Lista 2 - Métodos Matemáticos II Respostas

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1 Lista - Métodos Matemáticos II Respostas Prof. Jorge Delgado Importante: As resoluções não pretendem ser completas mas apenas uma indicação para o aluno consultar caso seja necessário, cabendo a ele fornecer os detalhes dos raciocínios e os cálculos intermediários. 1. Verifique que qualquer ramo de ln z é analítica e sua derivada é 1 z. Seja ln z = ln z + i(θ + kπ), onde k Z é fixo, um ramo de ln z. As partes real e imaginária de ln z na representação polar, u(r, θ) = ln r e v(r, θ) = θ + kπ, são de classe 1 e satisfazem as equações de auchy-riemann em coordenadas polares: u θ = = r v r e v θ = 1 = r 1 r = r u r.. Verifique que duas funções v 1 (x, y) e v (x, y) que são harmônicas conjugadas de uma mesma função harmônica u(x, y) diferem por uma constante aditiva. f 1 = u+iv 1 e f = u+iv são analíticas. Logo, g = f 1 f = i(v 1 v ) é analítica e toma valores puramente imaginários. Em particular, a parte real e a parte imaginária v 1 v de g satisfazem as equações de auchy-riemann. Portanto, v 1 v = k é constante. 3. Seja f : E uma função analítica definida num aberto conexo E. Verifique que se f toma somente valores reais então f é constante. Se f (z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica e toma somente valores re- 1

2 Lista - Métodos Matemáticos II Respostas ais, então v(x, y). Logo, u x = v y = e u y = v x = implicam que u é constante em cada componente conexa do domínio. Sendo E conexo, f é constante. 4. alcule: π/6 e it dt; i 4. (b) 1 z. 5. Dados m, n Z verifique que (b) π 1 e imθ e inθ dθ = δ mn = π Para m = n a integral é igual a π. e zt dt, com Re z >. se m n 1 se m = n. Se m n então m < n ou m > n. Suponha por exemplo que m > n, então m = n + k, para algum inteiro k e π e imθ e inθ dθ = 6. alcule as integrais π calculando a integral e x cos x dx; π 1 + eπ ; (b) 1 + eπ. 7. alcule f (z), onde: e (1+i)x dx. π (b) e ikθ dθ =. π e x sen x dx, f (z) = z + ; é o semi-círculo de centro e raio no semi-plano z superior. 4 + πi. (b) f (z) = z + ; é o círculo de centro e raio. z

3 Lista - Métodos Matemáticos II Respostas 3 4πi. (c) f (z) = πe πz ; é o contorno do quadrado de vértices, 1, 1 + i e i orientado no sentido anti-horário. 4(e π 1). (d) f (z) = z 1+i = e ( 1+i) ln z, ( z >, < arg z < π); é o círculo unitário orientado positivamente. i(1 e π ). 8. Verifique que se f é uma função contínua definida num domínio contendo os círculos e de raio R > e centros e z, respectivamente, então: f (z) = f (z z ). Escreva as parametrizações das curvas. Desenvolva a integral do lado direito da igualdade segundo a definição. 9. Verifique que z = 4πi, sendo : r = θ sen, π θ 3π. 4 Sejam 1 e as curvas obtidas da curva com π θ π e π θ 3π, respectivamente. Tem-se que = 1 e j z = πi, j = 1,. 1. Seja o círculo de centro z e raio R orientado no sentido antihorário. Verifique que: = πi; z z (b) (z z ) n 1 =, (n = ±1, ±,...). Escreva as parametrizações das curvas. Desenvolva as integrais segundo a definição. 11. Seja o segmento de i a 1. Sem calcular a integral, verifique que:

4 Lista - Métodos Matemáticos II Respostas 4 z 4 4. (Indicação: o ponto médio do segmento é o ponto do segmento que está mais próximo da origem). Se z é um ponto do segmento, então z i 4 = 1 4. A integral é, portanto, menor ou igual a 1 4 vezes o comprimento do segmento. 1. Seja o círculo de centro na origem e raio R > 1 orientado positivamente. Sem calcular a integral, verifique que: Log z z < π (π + ln R). R onclúa que o valor da integral tende a zero quando R. Nota: Log z = ln z + iθ, π < θ < π é o ramo principal do Logaritmo complexo. Usando a desigualdade triangular, para z, vale Log z z π + ln R. R ln R Use L Hospital para verificar que lim R R = e o critério de comparação para concluir. 13. Usando primitivas, calcule as integrais ao longo de qualquer caminho que ligue os limites de integração. i/ i e πz ; (b) 1 + i π ; (b) e + 1 ; (c). e 14. Verifique que: 1 π+i cos z 3 ; (c) (z ) 3. 1 z i = π (1 i), 1 onde z i = e i Log z, com z >, π < Arg z < π, é o ramo principal, e onde o caminho de integração é qualquer curva ligando z = 1 com z = 1 que, com exceção dos pontos extremos, não intersecta o eixo real. Indicação: Use uma primitiva do ramo z i = e i ln z, z >, π < arg z < 3π.

5 Lista - Métodos Matemáticos II Respostas 5 Seja um caminho de 1 a 1 contido no semi-plano superior e tendo apenas suas extremidades no eixo real. O ramo principal de z i não está definido em z = 1, logo a sua primitiva não está definida em z = 1 e não pode ser usada para calcular a integral. Por essa razão o integrando se substitui pelo ramo z i = e i ln z, onde z > e π < arg z < 3π, que coincide com o integrando ao longo do caminho. Usando a primitiva desse ramo, 1 z i = 1 [ z i+1 i + i ] 1 1 = 1 [e (i+1)(ln 1+i) (i+1)(ln e 1+iπ)] i + 1 = = 1 + e π (1 i). 15. Aplique o teorema de auchy-goursat para calcular é o círculo unitário e: f (z) = z z 3 ; (b) f (z) = 1 z + z + ; (c) f (z) = tan z; (d) f (z) = Log(z + ). f (z) onde As funções dadas são analíticas em e no interior de (explique!) e, pelo teorema de auchy-goursat, as integrais são todas iguais a zero. 16. O objetivo deste exercício é usar a integração complexa para verificar o calculo da integral imprópria real: π e x cos(bx) dx = e b, (b > ). Seja R o caminho retangular de vértices a, a, a+ib e a+ib, com a, b >, orientado positivamente. Verifique que a soma das integrais de e z ao longo dos lados horizontais do retângulo R é igual a a a e x dx e b e x cos(bx) dx, e que a soma das integrais ao longo dos lados verticais do retângulo é igual a

6 Lista - Métodos Matemáticos II Respostas 6 ie a b e y e iay dy ie a b e y e iay dy. Use o teorema de auchy-goursat para concluir que: a a e x cos bx dx = e b e x dx + e (a +b ) e y sen ay dy. (b) Usando a integral conhecida (como é que se calcula essa integral?) π e x dx =, e a desigualdade (justifique!) b b e y sen ay dy e y dy, obtenha, passando ao limite quando a na última equação de, a identidade proposta. Integra-se e z ao longo do retângulo do enunciado. O lado inferior se parametriza por z = x, a x a. alculando, temos a e z = e x dx. a o lado superior é parametrizado por z = x + ib, a x a. alculando, temos a+ib a+ib a e z = e b a a e x (cos bx i sen bx) dx b = e b a e x cos bx dx. As outras integrais se calculam da mesma forma e, após aplicar o teorema de auchy-goursat (a integral de e z ao longo do retângulo é igual a zero) obtem-se a integral desejada. a a e x cos bx dx = e b (b) omo lim a b a e x dx = e x dx + e (a +b ) e x dx = b e y dy é limitada, obtemos a fórmula desejada. e y sen ay dy. π, lim a e (a +b ) =, e 17. Seja o bordo do semi-disco superior unitário orientado positiva-

7 Lista - Métodos Matemáticos II Respostas 7 mente e seja f (z) uma função contínua definida nesse semi-disco tomando f () = e usando o ramo da raiz quadrada com argumento entre π e 3π : f (z) = r e iθ/, para r > e π < θ < 3π. Verifique que f (z) = calculando separadamente a integral sobre o semi-círculo unitário superior e sobre os dois raios do eixo real que completam o bordo do semi-disco. auchy-goursat não se aplica neste caso? Porque o teorema de Sejam A o segmento de a 1, B o segmento de 1 a contidos no eixo real e o semi-círculo superior unitário. É claro que = A B. A função f definida no enunciado é contínua, logo integrável ao longo de. O teorema de auchy-goursat não se aplica porque f não é analítica em z = (de fato, note que sequer está definida no semi-eixo imaginário inferior). álculos diretos parametrizando A, B e dão: f (z) = f (z) + A = i (1 + i) =. 3 B f (z) + f (z) 18. Seja R a região no plano complexo delimitada por uma curva simples fechada. Verifique que Área R = 1 i Usando o teorema de Green, tem-se: ( ) ( z = x dx + y dy + i z. ) x dy y dx = i da. R