LISTA DE PRÉ-CÁLCULO

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1 LISTA DE PRÉ-CÁLCULO Instituto de Matemática - UFRJ Prof. Nei Rocha Rio de Janeiro

2 Eercício 1 Resolva: (a) 1 = + 1 (b) = 3 ( ) (c) 8 < 3 4 (d) < 0 (e) (f) (g) 2 > 2 (h) < 11 Eercício 2 Quantos números inteiros n eistem tais que 3n 1 5n 2 < 4? Eercício 3 Quantos números primos p eistem tais que 0 2p 3 p + 8? Eercício 4 Mostre que se a e b forem dois números positivos satisfazendo então ou a + b = 2 ou a b = 2. 2a a2 2 + b2 2 = 2 Eercício 5 É possível contruir um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12? Justifique matematicamente. Eercício 6 Descreva os seguintes subconjuntos do plano em termos das suas coordenadas cartesianas. (a) Semi-plano acima do eio. (b) Semi-plano à esquerda do eio y. (c) Quadrado de lado 1 centrado na origem (com os lados paralelos aos eios). (d) Reta vertical passando pelo ponto (2, 0). (e) Reta horizontal passando pelo ponto ( 3, 5). (f) Reta horizontal passando pelo ponto (13, 5). (g) Faia vertical contida entre o eio y e a reta do item (d). (h) Circunferência de raio 1 centrada na origem. (i) Círculo (cheio) de raio 2 centrado em (1, 2). Eercício 7 Determine as equações das retas que passam pelos pontos dados e reconheça o coeficiente angular e o intercepto. (a) ( 2, 1) e (100, 1) (b) (1, 2) e ( 1, 3) Eercício 8 Determine quais das seguintes retas são paralelas ou perpendiculares: r : 2 + y 1 = 0, s : + 2y + 1 = 0, t : y = 2 3, u : 3 + 6y 3 = 0. Em seguida, esboce as retas e verifique suas conclusões. i

3 Eercício 9 Calcule a equação da reta r que passa pelo ponto (2, 1), cujo ângulo com o eio horizontal é igual a 60. Eercício 10 Determine o centro e o raio das seguintes circunferências: (a) 2 + y 2 + 3y 2 = 0 (b) 2 + y 2 6y = 0 Eercício 11 Determine a equação cartesiana da circunferência definida pelos pontos A (1, 1), B (1, 2) e C (2, 3). Eercício 12 Determine a interseção das circunferências 2 + y 2 8 2y + 7 = y 2 6 4y + 9 = 0 Determine também a equação cartesiana da reta que contém a corda comum às circunferências dadas. Eercício 13 Resolva: (a) sen = 1 2 (b) sen = sen 2 (c) (cos + sen ) 2 = 1 2 (d) e 2 3e + 2 = 0 (e) ln + ln ( 1) = 1 Eercício 14 Considere a reta r : y = + 1, e os pontos P (1, 0), Q(t, 0), t > 1. Seja R a região delimitada pela reta r, pelo eio, e pelas retas verticais passando por P e Q. Esboce R, e epresse a sua área A(t) em função de t. Eercício 15 Encontre m e n inteiros tais que Eercício 16 Calcule (a) e 2 ln 3 (b) log log 10 4 (c) (log 2 3) (log 3 4) (log 4 5)... (log 31 32). m n log 3 2 = 10 log 9 6. Eercício 17 Determine os domínios das seguintes funções: (a) f() = (b) f() = 1 (c) f() = (d) f() = 2 1 (e) f() = (f) f() = sen (g) f() = ii

4 Eercício 18 Dê uma função (e o seu domínio) cujo gráfico seja: (a) A reta horizontal que passa pelo ponto ( 21, 1). (b) A parte inferior da circunferência de raio 9 centrado em (5, 4). (c) A parte da circunferência de raio 5 centrada na origem que fica estritamente acima da reta de equação y = 3. (d) A parte da circunferência de raio 5 centrada na origem contida no quarto quadrante. Eercício 19 Esboce os gráficos das seguintes funções todas com domínio R e dê o conjunto imagem: (a) f() = 1, se 1; e f() = 2, se > 1. (b) f() = 1. (c) f() = 1. Eercício 20 O gráfico de uma função f é dado a seguir: Esboce os gráficos das seguintes funções: (a) y = f ( 8) (b) y = f () (c) y = 2 f () (d) y = 1 2 f () 1 (e) y = f 1 () Eercício 21 Verifique quais das funções abaio são pares ou ímpares (justificando a sua resposta). Quando não for nem par nem ímpar, dê um contra-eemplo. (a) f() = 3 5 (b) f() = 1 2 (c) f() = 2 sen (d) f() = sen 2 cos (e) f() = sen + cos (f) f() = 1 e e 1 iii

5 Eercício 22 Use a tabela abaio para calcular: (g f) (3) e (f g) (6). f(g(1)), g(f(1)), f(f(1)), g(g(1)), Eercício 23 Dado o gráfico abaio de f e g, obtenha: f(g(2)), g(f(0)), (f g) (0), (g f) (6), (g g) ( 2) e (f f) (4). Eercício 24 Dadas as funções f e g abaio, obtenha f g e g f, bem como os seus domínios: (a) f() = e g() = 2 +. (b) f() = + 1 e g() = 4 3. (c) f() = + 1 e g() = + 1 { + 2. { + 3, se , se 3 (d) f() = 2 e g() =, se < 0, se < 3 Eercício 25 Dadas as funções f, g e h abaio, obtenha f g h: (a) f() = 3 2, g() = sen e h() = 2. (b) f() = 3, g() = 2 e h() = Eercício 26 Escreva as funções abaio da forma f g h: (a) 1 (b) iv

6 Eercício 27 Se f() = + 4 e h() = 4 1, encontre uma função g tal que g f = h e mostre que f 1 g 1 = h 1. Eercício 28 Se f 0 () = para todo n N. + 1 e f n+1() = (f 0 f n ) (), mostre que f n () = (n + 1) + 1, Eercício 29 Encontre as funções eponenciais do tipo f() = Cb para cada um dos gráficos abaio: (a) (b) Eercício 30 Encontre, caso eista, a função inversa f 1 das funções f abaio e esboce os seus gráficos: (a) f() = (b) f() = 1 (c) f() = ln ( ) (d) f() = v

7 Eercício 31 Use os gráficos das funções abaio para esboçar suas funções inversas: Eercício 32 A população de uma certa espécie num meio ambiente limitado com população inicial 100 e com capacidade apenas para é descrita pela dinânica no tempo t como P (t) = e t onde t 0 é medido em anos. (a) Esboce o gráfico da função P (t) e verifique a presença de possíveis assíntotas. (b) Quanto tempo levará para que a população atinja 900 espécies? (c) Obtenha a função inversa de P (t) e eplique o seu significado. (d) Use a função inversa para calcular o tempo em que a população atingirá 900 espécies e compare o resultado com o obtido em (b). Eercício 33 A fórmula C = 5 (F 32), onde F 459, 67, epressa a temperatura 9 em graus Celsius como função da temperatura em Fahrenheit. Encontre a fórmula da função inversa e interprete-a. Qual o domínio da função inversa? Eercício 34 Na Teoria da Relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é dada por m 0 m = f(v) = 1 v2 c 2 vi

8 onde m 0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz no vácuo. Encontre a função inversa de f e eplique o seu sentido. Eercício 35 Determine se as funções abaio são injetoras: (a) (b) (c) (d) vii

9 (e) (f) { 3 + 3, se 1 < 0 Eercício 36 Seja f() = 3 + 3, se (a) Construa o gráfico de y = f(). (b) Construa o gráfico de y = f() + 2. (c) Construa o gráfico de y = f() 3. (d) Construa o gráfico de y = 2f(). (e) Construa o gráfico de y = 1f(). 2 (f) Construa o gráfico de y = f(). (g) Construa o gráfico de y = f( + 2). (h) Construa o gráfico de y = f( 2). (i) Construa o gráfico de y = f(2). (j) Construa o gráfico de y = f( 1). 2 (k) Construa o gráfico de y = 1 f(3( 1)). 2 Pede-se: viii