3 Cálculo Integral em R n

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1 3 Cálculo Integral em n Exercício 3.. Calcule os seguintes integrais. Universidade da Beira Interior Matemática Computacional II Engenharia Informática 4/5 Ficha Prática 3 3 x + y dxdy x y + x dxdy e 3 y x + dxdy xy e x+y dxdy sen x cos y dxdy x + y dxdy h) i) j) x ln y dydx y + x 3xy dydx sen x sen y dxdy 4 y x + x y dxdy k) / / sen (x + y) dydx Exercício 3.. Calcule os seguintes integrais duplos. [ x sen(x + y) dxdy, com =, π ] [, π ] 6 3 x + xy dxdy, com = [, ] [, ] x dxdy, com = [, ] [, ] x + y xy e xy dxdy, com = [, ] [, ] cos(x + y) dxdy, com = { (x, y) : x π y π } xy x + dxdy, com = { (x, y) : x 3 y 3 }

2 h) i) j) k) l) + x + y dxdy, com = { (x, y) : x y } x 3 y dxdy, com = { (x, y) : x x y x } y + x dxdy, com = { (x, y) : x y x } e y dxdy, com = { (x, y) : y x y } e x y dxdy, com = { (x, y) : y y x y 3} x y x dxdy, com = { (x, y) : y x y } Exercício 3.3. Calcule para as funções e conjuntos indicados, utilizando as duas possíveis ordens de integração. f(x, y) = xy e = { (x, y) : x y x } f(x, y) = e x+y e = { (x, y) : x + y } f(x, y) = sen x e = {(x, y) : x π } y cos x f(x, y) = (x + y) e = { (x, y) : x y y } f(x, y) = x xy =. y e o conjunto limitado pelas rectas x =, y = x e pela hipérbole * f(x, y) = arctg y x e = {(x, y) : x + y 3 Exercício 3.4. Calcule 3x 3 y x 3, para as funções e conjuntos indicados. f(x, y) = x cos y, onde é o conjunto limitado por y =, y = x e x = f(x, y) = x + y, onde é o conjunto limitado por y = x e y = x } f(x, y) = xy, onde é o conjunto limitado por x = e x = y f(x, y) = y 3, onde é a região triangular com vértices (, ), (, ) e (3, )

3 f(x, y) = x 3 y, onde é o conjunto limitado pelas rectas x = e y = e pela parábola x = 4y + 3. f(x, y) = x, onde é o conjunto limitado pelas rectas y = x, y = x e x =. f(x, y) = x + y, onde é o rectângulo definido pelos vértices (, ), (, ), (3, 4) e (4, 3). h) f(x, y) = x y, onde é o conjunto definido por y e x y. i) f(x, y) = x cos(x + y), onde é o triângulo definido pelos vértices (, ), (π, ) e (, π). j) f(x, y) = x + y, onde é o conjunto definido por y sen x e x π. Exercício 3.5. Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração. y i) 4 y 4 4 y y y j) sen y sen y 4 y k) 4 x 4 x l) 3 9 y 9 y x x x m) ln x y y n) 4 arctg x sen x o) 3 9 y h) e ln x p) y y Exercício 3.6. Inverta a ordem de integração dos seguintes integrais e calcule-os. 3

4 3 e x 3y 3 9 dxdy y x3 + dxdy y y cos ( x ) dxdy x x 3 sen(y 3 ) dydx 8 arcsen y 3 y e x4 arcsen y cos x + cos x dxdy dxdy y sen x dxdy Exercício 3.7. Calcule os seguintes integrais utilizando a mudança de coordenadas indicada. y x + y dxdy onde x = u + v e y = u v + x + y dxdy onde x = u e y = v Exercício 3.8. Utilize coordenadas polares para calcular os integrais indicados. x e x +y dydx a ax x x + y dydx 4 y x 4 y y dxdy a x x dydx 4 x 4 x x + y dydx a a y (x + y ) 3 dxdy a x x y dydx h) x x x + y dydx i) j) k) l) 9 x x + y dydx + 3 x 9 x x + y dydx x y + y 4 dxdy, onde é o disco com centro na origem e raio 3 x + y dxdy, onde é a região que está à esquerda do eixo dos yy e entre as circunferências x + y = e x + y = 4 cos(x +y ) dxdy, onde é a região acima do eixo dos xx, dentro da circunferência x + y = 9 4

5 m) n) o) 4 x y dxdy, onde = { (x, y) : x + y 4 x } e x y dxdy, onde é a região limitada por x = 4 y e a recta x = y e x dxdy, onde é a região do primeiro quadrante limitada por x + y = 6 ( y p) arctg dxdy, onde = x) { (x, y) : x + y 4 y x } Exercício 3.9. Exprima o integral em coordenadas polares para cada um dos seguintes conjuntos. = { (x, y) : a x + y b x }, onde < a < b { = (x, y) : x y 3x } x + y 5 = { (x, y) : x + y x } = { (x, y) : y x x } = { (x, y) : x + (y) x + y x y } = [, ] [, ] Exercício 3.. Calcule os seguintes integrais utilizando uma mudança de coordenadas adequada. y dxdy onde é o conjunto situado no primeiro quadrante limitado por x + y =, y = x e y = xy dxdy onde = { (x, y) : x + y 4 x y } ln ( x + y ) dxdy onde é o conjunto situado no primeiro quadrante definido por a x + y b, com a, b + x y dxdy onde = { (x, y) : x y x } ( x + y ) 3 dxdy onde = { (x, y) : x + y } x dxdy onde = { (x, y) : x y x + y } Exercício 3.. Calcule os seguintes integrais triplos. 5

6 3 xy z 3 dxdydz. r cos θ dϕdθdr 3 y sen x dzdydx. y cos x + dxdydz Exercício 3.. Calcule os seguintes integrais triplos. z x+z 6xz dydxdz x y 3 z z e y dxdzdy x xyz dzdydx Exercício 3.3. Calcule z y z e y dxdydz f(x, y, z) dxdydz, para as funções e conjuntos indicadas. f(x, y, z) = z e o tetraedro limitado pelo plano x + y + 3z = 6 e pelos planos das coordenadas f(x, y, z) = x cos z e 3 é o conjunto limitado pelos planos x =, x + y =, y =, z = e z = π f(x, y, z) = x + z e o sólido limitado pelo plano y = 4 e pelo parabolóide y = x + z f(x, y, z) = z e 3 é o conjunto definido por x + y 9 e z f(x, y, z) = x e 3 é o conjunto limitado pelo cilindro x + y =, acima do plano z = e abaixo do cone z = x + y f(x, y, z) = z e x +y e = { (x, y, z) 3 : x + y 4 z 3 } f(x, y, z) = x e o conjunto definido por x + y a e z b e a, b Exercício 3.4. Calcule os seguintes integrais, fazendo a transformação para coordenadas cilíndricas. x x y x x +y ( x + y ) 3 dzdydx y x +y xyz dzdxdy x +y 6

7 Exercício 3.5. Calcule os seguintes integrais, fazendo a transformação para coordenadas esféricas. 3 9 x 3 9 x 3 9 x y z x + y + z dzdydx 9 y 8 x y x +y x + y + z dzdxdy Exercício 3.6. etermine os seguintes integrais utilizando uma mudança de coordenadas adequada. z dxdydz, onde 3 é o conjunto definido pelas condições z e z x + y. x + y dxdydz, onde 3 é o conjunto limitado pelo cilindro x +y =, pelos planos z = 3 e z = 3 e que verifica a condição y. 7yz dxdydz, onde 3 é o conjunto limitado pelo cilindro x + y = a, pelos planos z = e z = b com a, b >, e que verifica a condição y. x + y dxdydz, onde 3 é o conjunto limitado pelo cilindro x +y = 6 e pelos planos z = 5 e z = 4. ( x 3 + xy ) 3 dxdydz, onde 3 é o conjunto do primeiro octante que está abaixo do parabolóide z = x y. x + y + z dxdydz, onde 3 é a bola unitária x + y + z. y dxdydz, onde 3 é o conjunto que está entre os cilindros x + y = e x + y = 4 acima do plano z = e abaixo do plano z = x +. h) xz dxdydz, onde 3 é o conjunto limitado pelos planos z =, z = y + e pelo cilindro x + y =. i) x e (x +y +z ) dxdydz, onde 3 é o conjunto que está no primeiro octante e entre as esferas x + y + z = e x + y + z = 4. j) e (x +y +z ) 3 dxdydz, onde 3 é a bola unitária. 7

8 e z k) dxdydz, onde x + y + z = { (x, y, z) 3 : x + y + z 9 z }. l) f(x, y, z) = + (x + y + z ) 3/ e = { (x, y, z) 3 : x + y + z z y } Exercício 3.7. etermine a área dos conjuntos indicados. = { (x, y) : y x y x 6 } = { (x, y) : y x y y } = { (x, y) : x + y 6 } = { (x, y) : x y } = { (x, y) : x x y x } * = } {(x, y) : x a + y b, onde a, b + * = { (x, y) : 4x + 9y 36 x > y > } Nota: nas duas últimas alíneas use coordenadas elípticas. Exercício 3.8. Escreva uma expressão em termos de integrais iterados para a área de = { (x, y) : x + y y + x y x } nas duas ordens de integração possíveis. Exercício 3.9. etermine o volume dos seguintes sólidos. O sólido limitado pela superfície x = y e os planos z = e x + z =. O sólido limitado pelo parabolóide z = 4 x y e o plano z =. O sólido limitado pelo parabolóide z = x + y e pela superfície z = 4 y. O cone circular de raio e altura h. O sólido definido por x + y e x + y + z 5. 8

9 O sólido definido pelas condições x, y x e z x y. A parte da esfera unitária centrada na origem situada no primeiro octante. h) A parte do cilindro elíptico 4x + z 4 limitada pelos planos y = e y = 4. i) A intersecção dos parabolóides x + y z e 8 x y z. j) * O sólido definido por x + y z x + y, y x e x. k) * O sólido limitado pelas superfícies x + y =, z = e x + y + z =. Exercício 3.. Usando coordenadas cilíndricas determine o volume da porção da esfera x + y + z a que se intersecta com o cilindro x + y ay. Exercício 3.. Usando coordenadas esféricas determine o volume do cone x + y z tal que z. Exercício 3.. etermine o volume do sólido limitado superiormente pela esfera unitária de centro na origem e inferiormente por: o cone z = x + y. a superfície z = x + y. 9