Teoremas de Cauchy AULA 8

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1 Teoremas de auchy META: Introduzir os principais teoremas de auchy sobre integração de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Enunciar os principais teoremas de auchy sobre integração de funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula07 de Variáveis omplexas.

2 Teoremas de auchy.1 Introdução aros alunos o tema dessa nossa aula é Teoremas de auchy também conhecidos como Teoria de auchy. As integrais de funções holomorfas possuem algumas propriedades muito importantes. Provavelmente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de auchy, uma forma de representar funções holomorfas através de integrais de linha ao longo de curvas fechadas..2 Preliminares Nas preliminares, veremos a definição de domínio simplesmente conexo e enunciaremos, sem demonstração, o teorema de Green no BIOGRAFIA George Green nasceu em Sneinton, condado de Nottinghamshire 14 de Julho de 1793 e morreu em Nottingham, 31 de Maio de 141, foi um matemático e físico inglês. Na sua obra Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism (12) introduziu a noção de função potencial no estudo dos campos magnéticos. O teorema de Green, que demonstrou em 12 facilitou bastante o estudo das funções. Wikipedia plano (funções reais). Definição.1. Seja D dizemos que D é um domínio simplesmente conexo se, somente se toda curva fechada inteiramente contida em D puder ser deformada até um ponto em curvas inteiramente contidas em D. E agora, sem demonstração (para uma demonstração veja o Livro de álculo III), o teorema de Green no plano. Teorema.1 (Teorema de Green no Plano). Sejam D R 2 um domínio e f : D R 2 R 2 uma aplicação suave. Seja V D satisfazendo: 1. V é fechado e limitado. 2. a fronteira V é constituída de um número finito de curvas de Jordan suaves por partes 3. V V é um domínio. 114

3 Variáveis omplexas Supondo que V e V tem orientação compatível. Se f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) então: (udx vdy) = V V ( v dx u ) dxdy dy.3 Teoria de auchy omeçaremos por um teorema de auchy em sua forma original e depois ampliaremos provando o teorema de auchy-goursat. Teorema.2 (Teorema de auchy). Sejam D um aberto de, f : D uma função complexa contínua e D uma curva suave contida em D (ver figura.1). Se é holomorfa em D e tem derivada f (z) contínua em D então: dz = 0 PROVA: BIOGRAFIA Augustin-Louis auchy nasceu em Paris, França 21 de agosto de 179 e morreu em Sceaux, França 23 de maio de 157, foi um matemático frances, pioneiro no estudo da análise, tanto real e quanto complexa, e em teoria de grupos de permutação. Ele também pesquisou em convergência e divergência de séries infinitas, equações diferenciais, determinantes, probabilidade e física matemática. Wikipedia Figura.1: Teorema de auchy Da definição da integral de linha complexa temos: dz = (u vı)(dx dyı) = (udx vdy) ı (vdx udy) (.113) 115

4 Teoremas de auchy omo = u(x, y) v(x, y)ı é holomorfa em D e tem derivada f (z) contínua em D temos: BIOGRAFIA Édouard Jean-Baptiste Goursat nasceu em Lanzac, França, 21 de maio de 15 e morreu em Paris, França, 25 de novembro de 1936, foi um matemático francês mais conhecido por sua versão do teorema de auchy-goursat afirmando que a integral de uma função em torno de um contorno simples fechado é zero se a função é analítica dentro do contorno. Mac Tutor f (z) = u x v x ı = v y u y ı Portanto, as derivadas parciais u x, u y, v x e v são contínuas em y D e como D conseqüentemente em e seu interior. Podemos pois aplicar o teorema de Green nas integrais da equação eqn.113 e temos. dz = R R ( v x u y ( u x v y onde R é a região interior da curva. ) dxdy ) dxdy (.114) Por outro lado, como é holomorfa, vale em D e em particular em R, as equações de auchy-riemann. u x = v y u y = v x Logo, substituindo eqn.115 em eqn.114 temos: dz = 0 (.115) Nosso próximo passo é demonstrar uma versão mais forte do teorema, retirando a necessidade da continuidade da derivada f (z) em D. Teorema.3 (Teorema de auchy-goursat). Sejam D um aberto de, f : D uma função complexa contínua e D uma curva suave contida em D (ver figura.1). Se é holomorfa em D então: dz = 0 116

5 Variáveis omplexas A prova do teorema sera dividida em três partes. Prova do Teorema de auchy-goursat para o aso de um Triângulo Tomando un triângulo arbitrário, ligando os pontos A, B e ver figura.2). Ligando os pontos médios D, E e F dos lados AB, A e B respectivamente. Repartiremos em quatro triângulos denotados 1, 2, 3 e 4. Se é holomorfa em, é em particular, holomorfa em 1, 2, 3 e 4. E, omitindo os integrandos à direita, podemos escrever: dz = dz dz dz (.116) DAE EBF F D A 1 E D B F Figura.2: Teorema de auchy-goursat no Triângulo ED DE F E Levando em conta, das propriedades da integral de linha complexa, que =, = e = podemos reescrever eqn.116 como: EF DF F D { dz = { = DAE F D DAED ED DF } { } { EDF E EBF DE F DF EF F E } DEF D F D } (.117) 117

6 Teoremas de auchy onde omitimos os integrandos por questão de economia. A equação eqn.117 pode ser reescrita como: dz = dz dz 1 2 dz dz 3 4 (.11) Tomando o módulo de eqn.11 e usando a desigualdade triangular temos: dz dz dz 1 2 dz dz 3 4 (.119) Sem perda de generalidade podemos tomar 1 como o triângulo que contribui com o maior valor em eqn.119 e escrever: dz 4 dz (.120) 1 Podemos repetir o processo, ligando os pontos médios dos lados de 1 e obter: dz 4 dz (.121) 1 2 onde, neste caso 2 é o sub-triângulo de 1 com maior contribuição. Substituindo eqn.121 em eqn.120 temos: dz 4 2 dz 2 Após n repetição desse processo temos: dz 4 n dz (.122) n Por outro lado,, 1, δ 2,..., k,... é uma seqüência de triângulos encaixantes cada um contido no seu antecessor e portanto, 11

7 Variáveis omplexas existe um ponto z 0 que pertence a todos os triângulos da seqüência. omo cada triângulo está contido em D e é holomorfa em D é holomorfa em z 0. Logo, = f (z 0 )(z z 0 ) η(z z 0 ) (.123) omo lim z z0 η = 0, ε > 0, δ > 0 tal que z, z z 0 < δ temos η < ε. Dai, integrando eqn.123 em n temos: dz = f (z 0 ) n (z z 0 )dz n η(z z 0 )dz n (.124) omo z z 0 é holomorfa em e tem derivada contínua em podemos aplicar o teorema de auchy, a segunda integral em eqn.124 é nula e temos: dz = n η(z z 0 )dz n (.125) n z 0 Figura.3: Devido a proporcionalidade, se o perímetro de é L, o perímetro de n é L/2 n e se z é um ponto qualquer sobre n (ver figura.3) então z z 0 < L/2 n < δ. Daí, e da propriedade das integrais de linha dz ML onde M, z e L é o comprimento de, a equação eqn.125 passa a: dz = η(z z 0 )dz ε L L n n 2 n 2 n = εl2 4 n (.126) 119

8 Teoremas de auchy Substituindo eqn.126 em eqn.122 temos: dz εl 2 (.127) omo em eqn.127 ε pode ser tomado arbitrariamente pequeno, concluímos que: dz = 0 Prova do Teorema de auchy-goursat para o aso de um Polígono Fechado Seja, a título de exemplo, o polígono fechado Γ, ligando os pontos A, B,, D, E e F (ver figura.4) E D F A B Figura.4: Teorema de auchy Traçando as linhas BF, F e DF repartimos o polígono em triângulos. omo o teorema de auchy-goursat já foi provado para triângulos, e como as integrais ao longo de BF, F e DF cancelamse (cada um desses caminhos é percorrido duas vezes em sentidos 120

9 opostos) temos: dz = Γ Variáveis omplexas = 0 ABF A DF dz dz BF B DEF D dz dz OBS.1. Observamos que apesar de na demonstração ter sido u- sado um polígono fechado simples, o teorema contínua válido para um polígono qualquer, incluindo polígonos que se auto-interceptam. Prova do Teorema de auchy-goursat para o aso de uma urva Fechada Simples Seja uma curva fechada simples contida em uma região na qual seja holomorfa. Tomando os pontos z 0, z 1, z 2,..., z n, z 0 = z n, sobre e seja P n o polígono formado ligando em seqüência esses pontos (ver figura.5) z 2 Γ z 1 z 0 = z n z n 1 Figura.5: Teorema de auchy Definindo a soma: S n = onde z k = z k = z k 1. n f(z k ) z k (.12) k=1 Passando o limite n em eqn.129 de modo que max k 121

10 Teoremas de auchy 0 vemos que ε >, N 0 N tal que n > n 0 temos: ε dz S n < 2 (.129) Tomando a integral de linha no polígono fechado P n (levando em conta que no polígono fechado vale o teorema de auchy-goursat) temos: P n dz = 0 = = z1 z 0 dz z1 = z 0 zn z1 zn z n 1 dz ( f(z 1 ) f(z 1 ))dz z n 1 ( f(z n ) f(z n ))dz z 0 zn Portanto, de eqn.130 tiramos: S n = z1 ( f(z 1 ))dz z 0 ( f(z 1 ))dz z n 1 ( f(z n ))dz S n zn (.130) z n 1 ( f(z n ))dz (.131) Tomando N 0 suficientemente grande para que em cada lado de P n, ligando z 0 a z 1, z 1 a z 2 até z n 1 a z n tenhamos: f(z 1 ) < ε 2L,..., f(z n) < ε 2L (.132) onde L é o perímetro de P n. Tomando o módulo de eqn.131 e usando a desigualdade triangular e eqn.132 e propriedades da integral de linha temos: z1 zn S n f(z 1 ) dz f(z n ) dz z 0 z n 1 ε 2L ( z 1 z 0 z n z n 1 ) ε 2 (.133) 122

11 Variáveis omplexas Por outro lado fazendo: dz = dz S n S n (.134) Tomando o módulo de eqn.134 e usando a desigualdade triangular e eqn.129 temos: dz dz S n Sn < ε 2 ε 2 < ε omo ε é arbitrariamente pequeno temos, finalmente: dz = 0.4 Fórmula Integral de auchy omo uma das possíveis aplicações do teorema de auchy, veremos aqui a fórmula integral de auchy. provar dois teoremas. Antes porém, teremos que Teorema.4. Sejam D uma aberto, R D uma região limitada por duas curvas suaves 1 e 2 e f : D uma função holomorfa então: dz = dz 1 2 onde ambas as curvas são orientadas positivamente no sentido anti-horário. PROVA: Tomaremos o seguinte caminho Γ (ver figura.6) começando no ponto A percorremos 1 no sentido positivo até retornar ao ponto A seguimos pela reta AB no sentido de A para B 123

12 Teoremas de auchy A 1 2 B Figura.6: Teorema de auchy até o ponto B em 2 percorremos 2 no sentido negativo (horário) até retornar ao ponto B e concluindo retornamos ao ponto A percorrendo a reta AB no sentido de B para A. Este percurso é uma curva fechada suave por partes e como é holomorfa em D vale o teorema de auchy-goursat. logo: Da equação eqn.135 temos: Γ dz = 0 (.135) dz dz dz dz = 0 (.136) 1 AB 2 BA omo dz = dz da equação eqn.136 temos: AB BA dz = dz 1 2 Teorema.5. Sejam D um aberto, D uma curva suave e z 0 D um ponto do interior de então: 1 z z 0 dz = 2πı 124

13 PROVA: Variáveis omplexas Γ ε z 0 Figura.7: Teorema de auchy omo z 0 D e D é um aberto, podemos tomar um ε > 0 de modo que o círculo Γ de raio ε e centro em z 0 esteja inteiramente contido na região limitada por (ver figura.7). Daí, aplicando o teorema anterior à região entre e Γ temos: 1 1 dz = dz (.137) z z 0 z z 0 onde ambas as curvas são orientadas no sentido positivo. Podemos parametrizar o círculo Γ pondo z = z 0 εe ıt, t [0, 2π). Daí, dz = ıεe ıt dt e substituindo na equação eqn.137 temos: 1 2π 1 dz = z z 0 εe ıt ıεeıt dt = ı Γ 0 2π 0 = 2πı dt (.13) Teorema.6 (Fórmula Integral de auchy). Sejam D um aberto f : D uma função holomorfa em D, D uma curva suave e z 0 um ponto interior da região limitada por então: f(z 0 ) = 1 dz 2πı z z 0 125

14 Teoremas de auchy PROVA: omo z 0 D e D é um aberto, podemos tomar um ε > 0 de modo que o círculo Γ de raio ε e centro em z 0 esteja inteiramente contido na região limitada por (ver figura.7). Daí, aplicando o teorema anterior à região entre e Γ temos: dz = dz (.139) z z 0 Γ z z 0 onde ambas as curvas são orientadas no sentido positivo. Podemos parametrizar o círculo Γ por: z = z 0εe ıt, t [0, 2π). Daí, dz = ıεe ıt dt e para eqn.139 temos: 2π dz = z z 0 = ı 0 2π 0 f(z 0 εe ıt ) ıεe ıt dt εe ıt f(z 0 εe ıt )dt (.140) Passando o limite ε 0 em eqn.140 e lembrando que é holomorfa e portanto contínua temos: 2π dz = lim ı f(z 0 εe ıt )dt z z 0 ε 0 = ı = ı = ı 0 2π 0 2π 0 2π 0 = ıf(z 0 ) lim f(z 0 εe ıt )dt ε 0 f(lim ε 0 (z 0 εe ıt ))dt f(z 0 )dt 2π 0 = 2πıf(z 0 ) dt (.141) Logo: f(z 0 ) = 1 2πı z z 0 dz A seguir veremos mais um teorema. Diz respeito a derivação de funções holomorfas. 126

15 Variáveis omplexas Teorema.7 (Derivada de funções Holomorfas). Sejam D um aberto f : D uma função holomorfa em D, D uma curva suave e z 0 um ponto interior da região limitada por então: f (z 0 ) = 1 2πı (z z 0 ) 2 dz PROVA: Tomando z 0 λ no interior da região limitada por podemos usar o teorema.6 e escrever: f(z 0 λ) f(z 0 ) = 1 ( 1 1 λ 2πı λ z z 0 λ 1 ) dz z z 0 = 1 2πı (z z 0 λ)(z z 0 ) dz = 1 2πı (z z 0 ) 2 dz 1 λ 2πı (z z 0 λ)(z z 0 ) 2 dz (.142) O resultado segue-se passando o limite λ 0 na equação eqn.142. Basta mostrar que a segunda integral vai a zero quando λ 0. Para isto, tomamos um círculo Γ de raio ε e centro em z 0, inteiramente contido na região limitada por (ver figura.7) e temos: λ (z z 0 λ)(z z 0 ) 2 dz = λ Γ (z z 0 λ)(z z 0 ) 2 dz (.143) Tomando λ pequeno o bastante para que z 0 λ pertença a região limitada por Γ e λ < ε/2 e levando em conta que sobre Γ, z z 0 = ε temos: z z 0 λ z z 0 λ > ε ε/2 = ε/2 (.144) Mais ainda, como é holomorfa, existe M > 0 tal que < 127

16 Teoremas de auchy M, z Γ e o comprimento de Γ é 2πε. Daí, temos: Γ λ (z z 0 λ)(z z 0 ) 2 dz 2πεM λ (ε/2)(ε 2 ) (.145) Portanto, o lado esquerdo de tende a zero quando λ 0 i.e. lim λ 0 Γ λ (z z 0 λ)(z z 0 ) 2 dz = 0 Logo: λ lim dz = 0 (.146) λ 0 Γ (z z 0 λ)(z z 0 ) 2 Passando o limite λ 0 em eqn.142 e eqn.143 e usando eqn.146 e levando em conta que f f(z 0 λ) f(z 0 ) (z 0 ) = lim λ 0 λ temos: f (z 0 ) = 1 2πı (z z 0 ) 2 dz OBS.2. O resultado obtido equivale a: d dw f(w) = 1 2πı d dw z w dz = 1 2πı { } dz w z w que é uma extensão da regra de Leibnitz de derivação sob a integração para integrais de contorno. OBS.3. Podemos também, do mesmo modo, mostrar que: f (n) (z 0 ) = 1 2πı dz, n = 1, 2,... (z z 0 ) n1 de onde concluímos que uma função holomorfa tem derivada de qualquer ordem. Omitimos aqui, a demonstração deste resultado. Porém, caros alunos, nada impede de ser tentada. Para isto usem o princípio da indução supondo válida a fórmula acima e mostrando que a mesma vale para n 1. 12

17 .5 onclusão Variáveis omplexas Na aula de hoje, vimos que se uma função complexa é holomorfa ela tem derivada de qualquer ordem. RESUMO No nosso resumo da Aula 0 constam os seguintes tópicos: Teorema de auchy Sejam D um aberto de, f : D uma função complexa contínua e D uma curva suave contida em D (ver figura.1). Se é holomorfa em D e tem derivada f (z) contínua em D então: Teorema de auchy-goursat dz = 0 Sejam D um aberto de, f : D uma função complexa contínua e D uma curva suave contida em D (ver figura.1). Se é holomorfa em D então: Fórmula Integral de auchy dz = 0 Sejam D um aberto f : D uma função holomorfa em D, D uma curva suave e z 0 um ponto interior da região limitada por então: f(z 0 ) = 1 2πı z z 0 dz 129

18 Teoremas de auchy Derivada de funções Holomorfas Sejam D um aberto f : D uma função holomorfa em D, D uma curva suave e z 0 um ponto interior da região limitada por então: f (z 0 ) = 1 2πı (z z 0 ) 2 dz PRÓXIMA Em nossa próxima aula veremos como estender ao campo dos números complexos as mesmas noções de seqüências e séries de números complexos. Estas noções são básicas no desenvolvimento de representações de funções complexas através de séries. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV..1. Sejam D um aberto, f : D uma função complexa holomorfa, a, b D e uma curva lisa tal que a e b estam no seu interior. Mostre que: 1 2πı f(a) dz = (z a)(z b) a b f(b) b a omentário: Procure usar os teoremas de auchy e o método das frações parciais. ATIV..2. Mostre que: o círculo z = 2. z (4 z 2 )(z i) dz = 2π 5 onde; é omentário: Use os teoremas de auchy e verifique quais z 0 dos 130

19 Variáveis omplexas fatores da forma z z 0 do denominador do integrando pertencem ao interior do círculo z = 2. LEITURA OMPLEMENTAR SPIEGEL, Murray R., Variáveis omplexas, oleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, SOARES, Márcio G., álculo em uma Variável omplexa, oleção Matemática Universitária, Editora SBM, BROWN, James W. and HURHILL, Ruel R., omplex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 200. FERNANDEZ, ecília S. e BERNARDES Jr, Nilson. Introdução às Funções de uma Variável omplexa. Editora SBM,