Notas do Curso de SMA-333 Cálculo III. Prof. Wagner Vieira Leite Nunes. São Carlos 1.o semestre de 2007

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1 Notas do Curso de SMA-333 Cálculo III Prof. Wagner Vieira Leite Nunes São Carlos.o semestre de 7

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3 Sumário Introdução 5 Seqüências Numéricas 7. Definições Operações com Seqüências Convergência de Seqüências Seqüências Monótonas Supremo e Ínfimo de Seqüências Seqüências Divergentes Subseqüências de uma Seqüência Seqüências de Cauchy Séries Numéricas Definições Operações com Séries Numéricas Convergência de Séries Numéricas Resultados Gerais de Convergência de Séries Numéricas Critérios de Convergência para Séries Numéricas com Termos Não-negativos Convergência de Séries Alternadas Reagrupamento de Séries Numéricas Séries Absolutamente Convergentes Séries Condicionalmente Convergentes Seqüências de Funções Seqüências de Funções Convergência Pontual de Seqüências de Funções Convergência Uniforme de Seqüências de Funções Seqüências de Funções de Cauchy Propriedades da Convergência Uniforme de Seqüências de Funções Séries de Funções 9 5. Séries de Funções Convergência Pontual de Séries de Funções Convergência Uniforme de Séries de Funções

4 4 SUMÁRIO 6 Séries de Potências 3 6. Séries de Potências Convergência Pontual de Séries de Potências Convergência Uniforme de Séries de Potências Integração Séries de Potências Derivação de Séries de Potências Série de Taylor e de McLaurin Representação de Funções em Séries de Potências Série Binomial Resolução de PVI s associados a EDO s via Séries de Potências Séries de Fourier Introdução Método das Separação de Variáveis Os Coeficientes de Fourier Interpretação Geométrica dos Coeficientes de Fourier Convergência Pontual da Série de Fourier Convergência Uniforme da Série de Fourier Notas Históricas Aplicação de Série de Fourier a EDP s O Problema da Condução do Calor em um Fio O Problema da Corda Vibrante A Equação de Laplace

5 Capítulo Introdução Este trabalho poderá servir como notas de aula para o cursos cuja ementa trata de seqüências é séries numéricas, seqüências é séries de funções, em particular, série de potências e de Fourier. Aplicaremos séries de Fourier para a resolução de alguns problemas relacionados com algumas Equações Diferenciais Parciais, a saber, as Equações do Calor, da Onda e de Laplace, no caso periódico. Serão exibidos todos os conceitos relacionados com o conteúdo acima, bem como propriedades e aplicações dos mesmos. As referências ao final das notas poderão servir como material importante para o conteúdo aqui desenvolvido. 5

6 6 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO

7 Capítulo Seqüências Numéricas 6. -.a aula.3 -.a aula a aula. Definições Começaremos tratando das: Definição.. Uma seqüência de números reais (ou complexos) (ou seqüência numérica) é uma aplicação a : N R (ou C) n a(n) isto é, uma lei que associa a cada número natural n um, único, número real (ou complexo) a(n) que indicaremos por a n. Os elementos a n serão ditos termos da seqüência. O conjunto {a n : n N} será dito conjunto dos valores da seqüência. Denotaremos uma seqüência por: (a n ) n N, (a n ), {a n } n N, {a n }. Exemplo.... (a n ) onde a n =, n =,,. n Conjuntos dos valores da seqüência = {,,, }. 3. (a n ) onde a n. =, n =,,. Conjuntos dos valores da seqüência = {}. 3. (a n ) onde a n. = sen( nπ ) = {, n par ( ) n+3, n ímpar Conjuntos dos valores da seqüência = {,, }. 7, n =,,.

8 8 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 4. (a n ) onde a n. = n, n =,,. Conjuntos dos valores da seqüência = {,, 3, 4, }. 5. (a n ) onde a n. = ( ) n, n =,,. Conjuntos dos valores da seqüência = {, }. 6. (a n ) onde a n = n+, n =,,. n Conjuntos dos valores da seqüência = {, 3, 4, 5, } (a n ) onde a n. = +( ) n n, n =,,. Conjuntos dos valores da seqüência = {,,,,, 3, }.. Operações com Seqüências Como seqüências são funções a valores reais (ou complexos) podemos somá-las, multiplicálas por números reais (ou complexos) de maneira semelhante a quaisquer funções, isto é, Definição.. Dadas as seqüências (a n ) n N, (b n ) n N e α R (ou C) definimos a seqüência soma da seqüência (a n ) n N com a seqüência (b n ) n N, denotada por (a n ) n N + (b n ) n N, como sendo:. (a n ) n N + (b n ) n N = (an + b n ) n N ou seja, a seqüência soma é obtida somando-se os correspondentes termos de cada seqüência. Definimos a seqüência produto do número real (ou complexo) α pela seqüência (a n ) n N, indicada por α(a n ) n N, como sendo: α(a n ) n N. = (αan ) n N ou seja, a seqüência é obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada seqüência pelo número real (ou complexo). Definimos a seqüência produto da seqüência (a n ) n N pela seqüência (b n ) n N, indicada por (a n ) n N.(b n ) n N, como sendo: (a n ) n N.(b n ) n N. = (an b n ) n N ou seja, a seqüência é obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada uma das seqüências. Se b n, n N, definimos a seqüência quociente da seqüência (a n ) n N pela seqüência (b n ) n N, indicada por α(a n ) n N /(b n ) n N, como sendo: (a n ) n N /(b n ) n N. = (an /b n ) n N ou seja, a seqüência é obtida dividindo-se os correspondentes termos de cada uma das seqüências (observe que b n, n N).

9 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS 9. Exemplo.. Se (a n ) n N e (b n ) n N são dadas por a n =, b. n n = ( ) n, n N e α = então (a n ) n N + (b n ) n N = ( + ( )n n) ) n N ; α(a n ) n N = ( n ) n N; (a n ) n N.(b n ) n N = ( ( )n ) n n ) n N e (a n ) n N /(b n ) n N = ( ( ) n n ) n N. Observação.. Como seqüências são funções a valores reais (ou complexos) podemos representar seus gráficos. Na verdade, isto não tem muito interesse no estudo das seqüências. Exemplo... Se (a n ) n N é dada por a n. = n, n N então seu gráfico será: 3 3 n. Se (b n ) n N é dada por b n. = ( ) n, n N então seu gráfico será: n. 3. Se (c n ) n N é dada por a n =, n N então seu gráfico será: n / /4 3 4 n.3 Convergência de Seqüências Observação.3. Empiricamente, observando os exemplos acima temos:

10 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS. No exemplo. os termos da seqüência (a n ) n N crescem ilimitadamente quando n cresce, ou ainda, os termos vão para infinito quando n vai para infinito.. No exemplo. os termos da seqüência (b n ) n N oscilam entre e, quando n cresce. 3. No exemplo 3. os termos da seqüência (c n ) n N aproximam-se de zero quando n cresce, isto é, os termos tendem a zero quando n vai para infinito. A seguir vamos formalizar esta última situação mais precisamente, ou seja, colocar de forma correta o conceito de convergir (ou aproximar-se de, ou ainda tender a ). Definição.3. Diremos que uma seqüência (a n ) n N é convergente (ou converge, ou tende) para l R (ou C) quando n vai para infinito, escrevendo-se lim a n = l (ou a n l, ou ainda simplesmente a n l) se, e somente se, dado ε > existir N N tal que se n N temos a n l < ε. Observação.3.. A definição acima nos diz, formalmente, que podemos ficar tão próximo de l quanto se queira desde que o índice da seqüênica seja suficientemente grande.. Na linguagem dos intervalos a definição acima nos diz que dado o intervalo (l ε, l + ε) (ou seja ε > ), todos os termos da seqüênica caem dentro desse intervalo excetuando-se, eventualmente, os N primeiros termos. 3. Em geral N depende do ε > dado inicialmente a Proposição.3. Se o limite existe ele deve ser único, isto é, se lim a n = l e lim a n = l então l = l. Demonstração: Mostremos que para todo ε > temos l l < ε, o que implica que l = l. Para isto temos que dado ε > como lim a n = l então existe N N tal que se n N tem-se a n l < ε. De modo análogo, como lim a n = l existe N N tal que se n N tem-se a n l < ε. Logo se n max{n, N } temos l l = l a n + a n l l a n + a n l (n N e n N ) < completando a demosntração. ε + ε = ε Exemplo.3.

11 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS. Mostremos que a seqüênica ( n ) n N é convergente para zero, isto é, lim n =. Para isto observemos que dado ε > se tomarmos N N tal que N > então, ε para n N teremos mostrando a afirmação. a n l = n = n (n N ) N < ε. Mostremos que a seqüência ( n ) n n+ n N é convergente para, isto é, lim n + =. Para isto observemos que dado ε > se tomarmos N N tal que N > então, ε para n N o teremos n n a n l = = n = n + n + n + = n + mostrando a afirmação. (n+ n ) n (n N ) N < ε 3. A seqüência (cos(nπ)) n N é divergente. De fato, observemos que cos(nπ) = ( n ), n N. Se a seqüênica fosse convergente para algum l R então dado ε = > deveria existir um N N tal que para todo n N teríamos ( ) n l, isto é, l < ( ) n < l + o que úm absurdo pois isto implicaria que e pertenceriam ao interavalo (l, l + ) que tem comprimento (se e estão no intervalo este deverá ter um comprimento maior ou igual a ) o que é um absurdo. Portanto a seqüênica não é convergente. 4. Seja (a n ) tal que a n =, 33 3 }{{} n casas Então lim a n = 3., isto é, a =, 3, a =, 33, a 3 =, 333,. De fato, dado ε > seja N N tal que N > log 3ε, ou seja, N + > 3ε, ou ainda 3 < ε temos: N + Com isso se n N temos que a n 3 =, 3 3 }{{} n casas =, {}}{ = 3 demonstrar. n+ 3 = 3 n+ n casas (n N ) < 3 =, 3 N + n casas {}}{ < ε como queríamos Definição.3. Diremos que uma seqüência (a n ) n N é limitada se existir M R tal que a n M para todo n N.

12 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS Exemplo.3. No exemplo (.3.) todas seqüências são limitadas. Observemos que nem todas são convergentes (exemplo 3.). Como veremos a seguir existe uma relação entre seqüências convergentes e limitadas, a saber Proposição.3. Toda seqüência convergente é limitada, isto é, se a seqüência (a n ) n N é convergente então ela será uma seqüência limitada. Demonstração: Como a seqüência (a n ) n N é convergente então existe l R tal que lim a n = l, ou seja, dado ε > existe N N tal que se n N temos a n l < ε. Em particular se ε. = existe N N tal que se n N temos a n l < o que implica que, para n N temos que < a n l < ou, equivalentemente, l < a n < + l, ou seja, l < a n < l +, isto é, a n < l + para n N. Seja M. = max{ a, a,, a N, l + }. Como isto temos que a n M para todo n N, como queríamos mostrar. Observação.3.3 A recíproca do resultado acima é falsa, isto é, nem toda seqüência limitada é convergente como mostra o item 3. do exemplo (.3.). A seguir temos algumas propriedades gerais para convergência de seqüênicas. Teorema.3. Sejam (a n ) n N, (b n ) n N e (c n ) n N seqüências numéricas. Então:. Se as seqüências (a n ) n N e (b n ) n N são convergentes para a e b, respectivamente, então a seqüência (a n ) n N + (b n ) n N é convergente para a + b, isto é, lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n. (.) Vale os análogos para (a n ) n N (b n ) n N, (a n ) n N.(b n ) n N e (a n) n N (neste último (b n ) n N caso b n para todo n N), ou seja, são seqüências convergentes para a b, a.b e a, respectivamente, ou seja: b lim (a n b n ) = lim a n lim b n ; (.) lim (a n.b n ) = lim a n. lim b n ; (.3) a n lim = b n lim a n lim b n. (.4). Se as seqüências (a n ) n N e (b n ) n N são convergentes para a e b, respectivamente, e a n b n, n N então a b, isto é, lim a n lim b n.

13 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS 3 3. Se a seqüência (a n ) n N é convergente para zero e a seqüência (b n ) n N é limitada então a seqüência (a n ) n N.(b n ) n N é convergente para zero, isto é, lim (a n.b n ) =. 4. Suponhamos que as seqüências (a n ) n N e (b n ) n N são convergentes para l e a seqüência (c n ) n N satisfaz: a n c n b n para todo n N. Então a seqüência (c n ) n N é convergente para l. Demonstração: De.: Para (.): Como lim a n = a e lim b n = b, dado ε > existem N, N N tal que se n N temos a n a < ε e se n N temos b n b < ε.. Logo, tomando-se N = max{n, N } temos para n N que (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n b (n N N e n N N ) < ε + ε = ε, mostrando que lim (a n + b n ) = a + b ou, equivalentemente, lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n. A demonstração de (.) é análoga e será deixada como exercício para para leitor. Para (.3): Vamos supor que a. Como lim a n = a e lim b n = b, são convergentes elas são limitadas, em particular, (b n ) é limtada logo existe M > tal que b n M, para todo n N. Dado ε > existem N, N N tal que se: n N temos a n a < ε M ; n N temos b n b < ε a.. Seja N = max{n, N }. Observemos que se n N então n N e n N logo (a n.b n ) (a.b) = (a n a)b n +(b n b)a a n a b n + b n b a < a n a M + b n b a < ε M M + ε a a = ε + ε = ε, mostrando que lim (a n.b n ) = a.b ou, equivalentemente, lim (a n.b n ) = lim a n. lim b n. Se b podemos fazer uma demonstração semelhante. Se a = b = então temos que dado ε > existem N, N N tal que se: n N temos a n < ε; n N temos b n < ε.. Seja N = max{n, N }. Observemos que se n N então n N e n N logo (a n.b n ) a.b = a n.b n = a n b n < ε. ε = ε, mostrando que lim (a n.b n ) = ou, equivalentemente, lim (a n.b n ) = lim a n. lim b n.

14 4 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS A demonstração de (.4) é semelhante e será deixada como exercício. De.: Suponhamos, por absurdo, que a > b, isto é, lim a n > lim b n. Logo, dado ε =. a b >, existem N e N N tal que: Se n N então a n a < ε = a b, ou seja ε < a n a < ε o que implica que a b + a < a n < a b + a, em particular a + b < a n se n N. Se n N então b n b < ε = a b + b < b n < a b + b, em particular b n < a + b Logo, se n max{n, N } temos que b n < a + b a b, ou seja ε < b n b < ε o que implica que se n N. < a n, isto é, b n < a n se n max{n, N }, o que é um absurdo pois, por hipótese, a n b n para todo N. De 3.: Como (b n ) n N é limitada, existe M > tal que b n M para todo n N. Mas (a n ) n N convergete para zero, logo dado ε > existe N N tal que se: n N temos a n < ε M. Logo, dado dado ε > se n N temos a n.b n = a n b n ε M M < ε, mostrando que lim (a n.b n ) =. De 4.: Como lim a n = l e lim b n = l, dado ε > existem N, N N tal que se: n N temos a n l < ε, o que implica que ε < a n l < ε; n N temos b n l < ε o que implica que ε < b n l < ε. Logo se tomarmos N = max{n, N } temos, para n N que ε < a n l c n l b n l < ε, (pois a n c n b n, para todo n N) ou seja ε < c n l < ε ou, equivalentemente, c n l < ε, mostrando que lim c n = l. Observação.3.4. O item. da proposição acima é conhecido como o teorema da comparação para seqüências.. Uma seqüência que tem limite zero é dita infinitésimo. Com isto o item 3. da proposição acima pode ser resumido como: o produto de uma seqüência que é um infinitésimo por uma seqüência limitada é um infinitésimo. 3. O item 4. da proposição acima é conhecido como o teorema do sanduiche para seqüências.

15 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS 5 Exemplo.3.3 Mostremos que lim ( n + (n + ) + + ) =. (n) }{{ } (n+) parcelas Para isto observemos que. a n = n + (n + ) + + (n) }{{ } (n+) parcelas = n + = n n +. = bn, n N. n n + n n + n... n n n + n + + n }{{} (n+) parcelas Como lim a n = lim b n = segue do teorema (4.5.) item 4. (teorema do sanduiche) que lim ( n + (n + ) + + ) =. (n) }{{ } (n+) parcelas Observação.3.5 Vale observar que no exemplo acima não podemos aplicar a propriedade de soma de limites, isto é, limite da soma é a soma dos limites pois o número de parcelas aumenta quando n aumenta. Observemos que para: n = (duas parcelas) a = + n = (três parcelas) a = n = 3 (quatro parcelas) a 3 = e assim por diante. Um resultado bastante importante no estudo da convergência de seqüências é o que relaciona limites de seqüências com limites no infinito de funções reais de uma variável real, a saber: Teorema.3. Seja que f : R + R. Suponhamos que lim x f(x) = l R. Então a seqüência (a n ) n N, onde a n. = f(n), n N é convergente para l, isto é, lim a n = lim f(x). x Demonstração: A demonstração é imediata. Observação.3.6 Observemos que NÃO podemos aplicar as regras de L Hôpital para seqüências. Porém podemos utilizar o resultado acima para estudar o limite de funções de variável real no infinito (utilizando, se possível, a regra de L Hôpital) e assim tirar conclusões para o limite de seqüências como veremos em alguns exemplos a seguir.

16 6 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS Exemplo.3.4. Calculemos lim n. Para isto observemos que se f(x) =., x > então lim f(x) = lim =. (visto x x x no Cálculo I). Sendo a n. = n lim f(x) =, ou seja lim x = f(n), n N, segue, do teorema acima, que lim n =.. Estudemos a convergência da seqüência ( n e n ) n N. Se definirmos f(x) =. x, x > então temos que lim ex lim x d x dx d dx Sendo a n lim x ex = lim x x x f(x) = lim x = (o último limite foi tratado em Cálculo I). ex. n = = f(n), n N, segue, do teorema acima, que lim en n e =. n f(x) =, ou seja lim 3. A seqüência (( + n )n ) n N é convergente para e (número de Euler). n = lim a n = x e x ( : L Hôpital) = n e n = lim a n = De fato, se considerarmos f(x) = ( + x )x, x > então segue, do.o limite fundamental, que lim x f(x) = e. Sendo a n. = ( + n )n = f(n), n N, segue, do teorema acima, que lim ( + n )n = lim a n = lim f(x) = e, ou seja lim ( + x n )n = e. 4. A seqüência (r n ) n N é convergente para se r < e divergente se r. De fato, se r = nada temos a fazer. Se r > observamos que r n = e n ln r, n N assim se < r < temos que ln r <, logo a seqüência é convergente para zero (pois lim x e x ln r = ). Se r > então ln r > logo a seqüência será divergente (pois neste caso lim x e x ln r = ). Observação.3.7. O resultado acima NÃO garante que se lim f(x) não existe então lim. x existe, onde a n = f(n), n N, como mostra o exemplo: a n Se f(x) = sen(πx), x R então lim x f(x) não existe. porém se a n = f(n) = sen(πn) =, n N assim lim a n =, ou seja (a n ) n N é convergente. não

17 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS 7. Todos os resultados anteriores permanecem verdadeiros se substituirmos a hipótese n N por n N. Por exemplo, no teorema 4.5. item. se trocarmos a hipótese: a n b n, n N por a n b n, n N o resultado continua válido, isto é, lim a n lim b n..3-5.a Observação.3.8 Como vimos anteriormente toda seqüência convergente é limitada, mas não vale a recíproca. A questão que poderíamos colocar é: além de ser limitada, que propriedade(s) uma seqüência poderia ter para que fosse convergente? A seguir introduziremos uma nova classe de seqüências que nos ajudarão a responder essa pergunta..3. Seqüências Monótonas Definição.3.3 Diremos que uma seqüência (a n ) n N é:. Crescente se a n+ a n para todo n N;. Decrescente se a n+ a n para todo n N; 3. Estritamente crescente se a n+ > a n para todo n N; 4. Estritamente decrescente se a n+ < a n para todo n N; Se for de um dos tipos acima ela será dita monótona. Exemplo.3.5. A seqüência (a n ) n N dada por a n = n, n N é estritamente crescente (portanto monótona) pois a n+ = n + > n = a n para todo n N.. A seqüência (a n ) n N dada por a n =, n N é estritamente decrescente (portanto n monótona) pois a n+ = n + (n+>n) < n = a n para todo n N. 3. A seqüência (a n ) n N dada por a n = cos(nπ), n N não é monótona (a n = ( ) n, n N). 4. A seqüência (a n ) n N dada por a n =, n N é estritamente decrescente (portanto n monótona) pois n+ > n para todo n N logo a n+ = < n+ = a n n para todo n N. Observação.3.9

18 8 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS. Podemos estudar a monotonicidade de seqüência (a n ) n N estudando-se o quociente a n+ (se a n, para n N) observando que a n+ para todo n N se, a n a n e somente se a seqüência é crescente (analogamente trocando-se por > e crescente por estritamente crescente ), se a n > para todo n N. Ou ainda a n+ a n para todo n N se, e somente se a seqüência é decrescente (analogamente trocando-se por < e decrescente por estritamente decrescente ), se a n > para todo n N. O caso em que a n < para todo n N é semelhante aos tratados acima. Conclusão: ela será monótona se, e somente se, ou a n+ ou a n+ a n a n todo n N, supondo que a n >, n N ou a n <, n N. para. Podemos, quando possível, estudar a monotinicidade de uma seqüência (a n ) n N estudando-se a monotonicidade de uma função f : R + R tal que a n = f(n), n N. Por exemplo se a função f é crescente (isto é, f(x) f(y) para todo x y ). então a seqüência (a n ) n N, a n = f(n), n N será crescente. De modo análogo para os outros casos. 3. Pode ocorrer de a função f : R + R não ser monótona mas a seqüência (a n ) n N dada por a n = f(n), n N ser, como mostra o seguinte exemplo: se f(x) = sen(πx), x então f não é monótona mas a seqüência (a n ) n N dada por a n = f(n) = sen(nπ) = para todo n N é monótona (pois a n+ a n para todo n N). Exemplo.3.6. A seqüência (a n ) n N, onde a n = n, n N é estritamente decrescente. n + De fato, pois a n+ = a n todo n N. (n+) (n+)+ n n+ = n + n + n + n = n + n + n + n Como a n <, n N temos que a n+ < a n, para todo n N. Logo a seqüência é estritamente decrescente, logo monótona. = + n +. A seqüência (a n ) n N, onde a n = n, n N é estritamente crescente. 3n + De fato, pois a n+ = a n, para todo n N. (n+) 3(n+)+ n 3n+ = n + 3n + 3n + 5 n = 6n + n + 4 6n + n Como a n >, n N temos que a n+ > a n, para todo n N. Logo a seqüência é estritamente crescente, logo monótona. >, para 4 = + 6n + n >

19 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS 9 ln(n + ) 3. A seqüência (a n ) n N dada por a n =, n N é estritamente decrescente. n + ln(x + ) De fato, se considerarmos f(x) = x +, x então temos que f (x) = (x + ) ln(x + ). x+ ln(x + ) = < se x (observemos que se x (x + ) (x + ) então x + > e assim ln(x + ) > ou ln(x + ) < ). Logo, como f (x) < para x temos que f é estritamente decrescente implicando que (a n ) n N é estritamente decrescente (pois a n = f(n), n N). A seguir vamos mostrar que se uma seqüência é monótona e limitada então ela será convergente. Para isto precisamos introduzir alguns conceitos importantes que são:.3. Supremo e Ínfimo de Seqüências Definição.3.4 Seja A R não vazio.. Diremos que A é limitado superiormente se existe c R tal que a c para todo a A. O número c acima será dito limitante superior do conjunto A.. Diremos que A é limitado inferiormente se existe d R tal que a d para todo a A. O número d acima será dito limitante inferior do conjunto A. Vejamos os exemplos a seguir: Exemplo.3.7. Se A = (, ) então A é limitado inferiormente pois, por exemplo, é um limitante inferior ( a, para todo a A). A não é limitado superiormente.. Se A = (, π) {5} então A é limitado inferiormente e superiormente pois, por exemplo, 3 é um limitante inferior ( 3 a, para todo a A) e é um limitante superior (a, para todo a A). Observação.3.. Seja A R, não vazio. A é limitado (isto é, existe M R tal que a M, para todo a A) se, e somente se, A é limitado superiormente e inferiormente. De fato, A é limitado então existe M R tal que a M, para todo a A, ou seja, M a M, para todo a A, assim M é um limitante inferior e M é um limitante superior, portanto A é limitado superiormente e inferiormente. Reciprocamente, se A é limitado superiormente e inferiormenteentão existe c R e d R tal que d a c, para todo a A.

20 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS Se tomarmos M = max{ c, d } então, para todo a A temos a c c M e a d d M, assim M a M, para todo a A, ou seja, a M, para tod a A implicando que A é limitado.. No exemplo. acima temos que qualquer elemento do conjunto (, ] é um limitante inferior. Ou seja, existe um maior limitante inferior, no caso. No exemplo. acima temos que qualquer elemento do conjunto (, ] é um limitante inferior e qualquer elemento do conjunto [5, ) é um limitante superior. Ou seja, existe um menor limitante superior, no caso 5 e existe um maior limitante inferior, no caso. Tais valores, quando existirem, serão denominados ínfimo e supremo do conjunto. Mais claramente, temos a: Definição.3.5 Seja A R, não vazio, limitado inferiormente (superiormente). Diremos que l R é o ínfimo (supremo) do conjunto A, indicado por inf(a) (sup(a)), se: i) l é um limitante inferior (superior) de A; ii) l é maior (menor) com essa propriedade, isto é, se m é um limitante inferior (superior) de A então m l (m l). Observação.3.. Podemos ver a definição acima da seguinte maneira: l = inf(a) se, e somente se, l é o maior limitante inferior de A (analogamente, l = sup(a) se, e somente se, l é o menor limitante superior de A).. Temos que sup A = l (inf A = l)se, e somente se, i) l é um limitante superior (inferior) de A; ii) Dado ε > existe a A tal que: l ε < a (a < l + ε). a b l ε l 3. Para a existência do inf e do sup de um subconjunto da reta temos o Axioma do completamento que diz: Todo subconjunto dos números reais limitado inferiormente (superiomente) admite ínfimo (supremo). Exemplo.3.8. Se A = [a, b] então inf(a) = a e sup(a) = b. Observemos que neste caso inf(a) A e sup(a) A.. Se A = [a, b) então inf(a) = a e sup(a) = b. Observemos que neste caso inf(a) A e sup(a) A.

21 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS 3. Se A = (a, b) então inf(a) = a e sup(a) = b. Observemos que neste caso inf(a) A e sup(a) A. 4. Se A = Q [, ] então inf(a) = e sup(a) =. Observemos que neste caso inf(a) A e sup(a) A (pois e não são um números racionais). 5. Se A = { n ; n N} = {,,, } então inf(a) = e sup(a) =. Observemos 3 que neste caso inf(a) A e sup(a) A. Observemos, ainda neste exemplo, que a seqüência (a n ) n N, onde a n =, n N n é estritamente decrescente e inf(a) = = lim a n e sup(a) = = a. Isto, como veremos, vale em situações mais gerais. Agora estamos em condições de apresentar o seguinte resultado: Teorema.3.3 Toda seqüência limitada e monótona é convergente. Além disso, se (a n ) n N é crescente (ou estritamente crescente) então lim a n = sup(a) e se (a n ) n N é decrescente (ou estritamente decrescente) então lim a n = inf(a), onde A é o conjunto dos valores da seqüência. Demonstração: Vamos considerar o caso em que a seqüência (a n ) n N é crescente. Os outros casos serão deixados como exercício. Como (a n ) n N é limitada o conjunto, A, dos valores da seqüência será limitado, logo limitado superiomente, portanto admite supremo, isto é, existe l = sup(a). Afirmamos que a seqüência (a n ) n N converge para l, isto é, lim a n = l. De fato, como l = sup(a) = sup{a n : n N} temos que, dado ε >, existe um N N tal que l ε < a N l. Mas (a n ) n N é uma seqüência crescente, isto é, a N a n para todo n N logo l ε < a N a n l para todo n N (a última desigualdade segue do fato que l é o supremo, portanto um limitante superior do conjunto A). Logo, para n N temos l ε < a n l < l + ε, ou seja, l ε < a n < l + ε ou, equivalentemente, a n l < ε. Portanto lim a n = l = sup(a) como queríamos demonstrar. Observação.3. O resultado acima nos dá uma condição suficiente (mas não necessária) para que uma seqüência limitada seja convergente (ser monótona). Exemplo.3.9. Mostremos que a seqüência (a n ) n N, onde a n = n, n N é convergente para zero, n! n isto é, lim n! =. Para isto mostremos, primeiramente, que (a n ) n N é monótona e limitada, portanto convergente, e depois mostraremos que ela converge para zero.

22 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS (i) Mostremos que a seqüência (a n ) n N é decrescente. Para isto observemos que a n+ a n = n+ (n+)! n n! == n+.n! n (n + )! = n + (n+ ) =, para todo n N. Como a n > para todo n N segue que a n+ a n para todo n N, ou seja, a seqüência é decrescente. (ii) Mostremos que a seqüência (a n ) n N é limitada. Como (a n ) n N é decrescente e a n > para todo n N seque que < a n a =, para todo n N, ou seja a n, para todo n N. Portanto limitada. Logo, do teorema 4.5., segue que (a n ) n N é convergente e, como ela é decrescente, temos que lim a n = inf{a n : n N} = inf{ n : n N} =. n! Um outro modo de encotrarmos o limite da seqüência acima é o seguinte: Seja l = lim a n. n Então l = lim a n = lim n! = lim n n (n )! = ( lim )( lim n n ) =.l =. (n )!. Mostremos que a seqüência (a n ) n N, onde a =, a =,, a n = a n, n N é convergente para, isto é, lim a n =. Para isto mostremos, primeiramente, que (a n ) n N é limitada e monótona, portanto convergente, e depois mostraremos que ela converge para. (i) Mostremos que a seqüência (a n ) n N é limitada. Na verdade mostraremos que < a n, para todo n N (o que implicará que a n, para todo n N, logo é limitada). Para isso usaremos indução matemática, isto é, precisaremos mostrar que: (a) a propriedade é válida para n = ; (b) se a propriedade for válida para n = k será válida para n = k. Mas (a) a propriedade é válida para n =, pois < a =. (b) se a propriedade for válida para n = k, isto é, se < a k, então será válida para n = k. (def. a k ) De fato, pois < a k = (a k ) a k. =, mostrando que a propriedade é válida para n = k. Assim segue da indução matemática, que < a n para todo n N, ou seja, a seqüência é limitada. (ii) Mostremos que a seqüência (a n ) n N é crescente.

23 .3. CONVERGÊNCIA DE SEQÜÊNCIAS 3 Para isto observemos que a n+ a n = an a n = an ( a n ) = (< an ), para todo n N. an Como a n > para todo n N segue que a n+ a n para todo n N, ou seja, a seqüência é crescente. Logo, do teorema 4.5., segue que (a n ) n N é convergente. Seja l = lim a n. Então l = lim a n = lim an = lim a n = l, ou seja l = l o que implica que ou l = (que é um absurdo pois a seqüência é crescente e a = > ) ou l =. Logo lim a n =. Observemos que a =, a =. 4 = + 4,, a n = n, n N. Como cujo primeiro termo 4 é a = sabemos que a soma da mesma será a r =. Logo lim a n = =. 3. Mostremos que a seqüência (a n ) n N, onde a =, a = +,, a n = + an, n N é convergente para, isto é, lim a n =. Para isto mostremos, primeiramente, que (a n ) n N é monótona e limitada, portanto convergente, e depois mostraremos que ela converge para. (i) Mostremos que a seqüência (a n ) n N é crescente, isto é, a n a n+, para todo n N. Para isso usaremos indução matemática. (a) a propriedade é válida para n =, pois a = + = a, portanto a a. (b) se a propriedade for válida para n = k, isto é, se a k a k então será válida para n = k. (def. a k ) De fato, pois a k = (a k a k ) + a k + ak = a k+, mostrando que a propriedade é válida para n = k. Assim segue da indução matemática que a seqüência é crescente. (ii) Mostremos que a seqüência (a n ) n N satisfaz < a n para todo n N (implicando que ela é limitada). Para isso usaremos indução matemática novamente. (a) a propriedade é válida para n =, pois < a =.

24 4 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS (b) se a propriedade for válida para n = k, isto é, se < a k então será válida para n = k. (def. a k ) De fato, pois a k = (a k ) + a k + =, mostrando que a propriedade é válida para n = k. Assim segue da indução matemática que a seqüência é limitada. Logo, do teorema 4.5., segue que (a n ) n N é convergente. Seja l = lim a n. Então l = lim a n = lim + an = + lim a n = + l, ou seja l = + l o que implica que ou l = (que é um absurdo pois a seqüência é crescente e a = > ) ou l =. Logo lim a n = a Alguns tipos de seqüências que são divergentes podem ser importantes como veremos a seguir..4 Seqüências Divergentes Definição.4. Diremos que uma seqüência (a n ) n N diverge para ( ) se dado K > existe N N tal que se n N temos a n K (a n K). Neste caso escreveremos lim a n = ( ). Exemplo.4.. A seqüência (a n ) n N, onde a n = n, n N é divergente para, isto é, lim a n =. De fato, dado K > seja N N tal que N > K. Se n N temos que a n = n N K, mostrando que lim a n =.. A seqüência (a n ) n N, onde a n = n3, n N é divergente para, isto é, + n lim a n =. De fato, dado K > seja N N tal que N > K +. Se n N temos que a n = n3 + n ( n ) n n 3 + n mostrando que lim a n =. (n + n ) n n 3 n = n (n N) < N < K, Semelhantemente com o caso de convergência, podemos estudar a divergência de uma seqüência para ( ) olhando o comportamento de uma função real que a define, mas claramente temos :

25 .4. SEQÜÊNCIAS DIVERGENTES 5 Proposição.4. Suponhamos que f : (, ) R é tal que lim x f(x) = ( ). Então a seqüência (a n ) n N, onde a n. = f(n), n N é divergente para ( ), isto é, lim a n = ( ). Demonstração: Será deixada como exercício. Exemplo.4.. No exercício.4. item. se tomarmos f(x) =. x3, x então temos que + x x 3 ( lim f(x) = lim : L Hôpital) d = lim ( dx x3 ) x x + x x d ( + dx x ) = lim 3x x x = lim 3x = x. Como a n = f(n), n N temos, pela proposição acima, que lim a n = lim f(x) = x.. A seqüência (a n ) n N, onde a n = 3n, n N é divergente para, isto é, lim n a 3 n =. De fato, se tomarmos f(x) =. 3x, x então temos que lim x3 x d dx lim 3x 3 x ln(3) ( = lim : L Hôpital) d dx = lim (3x ln(3)) x d x3 x 3x x d dx (3x ) dx d f(x) = lim x = lim x 3 x (ln 3) 6x 3 x x 3 ( : L Hôpital) = dx lim (3x (ln 3) ) 3 x (ln 3) 3 x d (6x) = lim =. x 6 dx Como a n = f(n), n N temos, pela proposição, que lim a n = lim f(x) =. x Observação.4. ( : L Hôpital) =. Se a seqüência (a n ) n N é crescente (decrescente) e não é limitada então ela diverge para ( ), isto é, lim a n = ( ).. Outra classe de seqüências divergentes são as oscilatórias que são aquelas que são divergentes mas não divergem nem para e nem para, como por exemplo, a seqüência (a n ) n N, onde a n = ( ) n, n N. Temos um teorema da comparação para seqüência divergentes para ( ), a saber, Teorema.4. Suponhamos que as seqüências (a n ) n N, (b n ) n N satisfazem: a n b n, n N. Então:. Se lim a n = então lim b n =.. Se lim b n = então lim a n =.

26 6 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS Demonstração: De.: Como lim a n = então dado K > existe N N tal que se n N temos que a n K. Assim, se n N temos b n a n > K, mostrando que lim b n =. De modo análogo mostra-se (exercício para o leitor). Exemplo.4.3 Mostremos que a seqüência (b n ) n N, onde b n = + + +, n n + n }{{} (n+) parcelas n N é divergente para, isto é, lim ( ) =. n n + n }{{} (n+) parcelas Para isto, observemos que n n n + n b n = n n + n }{{} (n+) parcelas. n n n + n. = an, para todo n N, isto é, a n b n, n N n n n }{{} (n+) parcelas Mas lim a n =, logo, pela proposição acima item., segue que lim b n =..5 Subseqüências de uma Seqüência = n + n = Definição.5. Seja (a n ) n N uma seqüência e A. = {n, n, } subconjunto infinito dos numeros naturais satisfazendo n < n < n 3 <. Como isto podemos construir a seqüência (a ni ) i N (isto é, consideramos a restrição a A : A N R). Tal seqüência será denominada subseqüência da seqüência (a n ) n N. Exemplo.5.. Consideremos a seqüência (a n ) n N, onde a n = sen(n π ), n N.. Então se considerarmos só os índices ímpares (n i = i +, i N) obteremos a subseqüência (a i+ ) i N da seqüência (a n ) n N : (sen(i + ) π )) i N = (( ) i ) i N (=,,, ).. Se considerarmos só os índices pares (n i = i, i N) obteremos a subseqüência (a i ) i N da seqüência (a n ) n N : (sen(iπ)) i N = () i N (=,,, ).

27 .5. SUBSEQÜÊNCIAS DE UMA SEQÜÊNCIA 7. Consideremos a seqüência (a n ) n N, onde a n = n, n N.. Então se considerarmos só os índices ímpares (n i = i +, i N) obteremos a subseqüência (a i+ ) i N da seqüência (a n ) n N : (a i+ ) i N = (i + ) i N (=, 3, 5, 7, ).. Se considerarmos só os índices pares (n i = i, i N) obteremos a subseqüência (a i ) i N da seqüência (a n ) n N : (a i ) i N = (i) i N (=, 4, 6, ). Um resultado importante no estudo da convergência de seqüências utilizandos-e subseqüências é dado pelo: Teorema.5.. Se a seqüência (a n ) n N é convergente para a então toda subseqüência sua será convergente para a. Em particular, se a seqüência (a n ) n N é convergente para a então para todo k N, a subseqüência (a n+k ) n N será convergente para a.. Toda seqüência (a n ) n N possui uma subseqüência monótona. 3. Toda seqüência (a n ) n N limitada possui uma subseqüência convergente. 4. Se toda subseqüência da seqüência (a n ) n N é convergente para a então a seqüência (a n ) n N será convergente para a. Demonstração: De.: Se lim a n = a então dado ε > existe N o N tal que se n N temos que a n a < ε. Logo se n i N tenos que a ni a < ε mostrando que lim a ni = a. i Observemos que para todo k N, (a n+k ) n N será subseqüência (a n ) n N logo convergente para a. De.: Dada subseqüência (a n ) n N, daremos a seguir um processo para construção de uma subsubseqüência (a ni ) i N de (a n ) n N que seja monótona. Consideremos os subconjuntos dos números naturais {m < m < m 3 < } e {k < k < k 3 < } construídos da seguinte maneira:. m = ;. m =. m 3 = se a a 3 se a < a e a 3 a 4 se a < a, a 3 < a e a 4 a e assim por diante m + se a m + a m m + se a m + < a m e a m + a m m + 3 se a m + < a m, a m + < a m e a m +3 a m e assim por diante De modo semelhante construímos m 4, m 5,... e k. = ;

28 8. k =. k 3 = se a a 3 se a > a e a 3 a 4 se a > a, a 3 > a e a 4 a e assim por diante k + se a k + a k k + se a k + > a k e a k + a k k + 3 se a k + > a k, a k + > a k e a k +3 a k e assim por diante CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS De modo semelhante construímos k 4, k 5,... Afirmamos que um dos dois subconjuntos acima é infinito. De fato, se {m < m < m 3 < } é finito, isto é, {m < m < m 3 < < m M }, M N isto implicará que a mm +n+ < a mm +n para todo n N, ou seja a mm +n {k < k < k 3 < } para todo n N, mostrando que este será infinito. Tendo os índices podemos construir a subseqüência que será crescente se {m < m < m 3 < } for infinito ou será decrescente se {k < k < k 3 < } for inifinito. De qualquer modo conseguimos construir uma subseqüência monótona. De 3.: Como toda subseqüência de uma seqüência limitada é limitada e toda seqüência possui uma subseqüência monótona esta subseqüência será monótona e limitada portanto convergente. De 4.: Observemos que para todo k N, (a n+k ) n N será subseqüência da seqüência (a n ) n N logo, por hipótese, convergente para a, ou seja dado ε > existe N N talque se n N temos que a n+k a < ε que é equivalente a escrever a n a < ε para n N. = N +k, mostrando que (a n ) n N é convergente para a..6 Seqüências de Cauchy A seguir introduziremos uma nova classe de seqüências, a saber: Definição.6. Diremos que uma seqüência numérica (a n ) n N é uma seqüência de Cauchy se dado ε > existir N N tal que para n, m N temos a n a m < ε. Observação.6. Uma seqüência numérica (a n ) n N é uma seqüência de Cauchy se a diferença, em módulo, entre dois termos da mesma é arbitrariamente pequena para índices suficientemente grandes. Exemplo.6. A seqüência (a n ) n N, onde a n =, n N é uma seqüência de Cauchy n pois dado ε > se tomarmos N N tal que N > temos, para n, m N ε temos a n a m = n m < n + m N + N = n < ε. Observemos que a seqüência acima é convergente. Isto é, no caso acima, a seqüência é convergente e é de Cauchy. Isto ocorre em geral, como mostra o:

29 .6. SEQÜÊNCIAS DE CAUCHY 9 Proposição.6. Toda seqüência convergente é uma seqüência de Cauchy. Demonstração: Se a seqüência (a n ) n N é convergente para a então dado ε > existir N N tal que para n, N temos a n a < ε. Logo se n, m N temos que a n a m a n a + a a m ε + ε = ε, mostrando que ela é uma seqüência de Cauchy. Observação.6. Com isto surge a pergunta: vale a recíproca do resultado acima?. A resposta será positiva se considerarmos a seqüência tomando valores sobre os números reais. Para mostrar isso precisaremos de alguns resultados que serão exibidos a seguir. Proposição.6. Toda seqüência de Cauchy é limitada. Demonstração: Se a seqüência (a n ) n N é seqüência de Cauchy então dado ε =, existe N N tal que se n, m N temos que a n a m <. Em particular, a n a N <. Mas a n a N a n a N <, ou seja a n a N + para todo n N. Seja M. = max{ a, a,, a N, a N + }. Então temos que a n M para todo n N, mostrando que a seqüência é limitada. Observação.6.3 A recíproca do resultado acima não é verdadeira, isto é, nem toda seqüência limitada é uma seqüência de Cauchy, como mostra o seguinte exemplo: seja (a n ) n N onde a n = ( ) n, n N. Então a seqüência (a n ) n N é limitada mas não é uma seqüência de Cauchy, pois se ε = > temos que a n a n+ = > = ε, para todo n N. Proposição.6.3 Se uma seqüência de Cauchy possui uma subseqüência convergente para a então a seqüência será convergente para a. Demonstração: Seja (a n ) n N uma seqüência de Cauchy tal que (a ni ) i N seja convergente para a. Como (a ni ) i N seja convergente para a, dado ε > existe N N tal que se n i N temos a ni a < ε. Sendo (a n ) n N uma seqüência de Cauchy, existe N N tal que a n a n < ε, para n, m N. Seja N = max{n, N }. Se n N temos que N N N N a n a a n a N + a N a < ε + ε = ε,

30 3 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS mostrando que a seqüência é convergente para a. Com isto podemos enunciar e provar o: Teorema.6. (Critério de Cauchy para Convergência de Seqüências) Um seqüência é convergente em R se, e somente se, ela é uma seqüência de Cauchy em R. Demonstração: A proposição (.6.) afirma que toda seqüência é convergente é uma seqüência de Cauchy. Por outro lado, se ela é uma seqüência de Cauchy então ela é limitada. Mas toda seqüência possui uma subseqüência monótona, portanto convergente (já que deverá ser limitada). Logo a seqüência possui uma subseqüência convergente assim, do resultado acima, segue que a seqüência será convergente. Observação.6.4 O resultado acima não diz para que valor a seqüência de Cauchy converge na reta. Exemplo.6.. A seqüência (s n ) n N onde s =, s = +, s 3 = + + 3, em geral s n = , n N, é divergente (para, como veremos). n Para isto mostraremos que ela não é uma seqüência de Cauchy. De fato, para qualquer k N temos que s k s k = ( k + k k ) ( k ) k + k k + k = k }{{ k } k parcelas. k k ou seja, s k s k, para todo k N. k + + }{{ k} k parcelas = k k =, Logo dado, ε = 3 > (por exemplo) segue que não existe N N tal que para n, m N temos s n s m < ε = 3. De fato pois para todo N N se tomarmos m N então para n. = m N (ou seja, n, m N ) e neste caso s n s m = s m s m > 3 = ε.

31 .6. SEQÜÊNCIAS DE CAUCHY 3 Mas se (s n ) n N não é uma seqüência de Cauchy ela não poderá ser convergente na reta. Observemos que (s n ) n N é (estritamente) crescente. Como não é convergente deveremos ter lim s n = (pois ela não pode ser limitada, pois se fosse, como ela monótona deveria ser convergente, o que seria um absurdo!).. Seja (a n ) n N uma seqüência que tem a seguinte propriedade: a Afirmamos que (a n ) n N é convergente. a n+ a n n, n N. De fato, se considerarmos n, m N com n m (ou seja, m = n + k para algum k N) temos que a n a m = a n a n+k = a n a n+ +a n+ a n+ +a n+3 + a n+k a n a n+ + a n+ a n+ + a n+3 a n a n+k a n+k + n n+ n+ = n+k ( + n ) } 4 {{ k } (pois + n para todo 4 k k parcelas n N). Portanto a n a m se m n. n Logo, dado ε > considerando-se N > + log ε temos, para m n N que a n a m n N < ε mostrando que a seqüência é uma seqüência de Cauchy, logo convergente na reta. 3. Uma generalização do exemplo acima é: Seja (a n ) n N uma seqüência que tem a seguinte propriedade: onde r < é dado. Afirmamos que (a n ) n N é convergente. a n+ a n r n, n N, De modo análogo ao exemplo. mostra-se que a seqüência acima é uma seqüência de Cauchy, logo convergente na reta (obtemos uma desigualdade do seguinte tipo: a n a m rn se m n). r Deixaremos os detalhes a cargo do leitor.

32 3 CAPÍTULO. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 4. Mostre que a seqüência (a n ) n N, onde a =, a = 3,, a n = , n é convergente. De fato, pois a n+ a n = ( n 3 ) ( n ) = n 3 = n rn, para todo n N, onde r = 3. Logo do exemplo acima segue que a seqüência (a n ) n N é convergente. Observação.6.5 O exemplo. capítulo (séries numéricas). acima será muito importante ao longo do próximo

33 Capítulo 3 Séries Numéricas 3. Definições A seguir trataremos de uma classe especial de seqüência numéricas denominadas séries numéricas, a saber, Definição 3.. Dada a seqüência (a n ) n N podemos considerar uma outra seqüência, que indicaremos por (S n ) n N, cujos termos são definidos da seguinte forma: S. = a ; S. = a + a ; S 3. = a + a + a 3. S n. = a + a + + a n = n a i ; i=. que será denominada de série numérica definida pela seqüência (a n ) n N (ou simplesmente série dos a n ). Os a n serão ditos termos da série (S n ) n N. Os termos S n da série (S n ) n N serão denominados n-ésima soma parcial (ou soma parcial de ordem n, ou reduzida de ordem n). Denotaremos a série numérica acima por a n ou a n ou ainda a n. A seqüência (S n ) n N também é chamada de seqüência das somas parciais. Exemplo 3... Consideremos a seqüência (a n ) n N onde a n = ( ) n, n N. A série associada a esta seqüência, (S n ) n N, terá como termos:. S = a = ;. S = a + a = + = ;. S 3 = a + a + a 3 = + =. 33

34 34 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS S n. = a + a + + a n =. n a i = i= + ( )n ; Observe que (S n ) n N é divergente (pois a subseqüência com índices pares converge para e a subseqüência de índices ímpares converge para ).. Consideremos a seqüência (a n ) n N onde a =, a =, a 3 =, a 4 =, a 5 = 3, a 6 = 3,. A série associada a esta seqüência, (S n ) n N, terá como termos: S. = a = ; S. = a + a = = ; S 3. = a + a + a 3 = + + = S 4. = a + a + a 3 + a 4 = + + =. S n. = a + a + + a n =. n {, né par a i = né ímpar ; n+ i= Observe que (S n ) n N é convergente para zero, isto é lim S n =. 3. Consideremos a seqüência (a n ) n N onde a n = c, para todo n N (seqüência constante) onde c R é fixado. A série associada a esta seqüência, (S n ) n N, terá como termos:. S = a = c;. S = a + a = c + c = c;. S 3 = a + a + a 3 = c + c + c = 3c S n... = a + a + + a n = } c + c + {{ + } c = nc; n parcelas Observe que (S n ) n N é convergente (para zero) se, e somente se, c =. divergente para se c > ; Na verdade (S n ) n N é: divergente para se c < ; convergente para se c =. que será deixado como exercício para o leitor. 3. Operações com Séries Numéricas Podemos operar com séries numéricas usando as operações de seqüências ou ainda: Definição 3.. Dadas as séries numéricas a n, b n e α R podemos definir:

35 3.3. CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS 35 i. A soma das séries, indicada por a n + a n + b n b n, como sendo a série numérica:. = (a n + b n ); ii. A multiplicação da série por um número real, indicada por α sendo a série numérica: α a n. = (αa n ). Observação 3.. O produto de séries numéricas a n, como a n. b n e o quociente das séries a n / b n podem também serem definidos porém isto é um pouco mais delicado e será deixado para outra ocasião. Os interessados em ver como são definidas as operações acima ver o Livro [R] página 73. Exemplo 3.. Considerando as seguintes séries numéricas: a n + b n = ( n + n ); a n = n e a n 3.3 Convergência de Séries Numéricas n e n então: b n = ( n n ); Como vimos no exemplo 3.. acima, algumas das seqüência das somas parciais são convergentes, outras não. Baseado nisto temos a: Definição 3.3. Diremos que a série numérica a n é convergente se a seqüência das somas parciais (S n ) n N (que é a prória série numérica) for convergente. Se a seqüência das somas parciais (S n ) n N converge para S R (isto é, lim S n = S) diremos que S é a soma da série a n. Neste caso escreveremos Se a série numérica a n = S. a n não for convergente diremos que ela é divergente.

36 36 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS Observação Observemos que se série numérica é convergente então lim n a i, ou seja, i=. Vale observar que símbolo a n = lim a n n a i. i= a n = S = lim S n = denota duas coisas diferentes, a saber: a série numérica (a seqüência das somas parciais (S n ) n N ) e sua soma S (que é o limite da seqüência (S n ) n N, se existir). Exemplo A série numérica ( ) n é divergente pois a seqüência das somas parciais (S n ) n N é divergente. Ver Exemplo 3.. item... A série numérica a n, onde a n+ = n e a n =, n N é convergente para n zero, pois a seqüência das somas parciais (S n ) n N é convergente para zero. Ver Exemplo 3.. item.. 3. A série numérica a n, nde a n = c para todo n N é divergente para c é convergente para zero, se c =, pois a seqüência das somas parciais (S n ) n N é divergente se c e convergente para zero se c =. Ver 3. do Exemplo A série numérica divergente. n é divergente, pois a seqüência das somas parciais (S n) n N é exibiremos a seguir um outro modo de mostrar que essa seqüência é divergente. Mostraremos que ela não é limitada, logo não poderá ser convergente. Observemos que S. = a = = ( + ), isto é, S ( + ) ; S. = a + a = + = ( + ), isto é, S ( + ) S 4. = a + a + a 3 + a 4 = = + 3 > ( + ), isto é, S ( + ) Pode-se mostrar que (exercício: por indução): S n. = a + a + + a n ( + n). Logo a subseqüência (S n) n N não será limitada (pois lim S n = pelo teorema (.4.) item.) portanto a seqüência (S n ) n N não poderá ser limitada.

37 3.3. CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS Mostre a série numérica n(n + ) é convergente com soma. De fato, observemos que S n = n(n + ) = ( ) + ( 3 ) + ( 3 4 ) + + ( n + n ) + ( n n + ) = n +. Logo, lim S n = lim ( ) =, ou seja, a série numérica n + n(n + ) =. convergente com soma, isto é, 6. A série numérica (para ) se c. c n é convergente (com soma n(n + ) é c ) se c < e divergente c c Além disso, no caso convergente ( c < ) ela terá soma c, isto é, c n = c c. De fato, observemos primeiramente que para todo r e k N temos + r + r + r k = rk+ r. Para mostrar isto basta ver que ( r)( + r + r + r k ) = r k+ (exercício). Assim, temos que S. = a = c; S. = a + a = c + c ; S 3. = a + a + a 3 = c + c 3 + c 3.. S n = a + a + + a n = c + c + + c n = c( + c + + c n ) = c cn c. Se c < temos que lim c n = (lembremos que c n = e n ln c ). Logo lim S n = lim c cn c = c c, mostrando que a série numérica c n é c convergente se c < e sua soma é c. Por outro lado se c = ela será divergente (ver o Exemplo 3.3. item 3.). Se c > então lim c n = (exercício) assim lim S n = lim c cn =, portanto c a série numérica c n será divergente (para ) a