Funções Elementares do Cálculo Complexos 1

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1 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 META: Definir algumas funções elementares no campo dos complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir algumas funções elementares no campo dos complexos e provar algumas de suas propriedades. PRÉ-REQUISITOS Aula 01 de Variáveis Complexas.

2 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1.1 Introdução Caros alunos iniciaremos o estudo de algumas funções de variáveis complexas. Estenderemos, nesta aula, as definições das funções exponencial e logaritmo ao domínio dos números complexos e estudaremos algumas de suas propriedades..2 Função Exponencial Se uma função f( ) de variável complexa z = x+uı se reduzirá, no campo dos reais, a velha e conhecida função exponencial devemos exigir que: f(x + 0ı) = e x para todo real x. Com isto em mente vamos à definição. Definição.1. Para todo z C a função exponencial calculada no ponto z = x + yı, denotada exp(z) é definida por: exp(z) def = e x (cos(y) + sin(y)ı) (.2) OBS.1. Claramente a definição acima concorda com o que esperamos inicialmente da função exponencial pois, exp(x + 0ı) def = e x (cos(0) + sin(0)ı) = e x. As partes real e imaginária da função exponencial são: u(x, y) = e x cos(y) v(x, y) = e x sin(y) (.3) Daí, derivando eqn e eqn com relação a x e com 70

3 relação a y temos: Variáveis Complexas x = ex cos(y) y = ex sin(y) x = ex sin(y) y = ex cos(y) Das equações eqn 6.6 podemos verificar facilmente que: x = y y = x (.4) (.) Logo as equações de Cauchy-Riemman são satisfeitas. E da continuidade das derivadas das equações eqn 6.6 temos que a função exponencial exp( ) é holomorfa. OBS.2. Como e x esta definida x R e cos(y) e sin(y) estão definidas y R temos que exp(z) está definida z C i.e. Dom(exp) = C. Por outro lado, como Img(e x cos(y)) = R e Img(e x sin(y)) = R poderíamos pensar que a imagem da função exponencial seria todo o plano complexo. Porém, como e x > 0, x R e as funções cos(y) e sin(y) não se anulam ao mesmo tempo em nenhum y R temos que exp(z) 0, z C. Daí, Img(exp) = C..3 Propriedades da Função Exponencial Listaremos, aqui, algumas das propriedades da função exponencial no campo dos complexos. Algumas das propriedades da função exponencial no campo dos reais valem para o campo dos complexos. Adicionalmente, teremos algumas outras propriedades da função 71

4 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 y +π π x Figura.1: Domínio da função exponencial exponencial que valem apenas no campo dos complexos (a exemplo da periodicidade). z 1, z 2 C, exp(z 1 + z 2 ) = exp(z 1 ) exp(z 2 ) z C, exp( z) = 1 exp(z) k Z, z C, exp(kz) = (exp(z)) k z C, exp( z) = exp(z) z C, exp(z + 2πı) = exp(z) OBS.3. A última propriedade vale apenas no campo dos complexos e nos diz que a função exponencial é periódica de período imaginário 2πı. Com isso a função exponencial no campo dos complexos é uma função multiforme. Em outras palavras uma função não injetora. Para recuperar o caráter injetor podemos restringir o domínio de definição da função exponencial à faixa Dom(exp(z)) = R [ π, +π) (ver figura.1). Quanto a imagem continua a mesma Img(exp(z)) = C i.e. todo o plano complexo exceto a origem. Faremos aqui a demonstração de apenas uma das propriedades da função exponencial. A saber: 72

5 Variáveis Complexas Demonstração da Primeira Propriedade: Sejam z 1, z 2 C dados por: z 1 = x 1 + y 1 ı e z 2 = x 2 + y 2 ı. Daí, temos: exp(z 1 ) exp(z 2 ) = e x 1 (cos(y 1 ) + sin(y 1 )ı)e x 2 (cos(y 2 ) + sin(y 2 )ı) = e x 1+x 2 (cos(y 1 ) cos(y 2 ) + sin(y 1 ) cos(y 2 )ı + sin(y 2 ) cos(y 1 )ı sin(y 1 ) sin(y 2 )) = e x 1+x 2 (cos(y 1 ) cos(y 2 ) sin(y 1 ) sin(y 2 ) + (sin(y 1 ) cos(y 2 ) + sin(y 2 ) cos(y 1 ))ı) = e x 1+x 2 (cos(y 1 + y 2 ) + sin(y 1 + y 2 )ı) = exp(z 1 + z 2 ) OBS.4. Para um z C puramente real z = x + 0ı temos: exp(z) = exp(x + 0ı) = e x (cos(0) + sin(0)ı) = e x Como potência de base e as propriedades da função exponencial não entram em conflito com as propriedades usuais das potências. E para um z C puramente imaginário z = 0 + yı temos: exp(z) = exp(0 + yı) = e 0 (cos(y) + sin(y)ı) = cos(y) + sin(y)ı Desta forma podemos introduzir a notação devida a Eüler: exp(yı) = e yı = cos(y) + sin(y)ı e teremos um nova forma de escrever um número complexo. Senão vejamos: Dado z C, z = x + yı em sua forma polar z = r(cos(θ) + sin(θ)ı). Tomaremos a = ln(r) e podemos escrever o número complexo z de diversas formas. A saber: z = x + yı = r(cos(θ) + sin(θ)ı) = re θı = e a+θı 73

6 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1.4 Derivada da Função Exponencial Do exposto na seção anterior, sabemos que a função exponencial exp( ) é holomorfa z C e portanto sua derivada pode ser dada por: exp (z) = exp(x + yı) x = x (ex cos(θ) + e x sin(θ)ı) = e x cos(θ) + e x sin(θ)ı (.6) = exp(x + yı) = exp(z) OBS.. Vemos pois que a função exponencial no campo dos complexos tem a mesma derivada que a função exponencial no campo dos reais i.e. exp (z) = exp(z).. Função Logaritmo O fato da função exponencial ser periódica de período imaginário 2πı transforma-se em um problema ao se definir a função logaritmo como a inversa da função exponencial pois tira da função exponencial a propriedade de função injetora que a função exponencial no campo dos reais tem. Definição.2. Definimos a função logaritmo em um ponto z C, z = re θı, r [0, ) e θ [ π, +π), por: log(z) def = ln(r) + (θ + 2kπ)ı, k Z (.7) A função logaritmo assim definida é uma função multiforme com infinitos valores associados a cada ponto z C. Cada valor de k 74

7 Variáveis Complexas Z corresponde a um ramo da função logaritmo. O ramo principal corresponde a k = 0 i.e. log(z) def = ln(r) + θı (.8) OBS.6. Vemos então que a função logaritmo restrita a cada ramo é uma função injetora. Em particular o ramo principal Propriedades da Função Logaritmo Listaremos, aqui, algumas das propriedades da função logaritmo no campo dos complexos. Algumas das propriedades da função logaritmo no campo dos reais valem para o campo dos complexos. z 1, z 2 C, log(z 1.z 2 ) = log(z 1 ) + log(z 2 ) ( ) z 1, z 2 C z1, log = log(z 1 ) log(z 2 ) z 2 z C, exp(log(z)) = z Faremos aqui a demonstração de apenas uma das propriedades da função logaritmo. A saber: Demonstração da Primeira Propriedade: Sejam z 1, z 2 C dados por: z 1 = r 1 e θ1ı e z 2 = r 2 e θ2ı. Daí, temos: log(z 1.z 2 ) = log(r 1 e θ1ı.r 2 e θ2ı ) = log(r 1 r 2 e (θ 1+θ 2 )ı ) = ln(r 1 r 2 ) + (θ 1 + θ 2 + 2kπ)ı, k Z = ln(r 1 ) + ln(r 2 ) + (θ 1 + 2mπ) + (θ 2 + 2nπ)ı, m, n Z = (ln(r 1 ) + (θ 1 + 2mπ)) + (ln(r 2 ) + (θ 2 + 2nπ)ı), m, n Z = log(z 1 ) + log(z 2 ) 7

8 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 OBS.7. Na demonstração acima, a passagem do passo 3 para o passo 4 é justificada pois, para cada k Z podemos escrever k = m + n de infinitas maneiras. OBS.8. A propriedade 3 diz que a função logaritmo log( ) é a inversa à direita da função exponencial exp( ) porém, não é inversa à esquerda. Tomando z = x + yı temos: log(exp(z)) = log(e x.e yı ) = ln(e x ) + (y + 2kπ)ı, k Z = x + yı + 2kπ, k Z = z + 2kπ, k Z z devido ao caráter de função multivalorada do logaritmo definido por eqn 6.68 porém, se nos restringirmos ao ramo principal a função log( ) é também inversa à esquerda da função exponencial exp( )..7 Derivada da Função Logaritmo Antes de calcular a derivada da função logaritmo vejamos como reescrever a equações que determinam a derivada de uma função f( ) complexa em coordenadas polares, vista na aula anterior, pondo z = re θı. Da aula anterior se f(z) = f(r(cos(θ)+sin(θ)ı)) = u(r, θ) + v(r, θ)ı temos: = 1 r θ = 1 r θ 76

9 Variáveis Complexas para as equações de Cauchy-Riemann e ( f (z) = (cos( θ) + sin( θ)ı). = 1 (cos( θ) + sin( θ)ı). rı (r, θ) + ( θ ) (r, θ)ı ) (θ) + (r, θ)ı θ Para a derivada de f( ). Pondo z = re θı podemos reescrever as equações acima como: ( f (z) = e θı. = 1 ıre θı. ( θ (r, θ) + ) (r, θ)ı ) (θ) + (r, θ)ı θ As partes real e imaginária da função logaritmo são: u(r, θ) = ln(r) v(r, θ) = θ + 2kπ, k Z (.9) Daí, derivando eqn e eqn com relação a x e com relação a y temos: = 1 r θ = 0 = 0 θ = 1 Das equações eqn 6.71 podemos verificar facilmente que: u(r, θ) = ln(r) v(r, θ) = θ + 2kπ, k Z (.60) (.61) Logo as equações de Cauchy-Riemman são satisfeitas. E da continuidade das derivadas das equações eqn 6.71 temos que a função logaritmo log( ) é holomorfa. Quanto a derivada da função logaritmo com u(r, θ) = ln(r) e 77

10 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 v(r, θ) = θ + 2kπ, k Z temos: ( ln (z) = e θı. = e θı. = 1 r e θı = 1 re θı (r, θ) + (r, θ)ı ) ( ln(r) + (θ + 2kπ)ı ) (.62) = 1 z OBS.9. Vemos pois que a função logaritmo no campo dos complexos tem a mesma derivada que a função logaritmo no campo dos reais i.e. ln (z) = 1 z..8 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a função exponencial e a função logaritmo podem ser estendidas de modo intuitivo no domínio dos números complexos mantendo suas propriedades originais praticamente intactas. RESUMO No nosso resumo da Aula 0 constam os seguintes tópicos: Função Exponencial Definimos a função exponencial da seguinte forma: Definição: Para todo z C a função exponencial calculada no ponto z = x + yı, denotada exp(z) é definida por: exp(z) def = e x (cos(y) + sin(y)ı) 78

11 Variáveis Complexas Algumas Propriedades da Função Exponencial A função exponencial assim definida tem as seguintes propriedades: z 1, z 2 C, exp(z 1 + z 2 ) = exp(z 1 ) exp(z 2 ) z C, exp( z) = 1 exp(z) k Z, z C, exp(kz) = (exp(z)) k z C, exp( z) = exp(z) z C, exp(z + 2πı) = exp(z) Derivada da Função Exponencial A derivada da função exponencial exp( ) no campo dos complexos é dada por: Função Logaritmo exp (z) = exp(z) Definimos a função logaritmo da seguinte forma: Definição: Definimos a função logaritmo em um ponto z C, z = re θı, r [0, ) e θ [ π, +π), por: log(z) def = ln(r) + (θ + 2kπ)ı, k Z Algumas Propriedades da Função Logaritmo A função logaritmo assim definida tem as seguintes propriedades: z 1, z 2 C, log(z 1.z 2 ) = log(z 1 ) + log(z 2 ) ( ) z 1, z 2 C z1, log = log(z 1 ) log(z 2 ) z 2 79

12 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 z C, exp(log(z)) = z Derivada da Função Logaritmo A derivada da função logaritmo log( ) no campo dos complexos é dada por: log (z) = 1 z PRÓXIMA Em nossa próxima aula vamos continuaremos o estudo da extensão da definição de algumas funções do campo real para o campo complexo. Em particular as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV..1. Considere a função exponencial exp( ) no campo dos complexos e mostre que: k Z, z C, exp(kz) = (exp(z)) k Comentário: Use o princípio da indução. ATIV..2. Seja λ C e defina a função: z λ def = exp(λ log(z)), z C 80

13 Variáveis Complexas Mostre, que se tomarmos o ramo principal de log( ) a função assim definida é holomorfa e sua derivada é dada por: d dz zλ = λz λ 1 Comentário: Use a regra da cadeia. LEITURA COMPLEMENTAR SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM,