lim 0 0 m s f ( + h) h f ( ) onde m representa o coeficiente angular da reta tangente. Esse limite quando eiste é chamado Derivada de t 70

72 9. DEFINIÇÃO: Seja uma função f: D R, e seja D o conjunto de todos os valores tal que eista f (). Chama-se função derivada de f a função f : D R tal que: f '( ) lim Δ 0 f ( + Δ) Δ f ( ) Eemplo: ) Se f() determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa 7

73 ) Seja a função f: R R tal que f(). Obter a função derivada de f: ) Utilizando a definição calcule a derivada da função f() 9.. Outras notações para a função derivada: y (lê-se: derivada de y) y (lê-se: derivada de y em relação a ) dy (derivada de y em relação a ) d Df (derivada de f) 7

74 9.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a epressão que nos dá o espaço (posição) em função do tempo, sf(t). Quantitativamente a velocidade eprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um espaço Δ S em um intervalo de tempo Δ t, a velocidade é dada pelo quociente ΔS v, que é uma razão constante. Δt Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea. Se um automóvel percorre 0 km em horas, não podemos concluir deste fato que sua velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 0km pelo tempo de horas gastos em percorrê-los é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro do veículo denominamos velocidade instantânean. Consideremos um móvel de equação horária s f(t) que se desloca sobre uma trajetória retilínea de origem O e que em um instante t ocupe uma posição S e num instante t ocupe uma posição S. 0 S S Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é Δ S S S ou Δ S f ( t ) f ( t) e que o tempo gasto para percorrê-lo é Δ t t t. Logo, sua velocidade média neste percurso é: ΔS S S f ( t ) f ( t) V m Δt t t t t Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t, dada por: ΔS f ( t ) f ( t) V lim Δ t 0 lim Δt t t logo: Mas t t Δt t t + Δt e considerando t um instante genérico t, temos t t + Δt V f ( t + Δt) f ( t) lim 0 Δt Δt, que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja: Se S f(t) então S (t) v Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v f(t), o que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante qualquer, isto é: Se v f(t) então v (t) a Onde a é a aceleração instantânea do móvel. 7

75 9.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas. ) f() c f () 0 ) f() n f () n. n- ) f() u.v f () u v + uv 4) f() u.v.w f () u vw + uv w + uvw 5) f ( ) u v u' v uv' f '( ) v 6) f() u n f () n.u n-.u 7) f() a u f () a u.ln a.u 8) f() e u f () e u.u 9) f() ln u 0) f() log a u u' f '( ) u u' f '( ) u.ln a ) f() cos u f () - u.sen u ) f() sen u f () u.cos u ) f() tg u f () u.sec u 4) f() cotg u f () - u.cossec u 5) f() sec u f () u.sec u. tg u 6) f() cossec u f () - u.cossec u. cotg u 7) f() u v f () v.u v-.u + u v.v.ln u f '( ) u v v ( v'lnu +. u') u 8) f() arc sen u f '( ) u' u 9) f() arc cos u f '( ) u u 0) f() arc tg u u' f '( ) + u 74

76 9.5. Derivada de função Algébrica: Eemplos: ) y 4 ) 7 y 5 7 ) y 4) y + 5) y ( + )( + ) 6) y 5 ( + ) 7) y 8) y

77 AULA EXERCÍCIOS ) y 5X 4 X + X + X + 5 ) y ) y ) y 4 5) y 5 6) y + 7) 5 4 y + 8) y + 6 9) y ) y 7 + ) y ) y + ) y ( + 4 )( + ) 4) y ( )( )( ) 5) y ( 4 + 8) 8 6) y (a- b) 6 7) y a + b 8) y ( 5 ) 9) y ( a + ) a 0) y ) y ) y ) 4) + y a + y a 4 Respostas: ) y ) y ) y ) y' 4 5) 0 y' 6 6) 4 + y' 7) y ' ) y' 8 + 9) y ' ) y ' ( 7) ) y ' ( 5 + 5) ) 4 y ' ( + ) ) y ) y ) y ( )( 4 + ) 7 6) y -b(ª-b) 5 7) y' b ( a + b ) 8) 0 y' 5 9) a y' a 0) y ' ) y ' (6 + 5) ) y ' ( + + 4) ) y' ( ) 4) y' a ( a ) 76

78 AULA Derivada de Funções Eponenciais e Logarítmicas: Eemplos: ) y ) y e ) y e + 4) y e a 5) y e e + 6) log y 7) log ( + ) y a 8) e y e e + e 77

79 AULA 4 EXERCÍCIOS ) y ) y e ) 4) 5) 6) 7) 8) 8 y e y y e e y y ( +) y ( + ) 9) y ln 0) ) ) + y 4log y ln + + y ln ) y ln 9 4) y ln 5) y e ln 6) 7) y ln ln y Respostas: ) y ' ln ) y' e 8 7 ) y ' 8. e + + 4) y' e.( + ) + 5) y' 7.ln 7.( + ) e ( ) 6) y' 7) y' ( + ) + ( + ) ln( + ) + 8) y' ( + )( + ) + ( + )..ln( + ) ln 9) y' 0) y ' ln0 ) y' ( + ) ) y' ( ) ) y' 9 ln 4) y' ( ln ) 5) y' e ln + 6) y ' (ln + ) ln 7) y' 78

80 AULA Derivada de Funções Trigonométricas: Eemplos: ) y sen 5 ) y cos ) y tg 4) y sec 4 5) y tg 6) y tg 7) y cotg( ) 8) y cos 9) y sen.cos 0) cos y ) y arccos 79

81 AULA 5 EXERCÍCIOS ) y cossec 7 ) y sen + cos ) y sen 5 4) y 5sen 5) y tg 6) y sen + 7) cos y e 8) y (cos ) 9) sen y cos 0) y e sen + 4 ) y sec ) y sen. e ) y arcsen 4) y arctg 5) y arcsen( ) 6) y arctg 7) y arcsen(5 ) 8) y arc cot g( ) 9) y arcsec 0) y arccossec( ) ) y + arcsen ) y. arctg ) y ln arccos Respostas ) y -7cossec7.cotg7 ) y cos-sen ) y 5sen 4.cos 4) y 5sen.cos tg 5) y' cos. sen cos + 6) y ' + ( sen + cos ) cos 7) y' e 8) y' (cos ) (ln cos tg) 9) y' sec 0) y' e ( sen + cos ) + ) y ' sec. tg ) y e (sen+cos+sen) ) y' 9 4) y ' + 5) y ' 9 + 6) 4 y' ) y ' ) y' 4 + 9) y ' 6 0) y' ( ) ) y' + ) y' arctg + + ) y' arccos. 80

82 AULA DERIVADAS SUCESSIVAS Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A I. Vimos que a derivada de f em A denotamos por f. Se f é derivável em um intervalo B, B A, a esta derivada de f denotamos por f denominamos derivada segunda de f. Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas. Eemplo: ) Obtenha até a derivada de 5 a ordem da função f() 5 5 ) Dada a função f() 4 + 4, pede-se calcular f (-) e f (6) (5) 9.7 REGRAS DE L HOSPITAL Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 0 0 ou. Esse método é dado pelas regras de L Hospital. Regras de L Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos que g () 0 para todo a em I. f '( ) i). Se lim a f ( ) lim a g( ) 0 e lim a L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim a lim a L g( 0 g'( ) 8

83 f '( ) ii). Se lim a f ( ) lim a g( ) e lim a L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim a lim a L g( ) g'( ) f '( ) f '( ) Obs.: A regra de L Hospital continua válida se lim a + ou lim a. Ela g'( ) g'( ) também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito. Eemplos: Determinar ) lim 0 e ) sen lim 0 ) cos lim 0 4) lim 4 4 5) + 6 lim + 8

84 AULA 6 EXERCÍCIOS ) lim + ) lim + ) lim e 4) lim ln sen 5) lim 0 e 6) lim + e e 7) lim tg 8) lim 0 sen e e 9) lim 0 sen 0) lim senπ sen ) lim π π sen ) lim 0 a b ) lim 0 sen 4) lim π π e 5) lim 0 cos 6) Obter a derivada terceira das seguintes funções: a) f() + + b) f() 5 + c) f ( ) d) f() - e) f() sen f) f() e 7) Obter a derivada segunda das seguintes funções: a) y a + b) y e.cos Respostas ) ) ) 0 4) 5) 0 6) 0 7) e 8) 9) 0) π ) 0 ) 6 ) a ln b 4) 0 5) - 6) a) 6 b) 0 c) 0 d) -0-6 e) -7cos f) 8e a 7) a) y" ( a + ) b) y -e sen 8

85 9.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS AULA Taas de Variação Relacionadas Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma terceira grandeza, então suas taas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem também estarão. Eemplos: Eemplo: Se y depende de e depende de t, temos: ) Um quadrado se epande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taa de variação de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 5cm. dy dt dy d d dt ) Um cubo se epande de modo que sua aresta varia a razão de,5cm/s. Achar a taa de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 0cm. 84

86 Prof a Paula Francis Benevides ) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taa de 0 m /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m? 85

87 9.8. Máimos e Mínimos Introdução: Suponha que o gráfico abaio tenha sido feito por um instrumento registrador usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eio dos representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(). Por eemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão, corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc. Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é decrescente. y M P N a b c d e A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c, d[ e decrescente de ]d, e[. Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu seu máimo (maior valor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervalos eistem diferentes máimos e mínimos. O ponto M da curva, de abscissa b, situa-se eatamente no ponto onde a função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máimo local em b, ou que f(b) é um máimo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função assume para valores de, próimos de b. Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais alto dos que lhe são próimos. Por isso o adjetivo local. Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O ponto N da curva situa-se eatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente e sua abscissa é c. Observamos que N é o mais baio ponto entre os que lhe são próimos. Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próimos de, próimos de b. Notemos que a função pode apresentar outros máimos e mínimos locais. Definição : Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então: i). f() é máimo de f em l se f() f(c) para todo em l ii). f() é mínimo em f em l se f() f(c) para todo em l Definição : Seja c um valor do domínio de uma função f i). f(c) é máimo local de f se eiste um intervalo (a,b), contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a,b) ii). f(c) é mínimo local de f se eiste um intervalo (a,b), contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a,b) Teorema: Se uma função f tem etremo local para um valor c, então f (c) 0 ou f (c) não eiste. 86

88 Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em cada ponto, conforme o gráfico abaio. B A No ponto B, de máimo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal, paralela ao eio. Logo f (a) f (b) 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função no ponto. Se f é uma função derivável e o ponto tal que f ( o ) 0 ou não eista, dizemos que 0 é um ponto crítico da função f. Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máimos e mínimos locais de uma função ocorrem em pontos críticos da função. A condição f () 0 é necessária para que haja máimo ou mínimo local no ponto, mas não é suficiente. Seja por eemplo a função f(). Derivando temos: f (), logo f () 0 e o ponto de abscissa 0 não é nem máimo local nem mínimo local da função. Definição : Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou f (c)0 ou f (c) não eista. Eemplo: Determine os pontos críticos da função f()

89 9.8.. Determinação dos Máimos e Mínimos locais: º) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f ()0, cujas raízes são as abscissas dos pontos críticos de f. º) Eaminamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de etremo ou não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda Crescimento e Decrescimento de funções: Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). i). Se f () > 0 para todo em (a, b) então f é crescente em [a, b] ii). Se f () < 0 para todo em (a, b) então f é decrescente em [a, b] Teste da Derivada Primeira: Suponhamos que para 0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito próimos de 0 tais que a< 0 <b, então: i). Se tivermos que f (a) > 0 e f (b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a decrescente e podemos afiram que f( 0 ) é um máimo local da função. ii). Se tivermos que f (a) < 0 e f (b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a crescente e podemos afirmar que f( 0 ) é um mínimo local da função. Eemplos: ) Seja a função f() -4. Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem. 88

90 ) Seja a função f() Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem Concavidade e Teste da Derivada Segunda: Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c, então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é: i). Côncavo para cima se f (c) > 0 ii). Côncavo para baio se f (c) <0 Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e f (c)0. i). Se f (c) < 0, então f tem máimo local em c ii). Se f (c) > 0, então f tem mínimo local em c Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para eaminar cada ponto crítico e classificá-lo. Seja 0 a abscissa de um ponto crítico, se f ( 0 ) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para próimo de 0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f( 0 ) é um mínimo local de f. 89

91 Se f ( 0 ) < 0, o gráfico de f é côncavo para baio pra próimo de 0, isto é, f tem concavidade voltada pra baio, e nesse caso, f( 0 ) é um máimo local de f. Resumindo: f '( Mínimo Local: f "( 0 0 ) 0 ) > 0 f '( Máimo Local: f "( 0 0 ) 0 ) < 0 Eemplo: Determinar os pontos máimos ou mínimos da função f() , se eistirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA. 90

92 AULA 7 EXERCÍCIOS ) Ao aquecer um disco circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,0 cm/min. Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que taa esta variando a área de uma face? ) Um tanque em forma de cone com vértice para baio mede m de altura e tem no topo um diâmetro de m. Bombeia-se água à taa de 4m /min. Ache a taa com que o nível da água sobe: a) quando a água tem m de profundidade. b) quando a água tem 8 m de profundidade. ) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda eterior cresce uniformemente à taa de,8 m/s, determine a taa com que a área de água perturbada está crescendo: a) quando r m b) quando r 6m 4) Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaio: a) s(t) t + t 0t +4 b) f() c) g(w) w 4 w 5 π ) cm / min 4 a) m / min π ) b) m / min 4π a)0,8πm / s ) b),6πm / s a) t 5 e 4) b) e 7 c) w 5) a) má - e min / b) má 7 c) má 7/9 6) a) má e min 5 b) má -/4 e min 5 c) má e min - 9 7) P(,- 0) 5) Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão das seguintes funções se eistires, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. a) y b) f ( ) c) f() ) Determine as abscissas dos pontos máimos ou mínimos das seguintes funções, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA. a) f() b) y c) y ) Imagine que a trajetória de uma pedra lançada ao ar seja um trecho da parábola dada por y 5 0 ( e y em metros), determine o ponto máimo da função. Respostas: 9

93 AULA 8 0 INTEGRAIS 0. INTRODUÇÃO: Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou anti-derivada. Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F () f() para todo em l Eemplo: Seja f() F() é a anti-derivada da função f, pois F (0 f(). Mas não eiste uma única integral, note por eemplo que: G() também é uma anti-derivada de f pois G () f90 Na verdade,qualquer função definida por H() c onde é uma constante qualquer, será uma integral de f. 0.. NOTAÇÃO: A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma função encontrada. O símbolo denota a operação de integral, e escrevemos: f ( ) d F( ) + C onde F '( ) f ( ) A epressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a epressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a epressão Integração Indefinida. Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas regras, que veremos a seguir. 0. INTEGRAIS IMEDIATAS n+ n d + c n + ) 5 d d ) d ) 9

94 4) ( ) d 5) + d ( + 5 4) 6) d 7) ( + ). d n+ n v v dv + c n + 8) a + b. d dv ln v + c v d 9) ( ) 9

95 d 0) v v a v v a dv + c ln a e dv e + c e ) d ) e d ) ( a b ) d a b tgv. dv lncosv + c ou tgv. dv lnsecv + c 4) tg d cos secvdv ln(cossecv cot gv) + c 5) cos sec d 94

96 sec vdv tgv + c 6) sec d sec vdv ln(secv + tgv) + c d 7) sec sec. tg. d sec + c sen 8) d cos cossec d cot g + c d 9) + cos 95

97 a dv v v arcsen a + c ou a dv v v arccos + c a d 0) 6 9 dv v dv v arctg + c ou arc c a + v a a cot + a + v a a d ) v v dv a arcsec a v a + c ou v v dv a arccossec a v a + c d )

98 a dv v a ln a a + v v + c d ) 9 dv v a dv ln + c v a a v + a ln( v + v ± a ) + c v ± a d 4)

99 Aula 8- Eercícios 8 ) ( + ) ( + ) ) ( + 6) d 4 ) d ( + ln ) 4) d ( + ) 5) d d 6) ( e + ). e d 7) sen.cos. d sec 8) d + tg a 9) b c d 0).ln ) tg. d d ) ( e ) d sen + cos ) d cos cot g 4) d sen 5) (sec 4 ) d sec. tg 6) d a + bsec cos 7) d 4 sen 4 8) tg. d 9) ( tg + sec) d 0) ( tg + cot g) d a ) 4 + b dt ) 4 9t 4 d cosθ. dθ ) 4 sen θ 4) d 4 arccos 5) d 6) 5 6 d d 7) ( + ) arctg d 8) e + e sec. tg 9) d 9 + 4sec d 0) ) d d ) ( + ) + arccos ) d 98

100 4) d ) 6) 7) d d + + d ) d ) sen + sen e d 40) + e 4) d ln d d 4) sen + cos 4). + d Respostas: 4 ( + ) ) + c ( ) ) + c (cos) + 6 a ln( b c ) + c ln(sec ) + ) 5 5) c 7) c 9) c ) c ( + 6) 4 + c ( + ln ) 4) + c ( e + ) tg + 4 6) c 8) c 0) ln(ln) + c 4e + ) c 4 ln(sec + + l (cot g) 4) + c tg 4 ln(sec4 + tg4) ln( a + bsec ) + 7) c b sen sen + tg tg + + 9) tg + sec + c cot g + tg + a ) arctg + c b b + t + senθ ln + ) ln + c t 4 senθ arccos arc sec + 5) + c 5 + ln ) ln( arctg ) + c arctge + sec 9) arctg + c 6 + arctg + ) arcsen ( ) + c ( + ) arc sec + c arccos + + ln( + 4 7) ln ) ) c 5) c 6) c 8) c 0) c ) c 4) c 6) c 8) c 0) c ) ) c 4) c 5) ( ) arcsen 6 + c + ln( ) ln( ) + 4 ln(9 + 8) +. arctg ) c 7) c 8) c + sen + e arctg + ln arcsen + arctg tg ( + ) + 6 9) c 40) c 4) c 4) c 4) ( ) 4 99

101 AULA INTEGRAIS POR PARTES ). e d u. dv u. v v. du ).ln. d ) + d 00

102 4) ln( + + ) d 5) e sen sen d 0

103 AULA 9 EXERCÍCIOS ) arcsend ) sen d ) sec d 4). sen. d 5). e. d 6). e. d 7). arctg. d 8) d arcsen. ( ) 9) tg.sec. d 0). arctg d ln. d ) ( ) + ) arcsen + d Respostas: ). arcsen + + c sen ) + c 4 ) sec. tg + ln(sec + tg) + c 4).cos + sen + cos + c 5) e ( ) + c 6) e c 8 7) arctg (+ ) + c arcsen + 8) ln + c 9) sec tg sec tg ln(sec + tg) + c ) arctg + c ln ) + ln + c ( + ) + ) arcsen + + arctg + c 0

104 AULA INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do presente capítulo: i). sen + cos ii). + tg sec iii). + cot g cos sec iv). sen ( cos ) v). cos ( + cos ) vi). sen cos sen sen cos y sen( y) + sen( + y) sen seny cos( y) cos( + y) cos cos y cos( y) + cos( + y) ). cos sen i). + cos cos ii). ± sen ± cos π vii). [ ] viii). [ ] i). [ ] Eemplos: ) sen d ) cos d 0

105 ) sen d 6 4) cos d 5) sen cos d 04

106 6) sen. send 7) sen.cos5. d 8) cos 4.cos. d + cos. d 9) ( ) 05

107 0) cos d d ) sen 4 ) tg. d ) cot g d 06

108 AULA 0 EXERCÍCIOS 5 ) cos d ) sen 4 d 4 ) cos. sen. d 5 4) sen.cos d 4 4 5) sen. cos d sen 6) d 4 cos 7) tg 5 d 8) sec 4 d 4 9) sec. tg d 0) tg.sec d 4 4 ) tg. sec d 4 ) cot g d Respostas: 5 ) sen sen + sen + C 5 ) sen + sen4 + C 8 4 ) 7 cos cos 5 + C 4 0 4) 8 cos cos 6 + C 4 8 sen8 5) sen4 + + C ) cos + cos + C 5 4 tg tg 7) + ln sec + C 4 8) tg + tg + C tg tg sec sec 9) + + C ou + C ) 5 sec sec + C tg tg ) + + C 5 7 ) cot g + cot g + + C 9 07

109 AULA 0.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma p( ) R ( ), onde p e q são polinomiais e o grau de p() é menor que o grau de q(). A ídéia é q( ) desdobrar o integrando R() em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser integradas. É fácil verificar que: + + A epressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de. Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo: d d + d +. O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes: CASO : O denominador de R() pode ser decomposto em fatores distintos do o grau. Neste * caso, a cada fator da forma (a + b), a R e, b R, que aparece no denominador, corresponde A uma fração da forma. ( a + b) Eemplos: ( ) ( )( + ) A B C + + ( ) ( ) ( + ) Calcule d + 08

110 09 CASO : O denominador de R() pode ser decomposto em fatores repetidos do o grau. A cada fator da forma (a + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n frações da forma: n n b a A b a A b a A ) (... ) ( Eemplos: ] ) )[( )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A Calcule + + d ) )( ( 4 9 8

111 CASO : O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da forma q() a +b + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do o grau. A cada A + B fator q() que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma q() Eemplo: A + B A + B + ( + + )( + ) ( + + ) ( + ) Calcule d

112 CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da forma q() a + b + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do o grau. A cada fator de q() que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da A + B A + B An + Bn forma n q( ) [ q( )] [ q( )] Calcule d ( + )

113 AULA EXERCÍCIOS 5 ) d ( 4) 7 ) d ( + )( )( ) 6 ) d ( ) + 6 4) d ) d 4 5 6) d ( + ) ( 5) Respostas: ) ln + ln 4 + C ) 4 ln + 5ln + ln + C 5 ) 6 ln + + C 4) ln ln + C 5) ln ln + 4ln + + C 6) 5 ln + ln 5 + C +

114 AULA 0.6 INTEGRAL DEFINIDA: Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal b que g () f() para todo [a, b]. Então f ( ) d g( b) g( a). a A epressão b f ( ) d é chamada de Integral Definida de f de a até b. a Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) g(a). Os valores de a e b são chamados de limites de integração. Eemplos: ) Calcule d ) Calcule 5d ) Calcule 7 0 d

115 0.6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Vamos agora interpretar geometricamente os eemplos e. ) Seja f() 5 (eemplo ). Tomemos a região delimitada por (), o eio e as retas e. y X X Temos um retângulo de base e altura 5, cuja área é dada por: A b.h 5 0u.a (como no eemplo ) ) Seja f() (eemplo ). Tomaremos a região delimitada pelo eio, a função f() e as retas 0 e 7. y 7 f() Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por A u. a. Os fatos observados nestes eemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f()>0 para [a,b], então b f ( ) d nos fornece a área limitada por f() pelas retas a e b e o a eio. 4

116 ) Tomemos agora um eemplo em que f() < 0 em [a, b] ( + ) d + ( ) ( ) + ( ) + ( ) A região delimitada por y (+), pelo eio e as retas - e - é apresentada abaio: y dada por Note que A é um triângulo de base e altura, assim, A u. a. Assim, vemos que f ) A ( d. Em geral se f()<0 em [a, b] a área delimitada por f(), o eio e as retas a e b é A f ( ) d. b a 0.6. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer, então: Eemplo: b a k. f ( ) d k f ( ) d Calcule o valor da integral 5d 0 b a 5

117 . Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é integrável em [a, b] e: b [ ( ) + g( )] d f ( ) d + a b f g( ) d Eemplo: 5 Calcule o valor da integral + d a b a. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então: Eemplo: b ( ) d f ( ) d + a c f f ( ) d Calcule o valor da integral d a c b AULA EXERCÍCIOS Encontre o valor das integrais definidas abaio: ) d 0 ) d 4 ) ( ) d 4) ( + ) d 5) d 4 6) ( + ) d 5 d 7) 6 8) ( t t) dt 4 d 9) ) + 4d 0 7 ) 8 d 0 Respostas: ) 8 5 ) 4 ) 66 4) 4 6 5) 7 5 6) 474 8) 7 9) 8 0) ) 5 7) [ 7 ] 6

118 AULA 0.6. APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f() 0 para todo em [a, b], então temos que o número que epressa a área da região limitada pela curva y f(), o eio e as retas a e b é dada por, em unidades quadradas: A f ( ) d b a Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b. y Área R a b Eemplos: ) Encontre a área limitada pela curva y, o eio e as retas - e. y 7

119 ) Encontre a área limitada pela curva y 4, o eio e as retas y - e y - -4 ) Calcule a área limitada pelas curvas y +, y - - e as retas - e. y 0 A - A -0 8

120 4) Calcule a área da região definida pela curva y 4, o eio e as retas -4 e y A A 9

121 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções. Se f e g são contínuas em f() g() 0 para todo em [a, b], então a área A da região R, limitada pelos gráficos de f, g, a e b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R): b A f ( ) d g( ) d ou b a b a [ f ( ) g( )] d a Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f() e g() e as retas a e b, como ilustra a figura abaio: y f() g() a b Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A A y f() y g() a b a b Sendo f ( d e A ) b a A g( ) d b a A A A A b a f ( ) d b a g ( ) d A [ f ( ) g( )] d b a Assim verificamos que é válido o teorema a seguir: 0

122 Teorema: se f e g são contínuas e f() g() 0 para todo em [a, b], então a área A da região delimitada pelos gráficos de f, g, a e b é: A [ f ( ) g( )] d b a Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções: Esboçar a região, designando por y f() a fronteira superior e por y g() a fronteira inferior. Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações) Calcular a integral A [ f ( ) g( )] d b a Eemplos: ) Encontre a área A limitada pela curva f() + e g() no intervalo de [-, ]

123 ) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y e y AULA EXERCÍCIOS Encontre a área delimitada pelas curvas e as retas dadas. ) y 4, o eio, as retas e. ) y 8-, o eio, as retas 0 e 4. ) y + e y 5 4) y e y 4 5) y e y 6) y sen, o eio, 0 e rad 7) y sen, o eio, 0 e π rad 8) y cos, o eio, 0 e π rad 9) y e y com 0 π 0) y e y Respostas: ) u. a ) u... ) u. a 4) u. a 9 5) u. a 6) u.a. 7) 4 u. a 8) 4 u. a 9) u. a. 0) u..

124 AULA VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: Definição : Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do plano em torno de uma reta no plano, chamada de eio de revolução. Eemplo: Ao girarmos o triângulo abaio em torno do eio y, obtemos um cone de revolução. y y Definição : Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido pela rotação, em torno do eio da região limitada pela curva y f(), o eio e as retas a e b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então: b V π [ f ( )] d Eemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva y e as retas e em torno do eio. a

125 Definição : Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de a, b e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g, com f() g() 0 para todo em [a, b]. Então o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eio é dado por: V b a π [ f ( ) g( ) ] d Eemplo: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região limitada pela parábola y + e a reta y + AULA 4 EXERCÍCIOS ) Seja f() +, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região do plano limitada por f(), pelo eio e as retas - e. ) Seja f ( ), determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região limitada por f(), pelo eio e as retas e. ) Seja f() 4, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região do plano limitada por f() e pelo eio. 4) Em cada um dos eercícios abaio esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e determine o volume do sólido gerado pela rotação de r em torno do eio. a) y, y 4 b) y, y 6, 0 c) y, y 4, Respostas: 56π ) u. v. 5 π ) u. v. 5π ) u. v π 4) a) u. v. b) 7 π u.v. 8π c) u. v. 4

126 AULA 5 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. INTRODUÇÃO: Definição: Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções, denomina-se equação diferencial. Eemplos: dy ) d yd ) dy 0 d y ) + y 0 d Z Z 4) + 0 y Classificação: A função y é denominada incógnita de uma variável independente de. Quando eiste apenas uma variável independente, a equação é denominada ordinária, quando há mais de uma variável livre, equação diferencial de derivadas parciais (4 o eemplo). Ordem: A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de mais alta ordem contida na equação. Grau: Supondo-se a equação escrita sob forma racional inteira em relação às derivadas, o grau da equação é o maior dos epoentes a que esta elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação. Eemplos: d y y d d y d d y y d d y d a ordem e o grau dy Lg Lg d y dy Lg d y dy d e y. dy d y e a ordem e o grau Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto a ordem e grau. 5

127 Resolução: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. dy Eemplo: d Solução geral: solução que contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se valores particulares as constantes arbitrárias. Solução singular: solução que não pode ser deduzida da equação geral. Curvas Integrais: A solução geral de uma ED representa uma família de curvas. Essa solução denomina-se primitiva ou integral da ED. Eemplo: dy ) Seja a equação d 6

128 ) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. a) y + 6 b) y C sen + C cos c) y C + C d) y C e + C e - 7

129 . - EQUAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São equações de a ordem e o grau: dy F (, y) Md + Ndy d 0 ou em que M M(,y) e N N(,y). Estas funções tem que ser contínuas no intervalo considerado ( -, ) 0 TIPO: EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Uma equação do tipo Md + Ndy 0 em que M e N pode ser: a) Funções de apenas uma variável: b) Produtos com fatores de uma só variável ou c) Constantes. é denominada equação de variáveis separáveis. Eemplos: Resolver as seguintes equações: dy ) d ) y d dy 0 8

130 4 ) d dy 0 y 4) tg. sec yd tgysec dy 0 9

131 5) ( ) y d dy 0 6) ( ) dy y d 0 0

132 7) Cálculo Diferencial e Integral dy d + y ( + ) y 8) ( + )dy yd 0

133 9) Cálculo Diferencial e Integral dy d + y + dy 0) + y cos 0 d

134 ) ( + a )(y + b )d + ( a )(y b )dy 0 ) sec tg y d + sec y tg dy 0

135 ) Cálculo Diferencial e Integral dy a + y d dy y d 4) ( + ) y d + ( y ) dy 0 4

136 AULA 5 EXERCÍCIOS Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. ) + y C ) y C e ) C ( y ) 4) y C cos + C sen 5) y (C + C ) e + C 6) y C e + C e - Resolver as equações abaio: dy 7) tgy. 0 d 8) 4y d + ( + ) dy 0 9) (+ y) d - ( ) dy 0 0) y d ( + ) dy 0 ) dy d y e + 4 Respostas: ) d 0 + ydy dy ) y 0 d ) y y d y 4) + 4y 0 d dy d d y d y dy 5) + 0 d d d d y dy 6) y 0 d d 7) cos y C 8) Lg ( + ) C y 9) ( + y)( ) C 0) C y + ) e y arctg C 5

137 AULA 6. - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS São as da forma Md + Ndy 0, onde M e N são funções homogêneas em e y e do mesmo grau. Eemplos: ) ( y ) d y dy 0 6

138 ) ( y) d ( + 4y) dy 0 7

139 ) ( + y ) d y dy 0 8

140 AULA 6 EXERCÍCIOS ) ( y) d ( + y) dy 0 ) ( + y ) d + ( + y)y dy 0 ) ( + y) d + (y ) dy 0 Respostas: ) y + y K ) y + y + k y ) LgC + y arctg 9

141 AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Uma equação do tipo M d + N dy 0 é denominada diferencial eata, se e somente se: M N condição necessária y U P Md + N dy C y onde, P Md Eemplos: ) ( y )d y dy 0 ) ( y + ) d ( + y ) dy 0 40

142 ) e y d + ( e y y) dy FATOR INTEGRANTE: Quando a epressão Md + Ndy não é diferencial eata, isto é, há uma infinidade de funções F (, y), tais que ( Md Ndy) A esta função F (, y), dá-se o nome de fator integrante. M y F + é uma diferencial eata. N, mostra-se que F(): F(y): M N R ( M N ) N y R( y) M y F( ) c. e R( ) d F( y) c. e R( y) dy Eemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em eatas através do fator integrante. ) y d + (y + ) dy 0 4

143 ) ( y ) d + y dy 0 AULA 7 EXERCÍCIOS ) ( + y ) d + ( y + cos y) dy 0 Respostas: ) d + y + dy y y dy + y 4 ) + y + seny K 4 ) y d + dy 0 4) senh.cosy d cosh.seny dy θ θ 5) e ( rdr r d ) 0 6) (cos y + 4 ) d sen y dy 7) tg y d + sec y dy 0 8) seny d + cos y dy 0 Encontre a solução particular em: 9) y dy ( + y ) d para y() 0) y d + dy 0 para y() / ) + + y K ) y K 4) coshycosy K 5) e θ r K 6) cos y + 4 C 7) e tgy C 8) seny. e C 9) y + 0) y ln + 4

144 AULA EQUAÇÕES LINEARES dy Equações lineares são aquelas da forma + Py Q onde P e Q são funções de ou d constantes. Se Q 0, a equação é denominada linear homogênea ou incompleta. o Método: Substituição ou de Lagrange y Pd e e Pd. Qd. + C o Método: Fator Integrante Dado dy + Py Q d (Py Q) d + dy 0 multiplica-se tudo por Pd e transformando a equação diferencial em eata. Eemplos: dy y ) Resolver a equação d por: a. Lagrange 4

145 b. Fator integrante: 44

146 dy ) ytg sen d 45

147 ) ( + seny )dy cosy.d 0 46

148 AULA 8 EXERCÍCIOS dy y cot g ) + 0 d dy ) (+ ) + y arctg d dy ) tg. y + cos d dy y 4) d 5) dy d y + 6) Achar a solução particular para y 0 e dy 0 em ytg d cos Respotas: ) y [ ln( sen) + C] ) y arctg + C. e arctg ) y + sen + C sec 4 4) y C + 5) 6) 6 4 y + y cos C 47

149 AULA EQUAÇÃO DE BERNOULLI Equação da forma: Pois, se: dy d n + Py Qy () para n e n 0 n 0 y + P()y g() caso anterior n y + [P() g()] y 0 caso anterior e homogênea Transformação de variável: Substitui por y n t Deriva-se em relação a : Substituindo (), que é: em () temos: dy d n dy dt ( n) y () d d dy d n + Py Qy Qy n Py ( n) y n n ( Qy Py) n ( n)( Q Py ) dt d dt d como y n t, temos: ( n )( Q Pt) dt d dt d + [( n) P] t ( n) Q Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 48

150 Eemplos: ) dy y d y 49

151 ) Cálculo Diferencial e Integral dy y y d 50

152 AULA 9 EXERCÍCIOS ) dy d + y y dy ) + y y ln d ) dy + y y d dy 4) 4 y + y d dy 5) y y + 0 d Respostas: y ) + + C. e ) y ln(. e) + C ) y + C. y 4) 5) y y ln 4 + C C. ln 5