Integral Triplo. Seja M um subconjunto limitado de 3.

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1 Integral Triplo Seja M um subconjunto limitado de 3. Considere-se um paralelepípedo, de faces paralelas aos planos coordenados, que contenha M, e subdivida-se esse paralelepípedo por meio de planos paralelos aos planos coordenados. O conjunto de todos os paralelepípedos, assim obtidos, que estão contidos em M, constitui uma partição interior de M em paralelepípedos. Considerando, convenientemente, partições por cada vez mais planos, podemos fazer com que o máximo dos volumes das sub-regiões de M que constituem a partição interna tenda para zero. esde que a região M seja suficientemente regular, a união destas sub-regiões vai-se aproximando cada vez mais de M. Na definição que se segue: M 1,,M n são as sub-regiões que constituem uma partição interior de M; V 1,,V n são os respectivos volumes; em cada sub-região M i i 1,,n, consideramos um ponto x i,y i,z i. M z i M i y i x i Ana Matos Matemática Aplicada 20/11/2017 Integrais Triplos 1

2 efinição: Sejam um subconjunto limitado de 3 e f : uma função limitada em. iz-se que f é uma função integrável à iemann em se existe e é finito lim n maxv i 0 n fx i, y i,z i V i, i1 onde, para i 1,,n, V i é o volume da região M i e x i, y i, z i M i, sendo M 1,,M n sub-regiões que constituem uma partição interior de em paralelepípedos. Este valor diz-se o integral triplo de f em M e representa-se por M fx,y, zdxdydz. Observação: Sendo M um subconjunto limitado de 3, caso exista, 1dxdydzvolume da região M. Observação: Propriedades análogas às apresentadas para o integral duplo são válidas para o integral triplo. Ana Matos Matemática Aplicada 20/11/2017 Integrais Triplos 2

3 Cálculo do integral triplo Tal como o integral duplo, o integral triplo pode ser calculado por meio de integrais iterados. Proposição: Seja f : uma função contínua f no subconjunto de 3,, caracterizado pelas condições a x b f 1 x y f 2 x g 1 x,y z g 2 x, y, com f 1, f 2, g 1 e g 2 funções contínuas. Então, f é integrável em e fx,y, zdxdydz b dx a f 2 x dy f 1 x g 2 x,y fx, y, zdz. g 1 x,y Observação: Analogamente para os outros casos possíveis. Observação: Sendo uma região nas condições da proposição acima, dxdydz 1dxdydz b dx a f 2 x dy f 1 x g 2 x,y 1dz g 1 x,y b dx a f 2 x g 2 x, y g 1 x, ydy, f 1 x obtendo-se a expressão que permite calcular o volume do sólido com a forma da região, por meio do integral duplo. Ana Matos Matemática Aplicada 20/11/2017 Integrais Triplos 3

4 Mudança de variáveis em integrais triplos O teorema da mudança de variáveis para o integral triplo é análogo ao correspondente teorema para o integral duplo. Seguem-se duas mudanças de variáveis importantes. Coordenadas cilíndricas z y x θ ρ x cos y sen z z com 0, 0 2 e z. (basicamente, x e y são substituídos pelas coordenadas polares de x, y - a projecção do ponto no plano xoy - e z mantém-se).,,z designam-se por coordenadas cilíndricas do ponto P. Assim, x 2 y 2 e o Jacobiano desta transformação é detj cos sen 0 sen cos cos 2 sen 2. Então, sendo a região definida em coordenadas cilíndricas, fx, y,zdxdydz fcos,sen, zdddz Ana Matos Matemática Aplicada 20/11/2017 Integrais Triplos 4

5 Coordenadas esféricas Seja x, y,z um ponto P representado em coordenadas cartesianas. Consideremos: distância do ponto à origem (não é o mesmo das coordenados cilíndricas, neste caso, x 2 y 2 z 2 ); ângulo da projecção do segmento OP sobre o plano xoy (ângulo polar); ângulo que OP faz com o semi-eixo positivo Oz (ângulo vertical). z ϕ ρ ρ c o s ϕ y x θ ρ s in ϕ Assim, x cossen y sensen z cos com 0, 0 2 e 0,, designam-se por coordenadas esféricas do ponto P. Ana Matos Matemática Aplicada 20/11/2017 Integrais Triplos 5

6 detj cossen sensen coscos sensen cossen sencos cos 0 sen 2 sen Nota: Considerando 0 e 0, tem-se detj 0. Os pontos do eixo de zz são ignorados, mas pode-se provar que tal não traz problemas. Então, sendo a região definida em coordenadas esféricas, fx, y, zdxdydz fcossen,sensen,cos2 senddd Ana Matos Matemática Aplicada 20/11/2017 Integrais Triplos 6

7 Massa, centro de massa e momentos em 3 Calculam-se de modo análodo ao que se fez para duas dimensões. Consideremos um sólido com a forma de uma região, de 3, e seja : a função massa específica. A massa do sólido é dada por M x, y, zdxdydz e o centro de massa do sólido é o ponto x,y, z com x 1 M xx, y,zdxdydz, y 1 M yx, y, zdxdydz z 1 M zx, y, zdxdydz. O momento de inércia do sólido em relação a uma recta L é dado por I L d 2 x, y, zx, y, zdxdydz, com dx, y, z a distância do ponto x, y, z à recta L. Casos particular (momentos de inércia em relação aos eixos coordenados) I X y 2 z 2 x,y, zdxdydz I Y x 2 z 2 x,y, zdxdydz I Z x 2 y 2 x,y, zdxdydz em relação ao eixo dos xx em relação ao eixo dos yy em relação ao eixo dos zz Ana Matos Matemática Aplicada 20/11/2017 Integrais Triplos 7