CÁLCULO, VARIEDADES E FORMAS DIFERENCIAIS

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1 CÁLCULO, VARIEDADES E FORMAS DIFERENCIAIS ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor da PUC Minas Belo Horizonte, 2017

2 Sumário Prefácio v 1 Espaços Vetoriais Normados Espaços Vetoriais Normados Aplicações Lineares Contínuas Normas Equivalentes Aplicações Multilineares Contínuas Exercícios do Capítulo Cálculo Diferencial Aplicações Diferenciáveis Regras de Derivação Exercícios do Capítulo Integração de Caminhos e o Teorema do Valor Médio Integração de Caminhos i

3 SUMÁRIO 3.2 Exercícios do Capítulo Derivadas Parciais Derivadas Parciais Exercícios do Capítulo Teorema da Função Inversa Difeomorfismos. Teorema da Função Inversa Aplicações de Posto Constante Exercícios do Capítulo Derivação de Ordem Superior Derivação de Ordem Superior Fórmula de Taylor Exercícios do Capítulo Variedades Diferenciais Cartas, Atlas, Variedades Aplicações de Classe C k Espaço Tangente. Derivada Identificações Aplicações de Posto Constante Subvariedades ii

4 SUMÁRIO 7.7 Variedade Produto Partições da Unidade Métrica Riemaniana Campos de Vetores. Fibrado Tangente Exercícios do Capítulo Álgebra Exterior Álgebra Exterior Determinantes Produto Interior Exercícios do Capítulo Formas Diferenciais Generalidades Diferencial Exterior Orientação Variedades com Bordo Orientação no Bordo Integração numa Variedade Orientada Formas Diferenciais em M [0, 1]. Lema de Poincaré Aplicação à Análise Vetorial iii

5 SUMÁRIO 9.9 Integração numa Variedade Riemaniana. Grau de Aplicação Exercícios do Capítulo Sistemas Diferenciais Colchete de Lie de Campos Vetoriais. Fluxos Sistemas Diferenciais Campos vetoriais comutativos e fluxos Variedades Simpléticas Exercícios do Capítulo Grupos de Lie Generalidades sobre Grupos de Lie Campos Invariantes Formas Invariantes Exercícios do Capítulo Bibliografia 230 Index 232 iv

6 Prefácio As aplicações da teoria das variedades diferenciais são inúmeras, não só na Matemática, mas também na Física Teórica, na Computação Gráfica, na Robótica, e em outras partes da Ciência. Este livro foi concebido como uma introdução às variedades diferenciais. Cremos que o leitor, após digeri-lo, estará em condições de enfrentar textos mais sofisticados e exigentes, alguns deles citados na Bibliografia. Os pré-requisitos são relativamente poucos: Álgebra Linear, Análise Real e Topologia, em níveis modestos. Nos Capítulos de 1 a 6 desenvolvemos o Cálculo Diferencial das funções f : V W, onde V e W são espaços vetoriais normados, ambos de dimensão finita. Demos especial importância ao teorema da função inversa (e seu equivalente teorema da função implícita), estudando com detalhe as aplicações de posto constante, particularmente as imersões e submersões. O Capítulo 7 versa sobre variedades diferenciais. Introduzimos a linguagem básica da teoria, discutimos alguns exemplos, o conceito de subvariedade, e o fibrado tangente. Nos Capítulos 8 e 9 desenvolvemos a álgebra exterior e as formas diferenciais. Estudamos as variedades com bordo, o conceito de orientação, a noção de integral v

7 de uma forma, e demonstramos os teoremas de Stokes, Brouwer (diferenciável) e Poincaré-Brouwer. Introduzimos a métrica riemaniana e as funções harmônicas. Estudamos o grau de uma aplicação, e calculamos o grau da aplicação normal de Gauss de uma hipersuperficie compacta do R n. No Capítulo 10 tratamos dos sistemas diferenciais, provamos o teorema de Frobenius e apresentamos o conceito de folheação, estudando também a relação entre a comutatividade de campos vetoriais e a de seus fluxos. O capítulo termina com uma introdução às variedades simpléticas. O Capitulo 11 é uma introdução à importante teoria dos Grupos de Lie e de suas variedades homogêneas, sendo discutidos alguns exemplos. Muitos assuntos importantes não foram tratados no livro. Dentre eles destacamos: transversalidade, teorema de Sard, teoremas de aproximação de Whitney, aplicações de recobrimento, aplicação exponencial, correspondência entre grupos de Lie simplesmente conexos e suas álgebras de Lie, representação adjunta,... Queremos agradecer a Mário Jorge Dias Carneiro, que leu parte do manuscrito, e ao avaliador de uma primeira versão do livro, pelas várias sugestões que fizeram para sua melhoria. Agradecemos também ao Eng. Alan Antônio Moreira pelo bom trabalho na editoração. Ao leitor, bom proveito. Belo Horizonte, Outubro de 2016 Roberto N. Mendes vi

8 Capítulo 1 Espaços Vetoriais Normados Neste capítulo fazemos uma revisão dos conceitos básicos concernentes aos espaços vetoriais normados, em particular aos espaços de Banach, e estudamos as aplicações lineares e multilineares contínuas, tendo em vista a utilização destes fatos no estudo do Cálculo Diferencial. 1.1 Espaços Vetoriais Normados Seja V um espaço vetorial sobre K (R ou C). Definição 1.1. Uma norma em V é uma função x V x R tal que: (1) x 0 ; x = 0 x = 0; (2) x + y x + y ; (3) ax = a x, quaisquer que sejam x V, y V, a K. Consequências imediatas: 1

9 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS (a) x = x ; (b) x y x y. De fato, como x = (x y) + y, temos x x y + y, donde x y x y. Analogamente, y x x y, resultando (b). Obs. (1) O par (V, ) é um espaço vetorial normado (e.v.n). Definindo d (x, y) = = x y para x V, y V, obtemos uma distância em V e (V, d) é um espaço métrico; essa métrica natural d satisfaz: (i) d (x + z, y + z) = d (x, y) ; (ii) d (ax, ay) = a d (x, y), onde a K. (2) Como x y x y, resulta que a norma é uma função contínua. Exercício. Prove que (x, y) x + y e (a, x) ax são contínuas. Definição 1.2. Seja (x n ) n 1 uma sequência no e.v.n V. Dizemos que (x n ) n 1 converge para x V se lim n x n x = 0, ou seja, dado ε > 0 arbitrário, existe n 0 N tal que n n 0 x n x < ε. Definição 1.3. A sequência (x n ) n 1 é uma sequência de Cauchy em V se lim x m x n = 0, isto é, dado ε > 0 arbitrário, existe n 0 N tal que m n m n 0, n n 0 x m x n < ε. É fácil ver que toda sequência convergente é de Cauchy, a recíproca sendo falsa em geral. Definição 1.4. O e.v.n V é um espaço de Banach se ele é completo na métrica natural d, ou seja, se toda sequência de Cauchy em V é convergente. Exemplo Em V = K n, definimos: Ã n n x 1 = x i ; x 2 = x i 2 ; x = sup x i, i=1 i=1 1 i n 2

10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS onde normas x = (x 1,..., x n ) K n. São as normas usuais em K n. Com qualquer dessas K n é um espaço de Banach. Exercício. Prove as afirmações feitas no Exemplo Exemplo Seja V = C 0 ([a, b], K) o espaço vetorial das funções contínuas f : [a, b] K, onde a e b são reais, a < b. Definamos: f 1 = b f(t) dt; f = sup f(t). É fácil mostrar (faça-o!) que 1 e são normas em V. a t b Exemplo Seja (V, ) um espaço vetorial munido de um produto interno positivo. Definindo x =» x, x obtemos uma norma em V. Se V for completo nessa norma, dizemos que V é um espaço de Hilbert. Definição 1.5. Seja (x n ) n 1 uma sequência no espaço de Banach V. Dizemos que a série x n é absolutamente convergente se x n é convergente. n=1 Proposição 1.1. Num espaço de Banach V uma série absolutamente convergente é convergente e Dem. Como n=1 n=1 x n x n. n=1 n=1 x n converge, dado ε > 0, existe n 0 N tal que m n, n n 0 implicam x n x m < ε e, portanto, x n x m < ε para m n n 0, isto é, s m s n < ε para m n n 0, onde s n = x x n. Como V é de Banach, resulta que a sequência (s n ) n 1 converge, ou seja, a série x n é convergente, e a desigualdade x x n x x n para todo n, implica x n x n. n=1 n=1 a n=1 1.2 Aplicações Lineares Contínuas Sejam V e W espaços vetoriais normados sobre K. Proposição 1.2. Se T : V W é linear, são equivalentes: (a) T é contínua em V ; 3

11 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS (b) T é contínua na origem 0 V ; (c) T (x) é limitada em B 1 (0) = {x V ; x 1}. Dem. (a) (b) - Óbvio. (b) (c) : Por hipótese, dado ε 0, existe δ > 0 tal que y δ implica T (y) < ε. Seja x V, x 1. Se y = δx então y δ, donde T (y) = δ T (x) < ε e, portanto, T (x) < ε, isto é, T (x) é limitada sobre δ a bola unitária fechada B 1 (0). (c) (a): Seja T (x) M para x V, x 1, onde M > 0. Se x 0, seja y = x, donde y = 1, T (y) M, e x T (x) = x. T (y) M. x. Se a V, então T (x) T (a) = T (x a) e, dado ε > 0, x a < ε M implica é contínua em a. T (x) T (a) M. x a < ε, ou seja, T Notação: L(V, W ) = {T : V W ; T é linear contínua }. Definição 1.6. Seja T L(V, W ). Se T = sup T (x), então T < e x 1 T T é uma norma em L(V, W ). Se M > 0 é tal que T (x) M para todo x B 1 (0), então T M, ou seja, T é o menor M > 0 tal que T (x) M. x, isto é, sup T (x) = T = inf {M > 0 ; T (x) M. x, x V }. x 1 Exercício. Prove que T T é uma norma em L(V, W ). Proposição 1.3. Se W é um espaço de Banach, então L(V, W ) é um espaço de Banach. Dem. Seja (T n ) n 1 uma sequência de Cauchy em L(V, W ). Dado ε > 0, existe n 0 N tal que m n n 0 T m T n < ε, donde T m (x) T n (x) < ε, x 1, e T m (x) T n (x) < ε x x V ; logo, (T n (x)) n 1 é de Cauchy em W e, portanto, converge para y = T (x), e obtemos a aplicação T : V W. É fácil ver que T é linear. 4

12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Fazendo m, obtemos T (x) T n (x) ε x, x V. Logo, T (x) = = T (x) T n0 (x) + T n0 (x) T (x) T n0 (x) + T n0 (x) ε x + T n0. x = = (ε + T n0 ). x, o que mostra ser T contínua, isto é, T L(V, W ). Além disso, n n 0 T (x) T n (x) ε x, donde T T n ε, e (T n ) n 1 converge para T em L(V, W ). Obs. Se T L(U, V ), S L(V, W ), então S T L(U, W ) e, para todo x U, S T (x) S. T (x) S. T. x, e S T S. T. 1.3 Normas Equivalentes Sejam V, W espaços vetoriais normados sobre K. Definição 1.7. T : V W é um isomorfismo se: (a) T L(V, W ), isto é, T é linear contínua; (b) existe S L(W, V ) tal que S T = id V e T S = id W. Ou seja, T : V W é um isomorfismo de e.v.n se, e só se, T é um homeomorfismo linear. Definição 1.8. T : V W é uma isometria se T é bijeção linear tal que T (x) = x x V. É claro que toda isometria é um isomorfismo, mas a recíproca é falsa. Definição 1.9. Duas normas, 1 e 2, sobre o espaço vetorial V, são equivalentes se existem constantes positivas m e M tais que m x 1 x 2 M x 1 x V. Obs. Sejam i 1 : V 1 = (V, 1 ) V 2 = (V, 2 ) e i 2 : V 2 V 1 as aplicações induzidas por id V ; elas são inversas uma da outra. x 2 M x 1 mostra que i 2 é contínua e x 1 1 m x 2 que i 1 é contínua, ou seja, i 1 e i 2 são isomorfismos, e as topologias de V 1 e V 2 coincidem. 5

13 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Reciprocamente, se i 1 : V 1 V 2 e i 2 : V 2 V 1 definem a mesma topologia, então 1 e 2 são equivalentes pois, neste caso, existem constantes positivas M e M 1 tais que x 2 M x 1 e x 1 M 1. x 2. Pondo m = 1, vem M 1 m x 1 x 2 M. x 1. Resulta que duas normas em V são equivalentes se, e só se, elas definem a mesma topologia. Proposição 1.4. Em K n todas as normas são equivalentes. Dem. Se x = (x 1,..., x n ) K n, seja x 2 = n x i 2 a norma euclidiana, seja x x uma norma arbitrária, e seja (e 1,..., e n ) a base canônica de K n. Temos: x y x y n x i y i. e i, o que mostra que x x i=1 é contínua. Sobre a esfera unitária de K n, que é compacta, x x é 0 e contínua, donde existem constantes positivas m e M tais que x M e x m x K n, x 2 = 1, resultando x M x 2 e x m x 2 x K n, ou seja, m x 2 x M x 2, e é equivalente a 2, donde a tese. Proposição 1.5. Seja W um e.v.n de dimensão finita n sobre K. Toda i=1 T : K n W linear bijetora é um homeomorfismo, isto é, um isomorfismo entre espaços vetoriais normados. Dem. Sejam (e 1,..., e n ) a base canônica de K n, T e i = ω i W. Então, (ω 1,..., ω n ) é base de W. Se x K n, x = n x i e i, vem T (x) = n x i T (e i ) = = n x i ω i, donde T (x) n x i. w i, o que mostra que T é contínua em 0, i=1 i=1 donde é contínua em K n. Se S = T 1 : W K n, um raciocínio análogo mostra que S é contínua. Resulta que T é um homeomorfismo (linear), ou seja, um isomorfismo de e.v.n. i=1 i=1 Corolário 1.1. Em W, dim K W = n, todas as normas são equivalentes. Dem. Sejam 1 e 2 normas em W e T : K n W um isomorfismo de e.v.n. ; então, x T x 1 e x T x 2 são normas em K n, portanto equivalentes. Se ω = T (x), existem constantes positivas m e M tais que m ω 1 ω 2 M ω 2, donde 1 e 2 são equivalentes. 6

14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Exemplo Sejam V um e.v.n. sobre K, T : V L(K, V ) ; S : L(K, V ) V x T x : K V f f(1) a a x É fácil ver que T x é linear, que T é linear, e que a x = a. x, donde T x é contínua e tem norma igual a x. Analogamente, é imediato que S é linear e que e L(K, V ). S = T 1. Resulta que T é uma isometria. É a isometria canônica entre V Exemplo Sejam V um e.v.n. sobre K, L(V ) = L(V, V ) e T L(V ). 1 A série n=0 n! T n (onde T n = T T. n.. T ) é absolutamente convergente pois T n T n n 1 e n=0 n! T n = e T converge. Definimos a exponencial de T L(V ) por exp(t ) = n=0 1 n! T n. Escreve-se também exp(t ) = e T Exercício. Sejam S, T L(V ) tais que S T = T S. Prove que e S e T = = e T e S = e T +S. Em particular, como exp(0) = I, temos que e T.e T = I, e T é invertível, e (e T ) 1 = e T. Exemplo Em V = C 0 ([0, 1], R) seja f n : [0, 1] R, n N, como na 0 se x î 1 figura, isto é, f n (x) =, n 1ó n n 2 x se x î 0, 1 ó. n y n f n 1 n 1 x Então: f n = n, f n 1 = 1 2, f n f n 1 = 2n, e 1 não são 7

15 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS equivalentes. 1.4 Aplicações Multilineares Contínuas Para simplificar a escrita vamos considerar o caso das bilineares. Sejam V 1, V 2, W espaços vetoriais sobre K. Definição T : V 1 V 2 W é bilinear se: T (x 1 + x 1, x 2 ) = T (x 1, x 2 ) + T (x 1, x 2 ); T (x 1, x 2 + x 2) = T (x 1, x 2 ) + T (x 1, x 2); T (ax 1, x 2 ) = T (x 1, ax 2 ) = at (x 1, x 2 ), quaisquer que sejam x 1, x 1 em V 1, x 2, x 2 em V 2 e a K. É claro que T (0, 0) = 0, que T (x 1, 0) = T (0, x 2 ) = 0 e que T (a 1 x 1, a 2 x 2 ) = = a 1 a 2 T (x 1, x 2 ) para a 1, a 2 em K. Exemplo V 1 = V 2 = W = K. O produto (a 1, a 2 ) a 1 a 2 é bilinear. Exemplo O produto interno onde x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ), é bilinear. (x, y) R n R n x, y R, x, y = n x i y i, i=1 Proposição 1.6. Sejam V 1, V 2, W e.v.n. sobre K, São equivalentes: T : V 1 V 2 W bilinear. (a) T é contínua em V 1 V 2 ; (b) T é contínua na origem (0, 0) V 1 V 2 ; (c) T (x 1, x 2 ) é limitada em B 1 B 2, onde B j = {x j V j ; x j 1}, j = 1, 2. Dem. Exercício. Notação: L(V 1, V 2 ; W ) = {T : V 1 V 2 W ; T é bilinear contínua}. 8

16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Para T L(V 1, V 2 ; W ) definimos T = sup uma norma em L(V 1, V 2 ; W ) e x 1 1 x 2 1 T (x 1, x 2 ). T T é sup x 1 1 x 2 1 T (x 1, x 2 ) = T = inf {M > 0 ; T (x 1, x 2 ) M x 1 x 2 }. Exercício. Prove as afirmações acima. Exemplo Sejam U, V, W e.v.n. sobre K e f : L(V, W ) L(U, V ) L(U, W ). (S, T ) f(s, T ) = S T f é bilinear e S T S. T, donde f 1. Exemplo Sejam U, V, W e.v.n. sobre K, f : L(U, V ; W ) L(U, L(V, W )) T f(t ) = S : U L(V, W ) x S x : V W y S x (y) = T (x, y) e g : L(U, L(V, W )) L(U, V ; W ) S g(s) = T : U V W (x, y) T (x, y) = S(x)(y) É fácil ver que f está bem definida, é linear e f 1, que g está bem definida, é linear, que g 1 e que g = f 1. Portanto, f = g = 1, isto é, S = T e f (resp. g ) é isometria. É a isometria canônica entre L(U, V ; W ) e L(U, L(V, W )). 9

17 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 1.5 Exercícios do Capítulo 1 1. Sejam. ß l 1 (K) = x = (x n ) x 1 ; x n K e l (K) = x = (x n ) x 1 n=1 x n < ; ; x n K e sup x n < n N. Prove que, com as operações usuais, l 1 (K) e l (K) são espaços vetoriais, que x x 1 = x n é norma em l 1 (K), e que x x = sup x n é n=1 n N norma em l (K). 2. Prove que se W é um subespaço de um e.v.n. V, então seu fecho W é subespaço fechado de V. 3. Seja V um e.v.n e H um hiperplano de V, isto é, H é um subespaço de V de codimensão 1 (ou seja, dim V = 1 ). Prove que H ou é fechado ou é H denso em V. 4. Sejam V = C 0 ([0, 1], R) com a norma f = sup 0 x 1 f(x), W = C 0 ([0, 1], R) com a norma f 1 = 1 f(t) dt, i 1 : V W e i 2 : W V as aplicações 0 induzidas pela identidade. Prove que i 1 é contínua e i 1 = 1. Prove que i 2 é descontínua. 5. Seja l 2 (K) = ß x = (x n ) n 1 ; x n K e e um espaço vetorial, que x, y = n=1 um produto interno e que x x 2 = n=1 x n 2 <. Prove que l 2 (K) x n.y n, para n=1 x l 2 (K), y l 2 (K), é x n 2 é uma norma em l 2 (K). 6. Sejam V = l 2 (R), a = (a n ) n 1 V, f : V R, f(x) = x = (x n ) x 1 V. Prove que f é linear contínua e ache sua norma. n=1 a n x n para todo 10

18 Capítulo 2 Cálculo Diferencial Neste capítulo introduzimos intrinsecamente o conceito de derivada (ou diferencial) de funções f : A W, onde A V é aberto, e V e W são espaços de Banach. Tendo em vista as aplicações futuras vamos nos limitar ao caso em que V e W têm dimensão finita, apesar de que, em grande parte, as demonstrações sejam válidas no caso mais geral em que V e W são espaços de Banach arbitrários. Em particular, provamos a regra da cadeia e a derivada da inversão de matrizes. 2.1 Aplicações Diferenciáveis Sejam V e W espaços vetoriais normados A V aberto e f : A W. Queremos definir o conceito de derivada (ou diferencial) de f. Motivação: sejam f : A R, A R aberto, a A. Sabemos que a derivada de f em a é o número real definido por. f f(a + h) f(a) (a) = lim, h 0 h caso este limite exista. Neste caso, pondo vemos que lim h 0 r(h) lim h 0 h f(a + h) f(a) mh h r(h) = f(a + h) f(a) f (a) h, = 0. Reciprocamente, se existe m R tal que = 0, é imediato que m = lim h 0 f(a + h) f(a) h = f (a). 11

19 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Assim, f é derivável em a se, e só se, existe m = f (a) R tal que f(a + h) = f(a) + f r(h) (a) h + r(h), onde lim h 0 h = 0. Usando a isometria canônica entre L(R, R) e R (T T (1)) vemos que f (a) R define univocamente a aplicação linear d f(a) : R R, d f(a) h = = f (a) h, chamada a diferencial de f em a. Podemos então dizer que f é derivável (ou diferenciável) em a se existe d f(a) L(R, R) tal que r(h) f(a + h) = f(a) + df(a) h + r(h), com lim h 0 h = 0. Voltando ao caso f : A W, A V aberto, a A, V e W espaços vetoriais normados, temos a seguinte: Definição 2.1. f : A W é derivável (ou diferenciável) em a A, se existe T L(V, W ), isto é, uma aplicação linear contínua, tal que r(h) f(a + h) = f(a) + T h + r(h), onde lim h 0 h = 0. Unicidade de T: Sejam T 1 e T 2 aplicações lineares contínuas de V em W e ε 1 e ε 2 aplicações de V em W tais que Resulta, f(a + h) = f(a) + T 1 (h) + ε 1 (h) = f(a) + T 2 (h) + ε 2 (h) ε j (h) para h V, a + h A, lim = 0 (j = 1, 2). h 0 h (T 1 T 2 )(h) = ε 3 (h), onde ε 3 = ε 2 ε 1. Como ε 3 (h) lim = 0, dado h 0 h α > 0, existe δ > 0 tal que h δ implica ε 3 (h) α e, portanto, h (T 1 T 2 )(h) α h para todo h V, donde T 1 T 2 α, donde T 1 = T 2. Dizemos que T é a derivada (ou diferencial) de f em a e escrevemos T = f (a) = D f(a) = d f(a). A igualdade 12

20 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL f(a + h) = f(a) + f r(h) (a) h + r(h), com lim h 0 h = 0, exprime o fato de que a função afim x f(a) + f (a) (x a) é uma boa aproximação de f na vizinhança de a. Obs. T (h) = T (t h) t = f(a + t h) f(a) t ± r(t h) t h h (t 0). =D h f(a) = f (a) = derivada de f em a na di- h Logo, f(a + t h) f(a) T (h) = lim t 0 t reção de h 0. Proposição 2.1. f derivável em a f é contínua em a. Dem. Imediata. Definição 2.2. Dizemos que f : A W, A V aberto, é derivável em A se f é derivável em cada ponto de A. Neste caso, a aplicação f = D f = d f : A L(V, W ) x f (x) é a derivada (ou diferencial) de f em A. Dizemos que f é continuamente derivável em A, ou de classe C 1 em A, e escrevemos é contínua. f C 1 (A, W ), se f = D f Exercício. (a) Se B A é aberto e f for derivável em A, então f B será derivável em B. (b) Se A = A i com A i aberto e f i I Ai for derivável para cada i I, então f será derivável em A. (c) Mudando-se equivalentemente as normas de V e W não se altera a derivabilidade de f nem sua derivada. 13

21 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Obs. Daqui em diante, salvo menção expressa em contrário, vamos considerar o caso em que V e W são espaços vetoriais normados reais de dimensão finita, (em particular V = R n e W = R m ). Neste caso a continuidade de T L(V, W ) é automática, e V e W são completos. Exemplo Sejam I R intervalo aberto, f : I W um caminho no espaço vetorial W. Se f é derivável em a I então f (a) L(R, W ) W (isometria canônica) f (a) correspondendo a f (a) 1 W, ou seja, podemos considerar a derivada de f em a como sendo um vetor v = f f(a + t) f(a) (a).1 = lim, chamado o vetor tangente a f em a, e representado por v = d f d t (a) t 0 t. Se W = R m e f = (f 1,..., f m ), f i : I R, 1 i m, então d f d t (a) = Ç d f1 = d t (a),..., d f å m d t (a), como é fácil verificar. Exemplo Sejam f : A R m, A R n aberto, f = (f 1,..., f m ), f i : A R. f é derivável em a A se, e só se, existe T L(R n, R m ), T = (T 1,..., T m ), T i : R n R, 1 i m, tal que f(a + h) = f(a) + T h + r(h) com r(h) lim h 0 h = 0, r = (r 1,..., r m ), o que equivale a f i (a + h) = f i (a) + T i (h) + r i (h) com lim h 0 r i (h) h = 0, 1 i m. Resulta que f é derivável em a se, e só se, cada f i é derivável em a. Além disso, h R n, Df(a) h = (Df 1 (a) h,..., Df m (a) h). Obs. (1) A derivada Df(a) : R n R m, sendo linear, tem uma matriz em relação às bases canônicas de R n e R m, que é m n e anotada Jf(a) : é a jacobiana de f em a. Temos: D f(a) e j = D j f(a) = f x j (a) = f 1 (a) x j., e j = f m (a) x j linha j. (1 j n) 14

22 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Então, f 1 f 1 (a) (a) x 1 x n ñ ô Jf(a) =..... fi = (a). x f m f m j 1 i m 1 j n (a) (a) x 1 x n (2) Se existe f (a) então existem as derivadas direcionais em particular, existem as derivadas parciais pode existir f h f h (a) = f (a) h ; f (a). A recíproca é falsa, isto é, x j h Rn, mas não existir f (a). Por exemplo, seja f(x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0); x 2 y se (x, y) (0, 0). x 2 + y2 Se h = (a, b)temos D h f(0, 0) = a2 b a 2 + b 2. Para: h 1 = (1, 0) temos f x (0, 0) = 0; h 2 = (0, 1) temos f y (0, 0) = 0; h = h 1 + h 2 = (1, 1) temos D h f(0, 0) = 1 2 D h 1 f(0, 0) + D h2 f(0, 0) = 0, existe. ou seja, D h f(0, 0) não depende linearmente de h e, portanto, D f(0, 0) não Exercício. Prove que, no exemplo acima, f (x, y) é descontínua em (0, 0). x 2.2 Regras de Derivação (1) Linearidade da derivada: sejam f, g : A W, A V aberto, V e W espaços vetoriais normados reais, λ R, h = f + g, k = λf. Se f e g são deriváveis em a A então h (a) = f (a) + g (a) e k (a) = λf (a), ou seja, o conjunto das aplicações f : A W que são deriváveis em a A é um subes- 15

23 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL paço vetorial V a do espaço de todas as aplicações f : A W e a aplicação f V a f (a) L(V, W ) é linear. É imediato também que o conjunto das aplicações f C 1 (A, W ) é um subespaço de V a. (2) Aplicações constantes: f : x V b W, b fixo, tem derivada igual à transformação linear 0 L(V, W ) pois f(x + h) = f(x) + 0 h. Ela é de classe C 1. (3) Aplicações Lineares: se T L(V, W ) então T (x) = T para todo x V. De fato, T (x + h) = T (x) + T (h) implica T (x) = T, e T L(V, L(V, W )) é constante, donde contínua, ou seja T C 1 (V, W ). (4) Aplicações Multilineares: bilinear. Para (x, y) U V vamos considerar o caso bilinear. Seja B : U V W e (h, k) U V, temos: B(x + h, y + k) = B(x, y) + B(h, y) + B(x, k) + B(h, k). Usando em U V a norma (h, k) = sup { h, k }, vem: B(h, k) B h k B (h, k) 2 B(h, k), donde lim (h,k) (0,0) (h, k) = 0 e, portanto, B (x, y)(h, k) = B(x, k) + B(h, y). No caso trilinear, temos: B (x, y, z)(h, k, l) = B(x, y, l) + B(x, k, z) + B(h, y, z), e assim por diante. Voltando ao caso bilinear, vemos que B : U V L(U, V ; W ) é tal que B (x, y)(h, k) = B(x, k) + B(h, y), (x, y) B (x, y) 16

24 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL e é fácil ver que B é linear, donde contínua, e B C 1 (U V, W ). Casos Particulares : (a) B : L(V, W ) L(U, V ) L(U, W ) (g, f) g f é bilinear. Logo, B (g, f)(h, k) = B(g, k) + B(h, f) = g k + h f, onde h L(V, W ) e k L(U, V ). (b) O produto interno B : R n R n R (x, y) x, y = n i=1 x i y i, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) é bilinear. Logo, B (x, y)(h, k) = x, k + h, y, para h R n, k R n. (c) B : L(V, W ) V W é bilinear. Logo, (f, x) f(x) B (f, x)(g, y) = f(y) + g(x), para y V, g L(V, W ). (5) Regra da Cadeia Sejam U, V e W e.v.n.(reais e de dimensão finita), f : A V, g : B W, A U, B V abertos, f(a) B, e h = g f. Se f é derivável em a A e g é derivável em b = f(a) B, vamos provar que h = g f é derivável em a e h (a) = (g f) (a) = g (b) f (a). Dem. Por hipótese, temos: f(x) f(a) = f (a)(x a) + x a r(x), com g(y) g(b) = g (b)(y b) + y b s(y), com lim r(x) = 0. x a lim s(y) = 0. y b 17

25 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Então, h(x) h(a) = g(f(x)) g(f(a)) = g(y) g(b) = g (b) (y b)+ + y b s(y) = g (b) [f(x) f(a)] + f(x) f(a) s(y) = = g (b) [f (a)(x a) + x a r(x)] + f(x) f(a) s(y) = = g (b) f (a)(x a) + x a t(x), onde Mas, e t(x) = g (b) r(x) + f(x) f(a) x a lim x a g (b) r(x) = 0 s(f(x)). f(x) f(a) = f (a) (x a)+ x a r(x) ( f (a) + r(x) ) x a, donde f(x) f(a) x a e, como lim x a r(x) = 0, resulta que de a e, portanto, f (a) + r(x) f(x) f(a) x a f(x) f(a) lim s(f(x)) = 0. y b x a é limitado numa vizinhança Resulta que lim x a t(x) = 0, o que prova que h = g f é derivável em a e que h (a) = g (b) f (a) Corolário 2.1. Se f C 1 (A, V ) e g C 1 (B, W ), então g f = = h C 1 (A, W ). Dem. Temos h (x) = g (f(x)).f (x) x A, isto é x (α,β) (g f(x), f B (x)) g (f(x)) f (x), onde α = g f, β = f, B(α, β) = α β, todas contínuas; logo h é contínua, isto é, h C 1 (A, W ). Corolário 2.2. Dado v U, seja α : t α(t) um caminho em A tal que α(0) = a e α (0) = v. Então, (f α) (0) = f (a) v, ou seja, f (a) v é o vetor tangente ao caminho t f α(t) em t = 0. 18

26 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL v = α (0) f (a).v α(0) = a f(a) Corolário 2.3. Suponhamos que f admita inversa g = f 1 : B A derivável em b. Então f (a) é um isomorfismo cujo inverso é g (b) (U = = V = W, A f B g A). Dem. f g = i d B e g f = i d A implicam f (a) g (b) = i d V e g (b) f (a) = = i d V, ou seja, g (b) = (f (a)) 1. Obs. (Regra da cadeia clássica) Sejam: U = R m, V = R n, W = R p, f = (f 1,..., f n ) : A R n, g = (g 1,..., g p ) : B R p, A R m aberto, B R n aberto, f(a) B, f derivável em a A e g derivável em b = f(a). ñ ô ñ ô fk gi Então: Jf(a) = (a) n m ; Jg(b) = (b) x j y k p n. A fórmula (g f) (a) = g (b) f (a) implica em J(g f)(a) = Jg(b) Jf(a). ñ ô (gi f) Como J(g f)(a) = (a), resulta: x j (g i f) (a) = n g i (b) f k (a) que, na notação clássica, se escrevia x j k=1 y k x j g i x j (a) = n k=1 g i y k (b) y k x j (a). (6) Inversão de Matrizes Sejam V e W e.v.n. de mesma dimensão n sobre K. O conjunto Isom (V, W ) L(V, W ) das aplicações lineares invertíveis T : V W se identifica (via escolha de bases) com o conjunto GL(n, K) das matrizes invertíveis, que é aberto em M(n, K) = M(n), pois T GL(n, K) se, e só se, det T 0, e det : M(n) K é contínua. 19

27 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL (a) Sejam T GL(n, K), I = I n, T < 1. N Então, T n 1 T N+1 1 = n=0 1 T 1 T ; portanto, a série ( 1) n T n n 0 é absolutamente convergente em M(n, K). Além disso, (I + T )(I T + +T 2 + ( 1) N T N ) = (I T + T 2 + ( 1) N T N )(I + T ) = I T N+1. Pondo S = ( 1) n T n, resulta n=0 (I + T )S = S(I + T ) = I, ou seja, S = (I + T ) 1 e, como (I + T ) 1 I + T = T 2 (I T + T 2 ), vem (I + T ) 1 T 2 I + T 1 T. (b) Seja f : GL(n, K) M(n, K), f(x) = X 1. Então, f é derivável no ponto I n e D f(i) = id M(n) = I. De fato, para H < 1, escrevamos (I + H) 1 = I H + r(h). Vem: r(h) = (I + H) 1 I + H H 2 (pela parte (a)) donde 1 H r(h) lim H 0 H = 0, e D f(i n) = I. Para X GL(n, K), f(h) = H 1 admite a decomposição H α X 1 H f H 1 X β H 1, onde α e β são lineares. Logo, D f(x) = β (I) f (I) α (X) = β f (I) α, donde Df(X) H = β f (I) α(h) = β f (I)(X 1 H) = β( X 1 H) = = X 1 H X 1. (c) Vamos mostrar que f : GL(n, K) M(n, K), f(x) = X 1, é de classe C 1. Vimos que f (X) H = X 1 H X 1. Sejam ξ : GL(n, K) M(n, K) M(n, K), ξ(x) = (X 1, X 1 ); ξ é contínua pois f(x) = X 1 é derivável (donde contínua). 20

28 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Seja φ : M(n) M(n) L(M(n), M(n)) (T, S) φ(t, S) : M(n) M(n) H T H S φ(t, S) é linear, φ é bilinear (donde contínua) e f = φ ξ, donde f é contínua e f C 1 (GL(n, K), M(n, K)). 2.3 Exercícios do Capítulo 2 1. Seja M n (R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Seja f : M n (R) M n (R) definida por f(x) = X X t, onde X t é a transposta de X M n (R). Ache a derivada f (X) : M n (R) M n (R) e mostre que f (X) H é simétrica para cada H M n (R). Mostre também que se X t = X 1 então, para cada matriz simétrica S, existe matriz H tal que f (X) H = S. 2. Seja f : M n (R) R, f(x) = det X. Dados X, H M n (R), ache f (X) H, mostre que f (I) H = tr H, onde I é a matriz identidade n n e tr H é o traço de H. Mostre também que que (n 1). f (X) = 0 se, e só se, o posto de X é menor 3. Sejam U, V, W e.v.n. de dimensão finita, A U aberto, f : A V e g : A W aplicações deriváveis. Seja ϕ : A R tal que ϕ(x) = f(x), g(x), onde, : V W R é uma forma bilinear. Calcule ϕ (x). 4. Seja f : I R n de classe C 1, onde I é um intervalo aberto de R. Defina g : I I R n por g(x, y) = f(x) f(y) se x y e g(x, x) = f (x). Prove que g x y é contínua em I I e de classe C 1 em I I, onde = {(x, x); x I} é a diagonal de I I. 5. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno,, e seja x =» x, x, x V, a norma induzida. (a) Prove que x x não é derivável em 0; 21

29 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL (b) Prove que x x é derivável em todo x 0 e ache sua derivada; (c) Prove que ϕ(x) = x x 2, x 0 é derivável em V {0} e ache ϕ (x). 6. Seja f : A R m derivável no aberto A R n. Se existe M > 0 tal que f(x) f(y) M x y para x, y A quaisquer, prove que f (x) M para todo x A. 7. Seja f : A R m derivável no aberto A R n. Se, para algum b R m, o conjunto f 1 (b) possui um ponto de acumulação a, então f (a) : R n R m não é injetora. 8. Seja A R m aberto. Uma aplicação T : A L(R n ; R p ) é derivável em a A se, e só se, para cada vetor v R n, a aplicação ϕ v : A R p, ϕ v (x) = T (x) v, é derivável em a e, neste caso, ϕ v(a) u = (T (a) u) v. 9. Seja f : R n R n derivável, com f(0) = 0. Se f (0) não tem autovalor igual a 1, então existe vizinhança V de 0 em R n tal que f(x) x para todo x V {0}. 10. Seja f : M n (R) M n (R), f(a) = (tr A) A, onde tr A = n a ii é o traço da matriz A = (a ij ) n n. Ache f (A). i=1 22

30 Capítulo 3 Integração de Caminhos e o Teorema do Valor Médio Neste capítulo desenvolvemos a teoria elementar da integral de funções f : [a, b] V, onde [a, b] é um intervalo real e V um espaço vetorial de dimensão finita, funções para as quais existam os limites laterais f(a + 0), f(b 0), f(c 0) e f(c + 0) para todo c (a, b). Tais funções são chamadas reguladas. Como aplicação demonstramos o teorema do valor médio, e algumas consequências. 3.1 Integração de Caminhos Seja [a, b] R um intervalo compacto e f : [a.b] V um caminho no e.v.n. real V de dimensão finita. Uma partição de [a, b] é um conjunto finito P = = {t o, t 1,..., t p }, t i [a, b], tal que a = t o < t 1 <... < t p = b. Definição 3.1. f : [a, b] V é um caminho de saltos se existem partição P = {t o,..., t p } de [a, b] e vetores v 1,..., v p V tais que f(t) = v i para t i 1 < t < t i. Assim, f tem valor constante em cada subintervalo aberto (t i 1, t i ) determinado pela partição P. O valor de f na extremidade t i não interessa, e 23

31 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO definimos p I P (t) = (t i t i 1 )v i V. i=1 Se Q é outra partição de [a, b], em relação à qual f é um caminho de saltos, vamos provar que I Q (f) = I P (f). Consideremos primeiro a partição obtida de P pelo acrescentamento de um único ponto c : P c = {t o,..., t k, c, t k+1,..., t p }. Então, I Pc (f) = (t 1 t 0 )v 1 + +(c t k )v k+1 +(t k+1 c)v k+1 + +(t p t p 1 )v p = = (t 1 t 0 )v (t k+1 t k )v k (t p t p 1 )v p = I P (f). Logo, acrescentando-se um número finito de pontos à partição P obtemos Q tal que I Q (f) = I P (f), ou seja, se Q P (isto é, se Q é um refinamento de P ), então I Q (f) = I P (f). Se R é uma partição arbitrária de [a, b], então Q = P R é um refinamento comum a P e R, donde I R (f) = I Q (f) = I P (f), o que mostra que o vetor I P (f) independe da partição P ; ele é a integral de f em [a, b] : I P (f) = b a f(t) dt. Representamos por S = S([a, b], V ) o conjunto dos caminhos de saltos f : [a, b] V. É fácil ver que S é um espaço vetorial real. Temos a aplicação I é linear e I : S V f I(f) = b f. a I(f) (b a) sup f(t), como se verifica imediatamente. a t b Definição 3.2. f : [a, b] V é um caminho regulado se f é o limite uniforme de uma sequência de caminhos de saltos. Seja B = B([a, b], V ) o espaço vetorial real dos caminhos limitados f : [a, b] V com a topologia da convergência uniforme, definida pela norma f = sup f(t). a t b S = S([a, b], V ) é um subespaço de B. O fecho (ou aderência) de S em B é o e.v.n. R = R([a, b], V ) dos caminhos regulados. Sejam f n, g n S, f n f, g n f, I n = b a f n, J n = b a g n, a convergência sendo uniforme. 24

32 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Temos: I n I m = b a (f n f m ) (b a) f n f m, donde Cauchy em V, e converge para I = lim n I n. Analogamente, seja (I n ) n 1 é de J = lim n J n. Vamos mostrar que I = J. Dado ε > 0, existe n 0 N tal que n n 0 implica f n f < ε e g n f < ε, donde f n g n < 2ε para n n 0. Logo, I n J n (b a) f n g n < 2ε(b a) para n n 0, donde resulta lim (I n J n ) = 0, e I = J. n Assim, se f n f e g n f, então mesmo vetor I, e podemos definir: b a f n e b a g n convergem em V para o Definição 3.3. Se f n S([a, b], V ) e f n f uniformemente, então lim está bem definido e se chama a integral de f em [a, b]. Notação: I = lim n a b n f n a b f n = b f. Proposição 3.1. Sejam f, g R = R([a, b], V ), λ R, T L(V, W ), V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Então, a (a) (b) (c) (d) b a b a (f + g) = b λf = λ b a a f; f + b a g; b f (b a) f ; a Ç å b b T f = T. f. a a Dem. Deixemos (a),(b),(c) como exercício e provemos (d). Temos: T f n T f T. f n f, donde (T f n ) n 1 converge uniformemente para T f se f n f uniformemente, f n S, e T f n S. Logo, T f R e, então, lim b n a T f n = b a T f. Mas, é imediato que b a T f n = T. Ä b a f ä n, e resulta b a T f = lim n T Ä b a f ä Ä n = T b a f ä, pois T é contínua. 25

33 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Proposição 3.2. Seja λ : [a, b] L(V, W ) um caminho regulado. Para cada h V fixo, o caminho t [a, b] λ(t).h W é regulado e b a λ(t).h dt = Ä b a λ(t) dtä.h. Dem. Seja λ n S ([a, b], L(V, W )), λ n λ uniformemente; então, f(t) = λ(t).h = = lim n λ n (t).h. Pondo f n (t) = λ n (t).h resulta que f n S ([a, b], W ) e que f n f uniformemente, donde f R([a, b], W ). Seja T : L(V, W ) W, T (g) = g(h). T é linear. Então, b a λ(t).h dt = b a (T λ)(t) dt = T. Proposição 3.3. Todo caminho contínuo Ñ b a λ(t) dt é = Ñ b a λ(t) dt é.h. f : [a, b] V pode ser uniformemente aproximado por caminhos de saltos, ou seja, C 0 ([a, b], V ) R ([a, b], V ). Dem. Como f é uniformemente contínua, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y [a, b], x y < δ implicam f(x) f(y) < ε. Seja n N tal que b a < δ e seja n P = {t 0,..., t p } a partição de [a, b] tal que t i t i 1 = b a para todo i. Se t n i 1 t < t i defina g n (t) = f(t i 1 ), donde g n S([a, b], V ) e sup a t b g n (t) f(t) ε. A proposição abaixo generaliza a Proposição 3.3. Proposição 3.4. f : [a, b] V é regulada se, e só se, para cada c (a, b) existem os limites laterais f(c 0), f(c + 0), bem como f(a + 0) e f(b 0). Dem. Seja a < c b e provemos que f(c 0) = lim f(t) existe, o caso f(c+0) t c sendo análogo. Como f é regulada, existe sequência (f n ) n 1, f n S, tal que f n f uniformemente. Seja v n = f n (c 0); dado ε > 0, existe n o N tal que m n n o implica f m (t) f n (t) < ε t [a, b]. Seja t < c tal que f n (t) v n < ε e f m (t) v m < ε. Resulta, v m v n < 3ε se m n n 0, isto é, (v n ) n 1 é de Cauchy em V, donde existe v = lim n v n. Provemos que v = f(c 0). Dado ε > 0, seja n 0 N tal que v n0 v < ε e f n0 (t) f(t) < ε t [a, b]; existe δ > 0 tal que c δ < t < c implica f n0 (t) v n0 < ε. Logo c δ < t < c implica f(t) v < 3ε, donde v = lim t c f(t). 26

34 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Reciprocamente, dado ε > 0, existe n N tal que c 1 n < t < c f(t) f(c 0) < ε, e c < t < c + 1 f(t) f(c + 0) < ε 2 n Ç. Resulta 2 que se x < c, y < c ou x > c, y > c, ambos em I c = c 1 n, c + 1 å, n então f(x) f(y) < ε (Nas extremidades os intervalos são I a = [a, a + 1 n ) e I b = (b 1, b]). Como [a, b] é compacto, existe número finito de tais intervalos n I c0,..., I cm, com a = c o < c 1 <... < c m = b, cuja união contém [a, b], e podemos supor que nenhum I ci esteja contido na união dos demais, donde existe t i I ci I ci+1, c i < t i < c i+1. Assim, f(x) f(y) < ε desde que x, y estejam ambos em (c i, t i ) ou ambos em (t i, c i+1 ). Definamos g n S pondo g n (c i ) = f(c i ), g n (t i ) = f n (t i ) e, em cada intervalo (c i, t i ) ou (t i, c i+1 ), tomando g n constante e igual ao valor de f num ponto (por exemplo, o ponto médio) do intervalo. Então, f(t) g n (t) < ε t [a, b], g n f uniformemente, e f é regulada. Corolário 3.1. f : [a, b] V contínuo f regulado. Corolário 3.2. f : [a, b] R monótono f regulado. Corolário 3.3. f R([a, b], V ) tem quantidade enumerável de descontinuidades. Dem. Seja f n S, f n f uniformemente. Como f n tem número finito de descontinuidades, o conjunto D das descontinuidades de todos os f n é enumerável. Como f é contínua fora de D (pois o limite uniforme preserva a continuidade) segue-se o resultado. Proposição 3.5. Seja f R([a, b], V ). Para todo x [a, b], temos: x a f + b x f = b Dem. Sejam g S, P = {t o,..., t p } partição de [a, b] tal que g(t i ) = v i, a f. 27

35 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO t i 1 < t < t i. Então, b a p g = (t i t i 1 )v i. i=1 Seja P x = {t 0, t 1,..., t i 1, x, t i,..., t p }. Então, x i 1 g = (t k t k 1 )v k + (x t i 1 )v i, a k=1 b x p g = (t i x)v i + (t k t k 1 )v k. k=1 Logo, x a g + b x g = b obtemos o caso f R. a g, e o teorema vale para g S. Por passagem ao limite Proposição 3.6. Seja f R([a, b], V ), e seja F (x) = x f(t) dt. Então: a (a) F é contínua; (b) f contínua F = f ( donde F C 1 ). Dem. (a) contínua. F (x + h) F (x) = x+h x f, donde F (x + h) F (x) h. f, e F é (b) f contínua F (x + h) F (x) f(x) h = 1 x+h [f(t) f(x)] dt h x sup t x h f(t) f(x), donde F = f, e F C 1. Corolário 3.4. (Teorema Fundamental do Cálculo). 28

36 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Seja f : [a, b] V de classe C 1. Então, Dem. Seja f(b) f(a) = b a f (t) dt. F (x) = x f (t) dt, donde F (x) = f (x), e f(x) = F (x) + C, a resultando f(a) = C,e F (x) = f(x) f(a), donde F (b) = b f (t) dt = = f(b) f(a). Proposição 3.7. Sejam f : A W, A V aberto, f de classe C 1, [a ; a + h] A, V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Então: f(a + h) f(a) = 1 f (a + th).h dt = 0 Ç 1 0 a å f (a + th) dt.h. Dem. Seja ϕ : [0, 1] W, ϕ(t) = f(a + th); então ϕ C 1, ϕ(0) = f(a), ϕ(1) = f(a + h) e ϕ (t) = f (a + th).h. Logo, ϕ(1) ϕ(0) = Ç å 1 = f (a + th) dt.h ϕ (t) dt, e f(a + h) f(a) = Proposição 3.8. (Teorema do Valor Médio). 1 0 f (a + th).h dt = Sejam f : A W, A V aberto, f C 1, V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Se [a, a + h] A, então f(a + h) f(a) h sup f (a + th). 0<t<1 Ç 1 Dem. De f(a + h) f(a) = f(a + h) f(a) h. 0 å f (a + th) dt.h, vem 1 0 f (a + th) dt h sup f (a + th). 0<t<1 29

37 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO. Corolário 3.5. Se A é convexo e f (x) k, então f é de Lipschitz : f(x 1 ) f(x 2 ) k x 1 x 2. Se f (x) = 0 resulta que f é constante no convexo A. Definição 3.4. Um espaço topológico X é conexo se X = A B, com A e B abertos disjuntos, implica X = A, B = ø. Proposição 3.9. Sejam X ø e Y espaços topológicos, Y sendo de Hausdorff, e f : X Y contínua. Se X é conexo e f é localmente constante (isto é, cada ponto possui uma vizinhança na qual f é constante), então f é constante em X. Dem. Sejam a x e b = f(a) Y ; então f 1 (b) é fechado em X e contém a. Como fé localmente constante resulta que f 1 (b) é aberto e, como X é conexo, vem que X = f 1 (b), donde f(x) = b x X. Proposição Sejam f : A W, f C 1, A V aberto conexo, V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Se f (x) = 0 x A, então f é constante. Dem. Sejam a A, B uma bola de centro a, contida em A. B é convexa, donde f é constante em B, ou seja, f é localmente constante. Como A é conexo, f é constante em A. Obs. Para f : A R, f C 1, A V aberto, temos uma igualdade do valor médio: f(b) f(a) = f (c).(b a), com c [a, b] A. Com efeito, seja ϕ : [0, 1] C 1 R, ϕ(t) = f(a + t(b a)). Então: ϕ(0) = f(a), ϕ(1) = f(b) e existe 30

38 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO c b a A t 0 (0, 1) tal que ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (t 0 ), donde f(b) f(a) = f (c).(b a), onde c = a + t 0 (b a) [a, b] A. No caso f : A W, dim W > 1, não temos igualdade em geral: por exemplo, seja f : R R 2, f(t) = e it = (cos t, sen t). Então, f (t) = i.e it = = ( sen t, cos t) 0 e f(2π) f(0) = 0 f (t 0 ).2π = 2πi.e it 0. Proposição Sejam f : A W, f C 1,A V aberto, [a, a + h] A, T L(V, W ), V e W e.v.n. (de dimensão finita e reais). Então, f(a + h) f(a) T.h h sup f (a + th) T. 0<t<1 Dem. Basta aplicar a Proposição 3.8 a g(x) = f(x) T (x). Corolário 3.6. Sejam f : A W, A V aberto, a A, f C 0 (A, W ), f C 1 (A {a}, W ). Se existe T = lim x a Df(x), então f C 1 (A, W ) e T = Df(a). Dem. Seja δ > 0 tal que (a + h) A para h < δ. Então, r(a, h) h f(a + h) f(a) T.h = h sup f (a + th) T, 0<t<1 31

39 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO donde lim h 0 r(a, h) h = 0 e T = Df(a). Proposição Seja A V aberto. Se uma sequência de aplicações f n : A C1 W, onde V e W são e.v.n. (reais e de dimensão finita), converge para f : A W e a sequência das derivadas f n : A C0 L(V, W ) converge uniformemente para g : A C0 L(V, W ), então f = g e f C 1. Dem. f n (x + h) f n (x) = 1 f n(x + th).h dt. Por passagem ao limite, vem: 0 f(x + h) f(x) = 1 0 g(x + th).h dt. Seja Então, r(h) = f(x + h) f(x) g(x).h = 1 0 [g(x + th) g(x)].h dt. r(h) r(h) h sup g(x + th) g(x), donde lim 0<t<1 h 0 h = 0, f = g e f C 1. Proposição Sejam A V aberto, f : A W de classe C 1, a A. Se f (a) : V W é injetora, existe vizinhança de a na qual f é injetora. Dem. T = f (a) : V f (a).v é um homeomorfismo linear, donde existe m > 0 tal que T.h m h, h V. Seja δ > 0 tal que h < δ a + h A e f(a + h) f(a) = T.h + r(h) com r(h) < m h. Então, 2 f(a + h) f(a) T h r(h) m 2 h. De f(x) f(a) = T (x a) + r(x) resulta que f C 1 implica r C 1 e que 32

40 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO r (a) = f (a) T = 0, e podemos escolher δ > 0 de modo que se tenha também r (x) < m 2 desde que x a < δ. Então, para x e y em B δ(a), temos r(x) r(y) < m 2 y x e, portanto, na bola B δ(a), vale f(y) f(x) = T (y x)+ +r(y) r(x) m 2 y x, donde f é injetora em B δ(a). 3.2 Exercícios do Capítulo 3 1. Seja f : I R n um caminho diferenciável. Se existirem a I, b R n tais que a seja ponto de acumulação de f 1 (b), prove que f (a) = Sejam f : [a, b] R n e ϕ : [a, b] R ambos de classe C 1. Se f (t) ϕ (t) para todo t (a, b), prove que f(b) f(a) ϕ(b) ϕ(a). 3. Sejam f, g : [a, b] R n de classe C 1. Prove que b f(t), g (t) dt = f(b), g(b) f(a), g(a) a a b f (t), g(t) dt, onde, é o produto interno usual de R n. 4. Sejam f : [a, b] R contínua, φ : [c, d] R de classe C 1 tal que β φ([c, d]) [a, b]. Prove que f(φ(t)) φ (t) dt = φ(β) f(x) dx, quaisquer que sejam α e β em [c, d]. α φ(α) 33

41 Capítulo 4 Derivadas Parciais Neste Capítulo introduzimos o conceito de derivada parcial. Como aplicação, demostramos o teorema de Leibniz de derivação sob o sinal de integração. 4.1 Derivadas Parciais Seja V = V 1 V 2 o produto cartesiano dos e.v.n. V 1 e V 2 ; cada x V se escreve de modo único como x = (x 1, x 2 ) com x 1 V 1 e x 2 V 2, e a função x sup { x 1, x 2 } é uma norma em V. Sejam A V aberto, W um e.v.n. e consideremos a aplicação f : A W. Se a = (a 1, a 2 ) A, sejam: A 1 = {x 1 V 1 ; (x 1, a 2 ) A} ; A 2 = {x 2 V 2 ; (a 1, x 2 ) A}. A 1 (resp. A 2 ) é aberto em V 1 (resp. V 2 ) pois é a função contínua λ 1 (x 1 ) = (x 1, a 2 ). A 1 = λ 1 1 (A) onde λ 1 : V 1 V 34

42 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS Seja f 1 = f λ 1 : A 1 W V 2 A 2 a 2 ) A a = (a 1, a 2 ) ) a 1 A 1 ( ) V 1 Definição 4.1. Dizemos que f é derivável parcialmente em relação a V 1 no ponto a = (a 1, a 2 ) A se f 1 : A 1 W é derivável em a 1 A 1, e definimos a derivada parcial D 1 f(a) L(V 1, W ) por D 1 f(a) = Df 1 (a 1 ). Usam-se também as notações f 1 f(a), (a) e f x x 1 (a) para D 1 f(a). 1 Analogamente definimos a derivada parcial de f em relação a V 2 no ponto a = (a 1, a 2 ), a saber, D 2 f(a) = Df 2 (a 2 ), onde f 2 = f λ 2 : A 2 W, λ 2 : V 2 V sendo dada por λ 2 (x 2 ) = (a 1, x 2 ). Assim, as derivadas parciais D 1 f(a) e D 2 f(a) são definidas pelas igualdades seguintes: f(a 1 + h 1, a 2 ) = f(a 1, a 2 ) + D 1 f(a 1, a 2 ).h 1 + r 1 (h 1 ); f(a 1, a 2 + h 2 ) = f(a 1, a 2 ) + D 2 f(a 1, a 2 ).h 2 + r 2 (h 2 ), r 1 (h 1 ) com lim h1 0 h 1 = lim r 2 (h 2 ) h 2 0 h 2 = 0. Proposição 4.1. Com as notações acima, se f é derivável em a = (a 1, a 2 ), então 35

43 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS as derivadas parciais existem e Df(a)(h 1, h 2 ) = D 1 f(a).h 1 + D 2 f(a).h 2. Dem. Como f é derivável em a, temos r(h) h = 0. lim h 0 Em particular, f(a + h) = f(a) + Df(a).h + r(h), com r(h 1 ) f(a 1 + h 1, a 2 ) = f(a) + Df(a)(h 1, 0) + r(h 1 ), com lim = 0, ou seja, h1 0 h 1 Df(a)(h 1, 0) = D 1 f(a).h 1. Analogamente, Df(a).(0, h 2 ) = D 2 f(a).h 2. Logo, Df(a).(h 1, h 2 ) = D 1 f(a).h 1 + D 2 f(a).h 2. Obs. A recíproca é falsa, isto é, a mera existência de D 1 f(a) e D 2 f(a) não implica a derivabilidade de f em a, como já vimos (Obs 2 da Seção 2.1 do Capítulo 2). Exemplo Seja R n = R n R. Se f : A R m, A R n aberto, é derivável em a A, então : D i f(a) L(R, R m ) R m (isometria canônica) é o Ç f f1 vetor (a) = D i f(a).1 = (a),..., f å m (a) R m, onde f = (f 1,..., f m ). x i x i x i Proposição 4.2. Sejam V 1, V 2, W e.v.n., V = V 1 V 2, A V aberto. f : A W é de classe C 1 se, e só se, as derivadas parciais D 1 f : A L(V 1, W ) e D 2 f : A L(V 2, W ) existem e são contínuas. Dem. Se f é derivável em a A vimos que Df(a).(h 1, 0) = D 1 f(a).h 1. Seja µ 1 : V 1 V, µ 1 (x 1 ) = (x 1, 0) ; µ 1 é linear e D 1 f(a) = Df(a) µ 1. A aplicação ψ 1 : L(V, W ) L(V 1, W ), ψ 1 (g) = g µ 1,é linear e D 1 f(a) = ψ 1 (Df(a)), 36

44 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS donde D 1 f = ψ 1 Df, e a continuidade de Df implica a de D 1 f. Analogamente se prova que D 2 f é contínua. Reciprocamente, suponhamos D 1 f e D 2 f contínuas. Para mostrar que f é derivável em a = (a 1, a 2 ) A, sejam h = (h 1, h 2 ), e r(h) = f(a + h) f(a) D 1 f(a)h 1 D 2 f(a)h 2. Então: r(h) f(a 1 + h 1, a 2 + h 2 ) f(a 1 + h 1, a 2 ) D 2 f(a).h f(a 1 + h 1, a 2 ) f(a 1, a 2 ) D 1 f(a).h 1 h 2. sup D 2 f(a 1 + h 1, a 2 + th 2 ) 0<t<1 D 2 f(a) + h 1. sup D 1 f(a 1 + th 1, a 2 ) D 1 f(a). 0<t<1 r(h) Logo, devido à continuidade de D 1 f e D 2 f, resulta que lim h 0 h = 0, mostrando que Df(a) existe e que Df(a)(h 1, h 2 ) = D 1 f(a).h 1 + D 2 f(a).h 2. Para i = 1, 2, se ϕ i : L(V i, W ) L(V, W ), ϕ i (g) = g π i, onde π i : V V i é a projeção, então ϕ i é linear e Df(a) = D 1 f(a) π 1 + D 2 f(a) π 2, donde Df = ϕ 1 D 1 f + ϕ 2 D 2 f, o que mostra ser Df contínua, ou seja, f é de classe C 1. Corolário 4.1. Sejam A R n aberto, f : A R m, f = (f 1,..., f m ). f C 1 (A, R m f ) se, e só se, todas as derivadas parciais : A R são x i contínuas, 1 i m. Proposição 4.3. Sejam A R n aberto e f : A [a, b] R m contínua. Então f é contínua em x A, uniformemente em relação a t [a, b]. Dem. Seja x 0 A. Dado ε > 0, existem V (t) = vizinhança aberta de t e r(t) > 0 tais que x x 0 < r(t) e s V (t) implicam f(x, s) f(x 0, t) < ε. Como [a, b] é compacto, existem vizinhanças V (t 1 ),..., V (t p ) que cobrem [a, b]. 37

45 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS Seja δ = inf 1 i p r(t i) > 0. Então, x x 0 < δ implica f(x, t) f(x 0, t) < ε para todo t [a, b], ou seja, x x 0 < δ implica sup f(x, t) f(x 0, t) ε, que é a a t b tese. Proposição 4.4. (Leibniz) por Sejam A R n aberto, f : A [a, b] R m contínua e F : A R m definida F (x) = b a f(x, t) dt. Então F é contínua. Além disso, se existe e é contínua a derivada parcial D 1 f : A [a, b] L(R n, R m ), então F (x) = b D 1 f(x, t) dt e F C 1. Dem. Temos: F (x+h) F (x) = b a [f(x + h, t) f(x, t)]dt (b a) sup f(x + h, t) f(x, t). a t b Como f é contínua em x uniformemente em t, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que h < δ implica sup f(x + h, t) f(x, t) < ε a t b b a. Então, a h < δ implica F (x + h) F (x) < ε, e F é contínua. Suponhamos agora D 1 f contínua. Temos: Ç å b r(h) = F (x + h) F (x) D 1 f(x, t) dt.h a = = b [f(x + h, t) f(x, t) D 1 f(x, t).h] dt a (b a) sup D 1 f(x + sh, t) D 1 f(x, t). h. a t b 0 s 1 Como D 1 f é contínua em x uniformemente em t, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que h < δ implica sup D 1 f(x+sh, t) D 1 f(x, t) < ε, donde r(h) < ε. h a t b b a 38