Convergência de Séries de Números Complexos

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1 Convergência de Séries de Números Complexos META: Apresentar o conceito de convergência de séries de números complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir convergência de séries de números complexos e calcular o limite de algumas séries de números complexos. PRÉ-REQUISITOS Aula01 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.

2 Convergência de Séries de Números Complexos.1 Introdução Caros alunos veremos aqui um pouco de seqüências e séries de números complexos. Seqüências pois são essenciais ao estudo das séries e séries pois são essenciais ao estudo das funções holomorfas visto que essas podem ser expressas como série de potências..2 Seqüências de Números Complexos Começaremos pela definição de seqüências de números complexos. A saber: Definição.1. Uma seqüência de números complexos é uma função cujo domínio é o conjunto do números naturais N e o contradomínio o conjunto dos números complexos C, z : N C. O n-ésimo termo da seqüência será denotado z(n) ou alternativamente z n (que utilizaremos daqui para a frente). Uma seqüência pode ser denotada alternativamente por {z n, n N} ou {z n } (que utilizaremos daqui para a frente). Exemplo.1. Como exemplos de seqüências temos: 1. {z n } onde z 0 = 2 e z n = 2 + z n 1, n = 1, 2, 3, {z n } onde z n = n 2 + 1, n = 0, 1, 2,... Definição.2. Seja {z n } uma seqüência de números complexos. Dizemos que {z n } é uma seqüência limitada se, somente se existe K > 0 tal que z n B K (0), n N. OBS.1. Uma seqüência é limitada se todos os seus elementos pertencem a alguma bola aberta. 134

3 Variáveis Complexas Definição.3. Seja {z n } uma seqüência de números complexos. Dizemos que z C é o limite de {z n }, denotado z = lim z n, se, somente se para todo ε > 0 existe n 0 N tal que n n 0, z n B ε (z). OBS.2. Se uma seqüência {z n } tem limite dizemos alternativamente que ela converge. Por outro lado se {z n } não possui limite dizemos que a seqüência diverge..3 Alguns Teoremas Veremos agora alguns teoremas sobre seqüências de Números Complexos. Teorema.1. Seja {z n } uma seqüências de números complexos. Se {z n } é convergente então {z n } é limitada. PROVA: Como {z n } é convergente existe z C tal que z = lim z n. Daí, tomando ε = 1 existe n 0 N tal que n n 0, z n B 1 (z). Daí, usando a desigualdade triangular, temos: z n z < 1 z n < 1 + z. De outra forma: n n 0, z n B 1+ z (0). Teorema.2. Seja {z n } uma seqüências de números complexos tal que z n = x n + y n ı onde {x n } e {y n } são seqüências de números reais então z = x + yı = lim z n se, somente se x = lim x n e y = lim y n. PROVA: A prova será dividida em duas partes: Parte 1: Se z = x + yı = lim z n então para todo ε > 0, existe 135

4 Convergência de Séries de Números Complexos n 0 N tal que: n n 0, z n B ε (z), de outra forma: n n 0, z n z < ε. por outro lado, como x n x (x n x) 2 + (y n y) 2 = z n z < ε. Daí, temos: ε > 0, n 0 N n n 0, x n x < ε. logo x = lim x n. Do mesmo modo: y = lim y n. Parte 2: se x = lim x n e y = lim y n então para todo ε > 0 existe n 1, n 2 N tal que: n n 1, x n x < ε 2 e n n 2, y n y < ε 2. Tomando n 0 = max{n 1, n 2 } as desigualdades acima valem simultaneamente se n n 0 i.e. n n 0, x n x < ε 2 y n y < ε 2. Daí, temos: z n z x n x + y n y < ε 2 + ε 2 = ε Logo z n B ε (z). Daí, temos: ε > 0, n 0 N n n 0, z n B ε (z). logo z = lim z n. Teorema.3. Sejam {z n } e {w n } duas seqüências de números complexos tais que z = lim z n e w = lim w n então: i) lim az n = az, para todo a C ii) iii) lim (z n + w n ) = z + w lim (z n w n ) = z w iv) lim n.w n ) = z.w v) z n lim = z w n w, se w 0 136

5 Variáveis Complexas PROVA: Provaremos apenas a iii) o restante ficará à cargo dos alunos. Para todo ε > 0, existem n 1, n 2, n 3 N e K > 0 tais que, da definição de limite de seqüências e do teorema.1 : n n 1, z n B ε/2 w (z), n n 1, w n B ε/2k (z) e n n 1, z n B K (z). De outra forma: n n 1, z n z < n 1, z n < K. ε 2 w, n n 1, w n z < ε 2K e n Daí, tomando n 0 = max{n 1, n 2, n 3 } teremos as três desigualdades acima simultaneamente satisfeitas e: z n w n zw = z n w n z n w + z n w zw z n w n z n w + z n w zw z n. w n w + w. z n z < K. w n w + w. z n z ε < K. 2K + w. ε 2 w < ε Daí, temos: n n 0, z n w n B ε (zw). Portanto: lim (z nw n ) = zw. O próximo teorema constitui-se um importante critério de convergência de seqüências pois, com ele é possível decidir sobre a convergência de uma seqüência sem a necessidade do conhecimento prévio de seu limite. É conhecido como Critério de Cauchy ou Princípio de Cauchy. Teorema.4 (Critério de Cauchy). Seja {z n } uma seqüência de 137

6 Convergência de Séries de Números Complexos número complexos então {z n } é convergente se, somente se, para todo ε > 0, existe n 0 N tal que: m, n n 0 z m z n < ε.4 Séries de Números Complexos Como de modo geral, começaremos pela definição. Definição.4. Dada uma seqüência {z n } de números complexos, definimos a série associada {s n } com a seqüência de somas parciais n s n = z k. k=0 OBS.3. Séries são seqüências especiais definidas a partir de outras seqüências. Se a seqüência de somas parciais converge dizemos que a série converge. Denotaremos z n à série numérica gerada por {z n }. Definição.5. Seja r > 0 um número real positivo e {x n = r n } a seqüência de potências de r. Definimos a série geométrica r n como a série associada a {x n } de somas parciais s n = r k = 1 + r + r r n. k=0 OBS.4. podemos simplificar a expressão da soma parcial s n = n r k = 1 + r + r r n. do seguinte modo: k=0 fazendo o produto de s n por r temos: n rs n = r r k = r + 2 +r r n+1. Subtraindo de s n temos: k=0 rs n s n = r n+1 1. Daí, temos: s n = 1 rn+1 1 r. 138

7 Variáveis Complexas Se r < 1 como lim rn = 0 temos: lim s 1 r n+1 n = lim 1 r 1 lim rn+1 = 1 r = 1 1 r e a série geométrica é convergente. Por outro lado se r > 1 como lim rn = temos: lim s 1 r n+1 n = lim 1 r 1 lim rn+1 = 1 r = e a série geométrica é divergente. As séries numéricas são mais ricas, em comparação com as seqüências, no que tange aos critérios de convergências. Veremos alguns deles, na forma de teoremas dos quais provaremos alguns, começando pelo critério da comparação de séries de números reais. Teorema.5 (Critério da Comparação). Sejam x n e séries numéricas onde: x n, y n R. tais que x n, y n > 0. Supondo que para todo n, x n < y n valem: 1. Se y n converge então x n converge. 2. Se x n diverge então Teorema.6. Seja y n diverge. z n uma série de números complexos. Se z n converge então lim z n = 0. y n 13

8 Convergência de Séries de Números Complexos PROVA: Pelo critério de Cauchy temos: s n 1 = 0. Logo da continuidade da função módulo temos: lim z n = 0. lim z n = lim s n OBS.5. O teorema acima nos dá uma condição necessária para convergência de uma série numérica. Definição.6. Seja z n uma série de números complexos. Dizemos que z n converge absolutamente se, somente se, a série z n associada à seqüência { z n } converge. OBS.6. Na próxima seção, estudo das séries de potências ficará clara a importância deste conceito. Teorema.7. Seja z n uma série de números complexos. Se z n é absolutamente convergente então PROVA: Sejam s n = s n = z n é convergente. n z k a n-ésima soma parcial de {z n } e k=0 n z k a n-ésima soma parcial de { z n }. Da desigualdade k=0 triangular, fazendo m = n + k temos: s m s n = s n+k s n = z n+k + z n+k z n+1 z n+k + z n+k z n+1 s n+k s n s m s n 140

9 Variáveis Complexas Como z n do critério de Cauchy, para todo ε > 0 existe n o N tal que m, n n 0, s m s n < ε. Da desigualdade acima temos: m, n n 0, s m s n < ε. Logo z n satisfaz o critério de Cauchy e é convergente. Teorema.8. Sejam z n e w n duas séries de números complexos convergentes tais que então: z n = z e w n = w e a C i) (az n ) = az ii) (z n + w n ) = z + w.5 Séries de Potência Esta seção será o ponto alto de nossa aula. Nela veremos séries de potência, culminando com um teorema de representação de funções holomorfas. Definição.7. Seja {a n } uma seqüência de números complexos. Definimos a série de potências associada a {a n } de centro em 0 por: a n z n. OBS.7. As primeiras somas parciais da série de potências asso- 141

10 Convergência de Séries de Números Complexos ciada a {a n } de centro em 0 são: s 0 = a 0 s 1 = a 0 + a 1 z s 2 = a 0 + a 1 z + a 2 z 2. s n = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n. Dada uma série de potência duas perguntas aparecem de forma natural. Na primeira desejamos saber para quais valores de z a série é convergente. A segunda é se fizermos f(z) = lim s n sob quais condições teríamos uma função e onde estaria definida. O caso trivial z = 0 é nos dá uma resposta óbvia pois, teríamos uma seqüência constante. A verdadeira questão é para que outros valores de z teríamos uma resposta positiva? Teorema.. Seja a n z n uma série numérica: i) Se existe z 1 C, z 1 0 tal que a n z1 n a n z n converge para todo z C tal que z < z 1 ii) Se existe z 2 C, z 2 0 tal que a n z2 n diverge então diverge para todo z C tal que z 2 < z converge então a n z n PROVA: Dividiremos a prova em duas partes: Parte 1: Como a n z1 n converge do teorema.6 temos: lim a nz n 1 = 0 e a seqüência {a n z1 n } é limitada. Logo existe K > 0 142

11 Variáveis Complexas tal que para todo n N, a n z n 1 < K. Daí, como z < z 1 pondo r = z z 1 < 1 temos: Como r < 1 a série a n z n = a n. z n = a n. z 1 n. = a n z n 1.r n < Kr n ( ) z n z 1 Kr n converge para comparação teorema.5 a série a n z n e portanto do teorema.7 a série K 1 r pelo critério da a n z n é convergente. Parte 2: Suponha, por absurdo, que exista um número z C tal que z > z 2 e a série a n z n seja convergente. repetindo a demonstração da Parte 1 trocando z por z 2 e z 1 por z teríamos que a série a n z2 n seria convergente o que é um absurdo. Logo, para todo z C tal que z > z 2 a série a n z n é divergente. OBS.8. O teorema acima nos diz de se uma série a n z n é convergente em um ponto z 1 0 então é convergente em todos os pontos da bola aberta B z1 (0) e portanto podemos definir uma n função f : B z1 (0) C dada por f(z) = lim a n z n. Teorema.10. Seja k=0 a n z n uma série de potências então existe uma bola fechada B r (0) tal que a série converge absolutamente em todos os pontos do interior da bola e diverge para todos os pontos do exterior da bola. 143

12 Convergência de Séries de Números Complexos Definição.8. Seja a n z n uma série de potências denominamos raio de convergência ao raio r da bola definida pelo teorema acima. O seguinte teorema oferece um modo prático de determinar o raio de convergência de uma série de potências. Teorema.11. Seja a n z n uma série de potências tal que para todo n N, a n 0. Então o raio de convergência da série de potências pode ser dado por: r = lim a n ou r = lim a n+1 1 a n 1/n Vejamos um exemplo de determinação do raio de convergência de uma série de potências. Exemplo.2. Seja a série de potências dada por 1 n! zn. Determine seu raio de convergência. SOLUÇÃO: Tomando a n = 1 n! 1 (n + 1).n!. Logo: a n a n+1 = Daí, temos: lim a n 1 n! 1 (n + 1).n! = lim n + 1 =. Logo: a n+1 r = lim a n = a n lim =. a n+1 a n+1 temos: a n+1 = = (n + 1).n! n! 1 (n + 1)! = = n + 1. Para concluir enunciaremos sem demonstração o seguinte teorema. Teorema.12. Sejam D C um aberto e f : D C C um função holomorfa em uma bola aberta B r (z 0 ) D então para cada z B r (z 0 ) temos: f(z) = f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n n! 144

13 .6 Conclusão Variáveis Complexas Na aula de hoje, tanto as seqüências de números complexos quanto as séries de números complexos têm paralelo com seqüências e séries de números reais exceto por alguns critérios de convergência. RESUMO No nosso resumo da Aula 0 constam os seguintes tópicos: Seqüências de Números Complexos Definição de seqüência de Números complexos Uma seqüência de números complexos é uma função cujo domínio é o conjunto do números naturais N e o contra-domínio o conjunto dos números complexos C, z : N C. Convergência de Seqüência de Números Complexos Se uma seqüência {z n } tem limite dizemos alternativamente que ela converge. Por outro lado se {z n } não possui limite dizemos que a seqüência diverge. Teorema 1 Seja {z n } uma seqüências de números complexos. Se {z n } é convergente então {z n } é limitada. Teorema 2 Sejam {z n } e {w n } duas seqüências de números complexos tais que z = lim z n e w = lim w n então: i) lim az n = az, para todo a C ii) lim (z n + w n ) = z + w 145

14 Convergência de Séries de Números Complexos iii) iv) lim (z n w n ) = z w lim (z n.w n ) = z.w z n v) lim = z w n w, se w 0 Teorema 3: Critério de Cauchy Seja {z n } uma seqüência de número complexos então {z n } é convergente se, somente se, para todo ε > 0, existe n 0 N tal que: m, n n 0 z m z n < ε Séries de Números Complexos Definição Dada uma seqüência {z n } de números complexos, definimos a série n associada {s n } com a seqüência de somas parciais s n = z k. k=0 Definição Seja z n uma série de números complexos. Dizemos que converge absolutamente se, somente se, a série seqüência { z n } converge. z n z n associada à Teorema 1 Seja z n uma série de números complexos. Se z n é absolutamente convergente então Teorema 2 Sejam z n e w n duas séries de números complexos convergentes tais que z n é convergente. i) (az n ) = az z n = z e w n = w e a C então: 146

15 ii) Variáveis Complexas (z n + w n ) = z + w Séries de Potência Definição Seja {a n } uma seqüência de números complexos. Definimos a série de potências associada a {a n } de centro em 0 por: a n z n. Teorema 1 Seja a n z n uma série numérica: i) Se existe z 1 C, z 1 0 tal que a n z1 n converge então a n z n converge para todo z C tal que z < z 1 ii) Se existe z 2 C, z 2 0 tal que a n z2 n diverge então a n z n diverge para todo z C tal que z 2 < z Teorema 2 Seja a n z n uma série de potências então existe uma bola fechada B r (0) tal que a série converge absolutamente em todos os pontos do interior da bola e diverge para todos os pontos do exterior da bola. Definição Seja a n z n uma série de potências denominamos raio de convergência ao raio r da bola definida pelo teorema acima. Teorema 3 Seja a n z n uma série de potências tal que para todo n N, a n 0. Então o raio de convergência da série de potências pode 147

16 Convergência de Séries de Números Complexos ser dado por: r = lim a n a n+1 ou r = lim 1 a n 1/n Teorema 4 Sejam D C um aberto e f : D C C um função holomorfa em uma bola aberta B r (z 0 ) D então para cada z B r (z 0 ) temos: f(z) = f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n n! PRÓXIMA Em nossa próxima aula veremos séries de Laurent uma forma de representação de funções não holomorfas. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV..1. Sejam {z n } e {w n } duas seqüências de números complexos tais que z = definição, que: lim z n e w = lim w n. Mostre, usando a Comentário: lim (z n + w n ) = z + w. Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações dos teoremas sobre seqüências de números complexos, elas lhe servirão de guia. 148

17 Variáveis Complexas ATIV..2. Seja a série de potências dada por 2 n n! zn. Determine seu raio de convergência. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o exemplo de determinação do raio de convergência de uma série de potências, ele lhe servirá de guia. LEITURA COMPLEMENTAR SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 173. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 200. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM,