Capítulo I - Funções Vectoriais EXERCÍCIOS

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1 ANÁLISE MATEMÁTIA II Universidade Fernando Pessoa Faculdade de iência e Tecnologia apítulo I - Funções Vectoriais EXERÍIOS 1. Sendo F, G e H funções vectoriais de t, encontre uma fórmula para a derivada do produto misto (FxG) H.. Seja F uma função vectorial de t. Demonstre que: a) b) d dt d dt ( F ) = 1 F F df dt F F = 1 F F df df dt dt F F 3 3. Seja a curva cuja equação vectorial paramétrica é R = 6t i + 3t j + 4/3t 3 k. alcule o comprimento do arco s de entre os pontos t= e t=1. (R: 13/3) 4. Ache o comprimento do arco da curva R = 3t i + (t 3-3t) j entre t=1 e t=. (R:1) 5. Seja R = (t + ) i + (t t) j + (t 1)k. Determine o vector normal (-t +)i + t j + ( t +1)k unitário principal. (R: N = ) 5 6t t Seja R = cost i + sin t j + 3tk. Determine V, V, A, T, VxA, k e N. 1

2 7. Uma partícula P move-se no espaço de acordo com a equação de movimento R = 4cos t i + 4 sin t j + t k. No instante t=π/ determine: a) a velocidade da partícula. (R: 16 + π ) b) o vector aceleração. (R: A = 4 j + k ) 8. A equação de velocidade de uma partícula é V = i + t j + t k. Determine o seu vector posição para t=1, sabendo que para t=, R = i + j + 4k. (R: R = 5 / j + 13 / 3k ) 9. Determine o ponto (3, π/6) no sistema de coordenadas polares. Determine as coordenadas polares equivalentes para este ponto nos casos: a) r< e θ<π ( R: P=(-3, 7π/6) ) b) r> e -π θ< ( R: P=(3, -11π/6) ) c) r< e -π θ< ( R: P=(-3, -5π/6) ) 1. onverta os seguintes pontos para coordenadas polares com r e -π θ<π: a) P=(,) (R: P=(, π/4) b) P=(5,-5/ 3 ) (R: P=(1/ 3, -π/6) 11. Determine o comprimento do arco total da curva polar r=(1-cosθ). (R: 16) 1. Determine o comprimento do arco da curva polar r=4θ entre θ= e θ=3/. (R: 61/6) 13. Determine o comprimento do arco da curva r = 5 θ = πt entre os pontos t= e z = 3t t=1. (R: 1π + 9 ) 14. onsidere a seguinte curva: x +y =9.

3 a) Escreva a equação desta curva em coordenadas polares. Identifique a curva. b) Determine o comprimento do arco da curva entre θ= e θ=π. (R: 6π) 15. onsidere a seguinte curva em coordenadas cilíndricas: 4 r = t + t r cosθ = t 3 z = t a) Determine as equações paramétricas da curva em coordenadas rectangulares e o vector posição em função de t. b) Determine o vector normal unitário principal. c) Determine o comprimento do arco da curva entre os pontos t= e t=1. EXERÍIOS DIVERSOS 16. Uma partícula move-se no plano de modo a que a sua posição no tempo t tem coordenadas polares r=t e θ=t. Determine: a) o vector velocidade; (R: v = (cost t sin t) i + (sin t + t cost) j ) b) o vector aceleração; (R: a = ( sin t t cost) i + ( cost t sin t) j) c) a curvatura. + t (R: k = 3 / (1 + t ) ) 17. Deduza a fórmula do comprimento de arco de uma curva em coordenadas cilíndricas. 3

4 ANÁLISE MATEMÁTIA II Universidade Fernando Pessoa Faculdade de iência e Tecnologia apítulo - álculo Diferencial em ampos Escalares e Vectoriais EXERÍIOS xy 1. Seja g( x, y, z) = definida para x + y z. x + y z a) Determine g(,3,7). (R: 1) b) Determine g(sint,cost,). (R: sintcost). onsidere a seguinte função: f ( x, y) y = 1 x. a) Determine o domínio de f(x,y). b) Esboce o gráfico da função. 3. Encontre e esboce o domínio de 4 x y f ( x, y) =. y 4. Encontre e esboce o domínio de f( x, y) = ln( x y). 5. Seja f(x,y)=8-x/-y/5. a) Determine f(6,75). (R:74) b) Encontre a equação da curva de nível f(x,y)=7. (R:5x+4y=1) 4

5 c) Esboce a curva de nível f(x,y)=7. y 6. alcule lim (5x y + xy 3 ). (R: -6) ( x, y) ( 1,) x + y 7. x y Seja f ( x, y) = 3x + 3y. a) alcule o limite de f(x,y) quando (x,y) tende para (,) ao longo de cada um dos seguintes caminhos: i) eixo dos xx; (R:) ii) eixo dos yy; (R:) iii) recta y=x; (R:) iv) parábola y=x.(r:) b) Este limite existe? x + y + x 8. Seja f ( x, y, z) =. Determine o limite de f(x,y,z) à medida que z π (x,y,z) tende para (-1,,π) ao longo da curva de equações paramétricas x = cost y = sin t. (R: ) z = t 9. onsidere a função xy f ( x, y) =. x y a) Esboce o domínio de f. b) Prove que f é uma função contínua em todo o seu domínio. 1. Seja w=xy z 3. Determine: a) w ; x (R: y z 3 ) b) w ; y (R: xyz 3 ) c) w ; (R: 3xy z ) z 5

6 x + y 11. Seja f ( x, y) =. Determine f 1 (x,y) e f (x,y). x + y y xy x x xy y (R:, ( x + y ) ( x + y ) ) 1. Seja w = 1 x y. Usando a regra da cadeia determine w x e w y. (R: x, y 1 x y 1 x y ) 13. Determine o coeficiente angular da recta tangente à curva na intersecção da superfície z=4x y-xy 3 com o plano y= no ponto P=(3,,48). (R:4) 14. O volume de um cilindro é dado por V=πr h, sendo r o raio e h a altura do cilindro. a) Determine a taxa de variação de V em relação a r mantendo h constante. (R:πrh) b) Determine a taxa de variação de V em relação a h mantendo r constante. (R:πr ) c) Seja h=4 cm. Determine a taxa de variação de V em relação a r quando r=6 cm. (R: 48π cm ) d) Seja r=8 cm. Determine a taxa de variação de V em relação a h quando h=1 cm. (R: 64π cm ) 15. Seja z=4x 3 y. Determine a diferencial total dz. (R: 1x y dx+8x 3 ydy) 16. Usando a notação de diferencial total, determine a variação no comprimento da hipotenusa de um triângulo rectângulo com lados de 3 e 4 cm, quando se faz aumentar um dos lados de 3 para 3. cm enquanto que o outro diminui de 4 para 3.96 cm. (R:,88 cm) 6

7 17. Suponha que y seja uma função de x e z dada implicitamente pela equação xy 4xyz + xyz z 14 =. Determine y x e y para x=1, z= z e y=. (R: -6, 1/7) Seja F ( x, y, z) = x z + xy z + 4yz 5 =. Por diferenciação implícita de F determine z x e z y. (R: xz + y xy + 4z, ) xz 3z + 4y xz 3z + 4y 19. As equações x = r cos θ relacionam as coordenadas polares com as y = r sin θ cartesianas. Estas equações definem r e θ implicitamente como funções de x e y. Utilize a diferenciação implícita para calcular r a) (R:cosθ) x b) c) θ x r y (R:-1/(-sinθ/r)) (R:sinθ) d) θ y (R:cosθ/r). Sendo z = xy + y, com x=cosθ e y=sinθ. alcule a derivada total para θ=π/. (R: -1/) dz dθ 1. Se z + = x y, com x=t+1 e y=t 3, calcule dz 5 3t + 4t + (R: ) 6 t + 4t + 4t + 1 dt.. Se w=f(x +y ), prove que w w y = x. x y 7

8 3. onsidere a seguinte função: w(x,y,z)=z sin y x vez funções das variáveis r e s: x = 3r + s 3 y = 4r s 3 z = r 3s w w e em termos das variáveis r e s. r s em que x, y e z são por sua. Obtenha as expressões de 4. onsidere a função de duas variáveis z(x,y)=y f(x -y ) em que f é uma função derivável qualquer. Mostre que: 1 z 1 z z + =. x x y y y 5. Determine a derivada direccional de e xy no ponto (-,) na direcção do vector unitário u que faz um ângulo de π/3 com o eixo positivo dos xx. (R: - 3) 6. Determine o gradiente de f(x,y)=3x y no ponto (1,) e utilize-o para calcular a derivada direccional de f em (1,) na direcção do vector a =3i+4j 48 (R: f = 1 i + 3j, Du = ) 5 7. Seja y f ( x, y) = x y + x e. Determine: a) O valor máximo da derivada direccional no ponto (1,); (R: 5) b) O vector unitário da direcção para a qual o valor máximo calculado em a) é obtido. (R: 1/ 5 i+/ 5 j) 8. Seja f(x,y)=4x +xy+9y. Determine: a) f ( 1,) (R :1i + 37j) b) D u f (1,) em que u é o vector unitário na direcção de a =4i-3j. (R: -71/5) 8

9 9. Se f(x,y,z)=3x +8y -5z, determine a derivada direccional de f em (1,-1,) na direcção do vector a =i-6j+3k. (R: 48/7) xy 3. A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal é T(x,y)= 1 + x + y a) Determine para o ponto (1,1) a taxa de variação da temperatura na direcção do vector a =i-j. (R: 1/(9 5 )). b) Uma formiga está no ponto (1,1) e deseja caminhar na direcção para a qual a temperatura decresce mais rapidamente. Determine o vector unitário dessa direcção. (R: -1/ i-1/ j). 31. Determine as equações da recta normal e do plano tangente para as seguintes superfícies nos pontos dados: a) z=4x 3 y +y, P=(1,-,1); x 1 y + z 1 (R: = =, 48x-14y-z=64) b) z=xe -y, P=(1,,1); x 1 y z 1 (R: = =, x-y-z=) Determine quais os pontos da superfície z=x -xy+y -x+4y para os quais o plano tangente coincide com o plano xy. ( R: P=(,-,-4) ) EXERÍIOS DIVERSOS 33. Admitindo que + z 1 = xyz define z z( x, y) = determine z z z, e. x y y yz xz x z (R:,, ) xy + z xy + z ( xy + z) 34. Se x ( y + 3z) + y ( 3x 4z) + z ( x y) = xyz, calcule z x z e. y (R: 4xy + 6xz + 3y + z yz x, 3x 4y + xz 4yz xy 3x + 6xy 8yz z xz ) 4y + xz 4yz xy 9

10 35. Dada a função z = xy + x y com y = log x prove que e d z d z x =. d x d y 36. Seja f ( x, y, z) axy byz + cz x 3 = +. Determine a, b e c sabendo que no ponto P=(1,,-1) o vector gradiente módulo igual a 64. f (R: a=6, b=4, c=-8) é paralelo ao eixo dos zz e tem 37. onsidere a função z=z(x,y) definida implícitamente pela z equaçãoϕ ( x + y z, e ) + ψ ( z + x) =. Determine as derivadas parciais z x z e y em função de x, y, z e de ϕ, u ϕ ψ e v w fazendo u = x + y z, z v = e e w z + x =. (R: z x ϕ ψ x + u w z =, ϕ z ϕ ψ y z + e + z u v w ϕ y = u ) ϕ z ϕ ψ z + e + z u v w 38. O caudal Q no plano xy é dado por Q e + = log x y. Determine a taxa de variação de Q em (1,1) segundo a direção do vector unitário u = i + j. (R: / ) 1

11 ANÁLISE MATEMÁTIA II Universidade Fernando Pessoa Faculdade de iência e Tecnologia apítulo 3 - Integrais de Linha EXERÍIOS 1. alcule o integral de linha ( x + 3y) dx + ( y + x) dy para t 1. (R: 8) sendo : x = t y = t +1. alcule o integral de linha ( x + y) dx + ( y x) dy sendo o segmento de recta que une os pontos A=(1,1) e B=(4,). (R: 11) 3. alcule F( r ) dr sendo F = yzi+ xz j+ xyk e a curva cujo vector posição é r (t) = t i+ t j+ t 3 k para -1 t 1. (R: ) 4. alcule F( r ) dr sendo F = x i+ xy j e a curva cujas equações t x = e paramétricas são y = e t para t 1. (R: e e 3 4 ) 5. A força variável F = (3x 4y)i+ (4x + y) j move uma partícula ao longo da x = 4t +1 curva : do ponto A=(1,) ao ponto B=(9,1). alcule o trabalho y = 3t 11

12 realizado se as distâncias forem medidas em centímetros e a força em joules. (R: 44 ergs) 6. Uma partícula move-se do ponto A=(,) ao ponto B=(1,) ao longo da curva : x = t enquanto está sujeita ao campo de forças F = xy i + (x y) j. Para y = λt(1 t) que valor de λ é o trabalho realizado igual a 1? (R: -1) 7. Seja A=(1,) e B=(1,1). alcule (x y)dx + (y + x)dy sendo o perímetro do triângulo OAB tomado na direcção anti-horária. (R: 1) 8. Seja F = y i + x j. a) alcule o integral de linha F( r ) dr, sendo : i) o segmento de recta y=x de A=(,) a B=(1,1); (R: 1) ii) a parábola y=x de A=(,) a B=(1,1); (R: 1) iii) a curva de equação y=x 3 de A=(,) a B=(1,1). (R: 1) b) Prove que este integral de linha é independente do percurso e calcule o seu valor entre os pontos A=(,) e B=(1,1) pelo teorema fundamental dos integrais de linha. (R: 1) 9. Mostre que o integral de linha xdx + ydy + 4zdz é independente do percurso em qualquer domínio no espaço e calcule o seu valor se tiver pontos inicial A=(,,) e terminal B=(,,). (R: 16) 1. Prove que ysin xdx cos xdy é independente do percurso de integração. alcule este integral entre os pontos A=(,1) e B=(π,-1): a) pelo teorema fundamental dos integrais de linha; (R: ) b) integrando ao longo do segmento de recta que vai de A a B. (R:) 11. alcule o integral de linha (x + y)dx + (y + x)dy sendo : t 1. (R: 3/6) x = t + 1 para y = t 1

13 EXERÍIOS DIVERSOS 1. Encontre o valor de F( r)r d quando F( r) y i + xyj = e é o arco circular de A a B para r() t = cos ti + sintj com π t. (R: π/4+1/3) 13. onsidere o seguinte integral de linha: ( y + 1)dx + xdy x = ln t a) alcule o seu valor sendo : para 1 t e. y = t b) Prove que este integral é independente do percurso de integração e calcule o seu valor através do teorema fundamental dos integrais de linha. (R: e+1) 14. alcule ( x + y)d x + ( x y) d y sendo a curva (R: 1-π) x = cos t y = 4sin t para t π/ Seja F( x, y) = ( x + y) i + ( x y) j + k. a) alcule F. d R sendo R i t = t + e j + cos t k entre t π. b) Prove que o integral da alínea anterior é independente do percurso de integração e calcule o seu valor através do teorema fundamental dos π π e π integrais de linha. (R: + πe 3 / ) 13

14 ANÁLISE MATEMÁTIA II Universidade Fernando Pessoa Faculdade de iência e Tecnologia apítulo 4 - Integrais múltiplos: 1ª Parte - Integrais duplos EXERÍIOS 1. alcule os seguintes integrais duplos: a) R 3 4xy da, sendo R = {(x,y): 1 x 1, y } (R: ), sendo R = (x,y): x 1, y 3 b) x 1- x da R { } (R: 1/3) c) ( + y - x) da, sendo R = (x,y): x 1, y R d) x cos(xy)cos(πx) da R { } (R: 5) { }, sendo R = (x,y): x 1/, y π (R: 1/3π). Utilize um integral duplo para clacular o volume dos seguintes sólidos: a) sólido limitado superiormente pelo plano z=4-x-y e inferiormente pelo rectângulo R = {(x,y): x 1, y }. (R: 5) b) sólido limitado superiormente pela superfície z=3x 3 +3xy e inferiormente pelo rectângulo R = {(x,y):1 x 3, y }. (R: 144) c) sólido no primeiro quadrante limitado superiormente pela superfície z=x, lateralmente pelos planos x= e y=3 e inferiormente pelo plano z=. (R: 8) 14

15 3. alcule os seguintes integrais: 1 x a) dydx (R: 1/6) x 3y b) (x + y)dxdy (R:14) 1 y x + x c) x dydx (R: 19/1) 1 x π cosθ d) ρsinθdρdθ (R: 1/3) π / 4 cosθ 3 e) ρ dρdθ (R: 1π) 4. Utilize um integral duplo para calcular o volume dos seguintes sólidos: a) tetraedro limitado pelas coordenadas planas e pelo plano z=4-4x-y. (R: 4/3) b) sólido limitado pela superfície z=6xy e pela região R cujas fronteiras são x=, y=, x= e y=x. (R: 1) c) sólido limitado pela superfície z=xcosxy e pela região R cujas fronteiras são x=1, x=, y=π/ e y=π/x. (R: -/π) d) sólido limitado pelo cilindro x +y =4 e pelos planos y+z=4 e z=. (R: -16π) e) sólido limitado pela superfície z=1/(1+x ) e pela região triangular com vértices (,), (1,1) e (,1). (R: π/4-1/ln) 5. alcule os seguintes integrais: a) da, sendo R a área limitada no primeiro quadrante pela parábola R semicúbica y =x 3 e pela recta y=x. i) considere R uma região tipo I. ii) considere R uma região tipo II. (R: 1/1) b) x da, sendo R a área limitada no primeiro quadrante pela hipérbole R xy=16 e as rectas y=x, y= e x=8. (R: 448) 15

16 6. onsidere a planta de um reservatório representada na figura. Sabendo que a altura deste reservatório são 4. metros, determine a sua capacidade máxima.. m. m 3. m (R: 64 m 3 ). m 7. Seja R a região compreendida entre dois quadrados paralelos centrados na origem e cujos lados são paralelos aos eixos coordenados. Os lados são respectivamente iguais a e 4. alcule ex+y da. (R: e -4 +e 4 -e - -e ) R 8. Utilize integração dupla para calcular a área das seguintes secções: a) secção limitada pelas parábolas y =4-x e y =4-4x. (R: 8) b) secção limitada pelas rectas x= e x=π/4 e pelas curvas y=senx e y=cosx. (R: 1) 9. alcule o integral duplo (4 x y)dxdy, sabendo que o domínio D está D limitado pelas rectas x=, x=1, y= e y=3/. Inverta os limites e resolva novamente o integral. (R: 35/8) 1 x 1. alcule o integral duplo (x + y)dydx. Inverta os limites e calcule novamente o integral. (R: 6/15) 16

17 11. alcule o integral duplo da função f(x,y)=1+x+y sobre o domínio limitado pelas curvas y=-x, x= y, y= e z=. Inverta os limites e resolva novamente o integral (R: + ) Inverta a ordem de integração do integral f ( x, y) dydx. 1 x x 13. alcule D y / x e da, sabendo que D é o triângulo limitado pelas rectas y=x, y= e x=1. Inverta os limites e resolva novamente o integral. (R: (e-1)/) 14. alcule o volume do corpo limitado pelas superfícies x=, y=, x+y+z=1 e z=. Inverta os limites e resolva novamente o integral. (R: 1/6) 1 4 x 15. Seja (1 + 3x xy )dydx a) alcule o integral duplo. (R: 33/8) b) Represente graficamente o domínio de integração. c) Inverta a ordem de integração (não é necessário calcular o novo integral). 16. Determine a área das seguintes superfícies através de um integral duplo polar: a) região limitada pelo cardióide r=1-cosθ. (R: 3π/) b) rosa de três pétalas r=sin3θ. (R: π/4) 17. alcule os seguintes integrais duplos em coordenadas polares: x + y a) e ( ) da, sendo R a região limitada pelo círculo x +y =1. R (R: π(1-1/e)) b) 4 x y R (R: 16π/3) da, sendo R a região limitada pelo círculo x +y = onverta os seguintes integrais duplos em integrais duplos polares: 17

18 1 1 x a) ( x + y )dydx (R: π/8) a b) a a x dydx (1 + x + y ) 3/, a> (R: π( a )) 19. Determine a área superficial da parte do cilindro x +z =4 acima do rectângulo {( x, y) : x 1, 4} R = y. (R: 4π/3). Determine a área da parte do cilindro x +y =a cortada pelo cilindro x +z =a. (R: 8a ) EXERÍIOS DIVERSOS 1 y 1. onsidere o seguinte integral: y x dxdy. a) Resolva o integral. (R: 11/1) b) Represente o domínio de integração. c) Inverta a ordem do integral (não é necessário calcular o novo integral).. alcule e represente graficamente o volume do sólido limitado superiormente pelo parabolóide = x 4y, inferiormente pelo plano z= e lateralmente z + pelos cilindros y = x e x = y. (R: 3/7) 18

19 ANÁLISE MATEMÁTIA II Universidade Fernando Pessoa Faculdade de iência e Tecnologia apítulo 4 - Integrais múltiplos: ª Parte - Integrais triplos EXERÍIOS 1. alcule os seguintes integrais triplos: y a) 1 1 yz dxdzdy (R: 13/3) a x y b) xyz dzdydx (R: a 6 /48) 3 x ln z c) 1 x y xe dydzdx (R: 178/3). alcule os seguintes integrais: a) G xy sin( yz) dv, em que G é a caixa rectangular definida por x π, y 1, z π/6. (R: π /-3π/) b) xyz dv, sendo G o sólido no 1º octante limitado pelo cilindro G parabólico z=-x e pelos planos z=, y=x e y=. (R: 1/6) c) x + y + G ( z) dv, sendo G o sólido limitado superiormente pelo plano z=-x-y, inferiormente pelo plano z= e lateralmente pelo cilindro definido pela região triangular x 1, 1 y 1-x. (R: 7/8) 19

20 3. Utilize um integral triplo para calcular o volume dos seguintes sólidos: a) sólido limitado pelo cilindro x +y =9 e os planos z=1 e x+z=5. (R: 36π) b) sólido limitado pela superfície y=x e pelos planos y+z=4 e z=. (R: 56/15) c) a cunha no 1º octante cortada do cilindro y +z 1 pelos planos x= e y=x. (R: 1/3) d) elipsóide x a + y + z =1. b c (R: 4/3 cbaπ) e) sólido limitado pelos parabolóides z=5x +5y e z=6-7x -y. (R: 3π/ ) f) sólido limitado pelo parabolóide z=4x +y e pelo cilindro parabólico z=4-3y. (R: π) 4. alcule o seguinte integral triplo: xyz d V sendo G o sólido limitado pelos G planos x=, y=, z= e x+y+z=1. (R: 1/7) 5. Nos integrais seguintes inverta a ordem de integração de modo a integrar primeiro em ordem a z, depois em ordem a y e finalmente em ordem a x. 3 9 z 9 y z a) 4 x / b) f( x, y, z) dxdydz f( x, y, z) dydzdx 6. A massa de um corpo G pode obter-se através da expressão: M = F dv sendo F a sua densidade. alcule a massa de um hemisfério de raio R e centro na origem das coordenadas, sabendo que a sua densidade F é proporcional em cada ponto (x,y,z) à distância desse ponto à base: F=kz. (R: kπr 4 /4) G 7. Utilize coordenadas cilíndricas para determinar o volume dos seguintes sólidos: b) sólido limitado pela superfície r +z = e z=r. ( R: 8 5 /3-)π ) a) sólido limitado pelo parabolóide z=x +y e pelo plano z=9. (R: 81π/)

21 c) cone de altura h cuja equação é z=h/rρ. (R: hr /3π) 8. onsidere o sólido no 1º octante limitado pelo parabolóide z=r, pelo cilindro r=cosθ e pelo plano z=. a) Esboce a região R no plano rθ. b) Determine o volume deste sólido. (R: 3π/4) c) Determine a sua massa sabendo que a densidade é proporcional à altura z (utilize a fórmula dada no problema 6.) (R: 5/6πk) EXERÍIOS DIVERSOS 9. Utilize um integral triplo para calcular o volume de uma esfera de raio a. 1. alcule G x dv, sendo G a região do espaço no 1º octante limitada pelos planos x=, y=, z=4 e pela superfície z + = x y. (R: 18/3) 11. onsidere o sólido limitado inferiormente pelo plano z = 1, superiormente pela superfície z = xy +, e lateralmente pelo cilindro definido por y =, y = x e y = x. a) alcule o volume deste sólido através de um integral triplo. (R: 39/4) b) Troque a ordem de integração relativamente às variáveis x e y. Não é necessário resolver o novo integral. c) alcule o volume do sólido através de um integral duplo. 1. alcule e represente o volume da região de R 3 limitada por z + x y, x + y 4 e z 8. (R: 8π) 1

22 ANÁLISE MATEMÁTIA II Universidade Fernando Pessoa Faculdade de iência e Tecnologia apítulo V - Integrais de Superfície EXERÍIOS 1. alcule o integral de superfície σ y z ds onde σ é a parte do cone = x y que fica entre os planos = 1 z + z e z = : (R: 1π / ). alcule a área da porção da superfície z x + y = que está compreendida sobre a região D: x + y 1. (R: π ) 6 3. alcule a área da porção do plano x + 3y + z = 6 que é cortada pelos três planos coordenados. (R: 3 14 ) 4. alcule o fluxo de água através do cilindro parabólico S : y = x, x, z 3 se o vector velocidade for F = y i + j + xzk, sendo a velocidade medida em m/s. (R: 1 kg/s) 5. Seja σ a parte da superfície z = 1 x y que fica sobre o plano xy, e suponha que σ é orientada por um vector normal cujo sentido é concordante com o do eixo dos zz. Encontre o fluxo Φ do campo do fluído F( x, y, z) = xi + yj + zk através de σ. (R: 3π/)

23 6. Seja σ uma esfera com equação x = + y + z a orientada por um vector normal cujo sentido é concordante com o do eixo dos zz. alcule sendo F( x, y, z) = zk. (R: 4πa 3 /3) F.n d σ S EXERÍIOS DIVERSOS 7. alcule x + y + σ z ds, sendo σ a porção do cone abaixo do plano z = 1. (R: 4π/3) z = x + y 8. Seja σ a parte superior do hemisfério z = 1 x y orientada por um vector normal cujo sentido é concordante com o do eixo dos zz. Determine o fluxo Φ do campo vectorial F( x, y, z) = z k. (R:π/) 3