Algumas Aplicações das Integrais tríplas

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1 Algumas Aplicações das Integrais tríplas META: Apresentar algumas aplicações das integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R 3. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: eterminar o volume, o centro de massa momento de massa e o momento de inércia de alguns sólidos em R 3. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R 3, coordenadas polares da disciplina Cálculo II, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas e integrais duplas aula 4 e aula 5.

2 Algumas Aplicações das Integrais tríplas.1 Introdução Caros alunos, nossa sexta aula tem como objetivo introduzir algumas aplicações da integral tripla. Em particular veremos como calcular a massa de uma região R 3 dada sua distribuição de densidade, bem como calcular, para a mesma, seu centro de gravidade e momentos de massa. É um bocado de cálculo, mais chegaremos lá..2 Preliminares Consideraremos uma região R 3 finita, com uma distribuição de densidade (massa por unidade de volume) ϱ(x, y, z), (x, y, z). eterminação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) R 3 a x b c y d e z f} tal que R e Φ(x, y, z) = ϱ(x, y, z), (x, y, z). Considerando a uma partição para, (x, y, z) / o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] P [c, d] [e, f], o produto cartesiano de partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f] onde P [a, b] ={x = a, x 1,...,x i,x i+1,..., x l = b},x <x 1 < < x i <x i+1 < <x l, P [c, d] ={y = c, y 1,...,y j,y j+1,...,y m = d}, y <y 1 < <y j <y j+1 < <y m e P [e, f] ={z = e, z 1,...,z k,z k+1,...,z n = f}, z < z 1 < < z k < z k+1 < <z n. Tomamos um ponto (ξ i,ζ j,η k ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] [z k 1,z k ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte 14

3 soma de Riemann: l m n S lmn = Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. i=1 j=1 k=1 A massa da região, denotada m(), será a integral integral tripla da função ϱ(x, y, z) sobre o domínio R 3, dada por ϱ(x, y, z)dxdydz e definida como o seguinte limite: m() = ϱ(x, y, z)dxdydz def = lim S lmn. P Cálculo III OBS.1. Para a determinação do peso da região toma-se a seguinte soma de Riemann: l m n S lmn = g(ξ i,ζ j,η k )Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk, i=1 j=1 k=1 onde g(ξ i,ζ j,η k ) é a aceleração da gravidade no ponto (ξ i,ζ j,η k ). E o peso da região, denotado p(), será dado pela integral tripla: P () = g(x, y, z)ϱ(x, y, z)dxdydz def = lim P S lmn. eterminação dos Momentos de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região R 3 limitada com distribuição de densidade ϱ(x, y, z), (x, y, z). Para calcular o momento de massa de um pequeno paralelepípedo com relação ao plano coordenado yz tomamos o seguinte produto ξ i Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. Aqui ξ i representa uma aproximação da distância do pequeno paralelepípedo Δξ i Δζ j Δη k ao plano coordenado yz. O momento total em relação ao plano yz para a região será aproximado pelo limite da soma de Riemann: 15

4 Algumas Aplicações das Integrais tríplas S lmn = l m i=1 j=1 k=1 n ξ i Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. O momento de massa da região em relação ao plano yz, denotado M yz (), será dado pela integral tripla xϱ(x, y, z)dxdydz definida pelo limite: M yz () = xϱ(x, y, z)dxdydz def = lim S lmn. P e forma semelhante chega-se ao momento de massa da região em relação ao plano xz tomando-se a seguinte soma de Riemann: l m n S lmn = ζ j Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. i=1 j=1 k=1 O momento de massa da região em relação ao plano xz, denotado M yz (), será dado pela integral tripla yϱ(x, y, z)dxdydz definida pelo limite: M xz () = yϱ(x, y, z)dxdydz def = lim S lmn. P E o momento de massa da região em relação ao plano xy tomando-se a seguinte soma de Riemann: l m n S lmn = η k Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. i=1 j=1 k=1 O momento de massa da região em relação ao plano xy, denotado M yz (), será dado pela integral tripla zϱ(x, y, z)dxdydz definida pelo limite: M xy () = zϱ(x, y, z)dxdydz def = lim S lmn. P eterminação dos Momentos de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região R 3 limitada com distribuição de densidade ϱ(x, y, z), (x, y, z). Para calcular, aproximadamente, o momento de inércia de um pequeno paralelepípedo com relação a uma 1

5 reta r, tomamos o seguinte produto d 2 (ξ i,ζ j,η k )Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk, onde d(ξ i,ζ j,η k ) representa a distância do ponto (ξ i,ζ j,η k ) à reta r. Em particular a distância do ponto (ξ i,ζ j,η k ) ao eixo x é dada por: d(ξ i,ζ j,η k ) = ζj 2 + η2 k e o momento de inércia do pequeno paralelepípedo em relação ao eixo x será aproximado por: (ζ 2 j + η2 k )Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. O momento de inércia total em relação ao eixo x para a região será aproximado pelo limite da soma de Riemann: l m S lmn = i=1 j=1 k=1 n (ζj 2 + ηk 2 )Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. O momento de inércia da região em relação ao eixo x, denotado I x é dado pela integral (y 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz calculada pelo limite: I x () = Cálculo III (y 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz def = lim P S lmn. e forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região em relação ao eixo y tomando-se a seguinte soma de Riemann: l m n S lmn = (ξi 2 + ηk 2 )Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. i=1 j=1 k=1 O momento de inércia da região em relação ao eixo y, denotado I y é dado pela integral (x 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz calculada pelo limite: I y () = (x 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz def = lim P S lmn. Também chega-se ao momento de inércia da região em relação ao eixo z tomando-se a seguinte soma de Riemann: S lmn = l m n (ξi 2 + ζj 2 )Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk. i=1 j=1 k=1 O momento de inércia da região em relação ao eixo z é dada pela integral (x 2 + y 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz calculada pelo limite: 17

6 I z () = Algumas Aplicações das Integrais tríplas (x 2 + y 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz def = lim P S lmn. eterminação do Centro de Gravidade O centro de gravidade de uma região R 3 finita, com uma distribuição de densidade mássica ϱ(x, y, z), (x, y, z), éoponto ( x, ȳ, z) definido por: x = M xϱ(x, y, z)dxdydz yz() =, ϱ(x, y, z)dxdydz ȳ = M yϱ(x, y, z)dxdydz xz() = e ϱ(x, y, z)dxdydz z = M zϱ(x, y, z)dxdydz xy() =. ϱ(x, y, z)dxdydz.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla Faremos duas aplicações da integral tripla. A primeira refere-se ao cálculo do centro de massa de de um sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cartesiano. A segunda trata-se da determinação da massa sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos aos nossos exemplos. Exemplo.1. Considerando a intersecção das superfícies: x =, x = a, y =, y = x 2, z =e z = x 2,(Fig.1), determinar sua massa e seu centro de massa levando en conta uma distribuição de densidade constante ϱ(x, y, z) =ϱ. 18

7 Cálculo III Figura.1: Gráfico do exemplo 1 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig.1) e verificando que x a, y x 2 e z x 2. Em segundo calcularemos a massa da região, m() e os respectivos momentos de massa com relação ao planos yz, xz e xy, respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(), dada pela integral tripla: x 2 m() = ϱ(x, y, z)dxdydz = ϱdzdydx Integrando em z temos: m() = ϱz x2 dydx m() = m() =ϱ ϱ(x 2 )dydx x 2 dydx Integrando em y temos: m() =ϱ x 2 y x2 dx 19

8 Algumas Aplicações das Integrais tríplas m() =ϱ x 2 (x 2 )dx m() =ϱ x 4 dx Finalmente, integrando em x temos: m() =ϱ x5 a 5 m() =ϱ ( a ) 5 m() =ϱ a5 5 Passo 2 determinar o momento de massa relativo ao plano yz M yz (), dada pela integral tripla: M yz () = ϱ(x, y, z)xdxdydz = Integrando em z temos: M yz () = ϱxz x2 dydx M yz () = M yz () =ϱ ϱx(x 2 )dydx x 3 dydx Integrando em y temos: M yz () =ϱ x 3 y x2 dx M yz () =ϱ M yz () =ϱ x 3 (x 2 )dx x 5 dx Finalmente, integrando em x temos: x 2 ϱxdzdydx 11

9 Cálculo III M yz () =ϱ x a M yz () =ϱ ( a ) M yz () =ϱ a Passo 3 determinar o momento de massa relativo ao plano xz M xz (), dada pela integral tripla: M xz () = ϱ(x, y, z)ydxdydz = Integrando em z temos: M xz () = ϱyz x2 dydx M xz () = M xz () =ϱ ϱy(x 2 )dydx x 2 ydydx Integrando em y temos: M xz () =ϱ x 2 y2 x2 2 dx M xz () =ϱ x 2( (x 2 ) 2 2 ) dx 2 2 x M xz () =ϱ 2 dx Finalmente, integrando em x temos: M xz () =ϱ x7 a 14 M xz () =ϱ ( a ) 14 M xz () =ϱ a7 14 x 2 ϱydzdydx 111

10 Algumas Aplicações das Integrais tríplas Passo 4 determinar o momento de massa relativo ao plano xy. Como a região tem simetria com relação às variáveis y e z, ea distribuição de densidade também (por ser constante) temos que M xz () =M xy (). e qualquer forma vamos verificar: x 2 M xy () = ϱ(x, y, z)zdxdydz = ϱzdzdydx Integrando em z temos: M xy () = ϱ z2 x2 2 dydx M xz () = ϱ ( (x 2 ) 2 2 ) dydx 2 2 x 4 M xz () =ϱ 2 dydx Integrando em y temos: x 4 M xz () =ϱ 2 y x2 dx x 4 M xz () =ϱ 2 (x2 )dx x M xz () =ϱ 2 dx Finalmente, integrando em x temos: M xz () =ϱ x7 a 14 M xz () =ϱ ( a ) 14 M xz () =ϱ a7 14 Passo 5 saber: determinar o centro de massa ( x, ȳ, z) da região, A 112

11 x = M yz() ȳ = M xz() z = M xy() = = = ϱ a ϱ a5 5 ϱ a7 14 ϱ a5 5 ϱ a7 14 ϱ a5 5 = 5a, = 5a2 14 e = 5a2 14. Cálculo III Vamos rapidinho ao nosso segundo exemplo. Exemplo.2. Considerando a interseção das superfícies: x =, x 2 + y 2 = b 2, z =e z = a, (Fig.2), determinar sua massa e seu momento de inércia I z (), relativo ao eixo z, levando en conta uma distribuição de densidade constante ϱ(x, y, z) =ϱ. Figura.2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig.2) e verificando que b x +b, y + b 2 x 2 e z a. Observemos que para este caso é mais ade- 113

12 Algumas Aplicações das Integrais tríplas quado usar o sistema de coordenadas cilíndrico, dado pela transformação (x, y, z) (r, ϑ, z) onde: x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ), z = z e os limites de integração passam a: r b, ϑ π e z a. Em segundo, calcularemos a massa da região, m() e o momento de inércia I z (), relativo ao eixo z, respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(), dada pela integral tripla: π b m() = ϱ(x, y, z)dxdydz = ϱrdzdrdϑ Integrando em z temos: π b m() = ϱz a rdrdϑ m() = π b ϱ(a )rdrdϑ m() =ϱa rdrdϑ Integrando em r temos: π r 2 m() =ϱa b 2 dϑ π (b 2 m() =ϱa 2 2 ) dϑ 2 π m() =ϱa b2 dϑ 2 Finalmente, integrando em ϑ temos: m() =ϱa b2 2 ϑ π m() =ϱa b2 (π ) 2 m() =ϱπ ab

13 Passo 2 Levando em conta que: x 2 +y 2 =(r cos(ϑ)) 2 +(r sin(ϑ)) 2 = r 2, determinar o momento de inércia I z (), relativo ao eixo z, dada pela integral tripla: I z () = ϱ(x, y, z)(x 2 +y 2 )dxdydz = Integrando em z temos: π b I z () = ϱz a r3 drdϑ I z () = π b ϱ(a )r 3 drdϑ I z () =ϱa r 3 drdϑ Integrando em r temos: π r 4 I z () =ϱa b 4 dϑ π (b 4 I z () =ϱa 4 4 ) dϑ 4 π I z () =ϱa b4 dϑ 4 Finalmente, integrando em ϑ temos: I z () =ϱa b4 4 ϑ π I z () =ϱa b4 (π ) 4 I z () =ϱπ ab4 4 Cálculo III π b ϱr 2 rdzdrdϑ.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral tripla, algumas das mais importantes são: dada uma região 115

14 Algumas Aplicações das Integrais tríplas R 3 e sua distribuição de densidade volumétrica de massa ϱ(x, y, z), (x, y, z), as determinação da massa, dos seus momentos de massa M yz relativo ao plano yz, M xz relativo ao plano xz e M xy relativo ao plano xy, dos momentos de inércia I x relativo ao eixo x, I y relativo ao eixo y e I z relativo ao eixo z. RESUMO O nosso resumo de hoje constará de uma série de fórmulas para os cálculo da massa, momento de massa, momento de inércia e centro de gravidade de regiões R 3 limitadas no espaço dada sua distribuição de densidade volumétrica de massa ϱ(x, y, z), (x, y, z). No corpo do texto temos umas pequenas argumentações heurísticas de como chegar a tais fórmulas, usando partições e somas de Riemman. ada uma região R 3 limitada com distribuição de densidade volumétrica de massa ϱ(x, y, z) podemos calcular: A Massa da região m() = ϱ(x, y, z)dxdydz. O Momento de Massa de em Relação ao Plano yz M yz () = xϱ(x, y, z)dxdydz. O Momento de Massa de em Relação ao Plano xz M xz () = yϱ(x, y, z)dxdydz. 11

15 O Momento de Massa em Relação ao Plano xy M xy () = zϱ(x, y, z)dxdydz. Cálculo III O Momento de inércia de em Relação ao eixo x I x () = (y 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz. O Momento de inércia de em Relação ao eixo y I y () = (x 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz. O Momento de inércia de em Relação ao eixo z I z () = (x 2 + y 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz. O Centro de Massa ( x, ȳ, z) de x = M xϱ(x, y, z)dxdydz yz() =, ϱ(x, y, z)dxdydz ȳ = M yϱ(x, y, z)dxdydz xz() = e ϱ(x, y, z)dxdydz z = M zϱ(x, y, z)dxdydz xy() =. ϱ(x, y, z)dxdydz PRÓXIMA Em nossa próxima aula passaremos a estudar funções vetoriais f : C R 3 R 3 onde C é curvas no espaço R 3, dada parametricamente por: x = ˆx(t), y = ŷ(t) e z = ẑ(t), t [a, b]. Não estaremos, como no Cálculo II, interessados na geometria intrín- 117

16 Algumas Aplicações das Integrais tríplas seca das curvas e sim na contribuição de sua geometria no cálculo de integrais de campos de vetores definidos sobre tais curvas. ATIVIAES eixamos como atividades os seguintes problemas: ATIV..1. Considerando a interseção das superfícies: x =, x = a, y =, y = x 2, z =e z = x 2,(Fig.1), determinar seu momento de inércia I z relativo ao eixo z, levando em conta uma distribuição de densidade constante ϱ(x, y, z) =ϱ. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o primeiro exemplo, ele lhe servirá de guia. ATIV..2. Considerando a interseção das superfícies: x =, x 2 +y 2 = b 2, z =ez = a, (Fig.2), determinar seu momento de massa M yz relativo ao plano yz, levando em conta uma distribuição de densidade constante ϱ(x, y, z) =ϱ. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o segundo exemplo, ele lhe servirá de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3 a edição, LEITHOL, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5 a edição, Editora CEN- GAGE Learning,

17 Cálculo III SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2 a edição, Makron Books do Brásil SP, THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 1 a, Addilson Wesley, 23. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EUSP,