Lista de Exercícios 1 : integrais duplas e triplas

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA UFRJ Lista de Exercícios : integrais duplas e triplas. Calcule as integrais de (x + y) e y( sen(πx)) na região limitada pelas retas x =, y = e y = x.. Calcule as integrais de (x y) e y( cos(πx)/4) na região limitada pelas retas x =, y = e pela curva y = x. 3. Esboce as regiões descritas pelas seguintes desigualdades: (a) x e y ; (b) x 3 e y 4; (c) x + y. 4. Calcule cada uma das integrais abaixo, esboçando a região de integração em cada caso. (a) π 3 sen(x) x( + y)dydx. (b) (c) (d) 4 (e) (f) (g) (h) sen(x) xcos(πx) x ( y) y /3 y 3 y 3dxdy. 3 4 x / 3 ( 5 4 x / 3y (x + xy + )dydx. (y x + y 3 y)dxdy. +x + y 3 )dydx. exp(x + y)dxdy. x (x + xy y )dydx. 3 x sen(y)dxdy. 5. Esboce a região de integração, inverta a ordem das integrais repetidas e calcule o resultado final, para cada uma das integrais abaixo,

2 (a) xydydx. x (b) π/ cos(θ) cos(θ)drdθ. (c) (x + y y )dxdy. x 3 (d) xdydx. x (e) x 3 xdydx. x (f) π/ cos(y) x sen(y)dxdy. 6. Integre a função dada na região indicada: (a) f(x,y) = x y no triângulo de vértices (, ), (, ) e (, ); (b) f(x,y) = x 3 y + cos(x) no triângulo definido por x π/ e y x; (c) f(x,y) = x + xy +, na região limitada pelo gráfico de y = x +x, o eixo x e as retas x = e x = ; (d) f(x,y) = sen(x) cos(y), na união dos triângulos marcados com na figura abaixo (, ) (,) 7. Usando integrais duplas, calcule os volumes indicados abaixo. Em cada caso esboce a região cujo volume você está calculando. (a) o volume sob o gráfico de f(x,y) = + sen(πy/) + x, no paralelogramo do plano xy cujos vértices são (, ), (, ), (, ) e (3, ). (b) o volume sob o gráfico de f(x,y) = 4x + 3y + 7, no disco de raio e centro na origem. (c) o volume entre os gráficos de f(x,y) = x + e g(x,y) = x 3y 6, na região limitada pelo eixo y e a curva x = 4 y. 8. Use coordenadas polares para calcular cada uma das seguintes integrais: (a) a a (b) a a x dydx. a x a y (x + y )dxdy.

3 3 (c) a/ a y xdxdy. y 9. Calcule A (x + y ) exp((x + y ) )dydx, onde A é o disco de raio unitário e centro na origem.. Calcule a área dentro da curva r = a( + cos(θ)) e fora de r = a, onde a é uma constante. Esboce a região cuja área você vai calcular.. Calcule as áreas internas às curvas: (a) r = cos(θ); (b) r = a cos(θ);. Esboce a região definida por y x, x + y, e x + y, e calcule a integral da função sobre esta região. f(x,y) = xy x + y 3. Esboce a região interna à curva r = +cos(θ) e externa a r =, e integre a função f(x,y) = x + y sobre esta região. 4. Se fizermos um furo cilíndrico de raio através do centro da esfera de raio, qual o volume que foi removido? 5. O seno e o cosenos hiperbólicos de x são definidos por senh(x) = ex e x (a) Mostre que cosh (x) senh (x) =. (b) Calcule as derivadas de senh(x) e cosh(x). e cosh(x) = ex + e x

4 4 (c) Mostre que as hipérboles x y = e y x =. podem ser parametrizadas a partir do seno e do coseno hiperbólicos. 6. Use senos e cosenos hiperbólicos para calcular a área da região limitada pela hipérbole x y = e pelas retas y = e y =. 7. O folium de Descartes é a curva de equação x 3 + y 3 = 3xy. (a) Calcule o ponto de interseção do folium com y = tx e use isto para parametrizálo. (b) Esboce o folium. (c) Calule a área do folium usando sua equação paramétrica. 8. Use integrais triplas para calcular os seguintes volumes: (a) da região limitada por z = x + y e z = x y ; (b) do sólido limitado por x + y =, z = e x + y + z = ; (c) do sólido limitado por x = y, z =, x = e x + y + z = ; (d) da região comum aos cilindros x + y a e x + z a. 9. Calcule as seguintes integrais triplas, esboçando, em cada caso, a região de integração: (a) 3 cos(π(x + y + z))dxdydz. (b) x y (y + xz)dzdydx. (c) x x+y dzdydx. (d) R (x +y +z )dxdydz, onde R é a região limitada por x+y+z = a (a > ), x = y = z =. (e) W x cos(z)dxdydz, onde W é a região limitada por z =, z = π, y =, y =, x = e x + y =. (f) W ( z )dxdydz, onde W é a pirâmide com vértice superior (,, ) e vértices da base (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ). (g) W (x + y )dxdydz, onde W é a mesma pirâmide do item anterior.. Use integrais triplas para calcular os volumes das seguintes regiões: (a) a região limitada pelas superfícies x + y + z = e x + y = /4;

5 5 (b) a região limitada pelos cones z = x + y e z = x + y ; (c) a região interior ao elipsóide x + y + 4z = 6; (d) a região que corresponde à interseção do elipsóide x + (y + z ) com o cilindro y + z ; (e) o cone definido por (x z/) + y 4z e z 3; (f) o setor esférico definido por x + y + z, z e x + y az ; (g) o sorvete definido por x + y z /5 e z x y ; (h) a região abaixo do plano z + y = e dentro do cilindro x + y com z ; (i) o sólido limitado por x + y + z = e que satisfaz z x + y.. Esboce a região de integração de 3 9 y x +y y dzdxdy e calcule esta integral usando coordenadas cilíndricas.. Seja R = [a,b] [c,d] um retângulo e f : [a,b] R e g : [c,d] R, funções nas variáveis x e y, respectivamente. É verdade que ( b )( d ) fgdxdy = f g? R Prove a fórmula, se for verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa. 3. Mostre que se U,V,W R e f : U V e g : V W são funções bijetivas, diferenciáveis, com inversa diferenciável, então J (fg) (p) = J f(g(p)) J g (p). a Esta é a regra da cadeia para o jacobiano. Para prová-la basta usar a regra da cadeia para derivadas parciais. c