ANÁLISE MATEMÁTICA IV

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Ana Vitória Felícia Alcaide Palma
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1 ANÁLISE MATEMÁTICA IV (2 ō semestre 2006/07) LEC e LEGM Professor Responsvel: Maria João Borges mborges/amiv Sumários das Aulas Teóricas Aula 37: (05/06) Aula 36: (04/06) Continuação da aula anterior. Aplicações à equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann. Condições de fronteira não homogéneas. Aplicação à equação das ondas unidimensional. Equações diferenciais parciais. Resolução da equação do calor unidimensional com condições de fronteira de Dirichlet homogéneas.. Método de separação de variáveis. Aula 35: (01/06) Séries de Fourier: definição e convergência pontual. cosenos. Séries de Fourier de senos e de Aula 34: (29/05) Aula 33: (28/05) Aula 32: (25/05) Continuação da aula anterior. Equações diferenciais ordinárias lineares escalares de ordem n, com coeficientes constantes: cálculo de uma solução particular da equação não-homogénea. Fórmula da variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Equações diferenciais ordinárias lineares escalares de ordem n, com coeficientes constantes: reolução da equação homogénea. 1

2 Aula 31: (22/05) Aula 30: (21/05) Aula 29: (18/05) Aula 28: (15/05) Aula 27: (14/05) Aula 26: (11/05) Aula 25: (08/05) Equação vectorial não homogénea: fórmula de variação das constantes. Exemplo. Fórmula da variação das constantes para a equação vectorial linear de ordem 1. Equações diferenciais ordinárias lineares escalares de ordem n, com coeficientes constantes. Equivalência da equação a um sistema de ordem 1: matriz companheira, Continuação da aula anterior. Cálculo da exponencial de uma matriz. Caso não diagonalizável. Formas canónicas de Jordan. Método da variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Cálculo da exponencial de uma matriz. Caso diagonal e caso diagonalizável. Exemplo de uma matriz com valores prprios complexos. Equações vectoriais ordinárias lineares de ordem 1. Matriz solução fundamental. Equações vectoriais de coeficientes constantes. Exponencial de uma matriz (definição e rpopriedades). Solução do problema de valor inicial homogéneo para a equação de coeficientes constantes. Teorema de extensão de soluções. Comparação de soluções. Teorema de Picard-Lindelof. Existncia de solução de um problema de valor inicial de primeira ordem: Teorema de Peano. Unicidade de solução: Exemplo de um problema onde existe uma infinidade de soluções. Condição de Lipshitz. Aula 24: (07/05) Resolução de equações exactas. Equações redutíveis a exactas. Aula 23: (04/05) Aula 22: (30/04) Resolução de equações separáveis. Intervalo máximo de existência de solução. Exemplo de uma solução que explode (em tempo finito). Equações diferenciais. Notação e definições: Classificação das equações diferenciais. Solução de uma equação diferencial. Equa cões ordinárias de ordem 1. Resolução de equações lineares homogéneas e não homogéneas.. 2

3 Aula 21: (20/04) Aula 20: (17/04) Aula 19: (16/04) Aula 18: (13/04) Aula 17: (03/04) Aula 16: (02/04) Aula 15: (30/03) Aula 14: (27/03) Aula 13: (26/03) Aula 12: (23/03) Aula 11: (20/03) Revisões para o teste. Continuação da aula anterior. Integrais impróprios envolvendo funções seno e coseno. Lema de Jordan. Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais trigonométricos. Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios de funções racionais. Exemplos de aplicação do Teorema dos Resíduos. Singularidades essenciais. Exemplos. Teorema dos resíduos. Polos de ordem k.cálculo do resíduo de um polo de ordem k. Regra de Cauchy. Singularidades. Singularidades isoladas. Definição de resíduo de uma singularidade isolada. Singularidades removíveis. Demonstração do Teorema de Taylor. Séries de Laurent. Teorema de Laurent. Exemplos de séries de Laurent. Séries de potências. Teorema de Taylor e exemplos de séries de Taylor. Funções complexas definidas por séries. Convergência módulo, critério da razão e critério da raíz. Convergência uniforme. Critério de Weierstrass. Série geométrica. Aplicações da fórmula integral de Cauchy: Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra. Funções harmónicas. Relação entre funções analíticas e funções harmónicas: funções harmónicas conjugadas. 3

4 Aula 10: (19/03) Aula 9: (16/03) Aula 8: (13/03) Aula 7: (12/03) Aula 6: (09/03) Aula 5: (06/03) Aula 4: (05/03) Aula 3: (02/03) Continuação da aula anterior: Teorema de Cauchy generalizado (para funções analíticas em regiões multiplamente conexas)..fórmula integral de Cauchy. Derivadas de ordem superior: fórmula integral de Cauchy generalizada. Teorema de Cauchy. Consequências do Teorema de Cauchy: independência do caminho de integração. Noção de primitiva. Teorema Fundamental do Cálculo. Curvas em C: curvas regulares, simples, curvas de Jordan. Teorema da curva de Jordan. Integração de funções complexas de variável complexa: definição do integral de uma função complexa de variável complexa, ao longo de uma curva seccionalmente regular. Propriedades elementares do integral (linearidade, aditividade, simetria). Majoração de integrais. Integrais de funções analíticas ao longo de curvas fechadas. Exemplos importantes de funções analíticas: funções polinomiais, exponencial, trigonométricas e hiperbólicas. Analiticidade das funções logaritmo. Curvas no plano complexo. Condição suficiente para a existência de derivada de uma função complexa de variável complexa. Definição de função analítica (ou holomorfa). Propriedades elementares das funes analíticas; regras de derivação. Continuidade; propriedades elementares das funções contínuas. Definição de derivada de uma função complexa de variável complexa. Condição necessária para a existência de derivada de uma função complexa de variável complexa: equações de Cauchy-Riemann. Funções trigonométricas e Funções hiperbólicas: definição e propriedades. Logaritmo complexo. Ramos da função logaritmo e valor principal. Ramos da função potência e valor principal. Funções complexas de variável complexa. Definição de limite e propriedades algébricas de limites. Raízes de um número complexo. complexo. Representação geométrica das raízes de um número Fórmula de Euler. Exponencial Complexa; definição e propriedades. 4

5 Aula 2: (27/02) Aula 1: (26/02) Conclusão da aula anterior. Representação geométrica dos números complexos. Números complexos na forma polar. Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmula de Moivre. Apresentação. Estrutura algébrica do corpo dos números complexos. 5

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