Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA

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1 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções Aula 0 08/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

2 Definição de função Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é uma relação que associa cada elemento x A a um ÚNICO elemento B. A B A B x f x f f(x) Se diz que é igual a f(x) ou que f(x) é igual a. Escreve-se: = f(x). Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma função de A em B. O conjunto A é chamado de conjunto de partida. O conjunto B é chamado de conjunto de chegada.

3 Definição de função Exemplo. Em cada caso, determine quais relações a seguir representam funções: A f a b c d B e Solução: É uma função pois cada elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento do conjunto B. A m n f m 0 B Solução: É uma função pois cada elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento do conjunto B.

4 Definição de função Exemplo. Em cada caso, determine quais relações a seguir representam funções: A a b B Solução: Não é uma função pois existe um elemento do conjunto A que não se relaciona a elemento algum do conjunto B. f c A a b f c d e B Solução: Não é uma função pois existem elementos do conjunto A relacionados a mais de um elemento do conjunto B.

5 Domínio, contra-domínio e imagem Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma função de A em B. O conjunto A é chamado de domínio da função f. O conjunto B é chamado de contra-domínio da função f. Os elementos do conjunto B que foram relacionados na função f formam o conjunto imagem da função f. Notação: O domínio é indicado por D(f) O contra-domínio é indicado por CD (f) A imagem é indicada por Im (f) A f B Im(f)

6 Domínio, contra-domínio e imagem Exemplo. Dados os conjuntos A = {,, } e B = {a, b, c, d, e} e a relação dada a seguir, determine os conjuntos D(f), CD(f) e Im f. A f a b c e B d Solução: D f = {,, } CD f = {a b, c, d, e} Im f = {a b, c} Observação: No exemplo acima, se diz que: a é a imagem de pela função f b é a imagem de pela função f Escreve-se: f = a (f de é igual a a). c é a imagem de pela função f f = b f = c (f de é igual a b). (f de é igual a c).

7 Domínio, contra-domínio e imagem Exemplo. Dados os conjuntos A = {m,, n} e B = {m, 0, } e a relação dada a seguir, determine os conjuntos D(f), CD(f) e Im(f). A m n f m 0 B Exemplo. Dados os conjuntos A = {,,, d} e B = {,, } e a relação dada a seguir, determine os conjuntos D(f), CD(f) e Im(f). A d f B Solução: D f = {m,, n} CD f = {m, 0, } Solução: Im f = {m, 0} D f = {,,, d} CD f = {,, } Im f = {,, } f m = m f = 0 f n = 0 f = f d = f = f =

8 Representação de uma função Uma mesma função pode ser representada de várias formas: A Diagrama de flechas f 6 B 6 Representação Cartesiana Tabela x f(x) Pares ordenados f = {,,,, (, )} 6 x f

9 O teste da reta vertical Teste da reta vertical Uma curva no plano x representa o gráfico de alguma função f se, e somente se, nenhuma reta vertical intercepta a curva mais de uma vez. 6 (,6) (,) (,) 6 x Note que se alguma reta vertical intercepta o gráfico em mais de um ponto, então não é função! Isto significaria que um mesmo elemento do domínio tivesse mais de uma imagem, o que é impossível em uma função! A 6 B

10 O teste da reta vertical Exemplo. Determine quais das relações a seguir representam funções. Se for função, determine o domínio e a imagem x 6 x Não é Função! Não é Função!

11 O teste da reta vertical Exemplo. Determine quais das relações a seguir representam funções. Se for função, determine domínio e imagem das funções x 6 x Não é função! D f = [, 6] Im f = [, ] ou ou É função! D f = x R x 6} Im f = R }

12 O teste da reta vertical Exemplo. Determine quais das relações a seguir representam funções. Se for função, determine domínio e imagem das funções. 6 6 x É Função! D f = {0,,,, } Im f = {,,, } 6 6 x É Função! D f =, [, 6] ou D f = x R x < ou x 6} Im f = [, ] ou Im f = R }

13 O teste da reta vertical Exemplo. Determine quais das relações a seguir representam funções. Se for função, determine domínio e imagem das funções x É função! D f = [0, ) ou D f = x R 0 x < } Im f =, (, 6] ou 6 x Não é função! Im f = R =, = ou < 6}

14 Lei de formação Definição: A Lei de Formação de uma função f: A B é a fórmula matemática que estabelece a forma com que cada elemento x ε A se relacionará com o respectivo B. Exemplo. Sejam dados os conjuntos A =,,, e B = {0,,,,,, 6, 7, 8}. Se a função f: A B tem a lei de formação dada por tem-se f = = está relacionado ao f = = está relacionado ao f x = x f = = 6 está relacionado ao 6 f = = 8 está relacionado ao 8 A B 7

15 Valor numérico Para determinar o valor numérico de uma função = f x em um elemento específico x = a do domínio, basta substituir o a no lugar do x na lei de formação da função f. Definição: O valor de f(a) é chamado de imagem de a pela função f. (lê-se f a como f de a ) Exemplo. Para f x = x +, ache o valor numérico de x = 8. Solução: Substituindo x = 8 na lei de formação da função f, obtém-se f x = x + f 8 = 8 + f 8 = (6) + f 8 = 9 + f 8 = 96 A B é a imagem de 8 pela função f.

16 Exemplo Exemplo. Numa determinada cidade, houve um período sem chuva que durou dias, ocasionando a diminuição do nível de água no reservatório desta cidade. Se no início da estiagem o nível de água no reservatório era de m e se o nível diminuiu em média cm por dia, neste período, determine: a) A função que descreve o nível de água no reservatório em função do tempo. Solução: Nível do reservatório em função do tempo, em dias: N t : N 0 = m Nível inicial N = 0,0 =,9m N = 0,0 =,90m N = 0,0 =,8m Nível depois de um dia. Nível depois de dois dias. Nível depois de três dias. N t = 0,0 t Lei de formação: N t = 0,0 t 0 t Nível depois de t dias.

17 Exemplo Exemplo. Numa determinada cidade, houve um período sem chuva que durou dias, ocasionando a diminuição do nível de água no reservatório desta cidade. Se no início da estiagem o nível de água no reservatório era de m e se o nível diminuiu em média cm por dia, neste período, determine: b) Qual era o nível do reservatório depois de 0 dias? Solução: Lembre que a lei de formação é dada por: N t = 0,0 t Portanto, do trigésimo dia (t = 0) tem-se N 0 = 0,0 0 =, = 0,m. c) Depois de quantos dias o nível do reservatório caiu pela metade? Solução: É necessário encontrar o valor de t para o qual N t = 6. N t = 6m 0,0 t = 6 0,0 t = 6 N(t) t = 6 0,0 = 6 00 = 6 00 = 600 = 0 dias.

18 Exercícios Propostos

19 Exercícios ) Sabendo que a posição de um objeto que parte da posição inicial s 0 = m e desloca-se com velocidade constante de v 0 = m/s e dada pela tabela a seguir: t 0 s(t) 7 7 a) Escreva a função que expressa a posição em função do tempo t. S t = + t b) Qual é a posição do objeto após 0 segundos? S 0 = + 0 = 0 m c) Quanto tempo é necessário para o objeto atingir a posição m? 0 segundos

20 Exercícios ) Em cada caso, determine o domínio e a imagem da função f. (a) (b) x x D f = (, ] ou D f = x R < x } D f = [, ] ou D f = x R x } Im f = [, ) ou Im f = R < } Im f = {} [, ) ou Im f = R = ou < }

21 Exercícios ) Em cada caso, determine o domínio e a imagem da função f. (c) (d) x x D f = (, + ) ou D f = x R x > } D f = R Im f = (, ] ou Im f = R } Im f = [ + ) ou Im f = R }

22 Exercícios ) Em cada caso, determine o domínio e a imagem da função f. (e) (f) x x D f =, 0, [, + ) D f = R {} ou D f = x R x } Im f = {0,,,, } Im f = {, }

23 Exercícios ) Considerando o gráfico da função f ao lado, determine: (a) O domínio e a imagem de f; D f = [, ] Im f = [, ] (b) f, f, f() e f(); f = f = f = f = (c) Os valores de x para os quais = ; x x = x = (d) Quantos valores de x possuem imagem igual a? Você pode citar um deles? Existem três valores de x tais que f x =. Um deles é o x =.

24 Exercícios ) Considere a função f dada pela sentença: f x = x (a) Calcule f() e f. f = f = (b) Calcule f(m + 6). f m + 6 = m + (c) Qual é o número real que tem 8 como imagem? x =

25 Exercícios ) Sendo f: R R definida pela lei calcule: f x = x +, a) f( ). f = b) O valor de x para o qual f x =. c) O valor de x para o qual f x = 0. x = x = d) A imagem de. f = e) O número cuja imagem é 7. x = f) O valor de x que é igual a sua imagem. x = a f a = a a =

26 Exercícios 6) Considere o gráfico da função f ao lado. (a) Qual o domínio e a imagem de f; D f = R Im f = [, + ) (b) Qual é a imagem de? (c) Determine f(0); f 0 = f = (d) Determine para quais valores de x se tem f x =? x = 0 x = (e) Quais valores de x possuem imagem igual a 0? x = x = x (f) Para quais valores de x as imagens são números positivos? (g) Para quais valores de x as imagens são números negativos? (, ) (, + ) (,)

27 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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29 Função do primeiro grau Definição: Dados a, b R tais que a 0. A função f R R dada por f x = ax + b é chamada de função do primeiro grau. Exemplos. (a) f x = x a = e b = 0 (c) f x = x + a = e b = (b) f x = x a = e b = 0 (d) f x = x a = e b = Em uma função do primeiro grau o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado de coeficiente linear. = ax + b coeficiente angular coeficiente linear Quando b = 0, a função é = ax chamada de função linear.

30 Gráfico da função do primeiro grau Teorema. O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta. Passos para o esboço do gráfico ) Escolha um número x e calcule f x. ) Indique, no plano, o ponto A(x, f x ) ) Escolha um número x, diferente de x, e calcule f x. f x f x A B ) Indique, no plano, o ponto B(x, f x ) ) Trace a reta passando pelos pontos A e B. x x Lembre que por dois pontos distintos passa uma única reta e, portanto, não é necessário determinar mais pontos para traçar o gráfico!! Observação. A escolha dos números x e x é livre, desde que x x. O gráfico obtido será sempre o mesmo, independentemente desta escolha. x

31 Gráfico da função do primeiro grau Exemplo. Esboce o gráfico da função f(x) = x + Solução: Escolhendo x =, tem-se e, portanto, f x = f = + =. Escolhendo x =, tem-se e, portanto, A(, ) (primeiro ponto) f x = f = + =. B(, ) (segundo ponto) A B x Gráfico da função Observação. Note que, se a escolha tivesse sido x = e x =, por exemplo, os pontos no gráfico seriam A(, 0) e B(, ), que também estão sobre a mesma reta! Ou seja, o gráfico obtido como resposta seria o mesmo!

32 Gráfico da função do primeiro grau Exemplo. Em cada caso, esboce o gráfico da função dada (a) f(x) = x + A(0, ) (primeiro ponto) A B x (b) f(x) = x Solução: (a) x = 0 e x =. (b) x = 0 e x =. f 0 = 0 + = f = + = 0 B(, 0) (segundo ponto) A(0, 0) (primeiro ponto) A (Função identidade) f 0 = 0 f = B B(, ) (segundo ponto) x Exercício. Em cada caso, escolha outros valores para x e x e esboce os respectivos gráficos. Compare os resultados com os gráficos acima!

33 Funções crescentes/decrescentes Definição: Uma função f é dita crescente em um intervalo I se, para quaisquer x, x pertencentes a I, tais que x < x tem-se f x < f x Uma função f é dita decrescente em um intervalo I se, para quaisquer x, x pertencentes a I, tais que x < x tem-se f x > f x aumenta f x f x x x x aumenta Função crescente Ao aumentar-se valores de x, os respectivos valores de também aumentam. x diminui f x f x x x x aumenta Função decrescente Ao aumentar-se valores de x, os respectivos valores de diminuem. x

34 Funções crescentes/decrescentes Observação: O crescimento/decrescimento de uma função do primeiro grau dada por = ax + b está diretamente ligado ao sinal do coeficiente a (coeficiente angular). ) Se a > 0, então a função é crescente; ) Se a < 0, então a função é decrescente. f x f x f x f x x x x x x x função crescente (a > 0) função decrescente (a < 0)

35 Zeros de uma função Definição: Um número c é chamado de zero da função f se f c = 0 No gráfico, um zero de uma função pode ser interpretado como um intercepto da curva com o eixo x. Exemplo. Em cada caso, determine os zeros da função dada. (a) (b) Zero da função Zeros da função x x Solução: (a) Um único zero em x =. (b) Dois zeros, em x = e x =.

36 Zeros de uma função Observação: Os zeros de uma função = f(x) podem ser obtidos resolvendo a equação f x = 0. Se obtém, assim, os valores de x para os quais = 0, ou seja, os interceptos do gráfico da função com o eixo x. Zeros da função do primeiro grau. Para encontrar o zero de uma função do primeiro grau: f(x) = ax + b ax + b = 0 ax = b x = b a Exemplo. Determine o zero da função f x = x Solução: ) Resolvendo a equação. x = 0 x = x = =. ) Utilizando diretamente a fórmula. x = b a = = =. Portanto, o gráfico desta função intercepta o eixo x no ponto (,0)

37 Sinal de uma função Definição. Uma função f é positiva em um número c se f c > 0. Uma função f é negativa em um número c se f c < 0. Observação. Determinar o sinal de uma função f significa encontrar todos os valores de x para os quais f é positiva e todos os valores de x para os quais f é negativa. No gráfico, a função é positiva nos intervalos onde o gráfico está acima do eixo x e negativa nos intervalos onde o gráfico está abaixo do eixo x. f x

38 Sinal de uma função Sinal da função do primeiro grau. Para determinar o sinal de um função do primeiro grau = ax + b basta encontrar o zero da função e verificar se ela é crescente ou decrescente. Crescente (a > 0) Decrescente (a < 0), b a Negativa b a b Negativa a, x x Positiva Positiva b, b a b a, + a

39 Sinal de uma função Exemplo. Determine o sinal da função f x = x. Solução: Como a = e b = temos: b a (Zero da Função) a = > 0 (crescente) = = Positiva + x (, + ) Negativa (, ) Exemplo. Encontre o domínio da função g x = x. Solução: A função que está dentro da raiz deve ser não negativa, ou seja = x 0 Como a = e b = temos: b a = = (Zero da Função) a = < 0 (decrescente) + x D(f) = x R x

40 Inequações do primeiro grau Exemplo: Determine o domínio da função f x = x x + 6 Solução: Nesta caso, a condição imposta pela raiz quadrada é: x x Sinal do fator x + Sinal do fator x x x Analisando o sinal do quociente, tem-se x x + 6 x x + 6 S Note que D(f) pois zera o denominador!! Portanto x x x Intervalo onde x x D(f) = (,] x

41 Função do segundo grau Definição. Dados a, b, c R tais que a 0. A função f R R dada por f x = ax + bx + c é chamada de função do segundo grau ou função quadrática. Exemplos. (a) f x = x (b) f x = x + x (c) f x = x + a = b = 0 c = 0 a = b = a = b = 0 c = c = O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. a > 0 A parábola pode ter concavidade voltada para cima ou concavidade voltada para baixo, de acordo com o sinal do coeficiente a. Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Concavidade Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. a < 0

42 Gráfico da função do segundo grau Com o objetivo de esboçar o gráfico da função note que: f x = x (, 9) 9 8 (, 9) f = ( ) = 9 7 f = ( ) = f = ( ) = f 0 = 0 = 0 (, ) 6 (, ) f = () = f = () = (, ) (, ) f = () = 9 (0, 0) x

43 Zeros da função do segundo grau Os zeros da função = ax + bx + c podem ser obtidos resolvendo a equação do segundo grau ax + bx + c = 0 utilizando a fórmula de Bháskara. x, = b ± a = b ac A quantidade de zeros reais obtidas para uma função quadrática depende do sinal de. > 0 Dois zeros = 0 Um único zero < 0 Nenhum zero x > 0 x = 0 x < 0 Dois zeros reais e distintos Um único zero real Nenhum zero real

44 Sinal da função do segundo grau O sinal da função quadrática = ax + bx + c depende dos sinais de a (determina a concavidade) e de Δ (determina a quantidade de zeros). Concavidade voltada para cima (a > 0) x > 0 x x = 0 x < Concavidade voltada para baixo (a < 0) + + x x > 0 = 0 < 0

45 Função do segundo grau Exemplo. Esboce o gráfico, determine os zeros e o sinal da função quadrática = x x + Solução: Neste caso, tem-se a =, b = e c =. = b ac = ()() = x, = ( ) ± () Portanto, = ± x = e x = (Zeros de f) = ±. Como c =, tem-se que o gráfico intercepta o eixo no ponto 0,. Como a > 0, a concavidade é voltada para cima. (0, ) Gráfico de f Positiva Negativa (, 0) (, 0) Sinal, (, + ) (,) x

46 Função do segundo grau Exemplo. Determine o domínio da função f x = x x 6 Solução: Será necessário determinar os valores de x para os quais a função é não negativa. Usando a fórmula de Bháskara para encontrar os zeros desta função, tem-se = ± x = ± = ± = x x 6 Para isso, será analisado o sinal desta função. 6 x = + x = = = Estudo do sinal Como a > 0, a parábola possui concavidade voltada para cima. + + Sinal da função Portanto, o conjunto solução da inequação x x 6 0 é dado por: D f =,, +.

47 Coordenadas do vértice No gráfico de uma função quadrática = ax + bx + c, o ponto mínimo (a > 0) ou ponto máximo (a < 0) é chamado de vértice da parábola. (a > 0) Mínimo Máximo (a < 0) Im(f) Coordenadas do vértice x v = b a e v = a Observação. Imagem da função quadrática: v v x v Vértice Vértice x Se a > 0, então: Im f = [ v, + ) Se a < 0, então: Im f = (, v ] Im(f) x v x

48 Função do segundo grau Exemplo. Esboce o gráfico da função = x x + Solução: Neste caso, tem-se a =, b = e c =. = b ac = = 6 Gráfico de f Portanto, f não possui zeros. (0, ) Como c =, tem-se que o gráfico intercepta o eixo no ponto 0,. x v = ( ) () = v = a = = V(, ) Portanto, o vértice da parábola é dado por V,. Como a > 0, a concavidade é voltada para cima. x

49 Crescimento/decrescimento A abscissa do vértice (x v ) na função quadrática = ax + bx + c, delimita onde ocorre uma mudança de comportamento no gráfico da função. Mínimo Máximo Muda de decrescente para crescente. Muda de crescente para decrescente. (a > 0) (a < 0) Máximo v v Decrescente (, x v ] x v Mínimo Crescente [x v, + ) x Crescente (, x v ] x v Decrescente [x v, + ) Exemplo. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função = x x + ( mesma função do exemplo anterior) Solução: (a > 0) x v = Decrescente (, ] Crescente [, + ) Compare o resultado obtido com o gráfico desta função, no slide anterior. x

50 Função do segundo grau Exemplo. Determine o domínio da função f x = x x 9. Solução: O domínio da função é formado pelos valores de x nos quais x x 9 0 x x 9 Sinal do numerador Sinal do denominador Analisando o sinal do quociente, tem-se x x x x x x x 9 D(f) Portanto D(f) = (, ] (, + ). x

51 Exercícios Propostos

52 Exercícios ) Para cada uma das funções de º grau abaixo, classifique-as em crescente ou decrescente, encontre o zero da função e esboce o gráfico. a) = x + b) = x + x x Crescente zero: x = Decrescente zero: x =

53 Exercícios ) Para cada uma das funções de º grau abaixo, classifique-as em crescente ou decrescente, encontre o zero da função e esboce o gráfico. c) = x d) = x + x x Crescente Decrescente zero: x = zero: x =

54 Exercícios ) Em cada caso, determine a lei de formação da função representada pelo gráfico. a) b) x x = x + = x +

55 Exercícios ) Para cada uma das funções de º grau a seguir, determine os zeros (se existirem), as coordenadas do vértice, o conjunto imagem e esboce o gráfico. (a) = x x Zeros: x = 0 e x = Vértice: V(, ) Imagem: Im f = [, + ) x Gráfico

56 Exercícios ) Para cada uma das funções de º grau a seguir, determine os zeros (se existirem), as coordenadas do vértice, o conjunto imagem e esboce o gráfico. (b) = x + x + Zeros: x = e x = Vértice: V(, ) Imagem: Im f = (, ] x Gráfico

57 Exercícios ) Para cada uma das funções de º grau a seguir, determine os zeros (se existirem), as coordenadas do vértice, o conjunto imagem e esboce o gráfico. (c) = x Zeros: Não existem Vértice: V(0, ) Imagem: Im f = (, ] x Gráfico

58 Exercícios ) Para cada uma das funções de º grau a seguir, determine os zeros (se existirem), as coordenadas do vértice, o conjunto imagem e esboce o gráfico. (d) = x x + Zero: x = Vértice: V(, 0) Imagem: Im f = [0, + ) x Gráfico

59 Exercícios ) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: (a) = x + D f = [, + ) (b) = x D f = (, ] (c) f x = x x (d) f x = x + x + x 6 D f = [0,] D f = (, ) (, + ) (e) f x = x + x 8 x + 9 D f = [, ) [,) (f) = x + x D f = R {}

60 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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62 Funções definidas por várias sentenças Frequentemente utilizam-se funções definidas por sentenças diferentes em determinados intervalos do seu domínio. Exemplo. A função f x = x +, se x < 0 x x +, se x 0 é definida pela sentença e pela sentença = x + no intervalo (, 0) = x x + no intervalo [0, + ) Este tipo de função é chamada de função definida por várias sentenças. O gráfico de uma função definida por várias sentenças é obtido ao esboçar o gráfico de cada sentença, no seu respectivo intervalo de definição.

63 Funções definidas por várias sentenças Exemplo. Esboce o gráfico da função x +, se x < f x = x x +, se x Solução: A função dada é definida pela sentença = x + no intervalo (, ) e pela sentença = x x + no intervalo [, + ). x

64 Funções definidas por várias sentenças Exemplo. Esboce o gráfico da função f x = x Solução: Como o módulo de x é dado por x = x, se x < 0 x, se x 0 tem-se f(x) = x, se x < 0 x, se x 0 O gráfico de f, portanto, será dado por = x, no intervalo (, 0) e por = x no intervalo [0, + ). x

65 Funções definidas por várias sentenças Exemplo. Esboce o gráfico da função f x = x + Solução: Como o módulo de x é dado por x + = x +, se x + < 0 x +, se x + 0 tem-se f(x) = x, se x < x +, se x O gráfico de f, portanto, será dado por = x, no intervalo (, ) e por = x + no intervalo [, + ). x

66 Funções definidas por várias sentenças Exemplo. Esboce o gráfico da função x f x =, se x x, se x = Solução: Note que, para x, a função f pode ser escrita como = x (x + )(x ) = = x + x x e, portanto, a função dada pode escrita como f x = ao lado. x +, se x, se x = O gráfico está representado x

67 Função potência e função raiz Definição. Dado n N, a função f R R dada por f x = x n é chamada de função potência enésima. Exemplos. São exemplos de funções potências: = x = x (função identidade) (função quadrática) Definição. Dado n N, a função f A R dada por f x = n x é chamada de função raiz enésima. Exemplos. São exemplos de funções raízes: = x (função raiz quadrada) = x (função raiz cúbica) = x (função cúbica) Obs.: A = R + se n é par e A = R se n é impar = x (função raiz quarta)

68 Gráfico da função potência Os gráficos das funções potência = x n para n par, são semelhantes ao gráfico da função = x, mas não são chamados de parábolas. 6 6 x x f(x) = x f(x) = x D(f) = R Im(f) = R + D(f) = R Im(f) = R +

69 Gráfico da função potência Os gráficos das funções potência = x n para n ímpar, são semelhantes ao gráfico da função = x. x x f(x) = x f(x) = x D(f) = R Im(f) = R D(f) = R Im(f) = R

70 Gráfico da função raiz Os gráficos das funções = n x para n par, são semelhantes ao de = x. 6 6 x x f(x) = x f(x) = x D(f) = R + Im(f) = R + D(f) = R + Im(f) = R +

71 Gráfico da função raiz Os gráficos das funções = n x para n ímpar, são semelhantes ao de = x. f(x) = x x D(f) = R Im(f) = R f(x) = x x D(f) = R Im(f) = R

72 Função recíproca Definição. A função f R R dada por é chamada de função recíproca. O gráfico da função recíproca é chamado de hipérbole. f x = x x

73 Exercícios Propostos

74 Exercícios ) Esboce o gráfico das seguintes funções. a) f x = x +, se x < 0, se x 0 x

75 Exercícios ) Esboce o gráfico das seguintes funções. b) f x =, se x < x, se x < 0 x, se x 0 x

76 Exercícios ) Esboce o gráfico das seguintes funções. c) f x =, se x < ou x > x x + se x 6 6 x

77 Exercícios ) Esboce o gráfico das seguintes funções. d) f x = x, se x 0 x, se 0 < x

78 Exercícios ) Esboce o gráfico das seguintes funções. e) f x = x +, se x < x, se x < x, se x > x

79 Exercícios ) Esboce o gráfico das seguintes funções. x f x = x, se x 0 (f) x, se x = x

80 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos vezes dentro do mesmo semestre letivo.

81 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções Aula 0 08/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

82 Técnicas para o esboço de gráficos Veremos agora algumas técnicas para construção de gráficos

83 Translações verticais Utiliza-se translações verticais quando se tem o objetivo de esboçar o gráfico da função = f x ± k, onde k é uma constante positiva. Considere o gráfico de uma função conhecida = f x O gráfico da função = f x + k, é obtido deslocando-se o gráfico da função f em k unidades para cima. O gráfico de da função = f x k, é obtido deslocando-se o gráfico da função f em k unidades para baixo. = f x + k = f x = f x k x

84 Translações verticais Exemplo. Esboce o gráfico das funções: (a) = x + (b) = x Solução: Usando translações verticais do gráfico da função = x, tem-se: = x + Desloca-se o gráfico da função = x em uma unidade para cima. = x Desloca-se o gráfico da função = x em duas unidades para baixo. = x + = x = x x

85 Translações horizontais Utiliza-se translações horizontais quando se tem o objetivo de esboçar o gráfico da função = f x ± k, onde k é uma constante positiva. Considere o gráfico de uma função conhecida = f x. O gráfico de da função = f x + k é obtido deslocando-se o gráfico da função f em k unidades para a esquerda. O gráfico da função = f x k, é obtido deslocando-se o gráfico da função f em k unidades para a direita. = f x + k = f x = f x k x

86 Translações horizontais Exemplo. Esboce o gráfico das funções: (a) = (x ) (b) = (x + ) Solução: Utilizando translações horizontais do gráfico da função = x, tem-se: = (x + ) = x = (x ) 6 6 x = (x + ) Desloca-se o gráfico da função = x em quatro unidades para a esquerda. = (x ) Desloca-se o gráfico da função = x em duas unidades para a direita.

87 Translações horizontais Exemplo. Esboce o gráfico das funções: (a) = x + (b) = x + (c) = x (d) = x + + Solução: Usando translações horizontais e verticais do gráfico da função = tem-se: 6 = x + + = x + = x + = x = x x, 6 x

88 Alongamentos/compressões verticais Utiliza-se alongamentos (ou compressões) verticais quando se quer esboçar o gráfico da função = kf x, onde k é uma constante positiva. Considere o gráfico de uma função conhecida função = f x. Se k >, o gráfico da função = kf x é obtido alongando verticalmente o gráfico da função f pelo fator k. Se 0 < k <, o gráfico da = kf x é obtido comprimindo verticalmente o gráfico da função f pelo fator k. = kf x k > alonga o gráfico de f = f x = kf x 0 < k < comprime o gráfico de f x

89 Alongamentos/compressões verticais Exemplo. Considere o gráfico da função trigonométrica seno dada por = sin x apresentada no gráfico abaixo. = sin x π π π π π π π π π π x (a) = sin x Esboce o gráfico das funções: (b) = sin x

90 Alongamentos/compressões verticais Solução: (a) = sin x Alonga o gráfico de = sin x verticalmente em dobro π π π π π π π π π π x (b) = sin x Comprime o gráfico de = sin x verticalmente pela metade π π π π π π π π π π x

91 Alongamentos/compressões horizontais Utiliza-se alongamentos (ou compressões) horizontais quando se quer esboçar o gráfico da função = f kx, onde k é uma constante positiva. Considere o gráfico de uma função conhecida = f x. Se k >, o gráfico da função = f kx é obtido comprimindo horizontalmente o gráfico da função f pelo fator k. Se 0 < k <, o gráfico da função = f kx é obtido alongando horizontalmente o gráfico da função f pelo fator k. = f kx k > comprime o gráfico de f = f x = f kx 0 < k < alonga o gráfico de f x

92 Alongamentos/compressões horizontais Exemplo. Considere o gráfico da função trigonométrica cosseno dada por = cos x apresentada no gráfico abaixo. = cos x π π π π π π π π π π x Esboce o gráfico das funções: (a) = cos x (b) = cos x

93 Alongamentos/compressões verticais Solução: (a) = cos x Comprime o gráfico de = cos x horizontalmente pelo fator. π π π π π π π π π π x (b) = cos x Alonga o gráfico de = cos x horizontalmente pelo fator. π π π π π π π π π π x

94 Reflexão em relação ao eixo horizontal Utiliza-se reflexão em relação ao eixo horizontal quando se quer esboçar o gráfico da função = f x. Considere o gráfico de uma função conhecida = f x. O gráfico de da função = f x é obtido refletindo os pontos do gráfico da função f em relação ao eixo x. = f x x = f x

95 Reflexão em relação ao eixo horizontal Exemplo. Esboce o gráfico da função = x. Solução: Usando como base o gráfico da função = x, tem-se: = x x = x Reflete o gráfico de = x em relação ao eixo horizontal

96 Reflexão em relação ao eixo vertical Utiliza-se reflexão em relação ao eixo vertical quando se quer esboçar o gráfico da função = f x. Considere o gráfico de uma função conhecida = f x. O gráfico de da função = f x é obtido refletindo os pontos do gráfico da função f em relação ao eixo. = f x = f x x

97 Reflexão em relação ao eixo vertical Exemplo. Esboce o gráfico da função = x. Solução: Usando como base o gráfico da função = x, tem-se: = x = x x

98 Transformação ocasionada pelo módulo Considere o gráfico de uma função conhecida = f x. Ao considerar a função dada por = f(x) podem acontecer duas situações: ) os pontos cujas imagens são positivas permanecem inalterados, pois o módulo de um número positivo é ele mesmo! = f x = f(x), se f x 0. ) os pontos cujas imagens são negativas são refletidos em relação ao eixo x, pois o módulo de um número negativo é igual ao seu oposto! = f x = f(x), se f x < 0. = f x x = f x Assim, o gráfico da função = f(x) é obtido refletindo, em relação ao eixo x, os pontos do gráfico da função f que possuem imagem negativa. x

99 Transformação ocasionada pelo módulo Exemplo. Esboce o gráfico da função = x. Solução: Usando como base o gráfico da função = x, tem-se: x x f(x) = x Gráfico de referência = x Reflete, em relação ao eixo x, todos os pontos do gráfico de f que possuem imagens negativas.

100 Transformação ocasionada pelo módulo Considere o gráfico de uma função conhecida = f x. O gráfico da função = f( x ) é obtido replicando os pontos do gráfico de f que estão do lado direito do plano (x 0) também no lado esquerdo do plano (x 0), através de reflexão em relação ao eixo vertical. Tendo em vista que o módulo de um número positivo é ele mesmo, conclui-se que o gráfico permanece inalterado para todos os pontos cujos domínios são positivos, ou seja, = f( x ) = f(x), se x 0. Desta forma, o gráfico da função obtida fica simétrico em relação ao eixo vertical. = f x = f x x x

101 Transformação ocasionada pelo módulo Exemplo. Esboce o gráfico da função = x. Solução: Usando como base o gráfico da função = x, tem-se: f(x) = x Gráfico de referência x = x x Replica todos os pontos do gráfico de f do lado direito (x 0) no lado esquerdo (x 0).

102 Transformação ocasionada pelo módulo Exemplo. Esboce o gráfico da função = x Solução: Usando como base o gráfico da função recíproca, tem-se: x x f(x) = x = x

103 Exercícios Propostos

104 Exercícios ) Considerando a função f(x) = x + +, determine: a) f b) f t f = f t = t + c) Domínio de f. D(f) = ; + d) Imagem de f. Im(f) = [; + ) e) Esboce o gráfico de f utilizando translações do gráfico da função = x. = x + + = x x

105 Exercícios ) Considere o gráfico de uma função f representado na figura a seguir. x (a) Determine o domínio e a imagem de f. D f = [, ] Im f = [, ] (b) Considerando como base o gráfico da função f, represente graficamente cada função a seguir, determinando o domínio e a imagem.

106 Exercícios x f (gráfico de referência) D f = [, ] x f x = f x Im f = [, 0] Deslocamento vertical do gráfico de f em uma unidade para baixo.

107 Exercícios x f (gráfico de referência) D f = [0, ] x f x = f x Im f = [, ] Deslocamento horizontal do gráfico de f em uma unidade para a direita.

108 Exercícios x f (gráfico de referência) D f = [, ] x f x = f x Im f = [, ] Alongamento vertical do gráfico de f pelo fator.

109 Exercícios x f (gráfico de referência) f x = f x D f = [, 6] Im f = [, ] Alongamento horizontal do gráfico de f pelo fator. 6 x

110 Exercícios x f (gráfico de referência) D f = [, ] x f x = f x Im f = [, ] Reflexão do gráfico de f em relação ao eixo horizontal.

111 Exercícios x f (gráfico de referência) D f 6 = [, ] x f 6 x = f x Im f 6 = [, ] Reflexão do gráfico de f em relação ao eixo horizontal.

112 Exercícios x f (gráfico de referência) D f 7 = [, ] x f 7 x = f x Im f 7 = [0, ] Reflexão, em relação ao eixo horizontal os pontos do gráfico de f que possuem ordenada negativa.

113 Exercícios x f (gráfico de referência) D f 8 = [, ] x f 8 x = f x Im f 8 = [, ] Replica do lado esquerdo do pano (x 0) o gráfico do lado direito (x 0), na forma de uma reflexão em relação ao eixo vertical.

114 Exercícios ) Esboce os gráficos das funções, por deslocamentos, alongamentos, compressões e reflexões do gráfico de f x = x de maneira apropriada. a) f x = x + b) f x = x c) f x = x d) f x = x + e) f x = x f) f x = (x + ) x

115 Exercícios ) Esboce os gráficos das funções, por deslocamentos, alongamentos, compressões e reflexões do gráfico de f x = x de maneira apropriada. a) f x = x + b) f x = x c) f x = x d) f x = x + e) f x = x f) f x = (x + ) x

116 Exercícios ) Esboce os gráficos das funções, por deslocamentos, alongamentos, compressões e reflexões do gráfico de f x = x de maneira apropriada. a) f x = x + b) f x = x c) f x = x d) f x = x + e) f x = x f) f x = (x + ) x

117 Exercícios ) Esboce os gráficos das funções, por deslocamentos, alongamentos, compressões e reflexões do gráfico de f x = x de maneira apropriada. a) f x = x + b) f x = x c) f x = x d) f x = x + e) f x = x f) f x = (x + ) x

118 Exercícios ) Esboce os gráficos das funções, por deslocamentos, alongamentos, compressões e reflexões do gráfico de f x = x de maneira apropriada. a) f x = x + b) f x = x c) f x = x d) f x = x + e) f x = x f) f x = (x + ) x

119 Exercícios ) Esboce os gráficos das funções, por deslocamentos, alongamentos, compressões e reflexões do gráfico de f x = x de maneira apropriada. a) f x = x + b) f x = x c) f x = x d) f x = x + e) f x = x f) f x = (x + ) x

120 Exercícios ) Esboce os gráficos das funções, por deslocamentos, alongamentos, compressões e reflexões do gráfico de f x = x de maneira apropriada. a) f x = x + b) f x = x c) f x = x d) f x = x + e) f x = x f) f x = (x + ) x

121 Exercícios ) Dados os gráficos de funções quadráticas, determinar a lei da função. (a) (b) x x = x = x

122 Exercícios ) Dados os gráficos de funções quadráticas, determinar a lei da função. (c) (d) x = x = x x

123 Exercícios ) Dados os gráficos de funções quadráticas, determinar a lei da função. (e) (f) x x = x = x +

124 Exercícios ) Dada a função = x +, determine: (a) Domínio da função. D(f) = R (b) Imagem da função. Im(f) = 0, + c) f, f, f, f 0 e f(). f = 6 f = 0 f = 8 f = f 0 = (d) Esboce o gráfico. Note que = x + = x + x

125 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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127 Função composta De forma simplificada, suponha que seja necessário realizar dois cálculos, onde o resultado do segundo cálculo depende do resultado encontrado no primeiro. A ideia de função composta é acoplar ou compor os dois cálculos em uma única fórmula. Exemplo. A incidência de Dengue é dada em função da proliferação do mosquito Aedes aegpti, queé o transmissor desta doença. Contudo, a proliferação do referido mosquito é dada em função do número de criadouros do mesmo. Portanto, pode-se dizer que a incidência desta doença pode ser dada em função do número de criadouros. Criadouros Segunda função Número de mosquitos Primeira função Pessoas infectadas Função composta

128 Função composta Definição. Dadas as funções f: A B e g: B C, a função g f: A C, dada por g f x = g(f(x)) x A. é chamada de função composta de f e g. A g f x f(x) g(f x ) B C g f Observação: Na expressão g f, a função f é chamada de função de dentro e a função g é chamada de função de fora. g f x = g(f(x)) Função de fora Função de dentro

129 Função composta Exemplo. Uma determinada empresa fabrica placas de trânsito (quadradas) de vários tamanhos, a um custo de R$,00 o metro quadrado da placa. Determine a lei da função que estabelece: (a) a área de uma placa em função do comprimento do lado do quadrado; (b) o custo de uma placa em função de sua área, em metros quadrados. (c) o custo final de uma placa em função do comprimento do seu lado. Solução: (a) (b) (c) x: comprimento do lado de cada placa; f x : área de uma placa de lado x; f x = x : área de cada placa; g : custo para fabricação de uma placa de área ; g = x: comprimento do lado de cada placa; h x : custo para fabricação de uma placa de lado x; h(x) = x Representação na forma de diagrama f x = x x x h(x) = x g = x Note que h x = g(f(x)) é a função composta, que acopla as duas informações anteriores.

130 Função composta Exemplo. Dadas as funções f x = x + e g x = x, calcule g f. Solução: Note que g f = g(f()) = g() = = 6. f = + = Representação na forma de diagrama f x = x + g x = x f = + = g = = 6 f g 6 g f g f = g f = g = 6 Observação. Note que a função de dentro (neste caso, f) é a primeira função que age quando se substitui o valor de x.

131 Função composta Exemplo. Dadas as funções f x = x + e g x = x, calcule g f x. Solução: Note que g f x = g(f(x)) = g(x + ) = x +. f x = x + Representação na forma de diagrama f x = x + f x x + g x = x g x + g f g f x = g f x = g x + = x +

132 Função composta Exemplo. Dadas as funções f x = x + e g x = x, calcule (a) (g f)(x) (b) (g f)() (c) (f g)(x) (d) (f g)() Solução: (a) g f x = g f x = g x + = x + (b) g f = 9x + x + = 9x + x. = 9() + = 6 + = 9. (c) f g x = f g x = f x = x + (d) = x + = x. f g = = =.

133 Função composta Exemplo. Em cada caso, encontre duas funções h e g tais que f = h g. (a) f x = x + 6 (b) f x = x + Solução: Lembre que f = h g Função de dentro: primeira função que age. Função de fora: segunda função que age. (a) g x = x + Função de dentro h x = x Função de fora Prova real h g x = h g x = h x + = x + 6 = f(x) (b) g x = x + Função de dentro h x = x Função de fora Prova real h g x = h g x = h x + = x + = f(x)

134 Exercícios Propostos

135 Exercícios ) Sabendo que h x = x + x e i x = x +, determine: (a) h i h i x = x 8x + 9 (b) i h i h x = x 6x + (c) i i i i x = x (d) h h h h x = x + 6x + 0x + x ) Sejam f: [0, + ) R, g: R R, e h: R R dadas por Obtenha: (a) f g (b) g h (c) f f g f x = x g x = x + h x = x (f g)(x) = x + (g h)(x) = + x x (f f g)(x) = x + (d) f g h (e) f h f (f g h)(x) = (f h f)(x) = x + x x

136 Exercícios ) Em cada caso, expresse a função dada em uma composta de duas funções mais simples. (a) f x = x + (b) f x = x (c) f x = sin(x + ) f x = (g h)(x) f x = (g h)(x) f x = (g h)(x) h(x) = x + h x = x h(x) = (x + ) g(x) = x g(x) = x g(x) = sin x (d) f x = tan(x x) f x = (g h)(x) h(x) = x x g(x) = tan x

137 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos vezes dentro do mesmo semestre letivo.

138 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções Aula 06 08/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

139 Funções injetoras Definição. Uma função f: A B é chamada de função injetora se não existem dois elementos do domínio com uma mesma imagem. Isto quer dizer que, para quaisquer x, x A, é válido que: sempre que x x, então f(x ) f(x ). Elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes. Ou, de forma equivalente, sempre que f x = f(x ) então x = x. Se dois elementos do domínio possuem a mesma imagem, então eles são iguais. Exemplos. A 0 B A 0 B f Não é injetora, pois f = f(). g É injetora

140 O teste da reta horizontal Uma ferramenta muito importante para determinar se um gráfico representa uma função injetora é chamado de teste da reta horizontal. Note que, se alguma reta horizontal interceptasse o gráfico mais de uma vez, então existiria um mesmo elemento da imagem relacionado a mais de um elemento do domínio e, portanto, a função não seria injetora! Exemplo. Reta horizontal (,) (,) (,) 6 x Três elementos diferentes do domínio com a mesma imagem! Não é injetora Teste da reta horizontal. Se alguma reta horizontal intercepta o gráfico da função em mais de um ponto, então esta função não é injetora. A B

141 Funções sobrejetoras e funções bijetoras Definição. Uma função f: A B é chamada de função sobrejetora se o contradomínio é igual a imagem, isto é, se Im f = B. Isto quer dizer que, para cada B, existe pelo menos um x A tal que f x =. Exemplo. A 0 B A 0 B f g Não é sobrejetora É sobrejetora Definição. Uma função f: A B é chamada de função bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Isto quer dizer que, para cada B, existe um único x A tal que f x =.

142 Funções bijetoras Exemplo. Determine quais das funções a seguir são bijetoras. A 0 f B A 0 f B É bijetora, pois é injetora e sobrejetora. Não é bijetora, pois não é sobrejetora. A 0 B A 0 B f f Não é bijetora, pois não é injetora nem sobrejetora. Não é bijetora, pois não é injetora.

143 Função inversa Em uma função bijetora se pode definir uma função g com domínio igual a B e contra domínio igual a A que faz as relações inversas das relações determinadas pela função f. A função g acima é chamada de função inversa da função f, e é denotada por f. Exemplo. A 0 f a b c B B a b c f 0 A f: A B f 0 = a f a = 0 f : B A Domínio: A f = b f b = Domínio: B Imagem: B f = c f c = Imagem: A

144 Função inversa Observação. Note que f possui domínio igual a B e contradomínio igual a A. f : B A o que era domínio vira imagem e o que era imagem vira domínio. Observação. Somente funções bijetoras possuem inversa. Por este motivo, as funções bijetoras são ditas funções inversíveis. Para determinar a lei de formação da função inversa de uma função bijetora, basta seguir os passos: ) Substitua x por e por x na lei de formação da função = f x. ) Isole a variável na equação obtida no passo anterior. O resultado obtido será a função inversa = f (x).

145 Função inversa Exemplo. Determine a função inversa de f x = x + Solução: Neste caso, a função é dada por = x + Seguindo os passos para encontrar a função inversa, tem-se: ) Substitua x por e por x na lei de formação da função = f x. x = + ) Isole a variável na equação obtida no passo anterior. x = + = x = x Portanto, a função inversa é dada por: f x = x.

146 Função inversa Exemplo. Determine a função inversa de f x = x Solução: Neste caso, a função é dada por = x Seguindo os passos para encontrar a função inversa, tem-se: ) Substitua x por e por x na lei de formação da função = f x. x = ) Isole a variável na equação obtida no passo anterior. x = = x + = x + Portanto, a função inversa é dada por: f x = x +.

147 Gráfico da função inversa Para obter a função inversa de uma função bijetora, o processo consiste em inverter os papéis de x e na lei de formação da função. Desta inversão, resulta eu os gráficos das funções f e f são simétricos em relação à reta = x. Exemplo. 6 f f = x 6 x

148 Gráfico da função inversa Exemplo. Considere a função bijetora f(x) = x. (a) Determine a lei de formação de f ; (b) Esboce os gráficos de f e f ; Solução: (a) Determinando a função f, tem-se = x x = = x = x = x = x f (x) = x (b) Esboçando os gráficos de f e f é possível perceber a simetria em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta = x). x

149 Função logarítmica e função exponencial Observação: A inversa da função exponencial de base a é a função logarítmica de mesma base. Em outras palavras, função exponencial de base a f x = a x f: R R + é bijetora, e sua função inversa é a função logarítmica de base a. f x = log a x f : R + R Exemplo. Em cada caso, determine a função inversa da função dada. (a) f x = log x (b) f x = x Solução: Em cada caso, tem-se (a) f x = x A inversa da função logarítmica de base é a função exponencial de base. (b) f x = log x A inversa da função exponencial de base é a função logarítmica de base. Observação: Lembre que existe simetria, em relação à reta = x, entre os gráficos de uma função f e de sua inversa f.

150 Função logarítmica e função exponencial Exemplo. Determine a função inversa da função exponencial f x = x Esboce os gráficos de f e f. Solução: A função inversa da função exponencial é a função f x = log x = x = x = x = log x x x

151 Funções trigonométricas inversas Observação: As funções trigonométricas não são bijetoras em todo os seus domínios. O teste da reta horizontal comprova, por exemplo, que a função seno não é bijetora em todo o seu domínio, pois a reta intercepta o gráfico da função mais de uma vez. Reta horizontal π π π π π = sin x π Gráfico da função seno As funções trigonométricas inversas (arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante e arco cossecante) são as funções inversas de restrições convenientes das funções trigonométricas. π π π π x

152 Funções trigonométricas inversas Definição: A função arco seno é a função inversa da restrição da função seno ao intervalo π, π. π Restrição da função seno f x = sin x, x π, π π π f: π, π [,] π x Função arco seno f : [,] π, π π π x π π f x = arcsin x, x, sin arcsin x = x, x, arcsin sin x = x, x π, π

153 Exercícios Propostos

154 Exercícios ) Determine a lei da função inversa às seguintes funções: (a) = x + = x (b) = 6x (c) = x = x 6 = x + (d) = x+, para x x = x + x ) Dada a função f x = x +, calcule f (6). f 6 = 6) Calcule f + f, sabendo que f x = x. f + f = 9

155 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos vezes dentro do mesmo semestre letivo.