pelo sistema de coordenadas Cartesianas. Podemos utilizar também o sistema de coordenadas

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1 A. Coordenadas Curvilineares. Teorema de Gauss em coordenadas curvilineares Para especificar a posição, utilizamos a base e x, e y, e z e x r = y z pelo sistema de coordenadas Cartesianas. Podemos utilizar também o sistema de coordenadas esfericas, r = r e r, onde e introduzimos os dois vetores sin θ cos φ e r = sin θ sin φ cos θ e θ = e r θ = e φ = e r sin θ φ = cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ 0 Podemos verificar facilmente que os tres vetores, { e r, e θ, e φ } formam uma base ortonormal e expressamos o vetor de deslocamento d r por d r = dr e r + rdθ e θ + r sin θ dφ e φ. Usando o fato que { e r, e θ, e φ } é uma base ortonormal, temos d r 2 = dr e r + rdθ e θ + r sin θ dφ e φ 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2.

2 Da Eq., podemos definir 3 vetores, ξ r = e r, ξ θ = r e θ, ξ φ = r sin θ e φ, que são ortogonais, e a distância física associada a variação de parametros de coordenadas, r, θ, φ é dada por ds 2 = d r 2 = dr 2 ξ 2 r + dθ 2 ξ 2 θ + dφ 2 ξ 2 φ. 2 que mostra que os tres vetores ortogonais, drξ r, dθξ θ, dφξ φ são usados para medir a distância física em termos de teorema de Pitágoras, ou seja, a geometria Euclidiana. Podemos expressar o deslocamento associada ao pequeno deslocamento d r, podemos utilizar ξr, ξ θ, ξ } { φ como base, d r = drξ r + dθξ θ + dφξ φ. 3 Importante! Os novos coordenadas, r, θ, φ não tem mesma dimensão. Consequentemente, na expressão acima, os vetores ξ r, ξ θ, ξ φ não tem mesma dimensão. Isto implica que se utlizamos a base { ξr, ξ θ, ξ φ }, precisamos tomar cuidado para definir o produto escalar, pois o produto escalar é utlizado a distância. Vamos generalizar a discussão aqui para outros sistemas de coordenadas não cartesianos. Consideramos uma transformação de variáveis, x = x u, u 2, u 3, y = y u, u 2, u 3, z = z u, u 2, u 3. Os novos parâmetros, u, u 2, u 3 servem como coordenadas para idenficar a posição, desde que a correspondência x, y, z u, u 2, u 3 é univoca em quase todos os pontos. 2

3 { } Da Eq.3, podemos expressar os 3 vetores, ξi, i =, 2, 3 por ξ i = r u i, i =, 2, 3. Eles não são normalizados e nem tem necessariamente mesma dimensão. Introduzimos 3 vetores normalizados, { e i, i =, 2, 3} por tal que e i é normalizado, Chamamos Temos e i = ξ ξi, i e i =. h i = ξ i = r u i. d r = du h e + du 2 h 2 e 2 + du 3 h 3 e 3, 4 Em geral, h i depende da posição, ou seja, eles são funções de variáveis, u, u 2, u 3. No caso u, u 2, u 3 r, θ, φ, vimos que h =, h 2 = r, h 3 = r sin θ. e ξ r = h e, ξ θ = h 2 e 2, ξ φ = h 3 e 3. Mas para uma transformação mais geral, a ortogonalidade de { e i } não é garantida. Um sistema de coordenadas u, u 2, u 3 é dito sistema de coordenadas ortogonais, quando satisfaz e i e j = δ ij. 3

4 Por simplicidade, daqui adiante, consideramos só os casos de coordenadas ortogonais. A Eq.4 mostra que para pequena mudança de parâmetros de coordenadas u i u i +du i, a posição física associada ao parâmetro desloca como d r i = du i ξi = du i h i e i. Assim, os tres vetores, d r, d r 2, d r 3 5 forma um paralelepipedo reto-retangulo bloco retangular, cujo o seu grande diagonal é dado por d r. O volume deste bloco é dado por dv = d r d r 2 d r 3 = h h 2 h 3 du du 2 du 3. No caso r, θ, φ, temos Note que o fator, dv = r 2 sin θ drdθdφ. r 2 sin θ é calculado também por Jacobiana, x/ r x/ θ x/ φ J = det y/ r y/ θ y/ φ. z/ r z/ θ z/ φ Podemos definir os elementos de superfíes do bloco, formado de {d r i } da Eq.5. Para 3 superfícies que contem a origem no r, d σ 2 = d r d r 2 = h h 2 h 3 d r 3, d σ 23 = d r 2 d r 3 = h 2h 3 h d r, d σ 3 = d r 3 d r = h 3h h 2 d r 2 ou na forma mais compacta, d σ ij = ɛ ijk h i h j h k d r k, 6 4

5 onde ɛ ijk = P i,j,k, = 0, outros é conhecido como símbolo de Levi-Civita. Acima, P i, j, k indica a paridade da permutação i, j, k. 2. Componentes de um vetor no sistema de coordenadas curvilineares Se utilizamos um novo sistema de coordenadas, é necessário definir os componentes de um vetor. Naturalmente podemos definir os componentes de um vetor A no novo sistema através de projeções para cada vetores de base. Mas como os vetores de base não necessariamente normalizados, não fica trivial como definir a projeção. Por exemplo, sera que devemos definir o componente i de A, por A i = e i A, 7 ou A i = ξ i A? 8 Na verdade, essa é questão de opção, desde que as contas posteriores sejam feitas consistentemente. Mas existem uma melhor definição do que que outras. No caso, é interessante manter as fórmulas obtidas no sistema de coordenadas cartesianas mais análoga possível. Por exemplo, consideramos a integral de linha ao longo de um contorno C, I [C] = d r A. 9 C Sabemos que d r = 3 du iξi, 0 i= 5

6 { } Agora, na base ξ s, se associamos vetores, ξ 0, 0 0 ξ 2, 0 0 ξ 3 0 podemos escrever du d r du 2. du 3 IMPORTANTE! Note que na expressão acima, os componentes não representam os componentes dos eixos X, Y, Z,mas ξ s { }. Por outro lado, da 9, temos I [C] = C i ξi A du i. Se introduzimos o vetor linha, onde A A 2 A 3, A i = ξi A 2 temos du I [C] = A A 2 A 3 du C 2 du 3 3 6

7 com regra normal de produtos maticiais. Assim, poderiamos considerar que o vetor coluna A A A 2 A 3 errado!. corresponderia o vetor A { } na base ξ s. Mas como vemos abaixo, isto não é correto. { Isto porque os vetores base ξ s} não são normalizados. Assim, temos que cuidado de formular o produto escalar entre dois vetores. Se expressamos dois vetores A e B na base { ξ s}, e A = B = A A 2 A 3 B B 2 B 3, o produto escalar já NÃO é dado por A B A A 2 A 3 B B 2 B 3 = i A i B i mas temos considerar corretamente a normalização dos vetores ξ s. Para ver isto, escrevemos o vetor A por A = A ξ + A 2 ξ2 + A 3 ξ3, 4 e outro vetor B, B = B ξ + B 2 ξ2 + B 3 ξ3. 7

8 O produto escalar entre dois tem que ser calculado por B A = B ξ + B 2ξ2 + B 3ξ3 A ξ + A 2ξ2 + A 3ξ3 = A B h 2 + A 2 B 2 h A 3 B 3 h 2 3 h = B B 2 B 3 0 h h 2 3 A A 2 A 3. scalarmetric Como se ver da expressão acima, o produto escalar entre dois vetores coluna, não pode ser feito como mas Aqui, a matriz B A B A = correto! A A 2 A 3 = errado! B B 2 B 3, B B 2 B 3 T B B 2 B 3, T A A 2 A 3, h h h 2 3 h ĝ = 0 h h 2 3 é chamada o tensor métrico. Note que o Jacobinano do elemento de volume J é relacionado com essa matriz como J = det ĝ. Para ser sistematico, podemos introduzir uma notação para distinguir dois vetores coluna e linha. Para um vetor coluna, A A A 2 A 3 A A 2 A 3, 5 8

9 introduzimos o vetor linha associado a A por, A A T ĝ h = A A 2 A 3 0 h h 2 3 = h 2A h 22A 2 h 23A de tal forma que podemos escrever o produto escalar entre dois vetores A e B como A B = B A = B B 2 B 3 ĝ O vetor linha A é chamado o vetor adjunto do vetor A.[? ] Voltando na Eq.3, sabemos que o integrando tem que ser igual ao produto escalar, du A A 2 A 3 du 2 = A d r du 3 mas como vimos, um produto escalar tem que ter a forma, Assim, identificamos que A d r = A d r, A A 2 A 3 du = A A 2 A 3 ĝ du 2. du 3 É interessante verificar que, se expressamos A na base { ξ is. h 2 i A i = A i = ξi A. 8 }, A = i A i ξi, e tomando o produto escalar com ξ i, temos A ξi = A ξi i ξ i = ξi 2 A i 9

10 que é exatamente a Eq.8. h 2 i A i = ξi A. O vetor coluna 5 é chamado o vetor contravariante, enquanto o vetor linha, 7 é chamado vetor covariante. O produto escalar sempre tem que ser feito entre um vetor contravariante e um vetor covariante. Vamos explicitar o exemplo para o caso de coordenadas sphericas. Escrevemos qualquer vetor A { como sendo a combinação linear de ξr, ξ θ, ξ } φ, A = A r ξr + A θ ξθ + A φ ξφ, e Já que na base cartesiana, temos, A = A r A θ A φ A = A x e x + A y e y + A z e z, temos ξ ra 2 r = A ξr x e x + A ξr y e y + A z ξr e z, A r = A x sin θ cos φ + A y sin θ sin φ + A z cos θ, ξ θ 2 A θ = A ξθ x e x + A ξθ y e y + A z ξθ e z, r A θ = A x cos θ cos φ + A y cos θ sin φ A z sin θ, ξ φ 2 A φ = A ξφ x e x + A ξφ y e y r sin θ A θ = A x sin φ + A y cos φ, Exercício: Expresse A x, A y, A z em termos de A r, A θ, A φ. + A z ξφ e z, Resposta: A x = A r e x ξ r + A θ e x ξ θ + A φ e x ξ φ = A r sin θ cos θ + A θ r cos θ cos θ + A φ r sin θ sin φ, 0

11 A y = A r e y ξ r + A θ e y ξ θ + A φ e y ξ φ = A r sin θ sin φ + A θ r cos θ sin φ + A φ r sin θ cos φ, A z = A r e z ξ r + A θ e z ξ θ + A φ e z ξ φ = A r cos θ A θ r sin θ Temos e podemos verificar que A A = A = A r r 2 A θ r 2 sin 2 θ A φ, A r r 2 A θ r 2 sin 2 θ A φ A r A θ A φ = A 2 r + r 2 A 2 θ + r 2 sin 2 θa 2 φ = A x sin θ cos φ + A y sin θ sin φ + A z cos θ 2 + A x cos θ cos φ + A y cos θ sin φ A z sin θ 2 + A x sin φ + A y cos φ 2 = A 2 x + A 2 y + A 2 z = A A. B. Gradiente, Divergência e Rotacional em coordenadas curvilineares a. Gradiente Escolhemos que o campo vetorial A é a gradiente de uma função escalar. A = f. Queremos calcular os componentes desse vetor na base componentes do vetor covariante, A = f são dado por f i = ξi f. { ξi }. Da Eq.8, vimos que os Mas pela definição de ξ i, ξ i = r u i,

12 portanto r f i = f u i = x k u i x k k =. u i Assim, o vetor adjunto do f { } na base ξ fica. f =,,. u u 2 u 3 Consequentemente concluimos que o vetor contravariante é dado por f = No sistema de coordenadas esfericas, temos h 2 h 2 2 h 2 3 f r = r, u u2 u 3 f θ = r 2 θ, f φ = r 2 sin 2 θ. φ. Podemos verificar que o produto escalar entre d r e f fica d r f = du, du 2, du 3 ĝ h 2 h 2 2 h 2 3 u u 2 u 3 = du u + du 2 u 2 + du 3 u 3, que é nada mais que a diferencial total df da função f associado a deslocamento d r. Podemos verificar também no sistema de coordenadas cartesianas, df = d r f = dx + dy x y + dz z, o que mostra que o produto escalar d r f = df é invariante na sua forma para a transformação de coordenadas, como é esperado. 2

13 O môdulo de gradiente, f 2 = f = = f,, u u 2 u 3 h 2 h 2 2 u u2 h 2 3 u h u h 2 u 2. Podemos verificar facilmente que a expressão acima fica igual a 2 2 f = + x Exercício: Prove que a Eq.9 é igual a y 2 9 h 3 u z. Divergente O divergente de um vetor no sistema cartesiano é definido como A = A x x + A y y + A z z. Queremos expressar essa quantidade em termos de {A, A 2, A 3 } e seus derivadas em u, u 2 e u 3. Em princípio, podemos calcular explicitamente usando definições de {A, A 2, A 3 } e regra de cadeias, mas o cálculo pode ser um pouco longo. A forma mais elegante é utilizar o teorema de Gauss que vale para um campo vetorial A, dv A = d σ A. 2 Consideramos um bloco retangular entre r, e r + d r. Neste caso, temos para o lado esquerdo, dv A = A h h 2 h 3 du du 2 du 3, 22 3

14 e o lado direito, somando contribuições das todas as 6 superfícies d σ A = d σ 2 u 3 + du 3 A 3 u 3 + du 3 d σ 2 u 3 A 3 u 3 + d σ 23 u + du A u + du d σ 23 u A u + d σ 3 u 2 + du 2 A 2 u 2 + du 2 d σ 3 u 2 A 2 u 2 { } = du du 2 h h 2 h 3 A 3 u3 +du 3 h h 2 h 3 A 3 u3 + du 2 du 3 { h h 2 h 3 A u +du h h 2 h 3 A u } { } + du 3 du h h 2 h 3 A 2 u2 +du 2 h h 2 h 3 A 2 u2 h h 2 h 3 A 3 = du du 2 du 3 + h h 2 h 3 A 3 h h 2 h 3 A 3, 23 u 3 u 3 u 3 onde foi utilizada a expressão de elemento de superfície, Eq.6 e a definição de produto escalar. Substituindo essas expressões na Eq.2, temos A = h h 2 h 3 h h 2 h 3 A 3 + h h 2 h 3 A 3 h h 2 h 3 A u 3 u 3 u 3 Utilizando o Jacobiano, a divergência pode ser escrita como A = [ JA + JA 2 + ] JA 3, 25 J u u 2 u 3 onde J = det ĝ a. Laplaciano Para uma função escalar f no espaço, frequentemente aparece a quantidade equivalente a segunda derivada no caso de unidimensional, ou seja, a divergência de gradiente. f Esta quantidade é espressa como 2 f = f e o operador diferencial de segunda ordem, 2 é chamado Laplaciano. Já que /h 2 / u f = /h 2 2 / u 2, /h 2 3 / u 3 4

15 { } na base ξ s, usando Eq.25 temos 2 f = h h 2 h 3 u h2 h 3 h u No caso de coordenadas esfericas, fica 2 f = r 2 r 2 r r + h h 2 h 3 + r 2 sin θ h3 h u 2 h 2 u 2 sin θ + θ θ + h h 2 h 3 2 f r 2 sin 2 θ 2 φ. h h 2 u 3 h 3 u Rotacional O rotacional de um vetor no coordenada cartesiana é definido como A y A z z A y = z A x x A z. x A y y A x Também podemos calcular diretamente os componentes deste vetor na base { ξi }, mas o calculo fica longo. Podemos utilizar o teorema de Stokes para calcular o rotacional. O teorema de Stokes afirma que para qualquer curva fechada C, vale d r A = A d σ C S onde S é a área cercada do contorno C. Podemos aplicar esse teorema para cada elemento de superfície, d σ 2, d σ 23, d σ 3 separadamente. Para d σ 2, o lado direito acima fica A d σ = A d σ 2 S = h 2 3 A h h 2 du du 2 3 h 3 = h h 2 h 3 A 3 e o lado esquerdo fica d r A = du h 2 A u 2 du h 2 A u 2 + du 2 C + du 2 h 2 2A 2 u + du du 2 h 2 2A u { h 2 = du du 2 A 2 2 } h2 A, u u 2 5

16 Concluimos que A = 3 h h 2 h 3 e podemos obter outros componentes analogamente. { h 2 2 A 2 } h2 A, u u 2 Uma outra notação comunmente usado é expressar os componentes de vetor linha com os índices acima, A i, e os componentes de vetor adjunto como A i. 6