ANÁLISE MATEMÁTICA IV

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "ANÁLISE MATEMÁTICA IV"

Aurélio Bardini Azeredo
5 Há anos
Visualizações:

1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 2 ANÁLISE COMPLEXA Para cada um dos seguintes conjuntos Z C, esboce o conjunto dos seus logaritmos. W {w C : e w Z} a Z { C : Re > 0, Im > 0}; b Z R; c Z { C : e, arg 3}. 4 4 Resolução: Como, para 0, os logaritmos de são dados por os conjuntos W são da forma a Log ln + iarg + 2k, k Z, W {ln + iarg + 2k k Z e Z \ {0}}. W {ln + iarg + 2k : k Z, Re > 0 Im > 0 } {ln + iarg + 2k : k Z, > 0, arg ]0, /2[ } {x + i θ + 2k : k Z, x R, θ ]0, /2[ }. }{{} Portanto o esboço do conjunto W é: /2+4 4 /2+2 2 /2 0 x /2 2 2 /2 4 4

2 2 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 b Tendo em conta que 0 não pertence à imagem da exponencial, temos W {ln + iarg + 2k : k Z, R \ {0} } {ln + iarg + 2k : k Z, > 0, arg 0 ou arg } {x + i 2k : k Z, x R }. }{{} Portanto o esboço do conjunto W é: x c W {ln + iarg + 2k : k Z, e, { }{{} x +i θ + 2k : k Z, }{{} Portanto o esboço do conjunto W é: 4 arg 3 4 } 4 θ 3 4 }.

3 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 3,9/4,7/4,/4,9/4,3/4,/4 x, 5/4, 7/4, 3/4, 5/4 2 Calcule pela definição + 2 d, onde é a semicircunferência ou circunferência parametriada por: a 2e iθ, 0 θ ; b 2e iθ, θ 2; c 2e iθ, 0 θ 2. Resolução: a A parametriação θ 2e iθ tem derivada θ 2ie iθ. Portanto, pela definição de integral temos + 2 d d + 2 2e iθ 2ie iθ + 2i 2e iθ + 2i i 4 + 2i 2ie iθ dθ dθ

4 4 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 b Analogamente + 2 d d + 2 2e iθ 2ie iθ + 2i 2e iθ 2 + 2i i 4 + 2i 2ie iθ dθ dθ c Pela aditividade do integral em relação ao caminho de integração, o integral da aĺınea c é igual à soma dos integrais das aĺıneas a e b: + 2 d 4 + 2i i 4i 3 Seja a circunferência de raio centrada na origem percorrida uma ve no sentido positivo. Usando o teorema de Cauch e as fórmulas integrais de Cauch, calcule os seguintes integrais: a b c d d ; e d ; cos 2i 7 d ; sin 2 i 6 d. Resolução: a A função constante f é anaĺıtica em C, que é uma região simplesmente conexa. Portanto pelo teorema de Cauch, o integral de f ao longo de qualquer caminho fechado em C é 0. Em particular d 0

5 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 5 b f e é uma função anaĺıtica em C e é um caminho fechado simples contendo a origem e orientado no sentido positivo. Portanto pela fórmula de Cauch, e d f 0 d c A função f 2if0 2i cos 2i 7 é uma função anaĺıtica em C \ {2i}. Como 2i não pertence ao interior do contorno, a função é anaĺıtica numa região que contém o interior do contorno e portanto, pelo teorema de Cauch, cos 2i 7 d d Podemos escrever o integral na forma sin 2 i 6 d 2 6 fd 0 sin i 2 6 d Aplicando a fórmula integral de Cauch para a derivada de ordem 5 de uma função anaĺıtica à função f sin que é anaĺıtica em C e portanto numa região que contem o interior do caminho temos sin 2 i 6 d 2i 2 6 5! f 5 i 2 i cos i 2 i e 2 + e ei e 4 Determine a série de Talor em torno da origem de cada uma das seguintes funções, indicando o raio de convergência. a f ; b f e{ +2 ; cos se Re < c f 0 caso contrário. Resolução: a Para <, a função f é a soma da série geométrica de raão. Por unicidade do desenvolvimento em série de potências, concluímos que o desenvolvimento de Talor é f válido para <. O raio de convergência da série de Talor é. n

6 6 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 b Temos e +2 e 2 e e 2 sendo a última igualdade válida para todo o C. Por unicidade concluímos que o desenvolvimento de Talor em torno da origem é e 2 f n! n sendo o raio de convergência +. c O desenvolvimento de Talor de uma função num ponto depende apenas dos valores que a função toma numa viinhança desse ponto. Portanto o desenvolvimento de Talor de f na origem é o mesmo que o de cos. Ora n n! cos ei + e i 2 i n i n + 2 n! n! n 2n 2n! onde a última igualdade se deve ao cancelamento das potências ímpares de. Este desenvolvimento é válido para qualquer C porque o desenvolvimento da exponencial é válido para todo o C. Assim, o desenvolvimento de Talor de f em torno da origem é f n 2n 2n! e o raio de convergência desta série de potências é +. Comentário: Apesar de o desenvolvimento de Talor da aĺınea c convergir para todo o C, ele só representa a função f no disco aberto de raio centrado na origem, que é o maior disco aberto centrado na origem em que f é anaĺıtica. 5 Determine as séries de Laurent da função f válidas nas seguintes regiões: a 0 < < ; b > ; c 0 < < ; d >.

7 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 7 Resolução: a Temos n para 0 < < n n para 0 < < Por unicidade do desenvolvimento de Laurent, concluímos que o desenvolvimento de Laurent na região 0 < < é b Temos f n n 2 2 k2 k0 k para para > k < Por unicidade, concluímos que o desenvolvimento de Laurent na região > é f 2 n n c + n n para 0 < < n n para 0 < < n

8 8 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 d + k2 + k 2 k para < k0 k para > k Portanto o desnenvolvimento de Laurent para > é 2 n n n 6 Seja f a função definida por f sin 2. a Determine e classifique as singularidades de f. b Determine o desenvolvimento de f em série de Laurent válido para 0 < < 2. c Calcule o integral de f ao longo da circunferência de raio centrada na origem e percorrida uma ve no sentido positivo. d Determine o raio de convergência do desenvolvimento de f em série de potências de + 3, sem calcular os coeficientes desse desenvolvimento. Justifique! Resolução: a A função f tem singularidades nos pontos 0 e 2. No ponto 0 temos lim sin lim sin lim lim cos 2 sin 2 onde na segunda e terceira igualdades se aplicou a regra de l Hospital para resolver a indeterminação do limite. Uma ve que f tem limite quando 0 conclui-se que o ponto 0 é uma singularidade removível. Quanto ao ponto 2, temos Também conhecida por regra de Cauch lim f 2

9 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 9 logo o ponto não é uma singularidade removível. lim sin logo o ponto 2 é um pólo simples. b Temos sin k k +! para C \ {0, 2} k0 n 2k k +! para 0 < < 2 k n n 2 n+ + 2k para 0 < < 2 2k +! k a n n para 0 < < 2 onde a n n 2 n+ se n é par n 2 n+ + n+2! se n é ímpar c Seja a circunferência de raio percorrida uma ve no sentido positivo. A única singularidade de f no interior de é o ponto 0. Uma ve que esta é uma singularidade removível podemos prolongar f por continuidade ao ponto 0 obtendo uma função anaĺıtica no interior do contorno. Então pelo teorema de Cauch, concluímos que fd 0 d Seja R o raio de convergência do desenvolvimento em série de Talor de f no ponto 3. Pelo teorema sobre o desenvolvimento de funções analıticas em série de Talor sabemos que R é maior ou igual ao raio do maior disco centrado em 3 no qual f é anaĺıtica. Isto é, R é maior ou igual à distância de 3 à singularidade mais próxima, que é 2. Daqui concluímos que R. Por outro lado, a série de Talor converge para uma função anaĺıtica no interior do seu disco de convergência, que coincide com f para <. Ora vimos na aĺınea a que f quando 2. Portanto 2 não pode pertencer ao disco de convergência da série. Concluímos que R. Conclusão: o raio de convergência do desenvolvimento de f em série de potências de + 3 é R. Comentário: Para classificar a singularidade 0 na aĺınea a poder-se-ia ter utiliado o desenvolvimento de Laurent da função sin 2 no ponto 0 sin ! + 5 5!... 3! + 3 5!...

10 0 AMIV FICHA RESOLVIDA 2 Uma ve que o desenvolvimento de Laurent no ponto 0 não tem termos com potências negativas concluímos novamente que a singularidade é removível.

Documentos relacionados

ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em

ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualiação: //003 ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC RESOLUÇÃO DA FICHA 3 SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS