Variedades Diferenciáveis

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1 Variedades Diferenciáveis Notas de aula em construção Fernando Manfio ICMC USP

2 Sumário 1 Variedades diferenciáveis Superfícies Variedades diferenciáveis A topologia de uma variedade diferenciável Aplicações diferenciáveis entre variedades O espaço tangente A diferencial Subvariedades As formas locais Subvariedades Partição da unidade Extensões de aplicações diferenciáveis O teorema de mergulho de Whitney Distribuições O fibrado tangente Campos de vetores Derivações Curvas integrais e o fluxo local Campos f-relacionados O teorema de Frobenius Variedades quocientes Variedades quocientes Grupos propriamente descontínuos Orientação em espaços vetoriais Orientação em variedades diferenciáveis Orientação via ação de grupos i

3 5 Integração em superfícies Álgebra Multilinear Formas diferenciais em variedades Integrais de formas diferenciais Cohomologia de de Rham Operadores lineares O operador Laplaciano O Teorema da Decomposição de Hodge Grupos de Lie Grupos de Lie e homomorfismos Álgebras de Lie Exemplos clássicos Uma aplicação do teorema de Frobenius Referências Bibliográficas 183 ii

4 Capítulo 1 Variedades diferenciáveis 1.1 Superfícies Nesta seção estudaremos as superfícies Euclidianas, as quais são generalizações naturais dos objetos estudados na Geometria Diferencial. Além disso, tais superfícies servirão como modelos concretos para as variedades diferenciáveis abstratas, introduzidas na seção seguinte. Definição Um subconjunto M R n é uma superfície de dimensão m e classe C k se, para todo ponto p M, existem um aberto V R n, com p V, e uma aplicação ϕ : U M V, onde U é um aberto de R m, tais que (a) ϕ : U M V é um homeomorfismo; (b) ϕ é uma imersão de classe C k. A aplicação ϕ chama-se uma parametrização de classe C k de M. O número n m chama-se a codimensão de M em R n. Nos casos particulares em que m = 1 e n m = 1, M é chamada de curva e hipersuperfície, respectivamente, de R n. Observação Na definição estamos considerando M com a topologia induzida de R n. Além disso, a condição (a) implica que toda superfície de classe C k e dimensão m é uma variedade topológica de dimensão m (em relação à topologia induzida de R n ), i.e., para todo p M, existe um aberto V R n contendo p, tal que M V é homeomorfo a um aberto de R m. Observação A condição de ϕ ser uma imersão é equivalente a qualquer das condições a seguir: 1

5 (a) dϕ(p) : R m R n é injetora; (b) O conjunto de vetores {dϕ(p) e i : 1 i m} é linearmente independente, onde {e 1,..., e m } é a base canônica de R m ; (c) A matriz jacobiana de ordem n m, ( ) ϕi Jϕ(p) = (p) x j tem posto m, onde 1 i n, 1 j m e ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ), ou seja, algum de seus determinantes menores m m é diferente de zero. Exemplo Qualquer subespaço vetorial m-dimensional E R n é uma superfície de dimensão m e classe C de R n. De fato, seja T : R m E um isomorfismo linear. Munindo E com a topologia induzida de R n, T torna-se um homeomorfismo. Além disso, como toda transformação linear é de classe C, segue que T é um difeomorfismo de classe C. Exemplo A esfera S n = {x R n+1 : x = 1} é uma superfície de dimensão n e classe C de R n+1. De fato, denotando por N = (0,..., 0, 1) S n seu polo norte, considere a projeção estereográfica ϕ N : S n {N} R n. ϕ N é um difeomorfismo entre S n {N} e R n. Geometricamente, ϕ N (x) é o ponto em que a semi-reta Nx R n+1 intercepta o hiperplano x n+1 = 0. Note que os pontos da semi-reta Nx são da forma N + t(x N), t 0. Este ponto pertence ao hiperplano x n+1 = 0 se, e somente se, 1+t(x n+1 1) = 1 0, onde x = (x 1,..., x n+1 ). Assim, t = 1 x n+1 e, portanto, ϕ N (x) = 1 1 x n+1 (x 1,..., x n, 0). Analogamente defini-se ϕ S : S n {S} R n, onde S = (1, 0,..., 0) S n é o seu polo sul. Exemplo Todo aberto U R n é uma superfície de dimensão n e classe C de R n, imagem de uma única parametrização ϕ, sendo ϕ : U U a aplicação identidade. Reciprocamente, seja M R n uma superfície de dimensão n e classe C k. Assim, para todo p M, existem um aberto V R n, com p V, e um homeomorfismo ϕ : U M V, onde U é um 2

6 aberto de R n. Usando o Teorema da Invariância do Domínio 1, segue que a vizinhança coordenada M V é aberta em R n. Portanto, o conjunto M, reunião das vizinhanças coordendas M V, é aberto em R n. Exemplo Um subconjunto M R n é uma superfície de dimensão 0 se, e somente se, para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e uma parametrização ϕ : U M V, onde U é um aberto de R 0 = {0}. Assim, devemos ter U = {0} e V = {p}. Portanto, M R n é uma superfície de dimensão 0 se, e somente se, M é um conjunto discreto. O teorema a seguir nos dá caracterizações equivalentes da Definição Teorema Seja M um subconjunto de R n. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) M é uma superfície de dimensão m e classe C k de R n. (b) Para todo p M, existem abertos U R m e V R n, com p V, e uma aplicação de classe C k g : U R n m tal que M V = Gr(g). (c) Para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e uma submersão de classe C k f : V R n m tal que M V = f 1 (0). (d) Para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e um difeomorfismo de classe C k ϕ : V ϕ(v ) que satisfaz ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m. Antes de apresentarmos sua prova, vejamos como usá-lo a fim de produzir exemplos de superfícies em R n. Lembre que, dado uma aplicação diferenciável f : U R n R n m, dizemos que c R n m é valor regular de f se a diferencial df(p) é sobrejetora para todo p f 1 (c). Corolário Seja f : U R n R n m uma aplicação de classe C k. Se c R n m é valor regular de f então M = f 1 (c) é uma superfície de dimensão m e classe C k de R n. Exemplo A esfera S n = {x R n+1 : x = 1} pode ser descrita como a imagem inversa f 1 (1) da função f : R n+1 R definida por f(x) = x, x, para todo x R n+1. Note que f é diferenciável e, dados x, v, R n+1, tem-se df(x) v = 2 x, v. Isso implica que 0 R n+1 é o único ponto crítico de f. Como f(0) = 0 1, concluimos que 1 é um valor regular de f, logo S n = f 1 (1) é, como já sabíamos, uma superfície de dimensão n e classe C de R n+1. 1 cf. [16], Theorem

7 Exemplo Seja M R 3 o cone de uma folha, i.e., M = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 2, z 0}. Note que M é homeomorfo a R 2. De fato, denotando por π a projeção π(x, y, z) = (x, y), a restrição de π a M é um homeomorfismo. No entanto, M não é uma superfície regular. De fato, caso fosse, existiriam abertos U R 2 e V R 3, com 0 V, e uma função diferenciável g : U R tal que M V = Gr(g). Observe que M V não pode ser um gráfico em relação a uma decomposição da forma R 3 = R 2 R, no qual o segundo fator seja o eixo-x ou o eixo-y. Assim, tem-se necessariamente g = f U, onde f(x, y) = x 2 + y 2. Como f não é diferenciável em (0, 0), obtemos uma contradição. Portanto, M é uma superfície de classe C 0 mas não é de classe C k, k 1. Seja M(m n) o espaço vetorial das matrizes reais m n. Dado uma matriz X M(m n), com X = (x ij ), a transposta de X, denotada por X t, é a matriz X t = (x ji ), que se obtém de X trocando-se ordenadamente suas linhas por suas colunas. Assim, X t M(n m). Se det X 0, então det X t 0 e vale (X t ) 1 = (X 1 ) t. Uma matriz quadrada X M(n) chama-se simétrica se X t = X e antisimétrica se X t = X. As matrizes simétricas e anti-simétricas formam subespaços vetoriais, S(n) e A(n), de M(n), de dimensão n(n+1) 2 e n(n 1) 2, respectivamente. Dado uma matriz X M(n), tem-se X + X t S(n) e X X t A(n). Assim, ou seja, X = 1 2 (X + Xt ) (X Xt ), M(n) = S(n) A(n). Exemplo O grupo ortogonal O(n) = {X M(n) : XX t = I} é uma superfície compacta de dimensão n(n 1) 2 e classe C de M(n) R n2. De fato, considere a aplicação f : M(n) S(n) definida por f(x) = XX t, 4

8 para toda matriz X M(n). Note que O(n) = f 1 (I). Resta provar que I S(n) é valor regular de f. Seja X O(n) = f 1 (I). Temos: f(x + H) f(x) = (X + H)(X + H) t XX t = XH t + HX t + HH t. r(h) Como lim = 0, segue que f é diferenciável em X e df(x) H = H 0 H XH t + HX t. Finalmente, dada S S(n), tome V = 1 2SX. Assim, tem-se df(x) V = S, ou seja, df(x) é sobrejetora para toda X O(n), logo O(n) é uma superfície de dimensão n(n 1) 2 e classe C de M(n). Além disso, como f é contínua, segue que O(n) = f 1 (I) é fechado em R n2. Como cada vetor linha de X O(n) é unitário tem-se X = n, logo O(n) está contido na esfera centrada na origem e de raio n. Portanto, O(n) é fechado e limitado em R n2. Observação A imagem inversa f 1 (c) pode ser uma superfície sem que c seja valor regular de f. Por exemplo, seja f : R 2 R dada por f(x, y) = y 2. Note que f 1 (0) = eixo x, que é uma curva de classe C de R 2. No entanto, 0 R não é valor regular de f, pois df(x, 0) = 0, para todo (x, 0) f 1 (0). A fim de provarmos o Teorema 1.1.8, faremos uso do seguinte Lema de Álgebra Linear. Lema Seja E R n um subespaço vetorial m-dimensional. Então existe uma decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que a primeira projeção π : R n R m, π(x, y) = x, transforma E isomorficamente sobre R m. Demonstração. Dado uma base {v 1,..., v m } de E, sejam e j1,..., e jn m vetores da base canônica de R n tais que {v 1,..., v m, e j1,..., e jn m } seja uma base de R n. Sejam R n m = span{e j1,..., e jn m } e R m gerado pelos vetores canônicos restantes. Temos, então, duas decomposições em soma direta: R n = R m R n m = E R n m. Seja π : R m R n m R m, π(x, y) = x. Dado x R m, seja x = x 1 + y, onde x 1 E e y R n m. Temos: x = π(x) = π(x 1 ) + π(y) = π(x 1 ). Isso implica que π E : E R m é sobrejetora. Como E tem dimensão m, segue que π E é um isomorfismo linear. 5

9 Demonstração do Teorema (a) (b) Dado p M, seja ϕ : U ϕ(u) uma parametrização de classe C k, com p = ϕ(q). Como E = dϕ(q)(r m ) é um subespaço vetorial m-dimensional de R n existe, pelo Lema , uma decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que π E é um isomorfismo linear entre E e R m. Defina a aplicação η = π ϕ : U R m. Como dη(q) = π dϕ(q) é um isomorfismo linear, segue do Teorema da Aplicação Inversa que existe um aberto W R m, com q W U, tal que η W : W η(w ) = Z é um difeomorfismo de classe C k. Defina ξ = (η W ) 1 : Z W e ψ = ϕ ξ. ψ é uma parametrização de classe C k de M e π ψ = π (ϕ ξ) = η ξ = Id. Da igualdade acima segue que a primeira coordenada de ψ(x), em relação à decomposição R n = R m R n m, é x. Denote por g(x) a segunda coordenada. Assim, ψ(z) = ϕ(w ) = {(x, g(x)) : x W } para alguma aplicação de classe C k g : W R n m. tem-se ϕ(w ) = M V = Gr(g), para algum aberto V R n, com p V. (b) (c) Defina a aplicação f : V R n m pondo f(x, y) = y g(x), Como ϕ é aberta, onde V R n = R m R n m é o aberto dado por hipótese. Temos: M V = Gr(g) = {(x, y) R n : y = g(x)} = {(x, y) R n : f(x, y) = 0} = f 1 (0). Resta provar que df(x, y) é sobrejetora, para todo (x, y) V. De fato, dados (x, y) V e (u, v) R n, temos: df(x, y) (u, v) = df(x, y) (u, 0) + df(x, y) (0, v) = Id(0) dg(x) u + Id(v) dg(x) 0 = v dg(x) u. 6

10 Portanto, dado v R n m, tem-se df(x, y) (0, v) = v, ou seja, df(x, y) : R n R n m é sobrejetora. Portanto, f é uma submersão de classe C k, com M V = f 1 (0). (c) (d) Dado p M, seja f : V R n m a submersão de classe C k tal que M V = f 1 (0). Como df(p) : R n R n m é sobrejetora, o conjunto {df(p) e 1,..., df(p) e n } gera R n m. Assim, podemos escolher vetores e i1,..., e in m tais que {df(p) e i1,..., df(p) e in m } seja uma base de R n m. Considere a decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que R n m = span{e i1,..., e in m } e R m gerado pelos demais vetores canônicos. Assim, df(p) R n m é um isomorfismo linear. Defina pondo ϕ : V R n = R m R n m ϕ(x, y) = (x, f(x, y)), para todo (x, y) V. ϕ é uma aplicação de classe C k e dϕ(p) é um isomorfismo. Assim, pelo Teorema da Aplicação Inversa, existe um aberto Ṽ Rn, com p Ṽ V, tal que ϕ : Ṽ ϕ(ṽ ) é um difeomorfismo de classe Ṽ C k. Podemos, supor, sem perda de generalidade, que ϕ(ṽ ) = Z W R m R n m, onde W é um aberto contendo 0 R n m. Assim, (x, y) M Ṽ ϕ(x, y) = (x, f(x, y)) ϕ(x, y) = (x, 0). Portanto, ϕ(m Ṽ ) = ϕ(ṽ ) Rm. (d) (a) Dado p M, considere o difeomorfismo de classe C k ϕ : V ϕ(v ) tal que ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m, onde V é um aberto de R n, com p V. Como ϕ(v ) é aberto em R n, U = ϕ(v ) R m é aberto em R m. Defina, então, ψ : U R n pondo ψ = ϕ 1 U. Assim, ψ é uma parametrização de classe Ck de M, com ψ(u) = M V. Corolário Sejam ϕ 1 : U 1 M V 1 e ϕ 2 : U 2 M V 2 parametrizações de classe C k de uma superfície M, com V 1 V 2. Então, ϕ 1 2 ϕ 1 e ϕ 1 1 ϕ 2 são de classe C k. Demonstração. Dado p M V 1 V 2, seja f : V f(v ) um difeomorfismo de classe C k tal que f(m V ) = f(v ) R m. Como ϕ 1 (U 1 ) = M V 1 e V é aberto em R n, existe um aberto Ũ1 R m, com ϕ 1 1 (p) Ũ1 U 1, tal 7

11 que ϕ 1 (Ũ1) M V. Assim, (f ϕ 1 )(Ũ1) R m. Analogamente, existe um aberto Ũ2 R m, com ϕ 1 2 (p) Ũ2 U 2, tal que (f ϕ 2 )(Ũ2) R m. Assim, no aberto ϕ 1 1 (W ), onde W = ϕ 1(Ũ1) ϕ 2 (Ũ2), temos: ϕ 1 2 ϕ 1 = ϕ 1 2 f 1 f ϕ 1 = (f ϕ 2 ) 1 (f ϕ 1 ). A composta f ϕ 1 é de classe C k. Como d(f ϕ 2 )(x) é um isomorfismo linear, segue do Teorema da Aplicação Inversa que f ϕ 2 é, possivelmente num aberto menor, de classe C k. Assim, ϕ 1 2 ϕ 1 é de classe C k. Analogamente se prova que ϕ 1 1 ϕ 2 também o é. Exercícios 1. Verifique se os seguintes conjuntos são superfícies de dimensão 1 (curvas) de R 2. Caso sejam, determine a classe de diferenciabilidade. 1. M = {(t, t 2 ) : t R} {(t, t 2 ) : t R} 2. M = {(t, t 2 ) : t R } {(t, t 2 ) : t R + } 3. M = {(t 2, t 3 ) : t R} 2. Sejam M 1 R n 1 e M 2 R n 2 superfícies de classe C k e dimensão m 1 e m 2, respectivamente. Prove que o produto cartesiano M 1 M 2 R n 1+n 2 é uma superfície de classe C k e dimensão m 1 + m 2. Conclua, daí, que o toro bidimensional T 2 = S 1 S 1 é uma superfície de dimensão 2 e classe C de R Denote por M(m n; k) o subconjunto de M(m n) formado pelas matrizes reais m n de posto k. Prove que M(m n; k) é uma superfície de dimensão k(m + n k) e classe C de M(m n) R mn. 4. O grupo linear GL(n) é o subconjunto aberto de M(n) formado pelas matrizes invertíveis. O grupo linear especial, SL(n) = {X GL(n) : det X = 1}, é um subgrupo de GL(n). Prove que SL(n) é uma hipersuperfície de classe C de M(n), i.e., uma superfície de dimensão n 2 1 e classe C de M(n) R n2. 8

12 1.2 Variedades diferenciáveis Nesta seção introduzimos a noção de variedade diferenciável de classe C k, onde estaremos fixando um valor para k, 0 k. Definição Seja M um conjunto. Uma carta local em M é uma bijeção ϕ : U ϕ(u), onde U é um subconjunto de M e ϕ(u) é um aberto de algum espaço Euclidiano R n. Definição Duas cartas locais em M, ϕ : U ϕ(u) e ψ : V ψ(v ), são C k -compatíveis (0 k ) se ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos em R n e a aplicação de transição ψ ϕ 1 é um difeomorfismo de classe C k. Note que a condição de ψ ϕ 1 ser um difeomorfismo de classe C k implica que ϕ ψ 1 também é um difeomorfismo de classe C k. Observação Se U V =, então a aplicação de transição ψ ϕ 1 é a aplicação vazia. Convencionaremos que a aplicação vazia é um difeomorfismo de classe C k, para qualquer k 0. Assim, ϕ e ψ são sempre C k -compatíveis quando U V =. Observação A noção de C k -compatibilidade para cartas locais ϕ : U ϕ(u) e ψ : V ψ(v ) faria sentido também na situação mais geral em que ϕ(u) é um aberto de R m e ψ(v ) é um aberto de R n onde, a princípio, m não precisa ser igual a n. Mas se U V, tal compatibilidade implicaria na existência de um difeomorfismo de classe C k de um aberto não-vazio de R m sobre um aberto de R n, o que implicaria m = n (no caso k 1, isso segue do fato que a diferencial de tal difeomorfismo em qualquer ponto fornece um isomorfismo de R m sobre R n ; para o caso k = 0, cf. Exercício 2.) Definição Um atlas A de classe C k e dimensão n em um conjunto M é um conjunto de cartas locais em M, A = {(U α, ϕ α ) : α I}, onde cada ϕ α (U α ) é aberto em R n, duas a duas C k -compatíveis, e tal que M = α I U α. Exemplo Um atlas de classe C em R n é o conjunto A = {(R n, Id)}. Exemplo Na esfera S n, um atlas de classe C é o conjunto A = {(S n {N}, ϕ N ), (S n {S}, ϕ S )}, onde ϕ N e ϕ S são as projeções estereográficas relativas ao polos norte e sul, respectivamente. 9

13 Definição Uma carta local ϕ em M é dita C k -compatível com um atlas A de classe C k em M se ϕ é C k -compatível com tada carta ψ A. A noção de C k -compatibilidade é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva. De fato, se (U, ϕ), (V, ψ), (W, ξ) são cartas locais em M, com ϕ C k -compatível com ψ e ψ C k -compatível com ξ, então só podemos garantir que a aplicação de transição ξ ϕ 1 seja de classe C k em ϕ(u V W ). É bem possível, por exemplo, que U V =, V W = (o que torna a C k -compatibilidade entre ϕ, ψ e ψ, ξ triviais), mas U W e que ϕ e ξ não sejam C k -compatíveis. No entanto, temos o seguinte: Lema Seja A um atlas de classe C k em M. Se (U, ϕ) e (V, ψ) são cartas locais em M, ambas C k -compatíveis com A, então ϕ e ψ são C k - compatíveis. Demonstração. Suponha U V. Devemos provar que ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos em R n e que ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) ψ(u V ) é um difeomorfismo de classe C k. Como U = α I (U U α), segue que ϕ(u V ) = α I ϕ(u V U α ). Assim, basta provar que, para cada α I, ϕ(u V U α ) é aberto em R n e que ψ ϕ 1 ϕ(u V Uα) é de classe C k. De fato, como (U, ϕ) e (V, ψ) são C k - compatíveis com (U α, ϕ α ), segue que ϕ α (U α U) e ϕ α (U α V ) são abertos em R n e ϕ ϕ 1 α é um difeomorfismo de classe C k. Assim, ϕ(u V U α ) = (ϕ ϕ 1 α )(ϕ α (U V U α )) = (ϕ ϕ 1 α )(ϕ α (U α U) ϕ α (U α V )) é aberto em R n. Finalmente, que é de classe C k. ψ ϕ 1 ϕ(u V Uα) = (ψ ϕ 1 α ) (ϕ α ϕ 1 ) ϕ(u V Uα), Definição Um atlas A de classe C k em M é dito maximal se não está propriamente contido em nenhum outro atlas de classe C k em M. Lema Seja A um atlas de classe C k em M. Então existe um único atlas maximal de classe C k em M contendo A. 10

14 Demonstração. Seja A max o conjunto formado por todas as cartas locais de M que são C k -compatíveis com A. Disso decorre que A A max. Além disso, o Lema implica que A max é de fato um atlas de classe C k. Quanto à maximalidade, considere um atlas B de classe C k em M, contendo A. Disso decorre que todo elemento de B é C k -compatível com A, logo, B A max. Finalmente, quanto à unicidade, suponha que exista um atlas maximal B de classe C k em M, com A B. Disso decorre que todo elemento de B é C k -compatível com A, logo B A max. Como B é maximal tem-se, necessariamente, que B = A max. Lema Seja A = {(U α, ϕ α ) : α I} um atlas de classe C k em um conjunto M. Então, existe uma única topologia em M tal que cada U α é aberto em M e cada ϕ α é um homeomorfismo. Demonstração. Defina τ A = {V M : ϕ α (U α V ) é aberto em R n, α I}. O fato de que τ A é uma topologia segue das igualdades ϕ α (U α ) =, ϕ α (U α M) = ϕ α (U α ), ϕ α (U α V 1 V 2 ) = ϕ α (U α V 1 ) ϕ α (U α V 2 ), ( )) ϕ α (U α V λ = ϕ α (U α V λ ). λ J λ J Para provar que cada U α é um aberto em M e cada ϕ α é um homeomorfismo, é suficiente provar a seguinte afirmação: dados α I e V U α, então V τ A se, e somente se, ϕ α (V ) é aberto em R n. De fato, se V τ A então ϕ α (V ) = ϕ α (U α V ) é aberto em R n. Reciprocamente, suponha ϕ α (V ) aberto em R n. Para provar que V τ A, devemos provar que ϕ β (U β V ) é aberto em R n, para todo β I. Mas isso segue da igualdade ϕ β (U β V ) = ϕ β (U β V U α ) = (ϕ β ϕ 1 α )(ϕ α (V ) ϕ α (U α U β )) e do fato que ϕ β ϕ 1 α : ϕ α (U α U β ) ϕ β (U α U β ) é um homeomorfismo ente abertos de R n. Quanto à unicidade, seja τ uma topologia em M que torna cada U α aberto em M e cada ϕ α um homeomorfismo. Dado V τ, tem-se V U α τ, para todo α I, logo ϕ α (U α V ) é aberto em R n. Isso mostra que V τ A, logo τ τ A. Por outro lado, dado V τ A, tem-se que ϕ α (U α V ) é aberto em R n, para todo α I. Assim, V U α = ϕ 1 α (ϕ α (U α V )) é aberto em (M, τ), para todo α I. Logo, V = α I V U α é aberto em (M, τ). Isso prova que τ A τ. 11

15 Definição Dado um atlas A = {(U α, ϕ α ) : α I} em um conjunto M, a única topologia τ A que torna cada U α aberto em M e cada ϕ α um homeomorfismo é chamada a topologia induzida pelo atlas A em M. Observação Se dois atlas A 1 e A 2 de classe C k em M são tais que A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M, então as topologias induzidas em M por A 1 e A 2 coincidem (cf. Exercício 3). Disso decorre, em particular, que a topologia induzida por um atlas A coincide com a topologia induzida pelo atlas maximal que o contém. Definição Uma variedade diferenciável de classe C k e dimensão n é um par (M, A), onde M é um conjunto e A é um atlas maximal de classe C k e dimensão n em M, tal que a topologia induzida em M por A é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Exemplo O conjunto unitário A = {(R n, Id)} é um atlas de classe C em R n. De fato, como a aplicação identidade Id é um homeomorfismo, com domínio aberto em relação à topologia usual de R n, segue que a topologia induzida por A em R n coincide com a topologia usual. O atlas maximal A max que contém A consiste de todos os difeomorfismos de classe C ϕ : U ϕ(u), com U e ϕ(u) abertos em R n. Exemplo Sejam (M, A) uma variedade diferenciável de classe C k e U um aberto de (M, τ A ). Para cada (U α, ϕ α ) A, considere Ũα = U U α e ϕ α = ϕ α Ũα. Considere o conjunto à = {(Ũα, ϕ α ) : (U α, ϕ α ) A}. Claramente à é um atlas de classe Ck em U. Denotemos por τ a topologia induzida por τ A em U, e por τã a topologia induzida por à em U. Mostremos que τã = τ. De fato, dado V τ, tem-se V = U W, onde W τ A. Assim, ϕ α (Ũα V ) = ϕ α (U U α V ) = ϕ α (U U α W ), que é aberto em R n, logo V τã. Por outro lado, dado V τã, segue que ϕ α (Ũα V ) = ϕ α (U U α V ) é aberto em R n. Disso decorre que U V τ A. Assim, V = U (U V ) τ, logo V τ. Portanto, a topologia τã é Hausdorff e tem base enumerável, logo (U, Ã) torna-se uma variedade diferenciável de classe C k. 12

16 Exercícios 1. Seja V um espaço vetorial real n-dimensional. Prove que o conjunto A constituído de todos os isomorfismos lineares ϕ : V R n é um atlas de classe C em V. Prove também que a topologia induzida em V por A coincide com a topologia usual (definida por qualquer norma). Portanto, o espaço vetorial V, munido do atlas maximal que contém A, é uma variedade diferenciável de classe C. 2. Usando o Teorema da Invariância do Domínio, prove que se um aberto não-vazio de R m é homeomorfo a um aberto de R n, então m = n. 3. Sejam A 1 e A 2 atlas de classe C k num conjunto M. (a) Prove que A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M se, e somente se, todo ϕ A 1 é C k -compatível com A 2. (b) Prove que A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M se, e somente se, A 1 e A 2 estão contidos no mesmo atlas maximal de classe C k em M. (c) Se A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M, prove que as topologias induzidas em M por A 1 e A 2 coincidem. 4. Sejam A um atlas maximal de classe C k num conjunto M e (U, ϕ) A. Se W é um aberto de R n, com W ϕ(u), e se V = ϕ 1 (W ), então a restrição ϕ V : V W também pertence a A. 5. Considere a esfera S n, n 1. (a) Prove que S n tem a mesma cardinalidade que R, i.e., existe uma bijeção ϕ : S n R. (b) Se A é o único atlas maximal de classe C k que contém ϕ, então (S n, A) é uma variedade diferenciável de classe C k e dimensão 1. Verifique que ϕ não é um homeomorfismo, se considerarmos S n com a topologia induzida de R n+1. Segue, portanto, que a topologia da variedade (S n, A) não coincide com a topologia usual da esfera. Observação Em geral, quando considerarmos a esfera S n como uma variedade, estaremos pensando no atlas que contém as projeções estereográficas. 13

17 1.3 A topologia de uma variedade diferenciável Nesta seção discutiremos algumas propriedades da topologia induzida em M por um atlas A. O lema seguinte é útil para determinar se um dada topologia em uma variedade diferenciável coincide com sua topologia induzida. Lema Sejam (M n, A) uma variedade diferenciável de classe C k e τ uma topologia em M. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) τ = τ A ; (b) Para toda carta (U α, ϕ α ) A, tem-se U α τ e ϕ α é um homeomorfismo, em relação à topologia induzida em U α por τ; (c) Existe um atlas à A tal que vale (b) para toda carta (U α, ϕ α ) Ã. Demonstração. (a) (b) Segue do fato que ϕ α : U α ϕ α (U α ) é homeomorfismo segundo a topologia τ A. (b) (c) Basta tomar à = A. (c) (a) Basta provar que a aplicação identidade Id : (M, τ) (M, τ A ) é um homeomorfismo. De fato, para todo (U α, ϕ α ) à segue por hipótese que U α τ A, U α τ, ϕ α : (U α, τ A ) ϕ α (U α ) e ϕ α : (U α, τ) ϕ α (U α ) são homeomorfismos. Como o diagrama (U α, τ) Id (U α, τ α ) ϕ α ϕ α (U α ) ϕ α comuta, segue que Id : (U α, τ) (U α, τ α ) é um homeomorfismo. Como M = α Ĩ U α, segue que Id : (M, τ) (M, τ A ) é um homeomorfismo. Exemplo Seja M m R n uma superfície de classe C k. Para cada parametrização ψ α : V α M W α = U α de M, denote por ϕ α a inversa de ψ α. Seja A = {(U α, ϕ α ) : ϕ α = ψ 1 α }. Segue do Corolário que ϕ β ϕ 1 α = ψ 1 β ψ α é de classe C k, logo A é um atlas de classe C k em M. Além disso, como cada ϕ α : U α V α é um homeomorfismo em relação à topologia induzida em M de R n segue, do Lema 1.3.1, que a topologia τ A coincide com a topologia usual de M. Portanto, (M, A) torna-se uma variedade diferenciável de classe C k. 14

18 Exemplo Em M = R n+1 {0}, definimos uma relação de equivalência pondo: x y y = tx, para algum t 0. O espaço quociente RP n = M/ chama-se o espaço projetivo real. Provemos que RP n é uma variedade diferenciável de classe C e dimensão n. Geometricamente, cada classe [x] RP n pode ser identificada com a reta em R n+1 que passa pela origem, cuja direção é dada pelo vetor x. Provemos, inicialmente, que a topologia quociente τ em RP n é Hausdorff e tem base enumerável. De fato, sejam π : M RP n a aplicação quociente e A M um aberto. Temos: π 1 (π(a)) = {x M : x a, para algum a A} = t 0 ta, onde ta = {tx : x A}. Como cada ta é aberto em M, segue que π 1 (π(a)) é aberto. Logo, por definição de topologia quociente, π(a) é aberto, logo π é aberta. Assim, como M tem base enumerável, M/ também o tem (cf. Exercício 1). A fim de provar que τ é Hausdorff, considere a função f : M M R definida por f(x, y) = i j (x i y j x j y i ) 2, para quaisquer x, y M. Note que f(x, y) = 0 x i y j x j y i = 0, i j y i = tx i, para algum t 0, 1 i n + 1 x y. Ou seja, R = {(x, y) M M : x y} = f 1 (0). Como f é contínua, R é fechado em M M, logo (RP n, τ) é Hausdorff (cf. Exercício 1). A fim de construir um atlas em RP n considere, para cada 1 i n + 1, o aberto Ũi em M definido por Ũ i = {x M : x i 0}. Defina uma aplicação ϕ i : Ũi R n pondo ϕ i (x 1,..., x n+1 ) = 1 (x 1,..., x i,..., x n+1 ). x i 15

19 ϕ i é contínua, pois suas funções coordenadas são contínuas, e ϕ i é sobrejetora. De fato, dado x = (x 1,..., x n ) R n, tome x = (x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ) Ũ i. Assim, tem-se ϕ i ( x) = x. Além disso, como x y ϕ i (x) = ϕ i (y), segue do Lema de passagem ao quociente que, para cada 1 i n + 1, existe uma bijeção contínua ϕ i : RP n R n tal que o diagrama π Ũ i RP n ϕ i ϕ i R n comuta. Seja U i = π(ũi). Provemos que o conjunto A = {(U i, ϕ i ) : 1 i n + 1} é um atlas de classe C em RP n. Note que ϕ 1 i (x,..., x n ) = π(x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ), para todo 1 i n + 1. Assim, dados (U i, ϕ i ), (U j, ϕ j ) A, com i < j, temos: (ϕ j ϕ 1 i )(x) = ϕ j (π(x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n )) = ϕ j (x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ) = 1 x j (x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x j,..., x n ), logo ϕ j ϕ 1 i é de classe C. Finalmente, resta provar que τ A = τ. De fato, como π 1 (U i ) = Ũi é aberto em M, segue que U i é aberto em (RP n, τ). Além disso, da igualdade ϕ 1 i (x,..., x n ) = π(x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ), segue que ϕ 1 i é contínua. Logo, ϕ i : U i ϕ i (U i ) é um homeomorfismo relativo à topologia τ. Portanto, pelo Lema 1.3.1, segue que τ A = τ. Exemplo (Variedade não-hausdorff). Em R 2, considere os subconjuntos A = {(x, 1) R 2 : x 0}, B = {(x, 0) R 2 : x > 0}, C = {(x, 1) R 2 : x 0}. 16

20 Sejam U 1 = A B e U 2 = B C, e defina as aplicações ϕ 1 : U 1 R e ϕ 2 : U 2 R pondo ϕ 1 (x, y) = x e ϕ 2 (x, y) = x. O conjunto A = {ϕ 1, ϕ 2 } é um atlas de classe C em M = A B C. No entanto, a topologia τ A não é Hausdorff, pois qualquer vizinhança em torno dos pontos (0, 1) e (0, 1) têm pontos em comum. A proposição seguinte reune as principais propriedades da topologia induzida em M por um atlas A. Proposição Seja (M n, A) uma variedade diferenciável de classe C k. As seguintes afirmações são válidas: (a) Existe atlas à A tal que à tem um número enumerável de elementos. (b) A topologia τ A é metrizável. (c) (M, τ A ) é localmente compacto e localmente conexo. (d) (M, τ A ) é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos. Exercícios 1 (Topologia quociente). Dados um espaço topológixo X e uma relação de equivalência em X, denotemos por X/ o espaço quociente. Assim, os elementos de X/ são as classes de equivalências [x] = {y X : x y}. A topologia quociente em X/ é a topologia τ que torna a aplicação quociente π : X X/ contínua. Mais precisamente, um subconjunto U X/ é aberto se π 1 (U) é aberto em X. Uma relação de equivalência em X é dita ser aberta se, para todo aberto A X, o subconjunto [A] é aberto em X/, onde [A] = a A[a]. (a) Prove que uma relação de equivalência em X é aberta se, e somente se, π é uma aplicação aberta. Quando é aberta e X tem uma base enumerável de abertos, então X/ também tem base enumerável. (b) Seja uma relação de equivalência aberta em X. Então, o conjunto R = {(x, y) X X : x y} é um subconjunto fechado de X X se, e somente se, X/ é Hausdorff. 2. Prove as afirmações da Proposição

21 1.4 Aplicações diferenciáveis entre variedades Nesta seção discutiremos a noção de diferenciabilidade de aplicações, transferindo algumas noções básicas do cálculo no R n para o contexto de variedades diferenciáveis. Definição Sejam M m, N n variedades diferenciáveis de classe C k. Dizemos que uma aplicação f : M N é de classe C r, 1 r k, se para todo ponto p M, existem cartas locais ϕ : U ϕ(u) em M e ψ : V ψ(v ) em N tais que p U, f(u) V e ψ f ϕ 1 seja de classe C r. A composta ψ f ϕ 1 é a aplicação que representa f em relação às cartas ϕ e ψ. Observação A definição acima independe da escolha das cartas. De fato, sejam ϕ : U ϕ (U ) e ψ : V ψ (V ) cartas locais em M e N, respectivamente, com p U e f(u ) V. Então, no aberto ϕ (U U), temos: ψ f ϕ 1 = (ψ ψ 1 ) (ψ f ϕ 1 ) (ϕ ϕ 1 ). Como ϕ e ϕ, ψ e ψ são C k -compatíveis e ψ f ϕ 1 é de classe C r, segue que ψ f ϕ 1 é de classe C r. Definição Uma aplicação f : M N é um difeomorfismo de classe C k se f é uma bijeção de classe C k, cuja inversa f 1 : N M também é de classe C k. Uma aplicação f : M N chama-se um difeomorfismo local de classe C k se todo ponto p M possui uma vizinhança aberta U M tal que f(u) N é aberto e f U : U f(u) seja um difeomorfismo de classe C k. Exemplo Se U é um aberto de R n, então U é uma variedade diferenciável de classe C e dimensão n, e a aplicação identidade Id : U U é uma carta em U. Assim, dado uma variedade diferenciável M m de classe C k, uma aplicação f : U M é de classe C r se, e somente se, para todo p U, existem um aberto W U, com p W, e uma carta local ψ : V ψ(v ) em M, com f(w ) V, tal que ψ f W é de classe C r. Disso decorre, em particular (no caso em que M = R m ), que f é diferenciável no sentido de variedades se, e somente se, é diferenciável no sentido do Cálculo. A proposição seguinte mostra que as cartas locais de uma variedade M são nada mais que difeomorfismos entre abertos de M e abertos do espaço Euclidiano. 18

22 Proposição Seja (M n, A) uma variedade diferenciável de classe C k. Dados um subconjunto U M e um aberto W R n, então uma bijeção ϕ : U W pertence ao atlas A se, e somente se, U é aberto em M e ϕ é um difeomorfismo de classe C k. Demonstração. Suponha ϕ : U W uma carta local de M. Assim, U é aberto em M. Considere as representações de ϕ e ϕ 1 em relação às cartas ϕ na variedade U e Id na variedade W. U ϕ W ϕ W Id ϕ ϕ 1 W Ambas essas representações são iguais a aplicação identidade de W, que é de classe C k. Logo, ϕ é um difeomorfismo de classe C k. Reciprocamente, suponha que U é aberto em M e que ϕ : U W seja um difeomorfismo de classe C k. Devemos provar que ϕ é C k -compatível com o atlas A. Dado (V, ψ) A, como ϕ e ψ são homeomorfismos entre abertos, segue que ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos de R n. A aplicação de transição ψ ϕ 1 é de classe C k pois ela é a representação da aplicação ϕ 1 : W U de classe C k, em relação às cartas locais Id : ϕ(u V ) ψ(u V ) e ψ U V : U V ψ(u V ). Analogamente se prova que ϕ ψ 1 é de classe C k. O corolário seguinte é útil quando queremos provar resultados sobre unicidade de estruturas diferenciáveis satisfazendo certas condições. Corolário Sejam A 1, A 2 atlas maximais de classe C k num conjunto M. Então A 1 = A 2 se, e somente se, a aplicação identidade Id : (M, A 1 ) (M, A 2 ) é um difeomorfismo de classe C k. Demonstração. Suponha que Id seja um difeomorfismo de classe C k. Assim, Id é, em particular, um homeomorfismo, logo A 1 e A 2 induzem a mesma topologia em M. Dado um aberto U M, denotemos por A 1 U, A 2 U os atlas induzidos em U por A 1 e A 2, respectivamente. Assim, Id : (U, A 1 U ) (U, A 2 U ) é um difeomorfismo de classe C k. Sejam V R n um aberto e ϕ : U V uma bijeção. Temos, assim, um diagrama comutativo: Id (U, A 1 U ) 1 ϕ Id (U, A 2 U ) V 19 2 ϕ

23 A flecha 1 no diagrama é um difeomorfismo de classe C k se, e somente se, a flecha 2 o for. Segue da Proposição que ϕ A 1 se, e somente se, ϕ A 2. Exemplo A função f : R R, dada por f(t) = t 3, é um homeomorfismo, cuja inversa é f 1 (t) = t 1/3, que não é diferenciável em t = 0. Logo, f não é um difeomorfismo. Sejam (R, A) e (R, B) estruturas de variedades diferenciáveis de classe C k em R, determinadas pelos atlas {(R, Id)} e {(R, f)}, respectivamente. Note que Id : R R e f : R R não são C k -compatíveis para nenhum k 1, pois (Id f 1 )(t) = t 1/3 não é diferenciável em t = 0. Assim (R, A) (R, B). Por outro lado, (R, A) e (R, B) são variedades difeomorfas, pois a aplicação φ : (R, A) (R, B), dada por φ(t) = t 1/3, é um difeomorfismo de classe C k. De fato, a representação de φ é a aplicação identidade Id : R R, que é de classe C k. Observação Em virtude do Exercício 1, segue que todo difeomorfismo é um homeomorfismo. Este fato reporta à questão natural de saber se, reciprocamente, duas variedades homeomorfas são necessariamente difeomorfas. Em R, é ralativamente simples provar que qualquer estrutura diferenciável é difeomorfa a estrutura canônica (R, A), onde A é o único atlas maximal que contém a aplicação identidade (cf. [18], Problem 9.24, ou [10], Problem 12.5). Em R 2 e R 3 a afirmação também é verdadeira. De fato, segue do trabalho de J. Munkres [17] (cf. também [15]) que toda variedade topológica de dimensão menor ou igual a 3 tem uma estrutura diferenciável que é única a menos de difeomorfismos. Em R 4 existem exemplos de estruturas diferenciáveis que não são difeomorfas à estrutura diferenciável usual (R 4, A). A existência de estruturas diferenciáveis, distintas da usual, em R 4 foram apresentadas por S. Donaldson e M. Freedman em 1984, como consequência de seus estudos em geometria e topologia das variedades compactas de dimensão 4. Os resultados podem ser encontrados em [4] e [5]. Na esfera S n, para n 6, quaisquer duas estruturas diferenciáveis são difeomorfas. Porém, na esfera S 7, J. Milnor [14] apresentou a existência de estruturas diferenciáveis que não são difeomorfas. Existem também espaços localmente Euclidianos que não possuem nenhuma estrutura diferenciável. M. Kervaire [9] exibiu exemplos em dimensão 10, e também exemplo de um espaço topológico homeomorfo à esfera S 9, mas que não são difeomorfos. 20

24 Exercícios 1. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k. Prove que toda aplicação f : M N de classe C r, 0 r k, é contínua. 2. Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N, g : N P aplicações de classe C r, 0 r k. Prove que g f : M N também é de classe C r. 3. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N uma aplicação. Prove que: (a) Se N 1 é um aberto em N e f(m) N 1, então f : M N é de classe C r se, e somente se, f : M N 1 é de classe C r, 0 r k. (b) A aplicação identidade Id : M M é de classe C k. Mais geralmente, se M 1 é um aberto de M então a aplicação inclusão i : M 1 M é de classe C k. (c) Se f : M N é de classe C r, 0 r k, então, para todo aberto M 1 M, a restrição f M1 : M 1 N é de classe C r. 4. Sejam M 1, M 2 variedades diferenciáveis de classe C k e M = M 1 M 2 seu produto cartesiano. Prove que existe um único atlas maximal A de classe C k em M tal que (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C k satisfazendo as seguintes propriedades: (a) As projeções π i : M M i são de classe C k, i = 1, 2. (b) Se N é uma variedade diferenciável de classe C k então uma aplicação f : N M é de classe C k se, e somente se, as aplicações coordenadas π i f : N M i são de classe C k, i = 1, 2. (c) A topologia induzida em M por A coincide com a topologia produto. 5. Seja M n uma variedade diferenciável de classe C k compacta. Prove que não existe um difeomorfismo local de classe C k f : M R n. 6. Sejam M, N conjuntos, f : M N uma aplicação bijetora e B um atlas maximal de classe C k em N. Prove que existe um único atlas maximal A de classe C k em M tal que f : (M, A) (N, B) seja um difeomorfismo de classe C k. 21

25 1.5 O espaço tangente Nesta seção estudaremos o espaço tangente a uma variedade diferenciável M. Começaremos com o caso dos modelos concretos, ou seja, o caso em que M é uma superfície de R n. Dado uma superfície M m R n de classe C k, dizemos que v R n é um vetor tangente a M no ponto p M se existe uma curva λ : I R n, onde I é um intervalo aberto de R contendo 0, diferenciável em t = 0, tal que λ(i) M, λ(0) = p e λ (0) = v. O conjunto de todos os vetores tangentes a M em p é chamado de espaço tangente a M em p, e será denotado por T p M. Observação Decorre diretamente da definição que se U é um aberto de uma superfície M m R n, então T p U = T p M, para todo p U. Em particular, se U é um aberto de R n, então T p U = T p R n = R n, para todo p U. Lema Sejam f : U R n uma aplicação de classe C k, onde U é um aberto de R m, e M r U, N s R n superfícies de classe C k tais que f(m) N. Então, df(p)(t p M) T f(p) N, para todo p M. Em particular, se f : U f(u) é um difeomorfismo de classe C k e f(m) = N, então df(p)(t p M) = T f(p) N, para todo p M. Demonstração. Dados p M e v T p M, seja λ : I M uma curva diferenciável em t = 0 tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Seja α = f λ. Tem-se α(0) = f(p) e α(i) N. Além disso, df(p) v = df(λ(0)) λ (0) = (f λ) (0) = α (0) T f(p) N. Logo, df(p)(t p M) T f(p) N, para todo p M. A última afirmação segue da parte já provada aplicada a f 1. Proposição Seja M m R n uma superfície de classe C k. Dado p M, temos: (a) T p M é um subespaço vetorial m-dimensional de R n. (b) Seja f : U R n m uma aplicação de classe C k, onde U é uma vizinhança de p em R n, e 0 R n m um valor regular de f tais que M U = f 1 (0). Então, T p M = ker df(p). (c) Se ϕ : U M V é uma parametrização de M, com p = ϕ(q), então T p M = dϕ(q)(r m ). 22

26 Demonstração. (a) Pelo Teorema 1.1.8, existem um aberto V de R n, com p V, e um difeomorfismo de classe C k ϕ : V ϕ(v ) tal que ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m. Assim, pelo Lema 1.5.2, temos: dϕ(p)(t p M) = dϕ(p)(t p (M V )) = T ϕ(p) (ϕ(v ) R m ) = T ϕ(p) R m = R m. Portanto, T p M = dϕ(p) 1 (R m ), i.e., T p M é um subespaço vetorial m- dimensional de R n. (b) Dado v T p M, seja λ : I M uma curva diferenciavel em t = 0 tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Seja ɛ > 0 tal que λ( ɛ, ɛ) M U. Assim, f(λ(t)) = 0, para todo t ( ɛ, ɛ). Portanto, df(p) v = df(λ(0)) λ (0) = (f λ) (0) = 0, i.e., v ker df(p). Isso implica que T p M ker df(p). Como ambos são subespaços vetoriais m-dimensionais de R n, segue a igualdade. (c) Pelo Lema 1.5.2, temos dϕ(q)(r m ) T p M. Como ambos são subespaços vetoriais m-dimensionais de R n, segue a igualdade. Exemplo Considere a esfera S n = {x R n+1 : x = 1}. Dado um ponto p S n, considere o subconjunto C p = {v R n+1 : v, p = 0}. Note que C p é um subespaço vetorial n-dimensional de R n+1. Dado v T p S n, seja λ : I S n uma curva diferenciável em t = 0 tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Derivando a identidade λ(t), λ(t) = 1, obtemos 2 λ (t), λ(t) = 0, para todo t I. Assim, para t = 0, obtemos v, p = 0, i.e., v C p. Logo, T p M C p. Como ambos são subespaços vetoriais m-dimensionais de R n, segue que T p S n = {v R n+1 : v, p = 0}. Exemplo Considere o grupo ortogonal O(n). Vimos no Exemplo que a matriz indentidade I M(n) é valor regular da aplicação diferenciável f : M(n) S(n) definida por f(x) = XX t, 23

27 para todo X M(n). Além disso, tem-se que O(n) = f 1 (I) e df(x) H = XH t +HX t, para toda matriz H M(n). Disso decorre, em particular, que df(i) H = H t + H. Logo, df(i) H = 0 se, e somente se, H é anti-simétrica. Portanto, T I O(n) = ker df(i) = A(n). Passaremos agora à noção de espaço tangente a uma variedade diferenciável M. Dados uma variedade diferenciável M n de classe C k e um ponto p M, denotemos por C p o conjunto de todas as curvas λ : I M de classe C k, com λ(0) = p, onde I R é um intervalo aberto contendo a origem. Dizemos que duas curvas λ, µ C p são equivalentes, e escreveremos λ µ, se existe uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, tal que (ϕ λ) (0) = (ϕ µ) (0). (1.1) Note que, como λ e µ são contínuas e U M é aberto, temos que as compostas ϕ λ e ϕ µ estão definidas numa vizinhança da origem em R. Observação A definição dada em (1.1) independe da escolha da carta. De fato, se (V, ψ) é outra carta local em M, com p V, segue da regra da cadeia que: (ψ λ) (0) = (ψ ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) (ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) (ϕ µ) (0) = (ψ µ) (0). Além disso, é fácil ver que a relação em C p, definida em (1.1), é uma relação de equivalência em C p. Definição O espaço tangente a M no ponto p, denotado por T p M, é definido por T p M = C p /. Dados um ponto p M e uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, definimos uma aplicação ϕ : T p M R n pondo ϕ([λ]) = (ϕ λ) (0), 24

28 para toda classe [λ] T p M. Da Observação segue que ϕ está bem definida. Dados [λ], [µ] T p M, temos: ϕ([λ]) = ϕ([µ]) (ϕ λ) (0) = (ϕ µ) (0) λ µ [λ] = [µ], ou seja, ϕ é injetora. Além disso, dado v R n, considere a curva α : I ϕ(u) definida por α(t) = ϕ(p) + tv. Pondo λ = ϕ 1 α, temos: ϕ([λ]) = (ϕ λ) (0) = (ϕ ϕ 1 α) (0) = α (0) = v, ou seja, ϕ é sobrejetora. Assim, ϕ induz uma estrutura de espaço vetorial em T p M: [λ] + [µ] = ϕ 1 (ϕ([λ]) + ϕ([µ])), c [λ] = ϕ 1 (c ϕ([λ])). (1.2) Observação A estrutura de espaço vetorial induzida em T p M, por (1.2), independe da escolha da carta local. De fato, se (V, ψ) é outra carta local de M, com p V, temos: ou seja, ψ([λ]) = (ψ λ) (0) = (ψ ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]), ψ = T ϕ, onde T é o isomorfismo linear T = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)). Portanto ψ 1 (ψ([λ]) + ψ([µ])) = (ϕ 1 T 1 )(T ϕ([λ]) + T ϕ([µ])) Analogamente tem-se = ϕ 1 (ϕ([λ]) + ϕ([µ])). ψ 1 (c ψ([λ])) = ϕ 1 (c ϕ([λ])), para qualquer c R. Portanto, quaisquer duas cartas locais em M induzem a mesma estrutura de espaço vetorial em T p M. Exercícios 1. Prove as afirmações feitas na Observação Prove que o espaço tangente a SL(n), na matriz identidade, é o subespaço das matrizes de traço nulo. 25

29 1.6 A diferencial Sejam M m, N n variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N uma aplicação de classe C r, 1 r k. Dado um ponto p M, definimos uma aplicação df(p) : T p M T f(p) N, chamada a diferencial de f no ponto p, pondo df(p) [λ] = [f λ], (1.3) para todo [λ] T p M. Verifiquemos que df(p) é uma transformação linear bem definida. De fato, considere cartas locais (U, ϕ) em M e (V, ψ) em N, com p U e f(u) V. Dado [λ] T p M, temos: ou seja, ψ([f λ]) = (ψ f λ) (0) = (ψ f ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]), df(p) [λ] = ψ 1 ( d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]) ). (1.4) A igualdade em (1.4) mostra que a classe [f λ] T f(p) N depende apenas da classe [λ], logo (1.3) está bem definido. Além disso, segue de (1.4) que o diagrama T p M ϕ R m df(p) d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) T f(p) N ψ (1.5) R n é comutativo. Portanto, df(p) : T p M T f(p) N é uma transformação linear. Dados uma carta local (U, ϕ) em M n e um ponto p U, denotemos por { } (p),..., (p) x 1 x n a base de T p M, induzida naturalmente pelo isomorfismo ϕ : T p M R n. Ou seja, x i (p) = ϕ 1 (e i ), 26

30 para todo 1 i n, onde {e 1,..., e n } denota a base canônica de R n. Assim, x i (p) = [λ i ], onde λ i = ϕ 1 α i e α i : I ϕ(u) é uma curva de classe C k tal que α i (0) = ϕ(p) e α i (0) = e i, para todo 1 i n. Proposição Sejam f : M m N n uma aplicação de classe C k e (U, ϕ), (V, ψ) cartas locais em M e N, respectivamente, com f(u) { V. Então, a matriz } da { diferencial de f em} p U, em relação às bases x i (p) : 1 i m, y j (f(p)) : 1 j n determinadas por ϕ e ψ, respectivamente, é a matriz jacobiana de ψ f ϕ 1 no ponto ϕ(p). Demonstração. Da comutatividade do diagrama (1.5), temos: df(p) x i (p) = n j=1 para todo 1 i m. a ij (f(p)) df(p) ϕ 1 (e i ) = y j n a ij ψ 1 (e j ) j=1 ψ ( df(p) ϕ 1 (e i ) ) = n a ij e j j=1 d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) e i = n a ij e j, Teorema (Regra da cadeia). Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C k, 1 k, e f : M N, g : N P aplicações de classe c k. Então, g f é de classe C k e, para todo p M, tem-se: j=1 d(g f)(p) = dg(f(p)) df(p). (1.6) Demonstração. A primeira afirmação é o conteúdo do Exercício 2. Para a segunda, seja [λ] T p M. Assim, d(g f)(p) [λ] = [g f λ] = [g (f λ)] = dg(f(p)) [f λ] = dg(f(p)) df(p) [λ]. Como [λ] é arbitrário, a igualdade (1.6) está provada. 27

31 Corolário Se f : M m N n é um difeomorfismo de classe C k então, para todo p M, a diferencial df(p) : T p M T f(p) N é um isomorfismo linear e df(p) 1 = d(f 1 )(f(p)). Demonstração. Basta aplicar o Teorema à igualdade f 1 f = Id no ponto p e à igualdade f f 1 = Id no ponto f(p) (cf. Exercício 1). Exemplo Sejam V um espaço vetorial real n-dimensional e ϕ : V R n um isomorfismo linear (então (V, ϕ) é uma carta em V ). Dado um vetor p V, afirmamos que o isomorfismo ϕ 1 ϕ : T p V V não depende de ϕ. De fato, dado outro isomorfismo ψ : V R n, temos: ψ([λ]) = (ψ λ) (0) = (ψ ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]), para todo [λ] T p M. Como ψ ϕ 1 é linear, temos d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) = ψ ϕ 1. Assim, ψ = ψ ϕ 1 ϕ, logo ψ 1 ψ = ϕ 1 ϕ. Observação O Exemplo permite-nos realizar a seguinte convenção: se V é um espaço vetorial real n-dimensional então, para todo p V, identificamos o espaço tangente T p V com o próprio espaço vetorial V através do isomorfismo ϕ 1 ϕ : T p V V, onde ϕ : V R n é um isomorfismo arbitrário. No caso particular em que V = R n, identificamos T p R n com R n, para qualquer p R n, através do isomorfismo Id : T p R n R n induzido pela carta (R n, Id) em R n. Trabalharemos, então, como se T p R n = R n, para todo p R n, e como se Id : T p R n R n fosse a aplicação identidade de R n, para todo p R n. Lema Sejam M n uma variedade diferenciável de classe C k e W M um aberto. Então, para todo p W, a diferencial da aplicação inclusão i : W M é um isomorfismo linear de T p W sobre T p M. Demonstração. Seja (U, ϕ) uma carta local em W. Como W é aberto em M, (U, ϕ) é também uma carta em M. A representação de i em relação às cartas ϕ e ϕ é a aplicação identidade do aberto ϕ(u) de R n. Logo, d(ϕ i ϕ 1 )(ϕ(p)) é a aplicação identidade de R n. Sejam ϕ W, ϕ M os 28

32 isomorfismos induzidos pela carta ϕ nas variedades W e M, respectivamente. Assim, di(p) = (ϕ M ) 1 Id ϕ W = (ϕ M ) 1 ϕ W Como ϕ W e ϕ M são isomorfismos, segue que di(p) também é um isomorfismo. W i M T p W di(p) T i(p) M ϕ ϕ(u) Id ϕ ϕ(u) ϕ W R n Id R n ϕ M Observação O Lema permite-nos adotar a seguinte convenção: se W é um aberto de uma variedade diferenciável M, identificamos o espaço tangente T p W com o espaço tangente T p M, através do isomorfismo di(p) : T p W T i(p) M. Em virtude da identificação acima, temos também o seguinte resultado sobre a diferencial da restrição de uma aplicação a um aberto. Lema Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, M 1 M, N 1 N subconjuntos abertos e f : M N uma aplicação de classe C k tal que f(m 1 ) N 1. Se f 1 : M 1 N 1 denota a restrição de f a M 1, então df 1 (p) = df(p), para todo p M 1. Demonstração. Denotando por i : M 1 M e j : N 1 N as aplicações de inclusão, temos que j f 1 = f i. A conclusão segue então da regra da cadeia, observando que, em virtude da identificação acima, di(p) é a aplicação identidade de T p M e dj(f(p)) é a aplicação identidade de T f(p) N. Lema Seja (U, ϕ) uma carta local em uma variedade diferenciável M n de classe C k. Então, para todo p U, a diferencial dϕ(p) coincide com o isomorfismo induzido ϕ p : T p M R n. Demonstração. Para calcular a diferencial dϕ(p), podemos considerar ϕ como uma aplicação com contra-domínio R n, em vez de ϕ(u) (cf. Lema 1.6.8). Em relação às cartas ϕ em U e Id em R n, a representação da aplicação ϕ é a aplicação de inclusão i do aberto ϕ(u) em R n. Assim, di(ϕ(p)) é a aplicação identidade de R n. U ϕ R n T p U dϕ(p) T ϕ(p) R n ϕ ϕ(u) i R n Id ϕ U R n Id R n Id 29

33 A diferencial de ϕ no ponto p é dada então por dϕ(p) = Id 1 Id ϕ U = Id ϕ U. Como identificamos T p U = T p M e T ϕ(p) R n = R n, então ϕ U = ϕ e Id = Id, logo dϕ(p) = ϕ p. Observação A partir de agora abandonaremos a notação ϕ para o isomorfismo induzido pela carta ϕ. Em virtude do Lema 1.6.9, usaremos dϕ(p) em vez de ϕ p. Teorema (Aplicação inversa). Seja f : M m N n uma aplicação de classe C k, 1 k. Se p M é tal que df(p) : T p M T f(p) N é um isomorfismo, então existe um aberto W M, com p W, tal que f(w ) é aberto em N e f W : W f(w ) é um difeomorfismo de classe C k. Demonstração. Sejam (U, ϕ), (V, ψ) cartas locais em M e N, respectivamente, com p U e f(u) V. A representação de f, f = ψ f ϕ 1, é de classe C k e, pela regra da cadeia, temos: d f(ϕ(p)) = dψ(f(p)) df(p) dϕ(p) 1. Como dψ(f(p)) e dϕ(p) são isomorfismos, segue que d f(ϕ(p)) é um isomorfismo de R n. Assim, pelo Teorema da Aplicação Inversa em espaços Euclidianos, existe um aberto W R m, com ϕ(p) W ϕ(u), tal que f( W ) ψ(v ) é aberto em R n e f W : W f( W ) é um difeomorfismo de classe C k. Tome W ( = ϕ 1 ) ( W ). Segue então que W é aberto em M, p W, f(w ) = ψ 1 f( W ) é aberto em N e f W : W f(w ) é um difeomorfismo de classe C k, pois ) ( ) f W = (ψ 1 f( W ) f W (ϕ W ) é uma composição de difeomorfismos de classe C k. Corolário Seja f : M N uma aplicação de classe C k. Se df(p) : T p M T f(p) N é um isomorfismo linear, para todo p M, então f é um difeomorfismo local de classe C k. Em particular, se f é injetora, então f é um difeomorfismo de classe C k sobre f(m), que é um aberto de N. Demonstração. Segue diretamente do Teorema Corolário Seja f : M N uma aplicação de classe C k. O conjunto dos pontos p M tais que df(p) é um isomorfismo é aberto em M. 30

34 Demonstração. Se df(p) é um isomorfismo e se W é a vizinhança aberta de p dada pelo Teorema , então df(q) é um isomorfismo, para todo q W. Exercícios 1. Dado uma variedade diferenciável M de classe C k, prove que a diferencial da aplicação identidade Id : M M, em qualquer ponto p M, é a aplicação identidade em T p M. 2. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, 0 k. Prove que uma aplicação constante f : M N é de classe C k. Se k 1, prove que df(p) = 0, para todo p M. 3. Seja f : M N uma aplicação de classe C k. Prove que se df(p) = 0, para todo p M e se M é conexa, então f é constante. 4. Seja f : M R uma função de classe C k. Prove que se p M é um ponto de máximo ou de mínimo local de f, então p é um ponto crítico de f. 5. Se M é uma variedade diferenciável compacta de classe C k, prove que toda função f : M R de classe C k tem, pelo menos, dois pontos críticos. 6. Se M n é uma variedade diferenciável compacta de classe C k, k 1, prove que toda aplicação f : M R n de classe C k tem, pelo menos, um ponto crítico, i.e., existe pelo menos um ponto p M tal que df(p) não é sobrejetora. 31

35 Capítulo 2 Subvariedades 2.1 As formas locais Nesta seção demonstraremos a versão para variedades diferenciáveis de alguns resultados básicos do Cálculo, que descrevem a estrutura local das aplicações diferenciáveis de posto máximo entre variedades diferenciáveis. Definição Sejam M m, N n variedades diferenciáveis de classe C k, 1 k, e f : M N uma aplicação de classe C r, 1 r k. Dizemos que f é uma imersão no ponto p M se a diferencial df(p) : T p M T f(p) M é injetora. Se f é uma imersão em todo ponto p M, diremos simplesmente que f é uma imersão. Note que se f é uma imersão em p M tem-se, necessariamente, m n. Exemplo Um exemplo simples de imersão é a aplicação inclusão f : R m R m R n dada por f(p) = (p, 0), para todo p R m. Como f é linear, tem-se df(p) = f, para todo p R m, logo f é uma imersão de classe C. Exemplo Um exemplo de imersão de classe C que não é injetora é a curva f : R R 2 definida por f(t) = (t 3 t, t 2 ), para todo t R. De fato, tem-se f (t) (0, 0), para todo t R, e f(1) = f( 1). Um exemplo de uma aplicação de classe C, injetora, que não é imersão é a ciclóide g : R R 2 dada por g(t) = (t sin t, 1 cos t), para todo t R. Observe que g (t) = (0, 0) para todo t = 2kπ, k Z. 32

36 O teorema seguinte mostra que toda imersão de classe C k se comporta, localmente, como a inclusão do Exemplo Teorema (Forma local das imersões). Seja f : M m N n uma aplicação de classe C k que é uma imersão num ponto p M. Então, existem uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, e um difeomorfismo ξ : V ϕ(u) W de classe C k, onde V N é um aberto contendo f(u) e W R n m é um aberto contendo 0, tais que para todo x ϕ(u). (ξ f ϕ 1 )(x) = (x, 0) R m R n m, Demonstração. Sejam (U, ϕ), (V, ψ) cartas locais em M e N, respectivamente, com p U e f(u) V. Como df(p) é injetora, segue da Proposição que d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) também é injetora. Pela Forma local das imersões em espaços Euclidianos, restringindo os domínios, se necessário, existe um difeomorfismo η : ψ(v ) ϕ(u) W de classe C k, onde W R n m é um aberto contendo 0, tal que é a aplicação de inclusão, i.e., Agora, basta definir ξ = η ψ. η (ψ f ϕ 1 ) : ϕ(u) ϕ(u) W x ϕ(u) (x, 0) R m R n m. Observação O difeomorfismo ξ = η ψ no Teorema será uma carta local em N se a classe de diferenciabilidade de N for exatamente igual a k. Corolário Seja f : M N uma aplicação de classe C k. Então, o conjunto dos pontos p M tais que f é uma imersão em p é aberto em M. Demonstração. Com a notação do enunciado do Teorema 2.1.4, temos que se f é uma imersão em p então f é uma imersão em q, para todo q U, pois ξ f ϕ 1 é uma imersão em ϕ(q), e as aplicações ϕ e ξ são difeomorfismos. Corolário Seja f : M m N n uma imersão de classe C k. Então, uma aplicação g : P r M m é de classe C k se, e somente se, g é contínua e a composta f g é de classe C k. 33

37 Demonstração. Dado um ponto p P, segue do Teorema que existem uma carta local (U, ϕ) em M, com g(p) U, e um difeomorfismo ξ : V ξ(v ) de classe C k, com f(u) V, tais que ξ f ϕ 1 é dada por (ξ f ϕ 1 )(x) = (x, 0), para todo x ϕ(u). Como g é contínua, existe um aberto W P contendo p tal que g(w ) U. Além disso, como f g é de classe C k, para toda carta local (Z, ψ) em P, com p Z W, tem-se que ξ (f g) ψ 1 : ψ(z) ξ(v ) é de classe C k. No entanto, como ( ξ (f g) ψ 1 ) (x) = (ξ f ϕ 1 ) (ϕ g ψ 1 )(x) = ( (ϕ g ψ 1 )(x), 0 ), segue que ϕ g ψ 1 é de classe C k, logo g é de classe C k. A recíproca segue diretamente da regra da cadeia (cf. Exercício 2). Corolário Sejam N uma variedade diferenciável de classe C k, (M, τ) um espaço topológico e f : M N uma aplicação contínua. Então existe, no máximo, uma estrutura de variedade diferenciável de classe C k em M que torna f uma imersão de classe C k tal que τ A = τ. Demonstração. Suponha que existam dois atlas maximais de classe C k em M, A e B, tais que f : (M, A) N e f : (M, B) N sejam imersões de classe C k. Como τ A = τ B, a aplicação identidade Id : (M, A) (M, B) é contínua. Como f Id = f, segue do Corolário que Id é de classe C k. Analogamente tem-se que Id : (M, B) (M, A) é de classe C k. Portanto, Id : (M, A) (M, B) é um difeomorfismo de classe C k e, pelo Corolário 1.4.6, segue que A = B. Definição Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, 1 k. Dizemos que uma aplicação f : M N é um mergulho de classe C r, 1 r k, se f é uma imersão de classe C r e se a aplicação f : M f(m) é um homeomorfismo, onde f(m) é munido da topologia induzida de N. Nem toda imersão injetora é um mergulho (cf. Exercício 1). No entanto, temos um resultado local. Proposição Seja f : M m N n uma imersão de classe C k. Então, todo ponto p M possui uma vizinhança aberta U M tal que f U : U N é um mergulho de classe C k. 34

38 Demonstração. Basta observar que a inclusão R m R m {0} n m R n, assim como qualquer restrição dessa inclusão a abertos de R m e R n, é um mergulho e que, pelo Teorema 2.1.4, toda imersão é localmente representada em cartas apropriadas por uma inclusão como essa. Definição Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, 1 k, e f : M N uma aplicação de classe C r, 1 r k. Dizemos que f é uma submersão no ponto p M se a diferencial df(p) : T p M T f(p) M é sobrejetora. Se f é uma submersão em todo ponto p M, diremos simplesmente que f é uma submersão. Exemplo Uma função f : M R de classe C k é uma submersão de classe C k em p M se, e somente se, df(p) 0. De fato, isso segue do fato de que um funcional linear é sobrejetor ou é nulo. Exemplo Dado uma decomposição em soma direta do tipo R m+n = R m R n, seja π : R m+n R m a projeção sobre o primeiro fator, i.e., π(x, y) = x. Como π é linear, tem-se dπ(x, y) = π, para todo (x, y) R m+n, logo π é uma submersão de classe C. O teorema seguinte mostra que o Exemplo é, em cartas locais apropriadas, o caso mais geral de uma submersão. Teorema (Forma local das submersões). Seja f : M m N n uma aplicação de classe C k que é uma submersão num ponto p M. Então, dado uma carta local (V, ψ) em N, com f(p) V, existe um difeomorfismo ξ : U ψ(v ) W de classe C k, onde U M é um aberto contendo p, com f(u) V, e W R m n é um aberto, tais que (ψ f ξ 1 )(x, y) = x R n, para todo (x, y) ψ(v ) W R n R m n. Demonstração. Sejam (U, ϕ), (V, ψ) cartas locais em M e N, respectivamente, com p U e f(u) V. Como df(p) é sobrejetora, segue da Proposição que d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) também o é. Assim, pela Forma local das submersões em espaços Euclidianos, restringindo os domínios, se necessário, existe um difeomorfismo η : ϕ(u) ψ(v ) W de classe C k, onde W R m n é um aberto, tal que (ψ f ϕ 1 ) η 1 : ψ(v ) W ψ(v ) é a aplicação projeção sobre o primeiro fator, i.e., ( (ψ f ϕ 1 ) η 1) (x, y) = x, para todo (x, y) ψ(v ) W. Assim, basta considerar ξ = η ϕ. 35

39 Corolário Seja f : M N uma aplicação de classe C k. Então, o conjunto dos pontos p M tais que f é submersão em p é aberto em M. Demonstração. Com a notação do enunciado do Teorema , temos que se f é uma submersão em p então f é uma submersão em q, para todo q U, pois ψ f ξ 1 é submersão em ξ(q), e as aplicações ξ e ψ são difeomorfismos. Corolário Seja π : M m N n uma submersão sobrejetora de classe C k. Então, uma aplicação f : N n P r é de classe C k se, e somente se, f π é de classe C k. Demonstração. Dado um ponto q N, seja p M tal que π(p) = q. Como π é uma submersão, segue do Teorema que existem uma carta local (V, ψ) em N e um difeomorfismo ξ : U ψ(v ) W de classe C k, com π(u) V, tais que (ψ π ξ 1 )(x, y) = x, para todo (x, y) ψ(v ) W. Além disso, como f π é de classe C k, dado uma carta local (Z, ϕ) em P, com f(q) Z, restringindo U e V, se necessário, temos que f(v ) Z e ϕ (f π) ξ 1 : ψ(v ) W ψ(z) é de classe C k. No entanto, como ( ϕ (f π) ξ 1 ) (x, y) = (ϕ f ψ 1 ) (ψ π ξ 1 )(x, y) = (ϕ f ψ 1 )(x), segue que ϕ f ψ 1 é de classe C k, logo f é de classe C k. A recíproca segue diretamente da regra da cadeia. Definição Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, 1 k, e f : M N uma aplicação de classe C r, 1 r k. O posto de f num ponto p M, denotado por rankf(p), é definido como sendo o posto da transformação linear df(p), i.e., a dimensão da imagem de df(p). Assim, o posto de uma aplicação f : M m N n de classe C r não pode ser maior do que m nem maior do que n. Se f é uma imersão, então f tem posto igual a m em todos os pontos p M. Por outro lado, se f é uma submersão, então f tem posto igual a n em qualquer ponto p M. Por esse motivo é que imersões e submersões são chamadas de aplicações de posto máximo. 36

40 Observação Se f : M m N n é uma aplicação de classe C k, então o posto de f é uma função semi-contínua inferiormente. Ou seja, se f tem posto r num ponto p M, existe uma vizinhança aberta U de p em M tal que em todo ponto de U o posto de f é maior ou igual a r. De fato, existe um determinante menor r r da matriz jacobiana df(p) que é diferente de 0. Por continuidade, este mesmo determinante menor é não-nulo em todos os pontos de uma vizinhança U de p. Nestes pontos, o posto de f é, portanto, pelo menos igual a r. No teorema seguinte admitiremos, por simplicidade, que a classe de diferenciabilidade das variedades M e N seja a mesma da aplicação f. Teorema (Teorema do posto). Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k e f : M m N n uma aplicação de classe C k. Suponha que f tenha posto igual a r min{m, n} em todos os pontos de M. Então, dado um ponto p M, existem cartas locais (U, ϕ), (V, ψ) em M e N, respectivamente, com p U e f(u) V, tais que para todo x = (x r, x m r ) ϕ(u). (ψ f ϕ 1 )(x) = (x r, 0) R r R n r, Demonstração. Sejam (U 1, ϕ 1 ), (V 1, ψ 1 ) cartas locais em M e N, respectivamente, com p U 1 e f(u 1 ) V 1. Disso decorre que a representação de f, ψ 1 f ϕ 1 1, tem posto r em todos os pontos do aberto ϕ 1(U 1 ). Pelo Teorema do posto em espaços Euclidianos, existem abertos W, W R m, Z, Z R n e difeomorfismos α : W W, β : Z Z de classe C k, com ϕ 1 (p) W ϕ 1 (U 1 ) e (ψ 1 f ϕ 1 1 )(W ) Z, tais que ( β (ψ1 f ϕ 1 1 ) α 1) (x) = (x r, 0) R r R n r, para todo x W. Para completar a prova, basta tomar U = ϕ 1 1 (W ), ϕ = α ϕ 1 U, V = ψ1 1 (ψ 1(V 1 ) Z), ψ = β ψ 1 V e observar que para todo x W = ϕ(u). (ψ f ϕ 1 )(x) = ( β (ψ 1 f ϕ 1 1 ) α 1) (x), Proposição Seja f : M m N n uma aplicação de classe C k. Para cada r = 0, 1,..., s = min{m, n}, denotemos por A r o interior do subconjunto de M no qual f tem posto igual a r. Então, o conjunto é aberto e denso em M. A = A 0... A s 37

41 Demonstração. Dado um aberto V M, denotemos por s o valor máximo do posto de f em V. Como p rankf(p) é uma função semi-contínua inferiormente, se p V é tal que rankf(p) = s, então existe um aberto U V contendo p tal que rankf(q) = s, para todo q U. Assim, U V A s V A, logo A é denso em M. Exercícios 1. Considere a curva f : ( 1, + ) R 2 dada por f(t) = (t 3 t, t 2 ). Verifique que f é uma imersão de classe C, injetora, mas não é um mergulho. 2. Encontrar uma imersão f : R R 2 de classe C, e uma função descontínua g : R R tais que f g seja de classe C. 3. Seja f : M N uma imersão de classe C k injetora. Prove que se M é compacta então f é um mergulho de classe C k. 4. Seja f : M m N n uma aplicação de classe C k, 1 k. Prove que: (a) Se f é injetora, então m n e o conjunto dos pontos nos quais f tem posto m é aberto e denso em M. (b) Se f é aberta, então m n e o conjunto dos pontos nos quais f tem posto n é aberto e denso em M. 5. Seja f : M N uma imersão de classe C k. Prove que, para todo p M, existem abertos U M e V N, com p U e f(u) V, de modo que a aplicação f U : U V admite uma inversa à esquerda g : V U de classe C k. 6. Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C k, π : M N uma submersão sobrejetora de classe C k, f : M P uma aplicação de classe C k e f : N P uma aplicação tal que f π = f. Prove que f é de classe C k. 7. Prove que uma submersão de classe C k f : M N, com M compacta e N conexa, é sobrejetora. 8. Prove que a aplicação quociente π : R n+1 \{0} RP n é uma submersão de classe C. 9. Seja M n uma variedade diferenciável de classe C k compacta. Prove que não existe uma submersão f : M R k, para qualquer k 1. 38

42 10. Sejam X um espaço topológico, Y um conjunto e π : X Y uma aplicação. (a) Prove que a coleção τ = {U Y : π 1 (U) é aberto em X} é uma topologia 1 em Y. (b) Prove que se Y é munido da topologia co-induzida por π então π : X Y é contínua. (c) Assuma que Y é munido da topologia co-induzida por π. Sejam Z um espaço topológico e f : X Z, f : Y Z aplicações tais que o diagrama X π Y comuta. Prove que f é contínua se, e somente se, f é contínua. 11. Sejam X, Y espaço topológicos e π : X Y uma aplicação. Prove que: (a) Se π é contínua, aberta e sobrejetora então π é uma aplicação quociente. (b) Se π é contínua, fechada e sobrejetora então π é uma aplicação quociente. (c) Se X é compacto, Y é Hausdorff e π é contínua e sobrejetora então π é uma aplicação quociente. 12. O objetivo deste exercício é provar que toda submersão é uma aplicação aberta. (a) Sejam X, X, Y, Ỹ espaços topológicos, ϕ : X X, ψ : Y Ỹ homeomorfismos e f : X Y uma aplicação. Prove que se ψ f ϕ 1 é uma aplicação aberta então f também é uma aplicação aberta. (b) Seja X, Y espaços topológicos e f : X Y uma aplicação. Suponha que para todo x X existem abertos U X e V Y, com x U e f(u) V, de modo que f U : U V seja uma aplicação aberta. Prove que f é uma aplicação aberta. 1 A topologia τ é chamada a topologia co-induzida por π em Y ; quando Y é munido da topologia co-induzida por π diz-se também que π é uma aplicação quociente. f f Z 39

43 (c) Prove que a projeção (x 1,..., x m ) R m (x 1,..., x n ) R n é uma aplicação aberta. (d) Use o Teorema e os itens anteriores para concluir que toda submersão é uma aplicação aberta. 13. Prove que toda submersão sobrejetora é uma aplicação quociente. 40

44 2.2 Subvariedades Nesta seção introduziremos o conceito de subvariedade. Em linhas gerais, uma subvariedade m-dimensional de uma variedade diferenciável N n é um subconjunto M de N tal que, em cartas locais apropriadas, a inclusão de M em N é representada pela inclusão de R m em R n, (x 1,..., x m ) R m (x 1,..., x m, 0,..., 0) R m R n m, ou seja, a relação entre R m e R n serve como um modelo para a relação existente entre uma subvariedade e uma variedade. Definição Seja N n uma variedade diferenciáve de classe C k. Dizemos que um subconjunto M N é uma subvariedade de classe C k e dimensão m de N, com 0 m n, se para todo p M, existe uma carta local (U, ϕ) em N, com p U, tal que ϕ(u M) = ϕ(u) R m. (2.1) Exemplo Toda superfície M m de classe C k de R n, no sentido da Seção 1.1, é também uma subvariedade de classe C k no sentido da Definição Isso decorre diretamente do Teorema 1.1.8, item (d). É de se esperar que uma subvariedade M m de uma variedade diferenciável N n de classe C k seja também em si uma variedade diferenciável. De fato, dado um ponto p M, seja (U, ϕ) uma carta em N, com p U, satisfazendo (2.1). Definimos uma aplicação ϕ : U M ϕ(u) R m (2.2) pondo ϕ = ϕ U M. Com a notação acima, podemos enunciar o seguinte Teorema O conjunto A formado por todas as aplicações ϕ dadas em (2.2) é um atlas de classe C k em M, cuja topologia induzida em M coincide com a topologia induzida pela variedade N. Além disso, a aplicação inclusão i : M N é um mergulho de classe C k. Demonstração. Observe inicialmente que ϕ é bijetora e seu contra-domínio ϕ(u) R m é aberto em R m, logo (U M, ϕ) é uma carta local em M. Se (U, ϕ), (V, ψ) são cartas em N, com p U V, satisfazendo (2.1), então os conjuntos ϕ ((U M) (V M)) = ϕ ((U V ) (V M)) = ϕ(u V ) R m 41

45 e ψ ((U M) (V M)) = ψ ((U V ) (U M)) = ψ(u V ) R m são abertos em R m, pois ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos em R n. Além disso, a aplicação de transição ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) R m ψ(u V ) R m é uma restrição da aplicação de transição ψ ϕ 1 e é, portanto, um difeomorfismo de classe C k. Portanto, o conjunto A, formado por todas tais aplicações ϕ, é um atlas de classe C k em M. Afirmamos que a topologia τ A, induzida em M pelo atlas A, coincide com a topologia τ, induzida em M pela variedade N. De fato, dado uma carta (U, ϕ) em N, satisfazendo (2.1) então, relativamente a τ, o conjunto U M é aberto em M e a carta ϕ é um homeomorfismo, pois é restrição de um homeomorfismo. Logo a topologia τ faz com que os elementos de A sejam homeomorfismos definidos em abertos de M, o que mostra que as topologias τ e τ A coincidem. Em relação à aplicação inclusão i : M N, se (U, ϕ) é uma carta em N satisfazendo (2.1), temos que i(u M) U e a representação ĩ : ϕ(u) R m ϕ(u) de i em relação às cartas ϕ e ϕ é simplesmente a inclusão do aberto ϕ(u) R m de R m no aberto ϕ(u) de R n. Logo, ĩ é uma imersão de classe C k e, portanto, i U M = ϕ 1 ĩ ϕ é uma imersão de classe C k, já que ϕ e ϕ são difeomorfismos de classe C k. Como U M é uma vizinhança aberta de p em M e p é um ponto arbitrário de M, segue que i é uma imersão de classe C k. Finalmente, para mostrar que i é um homeomorfismo sobre sua imagem, basta provar que a aplicação identidade Id : M M é um homeomorfismo, onde o domínio de Id é munido da topologia τ A e o contra-domínio de Id é munido da topologia τ. Como ambas as topologias coincidem, segue que Id é de fato um homeomorfismo. O corolário seguinte é conhecido como o Teorema da mudança de contradomínio. Corolário Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, f : M N uma aplicação e P N uma subvariedade de classe C k tal que f(m) P. Seja f : M P a aplicação que difere de f apenas no contra-domínio. Então, f é de classe C k se, e somente se, f é de classe C k. 42

46 Demonstração. Denotando por i : P N a aplicação inclusão, temos que f = i f, i.e., o diagrama abaixo M f f N P i comuta. Suponha que f seja de classe C k. Como i : P N é um mergulho segue, em particular, que i : P i(p ) é um homeomorfismo. Logo, como f = i f e f é contínua, segue que f é contínua. Portanto, pelo Corolário 2.1.7, segue que f é de classe C k. A recíproca segue diretamente da regra da cadeia. Exemplo Seja W um aberto de uma variedade diferenciável M n de classe C k. Se (U, ϕ) é uma carta local em M, com U W, temos: ϕ(u W ) = ϕ(u) = ϕ(u) R n. Isso mostra que W é uma subvariedade de M, de classe C k e dimensão n. A carta ϕ em W, correspondente à carta (U, ϕ) de M, é igual a ϕ. Logo, a estrutura diferenciável induzida por M na subvariedade W, no sentido do Teorema 2.2.3, é constituída pelas cartas de M com domínio contido em W, ou seja, coincide com a estrutura diferenciável que M induz no subconjunto aberto W. Exemplo Seja W um subespaço de um espaço vetorial real V n- dimensional. Seja ϕ : V R n um isomorfismo tal que ϕ(w ) = R m, onde m = dim(w ). Então (V, ϕ) é uma carta local em V que satisfaz (2.1), logo W é uma subvariedade de V. A carta ϕ = ϕ W : W R m em W, associada a ϕ, é um isomorfismo e, portanto, a estrutura diferenciável induzida em W por V coincide com a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial W. O teorema seguinte fornece uma condição necessária e suficiente para que a imagem de uma variedade M por uma imersão f : M N seja uma subvariedade em N. Teorema Seja f : M m N n uma imersão de classe C k. Então, f(m) é uma subvariedade de classe C k de N se, e somente se, f : M f(m) é uma aplicação aberta em relação à topologia induzida em f(m). 43

47 Demonstração. Se f(m) é uma subvariedade de classe C k de N então, pelo Corolário 2.2.4, f : M f(m) é uma imersão de classe C k e, portanto, um difeomorfismo local de classe C k. Em particular, f : M f(m) é uma aplicação aberta. Reciprocamente, pelo Teorema 2.1.4, para cada p M, existem uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, e um difeomorfismo de classe C k ψ : V ϕ(u) W tal que para todo x ϕ(u). Segue então que (ψ f ϕ 1 )(x) = (x, 0), ψ(f(u)) = ϕ(u) R m R n. Como f : M f(m) é aberta, temos que f(u) é um aberto relativo a f(m) e, portanto, existe um aberto Ṽ em N tal que f(u) = Ṽ f(m). Podemos supor então, sem perda de generalidade, que Ṽ = V. Assim, ψ(v f(m)) = ψ(f(u)) = (ψ f ϕ 1 )(ϕ(u)) = ψ(v ) R m. Portanto, f(m) é uma subvariedade de classe C k de N. Corolário Se f : M m N n é um mergulho de classe C k, então f(m) é uma subvariedade de classe C k de N e f : M f(m) é um difeomorfismo de classe C k. Demonstração. Do Teorema 2.2.7, temos que f(m) é uma subvariedade de classe C k de N e f : M f(m) é um homeomorfismo de classe C k. Resta provar que f 1 é de classe C k. Dado p M, seja ψ : V f(m) ψ(v ) R m a carta em f(m) correspondente à carta (V, ψ) em N, como no Teorema Como f(u) = V f(m), faz sentido considerar a representação de f 1 : f(m) M em relação às cartas ψ e ϕ. Essa representação é igual à aplicação identidade do aberto ϕ(u). Assim, f 1 é de classe C k na vizinhança aberta V f(m) de f(p) em f(m). Como p M é arbitrário, segue que f 1 : f(m) M é de classe C k. Corolário Seja N uma variedade diferenciável de classe C k. Um subconjunto M N é uma subvariedade de classe C k se, e somente se, for imagem de um mergulho de classe C k. 44

48 Demonstração. Pelo Corolário 2.2.8, a imagem de um mergulho de classe C k é uma subvariedade de classe C k. Reciprocamente, toda subvariedade de classe C k é imagem de sua própria inclusão que, pelo Teorema 2.2.3, é um mergulho de classe C k. Corolário Seja f : M N uma aplicação de classe C k. Então o gráfico de f é uma subvariedade de classe C k de M N. Demonstração. Seja φ : M M N a aplicação definida por φ(p) = (p, f(p)), para todo p M. Então, φ é de classe C k pois suas coordenadas são de classe C k. Além disso, a primeira projeção π : M N M é uma inversa à esquerda de classe C k para φ. Assim, em virtude do Exercício 1, φ é um mergulho de classe C k. Portanto, pelo Corolário 2.2.9, Im(φ) = Gr(f) é uma subvariedade de classe C k de M N. Relacionaremos agora o espaço tangente a uma subvariedade com o espaço tangente da variedade ambiente. Sejam N uma variedade diferenciável de classe C k e M N uma subvariedade de classe C k. Denotando por i : M N a aplicação inclusão então, para todo p M, identificamos o espaço tangente T p M com a imagem da diferencial di(p) através do isomorfismo di(p) : T p M Im(di(p)). Note que, como i é um mergulho e, em particular, uma imersão, temos que di(p) é injetora e é, portanto, um isomorfismo sobre sua imagem. Trabalharemos então como se T p M fosse um subespaço de T p N e como se di(p) : T p M T p N fosse a aplicação inclusão de T p M em T p N. Exemplo Sejam V um espaço vetorial real n-dimensional e W V um subespaço. Então, como vimos no Exemplo 2.2.6, W é uma subvariedade de V. A aplicação inclusão i : W V é linear e, portanto, para todo p W, temos di(p) = i. Assim, T p W = di(p)(t p W ) = W T p V = V. Proposição Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, f : M N uma aplicação de classe C k, P M e Q N subvariedades de classe C k tais que f(p ) Q. Denote por f : P Q a restrição de f às subvariedades. Então f é de classe C k e d f(p) : T p P T f(p) Q é a restrição de df(p) : T p M T f(p) N a T p P, para todo p P. Demonstração. Denotando por i : P M e j : Q N as aplicações de inclusão, temos f i = j f. Como f e i são de classe C k, segue que f i é de classe C k. Além disso, como f i e f diferem apenas pelo contra-domínio, 45

49 segue do Corolário que f é de classe C k. A relação entre as diferenciais d f(p) e df(p) é obtida diferenciando a igualdade f i = j f num ponto p P usando a regra da cadeia e observando que, em relação à identificação acima, di(p) e dj(f(p)) são aplicações de inclusão. Corolário Seja f : M N um mergulho de classe C k. Então, para todo p M. T f(p) f(m) = Im(df(p)), Demonstração. Seja f : M f(m) a aplicação que difere de f apenas pelo contra-domínio. Então, f é um difeomorfismo de classe C k e, portanto, d f(p) é um isomorfismo. Em particular, a imagem de d f(p) coincide com T f(p) f(m). Como df(p) e d f(p) só diferem pelo contra-domínio, temos que df(p) e d f(p) possuem a mesma imagem. O teorema seguinte nos dá um método de obter subvariedades que são imagens inversas de valores regulares. Teorema Sejam f : M m N n uma aplicação de classe C k e c N um valor regular de f. Então, f 1 (c) é uma subvariedade de classe C k de M, com dimensão igual a m n. Além disso, para todo p f 1 (c), tem-se: T p f 1 (c) = ker(df(p)). Demonstração. Dado p f 1 (c), seja (V, ψ) uma carta em N, com c V e ψ(c) = 0. Pelo Teorema , existe uma carta (U, ϕ) em M, com p U e f(u) V, tal que (ψ f ϕ 1 )(x 1,..., x m ) = (x 1,..., x n ), (2.3) para todo (x 1,..., x m ) ϕ(u). Temos: ϕ(u f 1 (c)) = (ψ f ϕ 1 ) 1 (0) = ϕ(u) ( {0} n R m n). Seja T : R m R m um isomorfismo qualquer que transforma o subespaço {0} n R m n sobre R m n R m. Então, T ϕ : U T (ϕ(u)) é uma carta em M e (T ϕ)(u f 1 (c)) = T ( ϕ(u) ({0} n R m n ) ) = T (ϕ(u)) R m n, 46

50 ou seja, T ϕ é uma carta em M satisfazendo (2.1). Além disso, como ϕ é um difeomorfismo que transforma U f 1 (c) sobre ϕ(u) ({0} n R m n ), temos que dϕ(p) transforma o espaço tangente a U f 1 (c) no ponto p, que é igual a T p f 1 (c), sobre o espaço tangente a ϕ(u) ({0} n R m n ) no ponto ϕ(p), que é igual a {0} n R m n. Ou seja, dϕ(p) ( T p f 1 (c) ) = {0} n R m n. (2.4) Diferenciando (2.3) no ponto ϕ(p), obtemos: ( dψ(f(p)) df(p) dϕ(p) 1 ) (v 1,..., v m ) = (v 1,..., v n ), para todo (v 1,..., v m ) R m. Assim, ker ( dψ(f(p)) df(p) dϕ(p) 1) = {0} n R m n. (2.5) Como dψ(f(p)) e dϕ(p) são isomorfismos, temos: ker ( dψ(f(p)) df(p) dϕ(p) 1) = ker ( df(p) dϕ(p) 1) = dϕ(p) (ker(df(p))). (2.6) De (2.5) e (2.6), obtemos dϕ(p) (ker(df(p))) = {0} n R m n. Comparando com (2.4), obtemos então dϕ(p) ( T p f 1 (c) ) = dϕ(p) (ker(df(p))), o que implica que T p f 1 (c) = ker(df(p)). O teorema seguinte é uma aplicação do teorema do posto, e é um método útil para encontrar exemplos de subvariedades. Teorema Sejam M m, N n variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N uma aplicação de classe C k com posto constante e igual a r min{m, n} em todos os pontos de M. Então, para cada q f(m), tem-se que f 1 (q) é uma subvariedade fechada de M de dimensão m r. Demonstração. O conjunto f 1 (q) é fechado em M pois é a imagem inversa do fechado {q} em N por uma aplicação contínua. Dado p f 1 (q), segue do Teorema que existem cartas (U, ϕ), (V, ψ) em M e N, respectivamente, com p U, ϕ(p) = 0, f(u) V e ψ(q) = 0, tais que (ψ f ϕ 1 )(x) = (x r, 0) R r R n r, 47

51 para todo x = (x r, x m r ) ϕ(u). Disso decorre que os únicos pontos de U que são transformados em q por f são aqueles cujas r primeiras coordenadas são zero, i.e., f 1 (q) U = ϕ 1( (ψ f ϕ 1 ) 1 (0) ) Ou seja, = ϕ 1( {x ϕ(u) : x 1 =... = x r = 0} ). ϕ(u f 1 (q)) = ϕ(u) R m r. Portanto, f 1 (q) é uma subvariedade de M de dimensão m r. Corolário Se n m e se o posto de f é constante e igual a n em todo ponto de f 1 (q), então f 1 (q) é uma subvariedade fechada de M. Exercícios 1. Seja f : M N uma aplicação de classe C k. Se f possui uma inversa à esquerda, de classe C 1, prove que f é um mergulho de classe C k. 2. Sejam f : M N um difeomorfismo de classe C k e P M uma subvariedade de classe C k. Prove que f(p ) é uma subvariedade de classe C k de N, f P : P f(p ) é um difeomorfismo de classe C k e T f(p) f(p ) = df(p)(t p P ), para todo p P. 3. Dado uma aplicação de classe C k f : M N, prove que, para todo p M, o espaço tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) coincide com o gráfico de df(p). 4. Sejam N uma variedade diferenciável de classe C k e M N um subconjunto discreto, i.e., a topologia induzida em M por N é discreta. Prove que M é uma subvariedade de N de classe C k e dimensão zero. 5. Prove que o conjunto M = {(x, y) R 2 : x 4 = y 3 } é uma subvariedade de classe C 1 e dimensão 1 de R 2, mas não é de classe C A aplicação f : R R 2 definida por é um mergulho? f(t) = (2 cos t + t, sin t), 48

52 2.3 Partição da unidade Todos os resultados sobre variedades diferenciáveis apresentados no Capítulo 1 foram de natureza local e suas provas reduziram-se, através de escolhas de cartas locais apropriadas, a um problema de cálculo no espaço Euclidiano. Neste capítulo apresentaremos a primeira ferramenta para o estudo de propriedades globais de variedades diferenciáveis, a partição da unidade. Seja M uma variedade diferenciável de classe C k. O suporte de uma função f : M R de classe C r, 0 r k, denotado por suppf, é o fecho do conjunto dos pontos de M onde f não se anula, i.e., suppf = {p M : f(p) 0}. Isso significa que se p M é um ponto fora do suporte de f então f é nula numa vizinhança de p. Exemplo A função f : R R definida por { e 1/(1 x 2 ) se x < 1 f(x) = 0 se x 1, é diferenciável e tem suporte compacto; de fato, tem-se suppf [ 1, 1]. Definição Seja p M. Uma função f : M R de classe C k é uma função auxiliar em p se existe um aberto U M contendo p tal que f é constante e igual a 1 numa vizinhança de p com suppf U. O resultado principal desta seção é a existência de funções auxiliares. Consideremos, inicialmente, o seguinte lema auxiliar. Lema Existe uma função λ : R R de classe C tal que λ(r) [0, 1], λ(t) = 0 para todo t 2 e λ(t) = 1 para todo t 1. Demonstração. Considere a função α : R R definida por { e 1/t se t > 0 α(t) = 0 se t 0. Temos que α é de classe C e α(t) > 0, para todo t > 0. Defina α 1 : R R pondo α 1 (t) = α((1 t)(t 2)), para todo t R. Tem-se que α 1 é de classe C, α 1 (t) > 0 se t (1, 2) e α 1 (t) = 0 para t (1, 2). A função α 2 : R R definida por α 2 (t) = α 1 ( t) α 1 (t), 49

53 para todo t R, é uma função ímpar de classe C, que coincide com α 1 no intervalo (0, + ). A função procurada λ : R R é definida por λ(t) = 1 k t α 2 (s)ds, para todo t R, onde k = + α 1(s)ds = 2 1 α 1(s)ds. Note que a integral que define λ é sempre finita, pois α 2 (t) = 0 para todo t [ 2, 2]. Então, λ é de classe C e λ (t) = 1 k α 2(t). Temos que λ é constante nos intervalos (, 2], [ 1, 1] e [2, + ), pois α 2 é nula nestes intervalos. Temos também que λ é estritamente crescente nos intervalos [ 2, 1] e [1, 2]. Tem-se também λ(t) = 0 para todo t 2, pois α 2 (t) = 0 para t 2; também λ(t) = 0 para t 2, pois α 2 é uma função ímpar e, portanto, + α 2(s)ds = 0. Para completar a prova, basta verificar que λ( 1) = 1. Temos: λ( 1) = 1 k como queríamos. 1 2 α 2 (s)ds = 1 k 2 1 α 2 ( s)ds = 1 k 2 1 α 1 (s)ds = 1, Corolário Existe uma função φ : R n R de classe C tal que φ(r n ) [0, 1], φ(x) = 0 para todo x 2 e φ(x) = 1 para todo x 1. Demonstração. Basta considerar φ(x) = λ( x ), onde λ é uma função dada pelo Lema Temos que φ é de classe C em R n \{0}. Como φ é constante numa vizinhança da origem, segue que φ é de fato de classe C em R n. Teorema Seja M n uma variedade diferenciável de classe C k. Dados um ponto p M e um aberto V M contendo p, existe uma função auxiliar f : M R em p de classe C k, tal que f(m) [0, 1] e suppf V. Demonstração. Seja (U, ϕ) uma carta local em M, com p U. Como ϕ(u V ) é aberto em R n, contendo ϕ(p), existe r > 0 tal que B[ϕ(p); r] ϕ(u V ). Considere o difeomorfismo ξ : R n R n de classe C definido por ξ(x) = 2 (x ϕ(p)), r para todo x R n. Assim, ψ = ξ ϕ : U ξ(ϕ(u)) é uma carta em M tal que ψ(p) = 0. Além disso, ξ transforma B[ϕ(p); r] sobre a bola fechada com centro na origem e raio igual a 2, portanto, B[0; 2] ξ(ϕ(u V )) = ψ(u V ). 50

54 Seja φ uma função auxiliar dada pelo Corolário Definimos f : M R pondo: { φ(ψ(q)) se q U f(q) = 0 se q U. Como B[0; 2] ψ(u V ), a bola aberta B(0; 1) é uma vizinhança aberta de ψ(p) = 0 contida em ψ(u V ). Como ψ U V : U V ψ(u V ) é um homeomorfismo entre abertos, segue que ψ 1 (B(0; 1)) é uma vizinhança aberta de p contida em U V. Temos que a função f é constante e igual a 1 em ψ 1 (B(0; 1)) e, claramente, f(m) [0, 1]. Resta prova que suppf V e que f é de classe C k. Temos que B[0; 2] é um subconjunto compacto de ψ(u V ) e, portanto, ψ 1 (B[0; 2]) é um subconjunto compacto de U V. Como f é identicamente nula fora de ψ 1 (B[0; 2]) e M é Hausdorff, o compacto ψ 1 (B[0; 2]) é fechado e, portanto, suppf ψ 1 (B[0; 2]) U V V. Finalmente, observe que os conjuntos U e M\ψ 1 (B[0; 2]) constituem uma cobertura aberta de M. A restrição de f a U é de classe C k, pois tal restrição coincide com φ ψ. A restrição de f a M\ψ 1 (B[0; 2]) também é de classe C k, pois tal restrição é identicamente nula. Apresentaremos agora o conceito de partição da unidade, fazendo uso das funções auxiliares. Lembremos, inicialmente, que uma família de abertos {U α : α I} de uma variedade diferenciável M é localmente finita se todo ponto p M possui uma vizinhança aberta U M que intercepta no máximo um número finito de abertos U α. Definição Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k e M = α I U α uma cobertura aberta de M. Uma partição da unidade de classe C k subordinada à cobertura M = α I U α é uma família {ξ α : α I} de funções ξ α : M R de classe C k tal que: (a) ξ α (M) [0, 1], para todo α I. (b) suppξ α U α, para todo α I. (c) A família {suppξ α : α I} é localmente finita em M. (c) α I ξ α(p) = 1, para todo p M. Partições da unidade são usadas, por exemplo, para o estudo de integração em variedades. De fato, usando uma partição da unidade apropriada, 51

55 podemos escrever a integral de uma função f : M R como uma soma de integrais de funções f α que têm suporte contido no domínio de uma carta local. A integral de uma tal função reduz-se, essencialmente, ao cálculo da integral da representação dessa função na carta local em questão. Nas seções seguintes veremos algumas aplicações da partição da unidade. Observe que se {f α : α I} é uma família de funções f α : M R e se a família {suppf α : α I} é pontualmente finita, então a soma f = α I f α (2.7) nos dá uma função f : M R bem definida. De fato, para todo p M, temos que f α (p) = 0, exceto para um número finito de índices α I e, portanto, faz sentido considerar a soma f(p) = α I f α(p). A motivação para a condição (c) da Definição é dada pelo seguite lema. Lema Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k e {f α : α I} uma família de funções f α : M R de classe C k. Se a família {suppf α : α I} é localmente finita em M, então a função em (2.7) é de classe C k. Demonstração. Dado p M, podemos encontrar um aberto U M contendo p tal que U suppf α apenas para um número finito de índices α I, digamos α 1,..., α r. Assim, a restrição de f a U é igual à restrição de r j=1 f α j a U, que é uma função de classe C k. Portanto, todo ponto de M possui uma vizinhança aberta tal que a restrição de f a tal vizinhança é de classe C k. O lema seguinte constitui o passo principal da prova da existência de uma partição da unidade subordinada a uma dada cobertura aberta. Lema Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k e M = i I U i uma cobertura aberta de M. Então existe uma família {f j : j J} de funções f j : M R de classe C k satisfazendo as seguintes propriedades: (a) f j (p) 0, para quaisquer p M e j J. (b) Para todo j J, existe i I tal que suppf j U i. (c) A família {suppf j : j J} é localmente finita em M. 52

56 (d) j J f j(p) > 0, para todo p M. Demonstração. Como M é localmente compacta e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, M admite uma exaustão por compactos M = n=1 K n, i.e., cada K n é compacto e K n int(k n+1 ), para todo n 1 (cf. [12], Proposição 7.23). Defina K n = para n 0. Para todo n Z, o conjunto C n = K n \int(k n 1 ) é compacto. Como M é Hausdorrf, cada compacto C n é fechado e, além disso, temos: M = (K n \K n 1 ) = C n. n=1 De fato, dado p M, se n 1 é o menor inteiro tal que p K n então p K n \K n 1 C n. Sejam dados n 1 e p C n. Como M = i I U i é uma cobertura, existe i I tal que p U i. Assim, o conjunto int(k n+1 ) K c n 2 U i é uma vizinhança aberta de p e, portanto, o Teorema nos fornece uma função f (n,p) : M R de classe C k tal que f (n,p) (M) [0, 1], n=1 suppf (n,p) int(k n+1 ) K c n 2 U i e tal que f (n,p) é igual a 1 em uma vizinhança aberta V (n,p) de p. Obtemos dessa forma, para cada n 1, uma cobertura aberta C n p C n V (n,p) do compacto C n ; essa cobertura possui uma subcobertura finita, i.e., existe um subconjunto finito F n de C n tal que: C n p F n V (n,p). Obtivemos então uma família {f j : j J} de funções f j : M R de classe C k, onde J = {(n, p) : n 1, p F n }. Por construção temos f j (M) [0, 1], para todo j J. Além disso, para todo j J, existe i I tal que suppf j U i. Assim, os itens (a) e (b) estão provados. Provemos agora que a família {suppf j : j J} é localmente finita em M. Sejam p M e n 1, com p K n \K n 1. Assim, p int(k n+1 ) e p K n 1, logo int(k n+1 )\K n 1 é uma vizinhança aberta de p. Afirmamos que int(k n+1 )\K n 1 intercepta suppf j apenas para um número finito de índices j J. Seja então j J tal que suppf j intercepta int(k n+1 )\K n 1. Escrevemos j = (m, q) J, com m 1 e q F m. Temos que suppf j está contido em int(k m+1 ) Km 2 c e, portanto: (int(k n+1 )\K n 1 ) ( int(k m+1 ) Km 2 c ) = int(k n+1 ) Kn 1 c int(k m+1 ) Km 2 c. 53

57 O fato que K n+1 Km 2 c implica n + 1 > m 2. Analogamente K m+1 Kn 1 c implica m + 1 > n 1. Assim, n 1 m n + 2. Provamos então que: { j J : (int(kn+1 )\K n 1 ) suppf j } n+2 m=n 1 {m} F m. Isso prova o item (c). Como cada função f j é não negativa, é suficiente mostrar que para todo p M existe j J com f j (p) > 0. Seja n 1 tal que p C n. Temos p V (n,q) para algum q F n. Portanto, (n, q) = j J e f j (p) = 1. O teorema seguinte garante a existência de uma partição da unidade. Teorema Seja M uma variedade diferenciável de classe C k. À toda cobertura aberta M = i I U i de M podemos subordinar uma partição da unidade de classe C k. Demonstração. Seja {f j : j J} uma família de funções f j : M R dada pelo Lema Para cada j J, escolha i = σ(j) I tal que suppf j U i. Obtemos, então, uma função σ : J I. Para cada i I, definimos uma função ξ : M R pondo ξ i = f j, j σ 1 (i) onde entendemos que ξ = 0 se σ 1 (i) =. Como a família {suppf j : j J} é localmente finita, segue do Lema que ξ i é bem definida e de classe C k. Note também que ξ 0, já que f j 0. Para todo i I, temos: {p M : ξ i (p) 0} suppf j. j σ 1 (i) Usando novamente o fato que a família {suppf j : j σ 1 (i)} é localmente finita e levando em consideração que a união de uma família localmente finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado, concluimos que j σ 1 (i) suppf j é um conjunto fechado. Logo, supp ξ i suppf j U i. j σ 1 (i) Provemos que a família {supp ξ i : i I} é localmente finita. Seja p M. Como {suppf j : j J} é localmente finita, existe um aberto U M 54

58 contendo p que intercepta suppf j apenas para um número finito de índices j J. Se i I é tal que U supp ξ i então U suppf j, para algum j σ 1 (i). Ou seja {i I : U supp ξ i } σ ( {j J : U suppf j } ). Isso prova que {i I : U supp ξ i } é finito e, portanto, a família {supp ξ i : i I} é localmente finita. Segue então do Lema que a função ξ = i I ξ i é bem definida e de classe C k. Afirmamos que ξ é uma função positiva. De fato, como cada função ξ i é não negativa, é suficiente provar que, para todo p M, existe i I tal que ξ i (p) > 0. Sabemos que existe j J tal que f j (p) > 0 e, portanto, ξ i (p) > 0 se i = σ(j). Definimos agora ξ i = ξ i / ξ, para todo i I. Segue que ξ i : M R é uma função não negativa de classe C k, para todo i I e suppξ i = supp ξ i. Logo a família {suppξ i : i I} é localmente finita e suppξ i U i, para todo i I. Além disso, tem-se i I ξ i = 1 e como cada ξ i é não negativa temos ξ i (M) [0, 1], para todo i I. Portanto, {ξ i : i I} é uma partição da unidade subordinada à cobertura aberta M = i I U i. Exercícios 1. Sejam N uma variedade diferenciável de classe C k e M uma subvariedade fechada de N. Prove que se g : M R é uma função de classe C k então existe uma função f : N R de classe C k tal que f M = g. 2. Seja f : M R uma função de classe C k. Se N é outra variedade diferenciável e π : M N M é a projeção sobre o primeiro fator, prove que supp(f π) = (suppf) N. 3. Seja M m uma variedade diferenciável de classe C k. Dado p M, prove que existe uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, tal que ϕ é a restrição a U de uma aplicação f : M R m de classe C k. 55

59 2.4 Extensões de aplicações diferenciáveis Nesta seção demonstraremos um teorema sobre extensão de aplicações de classe C k numa variedade diferenciável. Mais precisamente, provaremos uma versão diferenciável do Teorema da Extensão de Tietze, que afirma ser possível estender toda função real contínua, definida num subconjunto fechado de um espaço normal, a uma função real contínua em todo o espaço (cf. Seção 10.2 de [12]). Apresentaremos, inicialmente, uma versão diferenciável do Lema de Urysohn (cf. [12], Proposição 8.12). Lema (Urysohn). Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k e F, G M subconjuntos fechados e disjuntos. Então existe uma função ξ : M R de classe C k, com ξ(m) [0, 1], tal que ξ(p) = 1, para todo p F, e ξ(p) = 0, para todo p G. Demonstração. Os conjuntos U 1 = M\F e U 2 = M\G constituem uma cobertura aberta de M. Assim, pelo Teorema 2.3.9, existe uma partição da unidade de classe C k {ξ 1, ξ 2 }, subordinada a esta cobertura, i.e., ξ i (M) [0, 1] e suppξ i U i, i = 1, 2. Disso decorre que suppξ 1 é disjunto de F e suppξ 2 é disjunto de G. Assim, ξ 2 (p) = 0 para todo p G e ξ 1 (p) = 0, para todo p F. Como ξ 1 + ξ 2 = 1, a hipótese ξ 1 (p) = 0 implica ξ 2 (p) = 1, para todo p F. Portanto, a função ξ = ξ 2 satisfaz as condições desejadas. Teorema (Tietze). Sejam M m uma variedade diferenciável de classe C k e f : U R n uma aplicação de classe C k definida num aberto U M. Então, para todo fechado F M, com F U, existe uma aplicação f : M R n de classe C k tal que f F = f F. Demonstração. Como M é normal (cf. Exercício 1), existe um aberto V M tal que F V e V U (cf. Exercício 2). A partir dos fechados disjuntos F e M\V obtemos, pelo Lema 2.4.1, uma função ξ : M R tal que ξ(p) = 1, para todo p F, e ξ(p) = 0 para todo p V. Defina f : M R n pondo f(p) = { ξ(p)f(p) se p U 0 se p M\U. Temos que a restrição de f aos abertos U e M\V é de classe C k. De fato, a restrição de f a U coincide com o produto (ξ U )f e a restrição de f a M\V é nula. Como M = U (M\V ), temos que f é de classe C k em M. Finalmente, como ξ F 1, segue que f F = f F. 56

60 Observação O Teorema não é válido para aplicações que tomam valores numa variedade arbitrária. Por exemplo, a aplicação identidade Id : S 1 S 1 não pode ser estendida a uma aplicação F : R 2 S 1, de classe C 2. De fato, suponha que exista uma aplicação F : R 2 S 1 de classe, pelo menos C 2, tal que F S 1 = Id. Escrevendo tem-se que F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)), f(cos t, sin t) = cos t e g(cos t, sin t) = sin t, para todo t R. Assim, se escrevermos df = f x dx + f y g g dy e dg = dx + x y dy, a integral curvilínea de fdg gdf sobre S 1 é dada por (fdg gdf) S 1 = (cos t d(sin t) sin t d(cos t)) S 1 = 2π D 2 0 (cos 2 t + sin 2 t)dt = 2π. Por outro lado, como S 1 = D 2, o Teorema de Green fornece: [( (fdg gdf) = f g S 1 S 1 x g f ) ( dx + f g x y g f ) ] dy y ( f g = 2 x y f ) g dxdy. y x Como a expressão dentro dos parênteses na integral dupla acima é identicamente nula, pois é o determinante cujas colunas são os vetores df (x, y) e 1 e df (x, y) e 2, os quais são colineares por serem tangentes a S 1 no mesmo ponto F (x, y), obtemos S 1 (fdg gdf) = 0, o que é uma contradição. 57

61 Exercícios 1. Prove que toda variedade diferenciável é regular e normal. 2. Prove que as seguintes afirmações sobre um espaço topológico X são equivalentes: (a) X é normal. (b) Dados um fechado F X e um aberto U X, com F U, existe um aberto V X com F V V U. 58

62 2.5 O teorema de mergulho de Whitney Nesta seção discutiremos o problema de saber se toda variedade diferenciável pode ser vista como subvariedade de algum espaço Euclidiano. Mais precisamente, dado uma variedade diferenciável M m de classe C k, queremos exibir um mergulho f : M m R n de classe C k, para algum n suficientemente grande. A resposta é positiva e foi provado por Whitney [20] em 1936 em um artigo que se tornou uma das referências no estudo das variedades diferenciáveis. Teorema (Whitney). Qualquer variedade diferenciável M m de classe C k pode ser mergulhada como uma subvariedade fechada de R 2m+1. A prova do Teorema tem sido simplificada e ganhado diferentes abordagens da prova original de Whitney. Dentre os textos clássicos da literatura Guillemin [6], Hirsch [8] e Lee [11], uma abordagem mais completa do assunto pode ser encontrada em [1], onde a prova do Teorema é apresentada com detalhes. O teorema seguinte é uma versão parcial do Teorema de Whitney, válida apenas para variedades compactas e sem a estimativa sobre a dimensão do espaço Euclidiano onde mergulhamos a variedade M. Teorema Qualquer variedade diferenciável compacta M m de classe C k pode ser mergulhada em algum espaço Euclidiano. Demonstração. Para cada ponto p M, escolha uma carta local (U p, ϕ p ) em M, com p U p. Como M é regular, todo ponto de M possui um sistema fundamental de vizinhanças fechadas (cf. Exercício 1). Assim, existem abertos W p, V p M tais que p W p W p V p V p U p. Pelo Teorema 2.4.2, existe uma aplicação φ p : M R m de classe C k que coincide com ϕ p no fechado V p. Pelo Lema 2.4.1, existe uma função ξ p : M R de classe C k que é igual a 1 no fechado W p e é igual a zero no fechado M\V p. Como M é compacta, a cobertura aberta M = p M W p possui uma subcobertura finita M = r i=1 W p i. Definimos uma aplicação f : M R n pondo: f(p) = ( φ p1 (p),..., φ pr (p), ξ p1 (p),..., ξ pr (p) ), para todo p M, onde n = rm + r. Tem-se que f é uma aplicação de classe C k. Provemos que f é um mergulho. De fato, dados p M e v T p M, 59

63 temos: df(p) v = ( dφ p1 (p) v,..., dφ pr (p) v, dξ p1 (p) v,..., dξ pr (p) v ). Assuma que df(p) v = 0. Seja s {1,..., r} tal que p W ps. Como as aplicações φ ps e ϕ ps coincidem no aberto W ps, temos que dϕ ps (p) v = dφ ps (p) v = 0. Como ϕ ps é um difeomorfismo, temos que dϕ ps (p) é um isomorfismo, donde concluimos que v = 0. Isso prova que f é uma imersão. Como M é compacta, para estabalecer que f é um mergulho é suficiente provar que f é injetora (cf. Exercício 2). Sejam p, q M com f(p) = f(q). Disso decorre que φ pi (p) = φ pi (q) e ξ pi (p) = ξ pi (q), para todo 1 i r. Seja s {1,..., r} tal que p W ps. Temos que ξ ps (p) = 1 e, portanto, ξ ps (q) = 1. Como ξ ps 0 em M\V ps, segue que q V ps. Como φ ps coincide com a carta ϕ ps em V ps, a restrição de φ ps a V ps é injetora. Assim, as condições φ ps (p) = φ ps (q) e p, q V ps implicam que p = q. Exercícios 1. Prove que um espaço topológico X é regular se, e somente se, todo ponto de X possui um sistema fundamental de vizinhanças fechadas, i.e., se, e somente se, para todo p X e para todo aberto U X contendo p existe um subconjunto fechado contido em U que contém p em seu interior. 2. Seja f : X Y uma aplicação contínua e bijetora, onde X é um espaço topológico compacto e Y é um espaço topológico de Hausdorff. Prove que f é um homeomorfismo. 60

64 Capítulo 3 Distribuições 3.1 O fibrado tangente Nesta seção estudaremos o fibrado tangente de uma variedade diferenciável, o espaço natural de se trabalhar quando estamos tratando de questões que envolvem posição e velocidade. Seja M m uma variedade diferenciável de classe C k. A cada ponto p M, associamos o espaço tangente T p M, que é um espaço vetorial real de dimensão m. Denotemos por T M a união disjunta de todos os espaços tangentes a M. Mais precisamente, definimos: T M = ( {p} Tp M ). p M O conjunto T M é chamado o fibrado tangente de M. Um dos objetivos desta seção é provar que T M pode ser visto de maneira natural como uma variedade diferenciável. Antes disso, definimos uma aplicação π : T M M da maneira natural: π(p, v) = p, para quaisquer p M e v T p M. A aplicação π é a projeção canônica de T M sobre M. Além disso, π é uma aplicação sobrejetora. Muitas vezes indentificaremos o espaço tangente T p M com o subconjunto {p} T p M de T M através da bijeção natural v (p, v). Teorema Seja M m uma variedade diferenciável de classe C k. Então o fibrado tangente T M é uma variedade diferenciável de classe C k 1 e dimensão 2m. 61

65 Demonstração. Dado uma carta local (U, ϕ) em M, definimos uma aplicação ϕ : π 1 (U) ϕ(u) R m pondo ϕ(p, v) = (ϕ(p), dϕ(p) v), para quaisquer p U e v T p M. Como ϕ é bijetora e dϕ(p) é um isomorfismo linear para todo p U, a aplicação ϕ é bijetora. Como ϕ(u) R m é um aberto de R 2m, segue que ϕ é uma carta local em T M. Provaremos que A = {ϕ : (U, ϕ) é carta de M} é um atlas de classe C k 1 em T M. Em primeiro lugar, é fácil ver que os domínios das aplicações de A cobrem T M. Sejam então (U, ϕ), (V, ψ) cartas em M. Temos: ϕ ( π 1 (U) π 1 (V ) ) = ϕ ( π 1 (U V ) ) = ϕ(u V ) R m e ψ ( π 1 (U) π 1 (V ) ) = ψ ( π 1 (U V ) ) = ψ(u V ) R m. Como ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos em R m, segue que ϕ ( π 1 (U) π 1 (V ) ) e ψ ( π 1 (U) π 1 (V ) ) são abertos de R 2m. Dado (x, h) ϕ(u) R m, tem-se que ϕ 1 (x, h) = (p, v), onde p = ϕ 1 (x) e v = dϕ(p) 1 h. Além disso, se p V então ψ(p, v) = (ψ(p), dψ(p) v). Temos: dψ(p) v = ( dψ(ϕ 1 (x)) dϕ(ϕ 1 (x)) 1) h = d(ψ ϕ 1 )(x) h. Assim, a aplicação de transição ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) R m ψ(u V ) R m, de ϕ para ψ, é dada por ( ψ ϕ 1 ) (x, h) = ( (ψ ϕ 1 )(x), d(ψ ϕ 1 )(x) h ). Como ψ ϕ 1 é de classe C k, segue que ψ ϕ 1 é de classe C k 1 (cf. Exercício 3). Analogamente, a aplicação inversa de ψ ϕ 1, que é igual a ϕ ψ 1, é também de classe C k 1. Isso prova que A é um atlas de classe C k 1 em T M. Resta provar que a topologia induzida por A em T M é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Antes disso, provemos que a projeção π é contínua, onde T M é munido da topologia induzida por A. De fato, se U M é o domínio de uma carta ϕ em M, então π 1 (U) é aberto em T M, pois π 1 (U) é o domínio da carta ϕ. Em geral, se U M é um aberto arbitrário, então U = α I U α, onde U α é o domínio de uma carta em M, para todo α I. Assim, π 1 (U) = α I π 1 (U α ) é aberto em T M. 62

66 Provemos então que a topologia τ A é Hausdorff. Sejam (p, v), (q, w) pontos distintos em T M. Se p q então, como M é Hausdorff, existem abertos disjuntos U, V M, com p U e q V. Assim, π 1 (U) e π 1 (V ) são abertos disjuntos em T M contendo (p, v) e (q, w), respectivamente. Se p = q, seja (U, ϕ) uma carta em M, com p U. Como dϕ(p) v dϕ(p) w, existem abertos disjuntos A, B R m contendo dϕ(p) v e dϕ(p) w, respectivamente. Assim, ϕ 1( ϕ(u) A ) e ϕ 1( ϕ(u) B ) são abertos disjuntos em T M contendo (p, v) e (q, w), respectivamente. Provemos agora que a topologia τ A satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Como M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, temos que o atlas maximal que define a estrutura diferenciável de M contém um atlas enumerável {ϕ i : i N}. Assim, {ϕ i : i N} é um atlas enumerável para T M e, portanto, T M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (cf. Exercícios 4 e 5). Veremos agora algumas propriedades básicas do fibrado tangente. Lema Seja M m uma variedade diferenciável de classe C k. Então a projeção π : T M M é uma aplicação de classe C k 1. Além disso, se k 2, então π é uma submersão. Demonstração. Seja (U, ϕ) uma carta local em M e considere a carta correspondente ϕ em T M. Como π(π 1 (U)) U, a representação de π em relação às cartas locais ϕ e ϕ é dada por (x, h) ϕ(u) R m x ϕ(u). Como a projeção (x, h) x é uma submersão de classe C e ϕ, ϕ são difeomorfismos de classe C k e C k 1, respectivamente, segue que a restrição de π a π 1 (U) é de classe C k 1 e é uma submersão se k 2. Como ϕ é uma carta arbitrária, segue a conclusão. Lema Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k e W M um subconjunto aberto. Então T W é um aberto de T M tal que a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente da variedade W coincide com a estrutura diferenciável que T M induz no aberto T W. Demonstração. Como T p W = T p M, para todo p W, temos que T W = π 1 (W ). Como π é contínua, segue que T W é aberto em T M. A estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de W é o atlas maximal de classe C k 1 que contém as cartas locais da forma ϕ, onde (U, ϕ) é uma carta de W. Mas se (U, ϕ) é uma carta de W então (U, ϕ) também é uma carta de M e, portanto, ϕ é uma carta de T M com domínio contido em 63

67 T W. Logo, ϕ pertence à estrutura diferenciável induzida por T M no aberto T W. Lema Se V é um espaço vetorial real de dimensão n então T V = V V. Além disso, a estrutura diferenciável usual de T V coincide com a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real V V, i.e., a estrutura diferenciável que contém os isomorfismos lineares entre V V e o espaço Euclidiano R 2n. Demonstração. Para todo p V, temos T p V = V e, assim: ( {p} Tp V ) = V V. p V Seja agora ϕ : V R n um isomorfismo linear. Assim, ϕ é uma carta para a variedade V e a carta correspondente ϕ : V V R n R n é dada por ϕ(p, v) = (ϕ(p), ϕ(v)). Logo, ϕ : V V R 2n é um isomorfismo linear. Portanto, tanto a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de V quanto a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real V V contém o atlas A = {ϕ : ϕ é carta de V }. Isso prova que tais estruturas diferenciáveis em T V = V V coincidem. Corolário Se W é um aberto de R n então T W = W R n, e a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de W coincide com a estrutura diferenciável induzida por R 2n no aberto W R n. Demonstração. Segue diretamente dos Lemas e Proposição Seja M m uma variedade diferenciável de classe C k, com k 2. Para todo p M, o espaço tangente T p M é uma subvariedade de classe C k 1 do fibrado tangente T M. Além disso, a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial T p M coincide com a estrutura diferenciável induzida por T M em T p M. Demonstração. Como T p M = π 1 (p) e π é uma submersão de classe C k 1 (cf. Lema 3.1.2), segue que T p M é uma subvariedade de classe C k 1 de T M. Dado uma carta (U, ϕ) em M, considere a carta correspondente ϕ em T M. Temos: ϕ ( π 1 (U) T p M ) = ϕ(t p M) = {ϕ(p)} R m. Considere o difeomorfismo φ : R 2m R 2m de classe C definido por φ(x, h) = (h, x ϕ(p)). 64

68 Segue que φ ϕ : π 1 (U) φ(ϕ(u) R m ) é uma carta em T M e: (φ ϕ) ( π 1 (U) T p M ) = R m = φ ( ϕ(u) R m) R m, i.e., φ ϕ é uma carta de T M que satisfaz a relação (2.1). A restrição de φ ϕ a T p M nos fornece uma carta local em T p M pertencente à estrutura diferenciável induzida por T M em T p M. Tal restrição é dada por v T p M (φ ϕ)(p, v) = dϕ(p) v R m. Mas dϕ(p) : T p M R m é um isomorfismo linear e, portanto, é também uma carta local pertencente à estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real T p M. Concluimos então que o atlas {dϕ(p)} em T p M está contido tanto na estrutura diferenciável induzida por T M em T p M como na estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real T p M. Exercícios 1. Prove que o fibrado tangente do círculo S 1, T S 1, é difeomorfo ao cilindro S 1 R. 2. Seja M m R n uma superfície de classe C k. Considere o conjunto S(M) = {(p, v) R n R n : p M, v T p M, v = 1}. Prove que S(M) é uma superfície de classe C k 1 e dimensão 2m 1, conhecida como o fibrado tangente unitário de M. Prove que S(M) é compacto se, e somente se, M é compacta. 3. Seja f : U R n uma aplicação de classe C k definida num aberto U R m. Prove que a aplicação φ : U R m R n, definida por φ(p, v) = df(p) v, é de classe C k Um espaço topológico X é chamado um espaço de Lindelöf se toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura enumerável. Prove que se X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então X é um espaço de Lindelöf. 5. Sejam M um conjunto e A um atlas em M. Prove que se A contém um atlas enumerável para M então a topologia induzida por A em M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. 65

69 3.2 Campos de vetores Nesta seção discutiremos o conceito de campo vetorial, uma das motivações para o estudo do fibrado tangente de uma variedade diferenciável. Definição Seja M uma variedade diferenciável de classe C k. Um campo vetorial em M é uma aplicação X : M T M tal que o diagrama M Id X T M π M comuta. Em outras palavras, X : M T M é um campo vetorial se, e somente se, X é uma inversa à direita da projeção canônica π. Um campo vetorial em M é também chamado de uma seção do fibrado tangente T M, no sentido de que X(p) T p M, para todo p M. Observe que, se M é de classe C k, um campo vetorial X : M T M é, no máximo, uma aplicação de classe C k 1, pois T M é uma variedade de classe C k 1. O conjunto de todos os campos vetoriais de classe C k 1 de uma variedade diferenciável de classe C k será denotado por X(M). Com as operações naturais (X + Y )(p) = X(p) + Y (p), (cx)p) = cx(p), para quaisquer X, Y X(M), p M e c R, o conjunto X(M) torna-se um espaço vetorial real (cf. Exercício 5). Dados um campo vetorial X : M T M e uma carta local (U, ϕ) em M, podemos escrever m X(p) = a i (p) (p), x i i=1 para { todo p U, onde } cada a i : U R é uma função no aberto U e x 1 (p),..., x m (p) é a base de T p M associada à carta ϕ. Considerando a carta ϕ : π 1 (U) ϕ(u) R m em T M, associada a ϕ, temos: ϕ(p, X(p)) = (ϕ(p), a 1 (p),..., a m (p)), 66

70 para todo p U. Assim, ( ϕ X ϕ 1 ) (x) = ( x, (a 1 ϕ 1 )(x),..., (a m ϕ 1 )(x) ), para todo x ϕ(u). Portanto, X é de classe C k 1 se, e somente se, as funções a i são de classe C k 1, para todo 1 i m. Lema Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k e X X(M). Então, X : M T M é um mergulho de classe C k 1 Demonstração. Decorre diretamente do Exercício 3, observando que a projeção π : T M M é uma inversão à esquerda de classe C k 1 para X. Corolário Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k e X X(M). Então a imagem de X é uma subvariedade de T M de classe C k 1 e a restrição da projeção π : T M M a X(M) é um difeomorfismo de classe C k 1 da imagem de X sobre M. Demonstração. Pelo Lema 3.2.2, X é um mergulho de classe C k 1 e, portanto, X(M) é uma subvariedade de classe C k 1 de T M e X : M X(M) é um difeomorfismo de classe C k 1. Para concluir a prova, basta observar que π X(M) : X(M) M é a aplicação inversa de X : M X(M). Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k. Dado uma aplicação f : M N de classe C k, definimos uma aplicação df : T M T N, chamada a diferencial de f, pondo df(p, v) = (f(p), df(p) v), (3.1) para quaisquer p M e v T p M. Temos a seguinte Proposição Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N uma aplicação de classe C k. Então a diferencial df : T M T N é de classe C k 1. Demonstração. Sejam (U, ϕ), (V, ψ) cartas locais em M e N, respectivamente, com f(u) V. Considere as cartas correspondentes ϕ em T M e ψ em T N. Temos que df(π 1 (U)) π 1 (V ). Como ϕ e ψ podem ser escolhidas de modo que π 1 (U) contenha um ponto arbitrário dado em T M, a prova estará completa se verificarmos que a representação de df em relação às cartas ϕ e ψ é de classe C k 1. Seja então (x, h) ϕ(u) R m e defina (p, v) = ϕ 1 (x, h), de modo que p = ϕ 1 (x) e v = dϕ(p) 1 h. Assim, (ψ df)(p, v) = ( ψ(f(p)), (dψ(f(p)) df(p)) v ). 67

71 Porém, como ( dψ(f(p)) df(p) ) v = ( dψ(f(p)) df(p) dϕ(p) 1 ) h, segue que a representação de df em relação às cartas ϕ e ψ é dada por ( ψ df ϕ 1 ) (x, h) = ( (ψ f ϕ 1 )(x), d(ψ f ϕ 1 )(x) h ). Como ψ f ϕ 1 é de classe C k, segue que ψ df ϕ 1 é de fato uma aplicação de classe C k 1. Corolário Sejam M, N variedades diferenciáveis de clase C k e f : M N um difeomorfismo de classe C k. Então a diferencial df : T M T N é um difeomorfismo de classe C k 1. Demonstração. Basta observar que (df) 1 = d(f 1 ) e usar a Proposição Teorema Sejam N n uma variedade diferenciável de classe C k, com k 2, e M N uma subvariedade de classe C k e dimensão m. Então T M é uma subvariedade de T N de classe C k 1. Além disso, a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de M coincide com a estrutura diferenciável induzida por T N em T M. Demonstração. Seja (U, ϕ) uma carta em N satisfazendo a relação (2.1), i.e., ϕ(u M) = ϕ(u) R m. Como ϕ é um difeomorfismo que transforma a subvariedade U M de U sobre a subvariedade ϕ(u) R m de ϕ(u), temos que, para todo p U M, a diferencial dϕ(p) transforma o espaço tangente a U M no ponto p no espaço tangente a ϕ(u) R m no ponto ϕ(p). Temos, então: dϕ(p)(t p M) = R m, para todo p U M. Assim, ϕ(π 1 (U) T M) = ϕ(u M) R n = (ϕ(u) R m ) R n = (ϕ(u) R n ) (R m R m ), onde identificamos R m R m com o seguinte subespaço de R 2n : R m R m = {(x 1,..., x m, 0,..., 0, h 1,..., h m, 0,..., 0) R 2n : x i, h i R}. Seja φ : R 2n R 2n o isomorfismo linear definido por φ(x 1,..., x m, 0,..., 0, h 1,..., h m, 0,..., 0) = (x 1,..., x m, h 1,..., x m, 0,..., 0). 68

72 Temos que φ transforma o subespaço R m R m de R 2n sobre o subespaço R 2m de R 2n e, portanto, a carta φ ϕ : π 1 (U) φ(ϕ(u) R n ) de T N satisfaz (φ ϕ)(π 1 (U) T M) = φ(ϕ(u) R n ) R 2m, i.e., φ ϕ é uma carta de T N que satisfaz a relação (2.1). Como ϕ pode ser escolhida de modo que π 1 (U) contenha um ponto arbitrário dado de T M, segue que T M é uma subvariedade de T N de classe C k 1. Provemos agora que a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de M coincide com a estrutura diferenciável induzida por T N em T M. Para cada carta (U, ϕ) de N satisfazendo (2.1), denotemos por ϕ 0 = ϕ U M : U M ϕ(u) R m a carta correspondente a ϕ em M. Quando ϕ percorre o conjunto de todas as cartas de N satisfazendo (2.1), temos que as cartas correspondentes ϕ 0 em M constituem um atlas para M, e as correspondentes cartas ϕ 0 em T M constituem um atlas para T M contido na estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de M. Vimos acima que a cada carta ϕ de N satisfazendo (2.1) está também associada uma carta φ ϕ satisfazendo (2.1) para T M. Tal carta restringe-se a uma carta φ ϕ π 1 (U) T M : π 1 (U) T M φ(ϕ(u) R n ) R 2m (3.2) em T M e quando ϕ percorre o conjunto de todas as cartas de N satisfazendo (2.1), temos que as correspondentes cartas em (3.2) de T M constituem um atlas contido na estrutura diferenciável induzida por T N em T M. Para provar que a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de M coincide com a estrutura diferenciável induzida por T N em T M, basta provar que a carta em (3.2) coincide com a carta ϕ 0. Sejam então p U M, v T p M e escreva ϕ 0 (p) = (x 1,..., x m ) e dϕ 0 (p) v = (h 1,..., h m ). Temos: ϕ(p) = (x 1,..., x m, 0,..., 0), dϕ(p) v = (h 1,..., h m, 0,..., 0) e, portanto, a carta em (3.2) de fato coincide com ϕ 0. Observação Se N é uma variedade diferenciável de classe C 1 e se M N é uma subvariedade de classe C 1 então não podemos dizer que T M é uma subvariedade de T N de classe C 0, pois a noção de subvariedade introduzida foi apenas para variedades diferenciáveis de classe C k, com k 1. No entanto, o argumento apresentado na prova do Teorema implica que a estrutura diferenciável de classe C 0 usual do fibrado tangente de M contém um atlas formado por restrições de cartas de T N. Isso implica que a topologia de T M, induzida pelo seu atlas, coincide com a topologia induzida por T N. 69

73 Corolário Sejam N uma variedade diferenciável de clase C k, M N uma subvariedade de classe C k e X X(N) tal que X(p) T p M, para todo p M. Então, X M : M T M é um campo vetorial de classe C k 1 em M. Demonstração. A condição X(p) T p M, para todo p M, significa que X(M) T M. O fato que X M : M T M é de classe C k 1 segue então diretamente do Teorema e da Observação Corolário Sejam M, N variedades diferenciáveis de clase C k, com k 2, e f : M N um mergulho de classe C k. Então, df : T M T N é um mergulho de classe C k 1. Demonstração. Como f é um mergulho de classe C k, temos que f(m) é uma subvariedade de N de classe C k e a aplicação f : M f(m), que difere de f apenas pelo contra-domínio, é um difeomorfismo de classe C k. Assim, pelo Teorema 3.2.6, T f(m) é uma subvariedade de classe C k 1 de T N e, portanto, a aplicação inclusão de T f(m) em T N é um mergulho de classe C k 1, sendo T f(m) munido da estrutura diferenciável induzida por T N. Como f é um difeomorfismo de classe C k, temos que d f : T M T f(m) é um difeomorfismo de classe C k 1, sendo T f(m) munido da estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de f(m). Como a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de f(m) coincide com a estrutura diferenciável induzida por T N em T f(m) e como df : T M T N é igual a composição de d f com a inclusão de T f(m) em T N, segue que df é um mergulho de classe C k 1. Observação Dado uma aplicação f : U R n de classe C k, definida num subconjunto aberto U R m, a diferencial de f é definida como a aplicação df : U Lin(R m ; R n ) tal que, para cada x U, df associa a diferencial de f no ponto x, denotada por df(x). Tal aplicação é diferente da diferencial df : T U T R n considerada em (3.1). Para evitar essa ambiguidade, muitas vezes a diferencial df : T M T N de uma aplicação f : M N é denotada por f e é chamada a aplicação tangente a f. Preferimos, no entanto, escrever df ao invés de f, reservando a notação f para o que iremos chamar de pull-back de uma aplicação. Exercícios 1. Dados um ponto p M e um vetor v T p M, prove que existe um campo vetorial X X(M) tal que X(p) = v. 70

74 2. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, k 2, e f : M N uma aplicação de classe C k. Prove que: (a) Se f é um difeomorfismo local então df : T M T N é um difeomorfismo local. (b) Se f é uma imersão então df : T M T N é uma imersão. (c) Se f é uma submersão então df : T M T N é uma submersão. 3. Seja f : M N uma aplicação de classe C k. Se f possui uma inversa à esquerda de classe C 1 então f é um mergulho. 4. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C k, 1 k, e X : M T M o campo vetorial nulo, i.e., X(p) é o vetor nulo de T p M, para todo p M. Prove que X X(M). 5. Seja M uma variedade diferenciável de classe C k. Prove que o conjunto Γ de todos os campos vetoriais em M, munido das operações: (X + Y )(p) = X(p) + Y (p) (cx)(p) = cx(p), para quaisquer X, Y Γ, p M e c R, é um espaço vetorial real. Prove também que X(M) é um subespaço vetorial de Γ. 71

75 3.3 Derivações Nesta seção discutiremos o conceito de derivações em variedades diferenciáveis obtendo, em particular, uma nova interpretação para o espaço tangente. A partir de agora, por questão de simplicidade, assumiremos que todas as variedades envolvidas são de classe C e iremos nos referir a uma variedade diferenciável M de classe C simplesmente por uma variedade diferenciável M. Dado uma variedade diferenciável M, denotemos por C (M) o espaço vetorial real das funções f : M R de classe C. Definição Sejam M uma variedade diferenciável e p M. Uma derivação em p é um funcional linear D : C (M) R que satisfaz a seguinte relação: para quaisquer f, g C (M). D(fg) = D(f)g(p) + f(p)d(g), (3.3) A relação (3.3) é usualmente conhecida como a regra de Leibniz. Segue da Definição que qualquer derivação se anula nas funções constantes. De fato, seja D : C (M) R uma derivação em p M. Dados f C (M) e c R, temos D(fc) = D(f)c + f(p)d(c). Como D(cf) = cd(f), segue que f(p)d(c) = 0. f(p) 0, segue que D(c) = 0. Assim, se f é tal que Exemplo Sejam M uma variedade diferenciável e p M. Dado um vetor v T p M, definimos uma função v : C (M) R pondo v(f) = (f λ) (0), (3.4) onde λ : I M é uma curva de classe C tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Afirmamos que v é uma derivação em p. De fato, é fácil ver que v está bem definida e a linearidade de v segue da linearidade da derivada. Além disso, dados f, g C (M), temos: v(fg) = (fg λ) (0) = ( (f λ) (g λ) ) (0) = (f λ) (0) (g λ)(0) + (f λ)(0) (g λ) (0) = v(f)g(p) + f(p)v(g). 72

76 Exemplo Dado um ponto p M m, seja (U, ϕ) uma carta em M, com p U. Como caso particular do Exemplo temos, para cada 1 i m, as derivações (p) : C (M) R, x i { } onde x 1 (p),..., x m (p) denota a base de T p M associada a ϕ. Assim, dado f C (M), temos: x i (p)(f) = (f λ) (0) = (f ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(f ϕ 1 )(ϕ(p)) d(ϕ λ)(0) = d(f ϕ 1 )(ϕ(p)) dϕ(p) (p) x i = d(f ϕ 1 )(ϕ(p)) e i = (f ϕ 1 ) (ϕ(p)), x i onde λ : I U é uma curva diferenciável tal que λ(0) = p e λ (0) = x i (p). Denotemos por Der p (M) o conjunto de todas as derivações em p de uma variedade diferenciável M. O lema seguinte caracteriza a estrutura algébrica de Der p (M). Lema O conjunto Der p (M), munido das operações (D + T )(f) = D(f) + T (f) (cd)(f) = cd(f), (3.5) para quaisquer D, T Der p (M), f C (M) e c R, é um espaço vetorial real. Demonstração. Provemos, inicialmente, que Der p (M) é fechado em relação às operações em (3.5). De fato, sejam D, T Der p (M), f, g C (M) e c R. Temos: (D + T )(fg) = D(fg) + T (fg) = D(f)g(p) + f(p)d(g) + T (f)g(p) + f(p)t (g) = ( D(f) + T (f) ) g(p) + f(p) ( D(g) + T (g) ) = (D + T )(f)g(p) + f(p)(d + T )(g) 73

77 e (cd)(f g) = cd(f g) = cd(f)g(p) + cf(p)d(g) = (cd)(f)g(p) + f(p)(cd)(g). Os axiomas que caracterizam um espaço vetorial são deixados a critério do leitor. O Lema não nos diz qual é a dimensão do espaço vetorial Der p (M). O teorema seguinte, além de responder a essa questão, nos garante que as derivações do Exemplo são, essencialmente, as únicas derivações em p M. Para isso, usaremos o seguinte lema auxiliar. Lema Seja f : U R uma função de classe C, onde U R m é um aberto convexo contendo 0 R m. Então, existem funções g i : U R de classe C, 1 i m, tais que: f(x) = f(0) + para todo x = (x 1,..., x m ) U. m x i g i (x), i=1 Demonstração. Dado x U, defina uma função h x h x (t) = f(tx), para todo t [0, 1]. Temos: : [0, 1] R pondo 1 0 ou seja, m i=1 f x i (tx)x i dt = Assim, basta definir: para todo 1 i m. 1 0 f(x) = f(0) + g i (x) = h x(t)dt = h x (1) h x (0) = f(x) f(0), m i= f x i (tx)x i dt. f x i (tx)x i dt, De acordo com a notação do Exemplo 3.3.2, temos o seguinte: 74

78 Teorema Sejam M uma variedade diferenciável e p M. A aplicação φ : T p M Der p (M), definida por φ(v) = v, para todo v T p M, é um isomorfismo linear. Demonstração. A linearidade de φ segue da linearidade de (3.4). Dado uma derivação D Der p (M), escolha uma carta (U, ϕ) em M, com U convexo, p U e ϕ(p) = 0. Dado f C (M), defina h = f ϕ 1 : ϕ(u) R. Como ϕ(u) é conexo, segue do Lema que existem funções g i : ϕ(u) R de classe C, 1 i m, tais que h(x) = h(0) + m x i g i (x), para todo x = (x 1,..., x m ) ϕ(u). Como x = ϕ(q), para algum q U, temos: i=1 f(q) = h(ϕ(q)) m = h(0) + π i (ϕ(q)) g i (ϕ(q)) = h(0) + i=1 m ϕ i (q)g i (q), onde ϕ i (q) = π i (ϕ(q)) e g i (q) = ( g i ϕ)(q), para todo q U. Assim, i=1 Observe que D(f) = = m D(ϕ i g i ) = i=1 m D(ϕ i )g i (p). i=1 m ( D(ϕi )g i (p) + ϕ i (p)d(g i ) ) i=1 h h(te i ) h(0) (0) = lim x i t 0 t h(0) + t g i (te i ) h(0) = lim t 0 t = lim g i (te i ) = g i (0). t 0 75 (3.6)

79 Disso decorre, juntamente com o Exemplo 3.3.3, que: (p)(f) = (f ϕ 1 ) (ϕ(p)) = h (0) = g i (0) = g i (p). x i x i x i Fazendo a i = D(ϕ i ), segue que (3.6) que ( m m D(f) = a i (p)(f) = x i ou seja, i=1 φ ( m i=1 a i i=1 a i ) (p) (f) = D(f). x i ) (p) (f), x i Como f C (M) é arbitrária, provamos que φ é sobrejetora. Além disso, dado v T p M, com m v = a i (p), x i temos: v(ϕ i ) = = m j=1 m j=1 a j i=1 (p)(ϕ i ) = x j m j=1 a j π i x j (ϕ(p)) = a i, (ϕ i ϕ 1 ) a j (ϕ(p)) x j para todo 1 i m. Assim, se v = 0 então v(ϕ i ) = 0, para todo 1 i m, logo a i = 0, para todo 1 i m. Portanto, v = 0 e, assim, φ é injetora. Do Teorema obtemos que os vetores tangentes em T p M podem ser identificados como derivações em p. Essa noção de derivação pode ser globalizada, como veremos na definição seguinte. Definição Seja M uma variedade diferenciável. Uma derivação em M é um operador linear D : C (M) C (M) tal que para quaisquer f, g C (M). D(fg) = D(f)g + fd(g), 76

80 Exemplo Dado um campo vetorial X X(M), definimos uma aplicação X : C (M) C (M) tal que, para cada função f C (M), a função X(f) é definida pondo X(f)(p) = df(p) X(p), (3.7) para todo p M. Afirmamos que X é uma derivação em M. De fato, devemos provar, inicialmente, que X(f) C (M), para toda f C (M). Para isso, seja (U, ϕ) uma carta local em M. Assim, para todo p U, podemos escrever X(p) = m i=1 a i (p) x i (p), (3.8) onde as funções a i : U R são de classe C, para todo 1 i m. Portanto, X(f)(p) = df(p) X(p) = m a i (p)df(p) (p), x i i=1 para todo p U. Isso prova que X(f) é uma função de classe C no aberto U. Como U foi escolhido arbitrariamente, tem-se X(f) C (M). A linearidade de X segue diretamente da linearidade da derivada em funções. Além disso, segue de (3.7) que X(f)(p) = X(p)(f), para todo p M. Assim, dados f, g C (M) e p M, temos: X(f g)(p) = X(p)(f g) = X(p)(f)g(p) + f(p)x(p)(g) = X(f)(p) g(p) + f(p)x(g)(p) = ( X(f)g + fx(g) ) (p). Como p M é arbitrário, segue a afirmação. Seguindo a notação do Exemplo 3.3.8, temos a seguinte: Proposição Sejam M uma variedade diferenciável e X : M T M um campo vetorial. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) X X(M). (b) X(f) C (M), para toda f C (M). 77

81 Demonstração. Do Exemplo 3.3.8, resta provar que (b) (a). Suponha então que X(f) C (M), para toda f C (M). Dado p M, considere uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, e seja ϕ : π 1 (U) ϕ(u) R m a carta correspondente a ϕ em T M. Temos: (ϕ X ϕ 1 )(ϕ(p)) = ( ϕ(p), a 1 (p),..., a m (p) ), para todo p U, onde as funções a i são dadas como em (3.8). Definindo ϕ i = π i ϕ, para todo 1 i m, temos: a i (p) = ϕ x i (p) X(p) = dϕ i (p) X(p) = X(ϕ i )(p), para quaisquer p U e 1 i m. Como X(ϕ i ) é de classe C em U, segue que a i C (U), para todo 1 i m. Isso prova que a representação de X nas cartas ϕ e ϕ é de classe C. Portanto, X X(M). Denotemos por Der(M) o conjunto de todas as derivações em M. De forma análoga ao Lema 3.3.4, temos que Der(M) é um espaço vetorial real. O teorema seguinte é a versão global do Teorema Teorema A aplicação φ : X(M) Der(M), definida por φ(x) = X, para todo X X(M), é um isomorfismo linear. Demonstração. A linearidade de φ segue diretamente da linearidade da derivada (3.7). Seja D Der(M). Dado p M, a função D p : C (M) R, definida por D p (f) = D(f)(p), para toda f C (M), é uma derivação em p, ou seja, D p Der p (M). Assim, do Teorema 3.3.6, existe v T p M tal que v = D p. Isso define uma aplicação X : M T M tal que π X = Id e X(f) = D(f), para toda f C (M), pois X(f)(p) = X(p)(f) = D p (f) = D(f)(p), para todo p M. Como D(f) C (M), temos que X(f) C (M). Assim, pela Proposição 3.3.9, segue que X é de classe C, i.e., X X(M). Isso prova que φ é sobrejetora. Finalmente, seja X, Y X(M) tais que φ(x) = φ(y ). Disso decorre que X(f)(p) = Y (f)(p), 78

82 para quaisquer f C (M) e p M. Ou seja, X(p)(f) = Y (p)(f), para quaisquer f C (M) e p M. Isso implica que X(p) = Y (p), para todo p M. Assim, pelo Teorema 3.3.6, temos que X(p) = Y (p), para todo p M, i.e., X = Y. Portanto, φ é injetora. Em virtude do Teorema , identificaremos naturalmente cada campo X X(M) como uma derivação em M e, para cada função f C (M), denotaremos simplesmente por X(f) a função associada. Proposição Considere duas derivações D 1, D 2 Der(M). Então, a aplicação [D 1, D 2 ] : C (M) C (M), definida por é uma derivação em M. [D 1, D 2 ] = D 1 D 2 D 2 D 1, Demonstração. Dados f, g C (M), temos: D 1 (D 2 (fg)) = D 1 ( D2 (f)g + fd 2 (g) ) e = D 1 (D 2 (f))g + D 2 (f)d 1 (g) + D 1 (f)d 2 (g) + fd 1 (D 2 (g)) D 2 (D 1 (fg)) = D 2 ( D1 (f)g + fd 1 (g) ) = D 2 (D 1 (f))g + D 1 (f)d 2 (g) + D 2 (f)d 1 (g) + fd 2 (D 1 (g)). Cancelando os termos semelhantes, obtemos: [D 1, D 2 ](fg) = D 1 (D 2 (f))g + fd 1 (D 2 (g)) D 2 (D 1 (f))g fd 2 (D 1 (g)) = [D 1, D 2 ](f)g + f[d 1, D 2 ](g). Isso prova que [D 1, D 2 ] Der(M). Corolário Dados X, Y X(M), existe um único campo [X, Y ] X(M) tal que [X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)), para toda f C (M). O campo vetorial [X, Y ] X(M), dado pelo Corolário , é chamado o colchete de Lie dos campos X e Y e é, usualmente, denotado por [X, Y ] = XY Y X. Proposição O colchete de Lie satisfaz as seguintes propriedades: (a) [X, Y ] = [Y, X], 79

83 (b) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, (c) [fx, gy ] = fg[x, Y ] + f(x(g))y g(y (f))x, para quaisquer X, Y, Z X(M) e f, g C (M). Demonstração. Basta identificar os campos acima como derivações e avaliar nas funções de C (M). O item (b) da Proposição é chamado a identidade de Jacobi. Note que a aplicação (X, Y ) X(M) X(M) [X, Y ] X(M) é bilinear sobre R porém, pelo item (c), não é bilinear sobre C (M). Além disso, pelo item (b), segue que X, Y, Z são permutados ciclicamente. Observação Dado uma carta local (U, ϕ) em M m, temos os campos coordenados { },..., x 1 x m associados a ϕ, ou seja, para cada p U, os vetores { } (p),..., (p) x 1 x m formam uma base para T p M. Assim, dados X, Y X(M), podemos representá-los, localmente, como X U = m i=1 X i e Y U = x i m i=1 Y i. x i Obtemos, então, a fórmula local para o colchete de X e Y no aberto U: [X, Y ] = m i,j=1 ( ) Y i X i X j Y j. (3.9) x j x j x i 80

84 Exemplo No plano R 2, com coordenadas (x, y), considere os campos vetoriais X = y y e Y = x y. Dado uma função f C (R 2 ), temos: [ [X, Y ](f) = y y, x ] (f) y = y (x y ) y (f) x (y y ) y (f) = yx 2 f y 2 x f y xy 2 f y 2 = x (f) = Y (f). y Portanto, neste caso, tem-se [X, Y ] = Y. Exercícios 1. Sejam D : C (M) R uma derivação em p M e f, g C (M) tais que f g em um aberto U M contendo p. Prove que D(f) = D(g). 2. Prove que [X, X] = 0, para todo X X(M). 3. Dado uma carta local (U, ϕ) em uma variedade diferenciável M m, considere os campos coordenados x i, 1 i m, associados a ϕ. Prove que [ ] x i, x j = 0, para quaisquer 1 i, j m. 4. Dado uma variedade diferenciável M, considere um subconjunto aberto U M e um campo X X(M). Se X(f) = 0, para toda função f C (U), prove que X U = 0. 81

85 3.4 Curvas integrais e o fluxo local Nesta seção faremos um estudo mais detalhado do fibrado tangente e de suas seções, os campos vetoriais. Mais precisamente, veremos que um campo vetorial em uma variedade diferenciável pode ser interpretado como uma equação diferencial, no sentido que passaremos a descrever. Definição Sejam M uma variedade diferenciável e X X(M). Uma curva diferenciável α : I M é chamada uma curva integral de X se α (t) = X(α(t)), para todo t I. Dado uma carta local (U, ϕ) em M, escrevamos X(p) = m i=1 a i (p) x i (p), para todo p U. Assim, se α : I M é uma curva integral de X, com α(i) U, temos: α (t) = X(α(t)) dϕ(α(t)) α (t) = dϕ(α(t)) X(α(t)) d m dt (ϕ α)(t) = (a i α)(t)e i. Assim, a condição α (t) = X(α(t)), para todo t I, dá a expressão local i=1 d dt (ϕ i α) = a i α, para todo 1 i m, que constitui um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1 a ordem. O teorema fundamental de existência e unicidade para as soluções de tais sistemas tem a seguinte consequência neste contexto: Teorema Sejam M uma variedade diferenciável e X X(M). Então, para cada p M, existe um intervalo aberto I = (a, b) contendo 0 onde está definida a única curva integral α : I M de X tal que α(0) = p. Uma consequência do Teorema é o seguinte corolário. Corolário Sejam α 1 : I 1 M e α 2 : I 2 M curvas integrais de um campo X X(M) tais que α 1 (c) = α 2 (c), para algum c I 1 I 2. Então, α 1 (t) = α 2 (t), para todo t I 1 I 2. 82

86 Demonstração. Defina o conjunto I = {t I 1 I 2 : α 1 (t) = α 2 (t)}. Temos que I, pois c I. Um argumento simples de continuidade nos dá que I é aberto e fechado em I 1 I 2. Como estamos supondo que os intervalos I 1 e I 2 são conexos, segue que I = I 1 I 2. A proposição seguinte é conhecida como a invariância por translação do parâmetro. Proposição Seja α : I M uma curva integral de um campo X X(M). Dado uma constante c R, considere os subconjuntos L c (I) = {t c : t I} e R c (I) = {t + c : t I}, e defina as curvas γ : L c (I) M e β : R c (I) M, pondo γ(t) = α(t + c) e β(t) = α(t c). Então, γ e β são curvas integrais de X. Demonstração. De fato, temos: e provando a afirmação. γ (t) = α (t + c) = X(α(t + c)) = X(γ(t)) β (t) = α (t c) = X(α(t c)) = X(β(t)), Definição Sejam M uma variedade diferenciável e X X(M). Um fluxo local para o campo X em torno de um ponto q M é uma aplicação ϕ : ( ɛ, ɛ) U M de classe C, onde U M é um aberto contendo q, que satisfaz as seguintes propriedades: (a) Para cada p U, a curva λ p : ( ɛ, ɛ) M, dada por λ p (t) = ϕ(t, p), é uma curva integral de X, com λ p (0) = p. (b) Para cada t ( ɛ, ɛ), a aplicação ϕ t : U M, dada por ϕ t (p) = ϕ(t, p), é um difeomorfismo sobre sua imagem. Seja ϕ : ( ɛ, ɛ) U M um fluxo local para X. Dado p U, as curvas λ 1 (t) = ϕ t+s (p) e λ 2 (t) = ϕ t (ϕ s (p)) são curvas integrais de X, com λ 1 (0) = λ 2 (0) = ϕ s (p). Assim, pelo Corolário 3.4.3, temos que ϕ t (ϕ x (p)) = ϕ t+s (p), 83

87 desde que ambos os lados estejam definidos. Disso também decorre que ϕ s ϕ t = ϕ t+s = ϕ t ϕ s, quando definidas. Esta é a chamada propriedade local de grupo, pois se ϕ t estivesse definida para todo t R, então t R ϕ t Dif(M) seria um homomorfismo de grupos. Veremos a seguir algumas condições para que isso ocorra. O teorema seguinte nos assegura a existência do fluxo local. Teorema Sejam M uma variedade diferenciável e X X(M). Dado um ponto q M, existe um fluxo local ϕ : ( ɛ, ɛ) U M para X em torno de q tal que, para cada p U, a curva λ p : ( ɛ, ɛ) M, dada por λ p (t) = ϕ(t, p), é a única curva integral de X, com ϕ(0, p) = p. A unicidade no Teorema significa que se (a, b) é um intervalo aberto, com (a, b) ( ɛ, ɛ), e se α : (a, b) U é uma curva integral de X, com α(0) = p U, então α(t) = ϕ(t, p) (a,b). Proposição Seja α : (a, b) M uma curva integral de X X(M). Suponha que exista uma sequência (t n ) de pontos em (a, b) tal que t n b e (α(t n )) possui uma subsequência que converge para p 0 M. Então, existe δ > 0 e uma curva integral α : (a, b + δ) M de X tal que α (a,b) = α. Demonstração. Seja ϕ : ( ɛ, ɛ) U M o fluxo local de X em torno de p 0. Assim, para todo p U, a curva λ p : ( ɛ, ɛ) M, dada por λ p (t) = ϕ(t, p), é a única curva integral de X, com λ p (0) = p. Seja n 0 N tal que t n 0, t n (b ɛ/2, b + ɛ/2) e α(t n ) U, para todo n n 0. Assim, dado n n 0, defina uma curva β : R tn ( ɛ, ɛ) M pondo β(t) = λ pn (t t n ), onde p n = α(t n ) U. Então, pela Proposição 3.4.4, β é uma curva integral de X tal que β(t n ) = λ pn (0) = p n = α(t n ). Assim, pelo Corolário 3.4.3, segue que β(t) = α(t), para todo t (a, b) R tn ( ɛ, ɛ). Defina, então, { α(t), t (a, b) α(t) = β(t), t R tn ( ɛ, ɛ). 84

88 Temos que α está bem definida, e está definida no intervalo (a, t n + ɛ) (a, b + ɛ/2), pois R tn ( ɛ, ɛ) = t n + ( ɛ, ɛ). Além disso, tem-se α (a,b) = α. Portanto, basta tomar δ = ɛ/2. Sejam M uma variedade diferenciável e X X(M). Dado um ponto p M, considere a família {α i : i I} formada por todas as curvas integrais α i : ( ɛ i, ɛ i ) M de X, com α i (0) = p, para todo i I. O conjunto I p = i I ( ɛ i, ɛ i ) é um intervalo aberto de R contendo 0. Defina uma curva α p : I p M pondo α p (t) = α i (t), se t ( ɛ i, ɛ i ). Pelo Corolário 3.4.3, α p está bem definida e é uma curva integral de X, com α p (0) = p, chamada a curva integral maximal de X passando pelo ponto p. Exemplo Em R 2, considere o campo X = x x y α(t) = (x(t), y(t)) é uma curva integral de X se, e somente se, dx dt = x e dy dt = y. y. Então, Assim, devemos ter x(t) = Ae t e y(t) = Be t, com A, B R. Portanto, a curva integral maximal de X, passando pelo ponto p = (p 1, p 2 ), é dada por para todo t R. α p (t) = (p 1 e t, p 2 e t ), As curvas integrais maximais de um campo X têm a seguinte caracterização: Proposição Seja α p : I p M a curva integral maximal de X X(M), com α p (0) = p. Se α : (a, b) M é uma curva integral de X e existe t 0 (a, b) I p tal que α(t 0 ) = α p (t 0 ), então (a, b) I p e α = α p (a,b). Demonstração. Defina uma curva β : I p (a, b) M pondo { αp (t), t I β(t) = p α(t), t (a, b). O Corolário mostra que β está bem definida e é uma curva integral de X. Como β(0) = α p (0) = p, concluimos que I p (a, b) I p, logo (a, b) I p e α(t) = β(t) = α p (t), para todo t (a, b). 85

89 Proposição Sejam M uma variedade diferenciável e X X(M). Dado um ponto p M, seja α p : I p M a curva integral maximal de X passando por p. Então: (a) Se existe um subconjunto compacto K M tal que α p (I p ) K, então I p = R. (b) Se existe t 0 I p tal que X(α p (t 0 )) = 0 então I p = R e α p (t) = p, para todo t R. Demonstração. (a) Suponha que I p R. Assim, existe b = sup I p (ou a = inf I p ). Seja (t n ) uma sequência em I p, com t n b. Como K M é compacto e (α p (t n )) é uma sequência em K, existe uma subsequência (t nk ) de (t n ) tal que α p (t nk ) p 0 M. Assim, pela Proposição 3.4.7, existe δ > 0 e uma curva integral α : I p (b, b + δ) M de X tal que α p Ip = α p. Mas isso contradiz o fato de α p ser maximal. (b) Defina uma curva β : R M pondo β(t) = α p (t 0 ), para todo t R. Temos que β (t) = 0 = X(α p (t 0 )) = X(β(t)), i.e., β é uma curva integral de X com β(t 0 ) = α p (t 0 ). Assim, pelo Corolário 3.4.3, temos que β(t) = α p (t), para todo t I p R = I p. Disso decorre que β(0) = p e, portanto, β é uma curva integral de X passando por p. Logo, pela Proposição 3.4.9, temos que R I p. Portanto, I p = R e α p (t) = p, para todo t R. Corolário Seja X X(M) com suporte compacto. Se α p : I p M é a curva integral maximal de X passando por p então I p = R. Demonstração. Seja K = suppx. Temos duas possibilidades: se α p (I p ) K então, pelo item (a) da Proposição , tem-se que I p = R; se existe t 0 I p tal que α p (t 0 ) K então X(α p (t 0 )) = 0. Assim, pelo item (b) da Proposição tem-se que I p = R. Motivados pelo Corolário , temos a seguinte: Definição Um campo vetorial X X(M) é dito ser completo se, para todo p M, o domínio da curva integral maximal de X passando por p é todo R. Segue então diretamente do Corolário que todo campo X X(M) com suporte compacto é completo. 86

90 Dado um campo vetorial X X(M), definimos D = {(t, p) : t I p }, onde I p é o domínio da curva integral maximal α p de X passando por p. Definimos também uma aplicação ϕ : D M pondo ϕ(t, p) = α p (t), (3.10) para todo (t, p) D. Pelo Teorema 3.4.6, D contém uma vizinhança de {0} M no qual ϕ é diferenciável. Este resultado pode ser melhorado, como mostra a proposição seguinte. Proposição A aplicação ϕ : D M, definida em (3.10), é diferenciável. Demonstração. Dado p M, seja C o conjunto formado pelos reais t I p tais que (t, p) é um ponto interior de D e ϕ é diferenciável em uma vizinhança de (t, p). Temos que C é aberto em I p e, pelo Teorema 3.4.6, temos que 0 C, logo C. Provemos que C também é fechado em I p. De fato, seja b I p um ponto aderente a C. Pelo Teorema 3.4.6, existem δ > 0 e um aberto V M contendo α p (b) tais que ( δ, δ) V D e ϕ : ( δ, δ) V M é diferenciável. Escolhendo c C tal que b c < δ e α p (c) V, existe ɛ > 0 e um aberto W M contendo p tal que (c ɛ, c + ɛ) W D é outro subconjunto no qual ϕ é diferenciável. Em particular, a aplicação ϕ c = ϕ(c, ) é contínua em W. Assim, existe um aberto U M, com p U W, tal que ϕ c (U) V. Então, se q U temos que λ(t) = ϕ(t c, ϕ(c, q)) é uma curva integral de X definida para t c ( δ, δ), com λ(c) = ϕ(c, q). Logo, ϕ(t, q) = ϕ(t c, ϕ(c, q)), para quaisquer (t, q) (c δ, c + δ) U, o que mostra que (c δ, c + δ) U D e ϕ é diferenciável neste conjunto. Como b c < δ, concluimos que b C, ou seja, C é fechado em I p. Portanto, C = I p, e a prova está concluida. A aplicação ϕ : D M, definida em (3.10), é chamada o fluxo maximal do campo X. Observe que X é completo se, e somente se, D = R M. Seja ϕ : D M o fluxo maximal de um campo vetorial X X(M). Para cada t I, defina D t = {p M : t I p } e considere a aplicação ϕ t : D t M definida por ϕ t (p) = ϕ(t, p). Note que, em geral, o domínio de ϕ t depende de t. Como I p, para todo p M, segue que M = t>0 D t. 87

91 Teorema Dado s I, seja t I tal que t I αp(s), para todo p D s. Então, t + s I p, para todo p D s, e vale: (ϕ t ϕ s )(p) = ϕ s+t (p), (3.11) para todo p D s. Decorre, em particular, que ϕ t ϕ t = Id, logo ϕ t é um difeomorfismo sobre D t, cujo inverso é ϕ t. Demonstração. Dado p D s, seja α αp(s) : I αp(s) M a curva integral de X, com α αp(s)(0) = α p (s). Defina uma curva β : R s ( Iαp(s)) M pondo β(t) = α αp(s)(t s). Temos que β é uma curva integral ( de X tal que β(s) = α p (s). Definimos agora uma curva α : I p R s Iαp(s)) M pondo { αp (t), t I α(t) = p ( ). β(t), t R s Iαp(s) A curva α está bem definida e é uma curva integral de X, com α(p) = 0. Segue então da unicidade que R s ( Iαp(s)) Ip e α = α p Rs(I αp(s) ). Assim, se t I αp(s) então t + s R s ( Iαp(s)) Ip. Além disso, temos: ϕ t+s (p) = α p (t + s) = β(t + s) = α αp(s)(t) = ϕ t (α p (s)) = ϕ t (ϕ s (p)), para todo p D s. Portanto, ϕ t+s = ϕ t ϕ s. No caso em que X X(M) é completo, as aplicações ϕ t formam um grupo de difeomorfismos de M parametrizados pelos números reais, e é chamado o grupo a 1-parâmetro de X. Se X não é completo, os difeomorfismos ϕ t não formam um grupo, pois seus domínios dependem de t. Neste caso, dizemos que a coleção dos difeomorfismos ϕ t é um grupo local a 1-parâmetro de X. Vimos no Teorema que todo campo vetorial completo X X(M) determina um grupo a 1-parâmetro. Reciprocamente, dado um grupo a 1- parâmetro {ϕ t : t R} de difeomorfismos de uma variedade diferenciável M, definimos uma aplicação X : M T M pondo X(p) = d dt (ϕ t(p)) (0), (3.12) para todo p M. Isso define um campo X X(M), que tem {ϕ t : t R} como grupo a 1-parâmetro associado. 88

92 Exercícios 1. Verifique que X X(M), onde X é o campo dado em (3.12). 2. Dados um campo X X(M) e um ponto p M, considere a curva integral maximal α p : I p M de X passando por p. Se I p é limitado, prova que α p é um mergulho. 3. Considere um campo X X(R n ) tal que X(p) c, para todo p R n, onde c > 0. Prove que X é completo. 4. Prove que se M é compacta, qualquer campo X X(M) é completo. 5. Determine as curvas integrais em R 2 do campo vetorial X = e x e verifique se o campo é completo. y + x 6. Quais curvas integrais do campo X = x 2 R? x +y y estão definidas em todo 7. Determine as curvas integrais em R 2 do campo vetorial X = x 2 x +xy y. 89

93 3.5 Campos f-relacionados Dado uma variedade diferenciável M identificaremos, para cada ponto p M, a fibra {p} T p M do fibrado tangente T M de M com o próprio espaço tangente T p M, através da bijeção natural v T p M (p, v) {p} T p M. (3.13) Assim, se f : M N é uma aplicação diferenciável, a diferencial df : T M T N de f, definida em (3.1), será dada por df(v) = df(p) v, (3.14) para todo v T p M. Com a identificação (3.13), é usual expressar o valor df(v), dado em (3.14), pondo df(v) = df(π M (v)) v, onde π M : T M M é a projeção canônica. Preferimos, no entanto, escrever o valor df(v) como dado em (3.14); na prática esta notação não causará confusão. Definição Seja f : M N uma aplicação diferenciável. Dizemos que dois campos vetoriais X X(M) e Y X(N) são f-relacionados se o diagrama M X f N Y T M df T N comuta, i.e., df X = Y f. Isso significa que df(p) X(p) = Y (f(p)), para todo p M. Com a identificação estabelecida no Teorema , entre campos vetoriais e derivações, temos o seguinte: Lema Dois campos X X(M) e Y X(N) são f-relacionados se, e somente se, X(g f) = Y (g) f, para toda g C (N). Demonstração. Dados p M e g C (N), temos: X(g f)(p) = X(p)(g f) = df(p) X(p)(g) 90

94 e (Y (g) f)(p) = Y (g)(f(p)) = Y (f(p))(g). Assim, X(g f)(p) = (Y (g) f)(p) para quaisquer p M e g C (N) se, e somente se, df(p) X(p)(g) = Y (f(p))(g). Ou seja, X(g f) = Y (g) f, para toda g C (N) se, e somente se, X e Y são f-relacionados. Dado uma aplicação diferenciável f : M N, nem sempre um campo vetorial Y X(N) é f-relacionado com algum campo X X(M). A proposição seguinte nos dá uma condição para que isso ocorra. Proposição Seja f : M N uma imersão diferenciável. Dado um campo vetorial Y X(N), com Y (f(p)) df(p)(t p M), para todo p M, existe um único campo X X(M) tal que X e Y são f-relacionados. Demonstração. Definimos uma aplicação X : M T M pondo X(p) como sendo o único elemento de T p M tal que df(p) X(p) = Y (f(p)). Provemos agora que X é diferenciável. Como f é uma imersão, segue do Teorema que, para todo p M, existem cartas locais (U, ϕ) e (V, ψ) em M e N, respectivamente, com p U e f(u) V, tais que (ψ f ϕ 1 )(x) = (x, 0), para todo x ϕ(u). Fazendo x = ϕ(p), temos (ψ f)(p) = (ϕ(p), 0), para todo p U. Disso decorre que para todo p U. Assim, df(p) = dψ(f(p)) 1 dϕ(p), df(p) x i (p) = y i (f(p)), para quaisquer p U e 1 i m. Em relação à base associada a ψ, podemos escrever Y (f(p)) = m i=1 b i (f(p)) y i (f(p)), (3.15) 91

95 para todo p U. Escrevendo X(p) = m i=1 a i (p) x i (p), temos: Y (f(p)) = df(p) X(p) = = m i=1 m a i (p)df(p) (p) x i i=1 a i (p) y i (f(p)). (3.16) De (3.15) e (3.16), obtemos a i = b i f. Como as funções b i são diferenciáveis, segue que a i é diferenciável, para todo 1 i m. Isso mostra que X X(M). No caso em que f : M N é um difeomorfismo, para cada campo Y X(N), existe um único campo X X(M) que é f-relacionado com Y, a saber X = df 1 Y f. (3.17) O campo em (3.17) é usualmente denotado por f Y, e é chamado o pull-back de Y por f. Analogamente, dado um campo X X(M), existe um único campo Y X(N) que é f-relacionado com X, a saber Y = df X f 1. (3.18) O campo dado em (3.18) é usualmente denotado por f X, e é chamado o push-forward de X por f. No espaço das funções, o pull-back é definido pondo f g = g f, para toda g C (N). O push-forward é definido pondo f h = (f 1 ) h = h f 1, para toda h C (M). A proposição seguinte é uma das principais propriedades dos campos f-relacionados. Proposição Sejam f : M N uma aplicação diferenciável e campos X 1, X 2 X(M) e Y 1, Y 2 X(N). Se X i e Y i são f-relacionados, para i = 1, 2, então [X 1, X 2 ] e [Y 1, Y 2 ] são f-relacionados. 92

96 Demonstração. Como X i e Y i são f-relacionados, para i = 1, 2, segue do Lema que X i (g f) = Y i (g) f, para toda g C (N) e i = 1, 2. Assim, [Y 1, Y 2 ](g) f = Y 1 (Y 2 (g)) f Y 2 (Y 1 (g)) f = X 1 (Y 2 (g) f) X 2 (Y 1 (g) f) = X 1 (X 2 (g f)) X 2 (X 1 (g f)) = [X 1, X 2 ](g f). Como g C (N) é arbitrária, segue do Lema que [X 1, X 2 ] e [Y 1, Y 2 ] são f-relacionados. Corolário Se f : M N é um difeomorfismo, então para quaisquer X 1, X 2 X(M). [f X 1, f X 2 ] = f [X 1, X 2 ], Nosso objetivo agora é relacionar o colchete de Lie de dois campos vetoriais com seus fluxos. Para isso, consideremos o seguinte lema auxiliar. Lema Seja F : I M R uma função diferenciável, onde I é um intervalo aberto contendo 0 R. Então, existe uma função diferenciável h : I M R tal que para quaisquer t I e p M. Demonstração. Defina F (t, p) = F (0, p) + th(t, p), h(t, p) = para quaisquer t I e p M. 1 0 F (st, p)ds, s Teorema Para quaisquer dois campos X, Y X(M), tem-se 1( [X, Y ] = lim ϕ t 0 t t Y Y ), onde {ϕ t } é o grupo local a 1-parâmetro de X. 93

97 Demonstração. Dado uma função f C (M), temos: ϕ t Y (f) = (dϕ 1 t Y ϕ t )(f) = (dϕ t Y ϕ t )(f) = df (dϕ t Y ϕ t ) = d(f ϕ t ) (Y ϕ t ) = (Y ϕ t )(f ϕ t ). Considere a função F : I M R definida por F (t, p) = (f ϕ t )(p), para quaisquer t I e p M. Segue do Lema que F (t, p) = F (0, p) + th(t, p), (3.19) onde h : I M R é uma função diferenciável, com h(0, p) = F (0, p). (3.20) t Note que, para cada t I fixado, temos uma função h t : M R dada por h t (p) = h(t, p), para todo p M. Segue, então, de (3.19) que Dado p M, temos: ϕ t Y (f) = (Y ϕ t )(f + th t ) = (Y ϕ t )(f) + t(y ϕ t )(h t ). F t (0, p) = d dt (f(ϕ t(p)))(0) = df(p) ( X(p)) = X(f)(p). (3.21) Assim, segue de (3.20) e (3.21) que lim (Y ϕ t)(h t )(p) = lim(y ϕ t )(p)(h t ) t 0 t 0 = lim t 0 Y (ϕ t (p))(h t ) = Y (p)(h 0 ) = Y (p)( X(f)) = Y (X(f))(p). Por outro lado, 1( lim (Y ϕt )(f)(p) Y (f)(p) ) 1( = lim Y (ϕt (p))(f) Y (p)(f) ) t 0 t t 0 t 1( = lim Y (f)(ϕt (p)) Y (f)(p) ) t 0 t = d dt( Y (f)(ϕt (p)) ) (0) = d(y (f))(p) X(p) = X(p)(Y (f)) = X(Y (f))(p). 94 (3.22) (3.23)

98 Portanto, segue de (3.22) e (3.23) que lim t 0 1( (ϕ t t Y )(f)(p) Y (f)(p) ) = X(Y (f))(p) Y (X(f))(p) = (XY Y X)(f)(p). Como f C (M) e p M são arbitrários, o teorema está provado. Observação Se X X(M) é um campo completo então, para cada t R, a aplicação ϕ t é um difeomorfismo de M sobre M e ϕ t Y = dϕ t Y ϕ t, para todo Y X(M). No entanto, se X não é completo, ϕ t está definido somente no aberto D t. Assim, ϕ t : X(D t ) X(D t ). Se Y X(M) interpretaremos, então, o campo ϕ t Y como ϕ t (Y D t ) X(D t ). Agora, como M t 0 D t, ambos os valores ϕ t (p) e (ϕ t Y )(p) fazem sentido para qualquer p M, desde que t seja suficientemente pequeno e (ϕ t Y )(p) = dϕ t (Y (ϕ t (p))). Tendo isso em mente, manteremos a notação [X, Y ] = d dt( ϕ t Y ) (0) também para os campos que não são completos, desde que interpretamos, corretamente, o campo pull-back ϕ t Y. Observação Considere um campo X X(M) e seu grupo local a 1-parâmetro {ϕ t }. Dado um ponto p M, o vetor X(p) é tangente à curva α(t) = ϕ t (p) em t = 0. Isso pode ser interpretado em termos da ação de X(p) sobre as funções g C (M). De fato, como α (t)(g) = (g α) (t), dizer que X(p) é tangente à curva α(t) em t = 0 significa que X(p)(g) = α (0)(g) = (g α) (0) = 1( lim g(ϕt (p)) g(p) ). t 0 t 95

99 A fim de obtermos uma interpretação para o colchete [X, Y ], provaremos os dois seguintes lemas. Lema Sejam f : M N um difeomorfismo diferenciável e X X(M). Se {ϕ t } é o grupo local a 1-parâmetro de X então {f ϕ t f 1 } é o grupo local a 1-parâmetro de f X. Demonstração. Dados g C (N) e q N, temos: (f X)(q)(g) = (df X f 1 )(q)(g) = (df X)(f 1 (q))(g) = X(f 1 (q))(g f) 1( = lim (g f)(ϕt (f 1 (q))) (g f)(f 1 (q)) ) t 0 t 1[ ( = lim g (f ϕt f 1 )(q) ) g(q) ]. t 0 t Assim, pela Observação 3.5.9, segue que {f ϕ t f 1 } é o grupo local a 1-parâmetro de f X. Corolário Se f : M M é um difeomorfismo diferenciável então f X = X se, e somente se, ϕ t f = f ϕ t, para todo t I. Demonstração. Suponha f X = X. Assim, para cada t I, temos para todo p D t, ou seja, ϕ t (p) = (f ϕ t f 1 )(p), (ϕ t f)(p) = (f ϕ t )(p), para todo p D t. Reciprocamente, suponha ϕ t f = f ϕ t, para todo t I. Disso decorre que ϕ t (p) = (f ϕ t f 1 )(p), para todo p D t. Fixado p M, defina α(t) = ϕ t (p), para t suficientemente pequeno. Temos α (0) = X(p). Por outro lado, tem-se α (0) = (f X)(p). Como p M é arbitrário, segue que f X = X. Lema Dados X, Y X(M), sejam {ϕ t } e {ψ s } os grupos locais a 1-parâmetro de X e Y, respectivamente. Então, [X, Y ] = 0 se, e somente se, ϕ t ψ s = ψ s ϕ t, para quaisquer s, t. 96

100 Demonstração. Suponha ϕ t ψ s = ψ s ϕ t, para quaisquer s, t. Fixado t, segue do Corolário que ϕ t Y = Y. (3.24) Dado p M, considere uma curva α : I p T p M dada por α(t) = (ϕ t Y )(p). (3.25) Do Teorema 3.5.7, temos que α (0) = [X, Y ](p). Porém, segue de (3.24) que α(t) = (ϕ t Y )(p) = Y (p), i.e., α é constante. Logo, α (0) = [X, Y ](p) = 0. Como p M é arbitrário, segue que [X, Y ] = 0. Reciprocamente, suponha [X, Y ] = 0. Assim, lim h 0 1 ( ϕ h h Y Y ) = 0. Fixado p M, considere a curva α(t) dada em (3.25). Então: α (t) = 1 ( ) lim α(t + h) α(t) h 0 h = 1 ( lim (ϕ h 0 h t+h Y )(p) (ϕ t Y )(p) ) 1 ( = lim ϕ h 0 h t (ϕ h Y )(p) (ϕ t Y )(p) ) ( = ϕ 1 ( t lim (ϕ h 0 h h Y )(p) Y (p) )) = ϕ t (0) = 0. Disso decorre que α é constante. Em particular, α(t) = α(0), logo ϕ t Y = Y. Assim, do Corolário , segue que ϕ t ψ s = ψ s ϕ t, para quaisquer s, t. A comutatividade dos fluxos, dada pelo Lema , pode ser interpretada da seguinte forma. Sejam X, Y X(M). Dado p M, para todo t suficientemente pequeno, façamos: α(t) = (ψ t ϕ t ψ t ϕ t )(p). Assim, α(t) = p se, e somente se, [X, Y ](p) = 0. O colchete [X, Y ] mede o quanto o paralelogramo da Figura 3.1 é fechado. Pelo Exercício 3 temos que, se (U, ϕ) é uma carta local em M, então [ ], = 0, x i x j 97

101 Y X [ X,Y ] p X Y Figura 3.1: Variação da comutatividade dos fluxos. para quaisquer 1 i, j m. Veremos a seguir que a condição [X, Y ] = 0 é também suficiente para a existência de uma carta local (U, ϕ) em M tal que X = x 1 e Y = x 2. Definição Dizemos que dois campos vetoriais X, Y X(M) são linearmente independentes se X(p) e Y (p) são vetores linearmente independentes em T p M, para todo p M. Teorema Sejam X 1,..., X k X(M) campos linearmente independentes. Se [X i, X j ] = 0, para quaisquer 1 i, j k então, para todo p M, existe uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, tal que X i (q) = para quaisquer q U e 1 i, j k. x i (q), Demonstração. Dado um ponto p M, considere uma carta (U, ϕ) em M com as seguintes propriedades: (a) ϕ(p) = 0 R m ; (b) ϕ(u) = ( ɛ, ɛ) m ; (c) X 1 (p),..., X k (p), x k+1 (p),..., x m (p) são vetores linearmente independentes em T p M. Defina uma aplicação ψ : ( ɛ, ɛ) k ( ɛ, ɛ) m k M pondo ψ(x, y) = ψ(x 1,..., x k, y) = ( ϕ k x k... ϕ 1 x 1 ) (ϕ 1 (0, y)), onde {ϕ i t} é o grupo local a 1-parâmetro do campo X i, para 1 i k. Temos: ψ(x + te i, y) = ( ϕ k x k... ϕ i x i +t... ϕ 1 x 1 ) (ϕ 1 (0, y)) = ϕ i t(ψ(x, y)), 98

102 pois ϕ i s ϕ j t = ϕj t ϕi s. Assim, para todo 1 i k, temos: dψ(x, y) e i = d dt (ψ(x + te i, y))(0) = X i (ψ(x, y)). Decorre, em particular, que dψ(0, 0) e i = X i (p), para todo 1 i k. Além disso, para k + 1 i m, temos: dψ(0, 0) e i = d dt (ψ(0, te i))(0) = d dt (ϕ 1 (0, te i ))(0) = x i (p). Decorre, então, da hipótese (c) que dψ(0, 0) : R m T p M é um isomorfismo, Assim, pelo Teorema , existe um aberto W R m, com (0, 0) W ( ɛ, ɛ) m, tal que ψ W : W ψ(w ) é um difeomorfismo. Assim, a carta local procurada é ϕ = ψ 1. Concluimos então do Teorema que o colchete [X, Y ] pode ser usado para comparar a diferença entre as curvas integrais de X e Y e as curvas coordenadas de uma dada carta local. Exercícios 1. Sejam f : M N uma aplicação diferenciável e X X(M), Y X(N) campos vetoriais f-relacionados. Prove que qualquer curva integral de X é transformada por f numa curva integral de Y. 99

103 3.6 O teorema de Frobenius A teoria das distribuições pode ser vista como uma formulação geométrica da teoria clássica de certos sistemas de equações diferenciais parciais. As soluções são subvariedades da variedade em questão, chamadas de subvariedades integrais. O teorema de Frobenius nos dá condições necessárias e suficientes para a existência de tais subvariedades integrais. Veremos no capítulo seguinte uma aplicação deste teorema, que consiste em mostrar que uma subálgebra da álgebra de Lie de um grupo de Lie corresponde a um subgrupo de Lie. Definição Uma distribuição de posto k em uma variedade diferenciável M é uma correspondência D que associa a cada ponto p M um subespaço vetorial D(p) T p M de dimensão k. Decorre da Definição que para qualquer ponto p M existe um aberto U M contendo p e k campos vetoriais X 1,..., X k, possivelmente definidos em U, tais que D(q) = span{x 1 (q),..., X k (q)}, (3.26) para todo q U. Diremos que uma distribuição D é diferenciável se é possível escolher campos vetoriais X 1,..., X k X(U) com a propriedade (3.26), em uma vizinhança U de cada ponto p M. Exemplo Seja M uma variedade diferenciável que admite um campo vetorial X X(M) não-nulo em todo ponto. Assim, o campo X gera uma distribuição diferenciável D de posto 1, dada por para todo p M. D(p) = span{x(p)}, Exemplo No espaço Euclidiano R n, os campos vetoriais x 1,..., x k, 1 k n, geram uma distribuição diferenciável de posto k. Exemplo Em M = R n \{0}, definimos uma distribuição D pondo, para cada p M, D(p) como sendo o subespaço de T p M = R n ortogonal ao vetor posição v p = p. Estendendo o vetor v p a um campo vetorial X 1 X(U), onde U M é um aberto contendo p, e aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, obtemos n campos vetoriais X 1,..., X n X(U) tais que, para cada q U, os vetores X 1 (1),..., X n (q) formam uma base ortonormal de R n. Disso decorre que D é localmente gerada pelos campos X 2,..., X n X(U). Portanto, D é uma distribuição diferenciável em M de posto n

104 Exemplo No espaço Euclidiano R 3, considere a distribuição D definida do seguinte modo. Para cada ponto p = (a, b, c), defina D(p) como o plano gerado pelos vetores Assim, e a equação deste plano é dada por para cada ponto p = (a, b, c) R 3. x (p) + b z (p) e y (p). D(p) = {(r, s, br) p : r, s R}, z c = b(x a), Definição Uma distribuição D de posto k em uma variedade diferenciável M é dita ser involutiva se para quaisquer campos vetoriais X, Y X(M), com X(p), Y (p) D(p), para todo p M, tem-se que [X, Y ](p) D(p), para todo p M. Exemplo No espaço Euclidiano R m+n, considere a distribuição D gerada pelos campos coordenados x i, 1 i m. Dados campos vetoriais X, Y X(R m+n ), com X(p), Y (p) D(p), para todo p R m+n, podemos escrever m m X = X i e Y = Y i. x i x i i=1 Assim, da fórmula (3.9), obtemos que [X, Y ](p) D(p), para todo p R m+n, i.e., D é involutiva. Exemplo A distribuição D em R 3 gerada pelos vetores X = i=1 e Y = + e x 1 x 1 x 2 não é involutiva, pois [X, Y ] = e x 1, x 3 que não é uma combinação linear de X e Y. Definição Seja D uma distribuição de posto k em uma variedade diferenciável M. Uma subvariedade N k M é chamada uma subvariedade integral para a distribuição D se D(i(x)) = di(x)(t x N), 101 x 3

105 para todo x N, onde i : N M é a aplicação inclusão. A distribuição D é chamada integrável se cada ponto de M está contido em uma subvariedade integral da distribuição. Exemplo No Exemplo 3.6.2, a imagem de qualquer curva integral de X é uma subvariedade integral de D. No Exemplo 3.6.4, por cada ponto p R n \{0}, a esfera de raio p centrada na origem é uma subvariedade integral da distribuição D. Proposição Toda distribuição integrável é involutiva. Demonstração. Seja D uma distribuição integrável de posto k em uma variedade diferenciável M. Considere dois campos X, Y X(M) tais que X(p), Y (p) D(p), para todo p M. Como D é integrável segue que, para cada p M, existe uma subvariedade N k M, contendo p, tal que D(i(x)) = di(x)(t x N), para todo x N. Assim, como a inclusão i : N M é, em particular, uma imersão, segue da Proposição 3.5.3, existem campos X, Ỹ X(N) tais que X é i-relacionado com X e Ỹ é i-relacionado com Y. Pela Proposição 3.5.4, obtemos que [ X, Ỹ ] e [X, Y ] são i-relacionados, i.e., Portanto, [X, Y ] i = di [ X, Ỹ ]. [X, Y ](q) = [X, Y ](i(x)) = di(x) [ X, Ỹ ](x) D(q). Como p M foi escolhido de forma arbitrária, a proposição está provada. O lema seguinte afirma que toda distribuição involutiva é diferenciável. Lema Seja D uma distribuição involutiva de posto k em uma variedade diferenciável M m. Então, para cada ponto p M, existem um aberto V M contendo p e campos vetoriais X 1,..., X k X(V ) tais que X 1 (q),..., X k (q) geram D(q), para todo q V, e [X i, X j ] = 0, para quaisquer 1 i, j, k. Demonstração. Dado um ponto p M, seja (U, ϕ) uma carta local em M, com p U e ϕ(p) = 0. Seja R m = R k R m k uma decomposição em soma direta tal que dϕ(p)(d(p)) = R k. Se π : R m R k denota a projeção sobre o primeiro fator, temos que (π ϕ)(p) = 0 e d(π ϕ)(p) transforma D(p) 102

106 isomorficamente sobre R k. Segue então, por continuidade, que d(π ϕ)(q) transforma D(q) isomorficamente sobre R k para todo q pertencente a uma vizinhança V U de p. Assim, para cada q V, existe um único vetor X i (q) T q M tal que d(π ϕ)(q) X i (q) = e i R k, (3.27) para cada 1 i k; basta escolher X i (q) = d(π ϕ) 1 (q) e i. Disso decorre que X i X(V ). Como d(π ϕ)(q) é isomorfismo, segue que D(q) = span{x 1 (q),..., X k (q)}, para todo q V. Além disso, segue de (3.27) que X i é (π ϕ)-relacionado com e i, para todo 1 i k. Assim, pela Proposição 3.5.4, [X i, X j ] é (π ϕ)-relacionado com [e i, e j ] = 0, logo d(π ϕ)(q) [X i, X j ](q) = 0, para todo q V. Como D é involutiva, temos que [X i, X j ](q) D(q), para todo q V, logo [X i, X j ](q) = 0, para todo q V, pois d(π ϕ)(q) é isomorfismo. Estamos agora em condições de provar o principal resultado deste capítulo estabelecendo, essencialmente, a recíproca da Proposição Teorema (Frobenius). Toda distribuição involutiva D de posto k em uma variedade diferenciável M é integrável. Mais precisamente, para cada ponto p M, existe uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, tal que para cada b R m k, os subconjuntos S b = (π ϕ) 1 (b) U = {q U : ϕ i (q) = b i, k + 1 i m} são subvariedades de D, onde π : R k R m k R m k é a projeção canônica e ϕ i = π i ϕ. Além disso, se N k é uma subvariedade integral de D, com N conexa, então N S b, para algum b R m k. Demonstração. Dado p M, segue do Lema que existem um aberto V M contendo p e campos X 1,..., X k X(V ) tais que D(q) = span{x 1 (q),..., X k (q)} e [X i, X j ](q) = 0, para todo q V. Como os campos X 1,..., X k são linearmente independentes em V, segue do Teorema que existe uma carta (U, ϕ) em M, com p U V, tal que X i (q) = 103 x i (q),

107 para quaisquer q U e 1 i k. Assim, { } D(q) = span (q),..., (q), x 1 x k para todo q U. Dado b R m k, defina S b = (π ϕ) 1 (b) U, como no enunciado. Como b é valor regular de π ϕ, segue que (π ϕ) 1 (b) é subvariedade de M, logo S b é subvariedade de M. Além disso, temos T q S b = ker d(π ϕ)(q), (3.28) para todo q S b. Mostremos que T q S b = D(q). Como ker d(π ϕ)(q) tem dimensão k, basta provar que D(q) ker d(π ϕ)(q). Temos: ( ) d(π ϕ)(q) (q) = π dϕ(q) (q) = π(e i ) = 0, x i x i para todo 1 i k. Isso mostra que D(q) ker d(π ϕ)(q), para todo q S b. Segue então de (3.28) que D(q) = T q S b, para todo q S b. Portanto, provamos que, para cada p M, existe um aberto S b M contendo p e uma imersão i : S b S b tal que di(q)(t q S b ) = T q S b = D(q), para todo q S b, ou seja, D é uma distribuição integrável. Finalmente, seja N k uma subvariedade integral de D, com N conexa. Então, como para todo x N, temos: di(x)(t x N) = D(i(x)), d(π ϕ i)(x)(t x N) = π ( dϕ(i(x)) di(x)(t x N) ) = π ( dϕ(i(x))(d(i(x))) ) = d(π ϕ)(i(x))(d(i(x))) = 0, para todo x N. Como N é conexa, segue que (π ϕ i)(x) = b R m k, para todo x N e para algum b R m k, logo N S b. Definição Uma subvariedade integral maximal N de uma distribuição D em uma variedade diferenciável M é uma subvariedade integral conexa de D que não é um subconjunto próprio de qualquer outra subvariedade integral conexa de D. 104

108 O teorema seguinte, cuja prova será omitida, é uma versão do Teorema no contexto maximal. O leitor interessado pode conferir [19, Theorem 1.64]. Teorema Seja D uma distribuição involutiva de posto k em uma variedade diferenciável M. Então, por cada ponto p M, passa uma única subvariedade integral maximal de D, e qualquer outra subvariedade integral conexa de D, contendo p, está contida nesta maximal. Exercícios 1. Prove que os seguintes campos vetoriais definem uma distribuição de posto 2 em R 3 que não é involutiva: X = x + y z, Y = y. 2. Verifique se a distribuição em R 3, dada pelos campos vetoriais é involutiva. X = x 3 1 +, Y = + x 1 x 3 x 2 x 3 3. Prove que a distribuição em R 4 dada pelos campos vetoriais X = y + x z, Y = x + y w, onde (x, y, z, w) são as coordenadas canônicas de R 4, não admitem subvariedades integrais. 4. Sejam D 1,..., D r distribuições integráveis de posto k 1,..., k r, respectivamente, em uma variedade diferenciável M. Suponha que, para cada ponto p M, T p M = D 1 (p)... D r (p). Prove que existe uma carta local (U, ϕ) em M, em torno de cada ponto de M, tal que D 1 é gerada por x 1,..., x k1, etc. 5. Seja f : M m N n uma submersão diferenciável. Prove que a aplicação D dada por p M D(p) = ker df(p), é uma distribuição integrável de posto m n em M. 6. Sejam M N uma subvariedade e X, Y X(N) tais que X(p), Y (p) T p M, para todo p M. Prove que [X, Y ](p) T p M, para todo p M. 105

109 Capítulo 4 Variedades quocientes 4.1 Variedades quocientes Nesta seção veremos algumas condições necessárias para a existência de uma estrutura diferenciável quociente em M/, indicando que na maioria dos casos tal estrutura, de fato, não existe. Em geral, é difícil exibir condições suficientes gerais para a existência da estrutura diferenciável quociente. Veremos alguns exemplos onde tal estrutura existe e, na seção seguinte, apresentaremos uma condição suficiente para a existência da estrutura diferenciável quociente num caso bem específico. Dados uma variedade diferenciável M de classe C k, 1 k, e uma relação de equivalência em M, denotemos por M/ o espaço quociente e por π : M M/ a aplicação quociente. Definição Dizemos que um atlas A de classe C k em M/ é uma estrutura diferenciável quociente de classe C k em M/ se (M/, A) é uma variedade diferenciável de classe C k tal que π : M (M/, A) seja uma submersão de classe C k. Observação Se A é uma estrutura diferenciável quociente de classe C k em M/ então a topologia induzida por A em M/ coincide com a topologia quociente, i.e., a topologia co-induzida pela aplicação quociente π. De fato, isso segue do fato que uma submersão é uma aplicação aberta e do fato que toda aplicação contínua, aberta e sobrejetora é uma aplicação quociente (cf. Exercício 13). Observação Se f : X Y é uma aplicação contínua, aberta e sobrejetora, e se X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então 106

110 também Y satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (cf. Exercício 1). Assim, se A é uma estrutura diferenciável em M/ que torna a aplicação quociente uma submersão, segue automaticamente que a topologia induzida por A em M/ satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. O teorema seguinte exprime a propriedade fundamental da estrutura diferenciável quociente. Teorema Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, f : M N uma aplicação de classe C k e uma relação de equivalência em M. Se existe uma aplicação f : M/ N tal que f π = f e se A é uma estrutura diferenciável quociente de classe C k em M/, então f : (M/, A) N é de classe C k. Demonstração. Isso segue do Exercício 6 e do fato que π é uma submersão sobrejetora. Corolário Existe no máximo uma estrutura diferenciável quociente de classe C k em M/. Demonstração. Sejam A 1, A 2 estruturas diferenciáveis quociente de classe C k em M/. Temos, então, um diagrama comutativo: M (M/, A 1 ) π 1 Id π 2 (M/, A 2 ) onde π 1 e π 2 denotam as aplicações quociente. Como π 2 é de classe C k, segue do Teorema que Id é de classe C k e, como π 1 é de classe C k, segue que Id 1 é de classe C k. Logo, Id é um difeomorfismo de classe C k e, pelo Corolário 1.4.6, concluimos que A 1 = A 2. Exemplo Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N uma submersão de classe C k. Denotemos por a relação de equivalência em M determinada por f, i.e., x y f(x) = f(y). Afirmamos que M/ admite uma estrutura diferenciável quociente de classe C k. De fato, pelo Lema de passagem ao quociente, existe uma única aplica- 107

111 ção f : M/ f(m) tal que o diagrama M π M/ f f f(m) comuta. Além disso, f é bijetora. Como f é aberta, segue que f(m) é aberto em N. Em particular, f(m) é uma variedade diferenciável de classe C k, logo existe uma única estrutura diferenciável de classe C k em M/ que torna M/ uma variedade diferenciável de classe C k e f um difeomorfismo de classe C k (cf. Exercício 6). Assim, como f : M f(m) é uma submersão de classe C k, segue que π : M M/ também é uma submersão de classe C k. Portanto, temos uma estrutura diferenciável quociente de classe C k em M/, a qual é difeomorfa ao aberto f(m) de N. Exemplo Considere a função f : R n {0} R definida por f(x) = x 2, onde é a norma Euclidiana em R n. Temos que f é uma submersão de classe C. Seja a relação de equivalência em R n {0} determinada por f, i.e., x y x = y. Segue do Exemplo que o quociente (R n {0})/ admite uma estrutura diferenciável quociente de classe C e que (R n {0})/ é difeomorfo ao intervalo aberto (0, ), que é a imagem de f. O teorema seguinte nos dá uma condição necessária para que um quociente M/ admita uma estrutura diferenciável quociente. Teorema Sejam M n uma variedade diferenciável de classe C k e uma relação de equivalência em M. Se existe uma estrutura diferenciável quociente de classe C k em M/ então todas as classes de equivalência correspondentes a são subvariedades de M e todas elas possuem a mesma dimensão. Demonstração. Para todo p M, a classe de equivalência de p é igual a π 1 (π(p)). Como π é uma submersão, temos que π(p) é um valor regular de π e, portanto, π 1 (π(p)) é uma subvariedade de M com dimensão igual a n dim(m/ ). Exemplo Considere a relação de equivalência em R 2 definida por: (x, y) (x, y ) x + y = x + y. 108

112 A classe de equivalência de um ponto (x, y) (0, 0) é um quadrado de centro na origem e diagonais paralelas aos eixos coordenados. Logo, as classes de equivalência determinadas por não são subvariedades de R 2 e, portanto, o quociente R 2 / não admite estrutura diferenciável quociente. Exercícios 1. Sejam X, Y espaços topológicos e f : X Y uma aplicação contínua, aberta e sobrejetora. Prove que: (a) Se B é uma base de abertos para X então {f(b) : B B} é uma base de abertos para Y. (b) Se X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então Y também satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. 109

113 4.2 Grupos propriamente descontínuos Nesta seção descreveremos uma situação particular de variedade quociente, onde esta admite uma estrutura diferenciável quociente. Tal quociente é descrito em termos de ações de grupos. Definição Sejam G um grupo e M um conjunto. Uma ação de G em M é uma aplicação θ : G M M tal que: (a) θ(e, p)=p, (b) θ(g 1, θ(g 2, p)) = θ(g 1 g 2, p), para quaisquer g 1, g 2 G e p M, onde e G denota o elemento neutro. Neste caso, dizemos também que o grupo G age no conjunto M. Exemplo Um exemplo simples é a ação natural do grupo GL(n) em R n. Neste caso, definimos uma ação θ : GL(n) R n R n pondo θ(a, v) = A v. Nesta ação, identificamos o vetor v R n com a matriz v de ordem n 1. Assim, esta ação é a multiplicação da matriz A de ordem n n pela matriz v de ordem n 1. Observação Uma ação de grupo no sentido da Definição é usualmente chamada de uma ação à esquerda. Uma ação à direita de um grupo G num conjunto M é uma aplicação ρ : G M M tal que (a) ρ(e, p) = p, (b) ρ(g 1, ρ(g 2, p)) = ρ(g 2 g 1, p), para quaisquer g 1, g 2 G e p M. A motivação para os nomes ação à esquerda e ação à direita é a seguinte: se denotarmos θ(g, p) por g p e ρ(g, p) por p g, então as condições satisfeitas por θ e ρ são descritas da seguinte maneira: e p = p, g 1 (g 2 p) = (g 1 g 2 ) p, e p e = p, (p g 2 ) g 1 = p (g 2 g 1 ), 110

114 respectivamente. Note que se G é abeliano então θ = ρ. Além disso, se ρ : G M M é uma ação à direita, então θ(g, p) = ρ(g 1, p) é uma ação à esquerda de G em M. Por esse motivo, nos restringiremos às ações à esquerda. Dados uma ação θ : G M M e um ponto p M, o subgrupo de isotropia de p, denotado por G p, é definido por G p = {g G : g p = p}. É simples verificar que G p é de fato um subgrupo de G. Quando G p = {e} para todo p M, dizemos que a ação de G em M é livre ou sem pontos fixos. A órbita de p pela ação de G, denotada por G(p), é definida por G(p) = {g p : g G}. Quando a ação θ possui uma única órbita, i.e., para quaisquer p, q M existe g G com q = g p, dizemos que θ é uma ação transitiva. Exemplo Em relação à ação natural de GL(n) em R n, temos que 0 R n é um ponto fixo de GL(n), pois GL(n) 0 = {A GL(n) : A 0 = 0} = GL(n). Além disso, a ação de GL(n) em R n {0} é transitiva. De fato, dado x = (x 1,..., x n ) R n, x 0, existe uma base {f 1,..., f n } de R n, com f 1 = x. Assim, se {e 1,..., e n } denota a base canônica de R n, temos: para todo 1 i n, logo f i = n a ij e j, j=1 x = A e 1, com A = (a ij ) GL(n). Em particular, tem-se x G(e 1 ). Exemplo Em relação à ação natural do grupo ortogonal O(n) em R n, as órbitas são esferas concêntricas, centradas na origem. De fato, dado x R n, para todo A O(n), temos A(x) = x. Portanto, a órbita de x R n é a esfera centrada na origem de raio x. 111

115 Quando M é um espaço topológico ou uma variedade diferenciável, é mais natural estudar ações de grupos em M que sejam compatíveis com a estrutura topológica ou com a estrutura diferenciável de M. Antes, porém, de particularizarmos nosso estudo, façamos algumas considerações. Dado um conjunto M, denotemos por Bij(M) o grupo das bijeções φ : M M, munido da operação de composição. Seja θ : G M M uma ação em M. Note que, para todo g G, a aplicação θ g : M M, definida por θ g (p) = θ(g, p), é bijetora e sua inversa é igual a θ g 1. Obtemos, então, uma aplicação θ : G Bij(M) dada por θ(g) = θ g, para todo g G. É fácil ver que θ é um homomorfismo de grupos. Reciprocamente, dado um homomorfismo θ : G Bij(M), a aplicação θ(g, p) = θ(g)(p) define uma ação de G em M. Definição Sejam G um grupo e M um espaço topológico. Uma ação por transformações contínuas de G em M é uma ação θ : G M M tal que, para todo g G, a bijeção θ g : M M é contínua. Se M é uma variedade diferenciável de classe C k, dizemos que θ é uma ação por transformações de classe C k se a bijeção θ g : M M é de classe C k, para todo g G. Como θg 1 = θ g 1, temos que se θ é uma ação por transformações contínuas então θ g é um homeomorfismo de M, para todo g G. Analogamente, se θ é uma ação por transformações de classe C k então θ g é um difeomorfismo de classe C k de M, para todo g G. Observação Se M é um espaço topológico então o conjunto Homeo(M) dos homeomorfismos de M é um subgrupo de Bij(M). Assim, θ é uma ação por transformações contínuas se, e somente se, o homomorfismo associado θ toma valores em Homeo(M). Se M é uma variedade diferenciável de classe C k então o conjunto Dif k (M) dos difeomorfismos de classe C k de M é um subgrupo de Homeo(M). Assim, θ é uma ação por transformações de classe C k se, e somente se, θ toma valores em Dif k (M). Associado a uma ação θ : G M M temos uma relação de equivalência em M definida por: p q existe g G, com q = g p. (4.1) 112

116 É fácil ver que é de fato uma relação de equivalência em M. Além disso, se [p] denota a classe de equivalência de p M, então [p] = G(p). Lema Sejam G um grupo, M um espaço topológico e suponha que seja dada uma ação de G em M por transformações contínuas. Se o quociente M/G, em relação a (4.1), é munido da topologia quociente então a aplicação quociente π : M M/G é aberta. Demonstração. Seja U M um aberto. Para provar que π(u) é aberto em M/G, devemos mostrar que π 1 (π(u)) é aberto em M. Temos que Assim, π 1 (π(u)) = {p M : p q, para algum q U}. π 1 (π(u)) = gu, onde gu = {g p : p U} = θ g (U). Como cada gu é aberto em M, segue que π 1 (π(u)) = é também aberto em M. De agora em diante, se M é um espaço topológico e se G é um grupo agindo em M por transformações contínuas, assumiremos que M/G está munido da topologia quociente. Definição Sejam G um grupo e M um espaço topológico. Uma ação de G em M por transformações contínuas é chamada propriamente descontínua se valem as seguintes propriedades: (a) Para todo p M, existe um aberto U M contendo p tal que gu U =, para todo g G, g e. (b) Para quaisquer p, q M, com q G(p), existem abertos U, V M, com p U e q V, tais que gu V =, para todo g G. Dizemos também neste caso que G age de modo propriamente descontínuo em M. O aberto U dado em (a) chama-se uma vizinhança distinguida de p M. Observação Segue da condição (a) da Definição que os abertos gu, g G, são dois a dois disjuntos. De fato, dados g, h G, com g h, temos: gu hu = h ( (h 1 g)u U ) = h =, pois h 1 g e. Analogamente, a condição (b) implica que gu hv =, para quaisquer g, h G. De fato, g G gu hv = h ( (h 1 g)u V ) = h =. 113

117 O lema seguinte caracteriza a condição (b) da Definição Lema Seja G um grupo agindo por transformações contínuas em um espaço topológico M. Então a condição (b) é satisfeita se, e somente se, o espaço topológico M/G é Hausdorff. Demonstração. Suponha que M/G é Hausdorff. Dados p, q M, com q G(p), então π(p) e π(q) são pontos distintos em M/G, onde π : M M/G denota a aplicação quociente. Assim, existem abertos disjuntos Ũ, Ṽ M/G, com π(p) Ũ e π(q) Ṽ. Portanto, U = π 1 (Ũ) e V = π 1 (Ṽ ) são abertos em M, com p U e q V, tais que gu V =, para todo g G. Isso prova a condição (b) da Definição Reciprocamente, suponha que a condição (b) é satisfeita. Sejam p, q M/G pontos distintos e p, q M tais que π(p) = p e π(q) = q. Tem-se que q G(p) e, portanto, existem abertos U, V M, com p U e q V, tais que gu V =, para todo g G. Como π é uma aplicação aberta, segue que Ũ = π(u) e Ṽ = π(v ) são abertos em M/G. Além disso, tem-se p Ũ, q Ṽ e Ũ, Ṽ são disjuntos. Logo, M/G é Hausdorff. O lema seguinte resume algumas propriedades básicas das ações propriamente descontínuas. Lema Toda ação propriamente descontínua de um grupo G num espaço topológico M é livre e possui órbitas discretas e fechadas. Além disso, para que exista uma ação propriamente descontínua de algum grupo G num dado espaço topológico M é necessário que M seja Hausdorff. Demonstração. A condição (a) da Definição implica que a ação de G em M é livre e que as órbitas dessa ação são discretas (cf. Observação ). O fato de que as órbitas são fechadas segue diretamente da condição (b). Finalmente, suponha que exista uma ação propriamente descontínua de G em M. Sejam p, q M pontos distintos. Se q G(p), a condição (a) fornece abertos que separam p de q; se q = g p, g e, e se U é uma vizinhança distinguida de p, então q gu e U gu =. Se q G(p), a condição (b) fornece abertos disjuntos U, V M, com p U e q V. Isso prova que M é Hausdorff. O lema seguinte nos dá condições suficientes para que uma ação seja propriamente descontínua. Lema Seja M um espaço topológico de Hausdorff. Então, toda ação livre por transformações contínuas de um grupo finito G em M é propriamente descontínua. 114

118 Demonstração. Seja dado p M. Como a ação é livre, os elementos da família {g p : g G} são dois a dois distintos. Como M é Hausdorff, podemos obter uma família {U g : g G} de abertos de M, dois a dois disjuntos, tal que g p U g, para todo g G. Como a ação é contínua e G é finito, podemos escolher o aberto U = U e, com e p U, suficientemente pequeno de modo que gu U g, para todo g G. Assim, gu U =, para todo g G. Isso prova a condição (a) da Definição Para provar a condição (b), sejam dados p, q M, com q G(p). Para todo g G, com q g p, existem abertos disjuntos U g, V g M, com g p U g e q V g. Definindo U = g 1 U g e V = V g, g G segue que U e V são vizinhanças abertas de p e q, respectivamente e, para todo g G, tem-se gu U g e V V g, logo gu V =. O teorema seguinte nos proporciona uma rica fonte de exemplos de variedades diferenciáis. Teorema Seja G um grupo propriamente descontínuo agindo em uma variedade diferenciável M n de classe C k. Então, o quociente M/G admite uma única estrutura diferenciável quociente de classe C k. Além disso, a aplicação quociente π : M M/G é um difeomorfismo local de classe C k. Demonstração. Seja (U, ϕ) uma carta local em M tal que gu U =, para todo g G, g e. Então, π(u) é aberto em M/G e a aplicação π U : U π(u) é contínua, aberta e bijetora, logo π U : U π(u) é um homeomorfismo. Assim, a aplicação g G ϕ : π(u) ϕ(u) R n definida por ϕ = ϕ π 1 U é um homeomorfismo de um aberto de M/G sobre um aberto de R n ; em particular, ϕ é uma carta local em M/G. Provemos que a coleção A de todas as cartas ϕ em M/G, definidas dessa forma, é um atlas de classe C k em M/G. De fato, dado p M/G, seja p M com p = π(p). O ponto p pertence a um aberto U em M tal que gu U =, para todo g G, g e. Escolha então um aberto U U contendo p que seja domínio de uma carta ϕ. Assim, a carta correspondente ϕ conterá p em seu domínio. Isso mostra que os domínios das cartas pertencentes a A cobrem M/G. Quanto à C k -compatibilidade, sejam (U, ϕ), (V, ψ) cartas em M, com gu U = e gv V =, para todo g G, g e. Sejam ϕ, ψ as 115

119 correspondentes cartas em M/G. O domínio de ψ ϕ 1 é igual a ϕ (π(u) π(v )) = ϕ ( π 1 U (π(u) π(v ))) = ϕ ( U π 1 (π(v )) ) = ϕ U gv g G = ϕ(u gv ). g G Como ϕ(u gv ) é aberto em R n, para todo g G, é suficiente provar que a restrição de ψ ϕ 1 a ϕ(u gv ) é de classe C k, para todo g G. Seja x ϕ(u gv ). Assim, x = ϕ(p), com p U gv e, portanto, ϕ 1 (x) = π(p). Temos π(p) = π(g 1 p) e g 1 p V, logo ψ(π(p)) = ψ(g 1 p). Assim, ( ψ ϕ 1 ) (x) = ψ(π(p)) = ψ(g 1 p) = ψ(g 1 ϕ 1 (x)), para todo x ϕ(u gv ). Como ϕ, ψ e a bijeção de M correspondente à ação de g são difeomorfismos de classe C k, segue que ψ ϕ 1 é de classe C k. Portanto, provamos que A é um atlas de classe C k em M/G. Segue então que a topologia induzida por A em M/G coincide com a topologia quociente (cf. Observação 4.1.2). Do Lema obtemos que a topologia quociente em M/G é Hausdorff. Além disso, como a aplicação quociente π é contínua, aberta e sobrejetora, segue do Exercício 1 que a topologia quociente em M/G satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Portanto, M/G munido do atlas maximal de classe C k que contém A é uma variedade diferenciável de classe C k. Finalmente, relativamente à essa estrutura diferenciável, temos que cada carta ϕ é um difeomorfismo de classe C k ; como π U = ϕ 1 ϕ, segue que π U também é um difeomorfismo de classe C k e, portanto, π é um difeomorfismo local de classe C k. Em particular, π é uma submersão de classe C k e, portanto, a estrutura diferenciável em M/G é uma estrutura diferenciável quociente de classe C k. Exemplo Na esfera S n, considere a aplicação antípoda A : S n S n dada por A(x) = x, para todo x S n. O conjunto G = {Id, A}, munido da operação de composição, é um subgrupo de Dif(S n ). Como G é finito e a ação de G em S n é livre, pois A não tem pontos fixos, segue do Lema que a ação de G em S n é propriamente descontínua e, 116

120 pelo Teorema , S n /G admite uma única estrutura diferenciável quociente de classe C que torna a aplicação quociente π : S n S n /G um difeomorfismo local de classe C. Afirmamos que S n /G é difeomorfo ao espaço projetivo RP n. De fato, considere a aplicação inclusão i : S n R n+1 \{0}. Se p : R n+1 \{0} RP n denota a aplicação quociente, defina ϕ = p i. Temos que ϕ é sobrejetora. Além disso, a relação de equivalência determinada por ϕ em S n coincide com a relação de equivalência em S n cujas classes de equivalência são as órbitas de G, ou seja, y G(x) y = x ou y = x ϕ(x) = ϕ(y), para quaisquer x, y S n. Assim, ϕ : S n RP n é bijetora e, portanto, induz uma bijeção φ : S n /G RP n tal que o diagrama S n π S n /G i φ ϕ R n+1 \{0} p RP n comuta. Dado x S n /G, tem-se x = π(x), com x S n. Como ϕ é de classe C, π é uma submersão sobrejetora de classe C e ϕ = φ π, segue do Corolário que φ é de classe C. Além disso, temos: dϕ(x) = dφ( x) dπ(x). Como dϕ(x) e dπ(x) são isomorfismos, segue que dφ( x) também é um isomorfismo. Assim, pelo Teorema da Aplicação Inversa, φ é um difeomorfismo local de classe C e, portanto, um difeomorfismo de classe C, uma vez que é bijetora. Exemplo Seja Z 2 o subgrupo aditivo de R 2 formado pelos vetores cujas coordenadas são números inteiros. Temos, então, uma ação θ : Z 2 R 2 R 2 dada por (m, n) (x, y) = (x + m, y + n), para quaisquer m, n Z e x, y R. A bijeção θ g : R 2 R 2, correspondente ao elemento g = (m, n) Z 2, é uma translação e, portanto, temos uma ação por isometrias. Afirmamos que Z 2 é um grupo propriamente descontínuo. De fato, qualquer vizinhança de diâmetro menor do que um é uma vizinhança 117

121 distinguida. Quanto à condição (b) da Definição 4.2.9, dados x, y R 2, com x y, seja ɛ > 0 a distância de x à órbita de y. Assim, U = B(x; ɛ/2) e V = B(y; ɛ/2) satisfazem a condição (b). Portanto, pelo Teorema , existe uma única estrutura diferenciável quociente de classe C em R 2 /Z 2, que torna π : R 2 R 2 /Z 2 um difeomorfismo local de classe c. Afirmamos que R 2 /Z 2 é difeomormo ao toro S 1 S 1. De fato, considere a aplicação f : R 2 S 1 S 1 definida por f(x, y) = (e i2πx, e i2πy ) = (cos(2πx), sin(2πx), cos(2πy), sin(2πy)). Temos que f é uma submersão de classe C, pois a aplicação t R (cos(2πt), sin(2πt)) S 1 é uma submersão de classe C. Além disso, a relação de equivalência determinada por f em R 2 coincide com a relação de equivalência em R 2 cujas classes são as órbitas de Z 2, ou seja, f(x, y) = f(x, y ) x x Z e y y Z (x, y ) Z 2 (x, y). Portanto, f induz uma bijeção φ : R 2 /Z 2 S 1 S 1 de modo que o diagrama R 2 f S 1 S 1 π R 2 /Z 2 φ comuta. Dado p R 2 /Z 2, seja p R 2 com p = π(p). Como f = φ π, podemos argumentar como no Exemplo para concluir que φ é diferenciável. Assim, df(p) = dφ( x) dπ(p). Como dπ(p) é um isomorfismo e df(p) é sobrejetora, segue que dφ( p) é um isomorfismo. Logo, pelo Teorema da Aplicação Inversa, φ é um difeomorfismo local de classe C e, portanto, um difeomorfismo de classe C, uma vez que é bijetora. Exercícios 1. Prove que o grupo ortogonal O(n) age transitivamente na esfera S n 1 e determine os subgrupos de isotropia. 118

122 2. Prove que a variedade R/Z é difeomorfa ao círculo S Prove que o plano projetivo R 2 /Z 2 é difeomorfo ao toro de rotação T 2, obtido pela rotação de um círculo em torno de um eixo que não o intercepta. Sugestão: por simplicidade, suponha que tal eixo seja o eixo-z e que o círculo tenha raio r e centro no ponto (1, 0, 0). Assim, uma parametrização local de T 2 é dada por ϕ(s, t) = ( (1 + r cos s) cos t, (1 + r cos s) sin t, r sin s ), com 0 < s, t < 2π. Considere a aplicação f : R 2 R 3 definida por f(s, t) = ( (1 + r cos(2πs)) cos(2πt), (1 + r cos(2πs)) sin(2πt), r sin(2πs) ). Prove que f induz um difeomorfismo de classe C de R 2 /Z 2 sobre T Considere a aplicação f : S 2 R 3 dada por f(x, y, z) = (yz, xz, xy). Prove que f induz uma aplicação de classe C de RP 2 em R 3, a qual deixa de ser uma imersão em 6 pontos, cujas imagens são os pontos dos eixos coordenados a uma distância 1/2 da origem. 5. Considere a aplicação f : S 2 R 6 dada por f(x, y, z) = (x 2, y 2, z 2, 2yz, 2xz, 2xy). Prove que f induz um mergulho de classe C de RP 2 em R 4, chamado o mergulho de Veronese. 119

123 4.3 Orientação em espaços vetoriais Seja E um espaço vetorial real de dimensão n. Dados duas bases E = {e 1,..., e n } e F = {f 1,..., f n } em E, denotemos por A = (a ij ) a única matriz real n n invertível tal que f j = n a ij e i, i=1 para todo 1 j n. A matriz A chama-se a matriz de passagem da base E para a base F. Definição Dizemos que as bases E e F definem a mesma orientação em E se det A > 0 e, neste caso, escrevemos E F. Esta propriedade define uma relação de equivalência no conjunto de todas as bases de E. Cada classe de equivalência, segundo esta relação, chama-se uma orientação no espaço vetorial E. Seja O uma orientação em E. O é um conjunto de bases de E com as seguintes propriedades. Duas bases quaisquer em O são igualmente orientadas. Além disso, se E pertence a O e F E, então F também pertence a O. Assim, a orientação O fica determinada por qualquer um de seus e- lementos E. Se as matrizes de passagem de E para as bases F e G são A e B, respectivamente, então a matriz de passagem de F para G é BA 1. Se det A < 0 e det B < 0 então det(ba 1 ) > 0. Ou seja, se F e G não pertencem à orientação O, então F G. Isso mostra que a relação possui duas classes de equivalência. Em outras palavras, o espaço vetorial E admite duas orientações. Definição Um espaço vetorial orientado é um par (E, O), onde O é uma orientação em E. Fixada uma orientação O em E, a outra orientação de E será chamada a orientação oposta e a denotaremos por O. No espaço vetorial orientado E, as bases pertencentes a O serão chamadas positivas, enquanto as outras de negativas. Definição Sejam E, F espaços vetoriais orientados, com mesma dimensão. Dizemos que um isomorfismo linear T : E F preserva orientação se transforma bases positivas de E em bases positivas de F. Caso contrário, dizemos que T inverte orientação. 120

124 Observe que, para que um isomorfismo T : E F preserve orientação basta que T transforme uma base positiva de E numa base positiva de F. Se T : E F preserva orientação, então T 1 : F E também preserva. Além disso, se T : E F e S : F G preservam orientação, o mesmo ocorre com S T : E G. Exemplo O espaço Euclidiano R n será considerado orientado pela exigência de que sua base canônica seja positiva. Assim, um isomorfismo linear T : R n R n preserva orientação se, e somente se, sua matriz, em relação à base canônica de R n, tem determinante positivo. Se apenas um dos espaços vetoriais E, F é orientado, a exigência de que um isomorifismo T : E F preserve orientação determina, univocamente, uma orientação no outro espaço. 4.4 Orientação em variedades diferenciáveis Seja M uma variedade diferenciável. Dizemos que duas cartas locais (U, ϕ), (V, ψ) em M são coerentes quando U V =, ou então quando U V, a aplicação de transição ψ ϕ 1 satisfaz det ( d(ψ ϕ 1 )(x) ) > 0, para todo x ϕ(u V ). Um atlas A na variedade M é chamado coerente se quaisquer duas cartas locais em A são coerentes. Diremos que a variedade M é orientável se M possui um atlas coerente. Observe que todo atlas coerente A na variedade M está contido em um único atlas coerente maximal. De fato, basta considerar o atlas constituído de todas as cartas de M que são coerentes com todas as cartas de A. Definição Uma variedade orientada é um par (M, A), onde M é uma variedade diferenciável e A é um atlas coerente maximal. O atlas A, neste caso, é chamado uma orientação para M. Exemplo O espaço Euclidiano R n é uma variedade orientável, pois o atlas em R n determinado pela aplicação identidade é coerente. A orientação definida por este atlas é chamada a orientação canônica de R n. Exemplo Todo subconjunto aberto U de uma variedade orientável M também é orientável. De fato, fixado um atlas coerente A em M, o atlas em U definido pelas restrições a U das cartas de M também é um atlas coerente, logo define uma orientação em U, chamada de orientação induzida. 121

125 Observação Uma orientação A em uma variedade diferenciável M determina uma orientação em cada espaço tangente T p M, no sentido da Seção 4.3: {v 1,..., v m } é base positiva de T p M se {dϕ(p) v 1,..., dϕ(p) v m } é uma base positiva de R m, onde (U, ϕ) é uma carta local em A, com p U. Além disso, esta orientação independe da escolha da carta. De fato, seja (V, ψ) outra carta em A, com p U V. Então, dψ(p) = d(ψ ϕ 1 ϕ)(p) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) dϕ(p). Como ϕ e ψ são coerentes, o isomorfismo d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) preserva orientação, logo {dψ(p) v 1,..., dψ(p) v m } também é uma base positiva de R m. Observação Reciprocamente, suponha que seja dada uma orientação O p em cada espaço tangente T p M de uma variedade diferenciável M de tal modo que, para cada p M, exista uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, tal que dϕ(q) : T q M R m preserva orientação, para todo q U. Então, o atlas A formado por tais cartas é um atlas coerente em M e, portanto, M é orientável. De fato, se (U, ϕ), (V, ψ) são cartas em M, com p U V, então det ( d(ψ ϕ 1 )(x) ) = det ( dψ(q) dϕ 1 (x) ) > 0, para todo x ϕ(u), com q = ϕ 1 (x), pois dψ(q) dϕ 1 (x) é a composta de dois isomorfismos que preservam orientação. Proposição Seja f : M N um difeomorfismo local entre duas variedades orientadas, M e N. Então, o conjunto é um aberto em M. A = {p M : df(p) preserva orientação} Demonstração. Sejam A, B os atlas que definem as orientações em M e N, respectivamente. Dado p A, sejam (U, ϕ) A e (V, ψ) B, com p U e f(u) V. Como df(p) preserva orientação, o mesmo ocorre com o isomorfismo d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)). Por continuidade da função determinante, existe um aberto W R m, com ϕ(p) W ϕ(u), tal que d(ψ f ϕ 1 )(x) preserva orientação, para todo x W. Portanto, df(q) preserva orientação, para todo q ϕ 1 (W ) U. Isso mostra que ϕ 1 (W ) é um aberto em M tal que p ϕ 1 (W ) A, i.e., A é aberto. Observação Segue de forma inteiramente análoga que o conjunto também é um aberto em M. B = {p M : df(p) inverte orientação} 122

126 Corolário Seja f : M N um difeomorfismo local entre variedades orientadas. Se M é conexa, então ou f preserva orientação ou inverte orientação. Corolário Em uma variedade orientável conexa M existem, exatamente, duas possíveis orientações. Demonstração. Sejam A, B orientações em M. A aplicação identidade Id : (M, A) (M, B) é um difeomorfismo. Assim, como M é conexa, segue do Corolário que ou bem Id preserva orientação, e neste caso tem-se A = B, ou Id inverte orientação, e neste caso tem-se A = B. Corolário Suponhamos que em uma variedade diferenciável M existam cartas locais (U, ϕ), (V, ψ) tais que em dois pontos distintos de ϕ(u V ) a mudança de coordenadas ψ ϕ 1 tenha determinante, nestes dois pontos, com sinais contrários. Então, M não é orientável. Observe que, nas condições do Corolário , a interseção U V é necessariamente desconexa. Proposição Seja M m R n uma superfície e suponha que existem n m campos normais contínuos η 1,..., η n m : M R n que são linearmente independentes. Então, M é orientável. Demonstração. Para cada ponto p M, definimos uma orientação em T p M do seguinte modo: uma base {v 1,..., v m } de T p M é positiva se, e somente se, {v 1,..., v m, η 1 (p),..., η n m (p)} é uma base positiva de R n. Dado uma carta local (U, ϕ) em M, com p U e U conexo, compondo ϕ com um isomorfismo de R n que inverte orientação, se necessário, podemos supor que a base { } (q),..., (q), η 1 (q),..., η n m (q) x 1 x m de R n seja positiva, para todo q U. Portanto, para cada p M, podemos escolher uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, tal que dϕ(q) : T q M R m seja um isomorfismo que preserva orientação, para todo q U. Logo, pela Observação 4.4.5, segue que M é orientável. 123

127 Quando a codimensão de M é igual a 1, i.e., n m = 1, vale a recíproca da Proposição (cf. Exercício 2). Mais precisamente, temos o seguinte: Teorema Uma hipersuperfície M R n+1 é orientável se, e somente se, existe um campo contínuo de vetores normais η : M R n+1, com η(p) 0 para todo p M. Uma aplicação simples do Teorema é analisar a orientabilidade da esfera através da aplicação antípoda. Exemplo Consideremos a aplicação antípoda A : S n S n, dada por A(p) = p, para todo p S n, e examinemos se A preserva ou inverte a orientação de S n. A orientação de S n, definida pelo campo posição η(p) = p, em conformidade com o Teorema , faz com que uma base {v 1,..., v n } de T p S n seja positiva se, e somente se, det(v 1,..., v n, p) > 0, onde (v 1,..., v n, p) é a matriz (n+1) (n+1) cujas colunas estão aí indicadas. Portanto, escolhida uma base positiva {v 1,..., v n } de T p S n, o isomorfismo da(p) = Id preserva orientação se, e somente se, det( v 1,..., v n, p) = ( 1) n+1 det(v 1,..., v n, p) > 0, ou seja, se, e somente se, n é ímpar. Portanto, a aplicação antípoda A preserva a orientação de S n quando n é ímpar e inverte quando n é par. Proposição Seja f : M N um difeomorfismo local. orientável então o mesmo vale para M. Se N é Demonstração. Seja B uma orientação em N. Dado p M, sejam (V, ψ) B, com f(p) V, e U M um aberto contendo p, com f(u) V, tais que f U : U f(u) seja um difeomorfismo. Então, ϕ = ψ f U é uma carta local em M. Além disso, a coleção A formada por tais cartas locais é um atlas coerente em M. De fato, sejam ϕ 1, ϕ 2 A e ψ 1, ψ 2 B tais que ϕ 1 = ψ 1 f e ϕ 2 = ψ 2 f. Então, ϕ 2 ϕ 1 1 = (ψ 2 f) (ψ 1 f) 1 = ψ 2 ψ 1 1. Como ψ 1 e ψ 2 preservam orientação, o determinante jacobiano de ϕ 2 ϕ 1 1 é positivo, logo A é coerente. Exemplo Seja S n a esfera unitária. Definimos uma aplicação f : S n R R n+1 pondo f(x, t) = e t x. Temos que f é um difeomorfismo do cilindro S n R sobre o aberto R n+1 \{0} de R n+1. Como R n+1 \{0} é orientável, segue da Proposição que S n R é orientável. Assim, usando o Exercício 1, concluimos que S n é orientável. 124

128 Dado uma função diferenciável f : U R, onde U R n é um subconjunto aberto, lembremos que o gradiente de f num ponto x U, denotado por gradf(x), é o vetor em R n definido por gradf(x), v = df(x) v, para todo v R n. Em particular, para v = e i, temos gradf(x), e i = f x i (x), logo ( f gradf(x) = (x),..., f ) (x), x 1 x n para todo x U. Seja c R um valor regular para f. Assim, M = f 1 (c) é uma superfície em R n. Dados x M e v T x M, seja λ : ( ɛ, ɛ) U uma curva diferenciável tal que λ(0) = x, λ (0) = v e λ(t) M, para todo t ( ɛ, ɛ). Assim, como f(λ(t)) = c, para todo t, temos: 0 = (f λ) (0) = df(x) v = n i=1 f x i (x) v = gradf(x), v, ou seja, o gradiente de f no ponto x é ortogonal ao espaço tangente T x M. Esta observação pode ser usada, neste contexto, da seguinte forma: Proposição Sejam f : R n R m uma aplicação diferenciável e c R m um valor regular para f. Então, M = f 1 (c) é uma superfície orientável. Demonstração. A superfície M = f 1 (c) tem em cada um de seus pontos p o espaço vetorial normal gerado pelos m vetores linearmente independentes gradf 1 (p),..., gradf m (p), onde f 1,..., f m : R n R são as funções coordenadas de f. Assim, segue da Proposição que M é orientável. Exercícios 1. Sejam M, N variedades diferenciáveis. Prove que a variedade produto M N é orientável se, e somente se, cada uma das variedades M e N é orientável. 2. Prove o Teorema Prove que todo grupo de Lie G é orientável. 125

129 4.5 Orientação via ação de grupos Nesta seção apresentaremos alguns exemplos de variedades não-orientáveis. Mais precisamente, daremos uma condição necessária e suficiente para que uma variedade quociente seja orientável. Comecemos com o seguinte lema auxiliar, que é a recíproca da Proposição Lema Seja f : M N um difeomorfismo local sobrejetor. Se M é orientável e conexa, então N é orientável se, e somente se, para quaisquer p, q M, com f(p) = f(q), o isomorfismo df(p) df(q) 1 preserva orientação. Demonstração. Suponha que, para quaisquer p, q M, com f(p) = f(q), o isomorfismo df(q) 1 df(p) preserva orientação. Dado x N, defina uma orientação O x em T x N exigindo que o isomorfismo df(p) : T p M T x N preserva orientação, onde p f 1 (x). A hipótese de que df(q) 1 df(p) preserva orientação, para quaisquer p, q M, com f(p) = f(q), implica que a orientação O x assim definida independe da escolha do ponto p f 1 (x). Além disso, se (U, ϕ) é uma carta pertencente a orientação de M, com p U e tal que f U : U f(u) seja um difeomorfismo, então ψ = ϕ f 1 U é uma carta en N, com x f(u), tal que dψ(y) preserva orientação, para todo y f(u). Logo, pela Observação 4.4.5, N é orientável. Reciprocamente, suponha N orientável. Como M é conexa, segue do Corolário que ou f preserva orientação ou inverte orientação. Em qualquer caso, obtemos que df(q) 1 df(p) preserva orientação, para quaisquer p, q M tais que f(p) = f(q). Teorema Sejam M uma variedade orientável conexa e G um grupo propriamente descontínuo de difeomorfismos de M. Então, M/G é orientável se, e somente se, todo difeomorfismo g G preserva orientação. Demonstração. A aplicação quociente π : M M/G é um difeomorfismo local sobrejetor. Observe que π(p) = π(q) se, e somente se, q = g(p), para algum g G. Como π g = π, para todo g G, temos que dπ(q) dg(p) = dπ(p), ou seja, dπ(q) 1 dπ(p) = dg(p). Portanto, segue do Lema que M/G é orientável se, e somente se, todo elemento g G preserva orientação. Exemplo A variedade quociente R 2 /Z 2, por ser difeomorfa ao toro S 1 S 1, é orientável. Podemos ver também a orientabilidade de R 2 /Z 2 através do Teorema De fato, a ação de Z 2 em R 2 é por translação e, 126

130 portanto, é uma ação por isometrias. Como cada translação é um difeomorfismo de R 2 que preserva orientação, segue do Teorema que R 2 /Z 2 é orientável. De forma inteiramente análoga se prova que R n /Z n é orientável. Exemplo O espaço projetivo RP n é orientável se, e somente se, n é ímpar. De fato, do Exemplo , RP n é difeomorfo ao quociente S n /G, caracterizado pela ação propriamente descontínua do grupo G = {Id, A} em S n. Como a aplicação antípoda A : S n S n preserva orientação se, e somente se, n é ímpar (cf. Exemplo ), a conclusão segue então do Teorema Exemplo O cilindro M = S 1 R é uma variedade orientável, como produto de duas variedades orientáveis. Considere a aplicação g : M M dada por g(x, y, z) = (x, y, z + 1). Temos que g é um difeomorfismo, cujo inverso é dado por g 1 (x, y, z) = (x, y, z 1). Além disso, g tem as seguintes propriedades: (a) transforma cada círculo horizontal de S 1 R no círculo situado uma unidade acima, refletindo-o em torno de um diâmetro. (b) gera um grupo cíclico G = {g n : n Z} de difeomorfismos de M. Afirmamos que G age em M de forma propriamente descontínua. De fato, dado p = (x, y, z) M, considere a vizinhança V p de p dada por V p = S 1 (z ɛ, z + ɛ), onde 0 < ɛ < 1/2. Da propriedade (a) segue que g(v p ) V p =, para todo g G, g e. Sejam agora p 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e p 2 = (x 2, y 2, z 2 ) pontos de M que estão em órbitas distintas. Assim, não existe n Z tal que z 1 = nz 2. Podemos supor, sem perda de generalidade, que z 1 e z 2 estão entre dois inteiros consecutivos, n e n + 1. Considere vizinhanças abertas V z1, V z2 centradas em z 1 e z 2, respectivamente, tais que V z1, V z2 [n, n + 1] e V z1 V z2 =. Assim, pondo U p1 = S 1 V z1 e U p2 = S 1 V z2, 127

131 segue que U p1 e U p2 são vizinhanças de p 1 e p 2, respectivamente, tais que g(u p1 ) U p2 =, para todo g G. Isso mostra que G é propriamente descontínuo. Portanto, M/G admite uma estrutura de variedade quociente, chamada a garrafa de Klein. Finalizamos mostrando que M/G é não-orientável. De fato, o n-ésimo iterado g n é dado por Assim, g n (x, y, z) = (x, ( 1) n y, z + n). dg n (x, y, z) = ( 1) n cujo determinante jacobiano é igual a ( 1) n. Portanto, g n preserva orientação de M se n é par e inverte se n é ímpar. Portanto, segue do Teorema que a garrafa de Klein é não-orientável. Exercícios 4. Seja M a faixa do cilindro circular reto dada por, M = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1, 1 < z < 1}. Verifique que o grupo G = {Id, A}, onde A denota a aplicação antípoda, age em M de forma propriamente descontínua e, portanto, M/G admite uma estrutura de variedade quociente, chamada a faixa de Möbius. Prove também que M/G é não-orientável. 128

132 Capítulo 5 Integração em superfícies 5.1 Álgebra Multilinear Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita, E e F, denotemos por L r (E, F ) o espaço vetorial real de todas as aplicações r-lineares ϕ : E... E F. Quando F = R, denotaremos L r (E, F ) = L r (E). Definição Dizemos que ϕ L r (E, F ) é alternada se ϕ(v 1,..., v r ) = 0 sempre que a sequência (v 1,..., v r ) possuir repetições, ou seja, existirem i j tais que v i = v j. Dizemos que ϕ é anti-simétrica se ϕ(v 1,..., v i,..., v j,..., v r ) = ϕ(v 1,..., v j,..., v i,..., v r ), para quaisquer v 1,..., v r E. Proposição ϕ L r (E, F ) é alternada se, e somente se, ϕ é antisimétrica. Demonstração. Se ϕ é alternada, temos: 0 = ϕ(v 1,..., v i + v j,..., v i + v j,..., v r ) = ϕ(v 1,..., v i,..., v j,..., v r ) + ϕ(v 1,..., v j,..., v i,..., v r ), logo ϕ(v 1,..., v i,..., v j,..., v r ) = ϕ(v 1,..., v j,..., v i,..., v r ), ou seja, ϕ é anti-simétrica. Reciprocamente, se ϕ é anti-simétrica, então ϕ(v 1,..., v i,..., v i,..., v r ) = ϕ(v 1,..., v i,..., v i,..., v r ), logo ϕ(v 1,..., v i,..., v i,..., v r ) =

133 O conjunto das aplicações r-lineares alternadas (anti-simétricas) de E em F será denotado por Λ r (E, F ). Quando F = R, denotaremos Λ r (E, F ) = Λ r (E). Note que Λ r (E, F ) é um subespaço vetorial de L r (E, F ). Um elemento α de Λ r (E) será chamado forma linear de grau r, ou r-forma linear. Convencionamos aqui que Λ 0 (E) = R. Exemplo Dados f 1,..., f r E, definimos f 1... f r : E... E R por (f 1... f r )(v 1,..., v r ) = det ( f i (v j ) ), onde ( f i (v j ) ) é a matriz r r cuja i-ésima linha é ( f i (v 1 ),..., f i (v r ) ) e cuja j-ésima coluna é ( f 1 (v j ),..., f r (v j ) ). Da linearidade dos funcionais f i e das propriedades do determinante tem-se f 1... f r Λ r (E). A r-forma linear f 1... f r é chamada produto exterior dos funcionais lineares f 1,..., f r. Proposição Seja ϕ Λ r (E, F ). Se v 1,..., v r E são linearmente dependentes então ϕ(v 1,..., v r ) = 0. Demonstração. Um dos vetores v 1,..., v r é combinação linear dos demais, digamos v 1 = α 2 v α r v r. Então, ϕ(v 1,..., v r ) = r α i ϕ(v i, v 2,..., v r ) = 0, i=2 pois ϕ(v 2, v 2,..., v r ) = ϕ(v 3, v 2, v 3,..., v r ) =... = ϕ(v r, v 2,..., v r ) = 0, já que ϕ é alternada. Corolário O produto exterior f 1... f r é uma r-forma linear diferente de zero se, e somente se, f 1,..., f r são linearmente independentes em E. Demonstração. Note que a aplicação r-linear (f 1,..., f r ) f 1... f r é alternada. Segue-se da Proposição que, se f 1... f r 0 então f 1,..., f r são linearmente independentes em E. Reciprocamente, sejam f 1,..., f r linearmente independentes. Então, podemos estendê-los a uma base de E. Seja {v 1,..., v n } E a base dual. Então, para 1 i, j r, temos f i (v j ) = δ ij. Logo, ( f i (v j ) ) é a matriz identidade r r e daí segue que (f 1,..., f r )(v 1,..., v r t) = 1. Em particular, f 1... f r 0. Corolário Se r > dim(e) então Λ r (E) = {0}. 130

134 Demonstração. Neste caso, r vetores em E são linearmente dependentes. Logo, pela Proposição 5.1.4, segue a afirmação. Dado uma base {f 1,..., f n } de E, denotemos por I = {i 1 <... < i r } o subconjunto com r elementos de {1, 2,..., n}, cujos membros estão numerados em ordem crescente. O conjunto I é chamado uma r-lista. Existem n! r!(n r)! desses conjuntos I = {i 1 <... < i r }. Para cada um deles, escrevemos: f I = f i1... f ir. Se {e 1,..., e n } E denota a base dual de {f 1,..., f n } e, I = {i 1 <... < i r } e J = {j 1 <... < j r } são r-listas, temos: { 1, se I = J f I (e j1,..., e jr ) = 0, se I J. De fato, se I J, existe i k I tal que i k / J. Assim, f ik (e j ) = 0, para todo j J. Logo, f I (e j1,..., e jr ) = (f i1... f ir )(e j1,..., e jr ) = 0, pois o determinante de uma matriz, cuja k-ésima linha é nula, é zero. Se I = J, temos f I (e j1,..., e jr ) = (f i1... f ir )(e j1,..., e jr ) = 1, pois o determinante da matriz identidade é 1. Teorema Se {f 1,..., f n } é uma base de E, então as r-formas f I = f i1... f ir constituem uma base de Λ r (E). Demonstração. Seja α Λ r (E). Para cada I = {i 1 <... < i r }, escremos: α I = α(e i1,..., e ir ), onde {e 1,..., e n } E é a base dual de {f 1,..., f n }. A r-forma ϕ = I α If I é tal que, para toda r-lista J = {j 1 <... < j r }, tem-se ϕ(e j1,..., e jr ) = I α I f I (e j1,..., e jr ) = α I = α(e j1,..., e jr ). Assim, ϕ = α, ou seja, α = I α If I. Isso mostra que as r-formas f I geram Λ r (E). Além disso, estas r-formas são linearmente independentes. De fato, seja ϕ = α I f I = 0 I 131

135 uma combinação linear nula. Assim, para todo J = {j 1 <... < j r }, temos provando o Teorema. 0 = ϕ(e j1,..., e jr ) = α I, Corolário dim ( Λ r (E) ) = n! r!(n r)!. Quando r = n, tem-se dim ( Λ r (E) ) = 1. Isso significa que, a menos de um fator constante, há apenas uma n-forma linear sobre um espaço vetorial de dimensão n. Toda aplicação linear T : E F possui uma transposta T : F E, definida por (T f)(v) = f(t (v)), para quaisquer f F e v E. Essa noção se generaliza. Definição Para todo r, a aplicação linear T : E F determina uma nova aplicação linear T : Λ r (F ) Λ r (E), definida por (T α)(v 1,..., v r ) = α ( T (v 1 ),..., T (v r ) ), para quaisquer α Λ r (F ) e v 1,..., v r E. A r-forma linear T α chama-se o pull-back de α para o espaço E relativo a T. Determinemos a matriz de T : Λ r (F ) Λ r (E) relativamente à bases fixadas em E e F. Sejam {e 1,..., e m } E e {f 1,..., f n } F bases duais, respectivamente, das bases {e 1,..., e m } E e {f 1,..., f n } F. Se a = (a ij ) é a matriz n m de T em relação a essas bases, temos T f I = J α IJ e J, onde α IJ = (T f I )(e j1,..., e jr ) = f I ( T (ej1 ),..., T (e jr ) ) = det ( f iλ (T (e jµ )) ) = det(a iλ j µ ) e I, J são r-listas. Indicando com a IJ a submatriz r r que consiste em selecionar da matriz a cada elemento a ij tal que i I e j J, temos α IJ = det(a IJ ). A matriz de T : Λ r (F ) Λ r m! (E) possui r!(m r)! linhas e n! r!(n r)! colunas. Em particular, se r = m = n, então T : Λ r (F ) Λ r (E) é tal que T (f 1... f n ) = det(a)(e 1... e n ), 132

136 onde a = (a ij ) é a matriz de T : E F acima considerada. Dado ω Λ r (E), vejamos como mudam suas coordenadas quando se faz uma mudança de bases em E. Se {e 1,..., e m } e {f 1,..., f m } são bases em E, relacionadas por m e j = a ij f i, 1 j m, i=1 suas bases duais {e 1,..., e m } e {f 1,..., f m }, em E, cumprem as relações f i = m a ij e j, 1 i m. j=1 Assim, pelo visto acima, temos f I = J det(a IJ)e J. Assim, se ω admite expressões ω = α J e J = β I f I, J I relativamente às bases {e J } e {f I }, temos ω = I = J β I f I = I ( I β I det(a IJ )e J J det(a IJ )β I )e J. Comparando os coeficientes de e J, obtemos α J = I det(a IJ )β I. (5.1) Observação Convém observar o caso particular em que r = n = dim(e). Neste caso, se {e 1,..., e n } e {f 1,..., f n } são bases em E, segue de (5.1) que f 1... f n = det(a)e 1... e n, onde a = (a ij ) é a matriz de passagem, ou seja, f i = n j=1 a ije j. Definiremos agora o produto exterior de uma r-forma linear por uma s- forma linear, obtendo como resultado uma (r+s)-forma linear, com r+s n. Mais precisamente, queremos obter uma aplicação bilinear T : Λ r (E) Λ s (E) Λ r+s (E). 133

137 Então, dados α Λ r (E) e β Λ s (E), definimos (α β)(v 1,..., v r+s ) = 1 r!s! ɛ(σ)α(v σ1,..., v σr )β(v σ(r+1),..., v σ(r+s) ),(5.2) σ onde a soma é realizada sobre todas as permutações σ de (1,..., r + s), e ɛ(σ) é 1 se a permutação é par ou 1 se a permutação for ímpar. Definição A (r+s)-forma linear α β, definida em (5.2), é chamada o produto exterior das formas α e β. Em relação ao produto exterior e ao pull-back de formas lineares, temos a seguinte: Proposição Dados α Λ r (E), β Λ s (E), ω Λ k (E) e T L(F, E), temos: (a) (α β) ω = α (β ω), (b) α β = ( 1) rs β α, (c) ω (α + β) = ω α + ω β, se r = s, (d) T (α + β) = T α + T β, (e) T (α β) = T α T β. Demonstração. Todas as relações acima são evidentes quando α, β e ω são elementos da base, ou seja, são da forma f i1... f ir, com f i V, 1 i n. O caso geral se reduz a este por linearidade. Observação Segue por indução que se α 1,..., α m são formas lineares de grau r 1,..., r m, respectivamente, e r = r r m, então (α 1... α m )(v 1,..., v r ) = 1 r 1! r m! α 1 (v σ(1),..., v σ(r1 )) σ α m (v σ(r rm+1),..., v σ(r) ), onde a soma é realizada sobre todas as permutações de (1,..., r). 134

138 5.2 Formas diferenciais em variedades Definição Uma r-forma diferencial α em uma variedade diferenciável M n é uma aplicação que associa a cada ponto p M um elemento α p Λ r (T p M). Denotemos por Ω r (M) o conjunto formado por todas as r-formas diferenciais em M. Ω r (M) admite uma estrutura de espaço vetorial real: dados α, β Ω r (M) e c R, definimos: (α + β)(p) = α p + β p, p M, (c β)(p) = c β p, p M. Ω 0 (M) será identificado com o espaço vetorial C (M). Dado p M, seja (U, ϕ) um sistema de coordenadas em M, com p U e ϕ (x 1,..., x n ), tal que {dx 1 (p),..., dx n (p)} é base de (T p M), p U. Sabemos que as r-formas lineares dx I (p) = dx i1 (p)... dx ir (p) formam uma base do espaço vetorial Λ r (T p M), p U. Assim, dado α Ω r (M), podemos escrever α p = i 1 <...<i r a i1 i r (p)dx i1 (p)... dx ir (p), p U, (5.3) onde a I são funções definidas em U, chamadas funções coordenadas de α. A igualdade em (5.3) será as vezes escrita como α U = I a I dx I. (5.4) Definição Dizemos que α Ω r (M) é de classe C se as funções coordenadas a I, dadas em (5.4), são de classe C, para toda r-lista I. A definição acima independe da escolha do sistema de coordenadas. De fato, seja (V, ψ) outro sistema de coordenadas em M, com U V φ e ψ (y 1,..., y n ). Assim, temos α p = I b J (p)dy J (p), p V. 135

139 Denotando por c = (c ij ) a matriz de d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)), segue de (5.1) que b J (p) = I det(c IJ )a I (p), logo as funções b J também são de classe C. De agora em diante, todas as r-formas diferenciais consideradas serão de classe C. Proposição Uma variedade diferenciável M n é orientável se, e somente se, existe ω Ω n (M) que nunca se anula. Demonstração. Se M é orientável, denotemos por A = {(U α, ϕ α )/ α I} o atlas maximal que define a orientação O de M. Seja {f α } α I uma partição da unidade subordinada a A. Para cada (U α, ϕ α ) A, seja ω α uma n-forma diferencial em M tal que, para v 1,..., v n T p M, p U α, tem-se ω α (p)(v 1,..., v n ) > 0 [v 1,..., v n ] = O p. Definimos, então, ω = α f α ω α. ω é uma n-forma diferencial em M. Além disso, p M, se v 1,..., v n T p M satisfazem [v 1,..., v n ] = O p, então (f α ω α )(p)(v 1,..., v n ) 0, e é estritamente maior do que zero em, pelo menos, um aberto U α. Logo, ω p 0, p M. Reciprocamente, suponha que exista uma n-forma diferencial ω em M que nunca se anula. Dado p M, definimos uma orientação O p em T p M como sendo: v 1,..., v n T p M são tais que [v 1,..., v n ] = O p ω p (v 1,..., v n ) > 0. Como ω p 0 p M, isso define diferenciavelmente, em cada T p M, uma orientação O p. Logo, M é orientável. Definição Dados α Ω r (M) e β Ω s (M), definimos uma (r + s)- forma diferencial em M, denotada por α β, como sendo (α β)(p) = α p β p, p M, onde α p β p é dado como na Definição

140 A (r + s)-forma diferencial α β é chamada produto wedge das formas diferenciais α e β. O produto wedge satisfaz as seguintes propriedades: Proposição Dados α Ω r (M), β Ω s (M) e ω Ω k (M), temos: (a) (α β) ω = α (β ω), (b) α β = ( 1) rs β α, (c) fα gβ = fgα β, f, g C (M), (d) ω (α + β) = ω α + ω β, se r = s. Demonstração. A verificação de tais propriedades é consequência do fato de que toda r-forma diferencial α é, pontualmente, uma r-forma linear. Como neste caso as propriedades são válidas, segue o resultado. Definição Dados uma aplicação diferenciável f : M N entre as variedades M e N, e α Ω r (N), definimos uma r-forma diferencial em M, denotada por f α, como sendo (f α)(p)(v 1,..., v r ) = α f(p) (df(p) v 1,..., df(p) v r ), para quaisquer p M e v 1,..., v r T p M. A r-forma diferencial f α é chamada o pull-back de α por f. C (N), definimos f g C (M) como sendo a função Se g g f : M R. O pull-back de formas diferenciais satisfaz as seguintes propriedades: Proposição Sejam f : M N uma aplicação diferenciável, α Ω r (N) e β Ω s (N). Então: (a) f (α + β) = f α + f β, se r = s, (b) f (α β) = f α f β, (c) f (g α) = f (g)f α, g C (Nt), (d) Se ψ 1,..., ψ r Ω 1 (N) então f (ψ 1... ψ r ) = f ψ 1... f ψ r, (e) (f g) α = g (f α), onde g : P M é uma aplicação diferenciável. Demonstração. A verificação de tais propriedades segue a mesma idéia da Proposição O pull-back tem a seguinte interpretação em termos de sistemas de coordenadas. Dado p M, sejam (U, ϕ) e (V, ψ) sistemas de coordenadas em M 137

141 e N, respectivamente, tais que p U e f(u) V. Assim, dado α Ω r (N), podemos escrever α V = I a Idy I. Assim, f α U = f ( ) a I dy I = f ( ) a I dy I = I I f (a I )f (dy i1... dy ir ) I = I (a I f)f (dy i1... dy ir ). Definição Dado α Ω r (M), escrita em coordenadas locais como α U = I a Idx I, definimos uma (r + 1)-forma diferencial em M, denotada por dα, dada, localmente, por dα U = I da I dx I = I n i=1 a I x i dx i dx I. A (r + 1)-forma diferencial dα é chamada derivada exterior de α ou, simplesmente, derivada de α. Devemos mostrar que tal definição não depende da escolha do sistema de coordenadas. Para isso, comecemos estudando algumas propriedades de dα. Proposição A derivada exterior satisfaz as seguintes propriedades: (1) d(α + β) = dα + dβ, α, β Ω r (M), (2) d(α β) = dα β + ( 1) r α dβ, α Ω r (M), β Ω s (M), (3) d 2 = 0, ou seja, d(dα) = 0, α Ω r (M) Demonstração. (1) Sejam α U = I a Idx I e β U = I b Idx I. Então, d(α + β) = d ( ) (a I + b I )dx I = d(a I + b I ) dx I I = n (a I + b I )dx i dx I x I i=1 i = n a I dx i dx I + n b I dx i dx I x I i=1 i x I i=1 i = dα + dβ. Para provar (2) é suficiente, em virtude de (1), considerar o caso em que α U = fdx I e β U = gdx J. 138 I

142 Assim, logo, α β U = fgdx I dx J d(α β) = d(fg) dx I dx J = gdf dx I dx J + fdg dx I dx J = df dx I gdx J + ( 1) r fdx I dg dx J = dα β + ( 1) r α dβ. Da mesma forma, para provar (3), é suficiente considerar α da forma α U = fdx I. Então, n f dα U = dx i dx I, x i de modo que d(dα) U = Nesta soma, os termos i=1 i=1 n ( n 2 f ) dx j dx i dx I. x j x i j=1 2 f x j x i dx j dx i dx I cancelam-se aos pares, logo d(dα) = 0. e 2 f x i x j dx i dx j dx I Proposição Suponha que d transforma r-formas diferenciais, definidas em U, em (r + 1)-formas diferenciais, definidas em U, e satisfaz: (1) d (α + β) = d α + d β, (2) d (α β) = d α β + ( 1) r α d β, (3) d (d α) = 0, (4) d f = df, f C (M). Então, d = d em U. Demonstração. É suficiente provar que d α = dα quando α é da forma α U = fdx I. Por (2) e (4), temos: d α U = d (fdx I ) = d f dx I + f d (dx I ) = df dx I + fd (dx I ). Resta mostrar que d (dx I ) = 0, onde dx I = dx i1... dx ir = d x i1... d x ir, 139

143 por (4). Mostremos por indução em r. Supondo verdadeiro para r 1, temos: d (dx I ) = d (d x i1... d x ir ) = d (d x i1 ) d x i2... d x ir d x i1 d (d x i2... d x ir ) = 0 0, usando (2), (3) e a hipótese indutiva. A Proposição mostra que as propriedades (1), (2), (3) e (4) caracterizam d em U. Corolário Existe um único operador d que transforma r-formas diferenciais em M, em (r + 1-formas diferenciais em M, satisfazendo: (1) d(α + β) = dα + dβ, (2) d(α β) = dα β + ( 1) r α dβ, (3) d 2 = 0, (4) df = diferencial de f, f C (M). Demonstração. Para cada sistema de coordenadas (U, ϕ), temos definido um único operador d U. Dados α Ω r (M) e p M, escolhemos qualquer (U, ϕ), com p U, e definimos (dα)(p) = (d U α U )(p). Proposição Dado ω Ω 1 (M), te-se: dω(x, Y ) = X(ω(Y )) Y (ω(x)) ω([x, Y ]), para quaisquer X, Y X(M). Demonstração. Dado um sistema de coordenadas (U, ϕ) em M, temos ω U = n i=1 a idx i. Assim, por linearidade, podemos supor que ω é da forma ω = fdg, onde f, g C (U). Então, dados X, Y X(U), temos: Por outro lado, dω(x, Y ) = d(fdg)(x, Y ) = (df dg)(x, Y ) = df(x)dg(y ) dg(x)df(y ) = X(f)Y (g) X(g)Y (f). (5.5) Xω(Y ) Y ω(x) ω([x, Y ]) = X(fdg(Y )) Y (fdg(x)) fdg([x, Y ]) Logo, de (5.5) e (5.6), segue o resultado. = X(f)Y (g) Y (f)x(g). (5.6) 140

144 Proposição Sejam f : M N uma aplicação diferenciável e ω Ω r (N). Então, f dω = df ω. Demonstração. Dado p M, seja (V, ψ) um sistema de coordenadas em N, com f(p) V. Por linearidade, podemos assumir que ω V = gdx i1... dx ir. Usaremos indução sobre r. Quando r = 0, temos: f (dg)(p)(v) = dg(f(p))(df(p) v) = d(g f)(p) v = d(f g)(p)(v). Supondo válido para r 1, temos: d (f ω) = d (f (gdx i1... dx ir )) = d ( f ( gdx i1... dx ir 1 ) f dx ir ) = d ( f ( gdx i1... dx ir 1 )) f dx ir = f ( d ( )) gdx i1... dx ir 1 f dx ir = f ( ) dg dx i1... dx ir 1 dx ir = f (dω). 141

145 5.3 Integrais de formas diferenciais De agora em diante, estaremos supondo que M n é uma variedade diferenciável fechada e orientada. Seja ω Ω n (M) tal que K = supp (ω) U, onde (U, ϕ) é um sistema de coordenadas positivo de M. Se ω = fdu 1... du n é a representação local de ω em U M, onde f C (U), a n-forma diferencial ( ϕ 1) ω Ω n (R n ) é dada por ( ϕ 1 ) ω = ( f ϕ 1 ) det ( dϕ 1) dx 1... dx n. Definimos, então, fdu 1... du n = K ϕ(k) ( f ϕ 1 ) det ( dϕ 1) dx 1... dx n, (5.7) ou seja, ω = M ϕ(u) ( ϕ 1 ) ω. (5.8) Observação A definição dada em (5.8) independe da escolha do sistema de coordenadas. De fato, seja (V, ψ) outro sistema de coordenadas positivo de M, com K U V. Queremos mostrar que ( ϕ 1 ) ( ω = ψ 1 ) ω. ϕ(u) ψ(v ) Para isso, consideremos o difeomorfismo h = ψ ϕ 1 : ϕ (U V ) ψ (U V ). Temos: ( ϕ 1 ) ω = ( ψ 1 ψ ϕ 1) ω = ( ψ ϕ 1 ) ( ψ 1 ) ω = h ( ( ψ 1 ) ω ).(5.9) Como ( ψ 1) ω Ω n (R n ), podemos escrever ( ψ 1 ) ω = fdy1... dy n, para alguma função f C (ψ (V )). Assim, (h ( ( ψ 1 ) ω )) (x) = f (h (x)) det (dh (x)) dx 1... dx n. 142

146 Pelo Teorema de Mudança de Variáveis em R n, temos ( ψ 1 ) ω = f = (f h) det (dh). (5.10) ψ(v ) h(ϕ(k)) ϕ(k) Como det (dh (x)) > 0, x ϕ (U V ), temos (f h) det (dh) = (f h) det (dh) = ϕ(k) ϕ(k) Logo, segue de (5.9), (5.10) e (5.11) que ( ϕ 1 ) ( ω = h ( ψ 1 ) ) ω = ϕ(u) como queríamos mostrar. ϕ(u) ϕ(u) ψ(v ) h ( ( ψ 1 ) ω ).(5.11) ( ψ 1 ) ω, Note que a escolha de uma orientação para M fixa um sinal para a integral de ω, o qual muda com a mudança da orientação. Seja agora ω uma n-forma diferencial em M de modo que K = supp (ω) não está contido em um domínio de um sistema de coordenadas de M. Neste caso, seja {U 1,..., U m } uma cobertura para M, formada por domínios de sistema de coordenadas positivos de M. Considere f 1,..., f n uma partição da unidade estritamente subordinada à cobertura {U 1,..., U m }. Dado 1 i m, consideremos a n-forma diferencial em M, f i ω. Temos supp (f i ω) U i, 1 i m, e Neste caso, temos a seguinte m f i ω = ω. i=1 Definição A integral de ω sobre M é definida por M ω = m i=1 M f i ω. (5.12) Observação A definição dada em (5.12) independe da cobertura {U 1,..., U m } e da partição da unidade escolhida. De fato, seja {V 1,..., V k } outra cobertura de M por domínios de sistema de coordenadas positivos de 143

147 M, e seja g 1,..., g k uma partição da unidade estritamente subordinada à esta cobertura. Queremos mostrar que k j=1 M g j ω = Para isso, defina ω ij = f i g j ω. Temos m i=1 M f i ω. m ω ij = g j ω e i=1 k ω ij = f i ω. j=1 Além disso, supp (ω ij ) U i V j. Assim, k j=1 M g j ω = = como queríamos. k j=1 m M i=1 i=1 M j=1 m ω ij = k ω ij = k m j=1 i=1 m i=1 M M f i ω, ω ij = m k ω ij i=1 j=1 M Proposição Seja f : M N um difeomorfismo positivo entre as variedades diferenciáveis fechadas e orientadas M e N, e seja ω Ω n (N). Então ω = f ω. N Demonstração. Suponhamos inicialmente que supp (ω) V, para algum sistema de coordenadas positivo (V, ψ) de N. Seja U = f 1 (V ) e defina ϕ = ψ f. Então, (U, ϕ) é um sistema de coordenadas positivo de M e supp (f ω) = f 1 (supp (ω)) f 1 (V ) = U. M Temos e f ω = M ω = N ϕ(u) ψ(v ) ( ϕ 1 ) (f ω) (5.13) ( ψ 1 ) ω. (5.14) 144

148 Porém, como ϕ (U) = ψ (V ) e ( ϕ 1) (f ω) = ( f ϕ 1) ( ω = ψ 1 ) ω, segue de (5.13) e (5.14) que f ω = ω. M Para o caso geral, considere {V 1,..., V m } uma cobertura de N, formada por domínios de sistema de coordenadas positivos (V i, ψ i ) de N. Seja g 1,..., g m uma partição da unidade estritamente subordinada à esta cobertura. Então, como supp (g i ω) V i, 1 i m, segue do caso anterior que g i ω = f (g i ω), 1 i m. N M Defina f i = g i f, 1 i m. Então, f 1,..., f m é uma partição da unidade estritamente subordinada à cobertura {U 1,..., U m } de M, onde U i = f 1 (V i ), 1 i m, são os domínios dos sistemas de coordenadas positivos de M dados por ϕ i = ψ f. Temos f (g i ω) = (g i f) f ω = f i f ω, forall 1 i m. N Assim, N ω = m i=1 N g i ω = m i=1 M f (g i ω) = m i=1 M f i f ω = M f ω. Lembremos que se M n é uma variedade diferenciável com bordo, então M é uma variedade diferenciável de dimensão n 1. Além disso, uma orientação em M induz uma orientação em M. Temos, então, o seguinte Teorema (Stokes). Sejam M n uma variedade diferenciável compacta, orientada e com bordo, e ω Ω n 1 (M). Se i : M M é a aplicação de inclusão, então i ω = dω. M Demonstração. Suponhamos inicialmente que supp (ω) U, onde (U, ϕ) é um sistema de coordenadas positivo de M, com ϕ (U) aberto num semiespaço H R n. Analisemos, então, os seguintes casos: Caso 1: U M = φ. Neste caso, ω = 0 em M, logo i ω = 0. Assim, i ω = 0. M 145 M

149 Queremos mostrar que M dω = 0. Como ( ϕ 1) ω Ω n 1 (R n ), podemos escrever ( ϕ 1 ) n ω = a i dx 1... dx i... dx n, onde a i C (ϕ (U)). Assim, i=1 d ( ϕ 1) ω = n i=1 ( 1) i 1 a i x i dx 1... dx n. Estendemos as funções a i ao semi-espaço H, pondo { ai (x a i (x 1,..., x n ) = 1,..., x n ), se (x 1,..., x n ) ϕ (U) 0, se (x 1,..., x n ) H ϕ (U). Como ϕ (supp (ω)) ϕ (U), as funções a i assim definidas são diferenciáveis em H. Seja agora n Q = [c i d i ] i=1 um bloco n-dimensional tal que ϕ (U) Q. Então, ( dω = ϕ 1 ) dω = d ( ϕ 1) ( n ) ω = ( 1) i 1 a i dx 1... dx n M ϕ(u) ϕ(u) ϕ(u) x i=1 i n = ( 1) i 1 a i dx 1... dx n i=1 Q x i n ( di ) = ( 1) i 1 a i dx i dx 1... i=1 Q i c i x dx i... dx n i n = ( 1) Q i 1 [a i (x 1,..., d i,..., x n ) a i (x 1,..., c i,..., x n )] dx 1... dx i... dx n i i=1 = 0, pois a i (x 1,..., d i,..., x n ) = a i (x 1,..., c i,..., x n ) = 0, 1 i n. Caso 2: U M φ. Pela definição de orientação induzida, a restrição de ϕ a M é um sistema de coordenadas positivo em M. Dado x ϕ (U) H, x = (0, x 2,..., x n ), temos ( ϕ 1 ϕ(u) H ) i ω = a 1 (0, x 2,..., x n ) dx 2... dx n. 146

150 Como no Caso 1, estendemos as funções a i a H e consideremos o bloco n-dimensional Q = n i=1 [c i, d i ], com d 1 = 0, tal que ϕ (U) Q. Então, M dω = = + n ( 1) i 1 i=1 Q a i x i dx 1... dx n [a 1 (0, x 2,..., x n ) a 1 (c 1, x 2,..., x n )] dx 2... dx n + Q 1 n ( 1) Q i 1 [a i (x 1,..., d i,..., x n ) a i (x 1,..., c i,..., x n )] dx 1... dx i... dx n. i i=2 Como a 1 (c 1, x 2,..., x n ) = 0 e a i (x 1,..., d i,..., x n ) = a i (x 1,..., c i,..., x n ) = 0, 2 i n, obtemos dω = a 1 (0, x 2,..., x n ) dx 2... dx n = i ω. M Q 1 M Finalmente, para o caso em que supp (ω) não está contido em nenhum sistema de coordenadas de M, seja {U 1,..., U m } uma cobertura de M formadas por domínios de sistemas de coordenadas positivos de M, e seja f 1,..., f m uma partição da unidade estritamente subordinada a esta cobertura. As (n 1)-formas ω i = f i ω, 1 i n, satisfazem as condições dos casos anteriores. Além disso, m ω i = ω, assim Portanto, M dω = = M i=1 M i=1 dω = m dω i = m dω i. i=1 m i=1 M ( m ) i ω i = i=1 dω i = M i ω. m i=1 M i ω i Corolário Seja ω Ω n 1 (M) tal que supp (ω) M = φ. Então, dω = 0. M 147

151 Demonstração. De fato, como supp (ω) M = φ segue que ω = 0 em M. Assim, i ω = 0. Portanto, pelo Teorema de Stokes, temos dω = i ω = 0. M M Corolário Se M é fechada então para toda ω Ω n 1 (M) tem-se dω = 0. M Definição Seja ω Ω r (M). Dizemos que ω é fechada se dω = 0, e é exata se existe α Ω r 1 (M) tal que dα = ω. Se ω Ω r (M) é exata então ω é fechada, pois se ω = dα, para alguma α Ω r 1 (M), então dω = d (dα) = d 2 α = 0. A recíproca não é verdadeira, como mostra o seguinte Exemplo Seja ω Ω n (S n ) a forma volume de S n. Assim, dω = 0. Considerando a projeção radial f : R n+1 {0} S n, dada por f (x) = definimos α = f ω. Temos α (x) (v 1,..., v n ) = ω (f (x)) (df (x) v 1,..., df (x) v n ( x = det x, v 1 c 1 x,..., v ) n c n x, c i R x x 1 = x n+1 det (x, v 1,..., v n ) = Como dω = 0, tem-se n+1 1 x n+1 ( 1) i+1 x i dx 1... dx i... dx n+1. i=1 dα = df ω = f dω = 0, x x, ou seja, α é fechada. No entanto, α não é exata. De fato, se α = dβ, para alguma β Ω n 1 ( R n+1 {0} ), segue do Teorema de Stokes que M α = M dβ = M i β = 0, 148

152 para qualquer hipersuperfície M n R n+1 {0} fechada. Porém, α > 0 M pois α S n é a forma volume de S n, logo α é positiva e sua integral também. Portanto, α não é exata. Observação Dados f : M N uma aplicação diferenciável e ω Ω r (N), a igualdade f dω = df ω mostra que se ω é fechada (resp. exata) em N então f ω é fechada (resp. exata) em M. De fato, ω fechada em N dω = 0 df ω = f dω = 0 f ω fechada em M. ω exata em N ω = dα, α Ω r 1 (N) f ω = f dα = df α f ω é exata em M. Teorema Sejam ω Ω 1 (M), p, q M e γ 1, γ 2 curvas diferenciáveis homotópicas, ligando p e q. Então ω = ω. γ 1 γ 2 Em particular, se γ é homotópica a um ponto então γ ω = 0. Para uma prova deste teorema, o leitor pode consultar []. Estamos interessados aqui no seguinte Corolário Sejam M n uma variedade diferenciável simplesmente conexa e ω Ω 1 (M) fechada. Então, ω é exata. Demonstração. Fixemos um ponto base q M e definimos f : M R por f (p) = ω, onde γ é uma curva diferenciável ligando p e q. Segue do Teorema que f está bem definida. Mostremos que ω = df. De fato, se q 0 é outro ponto base, obtemos uma nova função f 0 : M R dada por f 0 (p) = ω, γ γ

153 onde γ 0 é uma curva diferenciável ligando p e q 0. Denotando por c = f 0 (q) e usando o fato que M é simplesmente conexa, temos f = f 0 + c. Assim, df = df 0, logo é suficiente provar que df = ω no ponto base q fixado. Seja { (U, ϕ) um sistema } de coordenadas de M, com q U e ϕ (q) = 0. Se x 1 (q),..., x n (q) é a base de T q M associada a (U, ϕ), denotemos por {dx 1 (q),..., dx n (q)} sua base dual. Temos ω (q) = n a i (q) dx i (q). i=1 Escrevendo f em coordenadas locais como F = f ϕ 1, temos F (x) = f ( ϕ 1 (x) ) = n ( a i ϕ 1 (x) ) dx i, x = ϕ (p), p U, α i=1 onde α é uma curva diferenciável ligando x e 0 em R n. Então, F 1 (0) = lim (F (0,..., h,..., 0) F (0,..., 0)) x i h 0 h 1 h ( = lim a i ϕ 1 (0,..., x i,..., 0) ) ( dx i = a i ϕ 1 (0,..., 0) ), h 0 h 0 para todo 0 i n. Isso mostra que df (0) = ( ϕ 1) ω (0), logo df (q) = ω (q), como queríamos. Nosso objetivo agora é provar o Lema de Poincaré, que afirma que toda r- forma fechada em uma variedade contrátil é exata. Para isso, necessitaremos de dois lemas auxiliares. Lema Toda r-forma ω em M R pode ser escrita de modo único como ω = ω 1 + dt α, (5.15) onde ω 1 satisfaz ω 1 (v 1,..., v r ) = 0 se algum v i pertencer a ker (dπ), onde π : M R M é a projeção canônica, e α Ω r 1 (M R) com uma propriedade análoga. 150

154 Demonstração. Dado p M, seja (U, ϕ) um sistema de coordenadas em M, com p U. Se ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) e t : M R R é a projeção sobre o segundo fator, então (ϕ 1 π,..., ϕ n π, t) é um sistema de coordenadas em M R. Denotando x i = ϕ i π, podemos escrever ω = a i1...i r dx i1... dx ir + b j1...j r 1 dx j1... dx jr 1 dt i 1 <...<i r j 1 <...<j r 1 = a i1...i r dx i1... dx ir + dt b j1...j r 1 dx j1... dx (5.16) jr 1 i 1 <...<i r j 1 <...<j r 1 = ω 1 = dt α. Como x i = ϕ i π, 1 i n, temos dx i = dϕ i dπ. Assim, se v ker (dπ) então dx i (v) = 0, 1 i n. Logo, ω 1 e α, acima definidas, satisfazem as propriedades exigidas. Além disso, se a decomposição em (5.15) vale em toda variedade M, localmente ela é da forma (5.16), logo é única. Para provar a existência, definimos ω 1 e α em cada vizinhança coordenada por (5.16). Na interseção de duas tais vizinhanças, elas coincidem pela unicidade, assim ω 1 e α podem ser definidas a toda variedade M, verificando (5.15). Dado t R, seja i t : M M R a aplicação de inclusão, i t (p) = (p, t). Definimos uma aplicação I : Ω r (M R) Ω r 1 (M) por Iω (p) (v 1,..., v r 1 ) = 1 0 α (p, t) (di t (p) v 1,..., di t (p) v r ) dt, onde α é dada na decomposição (5.15). Temos, então, o seguinte Lema Para qualquer r-forma ω em M R, temos i 1ω i 0ω = d (Iω) + I (dω). Demonstração. Dado p M, seja (x 1,..., x n, t) o sistema de coordenadas em M R, como no Lema Como I é linear, temos dois casos a considerar: (a) Se ω = fdx i1... dx ir então dω = f t dx i 1... dx ir +termos sem dt. Então ( 1 ) f I (dω) (p) = t dt dx i1... dx ir = (f (p, 1) f (p, 0)) dx i1... dx ir 0 = (i 1ω) (p) (i 0ω) (p). Como Iω = 0, vale o Lema neste caso. (b) Se ω = fdt dx i1... dx ir então i 0 ω = 0 = i 1ω. Por outro lado, n f dω = dx j dt dx i1... dx ir 1. x j j=1 151

155 Assim, e I (dω) (p) = n ( 1 ) f dt dx j dx i1... dx ir 1 x j j=1 [( 1 d (Iω) (p) = d = j= ) ] fdt dx i1... dx ir 1 n ( 1 ) f dt dx j dx i1... dx ir 1, x j o que mostra o caso (b), e a prova do Lema. Teorema (Lema de Poincaré). Sejam M n uma variedade diferenciável contrátil e ω Ω r (M) fechada. Então, ω é exata. Demonstração. Como M é contrátil, existe uma aplicação H : M R M tal que Assim, logo H i 1 : M M H (p, 1) = p, p M H (p, 0) = p 0, p M. é a identidade, H i 0 : M M é a aplicação constante p 0, ω = (H i 1 ) = i 1 (H ω) = i 1ω, 0 = (H i 0 ) = i 0 (H ω) = i 0ω. Porém, como d (H ω) = H (dω) = 0, segue do Lema que ω 0 = i 1 (H ω) i 0 (H ω) = d (I (H ω)). 152

156 5.4 Cohomologia de de Rham Denotemos por Z r (M) e B r (M) os subespaços vetoriais de Ω r (M) formados pelas r-formas fechadas e pelas r-formas exatas, respectivamente. Como B r (M) é um subespaço vetorial de Z r (M), definimos H r R (M) = Z r (M) /B r (M). HR r (M) é chamado a cohomologia de de Rham r-dimensional da variedade M. Um elemento de HR r (M) é uma classe de equivalência [ω], onde ω é uma r-forma fechada de M, sendo duas r-formas fechadas, ω 1 e ω 2, equivalentes se a diferença entre elas é exata, ou seja, ω 1 ω 2 ω 1 ω 2 = dα, α Ω r 1 (M). Assim, dado [ω] HR r (M), podemos escrever [ω] = { ω + dα/ α Ω r 1 (M) }. Em HR r (M), definimos as operações de soma e multiplicação por escalar como sendo: dados [ω], [α] HR r (M) e t R, definimos [ω] + [α] = [ω + α], t [ω] = [tω]. Tais operações tornam HR r (M) um espaço vetorial. O elemento neutro de HR r (M) é a classe [dα] das r-formas exatas em M. De fato, dado [ω] HR r (M), temos [ω] + [dα] = [ω + dα] = [ω]. Exemplo Seja M uma variedade diferenciável conexa. Então H 0 R (M) R. De fato, temos B 0 (M) {0}, pois não existem 0-formas exatas. Além disso, como Ω 0 (M) = C (M) e M é conexa tem-se f = constante para toda f Z 0 (M). Logo, HR 0 (M) R. Exemplo Se M é uma variedade diferenciável contrátil, então H r R (M) {0}, r > 0. De fato, do Lema de Poincaré, temos que Z r (M) = B r (M), r >

157 5.5 Operadores lineares Fixemos um espaço vetorial real, V, n-dimensional, orientado, com um produto interno g. Como g é não-degenerado, a aplicação v V g (v, ) V. (5.17) é um isomorfismo. Assim, podemos definir um produto interno, g, em V como sendo g (f, h) = g (v f, v h ), f, h V, (5.18) onde f = g (v f, ) e h = g (v h, ), com v f, v h V. Exigindo que o isomorfismo em (5.17) seja positivo, determinamos univocamente uma orientação em V. O produto interno de V, descrito em (5.18), induz, por sua vez, um produto interno g r em Λ r (V ). Mais precisamente, se {f 1,..., f n } é uma base de V, definimos g r (f i1... f ir, f j1... f jr ) = det (g (f ik, f jl )) (5.19) e estendemos bilinearmente a todo espaço Λ r (V ). Note que se {f 1,..., f n } é uma base ortonormal de V, temos { g r (f i1... f ir, f j1... f jr ) = det (g 1, se I = J (f ik, f jl )) = 0, se I J, onde I = {i 1 <... < i r } e J = {j 1 <... < j r } são r-listas. Assim, o produto interno dado em (5.19) torna o conjunto {f i1... f ir / i 1 <... < i r } uma base ortonormal de Λ r (V ), no caso em que {f 1,..., f n } é uma base ortonormal de V. Definição A forma volume de V é a n-forma linear vol g (V ), definida por vol g (V ) = θ 1... θ n, onde {θ 1,..., θ n } é uma base ortonormal positiva de V. A forma volume está bem definida, ou seja, não depende da escolha da base ortonormal positiva {θ 1,..., θ n }. De fato, se {f 1,..., f n } é outra base de V, segue de (??) que θ 1... θ n = det (A) f 1... f n, (5.20) 154

158 onde A = (a ij ) é a matriz mudança de base, ou seja, θ i = n j=1 a ijf j. Em particular, se {f 1,..., f n } é base ortonormal positiva de V, tem-se A SO (n), ou seja, det (A) = 1. Portanto, vol g (V ) está bem definido. Dada uma base arbitrária {f 1,..., f n } de V, seja {e 1,..., e n } sua base dual. Denotando por g = (g ij ) a matriz que representa o produto interno g na base {e 1,..., e n }, ou seja, g ij = g (e i, e j ), descrevemos vol g (V ) em termos da base {f 1,..., f n } e da matriz g. A matriz (g ij ) é a matriz que representa o isomorfismo dado em (5.17). De fato, se g (e i, ) = n j=1 a ijf j, então ( n ) n g ij = g (e i, e j ) = a ik f k (e j ) = a ik f k (e j ) = a ij. k=1 Denotemos por ( g ij) a matriz inversa de (g ij ), isto é, ( g ij) é a matriz que representa o isomorfismo inverso do isomorfismo dado em (5.17). Ela é também a matriz que representa o produto interno g na base {f 1,..., f n }. De fato, ( n g (f i, f j ) = g g ik e k, = k=1 k=1 ) n g jl e l = l=1 n g ik g jl g kl = g ij. k,l=1 n k,l=1 ) g (g ik e k, g jl e l Finalmente, se A = (a ij ) é a matriz mudança de base, ou seja, θ i = n j=1 a ijf j, temos: ) n n n f i = g (f i, θ j ) θ j = g (f i, a jl f l (5.21) = j=1 n n l=1 j,k=1 j=1 ( n a jk f k) k=1 l=1 n n g (f i, f k ) a jk a jl f l = g ik a jk a jl f l. l=1 j,k=1 Isso implica que n j,k=1 g ik a jk a jl = δ il, 155

159 logo g 1 A t A = I e, portanto, det (A) = det (g). Assim, vol (V ) = ± det (g)f 1... f n, (5.22) onde o sinal é + (resp. ") se a base {f 1,..., f n } é positiva (resp. negativa). Definição O operador de Hodge Riemanniano g : Λ r (V ) Λ n r (V ) é o operador linear definido pela relação α g β = g r (α, β) vol (V ), α, β Λ r (V ). (5.23) Dado {f 1,..., f n } uma base de V, denotemos por α = f i1... f ir. De (5.20), temos Assim, α g α = g r (α, α) vol (V ) = g r (α, α) det (A) f 1... f n. g (f i1... f ir ) = ( 1) σ g r (α, α) det (A) f j1... f jn r, (5.24) onde (i 1,..., i r, j 1,..., j n r ) é uma permutação de (1,..., n), e σ é 0 ou 1 dependendo se a permutação for par ou ímpar, respectivamente. Segue, em particular, que se {f 1,..., f n } é uma base ortonormal positiva de V, então g (f i1... f ir ) = ( 1) σ f j1... f jn r, ou seja, Além disso, f i1... f ir g (f i1... f ir ) = vol (V ). g (vol (V )) = 1 e g (1) = vol (V ). Proposição O operador de Hodge satisfaz ainda as seguintes propriedades: (a) g ( g α) = ( 1) r(n r) α, α Λ r (V ). (b) g n r ( g α, g β) = g (α, β), α, β Λ r (V ). Demonstração. Para provar o item (a), basta verificar nos elementos da base de Λ r (V ). Seja {f 1,..., f n } uma base ortonormal positiva de V. Como f i1... f ir g (f i1... f ir ) = vol (V ) e g (f i1... f ir ) g ( g (f i1... f ir )) = vol (V ) 156

160 segue que f i1... f ir g (f i1... f ir ) = g (f i1... f ir ) g ( g (f i1... f ir )), logo g ( g (f i1... f ir )) = ( 1) r(n r) f i1... f ir. A propriedade (b) segue diretamente de (a) e da definição de g. De fato, dados α, β Λ r (V ), temos: g n r ( g α, g β) vol (V ) = g α g g β = ( 1) r(n r) g α β logo g n r ( g α, g β) = g (α, β). = ( 1) r(n r) ( 1) r(n r) β g α = g (β, α) vol (V ) = g (α, β) vol (V ), Lema Sejam {f 1,..., f n } uma base positiva de V e {e 1,..., e n } sua base dual 1. Então, g (f i ) = det (g) n ( 1) k g ik f 1... f k... f n. k=1 Demonstração. Usando (5.22) e a definição do operador g, temos: f k g (f i ) = g (f k, f i ) vol (V ) = g ik det (g)f 1... f n = det (g)g ik f 1... f n, logo g (f i ) = n det (g) ( 1) k g ik f 1... f k... f n. k=1 1 Aqui, estamos identificando V com V. 157

161 5.6 O operador Laplaciano Seja (M, g) uma variedade Riemanniana n-dimensional, fechada 2 e orientada. Temos, portanto, o operador definido em cada fibra Λ r (T p M), para cada p M, em relação a g e sua forma volume vol (M). Mais precisamente, dado p M, temos o operador estrela de Hodge : Λ r (T p M) Λ n r (T p M) dado por α β = g p (α, β) vol (T p M), α, β Λ r (T p M), (5.25) onde g p é o produto interno em Λ r (T p M) induzido por g. O operador transforma r-formas diferenciais em (n r)-formas diferenciais em M. De fato, dado α Ω r (M), podemos escrevê-la, localmente, como α U = I a Idx I. Sem perda de generalidade, podemos supor que o sistema de coordenadas (U, ϕ) é positivo, e por linearidade podemos supor α = a I dx i1... dx ir. Assim, α = ( 1) σ a I dx j1... dx jn r, onde (i 1,..., i r, j 1,..., j n r ) é uma permutação de (1, 2,..., n), e σ é 0 ou 1 de acordo se a permutação é par ou ímpar, respectivamente. Assim, temos um operador linear : Ω r (M) Ω n r (M), tal que para quaisquer α Ω r (M) e p M, ( α) (p) é dado pela relação (5.25). Além disso, de acordo com a Proposição 5.5.3, o operador satisfaz ( α) = ( 1) r(n r) α, α Ω r (M). Como M é fechada, definimos um produto interno, em Ω r (M) por integrando o produto interno pontual em relação a forma volume vol (M). Mais precisamente, definimos α, β = g p (α (p), β (p)) vol (M). (5.26) M Como M é orientada, podemos escrever o produto interno dado em (5.26) em termos de integração de n-formas e o operador, ou seja, α, β = α β, α, β Ω r (M). (5.27) 2 Isso significa que M é compacta e M = φ. M 158

162 Podemos estender o produto interno em (5.27) a um produto interno, definido na soma direta n Ω (M) = Ω r (M), r=0 simplesmente por exigindo que os espaços Ω r (M) sejam mutuamente ortogonais. Definição O operador codiferencial é o operador linear δ : Ω r (M) Ω r 1 (M), definido por δα = ( 1) n(r+1)+1 d α, α Ω r (M). No espaço Ω 0 (M) = C (M), o operador δ é definido simplesmente como sendo o funcional linear nulo. Além disso, é imediato verificar que δ 2 = 0, (5.28) δ = ( 1) r d, (5.29) δ = ( 1) r+1 d. (5.30) A definição do operador co-diferencial independe da variedade M estar orientada ou não. Isso porque o operador surge duas vezes, logo a definição independe da escolha da orientação de cada fibra T p M. Dizemos que α Ω r (M) é co-fechada se δα = 0. Proposição O operador δ é o adjunto do operador diferencial d em Ω (M), ou seja, dα, β = α, δβ. Demonstração. Da bilinearidade de, e da ortogonalidade dos espaços Ω r (M), é suficiente considerar os casos em que α Ω r 1 (M) e β Ω r (M). Neste caso, d (α β) = dα β + ( 1) r 1 α d β = dα β α δβ. Integrando e usando o Teorema de Stokes, temos: 0 = d (α β) = dα β M = dα, β α, δβ. M M α δβ 159

163 Definição O operador Laplaciano : Ω r (M) Ω r (M) é o operador linear definido por = dδ + δd. Segue da definição que no espaço C (R n ), o Laplaciano satisfaz f = n i=1 2 f x 2. i Dizemos que α Ω r (M) é harmônica se α = 0. Corolário é auto-adjunto, ou seja, α, β = α, β, α, β Ω r (M). (5.31) Demonstração. Segue diretamente da Proposição De fato, α, β = (dδ + δd) α, β = dδα, β + δdα, β = δα, δβ + dα, dβ = α, dδβ + α, δdβ = α, (dδ + δd) β = α, β. Corolário α Ω r (M) é harmônica se, e somente se, α é fechada e co-fechada. Demonstração. É claro da definição de que se dα = 0 e δα = 0 então α = 0. Reciprocamente, se α = 0, segue da Proposição que 0 = α, α = dδα, α + δdα, α = δα, δα + dα, dα, logo δα = 0 e dα = 0. Observação Se M não é compacta, uma r-forma fechada e co-fechada é ainda uma r-forma harmônica. No entanto, uma r-forma harmônica não é, necessariamente, fechada e co-fechada. Por exemplo, a 0-forma f : R R, dada por f (x) = x, é harmônica, como se verifica facilmente, mas não é fechada, pois df = 1. Corolário Se, além disso, M é conexa e f C (M) é harmônica então f é constante. 160

164 Demonstração. Seja (U, ϕ) um sistema de coordendas em M, com ϕ (U) = B 1 (0). Como f é harmônica segue do Corolário que df = 0. Assim, definindo ψ = f ϕ 1, temos dψ = 0. Como ϕ (U) é conexo em R n, ψ é constante em ϕ (U), logo f é constante em U. Assim, f é constante em qualquer domínio de sistema de coordenadas U M. Como M é conexa, segue que f é constante. 161

165 5.7 O Teorema da Decomposição de Hodge Dado 0 r n, denotemos por H r (M) = ker ( ) = {α Ω r (M) / α = 0} o espaço vetorial das r-formas harmônicas. Se α, β Ω r (M), e β = 0, segue da equação (5.31) que α, β = α, β = 0. Assim, o espaço vetorial H r (M) é ortogonal à imagem de. O resultado fundamental sobre formas harmônicas estabelece que esses dois subespaços ortogonais de r-formas geram o espaço todo das r-formas: Teorema (Hodge, 1935). Para cada inteiro r, com 0 r n, o espaço vetorial H r (M) das r-formas harmônicas tem dimensão finita e o espaço vetorial Ω r (M) de todas as r-formas diferenciais em M pode ser escrito como uma decomposição em soma direta ortogonal Ω r (M) = (Ω r (M)) H r (M). (5.32) Para uma prova deste resultado, que é de natureza completamente analítica, o leitor pode consultar []. Estudaremos a seguir algumas consequências do teorema. A decomposição ortogonal de Ω r (M), dada em (5.32), nos dá duas aplicações projeções H r e h r, como mostra o diagrama abaixo. H r H r (M) Ω r (M) h r (Ω r (M)). Para qualquer α Ω r (M), a forma h r (α) = α H r (α) é unicamente β para alguma β Ω r (M). Escrevemos, então, G (α) = única β tal que β = α H r (α). Mais precisamente, temos a seguinte 162

166 Definição O operador de Green G : Ω r (M) (Ω r (M)) é operador linear definido por G (α) sendo igual a única solução da equação β = α H r (α). Proposição O operador de Green comuta com d, δ e. Demonstração. Seja T : Ω r (M) Ω s (M) um operador linear tal que T = ( T. Mostremos ) que GT = T G. De fato, por definição de G, temos G = 1 (Ω r (M)) h r. O fato que T = T implica que T (H r (M)) H s (M), logo T ( (Ω r (M))) (Ω s (M)). Segue, então, que e em (Ω r (M)), e assim, em (Ω r (M)), T h r = h r T, (5.33) T (Ω r (M)) = (Ω s (M)) T, (5.34) T ( (Ω r (M))) 1 = ( (Ω s (M))) 1 T. (5.35) Segue de (5.33), (5.34) e (5.35) que G comuta com T. Assim, G comuta com. Como comuta com d e δ, segue o resultado. Teorema Cada classe de cohomologia de de Rahm em uma variedade Riemanniana fechada e orientada contém um único representante harmônico. Demonstração. Dado ω Ω r (M), segue do Teorema e da definição do operador de Green que Como G comuta com d, temos ω = dδgω + δdgω + H r ω. ω = dδgω + δgdω + H r ω. Se ω é fechada, a expressão acima fica ω = dδgω + H r ω. Assim, obtemos uma r-forma H r ω = ω dδgω tal que H r ω [ω] e que é harmônica. Para provar a unicidade, sejam ω 1, ω 2 Ω r (M) harmônicas tais que ω 1 ω 2 = dα, com α Ω r 1 (M). Assim, dα + (ω 1 ω 2 ) =

167 Além disso, como dα, ω 1 ω 2 = α, δω 1 δω 2 = α, 0 = 0, concluímos que dα = 0 e ω 1 ω 2 = 0, logo ω 1 = ω 2. Corolário Para cada 0 r n, tem-se dim (HR r (M)) < +. Demonstração. Segue do Teorema que cada classe [ω] HR r (M) contém um representante harmônico, ω. Logo ω H r (M). Assim, se a dimensão de HR r (M) é infinita, isso implicaria que a dimensão de Hr (M) é infinita, contradizando o fato de que dim (H r (M)) < +. Dada uma variedade diferenciável M n fechada e orientada, definimos uma função bilinear por H r R (M) H n r R ([ω], [ψ]) M (M) R (5.36) ω ψ, (5.37) onde ω e ψ são formas fechadas, representantes das classes [ω] HR r (M) e [ψ] H n r R (M), respectivamente. A função bilinear dada em (5.36) está bem definida. De fato, se ω 1 é outro representante da classe [ω], então ω 1 = ω + dα, para alguma α Ω r 1 (M). Do Teorema de Stokes, segue que ω 1 ψ = ω ψ + dα ψ M M M = ω + d (α ψ) = ω ψ. M Analogamente se ψ 1 é outro representante da classe [ψ] H n r R (M). Note que a definição da função bilinear em (5.36) depende da orientação de M. Teorema (Dualidade de Poincaré). Seja M n uma variedade Riemanniana fechada e orientada. Então, M H n r R (M) = (H r R (M)). Demonstração. É suficiente provar que a função bilinear dada em (5.36) é não-singular. Dado 0 [ω] HR r (M), devemos encontrar uma classe [ψ] H n r R (M), [ψ] 0, tal que ([ω], [ψ]) 0. Podemos assumir, de 164 M

168 acordo com o Teorema 5.7.4, que ω é o representante harmônico de [ω]. Como [ω] 0, segue que ω 0. Como =, segue que ω também é harmônica e, portanto, fechada pelo Corolário Assim, ω representa a classe [ ω] H n r R (M). Além disso, ([ω], [ ω]) = ω ω = ω 2 > 0. M Logo, (5.36) é uma função bilinear não-singular e, portanto, segue o resultado. Corolário Se M n é uma variedade diferenciável compacta, conexa e orietável, então H n R = R. 165

169 Capítulo 6 Grupos de Lie 6.1 Grupos de Lie e homomorfismos A teoria dos grupos de Lie foi inicialmente desenvolvida por Sophus Lie no final do século XIX, e hoje é uma das classes mais importantes de variedades diferenciáveis. Grupos de Lie são variedades diferenciáveis que também são grupos no qual as operações de grupo são diferenciáveis. Nesta seção apresentaremos as definições básicas ilustrando com alguns exemplos conhecidos. Definição Um grupo de Lie é uma variedade diferenciável G, munida de uma estrutura de grupo, tal que a multiplicação e a inversão são aplicações diferenciáveis. (g, h) G G gh G (6.1) g G g 1 G (6.2) Decorre da definição que, para cada g G, as translações L g : G G e R g : G G, dadas por L g (h) = gh e R g (h) = hg, para todo h G, são difeomorfismos. De fato, sabemos que tais aplicações são bijeções, cujas inversas são dadas por (L g ) 1 = L g 1 e (R g ) 1 = R g

170 Resta provar que tais aplicações são diferenciáveis. Considerando em G G a estrutura de variedade produto (cf. Exemplo 4) segue que, para cada g G, as aplicações i g : G G G e j g : G G G, dadas por i g (h) = (g, h) e j g (h) = (h, g), (6.3) são mergulhos diferenciáveis. Como a translação à esquerda L g é a composta da multiplicação (6.1) com i g, segue que L g é diferenciável. Analogamente, R g é diferenciável, pois é a composta da multiplicação (6.1) com o mergulho j g. Note que a inversão (6.2) também é um difeomorfismo. Exemplo Um exemplo simples de grupo de Lie é o espaço Euclidiano R n, onde a operação de grupo é a adição usual em R n. De forma análoga, qualquer espaço vetorial real é um grupo de Lie sob a operação de soma de vetores. Exemplo O conjunto C\{0}, sob a operação de multiplicação de números complexos, é um grupo de Lie. De fato, C\{0} é uma variedade diferenciável, parametrizada por uma única carta (C\{0}, ϕ), dada por ϕ(z) = (x, y), onde z = x + iy. Usando essas coordenadas, o produto é dado por e a inversão é dada por (z, z ) (xx yy, xy + yx ), z z 1 = ( ) x x 2 + y 2, y x 2 + y 2. Exemplo O círculo S 1 = {z C : z = 1} é um grupo de Lie abeliano sob a operação de multiplicação de números complexos. Exemplo Consideremos o grupo linear GL(n) formado pelas matrizes reais invertíveis n n. Observe inicialmente que GL(n) é um subconjunto aberto de M(n), logo é uma variedade diferenciável. Além disso, em relação à multiplicação de matrizes, GL(n) é um grupo. Seja ϕ : M(n) R n2 a carta em M(n) que associa a cada matriz sua ij-ésima coordenada, i.e., para cada matriz A M(n), tem-se ϕ ij (A) = a ij. Assim, se A, B GL(n) então ϕ ij (AB 1 ) é uma função racional de ϕ ij (A) e ϕ ij (B) com denominador não-nulo, o que prova que a aplicação (A, B) GL(n) GL(n) AB 1 GL(n) é diferenciável. Portanto, GL(n) é um grupo de Lie. 167

171 Exemplo Se G e H são grupos de Lie, então a variedade produto G H, munida da operação produto (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ), também é um grupo de Lie, usualmente chamada de grupo de Lie produto. Segue então do Exemplo que o toro T 2 = S 1 S 1 é um grupo de Lie produto. Lema Sejam G um grupo de Lie e H G um subgrupo abstrato que também é uma subvariedade de G. Então, com sua estrutura diferenciável de subvariedade, H também é um grupo de Lie. Demonstração. Como H é subvariedade de G, segue que H H é subvariedade de G G, logo a aplicação inclusão i : H H G G é um mergulho diferenciável. Se m : G G G é a multiplicação em G, então a composta φ = m i : H H G é uma aplicação diferenciável, com φ(h H) H. Novamente, como H é subvariedade de G, segue do Corolário que a aplicação φ, com contra-domínio H, é diferenciável. Isso prova que a multiplicação em H é diferenciável. Analogamente se prova que a inversão em H também é diferenciável. Exemplo O grupo ortogonal O(n) é um subgrupo de GL(n). Além disso, pelo Exemplo , O(n) é subvariedade de GL(n). Assim, pelo Lema 6.1.7, segue que O(n) é um grupo de Lie. Exemplo Considere a restrição da função det ao grupo ortogonal O(n). Analogamente ao caso de GL(n), obtemos que det : O(n) R é uma submersão diferenciável. Ou seja, todo real não-nulo é valor regular de det O(n). Disso decorre que o conjunto SO(n) = {X O(n) : det X = 1} é uma subvariedade de O(n), pois SO(n) = (det) 1 (1). Além disso, SO(n) é um subgrupo de O(n). Portanto, pelo Lema 6.1.7, decorre que SO(n) é um grupo de Lie, chamado o grupo ortogonal especial. Definição Seja φ : G H um homomorfismo algébrico entre os grupos de Lie G e H. Dizemos que φ é um homomorfismo de grupos de Lie se φ é uma aplicação diferenciável 1. 1 Poderíamos supor, sem perda de generalidade, que φ fosse apenas contínuo pois todo homomorfismo algébrico entre grupos de Lie que é contínuo é automaticamente diferenciável (cf. [19, Teorema 3.39]). 168

172 No caso em que φ tem uma inversa que também é um homomorfismo de grupos de Lie, dizemos que φ é um isomorfismo de grupos de Lie. Se φ : G H é um homomorfismo de grupos de Lie segue, por definição, que φ(gh) = φ(g)φ(h), para quaisquer g, h G. Assim, φ(e) = e e φ(g 1 ) = φ(g) 1, para todo g G. Exemplo A aplicação de inclusão i : SO(n) GL(n) é um homomorfismo de grupos de Lie. Exemplo A aplicação cos θ sin θ 0 e iθ S 1 sin θ cos θ 0 SO(n) 0 0 I n 2 é um homomorfismo de grupos de Lie, de S 1 sobre SO(n). Exemplo A aplicação φ : R S 1, dada por φ(t) = e it, é um homomorfismo de grupos de Lie. Proposição Se φ : G H é um homomorfismo de grupos de Lie, então φ tem posto constante. Em particular, ker(φ) é uma subvariedade fechada de G, que também é um grupo de Lie. Demonstração. Dado um elemento g G, temos: Assim, φ(g) = φ(hh 1 g) = φ(h)φ(h 1 g) = L φ(h) (φ(h 1 g)) = ( L φ(h) φ ) (h 1 g). dφ(g) = dl φ(h) (φ(h 1 g)) dφ(h 1 g). Como L φ(h) é um difeomorfismo, sua matriz jacobiana tem posto máximo em todo ponto, logo o posto de φ é o mesmo nos pontos g e h 1 g, para qualquer h G. Portanto, φ tem posto constante. Pelo Teorema , ker(φ) = φ 1 (e) é uma subvariedade fechada de G, com dimensão igual a dim G rank(φ). Do Lema 6.1.7, concluimos que ker(φ) é um grupo de Lie. 169

173 Exemplo O grupo linear especial SL(n) é um grupo de Lie. De fato, considere a aplicação φ : GL(n) R\{0} definida por φ(a) = det(a), para toda matriz A GL(n). Temos que φ é um homomorfismo de grupos de Lie tal que SL(n) = φ 1 (1). Logo, pela Proposição , segue que SL(n) é um grupo de Lie. Exercícios 5. Prove que SO(2) é um grupo de Lie compacto, conexo e unidimensional. Mais precisamente, SO(2) é difeomorfo a S Verifique que a esfera tridimensional S 3 é um grupo de Lie. Mais precisamente, S 3 é o grupo de Lie dos quatérnios de norma unitária (S 1 e S 3 são as únicas esferas que admitem estrutura de grupo de Lie). 7. Dados um grupo de Lie G e um elemento g G, prove que a aplicação de conjugação C g : G G, dada por C g (h) = ghg 1, para todo h G, é um isomorfismo de grupos de Lie, que satisfaz C g = L g R 1 g. 8. Sejam G um grupo de Lie conexo e U G um aberto contendo o elemento identidade e G. Prove que U gera G, i.e., todo elemento de G é um produto de elementos de U. 9. Sejam φ, ψ : G H homomorfismos de grupos de Lie que coincidem numa vizinhança da identidade. Se G é conexo prove que φ = ψ. 6.2 Álgebras de Lie O ponto central da teoria desenvolvida por Lie é a relação existente entre um grupo de Lie e sua álgebra de Lie dos campos vetoriais invariantes à esquerda. A importância do conceito de álgebra de Lie (abstratamente) é que existe uma álgebra de Lie especial de dimensão finita associada com cada grupo de Lie, e as propriedades do grupo de Lie são refletidas em propriedades de sua álgebra de Lie.. Dado uma variedade diferenciável M, temos o espaço vetorial real X(M) formado por todos os campos vetoriais diferenciáveis X : M T M. O colchete de Lie de dois campos X, Y X(M), denotado por [X, Y ], é o campo vetorial tal que [X, Y ] = [Y, X] e que satisfaz a identidade de Jacobi 170

174 (cf. Proposição ). Na realidade, o espaço vetorial real X(M), munido da aplicação R-bilinear (X, Y ) X(M) X(M) [X, Y ] X(M), é apenas um exemplo de uma estrutura algébrica abstrata extremamente importante, como veremos a seguir. Definição Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial a (sobre um corpo K), munido de uma aplicação K-bilinear a a a, denotada usualmente por (v, w) [v, w], tal que e que satisfaz a identidade de Jacobi para quaisquer u, v, w a. [v, w] = [w, v] [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0, Uma álgebra de Lie a é chamada abeliana se [v, w] = 0, para quaisquer v, w a. Um subespaço b a é chamado uma subálgebra de Lie se b é fechado sob a operação do colchete, i.e., [u, v] b, para quaisquer u, v b. Exemplo Como vimos na introdução desta seção, o espaço vetorial X(M), associado a uma variedade diferenciável M, é uma álgebra de Lie sob a operação do colchete de Lie em campos vetoriais. Exemplo Qualquer espaço vetorial torna-se uma álgebra de Lie se todos os colchetes são definidos sendo iguais a zero. Neste caso, obtemos uma álgebra de Lie abeliana. Exemplo O espaço vetorial M(n) de todas as matrizes reais n n torna-se uma álgebra de Lie pondo para quaisquer A, B M(n). [A, B] = AB BA, Exemplo O espaço Euclidiano R 3, com a operação bilinear [v, w] = v w, onde denota o produto vetorial de R 3, é uma álgebra de Lie. 171

175 Definição Sejam a, b álgebras de Lie sobre um corpo K. Uma aplicação K-linear σ : a b é um homomorfismo de álgebras de Lie se σ([v, w]) = [σ(v), σ(w)], (6.4) para quaisquer v, w a. Um isomorfismo de álgebras de Lie é um isomorfismo linear σ : a b que satisfaz (6.4). A álgebra de Lie X(M) tem dimensão infinita, a menos que M tenha dimensão igual a zero. Estamos interessados agora em certas álgebras de Lie de dimensão finita que são subálgebras de X(M). Definição Dado um grupo de Lie G, dizemos que um campo vetorial X (não necessariamente diferenciável) em G é invariante à esquerda se, para cada g G, X é L g -relacionado com X, i.e., dl g X = X L g. Isso significa que dl g (h) X(h) = X(gh), para quaisquer g, h G. De forma análoga temos a noção de invariância à direita. Mais precisamente, um campo vetorial X em G é invariante à direita se, para cada g G, X é R g -relacionado com X, i.e., dr g X = X R g. O conjunto de todos os campos vetoriais invariantes à esquerda em um grupo de Lie G será denotado por g. Para que um campo vetorial X em G seja invariante à esquerda, basta que dl g (e) X(e) = X(g), para todo g G. De fato, dado h G, temos: dl g (h) X(h) = dl g (h) dl h (e) X(e) = d(l g L h )(e) X(e) = dl gh (e) X(e) = X(gh). (6.5) Proposição Dado um grupo de Lie G, o conjunto g dos campos vetoriais invariantes à esquerda de G é um espaço vetorial, e a aplicação φ : g T e G definida por φ(x) = X(e), (6.6) é um isomorfismo linear. Consequentemente, dim g = dim T e G = dim G. Demonstração. A prova que g é um espaço vetorial é simples e deixada à critério do leitor. Para ver que φ é injetora, sejam X, Y g tais que φ(x) = φ(y ). Assim, dado g G, temos: X(g) = dl g (e) X(e) = dl g (e) Y (e) = Y (g). Como g G é arbitrário, temos que X = Y. Além disso, φ é sobrejetora. De fato, dado v T e G, considere o campo vetorial X em G dado por X(g) = dl g (e) v, para todo g G. Segue de (6.5) que X é invariante à esquerda. 172

176 Observe que na Definição não exigimos que X seja diferenciável. Isso se justifica pela seguinte: Proposição Todo campo vetorial invariante à esquerda em um grupo de Lie G é diferenciável. Demonstração. Seja X g. A fim de provar que X X(G), basta mostrar que X(f) C (G), para qualquer f C (G). Como X(f)(g) = X(g)(f) = dl g (e) X(e)(f) = X(e)(f L g ), para qualquer g G, basta mostrar que g G X(e)(f L g ) é uma função diferenciável. Denote por m : G G G a multiplicação em G e, para cada g G, considere os mergulhos i g e j g definidos em (6.3). Seja Y X(G) tal que Y (e) = X(e). Então, (0, Y ) é um campo vetorial diferenciável em G G, e ( (0, Y )(f m) ) j e é uma função diferenciável em G que satisfaz: ( (0, Y )(f m) ) je (g) = (0, Y )(g, e)(f m) = 0(g)(f m j e ) + Y (e)(f m i g ) = X(e)(f m i g ) = X(e)(f L g ). Assim, g G X(e)(f L g ) é uma função diferenciável em G, provando a proposição. Proposição O espaço vetorial g é fechado sob a operação do colchete de Lie e, portanto, g torna-se uma álgebra de Lie. Demonstração. Segue da Proposição que todo campo vetorial invariante à esquerda é diferenciável, logo o colchete de Lie de tais campos está definido. Assim, se X, Y g, segue da Proposição que [X, Y ] é L g - relacionado com [X, Y ], para todo g G, logo [X, Y ] g. O fato de que g é uma álgebra de Lie segue então da Proposição Definição A álgebra de Lie de um grupo de Lie G é definida como a álgebra de Lie g dos campos vetoriais invariantes à esquerda em G. Alternativamente, poderíamos definir a álgebra de Lie de G como o espaço tangente T e G, exigindo que o isomorfismo φ, definido em (6.6), seja um isomorfismo de álgebras de Lie. Seja φ : G H um homomorfismo de grupos de Lie. Como φ transforma a identidade de G no elemento identidade de H, a diferencial dφ(e) é uma transformação linear de T e G sobre T e H. Através da identificação natural do 173

177 espaço tangente à identidade com a álgebra de Lie, esta transformação linear dφ(e) induz uma transformação linear de g sobre h, que também denotaremos por dφ. Assim, dφ : g h, onde se X g, então dφ(x) é o único campo vetorial invariante à esquerda em H tal que Com esta identificação, temos a seguinte: dφ(x)(e) = dφ(x(e)). (6.7) Proposição Sejam G, H grupos de Lie com respectivas álgebras de Lie g e h, e φ : G H um homomorfismo de grupos de Lie. Então (a) X e dφ(x) são φ-relacionados, para cada X g. (b) dφ : g h é um homomorfismo de álgebras de Lie. Demonstração. (a) Como dφ(x) h, temos dl φ(g) dφ(x) = dφ(x) L φ(g), para todo g G. Além disso, como φ é um homomorfismo, temos φ(gh) = φ(g)φ(h), para quaisquer g, h G, i.e., φ L g = L φ(g) φ, para todo g G. Assim, dφ(x)(φ(g)) = ( dφ(x) L φ(g) ) (e) = ( dlφ(g) dφ(x) ) (e) = d(l φ(g) φ)(e) X(e) = d(φ L g )(e) X(e) = dφ(g) X(g). Como g G é arbitrário, segue que dφ(x) φ = dφ X, i.e., X e dφ(x) são φ-relacionados. (b) Dados X, Y g, queremos provar que dφ([x, Y ]) = [dφ(x), dφ(y )]. (6.8) Pela Proposição 3.5.4, temos que [X, Y ] é φ-relacionado com [dφ(x), dφ(y )]. Em particular, temos que [dφ(x), dφ(y )](e) = dφ([x, Y ](e)). Porém, pela definição em (6.7), dφ([x, Y ]) é o único campo vetorial invariante à esquerda em H cujo valor no elemento identidade é dφ([x, Y ](e)). Assim, vale a igualdade (6.8) e a proposição está provada. 174

178 Exercícios 10. Prove que se G e H são grupos de Lie, então a álgebra de Lie g h é, a menos de identificações, a álgebra de Lie de G H. 11. Sejam G um grupo de Lie e X g. (a) Prove que X é completo. (b) Prove que o fluxo maximal ϕ : R G G de X é dado por ϕ(t, g) = R αe(t)(g), onde α e (t) é a curva integral maximal de X passando por e. (c) Denotemos por Ad g : g g a diferencial da conjução C g no elemento identidade (cf. Exercício 7). Prove que, se X, Y g, então [X, Y ](e) = d dt Ad α e(t)(y (e)). (d) Conclua que se G é abeliano então [X, Y ] = 0, para quaisquer X, Y g. 6.3 Exemplos clássicos Nesta seção apresentaremos alguns grupos de Lie clássicos e suas respectivas álgebras de Lie. Tais grupos e álgebras serão constituídos por matrizes reais (ou por operadores lineares sobre R). Os espaços vetoriais considerados serão sempre de dimensão finita. Exemplo A reta real R é um grupo de Lie com a operação de soma de números reais. Os campos vetoriais invariantes à esquerda são simplesmente os campos vetoriais constantes λ ( ) d dt, λ R, onde o símbolo d dt representa o vetor constante igual a 1 em R. O colchete de quaisquer dois de tais campos vetoriais é nulo. Exemplo Consideremos o grupo linear GL(n). Observe, inicialmente, que como M(n) R n2, temos que T e M(n) M(n). Denotemos por α : T e M(n) M(n) o isomorfismo linear que identifica tais espaços vetoriais. Como GL(n) é aberto em M(n), segue que T e GL(n) = T e M(n). Denotando por gl(n) a álgebra de Lie de GL(n), definimos uma aplicação β : gl(n) M(n) pondo β(x) = α(x(e)), 175

179 para todo X gl(n). O leitor pode verificar facilmente que β é um isomorfismo de álgebras de Lie. Portanto, podemos considerar M(n) como a álgebra de Lie de GL(n). Exemplo Consideremos o grupo linear especial SL(n). O espaço tangente a SL(n) no elemento identidade coincide com o subespaço de M(n) das matrizes de traço nulo (cf. Exercício 2). Assim, a álgebra de Lie de SL(n), denotada por sl(n), pode ser identificada com o subespaço das matrizes reais n n de traço nulo. Exemplo Dado um espaço vetorial real V de dimensão n, denotemos por Lin(V ) o espaço vetorial de todos os operadores lineares em V. Denotemos também por Aut(V ) o conjunto dos automorfismos de V, i.e., o subespaço de Lin(V ) constituido pelos operadores lineares não-singulares de V. O espaço vetorial Lin(V ) torna-se uma álgebra de Lie definindo um colchete pondo [T 1, T 2 ] = T 1 T 2 T 2 T 1, (6.9) para quaisquer T 1, T 2 Lin(V ). Uma base fixada no espaço V determina um difeomorfismo φ : Lin(V ) M(n) tal que φ(aut(v )) = GL(n). Disso decorre que Lin(V ) induz uma estrutura de variedade diferenciável em Aut(V ), como subconjunto aberto, que é um grupo de Lie sob a operação de composição. Através da identificação natural de Lin(V ) com T e Lin(V ) = T e Aut(V ), a estrutura de álgebra de Lie de Aut(V ) induz uma estrutura de álgebra de Lie em Lin(V ), que coincide com aquela descrita em (6.9). Exemplo O grupo de Heisenberg tridimensional, denotado por Nil 3, é o subgrupo de M(3) definido por 1 x z Nil 3 = 0 1 y : x, y, z R, (6.10) com a multiplicação usual de matrizes. Assim, identificando a matriz (6.10) com a terna (x, y, z) R 3, temos: (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z + xy ). O elemento identidade de Nil 3 é 0 = (0, 0, 0) e o elemento inverso de (x, y, z) é (x, y, z) 1 = ( x, y, xy z). Dados a, b Nil 3, com a = (x, y, z) e b = (x, y, z ), o comutador [a, b] dos elementos a e b é igual a [a, b] = aba 1 b 1 = (0, 0, xy yx ), 176

180 onde xy yx 0, em geral. Por exemplo, se a = (1, 0, 0) e b = (0, 1, 0), temos [a, b] = (0, 0, 1) 0. Isso mostra que Nil 3 não é abeliano. Por outro lado, dados a, b, c Nil 3, o duplo comutador de a, b, c é igual a [[a, b], c] = (0, 0, 0), ou seja, Nil 3 é um grupo de Lie nilpotente com índice de nilpotência igual a 2. Cada ponto (x, y, z) Nil 3 pode ser visto como uma translação (à esquerda) da identidade a esse ponto como sendo: (x, y, z) (0, 0, 0) = (x, y, z), ou seja, L (x,y,z) (0) = (x, y, z). Então, as direções coordenadas Euclidianas são transladadas para: (x, y, z) (s, 0, 0) = (x + s, y, z), (x, y, z) (0, s, 0) = (x, y + s, z + xs), (x, y, z) (0, 0, s) = (x, y, z + s). Diferenciando (em relação a s), obtemos os campos vetoriais: E 1 = x, E 2 = y + x z, (6.11) E 3 = z, que são campos vetoriais invariantes à esquerda, por construção. Portanto, a álgebra de Lie de Nil 3, denotada por nil 3, é gerada pelos campos vetoriais E 1, E 2, E 3, dados em (6.11), cujos colchetes de Lie são dados por: [E 1, E 2 ] = E 3 e [E 3, E 2 ] = [E 3, E 1 ] = 0. Exemplo O grupo de Lie Sol 3 é o produto semi-direto R R 2, onde z R age em R 2 através da aplicação ρ z definida por ρ z (x, y) = (e z x, e z y), (6.12) para quaisquer x, y R. Para cada z R, ρ z é um isomorfismo linear de R 2. Identificando Sol 3 com R 3, de modo que o plano-xy corresponda ao subgrupo normal R 2, a multiplicação do grupo Sol 3, induzida por (6.12), é dada por (x, y, z) (x, y, z ) = (x + e z x, y + e z y, z + z ), (6.13) 177

181 para quaisquer (x, y, z), (x, y, z ) R 3. Claramente, (0, 0, 0) é o elemento identidade de Sol 3, e o elemento inverso é (x, y, z) 1 = ( e z x, e z y, z). A ação à esquerda do grupo Sol 3 nas direções coordendas Euclidianas produz: (x, y, z) (s, 0, 0) = (x + e z s, y, z), (x, y, z) (0, s, 0) = (x, y + e z s, z), (x, y, z) (0, 0, s) = (x, y, z + s). Diferenciando em relação a s, obtemos os campos vetoriais: E 1 = e z x, E 2 = e z y, (6.14) E 3 = z, que são campos invariantes à esquerda, por construção. Portanto, a álgebra de Lie do grupo de Lie Sol 3, denotada por sol 3, é gerada pelos campos vetoriais E 1, E 2, E 3 dados em (6.14), cujos colchetes de Lie são dados por [E 3, E 1 ] = E 1, [E 3, E 2 ] = E 2, [E 1, E 2 ] = 0. (6.15) O grupo Sol 3 é um grupo de Lie solúvel. De fato, de (6.15), a álgebra derivada Dsol 3 é dada por Dsol 3 = [sol 3, sol 3 ] = span{e 1, E 2 }. Novamente, usando (6.15), a álgebra derivada D 2 sol 3 é igual a D 2 sol 3 = span{[e 1, E 2 ]} = {0}. Portanto, Sol 3 é um grupo de Lie solúvel, com índice de solubilidade igual a 2. Exercícios 12. Prove que a álgebra de Lie do grupo ortogonal O(n) coincide com o subespaço de M(n) formado pelas matrizes anti-simétricas. 178

182 6.4 Uma aplicação do teorema de Frobenius Nesta seção usaremos o teorema de Frobenius para estabelecer uma correspondência entre subgrupos de Lie de um dado grupo de Lie e subálgebras de sua álgebra de Lie. Definição Seja H um subgrupo abstrato de um grupo de Lie G. Se H é um grupo de Lie tal que a aplicação inclusão i : H G é uma imersão, diremos que H é um subgrupo de Lie de G. Proposição Se H é um subgrupo abstrato de um grupo de Lie G, que também é uma subvariedade de G, então H é um subgrupo de Lie de G. Demonstração. As aplicações de multiplicação e inversão, H H H e H H, são as restrições das aplicações de multiplicação e inversão, respectivamente, de G. Como H é subvariedade de G, tais aplicações de restrição são diferenciáveis. Nas condições da Proposição 6.4.2, pode-se provar, além disso, que H é um subconjunto fechado de G (cf. Exercício 13). Pode-se provar também, porém este é um fato não-trivial, que um subgrupo abstrato H de um grupo de Lie G é uma subvariedade se, e somente se, H é um subconjunto fechado de G (cf. [19, Theorem 5.81]). Exemplo O círculo S 1, mergulhado no toro T 2 = S 1 S 1 como S 1 {1}, é um subgrupo fechado de T 2. O lema seguinte diz essencialmente que qualquer vizinhança do elemento identidade gera um grupo de Lie conexo. Lema Sejam G um grupo de Lie conexo e U uma vizinhança de e. Então, G = U n, n=1 onde U n consiste de todos os n-produtos de elementos de U. Demonstração. Seja V U um subconjunto aberto contendo e tal que V = V 1 ; por exemplo, considere V = U U 1. Seja H = V n n=1 U n. n=1 179

183 H é um subgrupo abstrato de G. De fato, por construção, temos que e H. Além disso, dados g, h H, tem-se g = a n e h = b m, com a, b V, para alguns m, n N. Assim, gh = a n b m a n V m V n V m H. H também é um subconjunto aberto de G pois se h H então hv H é um aberto contendo h. Finalmente, para cada g G, a classe lateral à esquerda gh é um aberto em G, pois H é aberto em G. Assim, como G\H = gh é um aberto em G, sendo união de abertos, segue que H é fechado em G. Como G é conexo e H, H deve ser todo o grupo G, provando o lema. Teorema Sejam G um grupo de Lie, com álgebra de Lie g, e h uma subálgebra de Lie de g. Então, existe um único subgrupo de Lie conexo H de G, cuja álgebra de Lie coincide com h. Demonstração. Dado g G, denotemos por D(g) o subespaço de T g G formado por todos os vetores da forma X(g), onde X é um campo vetorial invariante à esquerda, com X(e) h. Assim, v g D(g) se, e somente se, v g = dl g (e) v, para algum v h. Como h é uma subálgebra de Lie de g, temos: g H [v g, w g ] = [dl g (e) v, dl g (e) w] = dl g (e) [v, w] D(g), para quaisquer v g, w g D(g), onde v, w h. Assim, g G D(g) T g G é uma distribuição involutiva e, pelo Teorema , é integrável. Seja H a subvariedade integral maximal conexa contendo o elemento identidade e (cf. Teorema ). Observe que, para cada h G, temos dl g (h)(d(h)) = D(gh), i.e., D é invariante por translações à esquerda. Assim, L g transforma a variedade integral maximal pelo ponto h difeomorficamente sobre aquela que passa pelo ponto gh. Em particular, se g H, então L g 1 transforma H sobre a variedade integral maximal contendo o ponto L g 1(g) = e. Assim, pela maximalidade, concluimos que L g 1(H) = H. Portanto, se g, h H, 180

184 então também g 1 h H. Disso segue que H é um subgrupo abstrato de G. De forma inteiramente análoga à prova do Lema 6.1.7, podemos concluir que a multiplicação m : H H H é diferenciável, provando assim que H é um subgrupo de Lie de G. Além disso, se h denota a álgebra de Lie de H, então di( h) = h, onde i : H G é o homomorfismo inclusão, pois T e H = D(e) = h. Quanto à unicidade, seja K outro subgrupo de Lie conexo de G com dj(k) = h, onde j : K G é a inclusão. Assim, K deve ser uma variedade integral de D contendo o elemento identidade e e, pela maximalidade de H, tem-se que K H. Seja φ : K H a aplicação inclusão. Note que, como i é injetora, φ é a única aplicação diferenciável tal que j = i φ. Assim, φ é um homomorfismo de grupos de Lie injetor. Como dφ(g) é injetora, para todo g K, segue que φ é um difeomorfismo em uma vizinhança de e, logo φ é sobrejetora, pelo Lema Portanto, φ é um isomorfismo de grupos de Lie, e os subgrupos K e H são equivalentes. Isso prova a unicidade. Corolário Existe uma correspondência injetora entre subgrupos de Lie conexos de um grupo de Lie e subálgebras de sua álgebra de Lie. Corolário Sejam G, H grupos de Lie com respectivas álgebras de Lie g e h. Se φ : g h é um homomorfismo de álgebras de Lie, então existe uma vizinhança U do elemento identidade e G e uma aplicação diferencável F : U H tal que G(gh) = F (g)f (h), para quaisquer g, h U, com gh U, e tal que para todo v g. df (e) v = φ(v), Demonstração. Seja k g h definida por k = {(v, φ(v)) : v g}. O fato que φ é um homomorfismo implica que k é uma subálgebra de Lie de g h. Assim, pelo Teorema 6.4.5, existe um subrupo de Lie conexo K de G H com álgebra de Lie k. Considere a aplicação inclusão i : K G H e defina um homomorfismo ρ : K G pondo ρ = π G i, onde π G e φ H denotam as projeções sobre G e H, respectivamente. Dado v g, temos dρ(v, φ(v)) = v, 181

185 ou seja, dρ(e, e) : T (e,e) K T e G é um isomorfismo linear. Assim, pelo Teorema da Aplicação Inversa, existe uma vizinhança V de (e, e) K tal que ρ V é um difeomorfismo sobre uma vizinhança U de e G. Defina um homomorfismo ψ : K H pondo ψ = π H i. Temos que dψ(e, e) (v, φ(v)) = φ(v), para todo v g. Seja então F = ψ ρ 1 V. Como F está definida unicamente em termos da inclusão e das projeções, segue que F (gh) = F (g)f (h), para quaisquer g, h U, com gh U. Se v g, então dρ(v, φ(v)) = v implica que d(ρ 1 ) v = (v, φ(v)), logo como queríamos. Exercícios V df (e) v = dψ(e, e) d(ρ 1 V )(e) v = dψ(e, e)(v, φ(v)) = φ(v), 13. Seja H um subgrupo abstrato de um grupo de Lie G, que também é uma subvariedade de G. Prove que H é um subconjunto fechado de G. 182

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