CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Notas de aula para o Curso de Tecnologia em Mecatrônica Prof. a Paula Francis Benevides 006

2 Conteúdo AULA FUNÇÕES CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO NOTAÇÃO DE FUNÇÃO DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO FUNÇÃO COMPOSTA....6 FUNÇÃO INVERSA Determinação da Função Inversa... AULA.... FUNÇÃO POLINOMIAL.... FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU..... Função linear..... Gráfico de uma função polinomial do o grau Determinação de uma função a partir do gráfico Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do o grau Estudo do sinal da função polinomial do o grau Zero de uma função polinomial do o grau Quadro de sinais da função polinomial do o grau INEQUAÇÕES DO O GRAU Resolução de inequações do o grau Sistemas de inequações do o grau Inequação-produto e inequação-quociente... 0 AULA.... FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU..... Gráfico de uma função quadrática..... Concavidade..... Zeros de uma função quadrática..... Vértice da parábola Gráfico de uma parábola Estudo do sinal da função quadrática INEQUAÇÕES DO O GRAU Resolução de inequações do o grau Sistemas de inequações do o grau Inequação-produto e inequação-quociente... 9 AULA.... FUNÇÃO EXPONENCIAL.... REVISÃO DE POTENCIAÇÃO..... Potências com epoente natural..... Potências com epoente inteiro...

3 .. Potências com epoente racional..... Potências com epoente real Propriedades.... EQUAÇÕES EXPONENCIAIS..... Resolução de equações eponenciais..... Resolução de equações eponenciais com o uso de artifícios FUNÇÃO EXPONENCIAL Gráfico da função eponencial no plano cartesiano Características da função eponencial INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolução de inequações eponenciais... 7 AULA FUNÇÃO LOGARÍTMICA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS COLOGARITMO MUDANÇA DE BASE FUNÇÃO LOGARÍTMICA Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano....7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS... AULA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO DE UM ARCO: Conseqüências: Função seno e função cosseno Gráfico das funções seno e cosseno Função seno: Conclusões Seno é função ímpar Função cosseno Conclusões Cosseno é função par TANGENTE DE UM ARCO Conseqüências Função tangente Gráfico da função tangente Conclusões Tangente é uma função ímpar COTANGENTE DE UM ARCO Conseqüências Função cotangente Gráfico da função cotangente Conclusões Cotangente é uma função ímpar SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO Função secante e cossecante... 5

4 5.. Gráfico da função secante Conclusões Gráfico da função cossecante Conclusões RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Usando o teorema de Pitágoras Usando semelhança entre triângulos Identidades trigonométricas Processo para demonstrar identidades AULA LIMITES NOÇÃO INTUITIVA: Propriedades: AULA LIMITES INFINITOS: Igualdades Simbólicas: Tipo Soma:... 6 Tipo Produto: Tipo Quociente: Tipo Potência:... 6 AULA LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: AULA LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: AULA LIMITES LATERAIS:... 7 AULA ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS INTRODUÇÃO: ASSÍNTOTA VERTICAL ASSÍNTOTA HORIZONTAL FUNÇÕES CONTÍNUAS DEFINIÇÃO:... 7 AULA DERIVADAS INTRODUÇÃO: DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: DEFINIÇÃO: Outras notações para a função derivada: SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA;... 80

5 9.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: Derivada de função Algébrica:... 8 AULA Derivada de Funções Eponenciais e Logarítmicas: AULA Derivada de Funções Trigonométricas: AULA DERIVADAS SUCESSIVAS REGRAS DE L HOSPITAL AULA APLICAÇÃO DAS DERIVADAS Taas de Variação Relacionadas Máimos e Mínimos Introdução: Determinação dos Máimos e Mínimos locais: Crescimento e Decrescimento de funções: Teste da Derivada Primeira: Concavidade e Teste da Derivada Segunda: AULA INTEGRAIS INTRODUÇÃO: NOTAÇÃO: INTEGRAIS IMEDIATAS AULA INTEGRAIS POR PARTES AULA INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS... 0 AULA INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS... 5 AULA INTEGRAL DEFINIDA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS... AULA APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES:... 7 AULA VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:... 0 AULA

6 . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.... INTRODUÇÃO.... DEFINIÇÃO.... CLASSIFICAÇÃO..... Tipo:..... Ordem:..... Grau:..... Linearidade:.... ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:... 5 AULA RESOLUÇÃO Curvas Integrais: Solução: Problema de Valor Inicial (PVI) Teorema da Eistência de uma única solução EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS....7 EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU Equações de variáveis separáveis Resolução:... AULA EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Função Homogênea Equação Homogênas Resolução:... 8 AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Fator Integrante... 5 AULA EQUAÇÕES LINEARES: Fator Integrante: Substituição ou de Lagrange: AULA EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Equações de Bernoulli: AULA Equação de Ricatti

7 AULA - FUNÇÕES. CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO Definição : Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Definição : Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos. Definição : Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B. A B {(, )/ A e B }. Definição : Relação: Dados dois conjuntos A e B, dá-se o nome de relação r de A em B a qualquer subconjunto de A B. r é relação de A em B r A B. Eemplo: Sejam os conjuntos A {0,,,}, B {0,,,6,8,0} e a relação r de A em B, tal que, A e B. Escrever os elementos dessa relação r. Como A : 0 0 (0,0) A B ; (,) A B ; (,) A B ; 6 (,6) A B. Então, r {(0,0), (,), (,), (,6)}. A 0 r 0 B Representação da relação por diagrama. Representação da relação por sistema cartesiano. 7

8 Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B, o conjunto r é formado pelos pares (, ) em que o elemento A é associado ao elemento B mediante uma lei de associação (no caso, ).. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento do conjunto A está associado um e apenas um elemento do conjunto B. Nos eercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B. Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação. Eemplos: ) Dados os conjuntos A {0,5,5} e B {0,5,0,5,0,5}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula 5, com A e B. 0 5 (0,5) A B ; 5 0 (5,0) A B ; 5 0 (5,0) A B. Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. A cada elemento de A está associado um único elemento de B. A B Neste caso, a relação de A em B epressa pela fórmula 5 é uma função de A em B. ) Dados os conjuntos A {,0,,5} e B {0,,5,0,0}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula, com A e B. A B (0,0) A B ; (,) A B ; 5 5 (5,5) A B. O elemento de A não está associado a nenhum elemento de B. Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B. 8

9 ) Dados os conjuntos A {,,,} e B {,,6,9}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula, com A e B A (,9) A B ; (,) A B ; (,) A B ; 9 (,9) A B. Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. A cada elemento de A está associado um único elemento de B. Neste caso, a relação de A em B epressa pela fórmula é uma função de A em B. 6 9 B ) Dados os conjuntos A {6,8} e B {,,}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula, com A e B. A B 6 ou (6,) e (6,) A B ; 8 (8,) A B. Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. O elemento 6 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B. Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B.. NOTAÇÃO DE FUNÇÃO Quando temos uma função de A em B, podemos representá-la da seguinte forma: f : A B (lê-se: função de A em B ) (lê-se: a cada valor de A associa-se um só valor B ) A letra f, em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g, h, etc. Numa função g : R R, dada pela fórmula 8, podemos também escrever g ( ) 8. Neste caso, g ( ) significa o valor de quando, ou g ( )6. 9

10 . DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) f ( ) (a cada elemento A corresponde um único B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D. O domínio da função também chamado campo de definição ou campo de eistência da função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável. O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD. É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Cada elemento do domínio tem um correspondente no contradomínio. A esse valor de damos o nome de imagem de pela função f. O conjunto de todos os valores de que são imagens de valores de forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im. Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma. f : A B f ( ) D A, CD B, Im { CD / é correspondente de algum valor de }. Eemplos: ) Dados os conjuntos A {,,0,} e B {,0,,,,}, determinar o conjunto imagem da função f : A B definida por f ( ). f ()() f ()() f (0)(0) f ()() Im {,,,} A ) Dada a função f : R R definida por f ( ) a b, com a,b R, calcular a e b, sabendo que f () e f (). - 0 A lei de formação da função é f ( ) a b ou a b. f () e a b (i) f () e a ()b (ii) De (i) e (ii), temos: a b a b b b e a a e b f ( ). B 0

11 .5 FUNÇÃO COMPOSTA Tome as funções f : A B, definida por f ( ), e g : B C, definida por g ( ). Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g. f : A B : a cada A associa-se um único B, tal que. g : B C : a cada B associa-se um único z C, tal que z. Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A C, que faz a composição entre as funções f e g : A B C g f z h h : A C : a cada A associa-se um único z C, tal que z ( ). Essa função h de A em C, dada por h ( ), é denominada função composta de g e f. De um modo geral, para indicar como o elemento z C é determinado de modo único pelo elemento A, escrevemos: z g ( ) g ( f ( )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g f (lê-se: g círculo f ) ( g f )( ) g ( f ( )) Eemplos: ) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( ) e g ( ). Determine: a) f ( g ( )). f ( g ( )) f ( ) f ( g ( )). b) g ( f ( )). g ( f ( )) g ( )( ) g ( f ( )). ( ) c) Os valores de para que se tenha f ( g ( )) g ( f ( )). f ( g ( )) g ( f ( )) = =.

12 ) Sendo f ( ) e f ( g ( ))6 8, determine g ( ). Como f ( ), então f ( g ( )) g ( ). Como f ( g ( )) 6 8, então g ( )6 8. g ( ) 6 8 g ( ) g ( ) g ( )..6 FUNÇÃO INVERSA Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições abaio: O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio. Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa.6. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA f se for bijetora. Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa. Para isso trocamos a variável por na lei que define a função e em seguida isolamos o, obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida. Eemplo: ) Obter a lei da função inversa função f. f da função f dada por. trocando a variável por e por. isolando. Então, é a lei da função inversa da função dada por. Logo: f ( ) e f ( ) ) Construir os gráficos das funções f e coordenadas. f do eercício anterior, num mesmo sistema de f ( ) f ( ) Note que os gráficos 0 0 das funções f e f são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do o e o quadrantes f f -

13 5 ) Determinar a função inversa g da função g ( ), cujo domínio é D R. 5 função g. 5 trocando a variável por e por. ( ) 5 isolando. 5 ( ) Logo, g : R R 5 dada por é a função inversa procurada. AULA - EXERCÍCIOS ) Seja a relação de A = {0,, } em B = {0,,,,, 5} definida por g() = +. Faça o diagrama de g e verifique se g é uma função de A em B. Em caso afirmativo escreva o conjunto imagem. ) Seja a função f de D = {,,,, 5} em R definida por f() = ( )( ). Determine o seu conjunto imagem. ) Sejam f e g funções reais definidas, para todo o número real não nulo, por: 5 f ( ) 8 e 5 g ( ) Se a e b são números reais distintos tais que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b ) Considere a função f() real, definida por f() = e f( + ) = f() 5. Determine o valor de f(0) 5) Determine o domínio das seguintes funções: a) f ( ) 5 b) f ( ) c) 7 d) f ( ) 6) Sendo f ( ), e g ( ), ache o valor de f ( g()) g f. 7) Se f ( ), qual o valor de para que f(f()) =? 6 8) Dada a função f ( ) com 5. 5 calcule: a) f - () b) f - () Respostas: ) sim, Im{0, } ) Im = {-, 0, } ) ) 9 5) a) D = R b) D = R {-, } c) D R D R, e, d) 6) 9 7) 5 6 8) a) b)

14 AULA. FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja formulação matemática é epressa por um polinômio.. FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU A função polinomial do o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio de grau. Representação da função polinomial do o grau: f ( ) a b, com a,b R ( a 0). a e b são os coeficientes e a variável independente. Eemplo: Em uma função polinomial do o grau, f ( ), sabe-se que f () e f ()0. Escreva a função f e calcule f. Se f é polinomial do o grau, então podemos escrever: a b. Usando os dados do problema: f () e. Então, a b a b (i). f ()0 e 0. Então, a ()b 0 a b 0 (ii). Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a b a b (ii) a b 0 () a b 0 a 6 a Se a, então b b 6. A função f é dada por f ( ) 6. Cálculo de f : f A função é f ( ) 6 e f 7... FUNÇÃO LINEAR Seja a função polinomial do o grau f ( ) a b. No caso de b 0, temos f ( ) a, e ela recebe o nome especial de função linear.

15 Obs.: Se, em uma função linear tivermos a, teremos f ( ) ou, que se dá o nome de função identidade... GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Para construir o gráfico de uma função polinomial do o grau, atribuímos valores do domínio à variável e calculamos as respectivas imagens. Eemplo: Construir o gráfico da função real f dada por. Par ordenado 5 (,5) (,) 0 (0,) (,) (,) 5 (,5) Definição 9: O gráfico da função linear a ( a 0) é sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. Definição 0: O gráfico da função polinomial do o grau a b ( a 0) intercepta o eio das ordenadas no ponto (0,b )... DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO GRÁFICO Nos eercícios abaio, determine a lei de formação da função f ( ) a b. Eemplo: ) Determine a lei de formação da função f, cujo gráfico cartesiano é:

16 Sabendo-se que a b, do gráfico, temos que: e a ()b a b (i). e a ()b a b (ii). (i) a b (ii) a b b b Se b, então a b a a Logo: A função é f ( ). ) Determine a lei de formação da função f, cujo gráfico cartesiano é: Sabendo-se que a b, do gráfico, temos que: e a ()b a b (i). e a ()b a b (ii). (i) a b () a b (ii) a b a b a a Se a, então b b Logo: A função é f ( )... CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Seja f a função polinomial do o grau definida por f ( ) a b. Podemos determinar que: i) A função f é crescente se o coeficiente a 0; ii) A função f é decrescente se o coeficiente a 0. Eemplo: 6

17 Construir os gráficos das funções f e g do o grau a seguir: i) f ( ) ii) g ( ) i) Aumentando os valores atribuídos a, aumentam também os valores correspondentes da imagem f ( ). ii) Aumentando os valores atribuídos a, diminuem os valores correspondentes da imagem g ( )...5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Definição : Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de temos f ( )0, f ( )0 ou f ( ) Zero de uma função polinomial do o grau Definição : Denomina-se zero ou raiz da função f ( ) a b o valor de que anula a função, isto é, torna f ( )0. Definição : Geometricamente, o zero da função polinomial do o grau f ( ) a b, a 0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eio. Eemplo: Dada a lei de formação da função, construir o gráfico e determinar os valores reais de para os quais: a) 0; b) 0 e c) Podemos notar que a função é decrescente, pois a 0. O zero da função é: 0. Logo, a reta intercepta o eio no ponto de abscissa. A solução do problema é: a) f ( )0 { R ; }; b) f ( )0 { R ; }; c) f ( )0 { R ; }. 7

18 ..5. Quadro de sinais da função polinomial do o grau f ( ) a b, a 0 Zero da função: a b 0 a b a 0 a 0 b a b a f( )<0 f( )>0 b a b f ( ) 0 a f( )>0 f( )<0 b a b f ( ) 0 a f ( ) 0 a b f ( ) 0 a b f ( ) 0 a b f ( ) 0 a b. INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : Denomina-se inequação do o grau na variável toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: a b 0; a b 0; a b 0; a b 0. com a, b R e a 0. Eemplo: Verificar se ( ) ( ) é uma inequação do o grau. ( ) ( ) 0 0 Logo, é um polinômio do o grau, então ( ) ( ) é uma inequação do o grau. 8

19 .. RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição 5: Para se resolver uma inequação do o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). Eemplos: ) Resolver a inequação seguinte: ( ) ( ). Represente a solução na reta real. ( ) ( ) 0 S{ R ; } ( ) ) Resolver a inequação seguinte:. Represente a solução na reta real. 6 ( ) 6 Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum: Simplificando: Multiplicando por (): S{ R ; } 6.. SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição 6: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Eemplo: Resolver a inequação. Apresente o conjunto solução S e represente na reta real. Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema: (i) (i) (ii) (ii) 9

20 (i) (ii) S{ R ; } (i) (ii).. INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Uma inequação do o grau do tipo 80 pode ser epressa por um produto de inequações do o grau, fatorando o o membro da desigualdade: 8 0 ( )( ) 0. Definição 7: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Eemplos: ) Resolver a inequação ( )( ) 0. ( )( )0 ( )( )( ) 0 f() f() 0 a 0 g() g() 0 a 0 h() h() 0 a 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou } ) Resolver a inequação 0. f() f() 0 / a < 0 g() g() 0 a < 0 0

21 f ( ) g( ) f ( ) g( ) S{ R ; } ) Resolver a inequação ( ) ( ) 0 f() f() 0 a 0 g() g() 0 a 0 h() h() 0 a 0 f ( ) g( ) h( ) S{ R ; ou } f ( ) g( ) h( ) - ) Determine o domínio da função ( ) ( ) 5 0 f() f() 0 a 0 g() g() 0 a 0 h() 5 h() 0 5 a 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) - 5 D{ R ; ou 5}

22 ) Dada a função f() = 5, determine: a) f() b) o valor de para que f() = 0 ) Em uma função polinomial do o grau, = f(), sabe-se que f() = e f(-) = 0. Escreva a função f e calcule f ) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fia, no valor de R$900,00 e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Epressar a lei da função que representa seu salário mensal b) Calcular o salário do vendedor que durante um mês ele vendeu R$ ,00 em produtos ) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de.000 dólares no ano de 985, e de.600 dólares em 99. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno () em função do tempo (), considerando = 0 para o ano de 985, = para o ano de 986, = para o ano de 987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 985? 5) Considere as funções f e g definidas em R por f() = 8 e g() = a) Ache as raízes das funções f e g b) Sabendo que os gráficos de f e g são retas concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de intersecção. 6) Resolver a inequação ( ) 0 7) Determinar o conjunto verdade da ( ) inequação: 6 8) Resolver o sistema 5 0 9) João possui um terreno de 000m, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer AULA 0 EXERCÍCIOS (piscina, churrasqueira, etc) deve ter 00m, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máimo, R$ ,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar? 0) Determinar o domínio da função Respostas: ) a) 8 b) /5 ) f() = e f(-/) = 7 ) a) = ,08 b) R$ 900,00 ) a) = b) 05 5) a) 8 e 0 b) (, 6) 6) S R 6 7) S R S R 8) 9) entre 00m e 00m 0) D R

23 AULA. FUNÇÃO POLINOMIAL DO O GRAU Definição 8: A função f : R R dada por f ( ) a b c, com a, b e c reais e a 0, denomina-se função polinomial do o grau ou função quadrática. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função. Note que se a 0 temos uma função do o grau ou uma função constante. Eemplo: Considere a função f do o grau, em que f (0)5, f () e f (). Escreva a lei de formação dessa função e calcule f (5). Resolução Tome f ( ) a b c, com a 0. f (0) 5 a (0) b (0) c 5 c 5 c 5 f () a () b () c a b ( i) f () a () b () c a b ( ii) Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a b (ii) a b (i)(ii) a 6 a b A lei de formação da função será f ( ) 5 f (5)(5) (5)5 f (5)65... GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico de uma função polinomial do o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática: (i) Concavidade (ii) Zeros ou raízes (iii) Vértice.. CONCAVIDADE A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( ) a b c do o grau depende do sinal do coeficiente a :

24 a 0: concavidade para CIMA a 0: concavidade para BAIXO CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA.. ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição 9: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( ) a b c são as raízes da equação do o grau a b c 0, ou seja: b b ac Raízes:. a Considerando b a c, pode-se ocorrer três situações: b i) 0 as duas raízes são reais e diferentes: a e b ii) 0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla):. a iii) 0 não há raízes reais. b a. Obs.: Em uma equação do o grau a b c 0, a soma das raízes é S e o produto é P tal b c que: S e P. a a Definição 0: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do o grau são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eio... VÉRTICE DA PARÁBOLA Considere as parábolas abaio e observe o vértice V ( V, V ) em cada uma: Eio de simetria V(, ) V V V(, ) V V VÉRTICE DE PARÁBOLAS (0 PARA AS DUAS).

25 Uma forma de se obter o vértice V ( V, V ) é: V, já que o vértice encontra-se no eio de simetria da parábola; V a V b V c, já que o V foi obtido acima. Outra forma de se obter o vértice V ( V, V ) é aplicando as fórmulas: b V a e V. a..5 GRÁFICO DE UMA PARÁBOLA Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Eemplos: ) Construir o gráfico da função, determinando sua imagem. a 0 concavidade voltada para cima. Zeros da função: 0 ( )0 0 e. Ponto onde a parábola corta o eio : 0 0 (0,0) Vértice da parábola: b V a V (,) V a Imagem: para todo Real Im { R ; } V ) Construir o gráfico da função 5, determinando sua imagem. a 0 concavidade voltada para baio. Zeros da função: 50. zeros reais. Ponto onde a parábola corta o eio : 0 5 (0,5) Vértice da b V parábola: a V a V (,) Imagem: para todo Real Im { R ; } V

26 ..6 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Os valores reais de que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaio. f ( ) a b c com ( a, b e c R e a 0) a 0 a 0 f ( )0 para ou f ( )0 para ou f ( )0 para f ( )0 para f ( )0 para ou f ( )0 para ou f ( )0 para f ( )0 para f ( )0 real f ( )0 real f ( )0 para f ( )0 para f ( )0 real f ( )0 real f ( )0 real f ( )0 real f ( )0 real f ( )0 real. INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : Denomina-se inequação do o grau na variável toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: a b c 0; a b c 0; 6

27 a b c 0; a b c 0. com a, b, c R e a 0... RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : Para se resolver uma inequação do o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). Eemplo: ) Resolver a inequação 0. Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( ). a 0 Concavidade para cima. 0 0 Duas raízes reais diferentes. S{ R ; ou }. Obs: somente valores positivos. ) Resolver a inequação Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( ) 0 5. a Concavidade para cima. Raiz dupla (única). 5 5 S R. Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero. ) Resolver a inequação Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( ) 5 6. a real Concavidade para baio. Não possui zeros reais. S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero. 7

28 .. SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Definição : O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Eemplo: 8 6 ) Resolver o sistema de inequações. 5 0 Resolução (i) (ii) 50. Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( ) 6 8. a Concavidade para cima. Duas raízes reais diferentes. - - S(i){ R ; ou }. Reta real: - - Resolução de (ii): S(ii){ R ; 5}. Reta real: -5 Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii): (i) - - (ii) -5 (i) (ii) -5 S{ R ; 5}. ) Resolver a inequação. Resolução (i) 0 () 0. (ii) Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( ). a 0 Concavidade para cima. 0 ( )0 Zeros{0,}. 0 Duas raízes reais diferentes. 0 0 S(i){ R ; 0 ou }. Reta real: 0 8

29 Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( ) 6. a 0 Concavidade para cima Duas raízes reais diferentes. 5 - S(ii){ R ; }. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii): (i) 0 - (ii) - (i) (ii) - 0 S{ R ; 0 ou }... INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Definição : RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Eemplos: ) Resolver a inequação ( )( )0. Resolução f() a e = g() a e = f() g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) - - S{ R ; ou }. 9

30 ) Resolver a inequação Resolução f() 5 6 a 0 0 e g() 6 a e f() g() - - f ( ) g( ) f ( ) g( ) - S{ R ; ou ou }. ) Determine o domínio da função f ( ) Resolução f só representa um número real se 0. 6 f() 0 a e 5 g() 6 a 0 g() = 0 6 f() g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) D { R ; 5 ou 6}. 0

31 AULA 0 EXERCÍCIOS ) Considere a função f do 0 grau, onde f(0) = 5, f() = e f(-) =. Escreva a lei de formação dessa função e calcule f(5). ) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função = + m passe pelo ponto (, 6). ) Determinar os zeros da função = 5. ) Seja a função f() = + k. Sabendo que essa função possui dois zeros reais iguais, determine o valor real de k. 5) A função f() = + k + 6 possui duas raízes reais, m e n, de modo que 5. Determine o valor de f(-) m n nessa função. 6) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f ( ) 5. 7) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por = a + b 9 tenha o vértice no ponto (, - 5). 8) Determinar o conjunto imagem da função f() = +. 9) A função f() = 6 admite valor máimo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 0) Considerar todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre esses retângulos, determinar aquele que terá área máima. Qual será essa área? ) Determinar p de modo que a função f()= p + (p ) + p assuma valores positivos para todo real. ) Resolver a inequação + 0. ) Determinar o conjunto solução da inequação ) Resolver a inequação < +. 5) Resolver a inequação Respostas ) f() = f(5) = - 65 ) ) 5 e - ) / 5) 5 6) V, 0 0 7) a = e b = - 8 8) Im R / 9) O valor mínimo da função é = - 5/ 0) O retângulo que terá a maior área será o de lados 0 cm e 0cm, e a área máima será de 00cm. ) p R / p ) S R, ou, ) S = R ) S R 0 ou } 5) S = { R < - ou -< <}

32 . FUNÇÃO EXPONENCIAL. REVISÃO DE POTENCIAÇÃO AULA.. POTÊNCIAS COM EXPOENTE NATURAL Sendo a um número real e n um número natural, com n, definimos: n a a a a a. n fatores Para n e n 0 são definidos: a a. 0 a ( a 0)... POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO Se a é um número real não-nulo ( a 0) e n um número inteiro e positivo, definimos: n a a n... POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL definimos: Se a é um número real positivo e m n a n a m... POTÊNCIAS COM EXPOENTE REAL m n um número racional, com n inteiro positivo, Podemos considerar que as potências com epoente real têm significado no conjunto dos números reais. Temos, por eemplo:... Propriedades 0 5, Para as potências com epoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias: m a m a n m n a a. n a m n m n a m n ( a ) a. n ( a b) a n n b. ( a 0). a b n n a b n ( b 0).

33 Eemplos ) Dê o resultado mais simples de ( ) 5. Resolução Usando as propriedades, temos: ) 5 ( 5 0 ) ( ) Calcule o valor da epressão Resolução ) Simplifique Resolução ( ) 5 8. ) Calcule 8. Resolução Primeira resolução: Segunda resolução: 8 ( ) ) Determine o valor de 8, 8. Resolução 0 7 8, 0 8 0, 70, , 5 ( ) 9. 6) Qual o valor de Resolução ( 0 ) 5 5 ( 0, )? ( 0 ) ( 0, ) 0 5 (0 ) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 5 ( 5) Definição 5: Chama-se equação eponencial toda equação que contém incógnita no epoente. Eemplo:

34 .. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Para resolver uma equação eponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato: Definição 6: Se a 0, a e é a incógnita, a solução da equação a a p é p. Eemplos: ) Resolver a equação 5. Resolução Usando as propriedades das potências, vamos transformar o o e o membros da equação em potências de mesma base: 5 ( ) S. ) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se: a)qual a produção P dessa empresa t anos depois? b)após quantos anos a produção anual da empresa será de 0500 unidades? Resolução 50 a) Obs: 50% 0,5 00 Um ano depois: 80000, (0,5)8000,5 Dois anos depois: (8000,5),58000 (, 5) Três anos depois: (8000 (, 5) ),58000 (, 5) Produção P, t anos depois: P8000 (, 5) b)fazendo P0500, na fórmula anterior, obtemos a equação: t (, 5) Resolvendo a equação: t (, 5) t t 0500 (, 5). Obs:, t t t t. Desse modo, a produção anual da empresa será de 0500 unidades após anos. ) Determine o conjunto solução da equação 8 no universo dos números reais. Resolução 0 Sabendo que 8, temos: S{}.

35 .. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM O USO DE ARTIFÍCIOS Para se resolver determinadas equações eponenciais, são necessárias algumas transformações e artifícios. Eemplos: ) Resolver a equação 5 0. Resolução Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: 5 0 ( ) 5 0 ( ) 5 0. Fazendo, temos a equação do o grau em : Voltando à igualdade : : : S{0,} e. ) Determine o conjunto solução da equação 5 5. Resolução Preparando a equação, temos: Fazendo 5, temos: 5 5 Voltando à igualdade 5: 5 : 5 S{} : Esta equação não tem raiz em R, pois. FUNÇÃO EXPONENCIAL 5 0, para todo real. Definição 7: A função f : R R dada por f ( ) a (com a 0 e a ) é denominada função eponencial de base a... GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NO PLANO CARTESIANO Dada a função f : R R, definida por f ( ) a (com a 0 e a ), temos dois casos para traçar seu gráfico: (i) a e (ii) 0 a. (i) a. 5

36 ) Traçar o gráfico de f ( ). f ( ) Obs.: Quanto maior o epoente, maior é a potência f ( s) a é crescente. a, ou seja, se a a função (ii) 0 a. ) Traçar o gráfico de f ( ). f ( ) Obs.: Quanto maior o epoente, menor é a potência a, ou seja, se 0 a a função f ( ) a é decrescente. Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:.. CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Seja f : R R, definida por f ( ) a (com a 0 e a ). Domínio da função f são todos os números reais D R. Imagem da função f são os números reais positivos Im R. A curva da função passa pelo ponto (0,). 6

37 A função é crescente para a base a. A função é decrescente para a base 0 a.. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Definição 8: São inequações eponenciais aquelas que aparecem incógnitas no epoente... RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Para resolver inequações eponenciais, devemos observar dois passos importantes: Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; Verificar a base da eponencial, a ou 0 a, aplicando as propriedades abaio. Caso (i): a m a a n m n As desigualdades têm mesmo sentido Eemplos: ) Resolva a inequação. Resolução 5 Como, a inequação pode ser escrita: 5 Caso (i): a. 5. S{ R ; 5}. ) Resolva a inequação ( ). Resolução 0 ( ) ( ) ( ) Caso (i): a. 0 Tome f ( ) f ( )0 0 0 Caso (ii): 0 a m a a n m n As desigualdades têm sentidos diferentes 0 S{ R ; / ou 0}. ) Resolva a inequação Resolução 7 7 Caso (ii): 0 a. 7 0 () 0. S{ R ; 0}.. 7

38 AULA - EXERCÍCIOS ) Uma cultura inicial de 00 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. a) Qual a população dessa cultura após horas do instante inicial? b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 5.00 bactérias? ) Resolva as equações: a) 8 7 b) 0 8 ) Determine o conjunto solução das seguintes equações: a) b). 6 6 c) 5 ) Se f() = + e g() =, determine para que f(g()) =. 5) Cada golpe de uma bomba etrai 0% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de m e, inicialmente, esta cheio. a) Após o 5 o golpe, qual o valor mais próimo para o volume de óleo que permanece no tanque? b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes? 6) Resolva as inequações: 5 5 a) b) 5 X c) 0,75 7) Determine o domínio da função Respostas: ) a) 800 bactérias b) 9 horas ) a) / b) ) a) {0, } b) {, } c) {, } ) = 0 5) a) 0,59m b) f(n) =. (0,9) n 6) a) { R /, ou, } b) { R / } c) { R / 0} 7) { R / } 8

39 . FUNÇÃO LOGARÍTMICA. DEFINIÇÃO DE LOGARITMO AULA 5 Definição 9: Dados dois números reais positivos, a e b, com a, eiste um único número real de modo que a b. Este número é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se log a b. Podemos então, escrever: a b log b ( a 0 e b 0). Na igualdade log a a b, temos: a é a base do logaritmo; b é o logaritmando ou antilogaritmo; é o logaritmo. Eemplos: Calcular o valor de nos eercícios seguintes: ) log. ) log 6. 6 ) log ) log ) log 5. Obs.: log b significa log b. Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 0.. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 0 Tome a 0, b 0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se verificar que: O logaritmo de em qualquer base é igual a zero. 0 log a 0, pois a. O logaritmo da própria base é igual a. log a a, pois a a. 9

40 O logaritmo de uma potência da base é igual ao epoente. log m, pois a m. m a a m a O logaritmo de b na base a é o epoente ao qual devemos elevar a para obter b. b, pois a b log b. a b a log. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS a Logaritmo de produto log a( ) log a log a ( a 0, 0 e 0). Logaritmo de quociente loga log a log a ( a 0, 0 e 0). Logaritmo de potência log m log ( a 0, 0 e m R ). m a a. COLOGARITMO Cologaritmo de um número positivo b numa base a ( a 0) é o logaritmo do inverso desse número b na base a. co log a b log a co log a b log a b ( a 0 e b 0). b Eemplo: Sabendo que log a e log 5 b, calcule os logaritmos abaio, em função de a e b. log 5 log 5 log (5) log log 5 a b. log 675 log 675 log ( 5 ) log log 5 log log 5 a b. log log log 0 5 log 0 log 5 b..5 MUDANÇA DE BASE As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base. A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. Seja: log a b a b. Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos: logc b log c a log c b log c a log c b, mas log a b. logc a Então: 0

41 logc b log a b ( a 0, c 0 e b 0). logc a Eemplos: ) Sendo log 0, e log 0,, calcule log 6. log 6 log( ) log 6 log log ) Resolva a equação log log log6 7. A condição de eistência é 0. Transformando para a base : log log log6 7 log log log 7 log log6 log log log 7 log log log 8 7 log 8 log log log 0, 0, 0, 7 7. log 0, 0, 6 6 satisfaz a condição de eistência. Logo, o conjunto solução é:s{6}. ) Resolva a equação log ( ) log ( )5. Condições de eistência são: 0 e 0 e. Então:. log ( ) log ( )5 log [( )( )]5 ( )( ) não satisfaz a condição de eistência mas, 6 satisfaz. Logo, o conjunto solução é: S{6}.

42 .6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função eponencial g : R R definida por g ( ) a (com a 0) é bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaio. Definição 0: A função f : R R definida por f ( ) log (com a 0) é chamada função logarítmica de base a..6. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NO PLANO CARTESIANO Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função eponencial. Seja f : R R, tal que log a e f : R R, tal que a. Os gráficos de f e serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal. (i) a a = = log a f = a GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a ). (ii) 0 a. = a = = loga GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0 a ).

43 .7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Eemplos: ) Resolva a inequação log ( ) log. Condição de eistência: 0 (i). Base: (0 a ). Como a base é um número entre 0 e, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. (ii). A solução da inequação deve satisfazer as duas condições: (i) (ii) 7 (i) (ii) S{ R ; 7}. 7 ) Resolva a inequação log ( ) log ( 0). a Condição de eistência: 0 0 ou (i). a Condição de eistência: 00 5 (ii). Base: ( a ) A solução da inequação deve satisfazer as três condições: (i) 0 (ii) -5 (iii) - 5 (i) (ii) (iii) -5-0 S{ R ; 5 ou 5}. 00 ou 5 (iii). ) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 0% ao ano. Depois de quanto tempo, aproimadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use log 0,). 0 p p 0 (0,) t p p 0 (0,8) t p p 0 p 0 Procura-se p, logo: 8 0 t

44 t p0 8 p 0 ( p0 0) 0 t t 0 0 Aplicando log 0 em ambos os membros, temos: log 0 t t log 0( 0 ) log 0 t t log 0( 0 ) log 0 t t log0 log00 log0 t log0 t log00 0, t 0,t 0,0,9 t t 0,0, t t O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de anos. t AULA 05 EXERCÍCIOS ) Resolva as seguintes equações: a) log ( ) = b) log ( ) = c) (log ) log 6 = 0 d) log 5 (log ) = ) Sabendo que log = 0,0 e log = 0,77, calcule: a) log 6 b) log 5 c) log,5 d) log ) Qual o conjunto solução da equação a) log ( ) log ( ) b) log log 0 00 Respostas: ) a) b) ½ c) {/9, 7} d) ) a) 0,778 b) 0,699 c) 0,98 d) 0,85 ) a) b) 00 ) { R /, ou,, e, 5} 5) a) S { R / } b) S { R / 6} c) S { R / 5} ) Determine o campo de eistência da função f ( ) log ( ) log ( 0 5) 5) Resolva as inequações: a) log (5 ) > log b) log ( ) > c) log ( ) + log ( )

45 AULA 6 5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 5. SENO E COSSENO DE UM ARCO: Tome o arco dado na figura abaio: N O P M A Seno de um arco é a ordenada do ponto P. sen ON MP. Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P. cos OM NP. 5.. CONSEQÜÊNCIAS: Arco para o conceito de seno e cosseno. Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que nem maiores que. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre e, o que nos permite concluir: sen e cos 5.. FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO Função seno é a função que associa a cada arco R o número sen R, ou sen. Função cosseno é a função que associa a cada arco R o número cos R, ou cos. 5.. GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO Para estudar a função seno ( sen ) e a função cosseno ( cos ) vamos variar no intervalo [0,] Função seno: sen O A O 6 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO. 5

46 5... Conclusões O domínio da função sen é o conjunto dos números reais, isto é, D R. A imagem da função sen é o intervalo [,], isto é, sen. Toda vez que somamos a um determinado valor de, a função seno assume o mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função sen é p. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco. Quando adicionamos k ao arco, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica de período. sen sen( k ), k Z (Inteiros) Seno é função ímpar No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números e têm imagens simétricas em relação ao eio das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen( )sen. Quando uma função f é tal que f ( ) f ( ), para todo do seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. Como sen( ) sen, para todo real, podemos afirmar que a função seno é ímpar Função cosseno cos O A O 6 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO Conclusões O domínio da função cos é o conjunto dos números reais, isto é, D R. A imagem da função cos é o intervalo [,], isto é, cos. O período da função cos é p. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco. Quando adicionamos k ao arco, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica de período. cos cos ( k ), k Z (Inteiros). 6

47 5...6 Cosseno é função par No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números e têm imagens simétricas em relação ao eio das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. Então, cos ( ) cos. Quando uma função f é tal que f ( ) f ( ), para todo do seu domínio, dizemos que f é uma função par. Como cos ( ) cos, para todo real, podemos afirmar que a função cosseno é par. Eemplos: ) Construa o gráfico da função sen, dando o domínio, a imagem e o período. sen sen () O Observando o gráfico, temos: D R, Im [,], e p. ) Construa o gráfico da função cos, dando o domínio, a imagem e o período. cos Observando o gráfico, temos: D R, Im [,], e p. O 5. TANGENTE DE UM ARCO Tome o arco dado na figura abaio: 7

48 eio das tangentes N O P M T A ARCO PARA O CONCEITO DE TANGENTE. Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT). tan AT. 5.. CONSEQÜÊNCIAS O eio vertical, suporte de AT, é chamado eio das tangentes. Podemos dizer que tan só é definida se R e k ( k Z ). 5.. FUNÇÃO TANGENTE Função tangente é a função que associa a cada arco R, com k ( k Z ), o número tan R, ou tan. 5.. GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE Para estudar a função tangente ( tan ) vamos variar no intervalo [0,].,7 0,58 O A O 6 0,58,7 5.. CONCLUSÕES Gráfico da função tangente. O domínio da função tan é o conjunto dos números reais R, com k ( k Z ), isto é, D { R / k, k Z }. A imagem da função tan é o conjunto dos números reais. 8

49 Toda vez que somamos k a um determinado valor de, a função tangente assume o mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função tan é p. tan ( k ) tan, k Z TANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR Como função tangente é ímpar. tan( ) tan, para todo real, com k ( k Z ), podemos afirmar que a 5. COTANGENTE DE UM ARCO Tome o arco dado na figura abaio: N O B P M A C eio das cotangentes Arco para o conceito de cotangente. Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC). cot BC. 5.. CONSEQÜÊNCIAS O eio horizontal, suporte de BC, é chamado eio das cotangentes. Podemos dizer que cot só é definida se R e k ( k Z ). 5.. FUNÇÃO COTANGENTE Função cotangente é a função que associa a cada arco R, com k ( k Z ), o número cot R, ou cot. 9

50 5.. GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE Para estudar a função cotangente ( cot ) vamos variar no intervalo [0,].,7 0,58 O A O 6 0,58,7 5.. CONCLUSÕES GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE. O domínio da função cot é o conjunto dos números reais R, com k ( k Z ), isto é, D { R / k, k Z }. A imagem da função cot é o conjunto dos números reais. Toda vez que somamos k a um determinado valor de, a função cotangente assume o mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função cot é p. cot ( k ) cot, k Z COTANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR Como cot( ) cot, para todo real, com k ( k Z ), podemos afirmar que a função cotangente é ímpar. 5. SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO Tome o arco dado na figura abaio: D N O P M A S Arco para o conceito de secante e cossecante. 50

51 Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eio das abscissas no ponto S e o eio das ordenadas no ponto D. sec OS. cos sec OD. 5.. FUNÇÃO SECANTE E COSSECANTE Função secante é a função que associa a cada arco R, com k ( k Z ), o número sec R, ou sec Função cossecante é a função que associa a cada arco R, com k ( k Z ), o número cos sec R, ou cos sec. 5.. GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE Para estudar a função secante ( sec ) vamos variar no intervalo [0,].,,5 O A O 6,5, Gráfico da função secante. 5.. CONCLUSÕES O domínio da função sec é o conjunto dos números reais R, com k ( k Z), isto é, D { R / k, k Z }. A imagem da função sec é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a ou menores ou iguais a, isto é, Im { R / ou }. Toda vez que somamos k a um determinado valor de, a função secante assume o mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função sec é p. sec ( k ) sec, k Z. 5

52 5.. GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE Para estudar a função cossecante ( cos sec ) vamos variar no intervalo [0,].,,5 O A O 6,5, 5..5 CONCLUSÕES GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE. O domínio da função cos sec é o conjunto dos números reais R, com k ( k Z ), isto é, D { R / k, k Z }. A imagem da função cos sec é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a ou menores ou iguais a, isto é, Im { R / ou }. Toda vez que somamos k a um determinado valor de, a função cossecante assume o mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função cos sec é p. cos sec ( k ) cos sec, k Z. 5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Será feito o estudo das relações que eistem entre as funções trigonométricas, pois elas têm muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como base o ciclo trigonométrico e um ângulo dado. D eio das tangentes B C eio das cotangentes N O P T M A S Funções trigonométricas no ciclo. Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo : 5

53 sen ON ; cos OM ; tan AT ; cot BC ; sec OS e cos sec OD. Analisando as funções no ciclo e fiando inicialmente o ângulo, podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: O unidade cossec sec BD sen tan A C cos cot F E Funções adaptadas no ciclo. Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: sen AB ; cos OA; tan CD ; cot OE ; sec OD e Daí tiram-se três triângulos semelhantes: OAB OCD OEF. cos sec OF. O cos B A sen O tan C O sec D Triângulos semelhantes. cossec cot F E 5.5. USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS sen cos ; tan sec ; cot cos sec USANDO SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os triângulos: Razões do triângulo para : sec sec ; cos cos tan sen sen tan. cos cos 5

54 Razões do triângulo para : cos sec cos sec ; sen sen cot cos cos cot. sen sen Razões do triângulo para : cos sec sec tan cot cot tan cos sec. tan sec ; tan Eemplos: Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os eercícios que seguem abaio: ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. tan sen ; sec cos. sec ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. sen ; cossec cot cos. cos sec ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. cos sec sec ; cot tan. cot 5.5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS A igualdade sen cos é verdadeira para qualquer pertencente aos domínios das funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica. Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou seja, após uma demonstração. Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas acima, que são identidades. 5

55 5.5.. Processo para demonstrar identidades Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma mesma epressão. Eemplos: Nos eercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades: ) tan sen tan sen Levar do triângulo para : tan sen tan sen sen sen sen sen cos cos sen sen sen cos cos cos sen sen (sen ) cos cos sen sen C.Q.D. (como queríamos demonstrar). cos cos ) ( cot ) ( cot ) cos sec O cos B A sen O D tan C O sec cossec cot F E O cos B A sen O D tan C O sec cossec cot F E Todas as funções já se encontram no triângulo ( cot ) ( cot ) cos sec ( cot ) ( cot ) cos sec cot cot cot cot cos sec cot cos sec (cot ) cos sec cos sec cos sec C.Q.D., basta desenvolver: 55

56 ) sec cos sec sec cos sec O cos B A sen O D tan C O sec cossec cot F E Levar do triângulo para : sec cos sec sec cos sec sec sec sec sec tan tan sec tan sec sec tan tan sec (tan ) sec tan tan sec (sec ) sec tan tan sec sec C.Q.D. tan tan ) sen cos cos sec sec O cos B A sen O D tan C O sec cossec cot F E Levar dos triângulos e para : sen cos cos sec sec sen cos sen cos sen cos sen sen C.Q.D. 56

57 5) cos sec sen cot sec cos O cos B A sen O D tan C O sec cossec cot F E Levar dos triângulos e para : cos sec sen cot sec cos cos sec cos sec cot cos sec cot cot cos sec cos sec cos sec cot Obs: cos sec cot cos sec cot cot cos sec cot cot cos sec cot cos sec cos sec cot cot cos sec cot cos sec cot cot cot 0 cot cot cot C.Q.D. AULA 6 EXERCÍCIOS ) Dado sen = /, com 0<< /, calcular cos. ) Para que valores de a temos, simultaneamente, sen=a + e cos = a? ) Dado cos, com, calcule tg. ) Simplifique a epressão tg cot g. sec cot g 5) Demonstre as seguintes identidades: a) ( + cotg )( cos ) = b) tg + cotg = tg. Cossec sen cos c) tg cos cos Respostas: 7 ) cos ) a = 0 ou a = - ) tg ) sec 57

58 AULA 7 6. LIMITES 6. NOÇÃO INTUITIVA: Seja a função f()= +. Vamos dar valores a que se aproimem de, pela sua direita (valores maiores que ) e pela sua esquerda (valores menores que ) e calcular o valor correspondente de. = + = +,0 0,6,0 0,7,0 0,9,0 0,95, 0,98, 0,99 Notamos que a medida que se aproima de, se aproima de, ou seja, quando tende para ( ), tende para ( ), ou seja: lim ( ) De forma geral, escrevemos: lim f ( b a ) 6.. PROPRIEDADES:. lim [ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ) a a a. lim [ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ). lim lim a f ( ) g( ) a f ( ) lim lim a a f ( ) g( ) a n a0 f ( ), lim n N n *. 5. lim Eemplos: a n a f ( ) n lim a f ( ), n N 6. lim sen( f ( )) senlim f ( ) a ) lim ( ) a * a 58

59 ) lim ( cos ) cos ) lim 0 0 ) lim ( ) 5) lim 6) lim sen( ) 7) lim ( ) 8) lim 9) lim 9 5 0) lim ) lim ) lim 0 59

60 ) lim ( ) ) lim 0 (cos sen ) 8 5) lim h 6) lim h h 5 t 5 7) lim t 0 t ( t) 6 8) lim t0 t 9) lim 0) lim 0 ) lim 5 60

61 AULA 07 EXERCÍCIOS ) lim ( 5 ) ( ) ( ) ) lim ) lim 5 ) lim ) lim 6) lim 7) lim 5 6 8) lim ) lim 0) lim ) lim ) lim ) lim 0 ) lim 5) lim 0 6) lim 7) lim 5 Respostas ) 8 ) ) 6 5 ) -0 5) - 6) - 7) 8) 9) 80 0) ) 0 ) ) ) 5) 6) 7) 5 6

62 AULA 8 6. LIMITES INFINITOS: Quando os valores assumidos pela variável são tais que > N, sendo N tão grande quanto se queria, então se diz que o limite da variável é infinito. lim ou lim 6.. IGUALDADES SIMBÓLICAS: 6... Tipo Soma: a. () + ( ) = b. (+ ) + (+ ) = + c. - + (- ) = - d. - = indeterminado 6... Tipo Produto: a. 5 ( ) = b. (-5) ( ) = c. (+ )(+ ) = + d. (+ )(- ) = - e. 0 = indeterminado 6... Tipo Quociente: c a. 0 b. c 0 c. 0 0 d. e 0 indeterminado 6... Tipo Potência: a. c (c>) b. c 0 (0<c<) c. 0 0 d. c 0 e. ( ) 6

63 f. ( ) c (se c for ímpar) g. ( ) c (se c for par) h. ( ) 0 i. ( ) c 0 j. 0 0 = indeterminado k. ( ) 0 indeterminado l. indetermindado Obs.: O limite de uma função polinomial quando tende ao infinito, é o limite do termo de maior grau. Eemplos: ) lim ( ) 5 ) lim 5 ) lim ) lim ) lim 6) lim ( ) 6

64 AULA 08 EXERCÍCIOS ) lim (5 ) 5 ( ) ( ) ( 5 8) ( 5 ) ( ) ) lim ) lim ) lim 5) lim 6) lim 7) lim 8) lim 9) lim 5 0) lim ) lim ) lim 7 ) lim ( ) ) lim 5) lim 6) 5 lim 5 7) lim 8) lim ( ) 9) lim ( ) Respostas: ) + ) - ) - ) + 5) + 6) - 7) + 8) 9) 0 0) ) 0 ) + ) ) 5) - 6) 7) 8) 9) + 6

65 6. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: AULA 9 sen lim 0 Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que: Usando valores de 0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próimos. Eemplos: Sen 0,008 0,008 0,006 0,006 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 sen ) lim 0 cos ) lim 0 sen5 ) lim 0 sen sen5 sen ) lim 0 sen sen 65

66 sen 5) lim 0 sen9 tg 6) lim 0 cos 7) lim 0 sen( m) 8) lim 0 sen( n) 66

67 sen ) lim 0 sen ) lim 0 tg ) lim 0 sen ) lim 0 sen tg 5) lim 0 tg5 cos 6) lim 0 sen sec 7) lim 0 tg sen 8) lim 0 sen cos 9) lim 0 tg tg sen 0) lim 0 sen sen ) lim 0 sen cos5 cos ) lim 0 sen sen sen ) lim 0 sen sen( a) sena ) lim 0 cos 5) lim 0 AULA 9 EXERCÍCIOS ) ¼ ) / ) / 5) /5 6) ½ 7) ½ 8) 9) - 0) 0 ) 0 ) 0 ) ) cos a 5) / Respostas: ) / 67

68 AULA 0 6. LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: lim e () Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e, cujo valor aproimado é,7888 X,5,70 0,597 00, , , ,78 Nota-se que a medida que, De forma análoga, efetuando a substituição temos: 0 ) e lim ( e () e Ainda de forma mais geral, temos: () l lim 0 ( k) e kl () lim k l e kl a (5) lim 0 ln a e (6) lim 0 Eemplos: ) lim 68

69 ) lim ( 0 ) ) lim 0 e ) lim 0 sen 5 5) lim lim 6) 0 7) lim 0 sen 8) lim 0 e e 9) lim 0 sen 5 0) lim 0 sen ) lim log 6 69

70 AULA 0 - EXERCÍCIOS ) lim ) lim e 5 ) lim e ) lim log 5 5) lim ln 6) lim log 0 7) lim 8) lim 9) lim 0) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ( 0 ) 5) lim ( 0 ) 6) lim 7) lim 8) lim ln( ) 9) lim 0 ln( ) 0) lim 0 Respostas ) 8 ) e ) e - ) - 5) ln 6) 0 7) e 8) e / 9) e 0) e ) e ) e 6 ) e -6 ) e 5) e -6 6) e - 7) e 8) e 9) ½ 0) / 70

71 AULA 6.5 LIMITES LATERAIS: Consideramos uma função = f(), da qual queremos achar os limites laterais para tendendo a a, ou seja, queremos calcular: lim a f ( )? Limite lateral à direita lim a f ( )? Limite lateral à esquerda Vejamos como proceder em cada caso: Limite a direita (quando a + ) Fazemos a seguinte troca de variável: = a + h, com h > 0 a, devemos ter h 0 Eemplo: lim ( ) Limite a esquerda (quando a - ) Fazemos a seguinte troca de variável: = a h, com h > 0 a devemos ter h 0 Eemplo: lim ( ) O Limite de uma função eiste quando lim f ( ) lim f ( ) a a 7

72 AULA - EXERCÍCIOS ) lim ( ) ) lim 5 ) lim 5 0 ) lim 5) lim ( ) 6) lim 7) lim ( ) 8) lim ( ) 9) lim 0) lim ) lim 0 ) lim 0 ) lim 0 ) lim 0 5) Calcule os limites laterais solicitados. se a) f ( ) se se lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) - - se c) f ( ) se se lim Respostas: ) 9 ) ) ) 6 5) 6) 7) 0 8) 0 9) - 0) + ) 0 ) + ) ) 0 5) a) e 5 b) e - c) e f ( ) e lim f ( ) b) f ( ) 0 - lim se se se f ( ) e lim f ( ) 7

73 AULA 7. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 7. INTRODUÇÃO: Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas eistam. Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta, pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função 7. ASSÍNTOTA VERTICAL Dizemos que a reta = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: i. lim f ( ii. iii. iv. lim lim lim ) a f ( ) a f ( ) a f ( ) a 7. ASSÍNTOTA HORIZONTAL Dizemos que a reta = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: i. lim f ( b ) f ( ) ii. lim b Eemplos: ) Seja a função f ( ). Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela eistirem. ( ) 7

74 ) Considere a função f ( ) ( ) ela eistirem.. Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se 8. FUNÇÕES CONTÍNUAS 8. DEFINIÇÃO: Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições: i. f (a) ii. lim f ( ) lim a f ( ) f ( a iii. ) a Eemplos: Verifique se as funções abaio são contínuas no ponto indicado: ) f ( ) 5 em = 7

75 ) f ( ) em = ) se f ( ) se em = se 75

76 AULA - EXERCÍCIOS Escreva a equação das assíntotas das funções abaio, faça um esboço do gráfico da função: 5 ) ) ) ) 5) ( ) Verifique se as funções abaio são contínuas nos pontos indicados 6) 7) ( ) se se f em = 9 ( ) ( ) f em = 8) f 5 em = 5 se 9) f ( ) em = se Respostas ) = é a equação da assíntota vertical e = 0 é a assintota horizontal ) = é a equação da assíntota vertical e = é a assintota horizontal ) = 0 é a equação da assíntota vertical e = 0 é a assíntota horizontal ) = é a equação da assíntota vertical e = 0 é a assíntota horizontal 5) = é a equação da assíntota vertical e = - é a assíntota horizontal 6) a função não é contínua 7) a função é continua 8) a função é contínua 9) a função não é contínua 76

77 AULA 9. DERIVADAS 9. INTRODUÇÃO: O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências naturais como humanas. O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução de problemas cotidianos. 9. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: Seja f uma função representada no gráfico abaio: f ( ) Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor P(, f()). Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (, f()). f ( ) 77

78 Seja P(, f()) e Q ( + h, f( +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q. f( +h) Q f () s f () P R + h Sabemos que o coeficiente angular m PQ da reta secante é dado pr QR mpq ms tg PR f ( h) f ( ) m s (i) inclinação da reta secante h Podemos tomar no gráfico pontos Q, Q, Q, Q 5,... Q n cada vez mais próimos de P, a reta s(pq) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero. f( +h) Q f () s Q Q f () P Q R + h Logo: m m t t lim lim 0 0 m s f ( h) h f ( ) onde m representa o coeficiente angular da reta tangente. Esse limite quando eiste é chamado Derivada de t 78

79 9. DEFINIÇÃO: Seja uma função f: D R, e seja D o conjunto de todos os valores tal que eista f (). Chama-se função derivada de f a função f : D R tal que: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) Eemplo: ) Se f() = determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa = ) Seja a função f: R R tal que f() =. Obter a função derivada de f: 79

80 ) Utilizando a definição calcule a derivada da função f()= 9.. OUTRAS NOTAÇÕES PARA A FUNÇÃO DERIVADA: (lê-se: derivada de ) (lê-se: derivada de em relação a ) d (derivada de em relação a ) d Df (derivada de f) 9. SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a epressão que nos dá o espaço (posição) em função do tempo, s=f(t). Quantitativamente a velocidade eprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um S espaço S em um intervalo de tempo t, a velocidade é dada pelo quociente v, que é uma t razão constante. Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea. Se um automóvel percorre 0 km em horas, não podemos concluir deste fato que sua velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 0km pelo tempo de horas gastos em percorrê-los é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro do veículo denominamos velocidade instantânea. 80

81 Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória retilínea de origem O e que em um instante t ocupe uma posição S e num instante t ocupe uma posição S. Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é S S S ou S f ( t) f ( t) e que o tempo gasto para percorrê-lo é t t t. Logo, sua velocidade média neste percurso é: S S S f ( t ) f ( t) V m t t t t t Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t, dada por: V lim t0 S t lim f ( t ) f ( t t t ) logo: Mas t t t t t t e considerando t um instante genérico t, temos t t t, V lim t 0 f ( t t) t f ( t) que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja: Se S = f(t) então S (t) = v Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= f(t), o que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante qualquer, isto é: Se v = f(t) então v (t) = a Onde a é a aceleração instantânea do móvel. 8

82 9.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas. ) f() = c f () = 0 ) f() = n f () = n. n- ) f() = u.v f () = u v + uv ) f() = u.v.w f () = u vw + uv w + uvw 5) f ( ) u v u' v uv' f '( ) v 6) f() = u n f () = n.u n-.u 7) f() = a u f () = a u.ln a.u 8) f() = e u f () = e u.u 9) f() = ln u 0) f() = log a u u' f '( ) u u' f '( ) u.ln a ) f() = cos u f () = - u.sen u ) f() = sen u f () = u.cos u ) f() = tg u f () = u.sec u ) f() = cotg u f () = - u.cossec u 5) f() = sec u f () = u.sec u. tg u 6) f() = cossec u f () = - u.cossec u. cotg u 7) f() = u v f () = v.u v-.u + u v.v.ln u f '( ) u v v ( v'ln u. u') u 8) f() = arc sen u 9) f() = arc cos u f '( ) f '( ) u' u u u 0) f() = arc tg u u' f '( ) u 8

83 9.5. DERIVADA DE FUNÇÃO ALGÉBRICA: Eemplos: ) = ) ) ) ( )( 5) ) 6) 5 ( ) 7) 8) 8

84 ) = 5X X + X + X + 5 ) = ) 5 7 ) 5) 5 6) 7) 5 8) 6 9) 5 5 0) 7 ) 5 5 ) ) = ( + )( + ) ) = ( )( )( ) 5) = ( + 8) 8 6) = (a- b) 6 7) a b 8) ( 5 ) 9) ( a ) a 0) 5 ) ) ) ) a a Respostas: ) = ) = AULA - EXERCÍCIOS ) = + 5 ) ' 5) 0 ' 6 6) ' 7) ' 5 5 8) ' 8 9) ' ) ' ( 7) 6 5 ) ' ( 5 5) ) ' ( ) ) = ) = ) = ( )( + ) 7 6) = -b(ª-b) 5 7) ' b ( a b ) 0 8) ' 5 a 9) ' a 5 8 0) ' ) ' (6 5) ) ) ) ' ' ' ( ) ( ) a ( a ) 8

85 AULA 9.5. DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS: Eemplos: ) ) e ) e ) e a 5) e e 6) log 7) log ( ) a e e 8) e e 85

86 ) = ) = e ) ) 5) 6) 7) 8) 8 e e 7 e ( ) ( ) 9) ln 0) log ) ln ) ln ) ln 9 ) ln 5) e ln 6) 7) ln ln AULA - EXERCÍCIOS Respostas: ) ' ln ) ) ' e ' 8. e 7 ) ' e.( ) 5) ' 7.ln 7.( ) 8 e ( ) 6) ' 7) ' ( ) ( ) ln( ) 8) ' ( )( ) ( )..ln( ) ln 9) ' 0) ' ln0 ) ' ( ) ) ' ( ) ) ' 9 ln ) ' ( ln ) 5) ' e ln 6) ' (ln ) ln 7) ' 86

87 AULA DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Eemplos: ) = sen 5 ) = cos ) = tg ) = sec 5) = tg 6) = tg 7) = cotg( ) 8) = cos 9) = sen.cos 0) cos ) arccos 87

88 AULA5 - EXERCÍCIOS ) = cossec 7 ) = sen + cos ) = sen 5 ) = 5sen 5) tg 6) sen 7) cos e 8) (cos ) 9) sen cos 0) e sen ) sec ) sen. e ) arcsen ) arctg 5) arcsen( ) 6) arctg 7) arcsen(5 ) 8) arccot g( ) 9) arcsec 0) arccos sec( ) ) arcsen ). arctg ) ln arccos Respostas ) = -7cossec7.cotg7 ) = cos-sen ) = 5sen.cos ) = 5sen.cos tg 5) ' cos. sen cos 6) ' ( sen cos ) cos 7) ' e 8) ' (cos ) (ln cos tg ) 9) ' sec 0) ' e ( sen cos ) ) ' sec. tg ) = e (sen+cos+sen) ) ' 9 ) ' 5) ' 9 6) ' 6 7) ' 6 0 8) ' 9) ' 6 0) ' ( ) ) ' ) ' arctg ) ' arccos. 88

89 AULA DERIVADAS SUCESSIVAS Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A I. Vimos que a derivada de f em A denotamos por f. Se f é derivável em um intervalo B, B A, a esta derivada de f denotamos por f denominamos derivada segunda de f. Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas. Eemplo: ) Obtenha até a derivada de 5 a ordem da função f() = 5 5 ) Dada a função f() = +, pede-se calcular f (-) e f (6) (5) 9.7 REGRAS DE L HOSPITAL Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 0 0 ou. Esse método é dado pelas regras de L Hospital. Regras de L Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos que g () 0 para todo a em I. f '( ) i). Se lim a f ( ) lim a g( ) 0 e lim a L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim a lim a L g( 0 g'( ) 89

90 f '( ) ii). Se lim a f ( ) lim a g( ) e lim a L então: g'( ) f ( ) f '( ) lim a lim a L g( ) g'( ) f '( ) f '( ) Obs.: A regra de L Hospital continua válida se lim a ou lim a g'( ) g'( ) Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito. Eemplos: Determinar ) lim 0 e. ) sen lim 0 ) cos lim 0 ) lim 5) 6 lim 90

91 AULA 6 EXERCÍCIOS ) lim ) lim ) lim e ) lim ln sen 5) lim 0 e 6) lim e e 7) lim tg 8) lim 0 sen e e 9) lim 0 sen 0) lim sen sen ) lim sen ) lim 0 a b ) lim 0 sen ) lim e 5) lim 0 cos 6) Obter a derivada terceira das seguintes funções: a) f() = + + b) f() = 5 + c) f ( ) d) f() = - e) f() = sen f) f() = e 7) Obter a derivada segunda das seguintes funções: a) a b) = e.cos Respostas ) ) ) 0 ) 5) 0 6) 0 7) e 8) 9) 0) ) 0 ) 6 ) a ln b ) 0 5) - 6) a) 6 b) 0 c) 0 d) -0-6 e) -7cos f) 8e a 7) a) " ( a ) b) = -e sen 9

92 9.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS AULA TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma terceira grandeza, então suas taas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem também estarão. Eemplo: Se depende de e depende de t, temos: Eemplos: ) Um quadrado se epande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taa de variação de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 5cm. d dt d d d dt ) Um cubo se epande de modo que sua aresta varia a razão de,5cm/s. Achar a taa de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 0cm. 9

93 ) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taa de 0 m /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de m? 9.8. MÁXIMOS E MÍNIMOS Introdução: Suponha que o gráfico abaio tenha sido feito por um instrumento registrador usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eio dos representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(). Por eemplo, os valores de podem representar medidas de temperaturas, pressão, corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc. Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é decrescente. M P N a b c d e 9

94 A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c, d[ e decrescente de ]d, e[. Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu seu máimo (maior valor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervalos eistem diferentes máimos e mínimos. O ponto M da curva, de abscissa = b, situa-se eatamente no ponto onde a função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máimo local em = b, ou que f(b) é um máimo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função assume para valores de, próimos de b. Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais alto dos que lhe são próimos. Por isso o adjetivo local. Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O ponto N da curva situa-se eatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente e sua abscissa é = c. Observamos que N é o mais baio ponto entre os que lhe são próimos. Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próimos de, próimos de b. Notemos que a função pode apresentar outros máimos e mínimos locais. Definição : Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então: i). f() é máimo de f em l se f() f(c) para todo em l ii). f() é mínimo em f em l se f() f(c) para todo em l Definição : Seja c um valor do domínio de uma função f i). f(c) é máimo local de f se eiste um intervalo (a,b), contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a,b) ii). f(c) é mínimo local de f se eiste um intervalo (a,b), contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a,b) Teorema: Se uma função f tem etremo local para um valor c, então f (c) = 0 ou f (c) não eiste. Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em cada ponto, conforme o gráfico abaio. No ponto B, de máimo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal, paralela ao eio. Logo f (a) = f (b) = 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função no ponto. Se f é uma função derivável e o ponto tal que f ( o ) = 0 ou não eista, dizemos que 0 é um ponto crítico da função f. 9

95 Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máimos e mínimos locais de uma função ocorrem em pontos críticos da função. A condição f () = 0 é necessária para que haja máimo ou mínimo local no ponto, mas não é suficiente. Seja por eemplo a função f() =. Derivando temos: f () =, logo f () = 0 e o ponto de abscissa = 0 não é nem máimo local nem mínimo local da função. Definição : Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou f (c)=0 ou f (c) não eista. Eemplo: Determine os pontos críticos da função f() = Determinação dos Máimos e Mínimos locais: o ) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f ()=0, cujas raízes são as abscissas dos pontos críticos de f. o ) Eaminamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de etremo ou não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda Crescimento e Decrescimento de funções: Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). i). Se f () > 0 para todo em (a, b) então f é crescente em [a, b] ii). Se f () < 0 para todo em (a, b) então f é decrescente em [a, b] 95

96 9.8.. Teste da Derivada Primeira: Suponhamos que para = 0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito próimos de 0 tais que a< 0 <b, então: i). Se tivermos que f (a) > 0 e f (b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a decrescente e podemos afiram que f( 0 ) é um máimo local da função. ii). Se tivermos que f (a) < 0 e f (b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a crescente e podemos afirmar que f( 0 ) é um mínimo local da função. Eemplos: ) Seja a função f() = -. Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem. ) Seja a função f() = Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão se eistirem. 96

97 Concavidade e Teste da Derivada Segunda: Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c, então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é: i). Côncavo para cima se f (c) > 0 ii). Côncavo para baio se f (c) <0 Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e f (c)=0. i). Se f (c) < 0, então f tem máimo local em c ii). Se f (c) > 0, então f tem mínimo local em c Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para eaminar cada ponto crítico e classificá-lo. Seja 0 a abscissa de um ponto crítico, se f ( 0 ) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para próimo de 0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f( 0 ) é um mínimo local de f. Se f ( 0 ) < 0, o gráfico de f é côncavo para baio pra próimo de 0, isto é, f tem concavidade voltada pra baio, e nesse caso, f( 0 ) é um máimo local de f. Resumindo: f '( Mínimo Local: f "( 0 0 ) 0 ) 0 f '( 0 ) 0 Máimo Local: f "( 0 ) 0 Eemplo: Determinar os pontos máimos ou mínimos da função f() = , se eistirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA. 97

98 AULA 7 - EXERCÍCIOS ) Ao aquecer um disco circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,0 cm/min. Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que taa esta variando a área de uma face? ) Um tanque em forma de cone com vértice para baio mede m de altura e tem no topo um diâmetro de m. Bombeia-se água à taa de m /min. Ache a taa com que o nível da água sobe: a) quando a água tem m de profundidade. b) quando a água tem 8 m de profundidade. ) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda eterior cresce uniformemente à taa de,8 m/s, determine a taa com que a área de água perturbada está crescendo: a) quando r = m b) quando r = 6m ) Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaio: a) s(t) = t + t 0t + b) f() = c) g(w) = w w 5) Determine os pontos de máimo, de mínimo e de infleão das seguintes funções se eistires, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. a) = b) f ( ) c) f() = ) Imagine que a trajetória de uma pedra lançada ao ar seja um trecho da parábola dada por = 5 0 ( e em metros), determine o ponto máimo da função. Respostas: 5 ) cm / min a) m / min ) b) m / min a)0,8m / s ) b),6 m / s a) t 5 e ) b) e 7 c) w 5) a) má = - e min = / b) má = 7 c) má = 7/9 6) a) má = e min = 5 b) má = -/ e min = 5 c) má = e min = - 9 7) P(,- 0) 6) Determine as abscissas dos pontos máimos ou mínimos das seguintes funções, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA. a) f() = b) = c) =

99 AULA 8 0. INTEGRAIS 0. INTRODUÇÃO: Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou anti-derivada. Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F () = f() para todo em l Eemplo: Seja f() = + +. F() = + + é a anti-derivada da função f, pois F (0 = f(). Mas não eiste uma única integral, note por eemplo que: G() = também é uma anti-derivada de f pois G () = f90 Na verdade,qualquer função definida por H() = c onde é uma constante qualquer, será uma integral de f. 0.. NOTAÇÃO: A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma função encontrada. O símbolo denota a operação de integral, e escrevemos: f ( ) d F( ) C onde F' ( ) f ( ) A epressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a epressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a epressão Integração Indefinida. Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas regras, que veremos a seguir. 0. INTEGRAIS IMEDIATAS n d n c n ) 5 d d ) 99

100 d ) ) ( ) d 5) d ( 5 ) 6) d n n v v dv c n 7) ( ). d 8) a b. d dv v d 9) ( ) ln v c 00

101 d 0) v a dv v a v v c ln a e dv e c e ) d ) e d ) a b a b d 0

102 tgv. dv ln cos v c ou tgv. dv ln secv c ) tg d cos secvdv ln(cos secv cot gv) c 5) cos sec d sec vdv 6) sec d tgv c sec vdv ln(sec v tgv) c d 7) sec sen 8) d cos sec. tg. d sec c 0

103 d 9) cos cossec d cot g c a dv v v arcsen c a ou a dv v v arccos c a d 0) 6 9 d ) 9 dv v dv v arctg c ou arc c a v a a cot a v a a v v dv a v arcsec c a a ou v v dv a v arccos sec c a a d ) 9 0

104 a dv v a ln a a v v c d ) 9 dv v a dv ln c v a a v a ln( v v a ) c v a d ) 7 0

105 8 ) d ( ) ( ) ) d ( 6) ) d ( ln ) ) d ( ) 5) d 6) ( e ). e d 7) sen.cos. d sec 8) d tg a 9) d b c d 0).ln ) tg. d d ) ( e ) sen cos ) d cos cot g ) d sen 5) (sec ) d sec. tg 6) d a bsec cos 7) d sen 8) tg. d 9) ( tg sec) d 0) ( tg cot g) d a ) d b dt ) 9t cos. d ) sen AULA 8 - EXERCÍCIOS d ) arccos 5) d 6) d 6 5 d 7) ( ) arctg d 8) e e sec. tg 9) d 9 sec d 0) 5 d ) d ) ( ) arccos ) d ) d 7 d 5) 7 6 d 6) 7) d 9 8) d 9 8 sen 9) d sen e d 0) e d ) ln d ) sen cos ). d 05

106 Respostas: ( ) ) c ) ( 6) + c ( ) ) c 6 ( ln ) ) c 5 5) c e ( ) (cos ) 6 tg a ln( b c c 6) c 7) c 8) c 5 9) ) c 0) ln(ln) + c ln(sec ) e ln(sec ) ) c ) c ) c l (cot g) tg ln(sec tg) ln( a bsec ) b sen sen tg tg tg sec cot g tg ) c 5) c 6) c 7) c 8) c 9) c 0) c a b b t ln t sen ln sen ) arctg c ) c ) c arcsec arccos 5 ln ln( arctg ) ) c 5) c 6) c 7) c 8) arctge c sec arctg 6 arctg arcsen( ) arcsec c arccos ln( 7) ln 0 7 9) c 0) c ) c ) ) c ) c 5) 7 6 arcsen c 6 ln( ) 9 ln( 9) ln(9 8). arctg 9 9 6) c 7) c 8) c 9) sen c e 0) arctg c ln arcsen arctg tg 6 7 ( ) 6 ) c ) c ) 06

107 AULA 9 0. INTEGRAIS POR PARTES u. dv u. v v. du ). e d ).ln. d ) d 07

108 ) ln( ) d 5) e sen sen d 08

109 AULA 9 - EXERCICIOS ) arcsend ) sen d ) sec d ). sen. d 5). e. d 6). e. d 7). arctg. d 8) arcsen. d 9) tg.sec. d 0). arctg d ln. d ) ( ) ) arcsen d Respostas: ). arcsen c sen ) c ) sec. tg ln(sec tg) c ).cos sen cos c 5) e ( ) c 6) e.. c 8 7) arctg ( ) c arcsen 8) ln c 9) sec tg sec tg ln(sec tg) c 8 8 0) arctg c ln ) ln c ( ) ) arcsen arctg c 09

110 AULA 0 0. INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do presente capítulo: i). sen cos ii). tg sec iii). cot g cos sec iv). sen ( cos ) v). cos ( cos ) vi). sen cos sen sen cos sen( ) sen( ) sen sen cos( ) cos( ) cos cos cos( ) cos( ) ). cos sen i). cos cos ii). sen cos vii). viii). i). Eemplos: ) sen d ) cos d 0

111 ) sen d 6 ) cos d 5) sen cos d

112 6) sen. send 7) sen.cos5. d 8) cos.cos. d 9) cos. d

113 0) cos d d ) sen ) tg. d ) cot g d

114 AULA 0 - EXERCÍCIOS 5 ) cos d ) sen d ) cos. sen. d 5 ) sen.cos d 5) sen. cos d sen 6) d cos 7) tg 5 d 8) sec d 9) sec. tg d 0) tg.sec d ) tg. sec d ) cot g d Respostas: 5 ) sen sen sen C 5 ) sen sen C 8 ) 7 cos cos 5 C 0 ) 8 cos cos 6 C 8 sen8 5) sen C ) cos cos C 5 tg tg 7) ln sec C 8) tg tg C tg tg sec sec 9) C ou C 6 6 0) 5 sec sec C tg tg ) C 5 7 ) cot g cot g C 9

115 AULA 0.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma p( ) R( ), onde p e q são polinomiais e o grau de p() é menor que o grau de q(). A ídéia é q( ) desdobrar o integrando R() em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser integradas. É fácil verificar que: A epressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de. Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo: d d d. O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes: CASO : O denominador de R() pode ser decomposto em fatores distintos do o grau. * Neste caso, a cada fator da forma (a + b), a e, b, que aparece no denominador, A corresponde uma fração da forma. ( a b) Eemplos: ( ) ( )( ) A B C ( ) ( ) ( ) 9 Calcule d 5

116 6 CASO : O denominador de R() pode ser decomposto em fatores repetidos do o grau. A cada fator da forma (a + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n frações da forma: n n b a A b a A b a A ) (... ) ( Eemplos: ] ) )[( )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A Calcule d ) )( ( 9 8

117 CASO : O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da forma q() = a +b + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do o grau. A A B cada fator q() que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma q() Eemplo: A B A B ( )( ) ( ) ( ) Calcule d 8 7

118 CASO : O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da forma q() = a + b + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do o grau. A cada fator de q() que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da A B A B An Bn forma... n q( ) [ q( )] [ q( )] 5 Calcule 7 d ( ) 8

119 5 ) d ( ) 7 ) d ( )( )( ) 6 ) d ( ) 6 ) d ) d 5 6) d ( ) ( 5) AULA - EXERCICIOS Respostas: ) ln ln C ) ln 5ln ln C 5 ) 6 ln C ) ln ln C 5) ln ln ln C 6) 5 ln ln 5 C 9

120 AULA 0.6 INTEGRAL DEFINIDA: Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal b que g () = f() para todo [a, b]. Então f ( ) d g( b) g( a). a A epressão b f ( ) d é chamada de Integral Definida de f de a até b. a Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) g(a). Os valores de a e b são chamados de limites de integração. Eemplos: ) Calcule d ) Calcule 5d ) Calcule 7 0 d 0

121 0.6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Vamos agora interpretar geometricamente os eemplos e. ) Seja f() = 5 (eemplo ). Tomemos a região delimitada por (), o eio e as retas = e =. = = Temos um retângulo de base e altura 5, cuja área é dada por: A = b.h = 5 = 0u.a (como no eemplo ) ) Seja f() = (eemplo ). Tomaremos a região delimitada pelo eio, a função f() = e as retas = 0 e = 7. 7 f()= Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por A u. a. Os fatos observados nestes eemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f()>0 para [a,b], então b a. f ( ) d nos fornece a área limitada por f() pelas retas =a e = b e o eio

122 ) Tomemos agora um eemplo em que f() < 0 em [a, b] ( ) d ( ) ( ) abaio: A região delimitada por = (+), pelo eio e as retas = - e = - é apresentada dada por Note que A é um triângulo de base e altura, assim, A u. a. Assim, vemos que f ) A ( d. Em geral se f()<0 em [a, b] a área delimitada por f(), o eio e as retas = a e =b é b a A f ( ) d PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS então:. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer, b a k. f ( ) d k f ( ) d b a Eemplo: Calcule o valor da integral 5d 0

123 . Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é integrável em [a, b] e: Eemplo: b [ ( ) g( )] d f ( ) d a b f g( ) d Calcule o valor da integral a 5 b a d. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então: b ( ) d f ( ) d a Eemplo: c f f ( ) d Calcule o valor da integral d a c b AULA - Eercícios Encontre o valor das integrais definidas Respostas: abaio: 8 ) ) d 0 5 ) ) d ) 66 ) ( 5) d ) 6 ) ( ) d 5) 7 5) d 6) ( ) d 5 d 7) 6 8) ( t t) dt d 9) ) d 0 7 ) 8 d 0 5 6) 7 8) 7 9) 8 0) ) 5 7) 7

124 AULA 0.6. APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f() 0 para todo em [a, b], então temos que o número que epressa a área da região limitada pela curva = f(), o eio e as retas = a e = b é dada por, em unidades quadradas: A f ( ) d Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b. Área = R b a a b Eemplos: ) Encontre a área limitada pela curva =, o eio e as retas = - e =. = =

125 ) Encontre a área limitada pela curva =, o eio e as retas = - e = - ) Calcule a área limitada pelas curvas = +, = - - e as retas = - e =. 0 A - A - 0 5

126 ) Calcule a área da região definida pela curva =, o eio e as retas = - e = A - - A 6

127 0.6.. ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções. Se f e g são contínuas em f() g() 0 para todo em [a, b], então a área A da região R, limitada pelos gráficos de f, g, =a e = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R): ou A f ( ) d g( ) d b a b a [ f ( ) g( )] d b a Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f() e g() e as retas = a e = b, como ilustra a figura abaio: f() g() a b Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A A f() g() a b a b Sendo A f ( ) d e A g( ) d b a A = A A A f ( ) d b a b a g ( ) d A [ f ( ) g( )] d b a b a 7

128 Assim verificamos que é válido o teorema a seguir: Teorema: se f e g são contínuas e f() g() 0 para todo em [a, b], então a área A da região delimitada pelos gráficos de f, g, = a e = b é: A [ f ( ) g( )] d b a Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções: Esboçar a região, designando por = f() a fronteira superior e por = g() a fronteira inferior. Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações) Calcular a integral A [ f ( ) g( )] d Eemplos: b a ) Encontre a área A limitada pela curva f() = + e g() = no intervalo de [-, ] 8

129 ) Encontre a área A da região limitada pelas curvas = e = - +. AULA Eercícios Encontre a área delimitada pelas curvas e as retas dadas. ) =, o eio, as retas = e =. ) = 8-, o eio, as retas = 0 e =. ) = + e =5 ) = e = 5) = e = 6) = sen, o eio, = 0 e rad 7) = sen, o eio, = 0 e = rad 8) = cos, o eio, = 0 e = rad 9) = e = com 0 0) = e = Respostas: ) u. a ) 8 u. a.. ) u. a ) u. a 9 5) u. a 6) u.a. 7) u. a 8) u. a 9) u. a. 0) u. a. 9

130 AULA VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: Definição : Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do plano em torno de uma reta no plano, chamada de eio de revolução. Eemplo: Ao girarmos o triângulo abaio em torno do eio, obtemos um cone de revolução. Definição : Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido pela rotação, em torno do eio da região limitada pela curva = f(), o eio e as retas = a e = b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então: b V [ f ( )] d a Eemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva e as retas = e = em torno do eio. 0

131 Definição : Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de = a, = b e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g, com f() g() 0 para todo em [a, b]. Então o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eio é dado por: V b a f ( ) g( ) d Eemplo: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região limitada pela parábola = + e a reta = + AULA Eercícios ) Seja f() = +, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região do plano limitada por f(), pelo eio e as retas = - e =. ) Seja f ( ), determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região limitada por f(), pelo eio e as retas = e =. ) Seja f() =, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eio, da região do plano limitada por f() e pelo eio. ) Em cada um dos eercícios abaio esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e determine o volume do sólido gerado pela rotação de r em torno do eio. a) =, = b) =, = 6, = 0 c), =, = Respostas: 56 ) u. v. 5 ) u. v. 5 ) u. v. 5 6 ) a) u. v. b) 7 u.v. 8 c) u. v.

132 . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. INTRODUÇÃO AULA 5 Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada d d de uma função nada mais é do que uma outra função encontrada por uma regra apropriada. Como por eemplo, a função é diferenciável no intervalo, e a sua derivada é d e.. Se fizermos e teremos: d d. () d Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação () e perguntasse qual é a função representada por? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde dada uma derivada, encontrar uma antiderivada. Não podemos deiar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por eemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas; a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por eemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza; a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza; o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; consequentemente, não eiste a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: d d em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: d d f ( ) é possível escrever: d f ( )d que se denomina equação diferencial.

133 uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.. Definição Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. Eemplo : d ) d ) d d 0 d d ) 0 d d ) "' ( ") ' cos 5) ( ") ( ') d d 6) 5 dt dt z z 7) z z 8) z. CLASSIFICAÇÃO.. TIPO: Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, como em () a (6), as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6) Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação diferencial parcial (EDP)... ORDEM: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As equações (), () e (6) são de primeira ordem; (), (5) e (7) são de segunda ordem e () é de terceira ordem.

134 .. GRAU: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos eemplos acima são do primeiro grau, eceto (5) que é do segundo grau. As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. Eemplo : d d d d d d d d a ordem e o grau d d ln ln d d ln d. e e d d d a ordem e o grau Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto a ordem e grau... LINEARIDADE: Dizemos que uma equação diferencial ordinária n n d d d an( ) a ( ) a( ) a0( ) g( ) n n n d d d de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições: ) A variável dependente e todas as suas derivadas ', ",... n são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo é um. ) Os coeficientes a 0, a,... a n de, ',... n dependem quando muito da variável independente. Eemplo : ) ( ) d 8d 0 d d ) 7 0 d d d d ) 5 d d São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e terceira ordem.

135 . ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como C ou A B, é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um número menos de constantes. Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se as n constantes entre as (n + ) equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva. Eemplo : Obter a equação diferencial associada às primitivas abaio: a) C b) = C sen + C cos c) = C 5

136 d) = C + C e) = a cos( + b) onde a e b são constantes f) = C e + C e - 6

137 AULA 5 - EXERCÍCIOS ) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. a) + = C b) = C e c) = C ( ) d) = C cos + C sen e) = (C + C ) e + C f) = C e + C e - g) ln a h) + 5 = C i) = A + B + C j) = Ae + Be + C k) = C e + C e + C e l) ln = A + B ) Obter a equação diferencial da família de círculos de raio 0, cujos centros estejam sobre o eio. Respostas: a) d d 0 b) d 0 d c) d d d) d 0 d e) d d d 0 d d d f) d d 0 d d d ln d d d 5 d d g) 0 h) 0 i) d 0 d j) d d d 0 d d d k) d d d l) d ) d d d d " ' ( ')

138 AULA 6.5 RESOLUÇÃO Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração..5. CURVAS INTEGRAIS: Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial. Eemplo 5: d d.5. SOLUÇÃO: É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. As soluções ainda podem ser: Solução eplícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma f ( ) é chamada solução eplícita. Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G(, ) 0 trata-se de uma solução implícita. 8

139 Eemplo 6: Consideremos a resolução da seguinte EDO: d d c d d A solução geral obtida é obviamente uma solução eplicita. Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: d tem como solução: Ce, ou seja, uma solução implícita. d Eemplo 7: Verifique que é uma solução para a equação d no intervalo (, ). 6 d Resolução: Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação diferencial como d d 0 e verificar, após a substituição, se a diferença acima é d d zero paratodo no intervalo. d d d 6 d Substituindo na E.D., temos Esta condição se verifica para todo R.5. PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) Seja a equação diferencial de primeira ordem d f (, ) sujeita a condição inicial d ( 0 ) 0, em que 0 é um número no intervalo I e 0 é um número real arbitrário, é chamado de problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto ( o, o ) determinado a priori. 9

140 Eemplo 8: Seja c.e a família a um parâmetro de soluções para '= no intervalo (, ). Se especificarmos que (0) =, então substituindo = 0 e = na família, temos: 0 c.e c e.e Se especificarmos que () =, então temos: c.e c.e e e.e e Será que a equação diferencial d f (, ) possui uma solução cujo gráfico passa pelo d pelo ponto ( o, o )? Ainda, se esta solução eistir, é única? Eemplo 9: As funções = 0 e são soluções para o problema de valor inicial 6 d d (0 ) 0 Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma, deseja-se saber se uma solução eiste e, quando eiste, se é a única solução para o problema..5. TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO Seja R uma região retangular no plano definida por a b, c d, que contém o df ponto ( 0, 0 ) em seu interior. Se f (, ) e são contínuas em r, então eiste um intervalo I, d centrado em 0 e uma única função () definida em I que satisfaz o problema de valor inicial d f (, ), sujeito a ( 0 ) d 0. Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?. Se tiver solução, será que esta solução é única?. Eiste uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, eiste o Teorema de Eistência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características. 0

141 Teorema: Considere o problema de valor inicia d p( ) q( ) d ( 0 ) 0 Se p() e q() são continuas em um intervalo aberto I e contendo 0, então o problema de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo similar ao cálculo de uma integral e nós sabemos que eistem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções..6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS As equações diferenciais da forma são chamadas de autônomas. d f () d Utilizando a manipulação formal introduzida por Liebnitz (66-76), podemos escrever a equação () na forma: d () d f ( ) Cuja resolução é: ( ) ( 0 ) d () f ( 0 ) Para justificar a equação () necessitamos que seja bem definida no intervalo de f ( ) d interesse A, onde f ( ) 0 e que seja contínua neste intervalo A. Pois, como 0 em d f ( ) A, o Teorema da Função Inversa garante que eiste uma função inversa da função (), isto é, F() tal que df f () em A, o que justifica o procedimento formal. d Portanto, a solução do problema de condição inicial d f ( ) d (5) ( 0) 0 é obtida pela solução do problema d d f ( ) (6) ( ) 0 0 e com a inversão da função ().

142 As equações autônomas aparcem na formulação de uma grande quantidade de modelos. Sempre que uma lei de formação afrma que: a taa de variação de uma quantidade (t) é proporcional a esta mesma quantidade, temos uma equação autônoma da forma d k (7) d Como, f ( ) k, então f ( *) 0 se * 0. Devemos procurar soluções separadamente nos dois intervalos 0 e 0. Considerando inicialmente o problema de Cauch E seu problema inverso d d k ( ) 0 Cuja solução inversa é dada por 0 d k d ( 0 ) 0 0 (8) (9) ou seja, ( ) ln 0 d C k ( ) d k k ( 0 ) k( 0) 0 e para 0 R. k ln ln 0 0 ln k 0 Eemplo 0: Considere a equação autônoma sua solução geral, para a k d k a d, é obtida considerando-se sua forma diferencial d d k a d k a ln k a C k d

143 Portanto, ( C ) k ( C ) k k a e a e k a Neste caso, e a solução de equilíbrio. k, a k.7 EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São equações de a ordem e o grau: d F(, ) d ou Md Nd 0 em que M = M(,) e N = N(,). Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (-, ).7. EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS M(, ) d N(, ) d A equação diferencial 0 será de variáveis separáveis se: M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. M e N forem produtos de fatores de uma só variável. Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P ( ) d Q( ) d 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis..7.. Resolução: Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos separar as variáveis, isto é, deveremos deiar o coeficiente da diferencial d como sendo uma função eclusivamente da variável, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma: P ( ). d Q( ). d C Eemplos: Resolver as seguintes equações: d ) d

144 ) d d = 0 ) d d 0 ) tg. sec d tg sec d 0 5) ( ) d d 0 6) d d ( )

145 d 7) d 8) Resolva o problema de valor inicial d, (0 ) d 5

146 AULA 7 Eercícios ) Verifique que e é uma solução para a equação " ' 0 no intervalo (, ). ) Verificar que para qualquer valor de c a c função é uma solução da equação diferencial de a ordem d no intervalo ( 0, ). d ) Verificar que e, e, C e, C e e Ce Ce são todas soluções da equação diferencial " 0. Resolver as seguintes equações diferenciais. d ) tg. 0 d 5) d + ( + ) d = 0 6) (+ ) d - ( ) d = 0 7) d ( + ) d = 0 d e 8) d 9) ( + ) d + ( ) d = 0 d d 0) a d d ) sec tg d + sec tg d = 0 ) ( + a )( + b )d + ( a )( b )d = 0 ) ( ) d d = 0 ) ( + )d d = 0 d 5) cos 0 d d 6) cos d 7) d ( )e d 0 Respostas: ) Esta condição se verifica para todo número real. ) Variando o parâmetro C, podemos gera uma infinidade de soluções. Em particular, fazendo c = 0, obtemos uma solução constante =. Logo a função c é uma solução em qualquer intervalo que não contenha a origem. ) Note que C e é uma solução para qualquer escolha de c, mas e C, C 0 não satisfaz a equação, pois, para esta família de função temos " - = - C ) cos = C 5) ln( ) C 6) ( + )( ) = C 7) C = + 8) e arctg C ln 9) C k ln a a 0) e ) tg. tg = C a ) aln b.arctg C a b ) = c( ) ). C K 5) sen e 6) sen Ce 9 7) e ( ) C 6 6

147 .8 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS.8. FUNÇÃO HOMOGÊNEA AULA 7 Uma função f = f(, ) é denominada homogênea de grau k se, para todo t R, vale a relação f(t, t) = t k f(, ). Uma função f = f(, ) é homogênea de grau 0 se, para todo t R, vale a relação f(t, t) = f(, ) Eemplos: ) A função f(, ) = + é homogênea de grau, pois f (t,t ) (t ) (t ) t t t ( ) t f (, ) ) g(, ) é homogênea de grau zero pois, ( t ) g( t,t ) ( t ) t t 0 t 0 t f (, ) ) f(,) = + 5 é homogênea de grau três pois, f (, ) (t ) 5t(t ) t 5t t ( 5 ) t f (, ) Se f(, ) for uma função homogênea de grau n, note que podemos escrever n n f (, ) f, e f (, ) f, são ambas homogêneas de grau n. Eemplo: Seja f (, ) homogênea de grau. Logo, f (, ) f (, ). f, f,.8. EQUAÇÃO HOMOGÊNAS A equação M(, )d N(, )d 0 será chamada de equação diferencial homogênea se M e N forem funções homogêneas de mesmo grau. Eemplos: ) d d ) ' ) ' arctg 7

148 .8.. Resolução: Seja a equação homogênea Md + Nd = 0 Tem-se: d M d N Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por elevado a potencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de /. d d F () É necessário, no entanto, substituir a função / por uma outra que permita separar as variáveis. Dessa forma, substitui-se por u. Derivando =.u em relação a tem-se Substituindo () e () em (), temos: u du d du d du F( u) u F( u) F( u) u d u. () d du u () d d Que é uma equação de variáveis separáveis. Em resumo: Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação de variáveis separáveis com a substituição =.u, onde u = u() é uma nova função incógnita. Assim, d = du + ud é uma equação da forma = f(, ) pode ser transformada em uma equação separável. 8

149 Eemplo: ( ) d d = 0 AULA 7 Eercícios Resolva as seguintes equações: ) ( ) d ( + ) d = 0 ) ( ) d ( + ) d = 0 ) ( + ) d + ( + ) d = 0 ) ( + ) d + ( ) d = 0 5) ( + ) d d = 0 d d 6) 0 d d 7) Determine a solução de ( )d + d = 0 sujeita a condição inicial ( ). 8) Determine a solução de ( )d 6d 0 sujeita a condição inicial () Respostas: ) + = K ) K ) + + = k ln C arctg ) ou 5) ln ke arctg C C 6) 7) 8 8) 9 9

150 AULA 8.9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Uma equação do tipo M(,)d + N(,)d = 0 () é denominada diferencial eata, se eiste uma função U(,) tal que du(,) = M(,)d + N(,)d. A condição necessária e suficiente para que a equação () seja uma diferencial eata é que: M N Dada a equação diferencial eata Md+Nd=0 () e seja u=f(,)=c sua solução, cuja diferencial dada por: u u du d d () Então, comparando () e () teremos: u M (, ) () e u N(, ) () Para obtermos a sua solução u=f(,) deveremos integrar, por eemplo,a epressão (), em relação à variável, da qual teremos f (, ) M (, ) d g( ) Derivando parcialmente (5) em relação à teremos: f M (, ) d g'( ) Igualando (6) e () resulta: M (, ) d g'( ) N(, ) Isolando g () e integrando em relação a acharemos:. M (, ) d g( ) N(, ) d C Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação eata, que é: M d f M d (, ) (, ) N (, ) (, ) d C Logo, a solução é da forma P U (, ) Md N d C onde costuma-se denotar P Md (7) (5) (6) 50

151 Eemplos: ) ( )d d = 0 ) ( + ) d ( + ) d = 0 5

152 5.9. FATOR INTEGRANTE Nem sempre a ED é eata, ou seja, Md + Nd = 0 não satisfaz, isso é: N M. Quando isso ocorre vamos supor a eistência de uma função F(, ) que ao multiplicar toda a ED pela mesma resulta em uma ED eata, ou seja, F(,)[Md +Nd] = 0, e esta é uma ED eata. Se ela é eata, eiste u(,) = cte e M F d u. e N F d u. e FN FM N M u Tomando a condição de eatidão FN d FM F N N F F M M F e achar F por aqui é loucura!!!!!!! Vamos supor então que F(,) = F() N F N F M F dividindo tudo por FN 0 e organizando, temos: N N F F M N N N M N F F N M N F F reescrevendo: d N M N df F integrando: C d R F ) ( ln d R e F ) (. ) ( onde: N M N R ) ( analogamente, supondo F(,) = F() que torne eata FMd + FNd = 0 teremos: d R e F ) (. ) ( onde: N M M R ) (

153 Em resumo: M N Quando a epressão Md + Ndnão é diferencial eata, isto é,, mostra-se que há uma infinidade de funções F (, ), tais que F( Md Nd) é uma diferencial eata. A esta função F (, ), dá-se o nome de fator integrante. F(): F(): M N R ( M N ) N R( ) M R( ) d F( ) e F( ) e R( ) d Eemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em eatas através do fator integrante. ) d + ( + ) d = 0 5

154 AULA 8- Eercícios ) ( + ) d + ( + cos ) d = 0 ) e d + ( e ) d = 0 ) d + d = 0 ) senh.cos d = cosh.sen d 5) e ( rdr r d ) 0 d d d 6) 7) (cos + ) d = sen d 8) tg d + sec d = 0 9) sen d + cos d = 0 0) Encontre a solução particular de d ( ) d para ( ) ) ( ) d d 0 ) ( ) d ln d 0 Respostas: ) sen K ) e C ) = K ) coshcos = K 5) e r K 6) K 7) cos + = C e 8) tg C 9) sen. e C 0) 5 ) k 5 ) ln k 5

155 AULA 9.0 EQUAÇÕES LINEARES: Uma equação diferencial linear de a ordem e o grau tem a forma: d P( ) Q( ) () d Se Q() = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q() 0, a equação é dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber:.0. FATOR INTEGRANTE: Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial eata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de nosso problema: d P Q d Vamos reescrever esta última sob a forma ( P Q) d d 0 e Pd Pd e Multiplicando ambos os membrospor (fator integrante) obtemos a epressão Pd P Q d e d. Aqui, identificamos as funções M e N : 0 Derivando M com relação a e N com relação a, obtemos: M e e N e Pd Pd P Q M Pe Pd N e Pe Pd confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial eata. 55

156 d Eemplo: Resolver a equação por fator integrante: d 56

157 .0. SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange (matemático francês: 76-8) criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O método consiste na substituição de por Z.t na equação (), onde t = () e Z= (), sendo Z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim = Z.t. Derivando em relação a, tem-se: Substituindo () em () vamos obter: Z d d dt d dt dz Z t () d d t dz d PZt Q dt dz Z Pt t Q () d d Para integral a equação (), eamina-se dois casos particulares da equação () a saber: i) P = 0, então d = Q, logo, Qd C () d ii) Q = 0, então P 0 (equação homogênea) que resulta em d + Pd = 0 que é de d d variáveis separáveis. Daí, Pd 0. Integrando essa última, resulta em ln C Pd. Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução e C Pd e C e Pd. Fazendo C k e, temos Pd ke (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta. Agora, vamos pesquisar na equação () valores para t e Z, uma vez que =Z.t, teremos a solução da equação () que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação, possibilitando a determinação de Z uma vez que t pode ser determinado a partir desta condição. dt Assim, vamos impor em (), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, Pt 0 (6), que é da d mesma forma já estudada no caso ii. Assim, Pd dz t ke. Substituindo este resultado em t Q d dz obtemos ke Pd dz Pd Q. Daí, e Q e dz e Pd Qd. Integrando este último d d k k (Turim, 5 de janeiro de 76 Paris, 0 de abril de 8)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais 57

158 resultado, temos Z k Z : Pd ke e k Pd e Pd Qd C (7). Lembrando que = Z.t, vamos obter, substituindo t e Qd C, onde resulta, finalmente em: e Pd e Pd.Q.d C (8) que é a solução geral da equação () d Eempo : Resolver a equação por Lagrange d 58

159 AULA 9 EXERCÍCIOS d cot g ) 0 d d ) ( ) arctg d d ) tg. cos d d ) d d 5) d d 6) tg sen d 7) Achar a solução particular para (0 ) 0 em d d cos.tg d 8) Resolver o problema de valor inicial, (0 ) d Respostas: ) ln( sen) C ) arctg arctg C. e ) sen C sec ) C 5) C 6 6) sen sec C 7) cos 8) 7 e 59

160 AULA 0. EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas eistemalgumas delas que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de tais equações são:.. EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equação da forma: d d n P( ) Q( ) () para n e n 0, onde P() e Q() são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli. Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma EDO linear. Pois, se: n = 0 + P() = g() caso anterior n = + [P() g()] = 0 caso anterior e homogênea Solução: Transformação de variável: Substitui por n t Deriva-se em relação a : n d dt ( n) () d d Substituindo (), que é: d d d d n P Q Q n P em () temos: ( n) n Q n P dt d Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 7 de Dezembro de 65 - Basileia, 6 de agosto de 705), foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas. 60

161 como n n nq P t, temos: ( dt d n)( Q Pt) dt d dt d [( n) P] t ( n) Q Eemplo: Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. d d 6

162 AULA 0 EXERCÍCIOS ) d d d ) ln d d ) d d ) d d d d 6) d d 5) 0 7) d Respostas: ) ) C. e ln(. e) C C. ) ) 5) 6) 7) ln C C. ln e e K C 6

163 .. EQUAÇÃO DE RICATTI AULA A equação de Jacopo Francesco Riccati é da forma: d P( ) Q( ) R( ) () d onde P, Q e R designam funções de. Observamos que, quando P()=0 temos a equação linear e, quando R() = 0 temos a equação de Bernoulli. Joseph Liouville mostrou que a solução da equação de Riccati só é possível quando se conhece uma solução particular 0. Caso contrário, ela só é integrável através de uma função transcendente 5. Resolução: Conhecendo-se uma solução particular 0 da equação (), pode-se resolver facilmente a equação fazendo a seguinte mudança de variável: 0 z () onde 0 e z dependem de. Como 0 é solução, temos: d 0 d P 0 Q0 R () Por outro lado, derivando () tem-se: d d d 0 d dz d () Substituindo () e () na equação () : d 0 d dz P( 0 z) Q( 0 z) R d Desenvolvendo e agrupando os termos: d 0 d dz Pz d ( P Q) z P Q R (5) (Veneza, 8 de Maio de Treviso, 5 de Abril de 75) foi um matemático e físico italiano que efetuou trabalhos sobre hidráulica que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele próprio ajudou a projetar os diques ao longo de vários canais. Considerou diversas classes de equações diferenciais mas é conhecido principalmente pela Equação de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluções em alguns casos especiais. (Saint-Omer, Pas-de-Calais, de Março de Paris, 8 de setembro de 88) foi um matemático francês. 5 Uma função é chamada de transcendente quando não é algébrica (pode ser epressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes ou raízes de funções polinomiais). As funções trigonométricas, eponenciais e logarítmicas são eemplos de funções transcedentes. 6

164 Substituindo () em (5) e reagrupando, resulta em: dz d ( P0 Q) z Pz (6) que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida. Em resumo: Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular = 0 qualquer de (), na qual a mudança de variáveis = z + 0, irá eliminar o termo independente R() transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli. Eemplo: d Mostrar que é solução particular da equação 0 d procurar a solução geral. e 6

165 AULA EXERCÍCIOS d ) Verificar se = é solução particular da equação. Em caso d afirmativo, calcular a solução geral d ) Mostrar que é solução particular da equação e calcular a sua d solução geral. d ) Sabendo que = é solução particular da equação ( ) d calcular a sua solução geral. d ) Calcular a solução da equação sabendo que = é d solução particular. d 5) Dar a solução geral da equação 0 sabendo que = - é solução d particular. Respostas: 5 K ) K ) k e ( ) C ) e ( ) C k ) k Ce 5) Ce 65

166 REFERÊNCIAS ABUNAHMAN,SERGIO A. Equações Diferenciais: LTC, 99. BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C., Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. LTC, 989. BRONSON, R.; COSTA, G. Equações Diferenciais. a ed. Coleção Schaum, 008. COELHO, F.U. Curso Básico de Cálculo. Editora Saraiva, 005. GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI JR, J.R. Mátematica Fundamental, Uma Nova Abordagem. Volume Único. Editora FTD, 00 GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. Vol e Vol. 5 a ed. Editora LTC, 00. MEDEIROS, V.Z.M; CALDEIRA, A.M; SILVA, L.M.O; MACHADO, M.A.S. Pré-Cálculo. Editora Thomson, 006 ZILL, D.G.; GULLEN, M.R..Equações Diferenciais. Vol e Vol. Pearson,