Teorema de Divergência

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1 Teorema de ivergência META: Apresentar o teorema de Gauss e algumas de suas aplicações. OBJETIVO: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Enunciar o teorema de Gauss. eterminar o divergente de um campo vetorial e determinar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada em R 3. PRÉ-REQUIITO Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com dóminio em R, da disciplina Cálculo I e aula 08.

2 Teorema de ivergência.1 Introdução Caros alunos terminamos aqui nosso curso de Cálculo III com o BIOGRAFIA Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig, 30 de Abril de 1777 e morreu em Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855, foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Conhecido como o príncipe dos matemáticos. Muitos consideram Gauss o maior gênio da história da matemática. eu QI foi estimado em cerca de 240. Wikipedia tema Teorema da ivergência", atribuído ao Matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss e mais tarde atribuido também ao Matemático russo Mikhail Vasilievich Ostrogradsky. O teorema de Gauss, ou teorema da divergência, relaciona uma integral tripla num sólido de R 3 com a integral sobre a superfície R 3 que é fronteira deste sólido..2 Preliminares Como preliminares pecisaremos apenas extender a definição de divergente de um campo vetorial bi-dimensional, visto na aula anterior, para o divergente de um campo vetorial tridimensional. Vamos logo à tarefa. efinição.1. eja F : R 3 R 3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) =f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k tal que suas componentes f1,f 2,f 3 : R 3 R 3 sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em. efinimos o divergente de F, denotado ivf ou F, por: ivf def = f 1 x + f 2 y + f 3 z Exemplo.1. eja F F F : R 3 R 3 o campo vetorial tridimensional dado por F F F (x, y, z) =x 2 yz i i i + xy 2 z j j j + xyz 2 k k k. O seu divergente será: 190

3 Cálculo III F = x (x2 yz)+ y (xy2 z)+ z (xyz2 ) = 2xyz +2xyz +2xyz = 6xyz.3 Teorema da ivergência Caros alunos, nesta seção vamos estudar a transformação de certas integrais de volume em integrais de superfícies que é o análogo no espaço do teorema de Green( em sua forma divergente) estudado na aula anterior. Como condições impostas primeiramente ao campo vetorial F é que ele tenha componentes contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas o que já basta para o nosso propósito. Quanto a região R 3, que chamaremos de simples, desejamos que ela tenha fronteira R 3 seja regular e suave, que suas projeções xy no plano xy, yz no plano yz e xz no plano xz sejam regiões fechadas de R 2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem em no máximo dois pontos Uma tal região será aqui chamada de região simples. Um exemplo de tal região é a limitada pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Vamos ao enunciado e a demonstração do teorema da divergência. Teorema.1. eja F : R 3 R 3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) =f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k tal que suas componentes f1,f 2,f 3 : R 3 R 3 sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem 191

4 Teorema de ivergência contínuas em e R 3 uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira R 3 seja regular e suave, que suas projeções xy no plano xy, yz no plano yz e xz no plano xz sejam regiões fechadas de R 2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem em no máximo dois pontos (ver Fig..1) então: Figura.1: Teorema da divergência F dxdydz = F F F n n ndσ PROVA: Quando projetamos uma região regular e simples no plano xy, sua fronteira consiste de duas partes 1 e 2 dadas pelas funções: z 1 (x, y) e z 2 (x, y) respectivamente (ver Fig..1). eja f 3 (x, y, z) uma função con tínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em. Então: f z2 (x,y) 3 f 3 dv ol = dxdy z xy z 1 (x,y) z dz 192

5 Cálculo III Integrando e substituindo os limites temos: f 3 dv ol = z f 3 (x, y, z 2 (x, y))dxdy xy f 3 (x, y, z 1 (x, y))dxdy xy eja n n n = n x i i i + n y j j j + n z k k k a normal a em cada ponto (x, y, z) apontando para fora de e seja γ o ângulo entre n n n e k k k desta forma temos: n n n k k k = nz = cos(γ). n n n. k k k i.e. cos(γ) =nz em 2 e cos(γ) = n z em 1. aí, e do fato de que dxdy = cos(γ)dσ onde dσ é o elemento de área em, temos: f 3 (x, y, z 2 (x, y))dxdy = f 3 n z dσ xy 2 e também: f 3 (x, y, z 1 (x, y))dxdy = f 3 n z dσ xy 1 aí, e da expressão anterior temos: f 3 dv ol = z = f 3 n z dσ + f 3 n z dσ 2 1 f 3 n z dσ 2 1 Como = 2 1 temos: f 3 dv ol = f 3 n z dσ z e forma análoga, usando as projeções de sobre os planos coordenados yz e xz podemos deduzir que: 193

6 Teorema de ivergência e também: f 1 dv ol = f 3 n x dσ x f 2 dv ol = f 2 n y dσ y omando as três equações acima temos: ( f1 x + f 2 y + f ) 3 dv ol = (f 1 n x +f 2 n y +f 3 n z )dσ z Como F = f1 i i + f 2 j j + f 3 k temos: F F F n n n = f 1 n x + f 2 n y + f 3 n z F f 1 = x + f 2 y + f 3 z E temos então: F FdVol = F F F n n ndσ.4 Estendendo o Teorema da ivergência para outras Regiões Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema da divergência comportem um grande número de regiões, muitas outras não se enquadram na categoria que goza da propriedade de ser uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira R 3 seja regular e suave, que suas projeções xy no plano xy, yz no plano yz e xz no plano xz sejam regiões fechadas de R 2 194

7 Cálculo III Figura.2: Teorema da divergência com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem em no máximo dois pontos. È o caso da região dada pela Fig..2. Observando porém, que se a região puder ser decomposta em um número finito de regiões simples, podemos escrever o teorema da divergência em cada uma das sub-regiões e somar o resultado, de forma que para a região o teorema continue válido. esta forma podemos enunciar uma forma mais ampla do teorema da divergência. A saber: Teorema.2. eja F : R 3 R 3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) =f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k tal que suas componentes f1,f 2,f 3 : R 3 R 3 sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em e R 3 uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira R 3 seja regular e suave, então: F dxdydz = F F F n n ndσ 195

8 Teorema de ivergência.5 Algumas Aplicações do Teorema da ivergência Caros alunos, nesta seção faremos algumas aplicações do teorema da divergência. A primeira é no calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimensional, a segunda no cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através da superfície de uma esfera em cujo centro encontra-se a carga elétrica e a terceira na redução da forma integral de leis de balanço à sua forma diferencial pontual. Exemplo.2. ejam F : R 3 R 3 o campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y) =x i i i+y j j j +z k e a região delimitada pela esfera x 2 + y 2 + z 2 a 2. etermine o fluxo exterior de F dado por F F F n n ndσ através da superfície da esfera. Vamos ao calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimensional. OLUÇÃO: o teorema da divergência temos: F F F n n ndσ = _ F F FdVol Portanto basta calcular a integral tripla sobre a região da esfera do divergente de F. Como F (x, y) =x i i + y j j j + z k seu divergente será: F = x (x)+ y (y)+ z (z) = 3 196

9 aí, temos: Cálculo III F F F n n ndσ = _3dV ol = 3 _dv ol = 4πa 3 Vamos ao cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através de uma superfície R 3 em cujo interior encontra-se a carga elétrica. Exemplo.3. O campo elétrico gerado por uma carga elétrica pontual q localizada na origem é dado por: E E E = q 4πɛ 0 r r r 3 r r r Como r r r = x i i i + y j j j + z k k k, colocando φ = r r r = x 2 + y 2 + z 2 temos: E E E = q F 4πɛ 0 onde F 1 = φ 3 r r r. Podemos escrever o vetor F em suas componentes como: F F F = x φ 3 i i i + y φ 3 j j j + z φ 3 k k k Calculando as derivadas parciais das componentes de F F F temos: ( ) x x φ 3 = φ 3 3xφ 2 φ x φ 6 197

10 Teorema de ivergência Como φ = r r r = x 2 + y 2 + z 2 temos: Logo: φ x = e modo análogo temos: e também: x x 2 + y 2 + z 2 = x φ ( ) x x φ 3 = φ3 3x 2 φ φ 6 ( ) y y φ 3 = φ3 3y 2 φ φ 6 ( ) z z φ 3 = φ3 3z 2 φ φ 6 omando as três equações temos: ( ) x x φ 3 + ( ) y y φ 3 + ( ) z z φ 3 = 3φ3 3(x 2 + y 2 + z 2 )φ φ 6 = 3φ3 3φ 2 φ φ 6 = 0 Logo como: ( ) F x = x φ 3 + ( ) y y φ 3 + ( ) z z φ 3 =0 E também como E E E = q 4πɛ 0 F F F temos: E E E =0 198

11 Cálculo III Tomando como a região entre e uma esfera centrada na origem e cujo raio a seja suficiente para que permaneça no interior da esfera eaplicando o teorema da divergência temos: E n n ndσ = E EdV ol =0 a Logo o fluxo de E através de no sentido que se afasta da origem é o mesmo que o fluxo de E através de a no sentido que se afasta da origem. Como fluxo de E através de a no sentido que se afasta da origem é q temos: ɛ 0 E E E n n ndσ = q ɛ 0 Como última aplicação veremos como reduzir da forma integral para a forma diferencial pontual a equação de balanço de massa conhecida como Lei de Lavoisier. ejam R 3 uma região regular e suave do espaço e v v v : R 3 R 3 um campo de velocidade de um fluido cuja densidade de massa é dada por ϱ : R r R + e que preenche. Em sua forma integral o balanço de massa estabelece que d R 3 regular e suave com fronteira regular e suave vale: d ϱdv ol + ϱ v v v n n ndσ =0 dt onde a primeira integral representa a variação total da massa dentro da região e a segunda representa a variação de massa que penetra em pela superfície. Usando o teorema da divergência temos: ϱ v v v n n ndσ = (ϱ v v v)dv ol 199

12 Teorema de ivergência aí, tomando regiões que não variem com o tempo d ϱ ϱdv ol = dv ol dt t E podemos reformular a equação de balanço de massa para a forma: ( ) ϱ t + (ϱ v v v) dv ol =0 Como a integral acima vale R 3 podemos dividi-la por Vol( ) fazer Vol( ) tender a zero e usando o teorema do valor médio para integrais concluir que: ϱ + (ϱ v v v) =0 t Que a forma diferencial pontual da equação de balanço de massa..6 Conclusão Na aula de hoje, vimos um importante teorema do Cálculo denominado Teorema da ivergência atribuído aos Matemáticos Gauss e Ostrogradsky. Tem forte conotação física e utilizado para reduzir as leis de conservação de sua forma integral para forma diferencial pontual. REUMO No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e teoremas: 200

13 Cálculo III ivergente de um Campo Vetorial Tridimensional tridimensional dado por F (x, y, z) =f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k tal que suas componentes f1,f 2,f 3 : R 3 R 3 sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em. efinimos o divergente de F, denotado ivf ou F, por: ivf def = f 1 x + f 2 y + f 3 z Teorema da ivergência: Forma Restritiva eja F : R 3 R 3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) =f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k tal que suas componentes f 1,f 2,f 3 : R 3 R 3 sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em e R 3 uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira R 3 seja regular e suave, que suas projeções xy no plano xy, yz no plano yz e xz no plano xz sejam regiões fechadas de R 2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem em no máximo dois pontos então: F dxdydz = F F F n n ndσ Teorema da ivergência: Forma mais Ampla eja F F F : R 3 R 3 um campo vetorial tridimensional dado 201

14 Teorema de ivergência por F (x, y, z) =f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k tal que suas componentes f 1,f 2,f 3 : R 3 R 3 sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em e R 3 uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira R 3 seja regular e suave, então: F dxdydz = ATIVIAE F F F n n ndσ eixamos como atividades as seguintes questões: ATIV..1. ejam F : R 3 R 3 o campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y) =x 2 i i i 2xy j j j +3xz k e R 3 a região limitada pela esfera x 2 + y 2 + z 2 a 2 e z 0 (acima do plano z =0). Use o teorema da divergência e determine o fluxo exterior através da fronteira da região. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia. ATIV..2. ejam F : R 3 R 3 o campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y) =x i i + y j j j + z k e suponha que a região R 3 e sua fronteira R 3 satisfaçam as hipóteses do teorema da divergência. Mostre que o volume Vol() da região é dado pela fórmula: Vol() = 1 F F F 3 n n ndσ 202

15 Cálculo III. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, ão Paulo, 3 a edição, LEITHOL, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, TEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5 a edição, Editora CEN- GAGE Learning, WOKOWKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2 a edição, Makron Books do Brásil P, THOMA, George B., Cálculo, Volume 2, a, Addilson Wesley, KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// PIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EUP,