= f(0) D2 f 0 (x, x) + o( x 2 )

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1 6 a aula, Formas Quadráticas Suponhamos que 0 é um ponto crítico duma função suave f : U R definida sobre um aberto U R n. O desenvolvimento de Taylor de segunda ordem da função f em 0 permite-nos compreender a geometria do gráfico de f em torno do ponto 0. Quando x 0, temos f(x) = f(0) + Df }{{} 0 (x) + 1 2! D2 f 0 (x, x) + o( x 2 ) =0 = f(0) D2 f 0 (x, x) + o( x 2 ) = f(0) xt 2 f x 2 (0) x + o( x 2 ) = f(0) + x T A x + o( x 2 ) onde 2 f (0) = [ 2 f x 2 x i x j (0) ] (1 i, j n) representa a matriz Hessiana de f no ponto 0, e 1 2 f (0). Observemos que a matriz Hessiana 2 f (0) é sempre uma 2 x 2 x 2 matriz simétrica. Chama-se forma quadrática a qualquer polinómio homogéneo de 2 o grau P (x) nas variáveis x = (x 1,..., x n ) R n. Em geral, cada matriz n n simétrica A define uma forma quadrática, Q A : R n R, Q A (x) = x T A x. As formas quadráticas formam um espaço linear. A correspondência A Q A é isomorfismo do espaço das matrizes simétricas [ n ] n sobre o espaço das formas 2 1 quadráticas. Por exemplo, a matriz determina a forma quadrática 1 1 [ ] 2 2 Q A (x, y) = 2 x 2 y 2 +2 x y, enquanto a matriz não simétrica B = define 0 1 a mesma forma quadrática. Observe que (B + B T )/2. Qualquer que seja a matriz A, A e S = (A + A T )/2 definem a mesma forma quadrática Q A, sendo S a única matriz simétrica que define Q A, c.f. Ex 4-1 e 4-2. É habitual confundir-se a forma quadrática Q A com a única matriz simétrica A que a define. Dada uma matriz invertível M, a composição da forma quadrática Q A com o isomorfismo linear T M : R n R n, x M x é outra forma quadrática Q B, associada à matriz B = M T A M. Q A T M (x) = Q A (M x) = (M x) T A (M x) = x T (M T A M) x = Q B (x). Recorde que duas matrizes A e B, de dimensão n n, se dizem semelhantes sse existir uma matriz invertível M tal que B = M T A M, ou seja, tal que Q B = Q A T M. Chama-se nulidade duma forma quadrática Q A à dimensão do núcleo da matriz A, que será denotada por nul(a). Uma forma quadrática Q A (x) diz-se definida positiva sse Q A (x) > 0 para todo x R n {0}. Analogamente, Q A (x) dizse definida negativa sse Q A (x) < 0 para todo x R n {0}. Observe que Q A (x) é definida positiva ou definida negativa consoante 0 é um ponto de mínimo 1

2 2 estrito, respectivamente de máximo estrito, da função Q A (x). Chama-se índice duma forma quadrática Q A ao maior inteiro k = 0, 1,..., n para o qual existe um subespaço linear S k R n de dimensão k tal que a restrição de Q A (x) a S k é definida negativa. Denotaremos por ind(a) o índice da forma quadrática Q A (x). De acordo com esta definição, uma forma quadrática Q A (x) é definida positiva sse nul(a) = ind(a) = 0, e Q A (x) é definida negativa sse ind(a) = n. Uma forma quadrática Q A (x) diz-se não degenerada sse nul(a) = 0. Proposição Se A e B são matrizes simétricas semelhantes então nul(a) = nul(b), e ind(a) = ind(b). Seja B = M T A M, com M invertível. Então B x = 0 sse A M x = 0, donde resulta que M Nuc(B) = Nuc(A). Logo, nul(b) = dim(nuc(b)) = dim(m Nuc(B)) = dim(nuc(a)) = nul(a). Como Q B (x) = Q A (M x), dado um subespaço linear S R n, Q B (x) é definida negativa em S sse Q A (x) é definida negativa em M S. Logo, porque M é invertível, dim(s) = dim(m S). Segue daqui que ind(a) = ind(b). As figuras seguintes mostram as curvas de nível de três formas quadráticas não degeneradas em R 2. [ ] Q A (x, y) = x 2 + y 2 ind(a) = 0

3 Topologia Diferencial 3 [ ] Q A (x, y) = x 2 y 2 ind(a) = 2 [ ] Q A (x, y) = x 2 y 2 ind(a) = 1 As figuras seguintes mostram as superfícies de nível de quatro formas quadráticas não degeneradas em R 3.

4 Q A (x, y) = x 2 + y 2 + z 2 ind(a) = Q A (x, y) = x 2 + y 2 + z 2 ind(a) = Q A (x, y) = x 2 y 2 + z 2 ind(a) = 2

5 Topologia Diferencial Q A (x, y) = x 2 y 2 z 2 ind(a) = 3 Teorema Fundamental das Formas Quadráticas Toda a matriz simétrica A, de dimensão n n, tem n valores próprios reais λ 1 λ 2... λ n, e uma base ortonormada de vectores próprios {u 1, u 2,..., u n } tais que A u i = λ i u i, para i = 1,..., n. Em particular, nesta base (1) Q A ( x i u i ) = λ i x 2 i. Q A ( x i u i ) = ( x i u i ) T A ( x j u j ) j=1 = ( x i u T i ) ( x j A u j ) j=1 = ( x i u T i ) ( x j λ j u j ) = = = j=1 j=1 x i x j λ j u T i u j x i x j λ j δ i,j j=1 x 2 i λ i Seja M a matriz cujas colunas são os vectores u i, i = 1,..., n. A entrada (i, j) da matriz M T M é o produto interno da linha i de M T com a coluna j de M, ou seja u T i u j = δ i j, i.e., o produto interno das colunas i e j da matriz M. Assim M T M é a matriz identidade, o que mostra que M é uma matriz ortogonal. Isto

6 6 equivale a dizer que a transformação T M : R n R n é uma isometria. A relação (1) traduz a identidade entre formas quadráticas Q A (T M (x)) = Q D (x), onde D é a matriz diagonal λ λ D = λ n Esta relação traduz também o facto de A ser semelhante à matriz diagonal D = M T A M. Costuma dizer-se que a forma quadrática Q D (x) é diagonal, e que a transformação T M : R n R n diagonaliza a forma quadrática Q A (x). Corolário Seja Q A (x) uma forma quadrática associada a uma matriz simétrica A, de dimensão n n, com valores próprios λ 1 λ 2... λ n contados pela sua multiplicidade. A nulidade de A é igual ao número de valores próprios λ i iguais a zero. O índice de A é igual ao número de valores próprios λ i negativos. Consideremos a decomposição em soma directa R n = E E 0 E +, onde E, E 0 e E + são os subespaços gerados pelos vectores próprios u i tais que λ i < 0, λ i = 0, e λ i > 0, respectivamente. É claro que E0 = Nuc(A), pelo que dim(e 0 ) = nul(a). A forma quadrática Q A é definida negativa sobre E, pelo que dim(e ) ind(a). Reciprocamente, dado um subespaço S R n tal que Q A é definida negativa sobre S, temos S (E 0 E + ) = {0}, pelo que dim(s) dim(e ). Como S é arbitrário vem ind(a) dim(e ). Logo, dim(e ) = ind(a). O resultado segue porque dim(e 0 ) é igual ao número de valores próprios λ i = 0, e dim(e ) é igual ao número de valores próprios λ i < 0. Corolário Toda a forma quadrática Q A : R n R com índice k e nulidade zero é semelhante à forma quadrática modelo Q n k : Rn R, Q n k(x 1,..., x n ) = (x 1 ) 2... (x k ) 2 + (x k+1 ) (x n ) 2. Pelo teorema fundamental das formas quadráticas, Q A é semelhante a uma forma diagonal Q D com D = diag(λ 1,..., λ n ), onde λ 1... λ n são os valores próprios de A. Seja para cada i = 1,..., n, ɛ i = sgn(λ i ) { 1, 0, +1}. Se A tem nulidade zero e índice k, então a matriz diagonal E = diag(ɛ 1,..., ɛ n ), define a forma quadrática Q n k (x). Como a matriz diagonal D admite a seguinte decomposição T λ1 0 0 ɛ λ1 0 λ2 0 0 ɛ λ λn 0 0 ɛ n 0 0 λn

7 Topologia Diferencial 7 as formas Q A, Q D e Q E = Q n k são semelhantes entre si. Representação local duma função num ponto crítico Duas funções f : X R e g : Y R dizem-se semelhantes sse existe um difeomorfismo φ : X Y e uma constante c R tais que f = c + g φ. Vamos dizer que f : (X, p) (R, r) e g : (Y, q) (R, s) são localmente semelhantes sse existe um difeomorfismo φ : (X, p) (Y, q) tal que f = r s + g φ. Dada uma parametrização local φ : (R n, 0) (X, p) a função f : (R n, 0) (R, 0), definida por f = f(p) f(φ(x)), diz-se um representante local de f na carta φ 1 de X. A 2 f matriz (0) diz-se a matriz Hessiana da função f, no ponto p, relativa à carta x 2 φ 1. Proposição Seja f : X R uma função suave, e p X um ponto crítico de f. Todas as matrizes Hessianas de f em p, relativas a diferentes cartas locais, são semelhantes entre si. Se g : (R n, 0) (R, 0) e h : (R n, 0) (R, 0) são representantes locais duma função f : (X, p) (R, c), então são localmente equivalentes. Seja φ : (R n, 0) (R n, 0) um difeomorfismo local tal que g = h φ. Derivando uma vez obtemos Dg x (u) = Dh φ(x) (Dφ x (u)). Derivando a segunda vez em x = 0, e usando que Dh 0 = 0, D 2 g 0 (u, u) = D 2 h 0 (Dφ 0 (u), Dφ 0 (u)) + Dh }{{} 0 (D 2 φ 0 (u, u)). =0 Temos então D 2 g 0 (u, u) = D 2 h 0 (Dφ 0 (u), Dφ 0 (u)) Traduzindo esta relação em termos das matrizes Hessianas, ela significa que u T 2 g x (0) u = (M 2 u)t 2 g (0) (M u) x2 onde M = φ (0). Logo as Hessianas 2 g (0) e 2 h(0) são semelhantes através da x x 2 x 2 matriz invertível M. Definição Seja f : X R uma função suave, e p X um ponto crítico de f. Definimos a nulidade e o índice de f em p, denotados por nul(f, p) e ind(f, p), como sendo a nulidade e o índice de qualquer matriz Hessiana de f, em p, relativa a uma carta local. Pela proposição anterior, a nulidade e o índice são independentes das cartas escolhidas. Um ponto crítico p X de f : X R diz-se não degenerado sse nul(f, p) = 0, o que equivale a dizer que qualquer das suas matrizes Hessianas é não degenerada. Proposição Seja f : X R uma função suave, e p X. Então p é um ponto crítico não degenerado de f sse p é uma singularidade não degenerada de f.

8 8 Seja f : (R n, p) (R, f(p)) uma extensão local de f tal que p é um ponto crítico de f. A existência duma tal extensão é demonstrada no lema que segue. Seja φ : (R k, 0) (X, p) uma parametrização local da variedade X. Seja g = f(p)+f φ a função representante local de f na carta φ 1. Finalmente, seja ξ o campo gradiente f. Temos para todo o vector v T x X, Derivando em x = p obtemos ξ(x) v = f(x) v = f(x) v = D f x (v). Dξ p (u) v = D 2 fp (u, v). Por outro lado, derivando g = const + f φ = const + f φ temos Dg x (v) = D f φ(x) Dφ x (v). Derivando novamente em x = 0 vem u T 2 g x (0) v = 2 D2 g 0 (u, v) = D f p 2 (Dφ 0 (u), Dφ 0 (v)) + D }{{} f p D 2 φ 0 (u, v) =0 = D f 2 p (Dφ 0 (u), Dφ 0 (v)) = Dξ p (Dφ 0 (u)) Dφ 0 (v). Desta fórmula resulta a equivalência entre as afirmações: (i) A matriz 2 g (0) é não degenerada, i.e., p é um ponto crítico não degenerado x 2 de f; (ii) Dξ p : T p X T p X é um isomorfismo, i.e., p é uma singularidade não degenerada de f. Lema Sejam X k R n uma variedade, f : X R uma função suave, e p X um ponto crítico de f. Então existe uma extensão suave f : U R n R de f a uma vizinhança aberta U de p em R n tal que p é um ponto crítico de f. Comecemos por tomar uma extensão local f : (R n, p) (R, f(p)) de f a uma vizinhança de p. Seja h : (R n, p) (R n k, 0) uma submersão definida numa vizinhança de p, tal que nessa vizinhança X k = h 1 (0). Então Dh p : T p X R n k, bem como a sua adjunta Dh p : R n k (T p X), são isomorfismos. Considerando α (T p X) definida por α(v) = D f p (v), existe w R n k tal que Dh p(w) = α. Definimos ˆf(x) = f(x) w h(x). É então claro que ˆf(x) é uma nova extensão suave de f, definida sobre a vizinhança de p onde f e h estão ambos definidos, que satisfaz D ˆf p (v) = D f p (v) w Dh p (v) = α(v) Dh p(w)(v) = 0, para todo v Tp X. Como para v T p X, tem-se D ˆf p (v) = Df p (v) = 0, resulta que p é um ponto crítico de ˆf.

9 Topologia Diferencial 9 Lema de Morse Num ponto crítico não degenerado com índice k, qualquer função f : X n R é localmente semelhante à forma quadrática canónica Q n k : Rn R, Q n k(x 1,..., x n ) = (x 1 ) 2... (x k ) 2 + (x k+1 ) (x n ) 2. Para depois... Variedades com bordo Definimos o semi-espaço, H n = { x R n : x 1 0 }. Dizemos que X R n é uma variedade com bordo de dimensão n sse para cada x X (X, x) (R n, 0) ou (X, x) (H n, 0). Observemos que (R n, 0) (H n, 0). Se tivessemos (R n, 0) (H n, 0), H n seria uma variedade de dimensão n em R n. Como as variedades de dimensão n em R n são os conjuntos abertos, H n deveria ser um conjunto aberto. Logo, porque H n não é aberto, (R n, 0) não pode ser localmente difeomorfo a (H n, 0). Define-se o bordo de X como o conjunto X = { x X : (X, x) (H n, 0) }. Os elementos de X X dizem-se interiores a X. Proposição Se X é uma variedade com bordo de dimensão n, então X é uma variedade sem bordo de dimensão n 1. Dado p X, tomemos uma parametrização φ : (R n, 0) (X, p). Suponhamos que φ : U V é um difeomorfismo entre um aberto U de H n contendo 0, e um aberto V de X contendo p. Para cada x U, φ : (H n, x) (X, φ(x)). Definindo U = U {0} R n 1, temos (H n, x) (H n, 0) sse x U. Logo,

10 10 como o difeomorfismo φ transforma pontos x U tais que (H n, x) (H n, 0), em pontos x X tais que (X, x) (H n, 0), temos φ(u ) = V X, o que prova que (R n 1, 0) ( X, p). Proposição Se X é uma variedade com bordo então X é fechado em X. Em particular, se X é uma variedade compacta com bordo então X é uma variedade fechada, i.e. compacta e sem bordo. Basta-nos ver que o conjunto dos pontos interiores, X X, é aberto em X. Dado p X X, existe uma carta φ : (X, p) (R n, 0). Seja U o domínio do difeomorfismo φ. Então para cada x U, φ : (X, x) (R n, φ(x)) (R n, 0), o que mostra que U X X. Logo, X X é aberto. Num ponto x X, duma variedade com bordo X, define-se T x X, respectivamente T + x X, como sendo a imagem Dφ 0 (R n ), respectivamente Dφ 0 (H n ), de qualquer parametrização local φ : (H n, 0) (X, x). Os vectores de T x X e T + x X dizem-se, respectivamente tangentes e estritamente tangentes a X no ponto x. Lema Seja X uma variedade com bordo. Dado p X, e duas parametrizações locais φ, ψ : (H n, 0) (X, p), Dφ 0 (H n ) = Dψ 0 (H n ). O difeomorfismo de mudança de coordenadas ϕ = ψ 1 φ : (H n, 0) (H n, 0) satisfaz ϕ(h n U) = H n V para certas vizinhanças do origem U e V em R n. Vamos mostrar que (2) Dϕ 0 (H n ) = H n. Escrevemos ϕ(x) = (ϕ 1 (x),..., ϕ n (x)). É claro que o difeomorfismo ϕ transforma pontos do hiperplano {0} R n 1 em pontos desse mesmo hiperplano, o que significa que ϕ 1 (0, x 2,..., x n ) = 0 para todo o ponto (0, x 2,..., x n ) no domínio de ϕ. Logo, ϕ 1 x i (0, x 2,..., x n ) = 0 para cada i = 2,..., n. Para i = 1 temos ϕ 1 1 (0, x 2,..., x n ) = lim x 1 h 0 + h ϕ 1(h, x 2,..., x n ) 0, porque ϕ(h n ) = H n implica que ϕ 1 0 sobre H n. Logo, dado v = (v 1,..., v n ) H n temos v 1 0, e, portanto, Dϕ 0 (v 1,..., v n ) = ϕ 1 (0, x 2,..., x n ) v 1, x } 1 Hn. {{} 0 Uma vez provada a inclusão Dϕ 0 (H n ) H n, a igualdade (2) resulta de aplicar o mesmo argumento a ϕ 1. Finalmente, como ψ ϕ = φ, temos Dφ 0 (H n ) = Dψ 0 ( Dϕ 0 (H n ) ) = Dψ 0 (H n ).

11 Topologia Diferencial 11 Proposição Sejam X uma variedade sem bordo e f : X R uma função suave. Se c R for um valor regular na imagem de f então X c = f 1 [c, + [ é uma variedade com bordo tal que X c = f 1 (c). Para cada ponto do bordo p X c, tem-se T p X c = { v T p X : Df p (v) = 0 } T + p X c = { v T p X : Df p (v) 0 } Seja p X c. Tomemos uma carta local ψ : (X, p) (R n, 0). Se f(p) > c então X c contém uma vizinhança de p em X, pelo que (X c, p) (X, p) (R n, 0). Caso f(p) = c, definamos f(x) = c + f ψ 1 (x), φ(x) = ( f(x), x 2,..., x n ), e π(x 1, x 2,..., x n ) = x 1. É obvio, destas definições, que π φ = f. Por outras palavras, o diagrama seguinte comuta. (X, p) ψ (R n, 0) φ (R n, 0) f (R, c) translação f (R, 0) Id π (R, 0) Como c é um valor regular de f, 0 é um valor regular de f, o que implica que alguma derivada parcial f x i (0) seja não nula. Sem perda de generalidade podemos supor que f x 1 (0) 0. Se assim não fosse substituíamos ψ pela sua composição com uma permutação conveniente das coordenadas. Então a matriz Jacobiana de φ na origem é f x 1 (0) Dφ 0 = Como det( Dφ 0 ) = f x 1 (0) 0, pelo Teorema da função inversa, φ é um difeomorfismo entre vizinhanças da origem em R n. Logo, a composição φ ψ, que localmente transforma X c em H n, demonstra que (X c, p) (H n, 0). Finalmente, T + p X c = D(ψ 1 φ 1 ) 0 (H n ) = Dψ 1 0 ( Dφ 1 0 (π 1 [0, + [) ) = D(π φ ψ) 1 0 [0, + [ = D( c + f) 1 0 [0, + [ = (Df 0 ) 1 [0, + [.

12 12 Teorema (Existência do campo normal exterior) Seja X R n uma variedade com bordo. Existe um único campo suave ξ sobre X tal que para todo o p X: (1) ξ(p) T p X e ξ(p) / T + p X, (2) ξ(p) T p X, (3) ξ(p) = 1. Para cada carta local φ : (X, p) (H n, 0) da variedade com bordo X, definida sobre uma vizinhança U de p em X, seja f φ : U R a função f φ (x) = φ 1 (x), onde φ 1 (x) é a primeira componente do vector φ(x) R n. Então 0 é um nível regular de f φ, U = (f φ ) 1 ([0, + [) e X U = (f φ ) 1 (0). Sobre o aberto X U definimos ξ φ (x) = f φ(x) f φ (x), onde f φ(x) representa o gradiente de f φ na variedade X, i.e., a projecção ortogonal sobre T x X do gradiente duma extensão local de f φ a um aberto do espaço ambiente. A expressão explicita usada para definir ξ φ mostra que este campo é suave. Por outro lado, este campo satisfaz as condições (1), (2) e (3) acima, que o determinam univocamente. Logo, os vários campos locais ξ φ colam num único campo suave, definido globalmente. O campo cuja existência e unicidade é afirmada no teorema anterior diz-se o campo normal exterior ao bordo X.