Exercícios Resolvidos Esboço e Análise de Conjuntos

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1 Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Eercícios Resolvidos Esboço e Análise de Conjuntos Eercício Esboce detalhadamente o conjunto descrito por = {(,, ) R 3 :,, + + +, + } Resolução: As superfícies e = + + () = + () são superfícies de revolução em torno do eio O ( é função apenas da distância r = + de (, ) a (, )). Assim, para esboçar o conjunto definido pelas condições,, (3) basta considerar a intersecção das superfícies com o plano coordenado O (ver figura ). (, ) = + = Figura : Intersecção das superfícies com o plano coordenado O A região descrita em (3) é a que se obtém rodando a figura em torno do eio O sobre o primeiro quadrante do plano O. Ou seja, é a região entre os gráficos dos parabolóides de revolução () e () sobre o quarto de círculo +,, O conjunto é a porção desta região que se encontra sob o plano + = (4) cuja intersecção com o primeiro octante é descrita na figura. Assim, é limitado inferiormente pelo parabolóide () e superiormente pelo parabolóide () ou pelo plano (4). Resta agora determinar a região do plano O sobre a qual é limitada superiormente pelo plano e a região sobre a qual é limitada superiormente pelo parabolóide (). Para isto é necessário calcular a intersecção do plano com os parabolóides.

2 + = Figura : O plano + = no primeiro octante A intersecção do plano com o parabolóide () é dada por { = + = { + + = = Portanto a projecção desta intersecção no plano O é o arco de circunferência + ( + ) = 5 4,, A região limitada por este arco e os eios coordenados O e O é a região onde + e portanto é a projecção de no plano O. A intersecção do plano com o parabolóide () é dada por { = + + = { + + = = A projecção desta intersecção no plano O é o arco de circunferência + ( + ) =,, A região limitada por este arco e os eios coordenados O e O é a região onde + + e portanto é a região onde é limitado superiormente pelo parabolóide (). A figura 3 descreve a projecção de no plano O. obre a região I, é formada pelos pontos entre os dois parabolóides e sobre a região II é formada pelos pontos entre o parabolóide () e o plano (4). Com esta informação podemos agora esboçar o conjunto na figura 4.

3 5 II + ( + ) = 5 4 I + ( + ) = Figura 3: Projecção de no plano O (,, ) I II Figura 4: Esboço do Conjunto Eercício Descreva detalhadamente os cortes perpendiculares aos eios coordenados sobre o sólido definido por = {(,, ) R 3 : + + < ; > ; > ; > } Resolução: Na figura 5 encontra-se um esboço do conjunto em que se representam os planos dados pelas equações + + = ; = ; = ; =. Note-se que no plano = as rectas = e + = intersectam-se no ponto de coordenadas (,, ). Portanto, para descrever os cortes em, perpendiculares aos eios coordenados, devemos fiar a variável no intervalo ], [ e cada uma das variáveis e no intervalo ], [.. Fiando < < obtemos o corte em descrito pelas inequações + < ; > ; > 3

4 + + = / = / + = Figura 5: Esboço do sólido. < < + + = + = / = / + = = Figura 6: Corte em perpendicular a. e que se representa na figura 6.. Para obter o corte em perpendicular ao eio fiamos a variável no intervalo ], [. A respectiva descrição é dada pelas inequações + < ; > ; > e a sua representação gráfica encontra-se na figura Dado que da inequação + + <, obtemos > ; > ; > ; > < < Portanto, sendo >, para fiar no intervalo ], [, devemos considerar dois casos: 4

5 < < / + + = / = / + = + = Figura 7: Corte em perpendicular a. < < / + + = + = / = / + = Figura 8: Corte em perpendicular a para < <. Para < <, temos o corte descrito por e que se representa na figura 8. < ; + < ; > Para < < a condição > é supérflua e o corte perpendicular ao eio é descrito por + < ; > ; > e representado na figura 9. 5

6 + + = / < < / = / + = + = Figura 9: Corte em perpendicular a para < <. Eercício 3 Esboce detalhadamente o subconjunto de R 3 limitado pelos planos coordenados e pelos planos + + = 3, + = e =. Discuta as superfícies que se obtêm quando é cortado por planos paralelos aos planos coordenados. Resolução: Do sistema de equações { + + = 3 + = obtemos { + = = ou seja, o plano dado pela equação + + = 3 e o plano dado pela equação + = intersectam-se segundo a recta definida por + =, =. Esta recta intersecta o plano coordenado = no ponto (,, ). O plano dado pela equação = e o plano dado por + + = 3 intersectam-se segundo a recta definida por + =, =. Esta recta intersecta o plano = no ponto (,, ). Note-se também que o plano definido por + = passa pela origem e que o conjunto é simétrico em relação ao plano =. Portanto, podemos concluir que Na direcção do eio eistem duas regiões a distinguir: uma em que < < e outra em que < <. Para a região em que < <, os cortes com fio (perpendiculares ao eio ) são triângulos limitados pelos eios e e pela recta de equação + = 3, tal como se ilustra na figura. Para < <, os cortes com fio são também triângulos limitados pelos eios e e pela recta de equação + =. Na direcção do eio eistem também duas regiões distintas: uma em que < < e outra em que < <. 6

7 = (,, ) + + = 3 < < + = 3 (,, ) + = Figura : Esboço de e corte segundo < < fio. Para a região em que < <, os cortes perpendiculares ao eio são quadriláteros limitados pelo eio, pela recta =, pela recta + = 3 e pela recta = tal com se mostra na figura. = (,, ) + + = 3 (,, ) + = < < + = 3 = Figura : Esboço de e corte segundo < < fio. Para a região em que < <, os cortes com fio são triângulos limitados pelo eio, pela recta + = 3 e pela recta = como se ilustra na figura. Devido à simetria de, na direcção do eio passa-se o mesmo que na direcção do eio com as devidas modificações. 7

8 = (,, ) + + = 3 (,, ) + = < < + = 3 = Figura : Esboço de e corte segundo < < fio. Eercício 4 Descreva detalhadamente os cortes perpendiculares aos eios coordenados sobre o sólido definido da forma seguinte: = {(,, ) R 3 : + + < ; < ; > ; > } Resolução: Na figura 3 apresenta-se um esboço do sólido em que o ponto P, que resulta da intersecção entre o plano =, o plano = e a superfície esférica + + =, tem coordenadas (,, ). + + = = P Figura 3: Esboço do sólido. Consideremos um corte sobre e perpendicular ao eio, ou seja, consideremos a intersecção de com um plano em que a coordenada é constante. Dado que + + < e > então < < em. 8

9 + + = < < = P = Q + = Figura 4: Corte segundo um plano em que é constante. Tendo fiado no intervalo ], [, obtemos o corte em + < ; < ; > e que se representa na figura 4. Trata-se de um sector circular de raio, entre o eio positivo e a recta =. A circunferência de raio e a recta = intersectam-se ( ) sobre o ponto Q de coordenadas,. + + = < < / R < < / = P Figura 5: Corte segundo um plano em que < < é constante.. Para o corte segundo um plano perpendicular ao eio, fiamos < <. Dado que + + < ; < então <, o que significa que < < Assim, sendo <, temos dois casos a considerar: 9

10 + + = / < < R + = = P Figura 6: Corte segundo um plano em que < < é constante. < < que produ o corte definido por e representado na figura 5. + < ; < < < < que produ o corte definido por e representado na figura 6. + < ; > ; > + + = < < / R T + = / = P Figura 7: Corte segundo o plano em que < < é constante. 3. Do caso anterior, temos < < e o respectivo corte é dado por + < ; > que se representa na figura 7. O ponto T de intersecção entre a circunferência de raio e a recta = tem coordenadas (, ).

11 Eercício 5 Considere o sólido definido por, = {(,, ) R 3 : + < < ; > ; > }. Descreva detalhadamente os cortes de perpendiculares aos eios coordenados. Resolução: O sólido situa-se no semi-espaço <, é limitado inferiormente pelo cone de equação = + e superiormente pelo parabolóide descrito por =. Como o vértice do parabolóide = é o ponto (,, ), a coordenada assume todos os valores do intervalo [, ]. eja ρ = +,i.e., a distância ao eio O. Para determinar a intersecção entre o cone e o parabolóide, resolve-se a equação ρ + ρ =, donde se conclui que a intersecção ocorre numa circunferência de raio R = ( 5 )/, contida no plano = R. Assim, para os cortes perpendiculares ao eio O há dois casos a considerar: [, R] e [R, ]. No primeiro caso o corte é limitado pela intersecção com o cone, enquanto no segundo caso o corte é limitado pela intersecção com a bola. As figuras 8 e 9 ilustram estes cortes. = + = Figura 8: Corte perpendicular ao eio O, com [, R] Das figuras 8 e 9, concluímos que, em, varia entre e R. Para cortes perpendiculares ao eio O há também dois casos a considerar: [, R ] e [ R, R]. No primeiro caso a figura que se obtém é limitada à direita pela intersecção com o plano = e, no segundo caso, a figura é limitada à direita pela intersecção com a bola e o cone. As figuras e ilustram estes cortes. Analisando de novo as figuras 8 e 9, concluímos que varia entre e R/, em. Para os cortes perpendiculares ao eio O há apenas um caso a considerar, que é ilustrado pela figura

12 = + = Figura 9: Corte perpendicular ao eio O, com [R, ] = = R Figura : Corte perpendicular ao eio O, com [, R ] Eercício 6 Considere a região V R 3 definida pelas seguintes condições { 4 ( + ), se + a) Esboce a região V. 3 ( + ), se < + 3. b) Descreva detalhadamente os cortes obtidos pela intersecção de V com os planos horiontais, ou seja, constante para 4. Resolução: a) V é o volume compreendido entre plano e os parabolóides de equações = 4 ( + ), quando +, e = 3 ( + ), quando < + 3 (ver figura 3). Obtemos

13 = R = R Figura : Corte perpendicular ao eio O, com [ R, R] = R = R Figura : Corte perpendicular ao eio O, [, R ] assim um sólido de revolução, limitado por cima pela superfície obtida por revolução à volta do eio dos do gráfico da função { = 4 = f() =, se = 3, se < 3. De facto, um corte vertical de V segundo =, para, fornece uma área que está compreendida entre o eio dos, com 3, e o gráfico de f() (ver figura 4). b) Como V é um sólido de revolução, sendo o eio de simetria, os cortes com fio vão ser círculos. Para = 4, vamos ter o corte {(,, ) R 3 : =, + (4 )/} que representa um disco de raio (4 )/ centrado no eio dos e à altura =. Para = <, vamos ter o corte {(,, ) R 3 : =, + 3 } que representa um disco de raio 3 centrado no eio dos e à altura =. 3

14 4 = 4 ( + ) = 3 ( + ) 3 Figura 3: Esboço de V 4 = 4 = 3 3 Figura 4: Gráfico da função f 4

15 Eercício 7 Considere o conjunto R 3 definido por = {(,, ) R 3 : < <, > +, < < 4, + + ( ) > }. a) Esboce o conjunto. b) Descreva detalhadamente os cortes por planos perpendiculares aos eios dos e dos. Resolução: a) A região é limitada pelos planos verticais = e =, pelos planos horiontais = e = 4, pela superfície cónica = + = ± +, e pela superfície esférica de centro em (,, ) e raio, dada pela equação + + ( ) =. O sólido tem portanto o aspecto indicado na Figura = 6 = Figura 5: Esboço do sólido. b) Os planos perpendiculares ao eio O são os definidos por equações da forma = c com c constante (que podemos assumir, senão a intersecção com seria vaia). O corte por este plano é formado pelo conjunto {(c,, ) R 3 : c <, > c +, < < 4, c + + ( ) > } No plano (, ) esta região consiste no conjunto dos pontos que estão à direita da recta = c, acima da hipérbole = c +, na faia < < 4 e que satisfaem a relação + ( ) > c. Esta inequação é automáticamente satisfeita se c < c uma ve que + ( ). Por outro lado, mesmo para c, se c c então o círculo + ( ) c está contido na região à esquerda da recta vertical = c e, portanto, a relação + ( ) > c pode ser ignorada (é mais fraca do que a condição > c). Note-se que c = c c = c c = c = 5

16 (onde usámos o facto de c ser ) logo temos de entrar em conta com a relação c + + ( ) > apenas se c. Outra forma de pensar nisto é a seguinte: é o valor a partir do qual um plano paralelo ao plano não toca no buraco do cone. Corresponde ao raio do buraco multiplicado pelo coseno de 45 graus. Assim, para c, o corte do sólido pelo plano = c tem o aspecto indicado na Figura c = c + c c c 6 c Figura 6: Cortes de por planos = c com c. O maior valor que c pode tomar para que a intersecção de com = c seja não vaia é a abcissa do ponto sobre a circunferência de raio 4 que fa um ângulo de 45 graus com o eio dos (esta é a coordenada do vértice de mais próimo do observador na Figura 5). Este valor é 4 cos π 4 =. Outra maneira de chegar a este valor máimo de c seria calcular qual é o valor de c em que a recta vertical = c e a hipérbole = c + se intersectam em = 4. Para c temos então que o corte pelo plano = c é o indicado na Figura 7 (a única diferença é que a condição de estar fora da esfera de raio centrada em (,, ) não tem influência no corte). 4 = c + c c 6 c Figura 7: Cortes de por planos = c com c. Os cortes por planos perpendiculares ao eio dos, isto é por planos = c com c 4 faem-se de forma análoga: o corte é o conjunto dos pontos {(,, c) R 3 : < <, + < c, + > (c ) }. 6

17 e (c ) c ou c 3 a última condição é automática (os planos horiontais a altura c não intersectam o buraco para estes valores de c) e portanto o corte consiste num sector do círculo de raio c (ver Figura 8). c c + = c = Figura 8: Cortes de por planos = c com c ou 3 c 4. e c 3 então o corte consiste num sector entre as circunferências de raio (c ) e c (ver Figura 9). c + = c c (c ) = Figura 9: Cortes de por planos = c com c 3. 7