FÍSICA-MATEMÁTICA RUDI GAELZER (INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS)

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1 FÍSICA-MATEMÁTICA RUDI GAELZER (INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS) Apostila preparada para as disciplinas de Física- Matemática ministradas para os Cursos de Bacharelado em Física do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre - RS. Início: MAIO DE 2006 Impresso: 4 de março de 2018

2 Apostila escrita com: PROCESSADOR DE DOCUMENTOS LYX Referências bibliográficas: SISTEMA biblatex

3 SUMÁRIO 1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais Coordenadas curvilíneas Coordenadas curvilíneas ortogonais Análise vetorial em sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais Álgebra vetorial Integrais de caminho, de superfície e de volume Operadores vetoriais diferenciais Gradiente Divergente e laplaciano Rotacional Sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais Coordenadas polares cilíndricas Coordenadas polares esféricas Coordenadas elípticas cilíndricas Linhas de força e superfícies equipotenciais Linhas de força de um campo vetorial Referências Funções de Uma Variável Complexa Números e variáveis complexos Representações vetorial e polar Fórmula de Euler Álgebra de números complexos Fórmula de Moivre Raízes de números complexos Funções de uma variável complexa Transformações ou mapeamentos Pontos de ramificação, linhas de ramificação e superfícies de Riemann Exemplos de funções unívocas ou plurívocas O cálculo diferencial de funções de uma variável complexa Limite de uma função complexa Continuidade Derivadas de funções complexas As condições de Cauchy-Riemann Funções analíticas Funções harmônicas Pontos singulares Integração no plano complexo Integrais de caminho no plano complexo Propriedades matemáticas das integrais de linha Tipos de curvas e domínios no plano complexo Tipos de curvas no plano complexo Domínios simplesmente ou multiplamente conexos Convenção para o percurso de um contorno fechado O teorema de Cauchy-Goursat i

4 ii O teorema de Green no plano O teorema de Cauchy-Goursat Fórmulas integrais de Cauchy Representação em séries de funções analíticas Séries complexas Convergência da série Convergência absoluta Convergência uniforme Testes de convergência Testes de convergência absoluta Teste de convergência uniforme Séries de potências e séries de Taylor Séries de Taylor de funções elementares Séries de Laurent Teoremas de existência e unicidade Algumas técnicas de construção de séries de Taylor e Laurent Séries de Laurent de funções elementares Classificação de singularidades Polos Singularidades essenciais Singularidades removíveis Integração no plano complexo pelo método dos resíduos Resíduos Teorema dos resíduos Cálculo de resíduos Primeiro método: direto da definição Segundo método: polos de ordem m em z = z Terceiro método: resíduo de uma função racional Quarto método: pelo desevolvimento em série de Laurent Cálculo de integrais definidas ou impróprias Integrais do tipo I: funções racionais Integrais do tipo II: funções racionais de funções trigonométricas Integrais do tipo III: integrais de Fourier Integrais do tipo IV: integrando com polos no eixo real Integrais do tipo V: integração ao longo de linhas de ramificação Outros tipos de integrais Continuação analítica Referências Teoria de Grupos Abstratos Definições e classificações iniciais Exemplos de grupos Grupos infinitos discretos Grupos contínuos compactos Grupos contínuos não compactos Grupos finitos Grupos finitos Tabela de multiplicação de grupo Grupo cíclico C n Grupo simétrico S n Verificação dos axiomas de grupo Notação de ciclos Subgrupos, classes laterais e classes de conjugação Subgrupos Classes laterais e o teorema de Lagrange Classes de conjugação Subgrupos invariantes e grupo fator Grupos de simetria Grupos cristalográficos pontuais

5 3.4.2 Projeções estereográficas Grupos cristalográficos espaciais Produto direto de grupos Mapeamentos entre grupos Funções e mapeamentos Mapeamento entre grupos e homomorfismo Estruturas algébricas Estruturas compostas por um conjunto com operações Estruturas do tipo grupo Estruturas do tipo anel Estruturas do tipo Módulo Estruturas do tipo álgebra Referências Espaços Vetoriais Espaço vetorial Subespaços vetoriais e subespaços complementares Subespaço soma Subespaços complementares Bases de um espaço vetorial Mapeamentos entre espaços vetoriais Subespaços invariantes Espaço vetorial normado Espaço com produto interno Espaço real com produto interno Espaço complexo com produto interno Norma de um vetor induzida pelo produto interno Bases ortonormais em espaços normados com produto interno Operadores lineares em espaços com produto interno Elementos de espaços métricos e topologia Espaço vetorial métrico Espaço vetorial métrico com norma Espaço de Banach Espaço vetorial dual Espaço de Hilbert Espaço afim Referências Teoria de Representações de Grupos Primeiras definições e representações Vetores e funções de base e representações regulares Representação natural Representações de grupos de transformações lineares Espaços vetoriais e operadores na mecânica quântica Espaços vetoriais e suas representações Representações equivalentes e caracteres Soma e produto diretos de matrizes e representações Soma direta de matrizes Soma direta de representações Produto direto de matrizes Produto direto de representações Representações redutíveis ou irredutíveis Teoremas fundamentais sobre representações de grupos e caracteres Teoremas sobre representações Interpretação do teorema da ortogonalidade Teoremas sobre caracteres Interpretação do teorema da ortogonalidade dos caracteres Decomposição de uma representação em irreps Construção de uma tabela de caracteres Bases simetrizadas para representações irredutíveis iii

6 iv 5.8 Bases para representações de grupos de produto direto Redução da representação do produto direto Bases para representações de produtos diretos Representação de um grupo produto direto Aplicações físicas da teoria de representações de grupo Isomorfismo entre transformações sobre sistemas físicos e transformações sobre espaços funcionais O grupo do Hamiltoniano Degenerescência normal ou acidental Representações de P H Teoria de grupos e bons números quânticos Grupos Abelianos e o teorema de Bloch Grupos cíclicos O teorema de Bloch Funções de base para representações irredutíveis Perturbações, regras de seleção e simetria Perturbações sobre autoestados O teorema dos elementos de matriz e regras de seleção Referências Álgebra e Análise Tensoriais Introdução e definições Convenção de soma de índices e símbolos auxiliares Símbolos auxiliares: Kronecker e Levi-Civita Propriedades de transformação de escalares, vetores e tensores Rotações Transformações de paridade ou reflexões Reversão temporal Tensores Cartesianos Espaços funcionais Tensores Cartesianos de postos zero e um Tensores Cartesianos de posto dois ou superior Álgebra tensorial Adição de tensores Simetria e antissimetria Tensores hermitianos ou anti-hermitianos Produto externo de tensores Produto externo de dois tensores Diádicas Gradiente de um vetor Produto externo em geral Contração Produto interno Produtos com diádicas Regra do quociente Composição de transformações, rotações infinitesimais e tensores isotrópicos Composição de transformações Rotações infinitesimais Tensores isotrópicos Rotações impróprias, pseudotensores e tensores duais Rotações impróprias e pseudotensores Tensores duais Tensores irredutíveis Tensores generalizados Coordenadas curvilíneas generalizadas O espaço de Riemann e o tensor de métrica Operação de elevação ou rebaixamento de índice Elementos infinitesimais de arco e volume Transformações generalizadas de coordenadas e tensores generalizados

7 6.9 Tensores relativos Derivadas dos vetores de base e os símbolos de Christoffel Diferenciação covariante Operadores vetoriais na forma tensorial Gradiente de campo escalar Divergente de campo vetorial Laplaciano de um campo escalar Rotacional de um campo vetorial Diferenciação absoluta e curvas geodésicas Diferenciação absoluta ou intrínseca Curvas Geodésicas Transporte paralelo de campos vetoriais Os tensores de Riemann, Ricci e Einstein O tensor de curvatura de Riemann-Christoffel Propriedades do tensor de curvatura O tensor de Ricci O tensor de Einstein e as equações do campo gravitacional Aplicações físicas A transformação de Lorentz, o espaço-tempo de Minkowski e a formulação covariante do eletromagnetismo clássico A situação anterior a A transformação de Galileu Equações de Maxwell e a transformação de Galileu A transformação de Lorentz e os princípios da relatividade restrita O espaço-tempo de Minkowski e os quadrivetores Formulação covariante do eletromagnetismo clássico A métrica de Schwarzschild Derivação do tensor de métrica Consequências e aplicações da métrica de Schwarzschild Referências A Distribuições e a Função Delta de Dirac 303 A.1 Definição de Distribuições A.1.1 Definição operacional de distribuição A Exemplos A.1.2 Propriedades de distribuições A Combinação linear de distribuições A Produto de duas distribuições A Séries e integrais de distribuições A Derivadas de distribuições A.2 Propriedades da Função δ A.2.1 Definição da δ A.2.2 Representações da δ(x x 0 ) como o limite de um operador integral A.2.3 Principais propriedades A.2.4 Derivadas da δ(x) A.2.5 Deltas de Dirac em mais de uma dimensão Referências v

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