CÁLCULO, VARIEDADES E FORMAS DIFERENCIAIS

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1 CÁLCULO, VARIEDADES E FORMAS DIFERENCIAIS ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor da PUC Minas Belo Horizonte, 2017

2 Sumário Prefácio v 1 Espaços Vetoriais Normados Espaços Vetoriais Normados Aplicações Lineares Contínuas Normas Equivalentes Aplicações Multilineares Contínuas Exercícios do Capítulo Cálculo Diferencial Aplicações Diferenciáveis Regras de Derivação Exercícios do Capítulo Integração de Caminhos e o Teorema do Valor Médio Integração de Caminhos i

3 SUMÁRIO 3.2 Exercícios do Capítulo Derivadas Parciais Derivadas Parciais Exercícios do Capítulo Teorema da Função Inversa Difeomorfismos. Teorema da Função Inversa Aplicações de Posto Constante Exercícios do Capítulo Derivação de Ordem Superior Derivação de Ordem Superior Fórmula de Taylor Exercícios do Capítulo Variedades Diferenciais Cartas, Atlas, Variedades Aplicações de Classe C k Espaço Tangente. Derivada Identificações Aplicações de Posto Constante Subvariedades ii

4 SUMÁRIO 7.7 Variedade Produto Partições da Unidade Métrica Riemaniana Campos de Vetores. Fibrado Tangente Exercícios do Capítulo Álgebra Exterior Álgebra Exterior Determinantes Produto Interior Exercícios do Capítulo Formas Diferenciais Generalidades Diferencial Exterior Orientação Variedades com Bordo Orientação no Bordo Integração numa Variedade Orientada Formas Diferenciais em M [0, 1]. Lema de Poincaré Aplicação à Análise Vetorial iii

5 SUMÁRIO 9.9 Integração numa Variedade Riemaniana. Grau de Aplicação Exercícios do Capítulo Sistemas Diferenciais Colchete de Lie de Campos Vetoriais. Fluxos Sistemas Diferenciais Campos vetoriais comutativos e fluxos Variedades Simpléticas Exercícios do Capítulo Grupos de Lie Generalidades sobre Grupos de Lie Campos Invariantes Formas Invariantes Exercícios do Capítulo Bibliografia 230 Index 232 iv

6 Prefácio As aplicações da teoria das variedades diferenciais são inúmeras, não só na Matemática, mas também na Física Teórica, na Computação Gráfica, na Robótica, e em outras partes da Ciência. Este livro foi concebido como uma introdução às variedades diferenciais. Cremos que o leitor, após digeri-lo, estará em condições de enfrentar textos mais sofisticados e exigentes, alguns deles citados na Bibliografia. Os pré-requisitos são relativamente poucos: Álgebra Linear, Análise Real e Topologia, em níveis modestos. Nos Capítulos de 1 a 6 desenvolvemos o Cálculo Diferencial das funções f : V W, onde V e W são espaços vetoriais normados, ambos de dimensão finita. Demos especial importância ao teorema da função inversa (e seu equivalente teorema da função implícita), estudando com detalhe as aplicações de posto constante, particularmente as imersões e submersões. O Capítulo 7 versa sobre variedades diferenciais. Introduzimos a linguagem básica da teoria, discutimos alguns exemplos, o conceito de subvariedade, e o fibrado tangente. Nos Capítulos 8 e 9 desenvolvemos a álgebra exterior e as formas diferenciais. Estudamos as variedades com bordo, o conceito de orientação, a noção de integral v

7 de uma forma, e demonstramos os teoremas de Stokes, Brouwer (diferenciável) e Poincaré-Brouwer. Introduzimos a métrica riemaniana e as funções harmônicas. Estudamos o grau de uma aplicação, e calculamos o grau da aplicação normal de Gauss de uma hipersuperficie compacta do R n. No Capítulo 10 tratamos dos sistemas diferenciais, provamos o teorema de Frobenius e apresentamos o conceito de folheação, estudando também a relação entre a comutatividade de campos vetoriais e a de seus fluxos. O capítulo termina com uma introdução às variedades simpléticas. O Capitulo 11 é uma introdução à importante teoria dos Grupos de Lie e de suas variedades homogêneas, sendo discutidos alguns exemplos. Muitos assuntos importantes não foram tratados no livro. Dentre eles destacamos: transversalidade, teorema de Sard, teoremas de aproximação de Whitney, aplicações de recobrimento, aplicação exponencial, correspondência entre grupos de Lie simplesmente conexos e suas álgebras de Lie, representação adjunta,... Queremos agradecer a Mário Jorge Dias Carneiro, que leu parte do manuscrito, e ao avaliador de uma primeira versão do livro, pelas várias sugestões que fizeram para sua melhoria. Agradecemos também ao Eng. Alan Antônio Moreira pelo bom trabalho na editoração. Ao leitor, bom proveito. Belo Horizonte, Outubro de 2016 Roberto N. Mendes vi

8 Capítulo 1 Espaços Vetoriais Normados Neste capítulo fazemos uma revisão dos conceitos básicos concernentes aos espaços vetoriais normados, em particular aos espaços de Banach, e estudamos as aplicações lineares e multilineares contínuas, tendo em vista a utilização destes fatos no estudo do Cálculo Diferencial. 1.1 Espaços Vetoriais Normados Seja V um espaço vetorial sobre K (R ou C). Definição 1.1. Uma norma em V é uma função x V x R tal que: (1) x 0 ; x = 0 x = 0; (2) x + y x + y ; (3) ax = a x, quaisquer que sejam x V, y V, a K. Consequências imediatas: 1

9 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS (a) x = x ; (b) x y x y. De fato, como x = (x y) + y, temos x x y + y, donde x y x y. Analogamente, y x x y, resultando (b). Obs. (1) O par (V, ) é um espaço vetorial normado (e.v.n). Definindo d (x, y) = = x y para x V, y V, obtemos uma distância em V e (V, d) é um espaço métrico; essa métrica natural d satisfaz: (i) d (x + z, y + z) = d (x, y) ; (ii) d (ax, ay) = a d (x, y), onde a K. (2) Como x y x y, resulta que a norma é uma função contínua. Exercício. Prove que (x, y) x + y e (a, x) ax são contínuas. Definição 1.2. Seja (x n ) n 1 uma sequência no e.v.n V. Dizemos que (x n ) n 1 converge para x V se lim n x n x = 0, ou seja, dado ε > 0 arbitrário, existe n 0 N tal que n n 0 x n x < ε. Definição 1.3. A sequência (x n ) n 1 é uma sequência de Cauchy em V se lim x m x n = 0, isto é, dado ε > 0 arbitrário, existe n 0 N tal que m n m n 0, n n 0 x m x n < ε. É fácil ver que toda sequência convergente é de Cauchy, a recíproca sendo falsa em geral. Definição 1.4. O e.v.n V é um espaço de Banach se ele é completo na métrica natural d, ou seja, se toda sequência de Cauchy em V é convergente. Exemplo Em V = K n, definimos: Ã n n x 1 = x i ; x 2 = x i 2 ; x = sup x i, i=1 i=1 1 i n 2

10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS onde normas x = (x 1,..., x n ) K n. São as normas usuais em K n. Com qualquer dessas K n é um espaço de Banach. Exercício. Prove as afirmações feitas no Exemplo Exemplo Seja V = C 0 ([a, b], K) o espaço vetorial das funções contínuas f : [a, b] K, onde a e b são reais, a < b. Definamos: f 1 = b f(t) dt; f = sup f(t). É fácil mostrar (faça-o!) que 1 e são normas em V. a t b Exemplo Seja (V, ) um espaço vetorial munido de um produto interno positivo. Definindo x =» x, x obtemos uma norma em V. Se V for completo nessa norma, dizemos que V é um espaço de Hilbert. Definição 1.5. Seja (x n ) n 1 uma sequência no espaço de Banach V. Dizemos que a série x n é absolutamente convergente se x n é convergente. n=1 Proposição 1.1. Num espaço de Banach V uma série absolutamente convergente é convergente e Dem. Como n=1 n=1 x n x n. n=1 n=1 x n converge, dado ε > 0, existe n 0 N tal que m n, n n 0 implicam x n x m < ε e, portanto, x n x m < ε para m n n 0, isto é, s m s n < ε para m n n 0, onde s n = x x n. Como V é de Banach, resulta que a sequência (s n ) n 1 converge, ou seja, a série x n é convergente, e a desigualdade x x n x x n para todo n, implica x n x n. n=1 n=1 a n=1 1.2 Aplicações Lineares Contínuas Sejam V e W espaços vetoriais normados sobre K. Proposição 1.2. Se T : V W é linear, são equivalentes: (a) T é contínua em V ; 3

11 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS (b) T é contínua na origem 0 V ; (c) T (x) é limitada em B 1 (0) = {x V ; x 1}. Dem. (a) (b) - Óbvio. (b) (c) : Por hipótese, dado ε 0, existe δ > 0 tal que y δ implica T (y) < ε. Seja x V, x 1. Se y = δx então y δ, donde T (y) = δ T (x) < ε e, portanto, T (x) < ε, isto é, T (x) é limitada sobre δ a bola unitária fechada B 1 (0). (c) (a): Seja T (x) M para x V, x 1, onde M > 0. Se x 0, seja y = x, donde y = 1, T (y) M, e x T (x) = x. T (y) M. x. Se a V, então T (x) T (a) = T (x a) e, dado ε > 0, x a < ε M implica é contínua em a. T (x) T (a) M. x a < ε, ou seja, T Notação: L(V, W ) = {T : V W ; T é linear contínua }. Definição 1.6. Seja T L(V, W ). Se T = sup T (x), então T < e x 1 T T é uma norma em L(V, W ). Se M > 0 é tal que T (x) M para todo x B 1 (0), então T M, ou seja, T é o menor M > 0 tal que T (x) M. x, isto é, sup T (x) = T = inf {M > 0 ; T (x) M. x, x V }. x 1 Exercício. Prove que T T é uma norma em L(V, W ). Proposição 1.3. Se W é um espaço de Banach, então L(V, W ) é um espaço de Banach. Dem. Seja (T n ) n 1 uma sequência de Cauchy em L(V, W ). Dado ε > 0, existe n 0 N tal que m n n 0 T m T n < ε, donde T m (x) T n (x) < ε, x 1, e T m (x) T n (x) < ε x x V ; logo, (T n (x)) n 1 é de Cauchy em W e, portanto, converge para y = T (x), e obtemos a aplicação T : V W. É fácil ver que T é linear. 4

12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Fazendo m, obtemos T (x) T n (x) ε x, x V. Logo, T (x) = = T (x) T n0 (x) + T n0 (x) T (x) T n0 (x) + T n0 (x) ε x + T n0. x = = (ε + T n0 ). x, o que mostra ser T contínua, isto é, T L(V, W ). Além disso, n n 0 T (x) T n (x) ε x, donde T T n ε, e (T n ) n 1 converge para T em L(V, W ). Obs. Se T L(U, V ), S L(V, W ), então S T L(U, W ) e, para todo x U, S T (x) S. T (x) S. T. x, e S T S. T. 1.3 Normas Equivalentes Sejam V, W espaços vetoriais normados sobre K. Definição 1.7. T : V W é um isomorfismo se: (a) T L(V, W ), isto é, T é linear contínua; (b) existe S L(W, V ) tal que S T = id V e T S = id W. Ou seja, T : V W é um isomorfismo de e.v.n se, e só se, T é um homeomorfismo linear. Definição 1.8. T : V W é uma isometria se T é bijeção linear tal que T (x) = x x V. É claro que toda isometria é um isomorfismo, mas a recíproca é falsa. Definição 1.9. Duas normas, 1 e 2, sobre o espaço vetorial V, são equivalentes se existem constantes positivas m e M tais que m x 1 x 2 M x 1 x V. Obs. Sejam i 1 : V 1 = (V, 1 ) V 2 = (V, 2 ) e i 2 : V 2 V 1 as aplicações induzidas por id V ; elas são inversas uma da outra. x 2 M x 1 mostra que i 2 é contínua e x 1 1 m x 2 que i 1 é contínua, ou seja, i 1 e i 2 são isomorfismos, e as topologias de V 1 e V 2 coincidem. 5

13 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Reciprocamente, se i 1 : V 1 V 2 e i 2 : V 2 V 1 definem a mesma topologia, então 1 e 2 são equivalentes pois, neste caso, existem constantes positivas M e M 1 tais que x 2 M x 1 e x 1 M 1. x 2. Pondo m = 1, vem M 1 m x 1 x 2 M. x 1. Resulta que duas normas em V são equivalentes se, e só se, elas definem a mesma topologia. Proposição 1.4. Em K n todas as normas são equivalentes. Dem. Se x = (x 1,..., x n ) K n, seja x 2 = n x i 2 a norma euclidiana, seja x x uma norma arbitrária, e seja (e 1,..., e n ) a base canônica de K n. Temos: x y x y n x i y i. e i, o que mostra que x x i=1 é contínua. Sobre a esfera unitária de K n, que é compacta, x x é 0 e contínua, donde existem constantes positivas m e M tais que x M e x m x K n, x 2 = 1, resultando x M x 2 e x m x 2 x K n, ou seja, m x 2 x M x 2, e é equivalente a 2, donde a tese. Proposição 1.5. Seja W um e.v.n de dimensão finita n sobre K. Toda i=1 T : K n W linear bijetora é um homeomorfismo, isto é, um isomorfismo entre espaços vetoriais normados. Dem. Sejam (e 1,..., e n ) a base canônica de K n, T e i = ω i W. Então, (ω 1,..., ω n ) é base de W. Se x K n, x = n x i e i, vem T (x) = n x i T (e i ) = = n x i ω i, donde T (x) n x i. w i, o que mostra que T é contínua em 0, i=1 i=1 donde é contínua em K n. Se S = T 1 : W K n, um raciocínio análogo mostra que S é contínua. Resulta que T é um homeomorfismo (linear), ou seja, um isomorfismo de e.v.n. i=1 i=1 Corolário 1.1. Em W, dim K W = n, todas as normas são equivalentes. Dem. Sejam 1 e 2 normas em W e T : K n W um isomorfismo de e.v.n. ; então, x T x 1 e x T x 2 são normas em K n, portanto equivalentes. Se ω = T (x), existem constantes positivas m e M tais que m ω 1 ω 2 M ω 2, donde 1 e 2 são equivalentes. 6

14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Exemplo Sejam V um e.v.n. sobre K, T : V L(K, V ) ; S : L(K, V ) V x T x : K V f f(1) a a x É fácil ver que T x é linear, que T é linear, e que a x = a. x, donde T x é contínua e tem norma igual a x. Analogamente, é imediato que S é linear e que e L(K, V ). S = T 1. Resulta que T é uma isometria. É a isometria canônica entre V Exemplo Sejam V um e.v.n. sobre K, L(V ) = L(V, V ) e T L(V ). 1 A série n=0 n! T n (onde T n = T T. n.. T ) é absolutamente convergente pois T n T n n 1 e n=0 n! T n = e T converge. Definimos a exponencial de T L(V ) por exp(t ) = n=0 1 n! T n. Escreve-se também exp(t ) = e T Exercício. Sejam S, T L(V ) tais que S T = T S. Prove que e S e T = = e T e S = e T +S. Em particular, como exp(0) = I, temos que e T.e T = I, e T é invertível, e (e T ) 1 = e T. Exemplo Em V = C 0 ([0, 1], R) seja f n : [0, 1] R, n N, como na 0 se x î 1 figura, isto é, f n (x) =, n 1ó n n 2 x se x î 0, 1 ó. n y n f n 1 n 1 x Então: f n = n, f n 1 = 1 2, f n f n 1 = 2n, e 1 não são 7

15 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS equivalentes. 1.4 Aplicações Multilineares Contínuas Para simplificar a escrita vamos considerar o caso das bilineares. Sejam V 1, V 2, W espaços vetoriais sobre K. Definição T : V 1 V 2 W é bilinear se: T (x 1 + x 1, x 2 ) = T (x 1, x 2 ) + T (x 1, x 2 ); T (x 1, x 2 + x 2) = T (x 1, x 2 ) + T (x 1, x 2); T (ax 1, x 2 ) = T (x 1, ax 2 ) = at (x 1, x 2 ), quaisquer que sejam x 1, x 1 em V 1, x 2, x 2 em V 2 e a K. É claro que T (0, 0) = 0, que T (x 1, 0) = T (0, x 2 ) = 0 e que T (a 1 x 1, a 2 x 2 ) = = a 1 a 2 T (x 1, x 2 ) para a 1, a 2 em K. Exemplo V 1 = V 2 = W = K. O produto (a 1, a 2 ) a 1 a 2 é bilinear. Exemplo O produto interno onde x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ), é bilinear. (x, y) R n R n x, y R, x, y = n x i y i, i=1 Proposição 1.6. Sejam V 1, V 2, W e.v.n. sobre K, São equivalentes: T : V 1 V 2 W bilinear. (a) T é contínua em V 1 V 2 ; (b) T é contínua na origem (0, 0) V 1 V 2 ; (c) T (x 1, x 2 ) é limitada em B 1 B 2, onde B j = {x j V j ; x j 1}, j = 1, 2. Dem. Exercício. Notação: L(V 1, V 2 ; W ) = {T : V 1 V 2 W ; T é bilinear contínua}. 8

16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS Para T L(V 1, V 2 ; W ) definimos T = sup uma norma em L(V 1, V 2 ; W ) e x 1 1 x 2 1 T (x 1, x 2 ). T T é sup x 1 1 x 2 1 T (x 1, x 2 ) = T = inf {M > 0 ; T (x 1, x 2 ) M x 1 x 2 }. Exercício. Prove as afirmações acima. Exemplo Sejam U, V, W e.v.n. sobre K e f : L(V, W ) L(U, V ) L(U, W ). (S, T ) f(s, T ) = S T f é bilinear e S T S. T, donde f 1. Exemplo Sejam U, V, W e.v.n. sobre K, f : L(U, V ; W ) L(U, L(V, W )) T f(t ) = S : U L(V, W ) x S x : V W y S x (y) = T (x, y) e g : L(U, L(V, W )) L(U, V ; W ) S g(s) = T : U V W (x, y) T (x, y) = S(x)(y) É fácil ver que f está bem definida, é linear e f 1, que g está bem definida, é linear, que g 1 e que g = f 1. Portanto, f = g = 1, isto é, S = T e f (resp. g ) é isometria. É a isometria canônica entre L(U, V ; W ) e L(U, L(V, W )). 9

17 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 1.5 Exercícios do Capítulo 1 1. Sejam. ß l 1 (K) = x = (x n ) x 1 ; x n K e l (K) = x = (x n ) x 1 n=1 x n < ; ; x n K e sup x n < n N. Prove que, com as operações usuais, l 1 (K) e l (K) são espaços vetoriais, que x x 1 = x n é norma em l 1 (K), e que x x = sup x n é n=1 n N norma em l (K). 2. Prove que se W é um subespaço de um e.v.n. V, então seu fecho W é subespaço fechado de V. 3. Seja V um e.v.n e H um hiperplano de V, isto é, H é um subespaço de V de codimensão 1 (ou seja, dim V = 1 ). Prove que H ou é fechado ou é H denso em V. 4. Sejam V = C 0 ([0, 1], R) com a norma f = sup 0 x 1 f(x), W = C 0 ([0, 1], R) com a norma f 1 = 1 f(t) dt, i 1 : V W e i 2 : W V as aplicações 0 induzidas pela identidade. Prove que i 1 é contínua e i 1 = 1. Prove que i 2 é descontínua. 5. Seja l 2 (K) = ß x = (x n ) n 1 ; x n K e e um espaço vetorial, que x, y = n=1 um produto interno e que x x 2 = n=1 x n 2 <. Prove que l 2 (K) x n.y n, para n=1 x l 2 (K), y l 2 (K), é x n 2 é uma norma em l 2 (K). 6. Sejam V = l 2 (R), a = (a n ) n 1 V, f : V R, f(x) = x = (x n ) x 1 V. Prove que f é linear contínua e ache sua norma. n=1 a n x n para todo 10

18 Capítulo 2 Cálculo Diferencial Neste capítulo introduzimos intrinsecamente o conceito de derivada (ou diferencial) de funções f : A W, onde A V é aberto, e V e W são espaços de Banach. Tendo em vista as aplicações futuras vamos nos limitar ao caso em que V e W têm dimensão finita, apesar de que, em grande parte, as demonstrações sejam válidas no caso mais geral em que V e W são espaços de Banach arbitrários. Em particular, provamos a regra da cadeia e a derivada da inversão de matrizes. 2.1 Aplicações Diferenciáveis Sejam V e W espaços vetoriais normados A V aberto e f : A W. Queremos definir o conceito de derivada (ou diferencial) de f. Motivação: sejam f : A R, A R aberto, a A. Sabemos que a derivada de f em a é o número real definido por. f f(a + h) f(a) (a) = lim, h 0 h caso este limite exista. Neste caso, pondo vemos que lim h 0 r(h) lim h 0 h f(a + h) f(a) mh h r(h) = f(a + h) f(a) f (a) h, = 0. Reciprocamente, se existe m R tal que = 0, é imediato que m = lim h 0 f(a + h) f(a) h = f (a). 11

19 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Assim, f é derivável em a se, e só se, existe m = f (a) R tal que f(a + h) = f(a) + f r(h) (a) h + r(h), onde lim h 0 h = 0. Usando a isometria canônica entre L(R, R) e R (T T (1)) vemos que f (a) R define univocamente a aplicação linear d f(a) : R R, d f(a) h = = f (a) h, chamada a diferencial de f em a. Podemos então dizer que f é derivável (ou diferenciável) em a se existe d f(a) L(R, R) tal que r(h) f(a + h) = f(a) + df(a) h + r(h), com lim h 0 h = 0. Voltando ao caso f : A W, A V aberto, a A, V e W espaços vetoriais normados, temos a seguinte: Definição 2.1. f : A W é derivável (ou diferenciável) em a A, se existe T L(V, W ), isto é, uma aplicação linear contínua, tal que r(h) f(a + h) = f(a) + T h + r(h), onde lim h 0 h = 0. Unicidade de T: Sejam T 1 e T 2 aplicações lineares contínuas de V em W e ε 1 e ε 2 aplicações de V em W tais que Resulta, f(a + h) = f(a) + T 1 (h) + ε 1 (h) = f(a) + T 2 (h) + ε 2 (h) ε j (h) para h V, a + h A, lim = 0 (j = 1, 2). h 0 h (T 1 T 2 )(h) = ε 3 (h), onde ε 3 = ε 2 ε 1. Como ε 3 (h) lim = 0, dado h 0 h α > 0, existe δ > 0 tal que h δ implica ε 3 (h) α e, portanto, h (T 1 T 2 )(h) α h para todo h V, donde T 1 T 2 α, donde T 1 = T 2. Dizemos que T é a derivada (ou diferencial) de f em a e escrevemos T = f (a) = D f(a) = d f(a). A igualdade 12

20 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL f(a + h) = f(a) + f r(h) (a) h + r(h), com lim h 0 h = 0, exprime o fato de que a função afim x f(a) + f (a) (x a) é uma boa aproximação de f na vizinhança de a. Obs. T (h) = T (t h) t = f(a + t h) f(a) t ± r(t h) t h h (t 0). =D h f(a) = f (a) = derivada de f em a na di- h Logo, f(a + t h) f(a) T (h) = lim t 0 t reção de h 0. Proposição 2.1. f derivável em a f é contínua em a. Dem. Imediata. Definição 2.2. Dizemos que f : A W, A V aberto, é derivável em A se f é derivável em cada ponto de A. Neste caso, a aplicação f = D f = d f : A L(V, W ) x f (x) é a derivada (ou diferencial) de f em A. Dizemos que f é continuamente derivável em A, ou de classe C 1 em A, e escrevemos é contínua. f C 1 (A, W ), se f = D f Exercício. (a) Se B A é aberto e f for derivável em A, então f B será derivável em B. (b) Se A = A i com A i aberto e f i I Ai for derivável para cada i I, então f será derivável em A. (c) Mudando-se equivalentemente as normas de V e W não se altera a derivabilidade de f nem sua derivada. 13

21 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Obs. Daqui em diante, salvo menção expressa em contrário, vamos considerar o caso em que V e W são espaços vetoriais normados reais de dimensão finita, (em particular V = R n e W = R m ). Neste caso a continuidade de T L(V, W ) é automática, e V e W são completos. Exemplo Sejam I R intervalo aberto, f : I W um caminho no espaço vetorial W. Se f é derivável em a I então f (a) L(R, W ) W (isometria canônica) f (a) correspondendo a f (a) 1 W, ou seja, podemos considerar a derivada de f em a como sendo um vetor v = f f(a + t) f(a) (a).1 = lim, chamado o vetor tangente a f em a, e representado por v = d f d t (a) t 0 t. Se W = R m e f = (f 1,..., f m ), f i : I R, 1 i m, então d f d t (a) = Ç d f1 = d t (a),..., d f å m d t (a), como é fácil verificar. Exemplo Sejam f : A R m, A R n aberto, f = (f 1,..., f m ), f i : A R. f é derivável em a A se, e só se, existe T L(R n, R m ), T = (T 1,..., T m ), T i : R n R, 1 i m, tal que f(a + h) = f(a) + T h + r(h) com r(h) lim h 0 h = 0, r = (r 1,..., r m ), o que equivale a f i (a + h) = f i (a) + T i (h) + r i (h) com lim h 0 r i (h) h = 0, 1 i m. Resulta que f é derivável em a se, e só se, cada f i é derivável em a. Além disso, h R n, Df(a) h = (Df 1 (a) h,..., Df m (a) h). Obs. (1) A derivada Df(a) : R n R m, sendo linear, tem uma matriz em relação às bases canônicas de R n e R m, que é m n e anotada Jf(a) : é a jacobiana de f em a. Temos: D f(a) e j = D j f(a) = f x j (a) = f 1 (a) x j., e j = f m (a) x j linha j. (1 j n) 14

22 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Então, f 1 f 1 (a) (a) x 1 x n ñ ô Jf(a) =..... fi = (a). x f m f m j 1 i m 1 j n (a) (a) x 1 x n (2) Se existe f (a) então existem as derivadas direcionais em particular, existem as derivadas parciais pode existir f h f h (a) = f (a) h ; f (a). A recíproca é falsa, isto é, x j h Rn, mas não existir f (a). Por exemplo, seja f(x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0); x 2 y se (x, y) (0, 0). x 2 + y2 Se h = (a, b)temos D h f(0, 0) = a2 b a 2 + b 2. Para: h 1 = (1, 0) temos f x (0, 0) = 0; h 2 = (0, 1) temos f y (0, 0) = 0; h = h 1 + h 2 = (1, 1) temos D h f(0, 0) = 1 2 D h 1 f(0, 0) + D h2 f(0, 0) = 0, existe. ou seja, D h f(0, 0) não depende linearmente de h e, portanto, D f(0, 0) não Exercício. Prove que, no exemplo acima, f (x, y) é descontínua em (0, 0). x 2.2 Regras de Derivação (1) Linearidade da derivada: sejam f, g : A W, A V aberto, V e W espaços vetoriais normados reais, λ R, h = f + g, k = λf. Se f e g são deriváveis em a A então h (a) = f (a) + g (a) e k (a) = λf (a), ou seja, o conjunto das aplicações f : A W que são deriváveis em a A é um subes- 15

23 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL paço vetorial V a do espaço de todas as aplicações f : A W e a aplicação f V a f (a) L(V, W ) é linear. É imediato também que o conjunto das aplicações f C 1 (A, W ) é um subespaço de V a. (2) Aplicações constantes: f : x V b W, b fixo, tem derivada igual à transformação linear 0 L(V, W ) pois f(x + h) = f(x) + 0 h. Ela é de classe C 1. (3) Aplicações Lineares: se T L(V, W ) então T (x) = T para todo x V. De fato, T (x + h) = T (x) + T (h) implica T (x) = T, e T L(V, L(V, W )) é constante, donde contínua, ou seja T C 1 (V, W ). (4) Aplicações Multilineares: bilinear. Para (x, y) U V vamos considerar o caso bilinear. Seja B : U V W e (h, k) U V, temos: B(x + h, y + k) = B(x, y) + B(h, y) + B(x, k) + B(h, k). Usando em U V a norma (h, k) = sup { h, k }, vem: B(h, k) B h k B (h, k) 2 B(h, k), donde lim (h,k) (0,0) (h, k) = 0 e, portanto, B (x, y)(h, k) = B(x, k) + B(h, y). No caso trilinear, temos: B (x, y, z)(h, k, l) = B(x, y, l) + B(x, k, z) + B(h, y, z), e assim por diante. Voltando ao caso bilinear, vemos que B : U V L(U, V ; W ) é tal que B (x, y)(h, k) = B(x, k) + B(h, y), (x, y) B (x, y) 16

24 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL e é fácil ver que B é linear, donde contínua, e B C 1 (U V, W ). Casos Particulares : (a) B : L(V, W ) L(U, V ) L(U, W ) (g, f) g f é bilinear. Logo, B (g, f)(h, k) = B(g, k) + B(h, f) = g k + h f, onde h L(V, W ) e k L(U, V ). (b) O produto interno B : R n R n R (x, y) x, y = n i=1 x i y i, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) é bilinear. Logo, B (x, y)(h, k) = x, k + h, y, para h R n, k R n. (c) B : L(V, W ) V W é bilinear. Logo, (f, x) f(x) B (f, x)(g, y) = f(y) + g(x), para y V, g L(V, W ). (5) Regra da Cadeia Sejam U, V e W e.v.n.(reais e de dimensão finita), f : A V, g : B W, A U, B V abertos, f(a) B, e h = g f. Se f é derivável em a A e g é derivável em b = f(a) B, vamos provar que h = g f é derivável em a e h (a) = (g f) (a) = g (b) f (a). Dem. Por hipótese, temos: f(x) f(a) = f (a)(x a) + x a r(x), com g(y) g(b) = g (b)(y b) + y b s(y), com lim r(x) = 0. x a lim s(y) = 0. y b 17

25 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Então, h(x) h(a) = g(f(x)) g(f(a)) = g(y) g(b) = g (b) (y b)+ + y b s(y) = g (b) [f(x) f(a)] + f(x) f(a) s(y) = = g (b) [f (a)(x a) + x a r(x)] + f(x) f(a) s(y) = = g (b) f (a)(x a) + x a t(x), onde Mas, e t(x) = g (b) r(x) + f(x) f(a) x a lim x a g (b) r(x) = 0 s(f(x)). f(x) f(a) = f (a) (x a)+ x a r(x) ( f (a) + r(x) ) x a, donde f(x) f(a) x a e, como lim x a r(x) = 0, resulta que de a e, portanto, f (a) + r(x) f(x) f(a) x a f(x) f(a) lim s(f(x)) = 0. y b x a é limitado numa vizinhança Resulta que lim x a t(x) = 0, o que prova que h = g f é derivável em a e que h (a) = g (b) f (a) Corolário 2.1. Se f C 1 (A, V ) e g C 1 (B, W ), então g f = = h C 1 (A, W ). Dem. Temos h (x) = g (f(x)).f (x) x A, isto é x (α,β) (g f(x), f B (x)) g (f(x)) f (x), onde α = g f, β = f, B(α, β) = α β, todas contínuas; logo h é contínua, isto é, h C 1 (A, W ). Corolário 2.2. Dado v U, seja α : t α(t) um caminho em A tal que α(0) = a e α (0) = v. Então, (f α) (0) = f (a) v, ou seja, f (a) v é o vetor tangente ao caminho t f α(t) em t = 0. 18

26 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL v = α (0) f (a).v α(0) = a f(a) Corolário 2.3. Suponhamos que f admita inversa g = f 1 : B A derivável em b. Então f (a) é um isomorfismo cujo inverso é g (b) (U = = V = W, A f B g A). Dem. f g = i d B e g f = i d A implicam f (a) g (b) = i d V e g (b) f (a) = = i d V, ou seja, g (b) = (f (a)) 1. Obs. (Regra da cadeia clássica) Sejam: U = R m, V = R n, W = R p, f = (f 1,..., f n ) : A R n, g = (g 1,..., g p ) : B R p, A R m aberto, B R n aberto, f(a) B, f derivável em a A e g derivável em b = f(a). ñ ô ñ ô fk gi Então: Jf(a) = (a) n m ; Jg(b) = (b) x j y k p n. A fórmula (g f) (a) = g (b) f (a) implica em J(g f)(a) = Jg(b) Jf(a). ñ ô (gi f) Como J(g f)(a) = (a), resulta: x j (g i f) (a) = n g i (b) f k (a) que, na notação clássica, se escrevia x j k=1 y k x j g i x j (a) = n k=1 g i y k (b) y k x j (a). (6) Inversão de Matrizes Sejam V e W e.v.n. de mesma dimensão n sobre K. O conjunto Isom (V, W ) L(V, W ) das aplicações lineares invertíveis T : V W se identifica (via escolha de bases) com o conjunto GL(n, K) das matrizes invertíveis, que é aberto em M(n, K) = M(n), pois T GL(n, K) se, e só se, det T 0, e det : M(n) K é contínua. 19

27 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL (a) Sejam T GL(n, K), I = I n, T < 1. N Então, T n 1 T N+1 1 = n=0 1 T 1 T ; portanto, a série ( 1) n T n n 0 é absolutamente convergente em M(n, K). Além disso, (I + T )(I T + +T 2 + ( 1) N T N ) = (I T + T 2 + ( 1) N T N )(I + T ) = I T N+1. Pondo S = ( 1) n T n, resulta n=0 (I + T )S = S(I + T ) = I, ou seja, S = (I + T ) 1 e, como (I + T ) 1 I + T = T 2 (I T + T 2 ), vem (I + T ) 1 T 2 I + T 1 T. (b) Seja f : GL(n, K) M(n, K), f(x) = X 1. Então, f é derivável no ponto I n e D f(i) = id M(n) = I. De fato, para H < 1, escrevamos (I + H) 1 = I H + r(h). Vem: r(h) = (I + H) 1 I + H H 2 (pela parte (a)) donde 1 H r(h) lim H 0 H = 0, e D f(i n) = I. Para X GL(n, K), f(h) = H 1 admite a decomposição H α X 1 H f H 1 X β H 1, onde α e β são lineares. Logo, D f(x) = β (I) f (I) α (X) = β f (I) α, donde Df(X) H = β f (I) α(h) = β f (I)(X 1 H) = β( X 1 H) = = X 1 H X 1. (c) Vamos mostrar que f : GL(n, K) M(n, K), f(x) = X 1, é de classe C 1. Vimos que f (X) H = X 1 H X 1. Sejam ξ : GL(n, K) M(n, K) M(n, K), ξ(x) = (X 1, X 1 ); ξ é contínua pois f(x) = X 1 é derivável (donde contínua). 20

28 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Seja φ : M(n) M(n) L(M(n), M(n)) (T, S) φ(t, S) : M(n) M(n) H T H S φ(t, S) é linear, φ é bilinear (donde contínua) e f = φ ξ, donde f é contínua e f C 1 (GL(n, K), M(n, K)). 2.3 Exercícios do Capítulo 2 1. Seja M n (R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Seja f : M n (R) M n (R) definida por f(x) = X X t, onde X t é a transposta de X M n (R). Ache a derivada f (X) : M n (R) M n (R) e mostre que f (X) H é simétrica para cada H M n (R). Mostre também que se X t = X 1 então, para cada matriz simétrica S, existe matriz H tal que f (X) H = S. 2. Seja f : M n (R) R, f(x) = det X. Dados X, H M n (R), ache f (X) H, mostre que f (I) H = tr H, onde I é a matriz identidade n n e tr H é o traço de H. Mostre também que que (n 1). f (X) = 0 se, e só se, o posto de X é menor 3. Sejam U, V, W e.v.n. de dimensão finita, A U aberto, f : A V e g : A W aplicações deriváveis. Seja ϕ : A R tal que ϕ(x) = f(x), g(x), onde, : V W R é uma forma bilinear. Calcule ϕ (x). 4. Seja f : I R n de classe C 1, onde I é um intervalo aberto de R. Defina g : I I R n por g(x, y) = f(x) f(y) se x y e g(x, x) = f (x). Prove que g x y é contínua em I I e de classe C 1 em I I, onde = {(x, x); x I} é a diagonal de I I. 5. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno,, e seja x =» x, x, x V, a norma induzida. (a) Prove que x x não é derivável em 0; 21

29 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL (b) Prove que x x é derivável em todo x 0 e ache sua derivada; (c) Prove que ϕ(x) = x x 2, x 0 é derivável em V {0} e ache ϕ (x). 6. Seja f : A R m derivável no aberto A R n. Se existe M > 0 tal que f(x) f(y) M x y para x, y A quaisquer, prove que f (x) M para todo x A. 7. Seja f : A R m derivável no aberto A R n. Se, para algum b R m, o conjunto f 1 (b) possui um ponto de acumulação a, então f (a) : R n R m não é injetora. 8. Seja A R m aberto. Uma aplicação T : A L(R n ; R p ) é derivável em a A se, e só se, para cada vetor v R n, a aplicação ϕ v : A R p, ϕ v (x) = T (x) v, é derivável em a e, neste caso, ϕ v(a) u = (T (a) u) v. 9. Seja f : R n R n derivável, com f(0) = 0. Se f (0) não tem autovalor igual a 1, então existe vizinhança V de 0 em R n tal que f(x) x para todo x V {0}. 10. Seja f : M n (R) M n (R), f(a) = (tr A) A, onde tr A = n a ii é o traço da matriz A = (a ij ) n n. Ache f (A). i=1 22

30 Capítulo 3 Integração de Caminhos e o Teorema do Valor Médio Neste capítulo desenvolvemos a teoria elementar da integral de funções f : [a, b] V, onde [a, b] é um intervalo real e V um espaço vetorial de dimensão finita, funções para as quais existam os limites laterais f(a + 0), f(b 0), f(c 0) e f(c + 0) para todo c (a, b). Tais funções são chamadas reguladas. Como aplicação demonstramos o teorema do valor médio, e algumas consequências. 3.1 Integração de Caminhos Seja [a, b] R um intervalo compacto e f : [a.b] V um caminho no e.v.n. real V de dimensão finita. Uma partição de [a, b] é um conjunto finito P = = {t o, t 1,..., t p }, t i [a, b], tal que a = t o < t 1 <... < t p = b. Definição 3.1. f : [a, b] V é um caminho de saltos se existem partição P = {t o,..., t p } de [a, b] e vetores v 1,..., v p V tais que f(t) = v i para t i 1 < t < t i. Assim, f tem valor constante em cada subintervalo aberto (t i 1, t i ) determinado pela partição P. O valor de f na extremidade t i não interessa, e 23

31 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO definimos p I P (t) = (t i t i 1 )v i V. i=1 Se Q é outra partição de [a, b], em relação à qual f é um caminho de saltos, vamos provar que I Q (f) = I P (f). Consideremos primeiro a partição obtida de P pelo acrescentamento de um único ponto c : P c = {t o,..., t k, c, t k+1,..., t p }. Então, I Pc (f) = (t 1 t 0 )v 1 + +(c t k )v k+1 +(t k+1 c)v k+1 + +(t p t p 1 )v p = = (t 1 t 0 )v (t k+1 t k )v k (t p t p 1 )v p = I P (f). Logo, acrescentando-se um número finito de pontos à partição P obtemos Q tal que I Q (f) = I P (f), ou seja, se Q P (isto é, se Q é um refinamento de P ), então I Q (f) = I P (f). Se R é uma partição arbitrária de [a, b], então Q = P R é um refinamento comum a P e R, donde I R (f) = I Q (f) = I P (f), o que mostra que o vetor I P (f) independe da partição P ; ele é a integral de f em [a, b] : I P (f) = b a f(t) dt. Representamos por S = S([a, b], V ) o conjunto dos caminhos de saltos f : [a, b] V. É fácil ver que S é um espaço vetorial real. Temos a aplicação I é linear e I : S V f I(f) = b f. a I(f) (b a) sup f(t), como se verifica imediatamente. a t b Definição 3.2. f : [a, b] V é um caminho regulado se f é o limite uniforme de uma sequência de caminhos de saltos. Seja B = B([a, b], V ) o espaço vetorial real dos caminhos limitados f : [a, b] V com a topologia da convergência uniforme, definida pela norma f = sup f(t). a t b S = S([a, b], V ) é um subespaço de B. O fecho (ou aderência) de S em B é o e.v.n. R = R([a, b], V ) dos caminhos regulados. Sejam f n, g n S, f n f, g n f, I n = b a f n, J n = b a g n, a convergência sendo uniforme. 24

32 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Temos: I n I m = b a (f n f m ) (b a) f n f m, donde Cauchy em V, e converge para I = lim n I n. Analogamente, seja (I n ) n 1 é de J = lim n J n. Vamos mostrar que I = J. Dado ε > 0, existe n 0 N tal que n n 0 implica f n f < ε e g n f < ε, donde f n g n < 2ε para n n 0. Logo, I n J n (b a) f n g n < 2ε(b a) para n n 0, donde resulta lim (I n J n ) = 0, e I = J. n Assim, se f n f e g n f, então mesmo vetor I, e podemos definir: b a f n e b a g n convergem em V para o Definição 3.3. Se f n S([a, b], V ) e f n f uniformemente, então lim está bem definido e se chama a integral de f em [a, b]. Notação: I = lim n a b n f n a b f n = b f. Proposição 3.1. Sejam f, g R = R([a, b], V ), λ R, T L(V, W ), V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Então, a (a) (b) (c) (d) b a b a (f + g) = b λf = λ b a a f; f + b a g; b f (b a) f ; a Ç å b b T f = T. f. a a Dem. Deixemos (a),(b),(c) como exercício e provemos (d). Temos: T f n T f T. f n f, donde (T f n ) n 1 converge uniformemente para T f se f n f uniformemente, f n S, e T f n S. Logo, T f R e, então, lim b n a T f n = b a T f. Mas, é imediato que b a T f n = T. Ä b a f ä n, e resulta b a T f = lim n T Ä b a f ä Ä n = T b a f ä, pois T é contínua. 25

33 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Proposição 3.2. Seja λ : [a, b] L(V, W ) um caminho regulado. Para cada h V fixo, o caminho t [a, b] λ(t).h W é regulado e b a λ(t).h dt = Ä b a λ(t) dtä.h. Dem. Seja λ n S ([a, b], L(V, W )), λ n λ uniformemente; então, f(t) = λ(t).h = = lim n λ n (t).h. Pondo f n (t) = λ n (t).h resulta que f n S ([a, b], W ) e que f n f uniformemente, donde f R([a, b], W ). Seja T : L(V, W ) W, T (g) = g(h). T é linear. Então, b a λ(t).h dt = b a (T λ)(t) dt = T. Proposição 3.3. Todo caminho contínuo Ñ b a λ(t) dt é = Ñ b a λ(t) dt é.h. f : [a, b] V pode ser uniformemente aproximado por caminhos de saltos, ou seja, C 0 ([a, b], V ) R ([a, b], V ). Dem. Como f é uniformemente contínua, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y [a, b], x y < δ implicam f(x) f(y) < ε. Seja n N tal que b a < δ e seja n P = {t 0,..., t p } a partição de [a, b] tal que t i t i 1 = b a para todo i. Se t n i 1 t < t i defina g n (t) = f(t i 1 ), donde g n S([a, b], V ) e sup a t b g n (t) f(t) ε. A proposição abaixo generaliza a Proposição 3.3. Proposição 3.4. f : [a, b] V é regulada se, e só se, para cada c (a, b) existem os limites laterais f(c 0), f(c + 0), bem como f(a + 0) e f(b 0). Dem. Seja a < c b e provemos que f(c 0) = lim f(t) existe, o caso f(c+0) t c sendo análogo. Como f é regulada, existe sequência (f n ) n 1, f n S, tal que f n f uniformemente. Seja v n = f n (c 0); dado ε > 0, existe n o N tal que m n n o implica f m (t) f n (t) < ε t [a, b]. Seja t < c tal que f n (t) v n < ε e f m (t) v m < ε. Resulta, v m v n < 3ε se m n n 0, isto é, (v n ) n 1 é de Cauchy em V, donde existe v = lim n v n. Provemos que v = f(c 0). Dado ε > 0, seja n 0 N tal que v n0 v < ε e f n0 (t) f(t) < ε t [a, b]; existe δ > 0 tal que c δ < t < c implica f n0 (t) v n0 < ε. Logo c δ < t < c implica f(t) v < 3ε, donde v = lim t c f(t). 26

34 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Reciprocamente, dado ε > 0, existe n N tal que c 1 n < t < c f(t) f(c 0) < ε, e c < t < c + 1 f(t) f(c + 0) < ε 2 n Ç. Resulta 2 que se x < c, y < c ou x > c, y > c, ambos em I c = c 1 n, c + 1 å, n então f(x) f(y) < ε (Nas extremidades os intervalos são I a = [a, a + 1 n ) e I b = (b 1, b]). Como [a, b] é compacto, existe número finito de tais intervalos n I c0,..., I cm, com a = c o < c 1 <... < c m = b, cuja união contém [a, b], e podemos supor que nenhum I ci esteja contido na união dos demais, donde existe t i I ci I ci+1, c i < t i < c i+1. Assim, f(x) f(y) < ε desde que x, y estejam ambos em (c i, t i ) ou ambos em (t i, c i+1 ). Definamos g n S pondo g n (c i ) = f(c i ), g n (t i ) = f n (t i ) e, em cada intervalo (c i, t i ) ou (t i, c i+1 ), tomando g n constante e igual ao valor de f num ponto (por exemplo, o ponto médio) do intervalo. Então, f(t) g n (t) < ε t [a, b], g n f uniformemente, e f é regulada. Corolário 3.1. f : [a, b] V contínuo f regulado. Corolário 3.2. f : [a, b] R monótono f regulado. Corolário 3.3. f R([a, b], V ) tem quantidade enumerável de descontinuidades. Dem. Seja f n S, f n f uniformemente. Como f n tem número finito de descontinuidades, o conjunto D das descontinuidades de todos os f n é enumerável. Como f é contínua fora de D (pois o limite uniforme preserva a continuidade) segue-se o resultado. Proposição 3.5. Seja f R([a, b], V ). Para todo x [a, b], temos: x a f + b x f = b Dem. Sejam g S, P = {t o,..., t p } partição de [a, b] tal que g(t i ) = v i, a f. 27

35 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO t i 1 < t < t i. Então, b a p g = (t i t i 1 )v i. i=1 Seja P x = {t 0, t 1,..., t i 1, x, t i,..., t p }. Então, x i 1 g = (t k t k 1 )v k + (x t i 1 )v i, a k=1 b x p g = (t i x)v i + (t k t k 1 )v k. k=1 Logo, x a g + b x g = b obtemos o caso f R. a g, e o teorema vale para g S. Por passagem ao limite Proposição 3.6. Seja f R([a, b], V ), e seja F (x) = x f(t) dt. Então: a (a) F é contínua; (b) f contínua F = f ( donde F C 1 ). Dem. (a) contínua. F (x + h) F (x) = x+h x f, donde F (x + h) F (x) h. f, e F é (b) f contínua F (x + h) F (x) f(x) h = 1 x+h [f(t) f(x)] dt h x sup t x h f(t) f(x), donde F = f, e F C 1. Corolário 3.4. (Teorema Fundamental do Cálculo). 28

36 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Seja f : [a, b] V de classe C 1. Então, Dem. Seja f(b) f(a) = b a f (t) dt. F (x) = x f (t) dt, donde F (x) = f (x), e f(x) = F (x) + C, a resultando f(a) = C,e F (x) = f(x) f(a), donde F (b) = b f (t) dt = = f(b) f(a). Proposição 3.7. Sejam f : A W, A V aberto, f de classe C 1, [a ; a + h] A, V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Então: f(a + h) f(a) = 1 f (a + th).h dt = 0 Ç 1 0 a å f (a + th) dt.h. Dem. Seja ϕ : [0, 1] W, ϕ(t) = f(a + th); então ϕ C 1, ϕ(0) = f(a), ϕ(1) = f(a + h) e ϕ (t) = f (a + th).h. Logo, ϕ(1) ϕ(0) = Ç å 1 = f (a + th) dt.h ϕ (t) dt, e f(a + h) f(a) = Proposição 3.8. (Teorema do Valor Médio). 1 0 f (a + th).h dt = Sejam f : A W, A V aberto, f C 1, V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Se [a, a + h] A, então f(a + h) f(a) h sup f (a + th). 0<t<1 Ç 1 Dem. De f(a + h) f(a) = f(a + h) f(a) h. 0 å f (a + th) dt.h, vem 1 0 f (a + th) dt h sup f (a + th). 0<t<1 29

37 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO. Corolário 3.5. Se A é convexo e f (x) k, então f é de Lipschitz : f(x 1 ) f(x 2 ) k x 1 x 2. Se f (x) = 0 resulta que f é constante no convexo A. Definição 3.4. Um espaço topológico X é conexo se X = A B, com A e B abertos disjuntos, implica X = A, B = ø. Proposição 3.9. Sejam X ø e Y espaços topológicos, Y sendo de Hausdorff, e f : X Y contínua. Se X é conexo e f é localmente constante (isto é, cada ponto possui uma vizinhança na qual f é constante), então f é constante em X. Dem. Sejam a x e b = f(a) Y ; então f 1 (b) é fechado em X e contém a. Como fé localmente constante resulta que f 1 (b) é aberto e, como X é conexo, vem que X = f 1 (b), donde f(x) = b x X. Proposição Sejam f : A W, f C 1, A V aberto conexo, V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita). Se f (x) = 0 x A, então f é constante. Dem. Sejam a A, B uma bola de centro a, contida em A. B é convexa, donde f é constante em B, ou seja, f é localmente constante. Como A é conexo, f é constante em A. Obs. Para f : A R, f C 1, A V aberto, temos uma igualdade do valor médio: f(b) f(a) = f (c).(b a), com c [a, b] A. Com efeito, seja ϕ : [0, 1] C 1 R, ϕ(t) = f(a + t(b a)). Então: ϕ(0) = f(a), ϕ(1) = f(b) e existe 30

38 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO c b a A t 0 (0, 1) tal que ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (t 0 ), donde f(b) f(a) = f (c).(b a), onde c = a + t 0 (b a) [a, b] A. No caso f : A W, dim W > 1, não temos igualdade em geral: por exemplo, seja f : R R 2, f(t) = e it = (cos t, sen t). Então, f (t) = i.e it = = ( sen t, cos t) 0 e f(2π) f(0) = 0 f (t 0 ).2π = 2πi.e it 0. Proposição Sejam f : A W, f C 1,A V aberto, [a, a + h] A, T L(V, W ), V e W e.v.n. (de dimensão finita e reais). Então, f(a + h) f(a) T.h h sup f (a + th) T. 0<t<1 Dem. Basta aplicar a Proposição 3.8 a g(x) = f(x) T (x). Corolário 3.6. Sejam f : A W, A V aberto, a A, f C 0 (A, W ), f C 1 (A {a}, W ). Se existe T = lim x a Df(x), então f C 1 (A, W ) e T = Df(a). Dem. Seja δ > 0 tal que (a + h) A para h < δ. Então, r(a, h) h f(a + h) f(a) T.h = h sup f (a + th) T, 0<t<1 31

39 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO donde lim h 0 r(a, h) h = 0 e T = Df(a). Proposição Seja A V aberto. Se uma sequência de aplicações f n : A C1 W, onde V e W são e.v.n. (reais e de dimensão finita), converge para f : A W e a sequência das derivadas f n : A C0 L(V, W ) converge uniformemente para g : A C0 L(V, W ), então f = g e f C 1. Dem. f n (x + h) f n (x) = 1 f n(x + th).h dt. Por passagem ao limite, vem: 0 f(x + h) f(x) = 1 0 g(x + th).h dt. Seja Então, r(h) = f(x + h) f(x) g(x).h = 1 0 [g(x + th) g(x)].h dt. r(h) r(h) h sup g(x + th) g(x), donde lim 0<t<1 h 0 h = 0, f = g e f C 1. Proposição Sejam A V aberto, f : A W de classe C 1, a A. Se f (a) : V W é injetora, existe vizinhança de a na qual f é injetora. Dem. T = f (a) : V f (a).v é um homeomorfismo linear, donde existe m > 0 tal que T.h m h, h V. Seja δ > 0 tal que h < δ a + h A e f(a + h) f(a) = T.h + r(h) com r(h) < m h. Então, 2 f(a + h) f(a) T h r(h) m 2 h. De f(x) f(a) = T (x a) + r(x) resulta que f C 1 implica r C 1 e que 32

40 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO r (a) = f (a) T = 0, e podemos escolher δ > 0 de modo que se tenha também r (x) < m 2 desde que x a < δ. Então, para x e y em B δ(a), temos r(x) r(y) < m 2 y x e, portanto, na bola B δ(a), vale f(y) f(x) = T (y x)+ +r(y) r(x) m 2 y x, donde f é injetora em B δ(a). 3.2 Exercícios do Capítulo 3 1. Seja f : I R n um caminho diferenciável. Se existirem a I, b R n tais que a seja ponto de acumulação de f 1 (b), prove que f (a) = Sejam f : [a, b] R n e ϕ : [a, b] R ambos de classe C 1. Se f (t) ϕ (t) para todo t (a, b), prove que f(b) f(a) ϕ(b) ϕ(a). 3. Sejam f, g : [a, b] R n de classe C 1. Prove que b f(t), g (t) dt = f(b), g(b) f(a), g(a) a a b f (t), g(t) dt, onde, é o produto interno usual de R n. 4. Sejam f : [a, b] R contínua, φ : [c, d] R de classe C 1 tal que β φ([c, d]) [a, b]. Prove que f(φ(t)) φ (t) dt = φ(β) f(x) dx, quaisquer que sejam α e β em [c, d]. α φ(α) 33

41 Capítulo 4 Derivadas Parciais Neste Capítulo introduzimos o conceito de derivada parcial. Como aplicação, demostramos o teorema de Leibniz de derivação sob o sinal de integração. 4.1 Derivadas Parciais Seja V = V 1 V 2 o produto cartesiano dos e.v.n. V 1 e V 2 ; cada x V se escreve de modo único como x = (x 1, x 2 ) com x 1 V 1 e x 2 V 2, e a função x sup { x 1, x 2 } é uma norma em V. Sejam A V aberto, W um e.v.n. e consideremos a aplicação f : A W. Se a = (a 1, a 2 ) A, sejam: A 1 = {x 1 V 1 ; (x 1, a 2 ) A} ; A 2 = {x 2 V 2 ; (a 1, x 2 ) A}. A 1 (resp. A 2 ) é aberto em V 1 (resp. V 2 ) pois é a função contínua λ 1 (x 1 ) = (x 1, a 2 ). A 1 = λ 1 1 (A) onde λ 1 : V 1 V 34

42 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS Seja f 1 = f λ 1 : A 1 W V 2 A 2 a 2 ) A a = (a 1, a 2 ) ) a 1 A 1 ( ) V 1 Definição 4.1. Dizemos que f é derivável parcialmente em relação a V 1 no ponto a = (a 1, a 2 ) A se f 1 : A 1 W é derivável em a 1 A 1, e definimos a derivada parcial D 1 f(a) L(V 1, W ) por D 1 f(a) = Df 1 (a 1 ). Usam-se também as notações f 1 f(a), (a) e f x x 1 (a) para D 1 f(a). 1 Analogamente definimos a derivada parcial de f em relação a V 2 no ponto a = (a 1, a 2 ), a saber, D 2 f(a) = Df 2 (a 2 ), onde f 2 = f λ 2 : A 2 W, λ 2 : V 2 V sendo dada por λ 2 (x 2 ) = (a 1, x 2 ). Assim, as derivadas parciais D 1 f(a) e D 2 f(a) são definidas pelas igualdades seguintes: f(a 1 + h 1, a 2 ) = f(a 1, a 2 ) + D 1 f(a 1, a 2 ).h 1 + r 1 (h 1 ); f(a 1, a 2 + h 2 ) = f(a 1, a 2 ) + D 2 f(a 1, a 2 ).h 2 + r 2 (h 2 ), r 1 (h 1 ) com lim h1 0 h 1 = lim r 2 (h 2 ) h 2 0 h 2 = 0. Proposição 4.1. Com as notações acima, se f é derivável em a = (a 1, a 2 ), então 35

43 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS as derivadas parciais existem e Df(a)(h 1, h 2 ) = D 1 f(a).h 1 + D 2 f(a).h 2. Dem. Como f é derivável em a, temos r(h) h = 0. lim h 0 Em particular, f(a + h) = f(a) + Df(a).h + r(h), com r(h 1 ) f(a 1 + h 1, a 2 ) = f(a) + Df(a)(h 1, 0) + r(h 1 ), com lim = 0, ou seja, h1 0 h 1 Df(a)(h 1, 0) = D 1 f(a).h 1. Analogamente, Df(a).(0, h 2 ) = D 2 f(a).h 2. Logo, Df(a).(h 1, h 2 ) = D 1 f(a).h 1 + D 2 f(a).h 2. Obs. A recíproca é falsa, isto é, a mera existência de D 1 f(a) e D 2 f(a) não implica a derivabilidade de f em a, como já vimos (Obs 2 da Seção 2.1 do Capítulo 2). Exemplo Seja R n = R n R. Se f : A R m, A R n aberto, é derivável em a A, então : D i f(a) L(R, R m ) R m (isometria canônica) é o Ç f f1 vetor (a) = D i f(a).1 = (a),..., f å m (a) R m, onde f = (f 1,..., f m ). x i x i x i Proposição 4.2. Sejam V 1, V 2, W e.v.n., V = V 1 V 2, A V aberto. f : A W é de classe C 1 se, e só se, as derivadas parciais D 1 f : A L(V 1, W ) e D 2 f : A L(V 2, W ) existem e são contínuas. Dem. Se f é derivável em a A vimos que Df(a).(h 1, 0) = D 1 f(a).h 1. Seja µ 1 : V 1 V, µ 1 (x 1 ) = (x 1, 0) ; µ 1 é linear e D 1 f(a) = Df(a) µ 1. A aplicação ψ 1 : L(V, W ) L(V 1, W ), ψ 1 (g) = g µ 1,é linear e D 1 f(a) = ψ 1 (Df(a)), 36

44 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS donde D 1 f = ψ 1 Df, e a continuidade de Df implica a de D 1 f. Analogamente se prova que D 2 f é contínua. Reciprocamente, suponhamos D 1 f e D 2 f contínuas. Para mostrar que f é derivável em a = (a 1, a 2 ) A, sejam h = (h 1, h 2 ), e r(h) = f(a + h) f(a) D 1 f(a)h 1 D 2 f(a)h 2. Então: r(h) f(a 1 + h 1, a 2 + h 2 ) f(a 1 + h 1, a 2 ) D 2 f(a).h f(a 1 + h 1, a 2 ) f(a 1, a 2 ) D 1 f(a).h 1 h 2. sup D 2 f(a 1 + h 1, a 2 + th 2 ) 0<t<1 D 2 f(a) + h 1. sup D 1 f(a 1 + th 1, a 2 ) D 1 f(a). 0<t<1 r(h) Logo, devido à continuidade de D 1 f e D 2 f, resulta que lim h 0 h = 0, mostrando que Df(a) existe e que Df(a)(h 1, h 2 ) = D 1 f(a).h 1 + D 2 f(a).h 2. Para i = 1, 2, se ϕ i : L(V i, W ) L(V, W ), ϕ i (g) = g π i, onde π i : V V i é a projeção, então ϕ i é linear e Df(a) = D 1 f(a) π 1 + D 2 f(a) π 2, donde Df = ϕ 1 D 1 f + ϕ 2 D 2 f, o que mostra ser Df contínua, ou seja, f é de classe C 1. Corolário 4.1. Sejam A R n aberto, f : A R m, f = (f 1,..., f m ). f C 1 (A, R m f ) se, e só se, todas as derivadas parciais : A R são x i contínuas, 1 i m. Proposição 4.3. Sejam A R n aberto e f : A [a, b] R m contínua. Então f é contínua em x A, uniformemente em relação a t [a, b]. Dem. Seja x 0 A. Dado ε > 0, existem V (t) = vizinhança aberta de t e r(t) > 0 tais que x x 0 < r(t) e s V (t) implicam f(x, s) f(x 0, t) < ε. Como [a, b] é compacto, existem vizinhanças V (t 1 ),..., V (t p ) que cobrem [a, b]. 37

45 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS Seja δ = inf 1 i p r(t i) > 0. Então, x x 0 < δ implica f(x, t) f(x 0, t) < ε para todo t [a, b], ou seja, x x 0 < δ implica sup f(x, t) f(x 0, t) ε, que é a a t b tese. Proposição 4.4. (Leibniz) por Sejam A R n aberto, f : A [a, b] R m contínua e F : A R m definida F (x) = b a f(x, t) dt. Então F é contínua. Além disso, se existe e é contínua a derivada parcial D 1 f : A [a, b] L(R n, R m ), então F (x) = b D 1 f(x, t) dt e F C 1. Dem. Temos: F (x+h) F (x) = b a [f(x + h, t) f(x, t)]dt (b a) sup f(x + h, t) f(x, t). a t b Como f é contínua em x uniformemente em t, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que h < δ implica sup f(x + h, t) f(x, t) < ε a t b b a. Então, a h < δ implica F (x + h) F (x) < ε, e F é contínua. Suponhamos agora D 1 f contínua. Temos: Ç å b r(h) = F (x + h) F (x) D 1 f(x, t) dt.h a = = b [f(x + h, t) f(x, t) D 1 f(x, t).h] dt a (b a) sup D 1 f(x + sh, t) D 1 f(x, t). h. a t b 0 s 1 Como D 1 f é contínua em x uniformemente em t, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que h < δ implica sup D 1 f(x+sh, t) D 1 f(x, t) < ε, donde r(h) < ε. h a t b b a 38

46 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS para h < δ, ou seja, F (x) = b a D 1 f(x, t) dt, resultando F C 1 (A, R m ). 4.2 Exercícios do Capítulo 4 1. Seja f : R 2 R definida por y 2. sen x se y 0; y f(x, y) = 0 se y = 0. Estude, em todo ponto de R 2, a continuidade de f, a existência e a continuidade das derivadas parciais de f, e a derivabilidade de f. 2. Seja f : R 2 R definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) = xy x2 + y sen 1 2 x2 + y 2 se (x, y) (0, 0). Prove que D 1 f e D 2 f existem em cada ponto (x, y) R 2, e que as funções x D 1 f(x, b), y D 1 f(a, y), x D 2 f(x, b), y D 2 f(a, y) são contínuas em R para cada (a, b) R 2, mas que f não e derivável em (0, 0). 3. Sejam I R um intervalo aberto, A R n aberto, f : I A R m contínua e tal que D 2 f existe e é contínua em I A, α, β : A I de classe C 1, e g : A R m, g(z) = β(z) f(u, z) du. Prove que g C 1 e que g (z) é a aplicação α(z) Ö è β(z) t D 2 f(u, z) du.t + (β (z).t)f(β(z), z) (α (z).t)f(α(z), z). α(z) 39

47 CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS 4. Sejam A R n f aberto e f : A R. Se as derivadas parciais = D i f x i existem e são limitadas numa vizinhança de a A, prove que f é contínua em a. 5. Seja f : R 2 R tal que f(0, 0) = 0 e f(x, y) = xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2 (x, y) (0, 0). Mostre que f C 1 (R 2, R). se 6. Seja f : A R m, onde A R n é aberto. Se A contém o segmento [a, b], e f é derivável em cada ponto de [a, b], prove que existe T L(R n, R m ) tal que f(b) f(a) = T (b a). 7. Seja f : R n R homogênea de grau p, isto é, f(tx) = t p f(x) para todo x R n e t > 0. (a) Se f é derivável em R n, prove a relação de Euler: pf(x) = n f x i (x) para todo x 0 de R n. i=1 x i (b) Reciprocamente, se f satisfaz a relação de Euler acima, c R n, c 0, e g(t) = f(tc) para t > 0, prove quef é homogênea de grau p. 40

48 Capítulo 5 Teorema da Função Inversa O resultado central deste capítulo é o teorema da função inversa, ou o equivalente teorema das funções implícitas. Dentre suas aplicações destacamos o teorema do posto e as formas locais das imersões e submersões. Como sempre, vamos supor que V e W sejam espaços vetoriais normados reais, ambos de dimensão finita. 5.1 Difeomorfismos. Teorema da Função Inversa Definição 5.1. Sejam A V, B W abertos. Dizemos que difeomorfismo se f é bijetora, derivável, e a aplicação inversa f : A B é um f 1 : B A é derivável. Se f é f 1 são de classe C 1 dizemos que f é um difeomorfismo de classe C 1, ou um C 1 difeomorfismo. Obs. Uma aplicação f : A B pode ser um homeomorfismo derivável sem ser um difeomorfismo, isto é, a aplicação f 1 : B A pode não ser derivável. Por exemplo, f : R R, f(x) = x 3, é um homeomorfismo derivável mas 41

49 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA f 1 (x) = 3 x não é derivável na origem. Proposição 5.1. Sejam A V, B W abertos e f : A B um homeomorfismo derivável em a A. Então, g = f 1 : B A é derivável em b = f(a) se, e só se, f (a) : V W é um isomorfismo e, neste caso, g (b) = [f (a)] 1. Dem. A necessidade é consequência direta da regra da cadeia (como já vimos antes). Suponhamos, então, que f (a) : V W seja um isomorfismo. Temos: y b = f(x) f(a) = f (a).(x a) + x a r(x), com x a lim r(x) = 0. Aplicando [f (a)] 1, vem: [f (a)] 1.(y b) = x a + x a [f (a)] 1.r(x), donde f (a) 1.(y b) (1 f (a) 1.r(x) ). x a e, pondo s(x) = f (a) 1.r(x), vem lim s(x) = 0, x a e x a y b f (a) 1 desde que x a seja suficientemente pequeno 1 s(x) para que s(x) < 1. Resulta: x a s(x) y b f (a) 1 s(x) 1 s(x), que tende a 0 (zero) quando y b (que equivale a x a). Portanto, g(y) g(b) = f (a) 1 (y b) x a s(x), com x a s(x) lim = 0, o que mostra que y b y b g = f 1 é derivável em b = f(a) e que g (b) = [f (a)] 1. Proposição 5.2. Sejam A V e B W abertos. Um homeomorfismo de classe C 1, f : A B, é um difeomorfismo de classe C 1 se, e só se, para todo x A, f (x) é um isomorfismo. 42

50 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA Dem. Se f (x) é um isomorfismo para cada x A, resulta, pela Proposição 5.1, que g = f 1 é derivável em cada ponto y B e que g (y) = f (x) 1. Para provar que g é contínua, observemos que g = h f g (onde h(t ) = T 1 ), composta de contínuas. A recíproca é imediata. Definição 5.2. Um ponto fixo de uma aplicação f : A X, onde A X, é um ponto x A tal que f(x) = x. Definição 5.3. Sejam M e N espaços métricos. f : M N é uma contração se existe k, 0 < k < 1, tal que d(f(x), f(y)) k d(x, y) quaisquer que sejam x e y em M. Proposição 5.3. (Teorema do ponto fixo de Banach). Seja M um espaço métrico completo. Toda contração f : M M tem um, e um único, ponto fixo. Dem. (a) Unicidade: se tivermos f(a) = a e f(b) = b então d(a, b) = = d(f(a), f(b)) k d(a, b), 0 < k < 1, donde d(a, b) = 0, e a = b. (b) Existência: Seja x 0 M arbitrário, e definamos uma sequência (x n ) n N por x 1 = f(x 0 ), x n+1 = f(x n ), n N. Temos: d(x 2, x 1 ) = d(f(x 1 ), f(x 0 )) k d(x 1, x 0 ) e, por indução, d(x n+1, x n ) k n d(x 1, x 0 ). Se n, p N, temos: d(x n+p, x n ) d(x n, x n+1 )+ +d(x n+p, x n+p 1 ) (k n + +k n+p 1 )d(x 1, x 0 ) kn 1 k d(x 1, x 0 ), donde (x n ) n N é sequência de Cauchy em M e, portanto, converge para um ponto a M. Então, a = lim x n+1 = lim f(x n ) = f(a), e a é ponto fixo de f. Proposição 5.4. Sejam A V aberto, f : A V tais que a aplicação ϕ : A V, ϕ(x) = f(x) x, seja uma contração. Então, f é um homeomorfismo de A sobre 43

51 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA um aberto de V. Dem. Sejam x e x em A ; temos: f(x) f(x ) = x x + ϕ(x) ϕ(x ) x x ϕ(x) ϕ(x ) (1 k) x x para algum k, 0 < k < 1. Resulta que f e injetora e que sua inversa g = f 1 : f(a) A satisfaz g(y) g(y ) 1 1 k y y, donde g = f 1 é contínua e f : A f(a) é um homeomorfismo. Resta provar que f(a) é aberto em V : sejam b = f(a), a A, e r > 0 tal que B r (a) = {x V ; x a r} A. Vamos mostrar que B = B (1 k)r (b) está contida em f(a) ; para isso, seja y B e vamos achar x A tal que y = f(x) = x + ϕ(x), isto é, x = y ϕ(x) = ϕ y (x), ou seja, devemos achar um ponto fixo para ϕ y : A V. Como ϕ y (x) ϕ y (x 0 ) = = ϕ(x 0 ) ϕ(x) k x x 0, ϕ y é uma contração. Ora, se x B r (a) temos ϕ y (x) a = y ϕ(x) a y ϕ(a) a + ϕ(x) ϕ(a) y b +k x a (1 k)r + kr = r, donde ϕ y (x) B r (a), isto é, ϕ y : B r (a) B r (a) é uma contração no espaço métrico completo B r (a), donde tem um único ponto fixo x B r (a) A, e y = f(x) f(a), donde B f(a), e f(a) é aberto em V. Proposição 5.5. Sejam a A, A V aberto, f : A W de classe C 1 tais que f (a) seja um isomorfismo. Existem vizinhanças abertas V a de a, W b de b = f(a), tais que f : V a W b seja um homeomorfismo. Dem. Seja g = f (a) 1 f : A V ; g é de classe C 1 e g (a) = id V, donde g(x) = g(a) + (x a) + ϕ 1 (x), e g(x) x = g(a) a + ϕ 1 (x) = ϕ(x), ϕ : A V, ϕ (a) = 0. Seja k R, 0 < k < 1 ; existe r > 0 tal que x B r (a) implica ϕ (x) < k, donde ϕ(x) ϕ(y) k x y (pelo Teorema do Valor Médio) para x e y em B r (a), isto é, ϕ : B r (a) V é uma contração. Pela Proposição 5.4, g é um 44

52 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA homeomorfismo de B r (a) sobre um aberto de V, donde f = f (a) 1 g : B r (a) W é um homeomorfismo de B r (a) sobre um aberto de W. Proposição 5.6. (Teorema da função inversa) Sejam A V aberto e f : A W de classe C 1. Se, em a A, f (a) é um isomorfismo, existem vizinhanças abertas V a de a e W b de b = f(a) tais que f : V a W b seja um difeomorfismo de classe C 1. Dem. Pela Proposição 5.5 existem vizinhanças abertas V a de a, W b de b = f(a) tais que f : V a W b seja um homeomorfismo; além disso, f (x) existe para todo x V a. Como f : A L(V, W ) é contínua e Isom (V, W ) é aberto em L(V, W ), resulta que (f ) 1 (Isom(V, W )) é um aberto em A contendo a, donde existe vizinhança aberta V a de a, V a V a, tal que f (x) Isom(V, W ) para todo x V a. Seja W b = f(v a ); W b é aberto em W pois f é homeomorfismo. Assim, f : V a W b é um homeomorfismo de classe C 1 tal que f (x) é um isomorfismo para todo x V a ; pela Proposição 5.2, f : V a W b é um difeomorfismo de classe C 1. Corolário 5.1. Com as notações da Proposição 5.6, f : A W de classe C 1 é um difeomorfismo de classe C 1 se, e só se: (a) f é injetora; e (b) f (x) é um isomorfismo para todo x A. Dem. Se f é um difeomorfismo de classe C 1 é claro que (a) e (b) se verificam. Reciprocamente, suponhamos que (a) e (b) sejam verdadeiras. A condição (b) implica que f : A W é uma aplicação aberta já que a Proposição 5.6 mostra que se a A, a imagem por f de uma vizinhança aberta de a contém uma vizinhança aberta de b = f(a); em particular, f(a) é aberto em W. Por (a) temos que f : A f(a) é bi- 45

53 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA jetora e, como ela é continua e aberta, g = f 1 é contínua e, portanto, f : A f(a) é um homeomorfismo. Pela Proposição 5.2, f é um difeomorfismo de classe C 1. Definição 5.4. Sejam V e W e.v.n., A V aberto. Uma aplicação f : A W é um difeomorfismo local se, para cada x A, existem vizinhanças V x de x e W f(x) de f(x) tais que f : V x W f(x) seja um difeomorfismo. Obs. 1: Se f : A W é um difeomorfismo local então f (x) : V W é isomorfismo para todo x A e f : A W é uma aplicação aberta. f : A f(a) será um difeomorfismo se, e só se, f for injetora. A Proposição 5.6 afirma que se f é de classe C 1 e f (x) é um isomorfismo para todo x A, então f é um difeomorfismo local. Obs. 2: No caso V = W = R n, A R n aberto, f : A R n, f = (f 1,..., f n ) C 1 (A, R n ), dizer que f (a) : R n R n é um isomorfismo é o mesmo que dizer que a matriz jacobiana ( f i x j (a) ) é invertível, isto é, equivale a dizer que det ( f i x j (a) ) = = (f 1,...,f n) (x 1,...,x n) (a) 0. Assim, se este jacobiano é 0, existem vizinhanças abertas V a de a e W b de b = f(a) tais que f : V a W b seja um difeomorfismo de classe C Aplicações de Posto Constante Definição 5.5. Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita e T : V W linear. O posto de T é a dimensão de T (V ) = Im T. Definição 5.6. Sejam V e W e.v.n., dim V = n, dim W = m, A V aberto, f : A W derivável. O posto de f em a A é o posto de f (a) L(V, W ). Dizemos que: (a) f é uma imersão se, para todo x A, f (x) é injetora, ou seja, o posto de f é igual a n em cada x A. 46

54 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA (b) f é uma submersão se, para todo x A, f (x) é sobrejetora, ou seja, o posto de f é igual a m em cada x A. (c) f é um mergulho se f é uma imersão e um homeomorfismo de A sobre f(a). As imersões e submersões são aplicações de posto máximo. Definição 5.7. Sejam U, V, W, Z e.v.n., f : U V, g : W Z aplicações de classe C 1. (a) Dizemos que f é C 1 conjugada a g se existem difeomorfismos de classe C 1, ϕ : U W e ψ : V Z tais que o diagrama abaixo seja comutativo, isto é, ϕ U W g f V Z ψ g ϕ = ψ f. (b) Dizemos que f é localmente C 1 - conjugada a g na vizinhança de a U se existem aberto A U, a A, aberto B V, f(a) B, aberto C de W e aberto D Z tais que f : A B e g : C D sejam C 1 conjugadas. Exemplo A inclusão i : V V W, i(x) = (x, 0), é uma imersão. Exemplo A projeção π : V W W, π(x, y) = y, é uma submersão. Exemplo Todo C 1 difeomorfismo é C 1 conjugado à identidade pois o diagrama abaixo é comutativo. Proposição 5.7. (Teorema do posto) 47

55 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA id U U f id V U f 1 Sejam A R n aberto, f : A R m de classe C 1, de posto r numa vizinhança V a de a A. Então, f é localmente C 1 conjugada à aplicação linear (x 1,..., x n ) (x 1,..., x r, 0,..., 0) de R n em R m. Dem. Como f (a) : R n R m tem posto r, existem bases ordenadas E = (v 1,..., v n ) de R n e F = (ω 1,..., ω m ) de R m tais que B = [f (a)] E F = I r 0, isto é, 0 0 B(x 1,..., x n ) t = (x 1,..., x r, 0,..., 0) t. Sejam: p : R m R r, p(y 1,..., y m ) = (y 1,..., y r ), q : R n R n r, q(x 1,..., x n ) = (x r+1,..., x n ), f = (f 1,..., f m ), e definamos ϕ : A R n por ϕ = (p f, q), ou seja, ϕ(x) = ϕ(x 1,..., x n ) = (f 1 (x),..., f r (x), x r+1,..., x n ). Temos: (p f) (a) = p f (a) e q (a) = q, de modo que ϕ (a)(x) = = (x 1,..., x r, x r+1,..., x n ), e ϕ (a) = id R n. Pelo teorema da função inversa, existe vizinhança U a de a tal que ϕ : U a ϕ(u a ) seja um C 1 difeomorfismo. Seja Ω = U a V a. Para u = ϕ(x), x Ω, temos f ϕ 1 (u) = (f 1 (x),..., f m (x)) = = (u 1,..., u r, g r+1 (u),..., g m (u)), onde g j = f j ϕ 1, r + 1 j m, é de classe C 1 e, como ϕ é um difeomorfismo, o posto de f ϕ 1 é r em todo u ϕ(ω). 48

56 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA Temos: J(f ϕ 1 I r 0 )(u) = ñ ô gi, (u) u j de posto r. g i Logo: (u) = 0 para r +1 i m e r +1 j n. Sem perda de generalidade podemos considerar ϕ(ω) como um aberto convexo ( por exemplo uma u j bola aberta de centro ϕ(a)), o que implica que g r+1,..., g m independem de u r+1,..., u n. Assim, f ϕ 1 (u 1,..., u n ) = (u 1,..., u r, g r+1 (u 1,..., u r ),......, g m (u 1,..., u r )). Definamos ψ, numa vizinhança de f(a), por ψ(z 1,..., z r, z r+1,,..., z m ) = (z 1,..., z r, z r+1 g r+1 (z 1,..., z r ),..., z m g m (z 1,..., z r )). Temos que ψ C 1 tem inversa ψ 1 (z 1,..., z r,..., z m ) = (z 1,..., z r, z r g r+1 (z 1,..., z r ),..., z m + g m (z 1,..., z r )) também de classe C 1, isto é, ψ é um C 1 difeomorfismo. Além disso, ψ f ϕ 1 (u) = ψ(u 1,..., u r, g r+1 (u 1,..., u r ),......, g m (u 1,..., u r )) = (u 1,..., u r, 0,..., 0), donde f é localmente C 1 conjugada a (u 1,..., u n ) (u 1,..., u r, 0,..., 0) : ϕ Ω f f(ω) ψ ϕ(ω) ψ f ϕ 1 ψ(f(ω)) Corolário 5.2. (Forma local das imersões). Sejam A R n aberto, f : A R m de classe C 1, a A tais que f (a) : R n R m seja injetora. Então, f é localmente C 1 conjugada à aplicação linear (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n, 0,..., 0) de R n em R m. 49

57 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA Dem. f (a) sendo injetora, existe vizinhança aberta de a na qual f (x) é injetora, ou seja, de posto n, e a Proposição 5.7 se aplica. Corolário 5.3. (Forma local das submersões). Sejam A R n aberto, f : A R m de classe C 1, a A tais que f (a) : R n R m seja sobrejetora. Então, f é localmente C 1 conjugada à aplicação linear (x 1,..., x n ) (x 1,..., x m ) de R n em R m. Dem. f (a) sendo sobrejetora, existe vizinhança aberta de a na qual f (x) é sobrejetora, ou seja, de posto m, e a Proposição 5.7 se aplica. Obs. A demonstração da Proposição 5.7 mostra que, no caso das submersões (r = m), temos ψ = id R n e ϕ = (f, q). Escrevendo x = (s, t), onde s = (x 1,..., x m ) e t = (x m+1,..., x n ), e definindo β(s, t) = (t, s), temos que β é um difeomorfismo de classe C 1, o mesmo acontecendo com ϕ 1 = β ϕ, e temos: x = (s, t) ϕ β ϕ(x) = (f(x), t) (t, f(x)) π 2 f(x), ou seja, π 2 ϕ 1 = f, isto é, f é localmente C 1 conjugada à aplicação π 2 : R n m R m R m, π 2 (t, s) = s. Corolário 5.4. (Teorema das funções implícitas). Sejam A R n = R m R n m aberto, f : A R m de classe C 1. Suponha que a = (s 0, t 0 ) A e que D 1 f(a) : R m R m seja um isomorfismo. Existem abertos V R n m, t 0 V, e Ω A, a Ω, tais que para cada t V existe um único g(t) R m satisfazendo às condições: (g(t), t) Ω e f(g(t), t) = f(a) = c. A aplicação g : V R m é de classe C 1 e g (t) = D 1 f(g(t), t) 1 D 2 f(g(t), t). 50

58 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA Dem. Como f (a) : R n R m é sobrejetora, existe C 1 - difeomorfismo ϕ : Ω ϕ(ω) de um aberto Ω A, a Ω, ϕ(s, t) = (f(s, t), t) tal que π 1 ϕ = f. Podemos tomar ϕ(ω) = W V, onde V é vizinhança aberta de t 0 e W é vi- R m R n m Ω f R m ϕ π 1 R m R n m ϕ(ω) = W V zinhança aberta de f(a) = c. Seja h = ϕ 1, donde h ϕ(s, t) = (s, t) = = h(f(s, t), t) = (h 1 (s, t), t). Definamos g : V R m por g(t) = h 1 (c, t). Então, (g(t), t) Ω e f h(ω, t) = f(h 1 (ω, t), t) = ω, e f(g(t), t) = c. É claro que g C 1 (pois h C 1 ); derivando f(g(t), t) = c, vem D 1 f(g(t), t).g (t)+ +D 2 f(g(t), t) = 0, donde g (t) = D 1 f(g(t), t) 1 D 2 f(g(t), t). Unicidade. Seja (s, t) Ω tal que f(s, t) = c. Então, (s, t) = h ϕ(s, t) = = h(f(s, t), t) = h(c, t) = (g(t), t), e s = g(t). Obs. Na literatura é mais usual supor A R n m R m, D 2 f(a) : R m R m isomorfismo, e obter a 2 a variável em função da 1 a. Para obter essa formulação usa-se a simetria β(t, s) = (s, t) e aplica-se a forma local das submersões à função f β, conforme o esquema: Ω = β 1 (Ω), ϕ 1 = β ϕ β 1. Então, ϕ(s, t) = (f β(s, t), t) = = (f(t, s), t), donde ϕ 1 (t, s) = (t, f(t, s)), e π 2 ϕ 1 = f. Definimos g : V R m por g(t) = h 2 (t, c). Como antes, obtemos g C 1, f(t, g(t)) = c, e g (t) = = D 2 f(t, g(t)) 1 D 1 f(t, g(t)). 51

59 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA R n m R m Ω β f R m R n m Ω ϕ f β R m R m R n m ϕ(ω ) π 2 β R n m R m βφ(ω ) = ϕ 1 (Ω) = V W Obs. (1) f 1 (c) Ω = {(t, g(t)) ; t V } é o gráfico da aplicação g : V R m de classe C 1. (2) Em coordenadas, f = (f 1,..., f m ). É dado o sistema f 1 (t, s) = c 1,..., f m (t, s) = = c m, onde as f i : A R são de classe C 1. Supondo que o jacobiano (f 1,..., f m ) (x 1,..., x m ) seja 0 no ponto (t 0, s 0 ), concluímos que o sistema acima é equivalente ao sistema s i = g i (t), 1 i m, onde as g i são de classe C 1, desde que t seja "vizinho" de t 0 e s de s 0. Como os nomes das variáveis mudam de um problema a outro, devemos observar que o jacobiano a ser calculado é o das derivadas parciais das funções dadas em relação às incógnitas que queremos obter. (3) Toda submersão de classe C 1 é uma aplicação aberta, pois é localmente C 1 - conjugada a uma projeção. De fato, f leva vizinhança aberta Ω de (t, s) em vizinhança aberta W de f(t, s). (4) Para bem compreender o significado geométrico da Proposição 5.7 e seus Co- 52

60 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA rolários, o leitor deverá estudar as figuras que aparecem na Seção 5 do capítulo de Variedades Diferenciais. 5.3 Exercícios do Capítulo 5 1. Seja U um aberto do R n contendo a origem, e seja A : U L(R n, R n ) de classe C 1. Seja B : U R n definida por B(x) = A(x) x. Mostre que se A(0) é um isomorfismo, existem vizinhanças abertas V e W de 0 em R n tais que B seja um C 1 -difeomorfismo de V sobre W. 2. Seja ϕ : L(R n ) L(R n ) definida por ϕ(u) = u u. Mostre que ϕ é um difeomorfismo de classe C 1 de uma vizinhança da identidade I numa vizinhança de I. 3. Seja f : R 2 R 2, f(x, y) = (xe y, xe y ). Mostre que para todo (a, b) R 2 tal que a 0, existe vizinhança U de (a, b) na qual a equação f(x, y) = (u, v) admite uma solução única, qualquer que seja (u, v) f(u). 4. Seja o sistema de incógnita (x, y, z, t) R 4 : x 3 + y 3 + z 3 + t 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 + t = 2 x + y + z + t = 0 Verifique que o ponto (0, 1, 1, 0) é solução. Mostre que se pode resolver este sistema em relação a (x, y, z) numa vizinhança deste ponto. Calcule a derivada em t = 0 da aplicação t (x(t), y(t), z(t)) assim definida. 53

61 CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 5. Seja f : M n (R) M n (R) tal que f(a) = A 2. Mostre que f é de classe C 1 e calcule f (A). Mostre que existe uma aplicação derivável g, definida numa vizinhança V da identidade I em M n (R), a valores em M n (R), tal que g(a) 2 = A para toda A V. 6. Seja f : R 2 R 2 tal que f(x, y) = (x 2 y 2, 2xy). Mostre que f é injetora em A = {(x, y) R 2 x > 0} e ache g (0, 1), onde g = f 1 : f(a) A. 7. Seja f : R n R n, f(x) = x x. Mostre que f C e que f : B 1 (0) B 1 (0) é bijetora, onde B 1 (0) = {x R n ; x < 1}. Se g = f 1 : B 1 (0) B 1 (0), mostre que g não é derivável em Seja f : R 5 R 2 de classe C 1 tal que f(a) = f(1, 2, 1, 3, 0) = 0 e Jf(a) = Mostre que existem B R 3 aberto e g : B R 2, g C 1, tal que f(x 1, g 1 (x), g 2 (x), x 2, x 3 ) = 0 para x = (x 1, x 2, x 3 ) B, e g(1, 3, 0) = (2, 1). Ache g (1, 3, 0). 9. Seja f : [0, 1] R, contínua e positiva, tal que 1 f(t)dt = 3. Mostre que, 0 para cada x num certo intervalo [0, δ], existe um único g(x) [0, 1] tal que g(x) f(t)dt = 2, e que a função g : [0, δ] [0, 1] é de classe C 1. Ache g (x). x 10. Seja ϕ : R m R n R m contínua em relação à segunda variável, e tal que ϕ(x, t) ϕ(y, t) λ. x y para um certo λ, 0 < λ < 1, quaisquer que sejam x e y em R m e t em R n. Prove que existe aplicação contínua α : R n R m tal que ϕ(α(t), t) = α(t) para todo t R n. 54

62 Capítulo 6 Derivação de Ordem Superior Neste capítulo introduzimos as derivadas de ordem superior, demonstramos o teorema de Schwarz sobre a simetria da derivada segunda, e estudamos a fórmula de Taylor. 6.1 Derivação de Ordem Superior Sejam, como sempre, U, V e W e.v.n. reais de dimensão finita, A V aberto e f : A W. Se f é derivável em todas os pontos de A, temos a aplicação derivada Df = f : A L(V, W ). Se Df é contínua então f é de classe C 1. Definição 6.1. Se Df é derivável em a A então sua derivada D(Df)(a) = = D 2 f(a) = f (a) é a derivada segunda de f em a. Temos: D 2 f(a) : V L(V, W ), linear, ou seja, D 2 f(a) L(V ; L(V, W )) L 2 (V, W ) (isometria canônica), de forma que f (a) = D 2 f(a) é uma aplicação 55

63 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR bilinear: f (a) : V V W (u, v) f (a)(u, v) = D 2 f(a)(u)(v). Definição 6.2. Se f é duas vezes derivável em A e f : A L 2 (V, W ) é contínua, dizemos que f é de classe C 2 em A, e escrevemos f C 2 (A ; W ). As derivadas de ordem superior são definidas por indução. Se f : A W é (k 1) vezes derivável em A, então sua (k 1) ésima derivada é uma aplicação D k 1 f : A L k 1 (V ; W ), onde L k 1 (V ; W ) é o espaço vetorial real das aplicações (k 1) lineares de V em W. Se D k 1 f for derivável em a A, diremos que f é k vezes derivável em a e definimos D k f(a) = D(D k 1 f)(a). Assim, D k f(a) : V L k 1 (V ; W ) é linear, isto é, D k f(a) L(V ; L k 1 (V, W )) L k (V, W )(isometria canônica), ou seja, D k f(a) é uma aplicação k linear de V em W. Se f for k vezes derivável em A, temos a aplicação D k f : A L k (V ; W ). Se D k f é contínua, dizemos que f é de classe C k em A, e escrevemos f C k (A, W ). Definição 6.3. Dizemos que f : A W é de classe C se ela é de classe C k para todo k N. f é de classe C 0 se f é continua. Assim, C = k=0 C k. Obs. C k = C k (A ; W ) é um espaço vetorial real e D : C k (A ; W ) C k 1 (A, L(V, W )) é linear. 56

64 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR Exemplo Sejam A R n, f : A R m, f = (f 1,..., f m ). f C k cada f i C k. Neste caso, D j f(x) = (D j f 1 (x),..., D j f m (x)). Exemplo Toda aplicação linear T : V W é de classe C pois T (x) = T para todo x V, donde D k T = 0 para k 2. Exemplo Toda aplicação bilinear B : U V W é de classe C pois B : U V L(U, V ; W ) é linear. Em geral, toda aplicação multilinear é de classe C. Exemplo L 2 (R n, R) tem uma base natural que consiste das formas bilineares dx i dx j : R n R n R definidas por (dx i dx j )(u, v) = dx i (u) dx j (v), donde (dx i dx j )(e h, e k ) = δ ih δ jk, onde (e 1,..., e n ) é a base canônica do R n. De fato, se g L 2 (R n, R) então g(u, v) = g( n n a i e i, b j e j ) = n a i b j g(e i, e j ) = i=1 j=1 = n i,j=1 g ij a i b j. Mas, a i = dx i (u) e b j = dx j (v). Logo, g(u, v) = n = n i,j=1 g ij dx i dx j (u, v). Portanto, g = n g ij dx i dx j, onde g ij = g(e i, e j ). i,j=1 i,j=1 i,j=1 g ij dx i (u)dx j (v) = Assim, as formas ε ij = dx i dx j geram L 2 (R n, R). Elas são linearmente independentes pois se λ ij ε ij = 0, então λ ij ε ij (e h, e k ) = 0, isto é, λ ij δ ih δ jk = 0, n i,j=1 i,j i,j donde λ hk = 0 (h, k = 1,..., n). Resulta que as formas ε ij = dx i dx j formam uma base de L 2 (R n, R). Se f : A R n R é 2 vezes derivável em A, então D 2 f(x) L 2 (R n, R), para todo x A. Procuremos a matriz de D 2 f(x) em relação à base canônica do R n. Seja α i : L(R n, R) R linear, α i (u) = u(e i ). Como f x i (a) = f (a) e i, temos 57

65 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR f = α i f : A R. x i Então: (α j Df) (a) = Dα j (f (a)) D 2 f(a) = α j D 2 f(a). E : D 2 f(a)(e i )(e j ) = α j (D 2 f(a))(e i ) = (α j Df) (a)(e i ) = = x i Ç f x j å (a) = 2 f x i x j (a). Resulta que a matriz de D 2 f(a) procurada é a matriz hessiana x i (α j Df)(a) = H f (a) = 2 f (a) x f x n x 1 (a) 2 f x 1 x n (a). 2 f x 2 n. E a expressão de D 2 f(a) em função da base {dx i dx j } de L 2 (R n ; R) é D 2 f(a) = n i,j=1 que classicamente se escrevia d 2 f(a) = n Exemplo Função Composta. 2 f x i x j (a) dx i dx j, i,j=1 2 f x i x j (a) dx i dx j. Se f C 1 (A, V ), g C 1 (B, W ) e f(a) B, então h = g f C 1 (A, W ), como já vimos antes. Vamos provar que f C k, g C k g f = h C k. Por indução, suponhamos o teorema verdadeiro para (n 1)(n 2), e provemos que h C n 1. Ora, h (x) = g (f(x)) f (x). Como g f C n 1, f C n 1 e a composição é bilinear (donde C ) 58

66 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR resulta que h C n 1, e h C n (Para mais detalhes veja a demonstração do caso n=1 no Corolário 2.1, Seção 2.2 do Capítulo 2). Exemplo Inversão de matrizes. Já vimos, no Capítulo 2, que f : GL(R n ) L(R n ), f(x) = X 1, é de classe C 1 e que f (X).H = X 1.H.X 1, donde f = ϕ ξ, onde ξ(x) = = (X 1, X 1 ) = (f(x), f(x)) e ϕ(t, S).H = T.H.S. Como ϕ é bilinear, donde C, f C k 1 implica ξ C k 1 e resulta f C k 1, e f C k para todo k N, donde f C. (Veja o caso k=1 no Capítulo 2). Proposição 6.1. Sejam A V e B W abertos e f : A B um C 1 - difeomorfismo. Se f é de classe C k então a inversa g = f 1 também é de classe C k (Dizemos que f é um C k difeomorfismo). Dem. Como g (y) = (f (g(y))) 1 para y B, g é a composta de: (a) g : B A; (b) f : A L(V, W ); (c) X Isom(V, W ) F X 1 L(W ; V ). Por indução suponhamos o teorema verdadeiro para (k 1). Então, f C k 1, F C e g C k 1. Logo, g C k 1, e g C k. Corolário 6.1. Se um homeomorfismo f : A B é de classe C k (k 1) e se f (x) Isom(V, W ) para todo x A, então f é um C k difeomorfismo. Dem. Para k = 1 é a Proposição 5.2 do Capítulo 5, e f é um C 1 difeomorfismo de classe C k, donde f 1 C k, e f é um C k - difeomorfismo. 59

67 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR Obs. (1) No teorema da função inversa (Proposição 5.6 do Capítulo 5), se supusermos que f C k, então f : V a W b (notação da Proposição 5.6 do Capítulo 5) será um C k difeomorfismo. (2) No teorema do posto (Proposição 5.7 do Capítulo 5), se supusermos que f C k (k 1), então f será localmente C k conjugada (definição óbvia) à aplicação linear (x 1,..., x n ) (x 1,..., x r, 0,..., 0). (3) No teorema das funções implícitas, se supusermos que f C k (k 1), poderemos concluir que g C k (notação daquele teorema). Proposição 6.2. (Teorema de Schwarz) Sejam A V aberto, f : A W duas vezes derivável em a A. Então, f (a) L 2 (V ; W ) é simétrica, isto é, (f (a) h) k = (f (a) k) h para h, k V quaisquer. Dem. Para simplificar a demonstração vamos supor que f C 2 (A, W ). Seja (h, k) = f(a + h + k) f(a + h) f(a + k) + f(a) = (k, h). Então, (h, k) f (a)(h, k) = (h, k) (f (a) h) k = = 1 0 f (a + h + sk) k ds = 1 0 = 1 0 f (a + sk) k ds 1 0 f (a) h k ds = [f (a + h + sk) f (a + sk) f (a) h] k ds = ds (utilizamos a Proposição 3.7 do Capítulo 3). 0 [f (a + th + sk) f (a)] dt (h) (k) 60

68 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR Como f C 2, dado, ε > 0, existe δ > 0 tal que h δ, k δ implicam f (a + sk + th) f (a) < ε 2 para s, t [0, 1] quaisquer. Portanto, (h, k) f (a)(h, k) ε h k desde que 2 h δ, k δ. Então, f (a)(h, k) f (a)(k, h) < ε h k desde que h δ, k δ. Os dois membros dessa desigualdade são homogêneos do 2 grau em h, k, donde a mesma desigualdade vale para h, k arbitrários. Resulta que a aplicação bilinear (h, k) [f (a)(h, k) f (a)(k, h)] tem norma menor do que ε, donde ela é igual a zero, ou seja, f (a)(h, k) = f (a)(k, h) para h, k quaisquer, isto é, f (a) é simétrica. Proposição 6.3. Sejam A V aberto, f : A W de classe C 2. Ç å f f Se k V, então k : A W é de classe C1 e D (a)h = Ç kå = D 2 f f(a)(h, k) para todo h V, ou seja, se a A, (a) = h k = 2 f h k (a) = D2 f(a)(h, k). Além disso, 2 f h k = 2 f k h. f f Dem. A aplicação : x A (x) = Df(x).k W é a composta de k k x A Df(x), que é de classe C 1, com α : T L(V, W ) T (k) que é linear, donde de classe C. Então : f f = α Df, donde k k C1 e D = α (D 2 f(a)(h)) = D 2 f(a)(h, k), ou seja, = 2 f (a), donde a tese. k h Ç å Ç å f f (a) = α D 2 f(a), e D (a).h = k k 2 f h k (a) = D2 f(a)(h, k) = D 2 f(a)(k, h) = Proposição 6.4. Seja f : A V W n vezes derivável em a A. Então, f (n) (a) L n (V ; W ) é simétrica, isto é, se σ é uma permutação de {1, 2,..., n} e h 1,..., h n V, temos f (n) (a)(h 1,..., h n ) = f (n) (a)(h σ(1),..., h σ(n) ). 61

69 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR Dem. Para n = 2 é o teorema de Schwarz. Para n 3, suponhamos que f (n 1) (x) seja simétrica para todo x numa vizinhança aberta V a de a. f (n) (a) é a derivada de f (n 1) : V a L (n 1) (V, W ). Para h 1 V fixo, f (n) (a) h 1 é (n 1) linear simétrica, isto é, (f (n) (a) h 1 )(h 2,..., h n ) = f (n) (a)(h 1,..., h n ) é função simétrica das últimas (n 1) variáveis, e basta mostrarmos que f (n) (a)(h 1, h 2,..., h n ) não se altera quando permutamos h 1 e h 2 (já que toda σ é um produto de transposições). Temos: f (n) (a) = (D 2 f (n 2) )(a), donde f (n) (a)(h 1, h 2 ) = D 2 f (n 2) (a)(h 1, h 2 ) = D 2 f (n 2) (a)(h 2, h 1 ). Portanto, f (n) (a)(h 1,..., h n ) = f (n) (a)(h σ(1),..., h σ(n) ). 6.2 Fórmula de Taylor Proposição 6.5. Seja ϕ : [0, 1] W de classe C n+1 (num aberto contendo [0, 1]). Então: ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) + ϕ (0) 2! + + ϕ(n) (0) n! (1 t) n ϕ (n+1) (t) dt. n! Dem. Seja Temos: f(t) = n k=0 (1 t) k ϕ (k) (t), 0 t < 1, f(1) = ϕ(1). k! f (t) = n k=0 (1 t) k ϕ (k+1) (t) n k! k=1 = n+1 (1 t) k 1 k=1 (k 1)! ϕ(k) (t) n (1 t) k 1 k=1 (k 1)! ϕ(k) (t) = (1 t) k 1 (k 1)! ϕ(k) (t) = (1 t)n ϕ (n+1) (t). n! 62

70 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR Como f C 1, temos: f(1) f(0) = 1 0 (1 t) n ϕ (n+1) (t) dt, n! ou seja, ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) + + ϕ(n) (0) n! Corolário 6.2. Se ϕ (n+1) (t) M para t [0, 1], então (1 t) n ϕ (n+1) (t) dt. n! ϕ(1) ϕ(0) 1 n! ϕ(n) (0) M n! 1 0 (1 t) n dt = M (n + 1)!. Proposição 6.6. Seja f : A V W de classe C n+1. Se [a, a + h] A então: f(a + h) = f(a) + f (a) h n! f (n) (a) h n + 0 (1 t) n f (n+1) (a + th) h n+1 dt, n! n onde h n = (h, h,..., h). Esta é a fórmula de Taylor. Dem. Seja ϕ : [0, 1] W, ϕ(t) = f(a + th). Então ϕ C n+1 e ϕ (k) (t) = = f (k) (a + th) h k. Pela Proposição 6.5, temos: ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) n! ϕ(n) (0) + donde 1 0 (1 t) n ϕ (n) (t) dt, n! f(a + h) = f(a) + f (a) h + 1 2! f (a) h n! f (n) (a) h n + 63

71 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR (1 t) n f (n+1) (a + th)h n+1 dt. n! Corolário 6.3. Se f (n+1) (x) M para todo x A, vem: f(a+h) f(a) 1 n! f (n) (a) h n = r( h n ) ou seja, M (n + 1)! h n+1, donde lim h 0 r( h n ) h n = 0, f(a + h) = f(a) + f (a) h n! f (n) (a) h n + r( h n ), onde r( h n ) lim = 0. h 0 h n Obs. Pode provar-se que a fórmula acima é ainda válida supondo-se f : A W (n 1) vezes derivável em A e n vezes derivável em a A. 6.3 Exercícios do Capítulo 6 1. Sejam V um e.v.n. (real e de dimensão finita) e f : L(V ) L(V ), f(x) = X n. Prove que f (i) (X) n! (n i)! X n i. 2. Sejam V um e.v.n. (real e de dimensão finita), A V um aberto conexo e f n : A V, n N, uma sequência de funções de classe C tal que a série f n (x) converge em cada x A e que a série das derivadas f n (i) (x) n converge uniformemente em A, onde i = 1, 2,.... Conclua que f = f n é de classe C em A. Prove que exp : L(V ) L(V ), exp(x) = X n é de n=0 n! classe C. 3. Seja X uma matriz quadrada de ordem p. Prove que, se X I < 1 2, a 64

72 CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR série n=0 Ñ 1/2 n é (X I) n converge para Y tal que Y 2 = X. 4. Sejam U, V, W e.v.n., A U, B V abertos, f : A B e g : B W duas vezes deriváveis. Para x A, prove que (g f) (x)(h, k) = g (f(x)) f (x) (h, k)) + g (f(x)) (f (x) h, f (x) k), quaisquer que sejam h e k em U. 65

73 Capítulo 7 Variedades Diferenciais O estudo das curvas e superfícies mergulhadas em R 3 ocupa lugar de relevo na Ciência desde os primórdios do Cálculo. Entretanto, a consideração dos sistemas dinâmicos a n graus de liberdade levou naturalmente ao estudo das "variedades" mergulhadas num espaço euclidiano R m, onde m é um inteiro positivo qualquer. No entanto, Gauss já sentia a necessidade de se definir o conceito de variedade de modo intrínseco, sem considerá-la mergulhada num R m. É o que vamos fazer, procurando estender às variedades os conceitos do cálculo em abertos do R m. A formalização atual deve muito aos trabalhos de H. Whitney. 7.1 Cartas, Atlas, Variedades Definição 7.1. Seja M um espaço topológico. Uma carta de dimensão m em M é um homeomorfismo x de um aberto U M sobre um aberto x(u) R m. Uma carta x : U R m chama-se também sistema de coordenadas locais em M ; o 66

74 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS aberto U é uma vizinhança coordenada. U p M x x(p) x(u) R m Se p U e x(p) = (x 1 (p),..., x m (p)), os números x 1 (p),..., x m (p) são as coordenadas de p na carta x. Se x : U R m, y : V R m são cartas em M, e U V ø, então as aplicações: y x 1 : x(u V ) y(u V ) e x y 1 : y(u V ) x(u V ) são chamadas de mudanças de coordenadas. Obs. Se x : U R m é uma carta e V U é um aberto, é claro que x V : V R m é também uma carta. Definição 7.2. Um atlas de dimensão m e classe, C k, k N, no espaço topológico M é um conjunto A de cartas x : U R m de dimensão m, cujos domínios formam 67

75 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS uma cobertura de M, e cujas mudanças de coordenadas são aplicações de classe C k. Definição 7.3. Dois atlas A e A 1, ambos de dimensão m e classe C k, em M são equivalentes se A A 1 é um atlas de dimensão m e classe C k em M. Em outras palavras, A e A 1 são equivalentes se, para toda carta x A e toda carta y A 1, as mudanças de coordenadas x y 1 e y x 1 são de classe C k. Proposição 7.1. A relação "A é equivalente a A 1 " é uma relação de equivalência no conjunto dos atlas de dimensão m e classe C k em M. Dem. A única propriedade não evidente é a transitividade. Para prová-la sejam A, A 1, A 2 atlas em M tais que A seja equivalente a A 1 e A 1 equivalente a A 2. Sejam x : U R m e x 2 : U 2 R m cartas tais que x A, x 2 A 2 e U U 2 ø. Queremos provar que x x 1 2 e x 2 x 1 são C k. Seja p U U 2. Existe carta x 1 : U 1 R m, x 1 A 1, tal que p U 1. Seja V = U U 1 U 2. Como A é equivalente a A 1 e A 1 equivalente a A 2, resulta que x 1 x 1 2 e x 2 x 1 1 são C k. Portanto, x x 1 1, x 1 x 1, x x 1 2 = (x x 1 1 ) (x 1 x 1 2 ) : x 2 (V ) x(v ) e x 2 x 1 = (x 2 x 1 1 ) (x 1 x 1 ) : x(v ) x 2 (V ) são C k. Resulta que A é equivalente a A 2. A união de todos os atlas de dimensão m e classe C k de uma mesma classe de equivalência é evidentemente um atlas, chamado de atlas máximo da classe. Definição 7.4. Uma variedade diferencial de dimensão m e classe C k é um espaço topológico de Hausdorff, com base enumerável de abertos, dotado de um atlas máximo de dimensão m e classe C k. 68

76 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Obs. A estrutura diferencial de M é obtida escolhendo-se um atlas A de classe C k e tomando-se o atlas máximo da classe de equivalência de A. Exemplo Seja M uma variedade de dimensão m e classe C k e seja N uma parte aberta de M. Então M induz em N uma estrutura de variedade de mesma dimensão e classe que M. De fato, se A é um atlas em M, o conjunto A, das restrições a N das cartas de A, é um atlas em N de mesma dimensão e classe que A. Se B é um atlas equivalente a A, então A B é um atlas C k em M e A B = A B é também um atlas C k em N. Logo, A e B são atlas equivalentes em N, ou seja, a classe de equivalência de A só depende da de A e, portanto, define em N uma estrutura diferencial que depende apenas da de M. Exemplo Seja R n com a topologia usual e consideremos a aplicação identidade x(p) = p de R n. O atlas A = {x} é de dimensão n e classe C. A classe de equivalência de A define em R n uma estrutura de variedade diferencial de dimensão n e classe C. Exemplo Seja a esfera S 2 = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Consideremos o disco aberto unitário D de R 2 e os abertos de S 2, U 3 = {(x, y, z) S 2 ; z > 0} = = (x, y, 1 x 2 y 2 ) ; (x, y D) e V 3 = {(x, y, z) S 2 ; z < 0} = = (x, y, 1 x 2 y 2 ) ; (x, y) D, e definamos ϕ 3 : U 3 D, ψ 3 : V 3 D por meio de ϕ 3 (x, y, 1 x 2 y 2 ) = (x, y) e ψ 3 (x, y, 1 x 2 y 2 ) = (x, y). É fácil ver que ϕ 3 e ψ 3 são homeomorfismos, ou seja, cartas em S 2. Considerando os conjuntos e aplicações análogas, ϕ 1 : U 1 D ; ϕ 2 : U 2 D ; ψ 1 : V 1 D; ψ 2 : V 2 D, obtemos ao todo 6 cartas cujos domínios cobrem S 2. Quanto às mudanças de coordenadas, tomemos por exemplo ϕ 3 (U 3 V 2 ). Esta aplicação é dada por ϕ 3 ψ 1 2 : ψ 2 (U 3 V 2 ) ϕ 3 ψ 1 2 (u, v) = ϕ 3 (u, 1 u 2 v 2, v) = 69

77 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS = (u, 1 u 2 v 2 ) e, portanto, é de classe C, o mesmo acontecendo com as outras mudanças de coordenadas. Obtivemos, assim, um atlas de dimensão 2 e classe C em S 2. Exemplo Seja M(n, R) o espaço vetorial real das matrizes quadradas reais de ordem n. Identifiquemos M(n, R) com R n2. O grupo linear geral GL(n, R) é o aberto de M(n, R) formado pelas matrizes de determinante diferente de zero. Logo, GL(n, R) tem uma estrutura diferencial natural induzida pela de R n2. Exemplo Sejam M uma variedade diferencial de dimensão m e classe C k, N um espaço topológico e f : M N um homeomorfismo. Se x : U R m é uma carta em M, então x f 1 : f(u) R m é uma carta em N. Se y : V R m é outra carta em M, com U V ø, então (y f 1 ) (x f 1 ) 1 = y x 1 é de classe C k. Portanto, quando x percorre o atlas máximo de M, as aplicações x f 1 formam um atlas máximo em N, e obtemos uma estrutura de variedade diferencial em N, de mesma dimensão e classe que a de M. Dizemos que a estrutura de N foi obtida pelo transporte da estrutura de M por meio do homeomorfismo f. Obs. (1) Existe exemplo de variedade topológica, isto é, de classe C 0, que não é o espaço topológico subjacente a nenhuma variedade diferencial de classe C 1. (2) H. Whitney provou que todo atlas máximo de classe C 1 em uma variedade M contem um atlas C (na realidade analítico). Exemplo Consideremos na esfera S n R n+1 a relação de equivalência x y x = ±y. O conjunto quociente é representado por P n. Seja a aplicação quociente. Cada π(x) determina uma e uma única reta, π : S n P n {tx ; t R}, passando pela origem em R n+1, e reciprocamente. Podemos então considerar P n como sendo o conjunto de todas as retas de R n+1 que passam pela origem. Co- 70

78 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS loquemos em P n a topologia quociente, isto é, A P n é aberto se, e só se, π 1 (A) é aberto em S n. Então, π é contínua. Se V S n é aberto, temos que π 1 (π(v )) = V ( V ) é aberto, logo, π(v ) P n é aberto, ou seja, π é uma aplicação aberta. Esta topologia em P n é de Hausdorff, pois se π(x) π(y) então x ±y. Sejam U e V vizinhanças abertas de x e y em S n tais que U V = ø, U ( V ) = ø. Então, π(u) e π(v ) são vizinhanças disjuntas de π(x) e π(y) em P n. Seja p P n, p = π(x) com x = (x 1,..., x n+1 ) S n, e seja V α = = {x S n ; x α 0}. Então V α é aberto em S n e π(v α ) = U α é aberto em P n V α = = V α + Vα, onde V α + = {x S n ; x α > 0} e Vα = {x S n ; x α < 0}. Definamos Ç ϕ α : U α R n x1 por ϕ α (p) =,..., x α 1, x α+1,..., x å n+1 = (y 1,..., y n ). É fácil x α x α x α x α ver que ϕ α é uma bijeção de U α sobre R n. Temos que π 1 (U α ) = V α + Vα ; além disso, ξ + α = π V + α : V + α U α é um homeomorfismo. Também, a composta f + α = ϕ α ξ + α : V + α R n é um homeomorfismo, pois é dada por f + α (x 1,..., x n+1 ) = = (y 1,..., y n ), onde y ı = x ı x α (1 ı < α) e y ı = x i+1 x α (α i n) e x α > 0. Resulta que ϕ α é um homeomorfismo, donde uma carta em P n. Seja α < β. Então, ϕ α (U α U β ) = {y R n ; y β 1 0} e ϕ β (U α U β ) = {y R n ; y α 0} são abertos em R n, e a mudança de coordenadas ϕ β ϕ 1 α é dada por (ϕ β ϕ 1 α )(y 1,..., y n ) = 1 (y 1,..., y α 1, 1, y α,..., y β 2, y β,..., y n ) e, portanto, é y β 1 de classe C em ϕ α (U α U β ). Como os domínios U α (α = 1, 2,..., n+1) cobrem P n, obtemos um atlas de dimensão n e classe C em P n. Cada U α, sendo homeomorfo a R n, tem base enumerável. P n tem, então, base enumerável, pois é união 71

79 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS finita de abertos U α. Provamos assim que P n é uma variedade diferencial compacta de dimensão n e classe C (na realidade analítica). P n é o espaço projetivo real n-dimensional. 7.2 Aplicações de Classe C k Definição 7.5. Sejam M m, N n variedades diferenciais de classe C r, r 1. Uma aplicação f : M N é de classe C k, k r, se, para cada ponto p M, existem cartas x : U R m em M e y : V R n em N, com p U, f(u) V, com a propriedade de que a aplicação f xy = y f x 1 : x(u) y(v ), entre abertos de espaços euclidianos, seja de classe C k. Se x 1 e y 1 são cartas com a mesma propriedade, então, numa vizinhança de p, f x1 y 1 = (y 1 y 1 ) f xy (x x 1 1 ) e, como as mudanças de coordenadas são de classe C r, resulta que a definição independe das cartas. U p M f V f(p) N x y R m x(u) f xy = y f x 1 R n y(v ) A função f xy = y f x 1 é a expressão de f nas cartas x e y ; ela é da forma f xy (x 1,..., x m ) = (f 1 (x 1,..., x m ),..., f n (x 1,..., x m )) e f xy é de classe C k se, e só se, as funções f ı são de classe C k. 72

80 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Obs. É claro que se f e g são funções reais de classe C k em M, então f + g e f g são também de classe C k. Se g(p) 0 para todo p M, então f é de classe g C k. Proposição 7.2. Sejam M m, N n, P p variedades, f : M N, g : N P aplicações de classe C k. Então, g f : M P é de classe C k. Dem. Sejam x : U R m e y : V R n cartas em M e N tais que q U, f(q) V e f = y 1 f xy x em U, onde f xy C k. Analogamente, sejam y 1 : V 1 R n e z : W R p cartas em N e P tais que f(q) V 1, g(f(q)) W e g = z 1 g y1 z y 1 em V 1, onde g y1 z C k. Sem perda de generalidade podemos supor V = V 1 e U = f 1 (V ). Então, em U, temos z (g f) x 1 = g y1 z (y 1 y 1 ) f xy, o que mostra que g f é de classe C k. Definição 7.6. Sejam M e N variedades diferenciais. Uma aplicação f : M N é um difeomorfismo de classe C k se f é uma bijeção de classe C k, e sua inversa f 1 : N M também é de classe C k. Duas variedades são difeomorfas se existe um difeomorfismo entre elas. Neste caso, as estruturas diferenciais são isomorfas. Obs. J. Milnor mostrou que, para vários valores de n 7, existem no espaço topológico S n várias estruturas diferenciais não isomorfas tendo a mesma topologia subjacente (as chamadas esferas exóticas). Exemplo Sejam U R m aberto e f : U R n. Tomando x(p) = p em U e y = id R n, temos que f xy = f; logo, f é de classe C k no sentido das variedades se, e só se, f é de classe C k no sentido usual. Exemplo Sejam M m de classe C k e f = x : U R m uma carta em M. 73

81 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Tomando y = id R m temos f xy = id x(u) e, portanto, x C k. Analogamente, temos x 1 C k. Logo, as cartas são difeomorfismos C k. Exemplo Seja M = R com sua estrutura diferencial canônica. A função t se t 0 f : M R, f(t) =, sendo um homeomorfismo, podemos transportar para R, por meio de f, a estrutura diferencial de M, obtendo uma 2t se t > 0 variedade diferencial N. Como f não é diferenciável em t = 0, resulta que obtivemos duas estruturas diferenciais distintas em R. Mas estas estruturas são isomorfas, pois f : M N é um difeomorfismo. Exemplo Seja B = {x R m ; x < 1}, sendo a norma euclidiana. A aplicação f : B R m 2x, f(x) = 1 x é um difeomorfismo 2 C da bola aberta B sobre R m. O difeomorfismo inverso é dado por g(y) = f 1 y (y) =. Assim, se M m é variedade C k e ϕ : U R m 1 + (1 + y 2 ) 1 2 é carta em M, então ψ = g ϕ : U B é carta em M com contradomínio B. Exemplo Seja M m uma variedade C r. Um caminho em M é uma aplicação α : I M, onde I é um intervalo real aberto. α é de classe C k, k r, se, para cada carta x : U R m em M, o caminho em R m, x α : J x(u) (α(j) U) é de classe C k. 7.3 Espaço Tangente. Derivada Sejam M m uma variedade C k, p um ponto de M e C 1 p o conjunto dos caminhos α C 1, definidos numa vizinhança aberta de 0 R, com valores em M e tais que α(0) = p. Consideremos em C 1 p a relação : α β se existe carta 74

82 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS x : U R m em torno de p, tal que (x α) (0) = (x β) (0). Como as mudanças de coordenadas são C k, resulta que a igualdade acima é verdadeira para toda carta. Segue-se também da definição que " " é uma relação de equivalência em C 1 p. As classes de equivalência para esta relação são chamadas de vetores tangentes a M em p, e o conjunto quociente C 1 p / é representado por T p M. A carta x dá origem à aplicação θ x,p = θ x : T p M R m definida por θ x ([α]) = (x α) (0), onde [α] T p M. θ x está bem definida e é injetora pois θ x ([α]) = θ x ([β]) se, e só se, (x α) (0) = (x β) (0), ou seja, se, e só se, α β. Além disso, θ x é sobrejetora pois se v R m, o caminho α(t) = x 1 (x(p) + tv) pertence a C 1 p e θ x ([α]) = (x α) (0) = v. Se y : U R m é outra carta em torno de p, então θ y ([α]) = (y α) (0) = (y x 1 ) (x(p)) (x α) (0), donde θ y = (y x 1 ) x(p) θ x : T p M R m. Como (y x 1 ) x(p) é um isomorfismo de R m, resulta que podemos transportar a T p M, por meio de θx 1, a estrutura vetorial de R m, ou seja, definimos [α] + [β] = θx 1 (θ x [α] + θ x [β]) c [α] = θ 1 x (c θ x [α]), c R, de modo que θ x : T p M R m é um isomorfismo. Esta estrutura vetorial independe da escolha da carta já que θ x e θ y diferem por um isomorfismo do R m. O conjunto T p M, munido desta estrutura vetorial, é o espaço tangente a M em p. A base canônica do R m sendo {e 1, e 2,..., e m } resulta que os vetores (p), (p),..., (p), definidos por θ x 1 x 2 x x,p(e 1 ı ) = (p), ı = 1, 2,..., m, formam uma base de T p M. É a base associada à carta x. Se v p = m m x ı a ı (p) T p M, ı=1 x ı então θ x (v p ) = m a ı e ı R m é a expressão de v p na carta x. ı=1 75

83 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS U [α] M p x v = θ x ([α]) x α x(p) R m Obs. dim T p M = m = dim M. Definição 7.7. Sejam M m, N n variedades C k, f : M N aplicação C 1 e p M. A derivada de f em p é a aplicação (linear) f (p) : T p M T f(p) N definida por f (p) [α] = [f α], ou seja, f (p) associa ao vetor tangente v p = [α] T p M, o vetor tangente f (p) v p = [f α] T f(p) N. [f α] p M [α] f f(p) N α f α R 0 Mostremos que f (p) está bem definida. Sejam x : U R m e y : V R n cartas locais em torno de p e f(p), respectivamente, com f(u) V. Dado v p = [α] = = [β] T p M, temos (y f α) (0) = f xy(x(p)) (x α) (0) = f xy(x(p)) (x β) (0) = = (y f β) (0), donde [f α] = [f β], o que mostra que f (p) v p depende do vetor v p e não do caminho α. 76

84 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Mostremos agora que f (p) é linear. Como (y f α) (0) = f xy(x(p)) (x α) (0) vem que θ y [f α] = f xy(x(p)) θ x [α], ou seja, θ y f (p) = f xy(x(p)) θ x, donde f (p) = θ 1 y f xy(x(p)) θ x : T p M T f(p) N, o que mostra ser f (p) linear, e também que o diagrama comutativo U f V x y x(u) f xy y(v ) dá origem ao diagrama comutativo T p M f (p) T f(p) N θ x θ y R m f xy(x(p)) R n Ç å (p) x j j=1,...,m de T f(p) N tem coluna genérica f (p) (p) = x j A matriz de f (p) em relação às bases ordenadas Ç å (f(p)) y ı ı=1,...,n = θ 1 y f xy(x(p)) e j = θ 1 y f (p) x j (p) = θ 1 y f xy x j (x(p)). Se n ı=1 f ı x j (x(p)) e ı = f xy = (f 1,..., f n ), então n ı=1 f ı (x(p)) (f(p)), x j y ı de T p M e onde (e 1,..., e m ) é a base canônica de R m e (e 1,..., e n ) a de R n, ou seja, a matriz Ç å de f fı (p) é a matriz jacobiana (x(p)) (do tipo n m) da expressão local x j de f nas cartas x e y, calculada no ponto x(p). 1 ı n 1 j m 77

85 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS leitor: São consequências das definições os seguintes fatos, deixados aos cuidados do (1) Regra da Cadeia: se M, N, P são variedades e f : M N, g : N P são aplicações C 1 então, para cada p M, tem-se (g f) (p) = g (f(p)) f (p). (2) Se M é variedade C k e f = id : M M, então f (p) = id : T p M T p M. (3) Se M e N são variedades e f : M N é um difeomorfismo C k então, para cada p M, f (p) : T p M T f(p) N é um isomorfismo e f (p) 1 = (f 1 ) (f(p)). (4) Teorema da Função Inversa : sejam M, N variedades, f : M N aplicação C k (k 1) e p M. Se f (p) : T p M T f(p) N é um isomorfismo, então existe uma vizinhança aberta U de p em M e uma vizinhança aberta V de f(p) em N tais que f U : U V seja um difeomorfismo C k. (Usando cartas reduzimos à situação usual em que M = R m e N = R m ). (5) Sejam M, N variedades e f : M N de classe C 1. Se M é conexa e f (p) = 0 para todo p M, então f é constante. 7.4 Identificações (1) A carta x = id : R m R m nos dá θ x [α] = (x α) (0) = α (0). Podemos, assim, identificar T p R m com R m por meio do isomorfismo θ x,p, isto é, identificamos [α] T p M com o vetor v R m tal que v = β (0) para todo β [α]. (2) Seja M uma variedade contida em R n e suponhamos que a inclusão i : M R n tenha derivada injetora em cada p M. Podemos, então, considerar T p M 78

86 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS como um subespaço vetorial de R n, identificando-o com sua imagem pela derivada i (p) : T p M T p R n = R n. Assim, T p M = i (p) T p M R n. (3) Sejam M m uma variedade, U M um aberto e i : U M a inclusão. Então, i (p) : T p U T p M é bijeção e identificamos T p U com T p M. (4) Sejam U R m aberto e f : U R n de classe C 1. Então, f (p) : T p U T f(p) R n. Com as identificações acima f (p) coincide com a derivada usual Df(p) : R m R n. (5) Seja x : U R n uma carta na variedade M. Então, x : U x(u) é um difeomorfismo. De fato, para cada x U x p U, o diagrama comutativo x(u) id x(u) id x(u) nos dá o diagrama T p M x (p) R m θ x,p id R m id R m também comutativo, ou seja, resultado. x (p) = θ x,p, que é um isomorfismo, donde o (6) Seja α : I M, α C 1, α(0) = p (I é um intervalo aberto em R e 0 I). Então, α (0) : R T p M e podemos identificar α (0) com 79

87 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS α (0) 1 T p M. Calculemos α (0) 1. Para isso, tomemos um caminho λ em R tal que λ(0) = 0 e λ (0) = 1. Por exemplo, seja λ(t) = t. Então, α λ(t) = α(t), α (0) 1 = [α λ] = [α] e obtemos, assim, a identificação [α] = α (0). Com essa identificação, a igualdade θ x,p [α] = (x α) (0) se escreve x (p) α (0) = (x α) (0), e nada mais é que a regra da cadeia. Obs. Se f : M N é de classe C k e p M, a derivada f (p) : T p M T f(p) N é também representada por df(p) ou Df(p) e chamada de diferencial de f em p, ou ainda aplicação linear tangente a f em p. No caso em que N = R temos que df(p) : T p M R é um elemento do dual de T p M, isto é, df(p) (T p M). Seja x : U R m uma carta em M, p U. Se π ı : R m R é a i-ésima projeção, então x ı = π ı x : U R é a i-ésima função coordenada. As diferenciais dx ı (p), ı = 1,..., m, formam uma base de (T p M) dual de (p), já que x ı ı=1,...,m dx ı (p) x j (p) = π ı x (p) x j (p) = π ı (e j ) = δ ıj. df(p) Se f : U R é de classe C 1, então df(p) = m λ j dx j (p) e (p) = m λ j dx j (p) (p) = m λ j δ ıj = λ ı. x ı j=1 x ı j=1 Mas, f (p) = (f x 1 ) (x(p)). x ı x ı (p) = (f x 1 ) (x(p)) x (p) j=1 Para simplificar a escrita vamos usar a notação x ı (p) = (f x 1 ) (x(p)) e ı = f x ı (p) para significar 80

88 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS x U x(u) f f x 1 R (f x 1 ) (x(p)). x ı Assim, df(p) = m j=1 f x j (p)dx j (p). Proposição 7.3. Sejam M m uma variedade C k, U M aberto, p U e f : U R m de classe C k e componentes f ı : U R (ı = 1,..., m). Existe uma vizinhança aberta V U de p tal que f V : V R m é carta em M se, e só se, as diferenciais df ı (p), 1 i m, formam uma base de (T p M). Dem. Seja x : W R m uma carta em torno de p, x(p) = (x 1 (p),..., x m (p)). Temos, df ı (p) = m f ı (p) dx(p), donde resulta que as diferenciais df ı (p), j=1 x j Ç å 1 ı m, formam base de (T p M) fı se, e só se, a matriz jacobiana (p) x j (1 ı, j m) é invertível, ou seja, se, e só se, df(p) é um isomorfismo, e o resultado decorre do Teorema da Função Inversa. 7.5 Aplicações de Posto Constante Definição 7.8. Sejam M m e N n variedades e f : M N de classe C k. O posto de f em p M é o posto da aplicação linear f (p) : T p M T f(p) N. f é uma imersão (resp. submersão) em p se f (p) é injetora (resp. sobrejetora) ; neste caso o posto de f em p é igual a m = dim M (resp. n = dim N). Se f é uma imersão 81

89 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS (resp. submersão) em cada p M dizemos que f : M N é uma imersão (resp. submersão). As imersões e submersões são aplicações de posto máximo. Resulta do Teorema do Posto em espaços euclidianos o seguinte. Teorema do Posto: Sejam M m e N n variedades C k e f : M N uma aplicação C k, k 1. Se, na vizinhança de p M, f tem posto constante r, então existem cartas x : U R m em M, y : V R n em N, com p U, f(u) V, tais que x(p) = 0, y(f(p)) = 0 e a expressão local f xy = y f x 1 de f é a restrição a x(u) da aplicação (x 1,..., x r, x r+1,..., x m ) R m (x 1,..., x r, 0,..., 0) R n. Corolário 7.1. (Forma local das imersões). Sejam M m e N n variedades C k e f : M N uma aplicação C k, k 1 que é uma imersão em p M. Existem cartas x : U R m em M, y : V R n em N, com p U, f(u) V, tais que x(p) = 0, y(f(p)) = 0 e a expressão f xy de f é a restrição a x(u) da inclusão de R m em R n = R m R n m dada por (x 1,..., x m ) (x 1,..., x m, 0,..., 0). U p M f f(p) V N x y f xy(s) = (s, 0) R n m R m x(u) 0 s x(u) {0} 0 (s, 0) y(v ) R m Corolário 7.2. (Forma local das submersões). Sejam M m e N n variedades C k e 82

90 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS f : M N uma aplicação C k, k 1, que é uma submersão em p M. Existem cartas x : U R m em M, y : V R n em N, com p U, f(u) V, tais que x(u) = W Z, x(p) = 0, y(f(p)) = 0 e a expressão f xy de f é a restrição a x(u) da projeção de R m = R m n R n sobre R n dada por (x 1,..., x m ) (x m n+1,..., x m ). U M m f V N n p f(p) x R n y R n 0 (ω, z) R m n f xy (ω, z) = z z 0 W Z y(v ) Obs. (1) Resulta do Corolário 7.1 que o conjunto dos pontos onde f (p) é injetora é um aberto de M. (2) Resulta do Corolário 7.2 que o conjunto dos pontos onde f (p) é sobrejetora é um aberto em M, e que toda submersão é uma aplicação aberta. Definição 7.9. Uma imersão f : M N é um mergulho se f é um homeomorfismo de M sobre o subespaço f(m) N. Proposição 7.4. Sejam M m, N n, P p variedades C k e g : N P uma imersão C k. Uma aplicação f : M N é C k se, e só se, f é contínua e g f : M P 83

91 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS é C k, k 1. Se g é um mergulho e g f C k, então f é continua (e, portanto, C k ). N g P f g f M Dem. Seja q M; pela forma local das imersões, existem cartas y : V R n em N e z : W R n R p n em P, com f(q) V, g(v ) W, tais que a expressão local g yz é da forma (y 1,..., y n ) (y 1,..., y n, 0,..., 0). Da continuidade de f resulta que existe carta x : U R m em M com q U e f(u) V. Portanto, (g f) xz : x(u) z(w ) é da forma (g f) xz = (f xy, 0). Logo, g f C k implica f C k. A recíproca é evidente. Se g é um mergulho C k e g f C k, então f = g 1 (g f) é contínua. Corolário 7.3. Sejam M m, N n, P p variedades C k e g : N P uma imersão injetora C k. Seja f : M P de classe C k tal que f(m) g(n). Existe uma, e uma única, aplicação h : M N tal que g h = f. Se h é contínua, então h C k. Se g é um mergulho, então h é contínua (donde C k ). M f P h g N Proposição 7.5. Sejam M,N, P variedades C k e f : M N uma submersão sobrejetora de classe C k, k 1. Uma aplicação g : N P é de classe C k se, e só se, h = g f é de classe C k. 84

92 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS M f N h g P Dem. Suponhamos h C k. Como f é sobrejetora, temos que f (f 1 (g 1 (A))) = = g 1 (A). Se A é aberto em P, então g 1 (A) é aberto em N, pois h é continua e f é aberta. Logo, g é contínua. Sejam r = f(q) N, q M e z : W R p uma carta em P em torno de g(r). Pela forma local das submersões, existem cartas x : U R n R m n = R m em M e y : V R n em N, com q U, f(u) V ( e g(v ) W ), tais que a expressão local de f é f xy (x 1,..., x m ) = (x 1,..., x n ), ou seja, f xy (a, b) = a. Portanto, (g f) xz (ω, b) = g yz (f xy (ω, b)) = g yz (ω). Seja λ : R n R n R m n dada por λ(ω) = (ω, b), onde b é fixo. Então λ C e g yz = h xz λ, donde g yz C k pois h xz C k. Logo, g C k. A recíproca é evidente. Proposição 7.6. Seja f : M m N n de classe C 1 e posto constante r. Então: (a) f é localmente injetora f é uma imersão. (b) f é sobrejetora f é submersão. (c) f é bijetora f é um difeomorfismo. Dem. (a) Se fosse r < m, então localmente f teria a expressão (x 1,..., x r,..., x m ) (x 1,..., x r, 0,..., 0), e f não seria localmente injetora. A recíproca é imediata. 85

93 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS (b) Se f não é submersão, então r < n. Pelo teorema do posto, cada ponto de M tem vizinhança coordenada na qual f tem expressão local (x 1,..., x m ) (x 1,..., x r, 0,..., 0). Como toda cobertura aberta de M tem subcobertura enumerável, podemos tomar uma quantidade enumerável de cartas locais x i : W i R m em M, e cartas y i : V i R n em N tais que M = W i, compacto, f( W i ) V i, e localmente f na forma acima. Como y i f( W i ) R r R n temos que f( W i ) tem interior vazio em N, donde f(m) tem interior vazio em N (pelo teorema de Baire), e f não pode ser sobrejetora. A reciproca é imediata. i=1 W i, (c) Se f é bijetora, então f é uma imersão por (a) e uma submersão por (b), isto é, r = m = n e f é um difeo local entre variedades de mesma dimensão, donde um difeomorfismo. 7.6 Subvariedades Proposição 7.7. Sejam N n uma variedade diferencial de classe C k e M N um subespaço topológico. Existe em M uma, e uma única, estrutura de variedade diferencial de dimensão m e classe C k tal que a inclusão i : M N seja um mergulho C k se, e só se, para cada p M, existe carta y : V R n em N tal que p V e y(m V ) = y(v ) (R m {0}). Dem. Se M m e N n são variedades C k, M N,i : M N mergulho C k, então existem cartas y 1 : V 1 R n, x : M V 1 R m tais que i xy1 (s) = y 1 x 1 (s) = (s, 0), donde y 1 (M V 1 ) R m {0}. Como y 1 x 1 : x(m V 1 ) y 1 (M V 1 ) é mergulho e x(m V 1 ) é aberto em R m, resulta que y 1 (M V 1 ) é aberto em R m {0}, isto é, 86

94 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS y 1 (M V 1 ) = W (R m {0}), onde W R n = R m R n m é aberto. Sejam, W 1 = W y 1 (V 1 ), V = y 1 1 (W 1 ), y = y 1 V : V R n. Então: y 1 (M V 1 ) W 1, M V 1 = M V e y(m V ) = y 1 (M V 1 ) = = W 1 (R m {0}) = y(v ) (R m {0}). V p M N y R n m y(v ) y(m V ) 0 π R m x(m V ) Reciprocamente, se, para cada p M, existe carta y : V R n = R m R n m em N tal que p M e y(m V ) = y(v ) (R m {0}), tomemos x = π y : M V R m, onde π : R m R n m R m é a projeção canônica. Então, x é homeomorfismo sobre o aberto x(m V ) e y x 1 : x(m V ) y(m V ) é um mergulho C k. A coleção A de todas essas aplicações x é um atlas C k em M, pois se x 1 = π y 1 também pertence a A, então x x 1 1 = (y x 1 ) 1 (y y 1 1 ) (y 1 x 1 1 ) C k. Resulta que M tem uma estrutura diferencial de dimensão m e classe C k. Com esta estrutura, a inclusão i : M N tem expressão local i xy = y i x 1 = y x 1, que é um mergulho C k. 87

95 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Unicidade: Sejam M 1 e M 2 duas cópias de M N com estruturas diferenciais tais que a inclusão i : M N seja um mergulho C k. Então, i C k id M C k, onde id M : M 1 M 2. Analogamente, id M : M 2 M 1 é também de classe C k, ou seja, id M é um difeomorfismo C k, e as duas estruturas diferenciais são isomorfas. M 2 ı N id M ı M 1 Definição Sejam N n uma variedade C k e M N um subespaço topológico. Dizemos que M é uma subvariedade de classe C k de N se a inclusão i : M N é um mergulho de classe C k. Pela Proposição 7.7, dizer que M N é subvariedade C k equivale a dizer que, para todo p M, existe carta y : V R n = R m R n m tal que p V e y(m V ) = y(v ) (R m {0}) para algum m. Neste caso, dim M = m e x = π y : M V R m é uma carta em M, onde π : R m R n m R m é a projeção canônica. Obs. (1) Identificamos T p M com o subespaço i (p) T p M de T p N. (2) As subvariedades de R n são também chamadas de superfícies. (3) Um aberto U de uma variedade N é uma subvariedade de N de mesma dimensão e classe que N. 88

96 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Proposição 7.8. Se M e N são variedades C k e f : M N é um mergulho C k, então f(m) é uma subvariedade C k de N e f : M f(m) é um difeomorfismo C k. Dem. Seja g : M f(m), g(p) = f(p) para todo p M ; g é um homeomorfismo (f(m) com a topologia induzida pela de N). Considerando em f(m) a estrutura diferencial obtida pelo transporte da estrutura de M por meio de g, temos que g é um difeomorfismo C k. Se i : f(m) N é a inclusão, temos f = i g, donde i = f g 1. Portanto, i é um mergulho C k e f(m) é subvariedade C k de N. Obs. Se f : M N é uma imersão injetora, f(m) pode não ser uma subvariedade, como mostra a imersão de R em R 2 abaixo, onde f 1 não é contínua. p = lim t f(t) 7.7 Variedade Produto Sejam M m e N n variedades C k, A e B atlas em M e N, respectivamente. Se x : U R m é uma carta de A e y : V R n uma de B, então x y : U V R m+n, definida por (x y)(p, q) = (x(p), y(q)), é uma carta em M N. Como (x 1 y 1 ) (x y) 1 = (x 1 x 1 ) (y 1 y 1 ), segue-se que o conjunto A B de tais cartas é um atlas em M N, cuja classe de equivalência define a estrutura diferencial de variedade produto em M N. 89

97 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Se M m, N n 1 1, N n 2 2 são variedades e f : M N 1 N 2 é dada por f(p) = = (f 1 (p), f 2 (p)), onde f ı : M N ı (ı = 1, 2), então f C k se, e só se, f 1 e f 2 são C k. De fato, se x : U R m é carta em M, y 1 é carta em N 1, e y 2 é carta em N 2, então (y 1 y 2 ) f x 1 = (y 1 f 1 x 1, y 2 f 2 x 1 ) : x(u) R n 1 R n 2, donde o resultado. Seja M m N n um produto de variedades C k. Consideremos as aplicações π 1 : M N M ; π 2 : M N N ; i q : M M {q}, onde q N ; j p : N {p} N, onde p M, definidas por: π 1 (p, q) = p ; π 2 (p, q) = q ; i q (p) = (p, q) ; j p (q) = (p, q). Elas são de classe C k. Temos: π 1 i q = id M ; π 2 j q = id N. Derivando, vem: π 1(p, q) i q(p) = id TpM ; π 2(p, q) j p(q) = id TqN. Portanto, π 1(p, q) e π 2(p, q) são sobrejetoras, i q(p) e j p(q) são injetoras, ou seja, π 1 e π 2 são submersões e i q e j p são mergulhos. Assim, M q e p N são subvariedades C k de M N. Sejam E = T (p,q) (M q) e F = T (p,q) (p N). Os vetores de E são da forma α (0) com α(t) = (α 1 (t), q), α 1 (0) = p, e os vetores de F são da forma β (0) com β(t) = (p, β 2 (t)), β 2 (0) = q. Se x y é uma carta em torno de (p, q), temos o isomorfismo (x y) (p, q) : T (p,q) (M N) R m R n, (x y) (p, q) α (0) = (x α 1, y(q)) (0) = (x (p)α 1(0), 0) R m {0}, e (x y) (p, q) β (0) = (0, y (q) β 2(0)) {0} R n, ou seja, (x y) (p, q) leva E sobre R m {0} e F sobre {0} R n. Logo, T (p,q) (M N) = E F. Identificando T p M com E via i q(p) : T p M E e T q N com F por meio de j p(q) : T q N F, resulta que T (p,q) (M N) = T p M T q N. Definição Sejam M, N e P variedades C k e f : M N P de classe C 1. Consideremos as aplicações f i q : M P e f j p : N P, onde (p, q) M N. As derivadas destas aplicações nos pontos p e q, respectivamente, 90

98 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS são as derivadas parciais de f em (p, q) : D 1 f(p, q) : T p M T (p,q) P ; D 2 f(p, q) : T q N T (p,q) P. Se v 1 T p M, então D 1 f(p, q) v 1 = D(f i q )(p) v 1 = f (p, q) i q(p) v 1 = f (p, q) v 1. Assim, D 1 f(p, q) = Df(p, q) TpM. Analogamente, D 2 f(p, q) = Df(p, q) TqN. Se v = v 1 + v 2 T p M T q N = T (p,q) (M N), então Df(p, q) v = D 1 f(p, q) v 1 + +D 2 f(p, q) v 2, ou seja, Df(p, q) = D 1 f(p, q) p 1 + D 2 f(p, q) p 2, onde p 1 e p 2 são as aplicações canônicas p 1 (v 1 + v 2 ) = v 1 e p 2 (v 1 + v 2 ) = v 2. Teorema das Funções Implícitas Sejam M, N, P variedades, f : M N P de classe C k, k 1, e (p, q) M N tal que D 2 f(p, q) : T q N T c P é um isomorfismo, onde c = f(p, q). N q f 1 (c) U (p, q) f P c = f(p, q) V p M Existem abertos V M, p V, e U M N, (p, q) U, tais que, para 91

99 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS cada t V, existe um e um único g(t) N com (t, g(t)) U e f(t, g(t)) = c, ou seja, o conjunto f 1 (c) U é o gráfico da aplicação g : V N. Além disso, g C k e g (t) = [D 2 f(t, g(t))] 1 D 1 f(t, g(t)). [Reduzimos ao caso em que M, N, P são abertos em espaços euclidianos e aplicamos o teorema das funções implícitas usual]. Proposição 7.9. Sejam M m, N n variedades C k e f : M N de classe C k. Suponhamos que f tenha posto constante r. Para cada q N, f 1 (q) ou é vazio ou é uma subvariedade de classe C k e dimensão (m r) em M. O espaço tangente a f 1 (q) em p é o núcleo de f (p). Dem. Dado p f 1 (q), existem cartas x : U R m em M e y : V R n em N, com p U e q = f(p) V, tais que f xy = y f x 1 é a restrição da aplicação (x 1,..., x r,..., x m ) (x 1,..., x r, 0,..., 0). Podemos supor que x(p) = 0 R m e que y(q) = y(f(p)) = 0 R n. Então, x(u f 1 (q)) = {0} Z e π 2 x U f 1 (q) é uma carta em f 1 (q) de M U p f q V N f 1 (q) R m r x y R m r R n r π 2 z (ω, z) ω R r f xy (ω, z) = (ω, 0) (ω, 0) R r x(u) = W r Z m r y(v ) = W r 1 Z n r 1 92

100 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS dimensão (m r) e classe C k. A conclusão é imediata. Se v T p (f 1 (q)), seja λ : ( ε, ε) f 1 (q), λ(0) = p, λ (0) = v, onde ε > 0. Então: f (p) v = (f λ) (0) = 0, pois f λ é constante e igual a q. Logo, v pertence ao núcleo de f (p). Como este núcleo tem dimensão (m r), igual à dimensão de T p (f 1 (q)), resulta a igualdade do enunciado. Definição Seja f : M N de classe C k. Um ponto c N é um valor regular de f se, para cada p f 1 (c), f é uma submersão em p. Um ponto q N que não é valor regular de f é chamado um valor crítico de f. Obs. Se c N f(m), então c é valor regular de f. Corolário 7.4. Sejam f : M m N n de classe C k e c N um valor regular de f. Se f 1 (c) ø, então f 1 (c) é uma subvariedade de M de dimensão (m n) e classe C k. O espaço tangente a f 1 (c) em p é o núcleo de f (p). Exemplo Seja f : R n+1 R, f(x) = x, x = x 2. Como f (x) h = = 2 x, h, resulta que c = 1 é valor regular de f C, donde a esfera unitária f 1 (1) = S n é subvariedade C de R n+1 de dimensão n. O espaço tangente a S n em x é o conjunto dos v R n+1 tais que x, v = 0, ou seja, é o hiperplano perpendicular a x. Exemplo No conjunto M(n, R) das matrizes reais n n, a aplicação det : M(n, R) R é de classe C (já que é n-linear nos vetores-coluna). Temos: n det (X) H = det(x 1,..., H ı,..., X n ), ı=1 onde X, H M(n, R) e X ı é o i-ésimo vetor-coluna de X. 93

101 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Para X = I n, vem: n n det (I n ) H = det(e 1,..., H ı,..., E n ) = h ii = tr H, ı=1 ı=1 onde H = (h ij ) n n, trh é o traço de H e E j = vetor-coluna de I n é o j-ésimo Se E rs é a matriz na linha r e coluna s, que vale 1, então n n cujos elementos são iguais a zero, exceto o situado det x rs = det (X) E rs = ( 1) r+s det X rs, onde X rs é a submatriz de X obtida eliminando-se a r-ésima linha e a s-ésima coluna. Se X GL(n, R) então det X rs 0 para algum par (r, s). Segue-se que det (X) 0, x rs e det : GL(n, R) R é submersão C. Logo, SL(n, R) = {x GL(n, R) ; det X = 1} = det 1 (1) é subvariedade de dimensão (n 2 1) e classe C de M(n, R). SL(n, R) é um subgrupo de GL(n, R) e tem o nome de grupo linear especial ou de grupo unimodular. O espaço tangente a SL(n, R) em I n é o núcleo de det (I n ), ou seja, T In SL(n, R) = {X M(m, R) ; tr X = 0}. Exemplo Sejam S(n, R) e A(n, R) os subespaços de M(n, R) formados, respectivamente, pelas matrizes simétricas e pelas antissimétricas. Temos: n(n + 1) dim S(n, R) = 2 n(n 1) dim A(n, R) = 2 e M(n, R) = S(n, R) A(n, R). 94

102 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS O grupo ortogonal O(n, R) é formado pelas matrizes X M(n, R) tais que X X t = I n, onde X t é a transposta de X; é um subgrupo de GL(n, R). Seja f : M(n, R) S(n, R), f(x) = X X t. Então, f (X) H = XH t + HX t. Provemos que f (X) é sobrejetora. Se S S(n, R), tomemos U = 1 SX. Então, 2 f (X) U = XU t +UX t = XX t S + SX 2 2 Xt = S, o que mostra que f e uma submersão em X O(n, R). Resulta que f 1 (I n ) = O(n, R) é subvariedade de dimensão n 2 n(n + 1) n(n 1) = e classe C de M(n, R). Como cada vetor linha de 2 2 X O(n, R) tem comprimento 1, vemos que O(n, R) é limitado (e fechado) em M(n, R) R n2 e, portanto, compacto. O espaço tangente a O(n, R) em I n é o núcleo de f (I n ), isto é, T In O(n, R) = X M(n, R) ; X + X t = 0 = A(n, R). Observemos que se X O(n, R) então (det X) 2 = 1, donde det X = = ±1. SO(n, R) = {X O(n, R) ; det X = 1} é o grupo das rotações de R n. 7.8 Partições da Unidade Definição Seja M um espaço topológico. Uma família (A ı ) i I de subconjuntos de M é localmente finita se, para cada x M, existe vizinhança U de x tal que U A ı = ø exceto para um número finito de índices i I, isto é, existem ı 1 I,..., ı k I tais que U A ı = ø para ı ı 1,..., ı ı k. Se K M é compacto e (A ı ) i I é localmente finita, segue-se que existe uma cobertura de K por meio de um número finito de vizinhanças de pontos de K em M, cada uma das quais intersecta apenas um número finito de conjuntos A ı, ou 95

103 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS seja, K intersecta apenas um número finito de conjuntos A ı. Definição Se (A ı ) i I e (B j ) j J são coberturas do espaço topológico M, a cobertura (B j ) j J é um refinamento da cobertura (A ı ) i I se, para cada j J, existe i I tal que B j A ı. Um espaço topológico M é paracompacto quando toda cobertura aberta de M pode ser refinada por uma cobertura aberta localmente finita. Proposição Seja M um espaço topológico de Hausdorff, localmente compacto e com base enumerável. Existe uma sequência de subconjuntos compactos K ı tal que K ı int K i+1 e M = ı=1 K ı. Dem. Consideremos uma base enumerável para a topologia de M, e seja A = (A j ) j N a subcoleção que consiste de abertos com fecho compacto. É fácil ver que A é uma base enumerável para a topologia de M. Seja G 1 = A 1 e suponha G n = A 1... A jn onde cada A ı A. Seja j n+1 o menor inteiro positivo maior que j n e tal que G n j n+1 G n+1 = j n+1 ı=1 ı=1 A ı. Ponhamos A ı ; isto define a sequência (G n ) n N indutivamente. Se K ı = G ı, a sequência de compactos (K ı ) i N é tal que K ı int K i+1 e M = Obs. Vamos representar por B(r) a bola aberta de R m de centro na origem e raio r > 0. ı=1 K ı. Proposição Sejam M m uma variedade diferencial e Γ uma cobertura aberta de M. Γ pode ser refinada por uma cobertura aberta enumerável e localmente finita Ω = (U i ) i N, onde cada U ı é o domínio de uma carta x ı : U ı R m tal que x ı (U ı ) = B(3). Além disso, se W ı = x 1 i (B(1)), (W ı ) i N é ainda uma cobertura localmente finita de M. Em particular, M é paracompacta. 96

104 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS K n K n+1 K 4 K 3 K 2 K 1 Dem. Podemos escrever M = ı=1 K ı, onde cada K ı é compacto e K ı int K i+1. Para cada p K 2, seja y : Z R m carta com p Z e y(p) = 0. Seja C um aberto da cobertura Γ tal que p C. Então, V p = Z C int K 3 é aberto contendo p. Seja r R tal que B(r) y(v p ) e ponhamos U p = y 1 (B(r)). Se h : R m R m é definida por h(v) = 3v r e x = h y, então x : U p R m é tal que x(u p ) = B(3). Seja W p = x 1 (B(1)); W p é aberto contendo p e, portanto, um número finito deles cobre K 2, cada U correspondente está contido em int K 3 e em algum aberto de Γ. Analogamente, o compacto (K 3 int K 2 ) pode ser coberto por um número finito de abertos W, com cada U correspondente contido em (K 4 K 1 ) e em algum aberto de Γ. Repetindo o raciocínio para (K 4 int K 3 ), (K 5 int K 4 ), etc, obtemos indutivamente uma cobertura enumerável (W ı ) i N de M e, correspondentemente, cobertura enumerável Ω = (U ı ) i N. É claro que Ω refina Γ. Como cada U ı está contido em algum K j, resulta que cada U ı intersecta apenas um número finito de elementos de Ω, ou seja Ω, é localmente finita. Definição Seja M um espaço topológico. O suporte da aplicação f : M R m, denotado por supp (f), é o fecho do conjunto {x M ; f(x) 0}, ou seja, supp (f) é o menor fechado S em M tal que f é nula em (M S). Se ϕ ı : M R, i I, é família de funções cujos suportes formam uma 97

105 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS família localmente finita, então a soma ϕ ı (x) está definida para todo x M, i I pois esta soma contém apenas um número finito de parcelas não nulas. Se cada ϕ ı é contínua, então ϕ(x) = ϕ ı (x) também é contínua, pois existe vizinhança V de i I x que intersecta apenas um número finito de conjuntos supp ϕ ı e, portanto, em V, ϕ ı (x) é uma soma finita de funções contínuas. i I Proposição Existe uma função ϕ : R m R, de classe C, tal que : (a) 0 ϕ 1; (b) ϕ(x) = 1 para todo x B(1); (c) supp ϕ = B(2). ϕ Dem. Seja f : R R definida por f(t) = 0 se t 0 e 1 t se t > 0. É fácil ver, por indução, que D n f(t) = e 1 t P n ( 1), onde P t n(t) é um polinômio. Como e 1 t lim = 0 para todo n N, vem que lim t 0 + tn t 0 Dn f(t) = 0. Logo, f C. + f(t) Seja g : R R definida por g(t) = f(t) + f(1 t). Então, g C, g(t) 0, g(t) = 1 para t 1 e g(t) = 0 para t 0. Pondo h(t) = g(t + 2) g(2 t) obtemos uma função não-negativa, de classe C, que vale 1 em [ 1, 1] e zero fora de ( 2, 2). Basta agora definir ϕ : R m R por ϕ(x) = h( x ). Como x x é C em R m {0} e h(t) = 1 na 98

106 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS g vizinhança de 0, resulta que ϕ C, e as propriedades (a), (b) e (c) são satisfeitas por construção. Obs. Dado ε > 0, existe ϕ ε : R m R, de classe C, tal que 0 ϕ ε 1, ϕ ε (x) = 1 para todo x B(ε) e supp ϕ ε = B(2ε). Basta definir ϕ ε (x) = ϕ Ä ä x ε. Se M m é variedade C k, x : U R m é carta tal que x(u) = B(3), V = x 1 (B(2)), W = x 1 (B(1)) e definimos ϕ x : M R por ϕ(x(q)) se q U ϕ x (q) = 0 se q M V, então a função ϕ x é de classe C k, 0 ϕ x 1, ϕ x (W ) = 1 e supp ϕ x = V ; ϕ x é a função auxiliar associada à carta x. Definição Seja M m uma variedade C k. Uma partição da unidade de classe C k em M é uma família (ϕ ı ) i I de funções ϕ ı : M R, de classe C k, tal que 0 ϕ ı 1 para todo i I, (supp ϕ ı ) i I é família localmente finita e ϕ ı (p) = 1 para todo p M. Se Γ = (C j ) j J é cobertura de M, a partição i I da unidade (ϕ ı ) i I é subordinada a Γ se a família (supp ϕ ı ) ı I é cobertura de M que refina Γ. Se a cobertura Γ = (C ı ) ı I e a partição da unidade (ϕ ı ) ı I estão indexadas pelo mesmo conjunto I e (supp ϕ ı ) C ı para todo i I, então dizemos que (ϕ ı ) ı I é estritamente subordinada a Γ. 99

107 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Proposição Sejam M m uma variedade C k e Γ uma cobertura aberta de M. Existe uma partição da unidade (ψ ı ) ı I, de classe C k em M subordinada a Γ. Dem. Seja Ω = (U ı ) ı N cobertura aberta localmente finita que refina Γ, onde cada U ı é o domínio de uma carta x ı : U ı R m e x ı (U ı ) = B(3). Consideremos as funções auxiliares ϕ xı : M R, ϕ xı C k, associadas às cartas x ı. A soma ϕ = ϕ xı está definida e é de classe C k, já que Ω é localmente finita. Pondo i N ψ ı = ϕ x ı ϕ temos que ψ ı = 1, e cada ψ ı é de classe C k. ı N (ψ ı ) ı N é a partição da unidade procurada, já que supp ψ ı = V ı U ı. Observemos que supp ψ ı é compacto. Obs. Se (C ı ) ı I é uma família de subconjuntos do espaço topológico M, então C i i C i. i Isto é um fato geral. Vamos provar que se (C ı ) ı I é localmente finita então i C i = i C i. De fato, seja p C ı. Existe vizinhança W de p que intersecta apenas um número finito C ı1,..., C ın de elementos da família. Suponha que p / ı I C ı, donde de p em W tal que seja, p / ı C ı, contradição. p / C i1... C in, que é fechado; logo existe vizinhança V V W n j=1 C ıj, donde V C ı = ø para todo i I, ou Proposição Sejam M uma variedade C k e Γ = (C ı ) ı I uma cobertura aberta de M. Existe partição da unidade (ϕ ı ) ı I, de classe C k em M, estritamente subordinada a Γ. Dem. Seja (ψ ı ) ı N partição da unidade subordinada a Γ como na Proposição Para cada n N seja A n = {ı I ; U n C ı }, onde Ω = (U n ) n N é cobertura aberta localmente finita que refina Γ, cada U j sendo domínio de uma carta x j : U j R m e x j (U j ) = B(3). (A n ) n N é uma família não-vazia de partes nãovazias de I. Para cada n N escolhamos um índice ı A n e seja f : N I 100

108 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS tal que f(n) = ı, donde U n C f(n) para cada n N. Definamos (ψ ı ) ı I por ψ ı = ψ n. Como Ω é localmente finita temos que supp ψ ı = V n = V n f(n)=ı f(n)=ı f(n)=ı (já que supp ψ n = V n ). Observemos que supp ψ ı pode não ser compacto. Provemos agora que (supp ψ ı ) ı I é família localmente finita. Dado p M, existe vizinhança V de p tal que U n V = ø exceto para n J, J = {n 1.,..., n k } N. Seja I o = f(j). Se (supp ψ ı ) V ø então U n V ø para algum n tal que f(n) = ı, donde n J, resultando i = f(n) I o. Logo, (supp ψ ı ) V ø implica i I o, e resulta que (supp ψ ı ) i I é localmente finita. Pondo ψ = ψ ı e ı I ϕ ı = ψ ı ψ, então ı I ϕ ı = 1, ϕ ı C k e (supp ϕ ı ) C ı. Proposição (Lema de Urysohn diferenciável) Seja M uma variedade de classe C k. Se F e G são subconjuntos não-vazios, fechados e disjuntos de M, existe f : M R, f C k tal que 0 f 1, f(f ) = 0 e f(g) = 1. Dem. {M F, M G} é cobertura aberta de M. Seja f + g = 1 partição da unidade de classe C k em M tal que supp f M F e supp g M G. Então, 0 f 1, f(f ) = 0 e f(g) = Métrica Riemaniana Seja M m uma variedade de classe C k. Suponhamos que em cada ponto p M seja dado um produto interno g p : T p M T p M R. Se x : U R m é uma carta em torno de p, seja g ıj : U R definida por g ıj (q) = g q ( x ı (q), x j (q) ). A matriz (g ıj (q)) 1 ı,j m é (simétrica) positiva. Seja y : U R m outra carta em 101

109 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS torno de p. Ponhamos Ç å g ıj (q) = g q (q), (q). Temos, y ı y j g ıj (q) = g q Ç m k=1 x k y ı (q) x k (q), m r=1 e g ıj (q) = m k,r=1 x r (q) å (q) = m g kr (q) x k (q) x k (q), y j x r k,r=1 y ı y j g kr (q) y k x ı (q) y r x j (q). Assim, se as funções g ıj são de classe C r, r < k, em U, também o são as funções g ij, e reciprocamente, de modo que o fato de g ıj ser C r independe do sistema de coordenadas. Podemos, por definição, dizer que a função g : p g p é de classe C r se as funções g ıj são de classe C r na vizinhança de cada ponto p M. g é uma métrica riemaniana em M. O par (M, g) é uma variedade riemaniana. Se v T p M, definimos a norma ou comprimento de v por v =» g p (v, v). Se x : U R m é carta em torno de p e v = m v ı (p), então v 2 = m g ıj (p) v ı v j. i=1 x ı i=1 Exemplo Seja M = R m. Se u = (u 1,..., u m ) e v = (v 1,..., v m ) então g p (u, v) = u 1 v u m v m = u, v define uma métrica riemaniana em R m ; é a métrica euclidiana. Exemplo Seja f : M N uma imersão C e seja g uma métrica riemaniana C k em N. Pondo h p (u, v) = g f(p) (f (p)u, f (p)v), p M, u T p M, v T p M, obtemos uma métrica riemaniana h em M, de classe C k. h é a métrica induzida pela imersão f. Se M é superfície do R n, a inclusão ı : M R n induz naturalmente uma métrica em M. Exemplo Seja H = {(x, y) R 2 ; y > 0} o semiplano superior. H é subvariedade aberta de R 2. Seja p = (x, y) H. Se u = (a, b) T p H e v = (c, d) T p H, definimos uma métrica riemaniana g em H por g p (u, v) = ac + bd =. A variedade riemaniana H é o plano hiperbólico. y 2 102

110 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Proposição Toda variedade diferencial M de classe C k, k 1, admite uma métrica riemaniana de classe C k 1. Dem. Seja Ω = (U ı ) i N uma cobertura aberta localmente finita de M por domínios de cartas x ı : U ı R m. Seja (ϕ ı ) ı N uma partição da unidade estritamente subordinada a Ω. Em cada aberto U ı induzimos uma métrica g ı, de classe C k 1, por meio de g ı (p)(u, v) = x ı(p) u, x ı(p) v. Pondo g p (u, v) = ϕ ı (p) g ı (p)(u, v), onde ϕ ı (p)g ı (p)(u, v) = 0 se p / U ı, obtemos uma métrica riemaniana g C k 1 em M. i= Campos de Vetores. Fibrado Tangente Definição Seja M m uma variedade de classe C k. Um campo de vetores X em M é uma aplicação que a cada p M associa um vetor X p T p M. Se x : U R m é uma carta em torno de p, então X q = m a ı (q) (q), onde q U. ı=1 x ı Se y : U R m é outra carta, então X q = m b j (q) (q). Logo, j=1 y j X q = m ı=1 a ı (q) x ı (q) = m ı,j=1 a ı (q) y j x ı (q) y j (q). Portanto, b j (q) = m a ı (q) y j (q) e, como y j C k 1, resulta que a ı C k 1 ı=1 x ı x ı (ı = 1,..., m) implica b j C k 1. De modo análogo, b j C k 1 (j = 1,..., m) implica a ı C k 1. Dizemos, por definição, que o campo X é de classe C r, r < k, se as funções a ı : U R(1 i m) são de classe C r. Consideremos um conjunto não-vazio M e uma família (x ı ) ı I de bijeções x ı : U ı x ı (U ı ), onde U ı M e x ı (U ı ) é um aberto de R m. Seja ϕ ıj = 103

111 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS = x ı x 1 j : x j (U i U j ) x ı (U ı U j ) e suponhamos que M = U ı, que x j (U ı U j ) seja aberto em R m e que ϕ ıj seja de classe C r, quaisquer que sejam ı I, j I. Seja T a coleção dos subconjuntos A de M da forma A = aberto qualquer de x ı (U ı ). ı J ı I x 1 ı (A ı ), onde A ı é um Lema 7.1. T é uma topologia em M e x ı : U ı x ı (U ı ) é um homeomorfismo. Dem. De fato, (a) M = U ı = ı I ı I x 1 ı (x ı (U ı )) T ; (b) se A k T, então k A k = k ı x 1 ı (A i,k ) = Ç å ı x 1 ı A i,k T ; k (c) se A = ı x 1 ı (A ı ) e B = j x 1 j (B j ) pertencem a T, então A B = Ä x 1 ı (A ı ) x 1 j (B j ) ä. Para provar que A B T, basta provar ı j que o conjunto G = x 1 ı (A ı ) x 1 (B j ) pertence a T. Ora, j x 1 ı (A ı ) x 1 j (B j ) U ı U j e, portanto, podemos achar x ı (G). Temos, x ı (G) = A ı x ı x 1 j (B j x j (U ı U j )). Como em R m e x ı x 1 j = ϕ ıj é um homeomorfismo, temos que G ı = x ı (G) é aberto G = x 1 ı (G ı ) T. Mostremos agora que, na topologia T, x ı : U ı x ı (U ı ) é um homeomorfismo. Da definição de T resulta que x ı é contínua. Seja A U ı aberto. Então, A = = j x 1 j (A j ) e x ı (A) = j ϕ ıj(a j ) e, como ϕ ıj é um homeomorfismo, resulta que x ı (A) é um aberto de R m e, portanto, x ı é uma aplicação aberta, donde um homeomorfismo. 104

112 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS Lema 7.2. Sejam M m uma variedade C k, T a topologia em M e T a topologia definida pelo atlas (x ı ) ı I em M. Então: T = T. Dem. Se A T então A = ı x 1 ı (A ı ), A ı x ı (U ı ) aberto em R m, donde A T pois x ı : U ı R m é um homeomorfismo. Reciprocamente, se B T então B = ı (B U ı) = ı B ı e, como B ı T, resulta que C ı = x ı (B ı ) é aberto em x ı (U ı ); logo, B ı = x 1 ı (C ı ) T, donde B T. Definição Se M m é uma variedade C k, seja T M = {p} T p M = {(p, v) ; p M e v T p M }. p M Vamos definir, a partir de um atlas A de classe C k de M m, um atlas A de classe C k 1 e dimensão 2m em T M. Seja π : T M M, π(p, v) = p. Se U M é aberto, então π 1 (U) = {(p, v) ; p U, v T p M} = T U. Consideremos x A, x : U R m, e definamos x : T U R m R m = R 2m por x(p, v) = = (x(p), x (p) v). x é uma bijeção de T U sobre o aberto x(u) R m de R 2m. Seja y : V R m outra carta em M. Então, ȳ x 1 (x(p), x (p) v) = ȳ(p, v) = = (y(p), y (p) v) = (y x 1 (x(p)), (y x 1 ) (x(p)) x (p)v). Como y x 1 C k, vem que ȳ x 1 : x(t U T V ) ȳ(t U T V ) é de classe C k 1 no aberto x(t U T V ) = x(u V ) R m. A é a família das aplicações x, quando x percorre A. Consideremos em T M a topologia associada a A ; então T U é aberto em T M e x : T U x(u) R m é homeomorfismo. A projeção π : T M M é contínua, pois sua expressão nas cartas x e x é π xx (x(p), x (p)v) = x(p), isto é, π xx é a restrição a x(u) R m da projeção π 1 : R m R m R m. A topologia de T M é Hausdorff, pois se (p, v) (q, ω) e p q, então existem abertos disjuntos A e B em M contendo p e q, respectivamente ; então π 1 (A) e π 1 (B) são abertos 105

113 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS disjuntos de T M contendo (p, v) e (q, ω), respectivamente. Se p = q, seja x : U R m carta em M com p U. Então, x(p, v) e x(p, ω)são pontos distintos em x(u) R m. Sejam A e B abertos disjuntos contendo esses pontos. Resulta que x 1 (A) e x 1 (B) são abertos disjuntos contendo (p, v) e (p, ω). A topologia de T M tem base enumerável pois T M tem cobertura (aberta) enumerável por abertos do tipo T U, e T U é homeomorfo a um aberto de R 2m. Assim, a um atlas A de M de classe C k, associamos um atlas A em T M, de classe C k 1. Se A 1 é atlas equivalente a A ; então A A 1 é atlas C k em M e, como A A 1 = Ā Ā1, resulta que Ā1 é equivalente a A, ou seja, à estrutura de variedade C k em M está associada uma estrutura natural de classe C k 1 em T M. Observemos que a projeção π : T M M é submersão sobrejetora de classe C k 1. Com esta estrutura diferencial, T M é o fibrado tangente a M. Se f : M N é de classe C k, então T f : T M T N, definida por T f(p, v) = (f(p), f (p)v), é a derivada ou diferencial de f, representada também por Df ou df. Temos o diagrama comutativo, onde π é a projeção do fibrado: T M T f T N π π M f N Obs. (1) Para cada p M existe vizinhança aberta U de p em M e um difeomorfismo ϕ : U R m π 1 (U), ϕ(q, v) = (q, x (q) 1 v) tal que π(ϕ(q, v)) = q para todo q U e todo v R m, de modo que T M é um exemplo de um fibrado diferencial com base M, projeção π e fibra típica R m. Além disso, para cada p M, a fibra π 1 (p) = T p M é um espaço vetorial e a aplicação parcial ϕ p : R m T p M 106

114 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS é um isomorfismo de espaços vetoriais, de modo que T M é um fibrado vetorial. (2) Seja X um campo de vetores em M C k. X define uma aplicação s : M T M, s(p) = (p, X p ). É claro que π s = id M ; dizemos que s é uma seção do fibrado T M. Reciprocamente, toda seção s : M T M define um campo de vetores X. Proposição Sejam M m uma variedade C k e X um campo de vetores em M. Se x : U R m é carta em M e x = m a ı em U, são equivalentes: ı=1 x ı (a) as funções a ı : U R, 1 ı m, são de classe C r, r < k; (b) s : U T M, s(p) = (p, X p ), é uma aplicação C r. Dem. A expressão de s nas cartas x : U R m e x : T U R 2m é dada Å por s x x (x(p)) = (x(p), x (p) X p ) = x(p), m a ı (p) e ı ã, onde (e 1,..., e m ) é a base canônica de R m e p U. Como x C k e a ı C r, resulta que s C r. i=1 Reciprocamente, se s C r, então a composta p x x(p) s 2 m a j (p)e j j=1 π ı aı (p) é de classe C r pois s 2 (x(p)) = x (p) X p é de classe C r e π 1 (a 1,..., a m ) = a i é de classe C, ou seja a ı : U R é de classe C r, 1 i m. Podemos, assim, definir um campo de vetores X de classe C r em M como sendo uma aplicação X : M T M, de classe C r, tal que π X = id M, ou seja, como uma seção C r do fibrado tangente T M. 107

115 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS 7.11 Exercícios do Capítulo 7 1. Sejam M m uma variedade C k, p M, v 1,..., v n T p M, vetores linearmente independentes. Mostre que existe carta x : U R m com p U, tal que v ı = (p), ı = 1, 2,..., n. x ı 2. Seja f : R 2 R de classe C. Mostre que o gráfico Γ(f) = {(x, y, f(x, y)) ; (x, y) R 2 } é uma subvariedade C de R Sejam (M, A) e (N, B) variedades C e f : M N um homeomorfismo que não é uma aplicação de classe C 1. Introduza em N uma estrutura diferencial C de modo que f : (M, A) (N, C ) seja um difeomorfismo. Mostre que B e C não são atlas equivalentes. 4. S = {(x, y, z, t) R 4 ; x 5 + y 5 + z 5 + t 5 = 1} é subvariedade de R 4? 5. S = {(x, y, z) R 3 ; x 3 + y 3 + z 3 = 1, z = xy} é subvariedade de R 3? 6. Seja ϕ : R n R n, ϕ(x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) onde y ı = n a ıj x j + + b ı, ı = 1,..., n, onde b = (b 1,..., b n ) R n. Se det(a ıj ) 0 dizemos que ϕ é uma transformação afim. As transformações afins do R n formam o "grupo afim" do R n. Prove que toda transformação afim do R n é um difeomorfismo. j=1 7. Seja ϕ : R n+1 R n+1 linear bijetora. Seja π : R n+1 {0} P n, π(x) = =reta definida por x, passando pela origem de R n+1, onde P n é o espaço projetivo (real) n-dimensional. Seja ψ : P n P n tal que ψ π = π ϕ. ψ chama-se uma transformação projetiva de P n ; o conjunto delas forma o "grupo projetivo" de P n. Prove que toda transformação projetiva é um difeomorfismo. Se Z é o conjunto das matrizes λi n+1, λ R, λ 0, I n+1 = 108

116 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS ϕ R n+1 {0} R n+1 {0} π π P n ψ P n = matriz identidade, então Z é subgrupo normal de GL(n + 1, R). Prove que o grupo projetivo de P n é isomorfo a GL(n + 1, R)/Z. 8. Seja M m uma variedade C k. Se p M representemos por M p a coleção das cartas x : U R m tais que p U. Um vetor tangente a M em p é uma aplicação v : M p R m que satisfaz à seguinte condição: se x, y M p, se v(x) = (α 1,..., α m ) e v(y) = (β 1,..., β m ), então β ı = m y ı (p) α j, j=1 Ç å x j yı ı = 1,..., m, onde (p) é a matriz jacobiana da mudança de coordenadas y x 1, calculada em x(p). Mostre que esta definição é equivalente x j à usual. 9. Sejam N variedade C k, M espaço topológico e f : M N contínua. Existe no máximo uma estrutura de variedade C k em M que torna f uma imersão C k. 10. Sejam M variedade C k, N um conjunto e f : M N sobrejetora. Existe no máximo uma estrutura de variedade C k em N que torna f uma submersão C k. 11. Sejam N uma variedade, M N uma subvariedade de mesma dimensão. Prove que M é um aberto de N. Se N é conexa e M compacta, então M = N. 12. Seja f : M m N n uma imersão C k. f(m) é subvariedade de dimensão m e classe C k de N se, e só se, f : M f(m) é aplicação aberta, f(m) com 109

117 CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS a topologia induzida de N. 13. Prove que uma aplicação f : R 2 C R não pode ser injetora. 14. Sejam M m variedade compacta e f : M m R m de classe C. Prove que f não pode ser uma imersão. 15. Seja M m R n uma superfície C k. Todo ponto p M possui vizinhança V parametrizada por aplicação ϕ : V o V, ϕ C k, V 0 R m, da forma ϕ(y) = (y, f(y)), y V Seja M m R n superfície C k. Para cada p M existe aberto A R n, p A, e aplicação g : A R n m de classe C k, tal que 0 R n m é valor regular de g e M A = g 1 (0). 17. Prove que P 1 e S 1 são difeomorfos. 18. Sejam M m variedade C k compacta e f : M m R n de classe C k. Mostre que f tem um ponto crítico. 19. Seja f : M N uma imersão injetora C k. Prove que, se M é compacta, então f(m) é subvariedade de N. 20. Sejam M m uma variedade C k e f : U R uma função C k definida numa vizinhança U de p M. Prove que existe f : M R de classe C k que coincide com f numa vizinhança V de p. 110

118 Capítulo 8 Álgebra Exterior Este capítulo é de natureza puramente algébrica. Nele introduzimos as aplicações multilineares alternadas, e o produto exterior de p-formas por q-formas. Como aplicação definimos o determinante de um operador linear, e também o produto interior de um vetor por uma p-forma. 8.1 Álgebra Exterior Definição 8.1. Sejam V e W espaços vetoriais reais e r N. Uma aplicação f : V. r.. V W é r-linear se: f(v 1,..., v ı + u ı,..., v r ) = f(v 1,..., v ı,..., v r ) + f(v 1,..., u ı,..., v r ); f(v 1,..., λv ı,..., v r ) = λf(v 1,..., v ı,..., v r ), para ı = 1,..., r, e quaisquer λ R e v 1,..., v ı, u ı,..., v r V. O conjunto de todas as aplicações r-lineares de V em W, representado por L r (V, W ), é um espaço 111

119 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR vetorial real, as leis sendo definidas do modo usual. Por convenção, L o (V, W ) = W, e L 1 (V, W ) = L(V, W ) é o espaço das aplicações lineares de V em W. Definição 8.2. f L r (V, W ) é alternada se f(v 1,..., v r ) = 0 toda vez que dois dos vetores v ı são iguais. As aplicações r-lineares alternadas formam um subespaço vetorial A r (V, W ) de L r (V, W ). Convenciona-se que A 0 (V, W ) = W e A 1 (V, W ) = L(V, W ). É fácil ver que f L r (V, W ) é alternada se, e só se, f é antissimétrica, isto é, f(v 1,..., v ı,..., v j,..., v r ) = f(v 1,..., v j,..., v ı,..., v r ). No caso em que W = R, os elementos de L r (V, R) são chamados de formas r-lineares. Em particular, L(V, R) = V é o dual de V. O espaço é também representado por de r V. Assim, r V são também chamados de r-covetores. A r (V, R) das formas r-lineares alternadas 0 V = R e 1 V = V. Os elementos Definição 8.3. Seja S r o grupo das permutações do conjunto {1, 2,..., r} ; S r tem r! elementos. Uma transposição é um elemento σ S r para o qual existem inteiros ı e j, 1 ı, j r, tais que σ(ı) = j, σ(j) = ı e σ(k) = k para k ı, k j, ou seja, σ troca ı e j mantendo os demais elementos fixos. É claro que σ 2 = 1, isto é, σ 1 = σ. A Proposição seguinte é bem conhecida. Proposição 8.1. Toda permutação τ S r pode ser escrita na forma τ = = σ 1 σ 2... σ k, onde cada σ ı é uma transposição e a paridade do número destas transposições é sempre a mesma. O sinal de τ S r é +1 se τ é produto de número par de transposições (isto é, se τ é uma permutação par ) e 1 se τ é produto de número ímpar de transposições (ou seja, se τ é uma permutação ímpar). O sinal de τ é representado por ε(τ) ou ε τ. Se σ é uma transposição temos ε(σ) =

120 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Definição 8.4. Se f L r (V, W ) e σ S r, definimos (σf) L r (V, W ) por (σf)(v 1,..., v r ) = f(v σ(1),..., v σ(r) ), quaisquer que sejam v 1,..., v r V. Proposição 8.2. Se f L r (V, W ), τ S r, σ S r, então (τσ)f = τ(σf). Dem. Temos: τ(σf)(v 1,..., v r ) = (σf)(v τ(1),..., v τ(r) ). Seja u ı = v τ(ı). Então, (σf)(u 1,..., u r ) = f(u σ(1),..., u σ(r) ) = f(v τσ(1),..., v τσ(r) ) = (τσ)f(v 1,..., v r ), para v 1,..., v r quaisquer em V. Logo, τ(σf) = (τσ)f. Proposição 8.3. Seja f L r (V, W ). Então, f A r (V, W ) se, e só se, τf = ε(τ)f para toda τ S r. Dem. Se σ é uma transposição, temos σf = f. Se τ S r e τ = σ 1... σ n, onde σ ı é transposição (1 ı n), então τf = (σ 1 σ n )f = ( 1) n f = ε(τ)f. A recíproca é imediata. Definição 8.5. Se f L p (V, R) e g L q (V, R), definimos seu produto tensorial f g L p+q (V, R) por (f g)(v 1,..., v p+q ) = f(v 1,..., v p ) g(v p+1,..., v p+q ), para v 1,..., v p+q quaisquer em V. Definição 8.6. Se f L p (V, R), definimos Alt(f) por Alt f = 1 ε(σ)(σf), p! σ S p ou seja, (Alt f)(v 1,..., v p ) = 1 ε(σ)f(v σ(1),..., v σ(p) ), quaisquer que sejam p! σ S p v 1,..., v p em V. 113

121 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Proposição 8.4. (a) f L p (V, R) implica Alt f p V, e a aplicação Alt : L p (V, R) p V é linear. (b) ω p V implica Alt ω = ω. Em particular, f L p (V, R) implica Alt(Alt f) = Alt f. Dem. (a) seja τ a transposição que troca ı e j. Se α S p e β = α τ, então Alt f(v 1,..., v j,..., v i,..., v p ) = 1 ε(α)f(v α(1),..., v α(j),..., v α(i),..., v α(p) ) = p! α S p = 1 ε(α)f(v β(1),..., v β(i),..., v β(j),..., v β(p) ) = 1 ε(β)f(v β(1),..., v β(p) ) = p! α S p p! β S p = Alt f(v 1,..., v i,..., v j,..., v p ), quaisquer que sejam v 1,..., v p em V. Logo, Alt f p V. (b) Se ω p V, então σω = ε(σ)ω para todo σ S p. Logo, Alt ω = 1 ε(σ)(σω) = 1 ω = ω. p! σ S p p! σ S p Em particular, se f L p (V, R) então Alt f p V, donde Alt(Alt f) = Alt f. Definição 8.7. Se α p V e β q V, definimos o produto exterior α β p+q V por α β = (α β)(v 1,..., v p+q ) = 1 p!q! (p + q)! p! q! para v 1,..., v p+q V quaisquer. Alt(α β), ou seja, σ S p+q ε(σ) α(v σ(1),..., v σ(p) ) β(v σ(p+1),..., v σ(p+q) ), 114

122 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Exemplo Sejam α e β duas formas lineares, isto é, α, β V. Então, α β 2 V e (α β)(v 1, v 2 ) = α(v 1 )β(v 2 ) α(v 2 )β(v 1 ). É claro que α α = 0. Exemplo Sejam α V e β p V. Então, (α β)(v 0, v 1,..., v p ) = = 1 ε(σ)α(v σ(0) ) β(v σ(1),..., v σ(p) ) = 1 p ε(σ)α(v i ) β(v σ(1),..., v σ(p) ). p! σ S p+1 p! i=0 Seja π i a permutação, do conjunto σ S p+1 σ(0)=i {0, 1,..., i 1, i + 1,..., p} = {σ(1),..., σ(p)}, tal que π i (0) = σ(1),..., π i (i 1) = σ(i), π i (i + 1) = σ(i + 1),..., π i (p) = σ(p). Então, ε(σ) = ( 1) i ε(π i ) e obtemos (α β)(v 0,..., v p ) = 1 p! p i=0 σ S p+1 σ(0)=i ε(σ)α(v i )ε(π i )β(v 0,..., v i,..., v p ) = = 1 p! p i=0 σ S p+1 σ(0)=i p ( 1) i α(v i ) β(v 0,..., v i,..., v p ) = ( 1) i α(v i )β(v i,..., ˆv i,..., v p ), i=0 onde o circunflexo "^" indica que o vetor correspondente deve ser omitido. Obs. Da definição decorre imediatamente que a aplicação (α, β) α β é bilinear. Proposição 8.5. Sejam α p V e β q V. Então, α β = ( 1) pq β α. Dem. Quaisquer que sejam v 1,..., v p+q em V, temos p! q! (β α)(v 1,..., v p+q ) = = τ S p+q ε(τ)β(v τ(1),..., v τ(q) ) α(v τ(q+1),..., v τ(p+q) ). Seja ρ a permutação que transforma {1, 2,..., p + q} em {q + 1,..., q + p, 1,..., q}. Então: ε(ρ) = ( 1) pq. 115

123 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Seja σ = τ ρ. Quando τ percorre S p+q o mesmo acontece com σ, de modo que ε(τ)β(v τ(1),..., v τ(q) ) α(v τ(q+1),..., v τ(p+q) ) = τ S p+q = ε(τ)β(v σ(p+1),..., v σ(p+q) ) α(v σ(1),..., v σ(p) ) = τ = σ ( 1)pq ε(σ)α(v σ(1),..., v σ(p) ) β(v σ(p+1),..., v σ(p+q) ) = = p! q! ( 1) pq (α β)(v 1,..., v p+q ), donde a tese. Lema 8.1. Se f L p (V, R), g L q (V, R) e Alt f = 0, então Alt(f g) = = Alt(g f) = 0. Dem. Quaisquer que sejam v 1,..., v p+q em V, temos Alt(f g)(v 1,..., v p+q ) = = 1 ε(σ)f(v σ(1),..., v σ(p) ).g(v σ(p+1),..., v σ(p+q) ). (p + q)! σ S p+q Seja G S p+q o subgrupo das permutações que deixam (p + 1),..., (p + q) fixos. Então, ε(σ)f(v σ(1),..., v σ(p) ).g(v σ(p+1),..., v σ(p+q) ) = σ G ñ ô = ε(τ)f(v τ(1),..., v τ(p) ) g(v p+1,..., v p+q ) = τ S p = p! Alt f(v 1,..., v p ) g(v p+1,..., v p+q ) = 0. Sejam α S p+q, α / G, Gα = {σ.α; σ G}. Ponhamos v α(1) = u 1, v α(2) = u 2,..., v α(p+q) = u p+q. Então, = ε(σ)f(v σ(1),..., v σ(p) ) g(v σ(p+1),..., v σ(p+q) ) = ô ε(α) ε(τ)f(u τ(1),..., u τ(p) ) g(u p+1,..., u p+q ) = 0. ñσ G α τ G Observemos que se σ G G α, então σ = τ α para algum τ G; logo, α = σ τ 1 G, absurdo. Então, G G α = ø. Continuando desta forma, 116

124 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR dividimos S p+q em subconjuntos disjuntos. Como a soma sobre cada um desses subconjuntos é igual a zero, resulta que a soma sobre S p+q também é igual a zero. Portanto, Alt(f g) = 0. Analogamente, Alt(g f) = 0. Proposição 8.6. Sejam α p V, β q V e γ r V. Então, (a) Alt(Alt(α β) γ) = Alt(α β γ) = Alt(α Alt(β γ)); (b) (α β) γ = α (β γ) = (p + q + r)! p! q! r! Alt(α β γ). Dem. (a) Como Alt [Alt(β γ) β γ] = Alt(β γ) Alt(β γ) = 0, o Lema anterior nos dá, 0 = Alt {α [Alt(β γ) β γ]} = Alt [α Alt(β γ)] Alt(α β γ), donde Alt [α Alt(β γ)] = Alt(α β γ). Analogamente, Alt [Alt (α β) γ] = Alt(α β γ), donde a tese. (b) Temos, (α β) γ = (p + q + r)! (p + q)! r! Alt [(α β) γ] = = (p + q + r)! (p + q)! r! (p + q)! p! q! Alt [Alt(α β) γ] = = (p + q + r)! (p! q! r! Alt(α β γ), e analogamente para α (β γ), donde a igualdade. 117

125 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Proposição 8.7. Seja (e 1,..., e n ) uma base do espaço vetorial real V e seja (e 1,..., e n) a base dual associada. Todo elemento ω p V se escreve, de modo único, na forma ω = a i1 i 2...i p e i 1... e i p, 1 i 1 <...<i p n onde a i1...i p R, ou seja, os elementos e i 1... e i p correspondentes a todas as sequências crescentes p V. 1 i 1 <... < i p n de p inteiros, formam uma base para Dem. Se v 1,..., v p são vetores de V e ω p V, então v j = n v ij e i, 1 j p, e temos Ç n ω(v 1,..., v p ) = ω = n i 1,...,i p=1 n = i 1,...,i p=1 i 1 =1 v i1 1e i1,..., n i p=1 v i v ipp ω(e i1,..., e ip ) = a i1... a ip v i v ipp, v ippe ip å = i=1 onde a i1...i p = ω(e i1,..., e ip ). Como ω é alternada, temos ω(v σ(1),..., v σ(p) ) = = ε(σ)ω(v 1,..., v p ) e, portanto, a iσ(1)...i σ(p) = ε(σ)a i1... i p. Além disso, a i1... i p = 0 toda vez que dois dos inteiros i 1,..., i p são iguais. Basta, então, considerar o caso em que estes inteiros são distintos. Se gruparmos o conjunto dos p! termos que se deduzem uns dos outros por uma permutação de {i 1,..., i p }, obteremos Ç å ω(v 1,..., v p ) = a i1...i p ε(σ)v i1σ(1)... v ipσ(p). 1 i 1 <...<i p n σ S p Por outro lado, (e i 1... e i p )(v 1,..., v p ) = p! Alt(e i 1 e i p )(v 1,..., v p ) = = σ S p ε(σ)e i 1 (v σ(1) ) e i p (v σ(p) ) = σ S p ε(σ)v iσ(1) v ipσ(p). 118

126 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Portanto, ω = a i1... a ip e i 1... e i p, 1 i 1 <...<i p n e esta representação é única pois a i1 i p = ω(e i1,..., e ip ). Corolário 8.1. Se n p > n = dim V, então p V = 0. Se p = n, todo elemento de V é da forma ae 1... e n, com a R e, então, dim n Ñ é V = 1. A dimensão p n de V n!, para p n, é = p p!(n p)!. Proposição 8.8. Se f A p (V, W ) e v 1,..., v p são vetores linearmente dependentes em V, então f(v 1,..., v p ) = 0. Dem. Existe i {1,..., p} tal que v i = λ j v j, λ j R. Então, f(v 1,..., v i,..., v p ) = j i λ j f(v 1,..., v j,..., v p ) = 0 pois f é alternada. j i 8.2 Determinantes Se V e W são espaços vetoriais reais, toda T : V W linear, induz aplicação linear T : p W p V definida por (T ω) (v 1,..., v p ) = ω(t v 1,..., T v p ), onde ω p W e v 1,..., v p são vetores de V. Se S : U V e T : V W são lineares, é fácil ver que (T S) = = S T. Definição 8.8. Seja T : V V um operador linear, n = dim V. Então, dim n V = 1 e T : n V n V é da forma T (ω) = aω, onde a R e ω n V. Dizemos que este número a é o determinante do operador T, e escrevemos a = det T. Assim, det T é o número real tal que ω(t v 1,..., T v n ) = = det T ω(v 1,..., v n ) para todo ω n V e v 1,..., v n em V, arbitrários. 119

127 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Proposição 8.9. Seja V um espaço vetorial real de dimensão n. (a) Se I : V V é a identidade, então det I = 1. (b) Se S : V V e T : V V são lineares, então det(s T ) = det S. det T. (c) O operador linear T : V V é invertível se, e só se, det T 0. Dem. Para todo ω n V e v 1,..., v n em V, arbitrários, temos: (a) ω(iv 1,..., Iv n ) = ω(v 1,..., v n ), donde det I = 1. (b) det(s T ).ω(v 1,..., v n ) = ω(st v 1,..., ST v n ) = det S.ω(T v 1,..., T v n ) = = det S. det T.ω(v 1,..., v n ), donde det(s T ) = det S. det T. (c) Se T é invertível, então det T. det T 1 = det I = 1, donde det T 0. Reciprocamente, seja det T 0. Se (v 1,..., v n ) é base de V, consideremos ω n V tal que ω(v 1,..., v n ) 0. Então, ω(t v 1,..., T v n ) = = det T.ω(v 1,..., v n ) 0, donde T v 1,..., T v n são linearmente independentes e, portanto, T é invertível. Definição 8.9. Seja A = (a ij ) 1 i,j n uma matriz quadrada real. Se T A : R n R n é a transformação linear cuja matriz, relativamente à base canônica (e 1,..., e n ) de R n, é A, definimos det A como sendo det T A. Se ω n (R n ) é a n-forma tal que ω(e 1,..., e n ) = 1, então ( n ) n det A = ω(t A e 1,..., T A e n ) = ω a i1 e i,..., a in e i = ω(a 1,..., A n ), i=1 i=1 onde A 1,..., A n, são os vetores-coluna de A. Assim, det : M(n, R) R é a única função n-linear alternada dos vetores-coluna de uma matriz, cujo valor na 120

128 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR identidade é igual a 1. Observemos que se (e 1,..., e n) é a base de (R n ) dual de (e 1,..., e n ), então Alt(e 1... e n)(e 1,..., e n ) = 1 ε(σ)e n! 1(e σ(1) )... e n(e σ(n) ) = 1 σ S n n!, ou seja ω = n! Alt(e 1... e n). Resulta, det A = ω(a 1,..., A n ) = ε(σ)e 1(A σ(1) )... e n(a σ(n) ) = ε(σ)a 1σ(1) a nσ(n), σ S n σ S n o que nos dá a definição clássica de det A, A = (a ij ) n n. Corolário 8.2. Se ω 1,..., ω n são formas lineares em V, isto é, elementos de V, e v 1,..., v n são vetores em V, então (ω 1... ω n )(v 1,..., v n ) = det(ω i (v j )). Dem. Temos: (ω 1... ω n )(v 1,..., v n ) = n! Alt(ω 1... ω n )(v 1,..., v n ) = = σ S n ε(σ)ω 1 (v σ(1) )... ω n (v σ(n) ) = det(ω i (v j )). Proposição As formas lineares ω 1,..., ω n em V são linearmente dependentes se, e só se, ω 1... ω n = 0. Dem. Seja f(ω 1,..., ω n ) = ω 1... ω n. Então, f A n (V, n V ). Logo, pela Proposição 8.8, se ω 1,..., ω n são linearmente dependentes, temos f(ω 1,..., ω n ) = 0. Se ω 1,..., ω n são linearmente independentes, existem vetores v 1,..., v n em V tais que ω i (v j ) = δ ij, donde det(ω i (v j )) = 1 e, portanto, ω 1... ω n

129 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Obs. Quando V é um espaço vetorial de dimensão finita n, sabemos que J : V V, J(v) ϕ = ϕ(v), v V, ϕ V, é um isomorfismo canônico, de modo que podemos identificar V com V. Com esta identificação, A p (V, R) = p V = p V é a p-ésima potência exterior de V. Um elemento ϕ p V é uma aplicação ϕ : V. p.. V R que é p-linear alternada. Se v 1,..., v p estão em V, então v 1... v p p V é tal que, para ω 1,..., ω p em V, se tem (v 1... v p )(ω 1,..., ω p ) = det(v i (ω j )) = det(ω j (v i )). É usual a notação ω, v para indicar ω(v) ou v(ω). Os elementos de Consideremos a soma direta externa p V são chamados de p-vetores. V = 0 V 1 V n n p p V = V = V, p=0 p 0 onde n = dim V, isto é, V = R V 2 V n V. Cada z V se escreve, de modo único, na forma z = z 0 + z z n, onde z i i V. Definimos a aplicação bilinear : V V V (z, ω) z ω por (z ω) = (z 0 + z z n ) (ω 0 + ω ω n ) = z 0 ω 0 + (z 1 ω 0 + z 0 ω 1 ) + + z n ω n. Com este produto, o espaço vetorial V se torna uma álgebra e tem o nome de álgebra exterior de V ou álgebra de Grassmann de V. Uma base (e 1,..., e n ) de V determina uma base de V formada pelos elementos e i1... e ip = e I onde I = {i 1 < i 2 <... < i p } percorre todos os subconjuntos "crescentes" de {1, 2,..., n} com p elementos e e I = 1 se I = ø. Logo, dim V = 2 n = 2 dim V. 122

130 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR 8.3 Produto Interior Definição Sejam v V e ω p V. Definimos o produto interior de ω por v como sendo quaisquer que sejam v 1,..., v p 1 em V. i v (ω) p 1 V tal que i v ω(v 1,..., v p 1 ) = ω(v, v 1,..., v p 1 ) Proposição O produto interior i : V p V p 1 V tem as seguintes propriedades: (a) (b) i v1 +v 2 (ω) = i v1 (ω) + i v2 (ω); i av (ω) = ai v (ω); (c) i v (α 1 + α 2 ) = i v (α 1 ) + i v (α 2 ); (d) (e) (f) (g) i v (aω) = ai v (ω); i v (ω 1... ω p ) = p ( 1) i+1 ω i (v).ω 1... ω i... ω p ; i=1 i v (α β) = i v (α) β + ( 1) p α i v (β); i v1 (i v2 (ω)) = i v2 (i v1 (ω)), quaisquer que sejam v, v 1, v 2, V ; ω 1, ω 2,..., ω p V ; β q V ; a R ; ω, α, α 1, α 2 p V. Dem. (a),(b),(c),(d) são imediatas. (e) i v (ω 1... ω p )(v 1,..., v p 1 ) = (ω 1..., ω p )(v, v 1,..., v p 1 ) = = [v (v 1... v p 1 )](ω 1,..., ω p ) = p ( 1) i+1 v, ω i (v 1... v p 1 )(ω 1,..., ω i,..., ω p ) = v 1, v 2,..., v p 1 em V, ar- = p ( 1) i+1 ω i (v)(ω 1,..., ω i,..., ω p )(v 1,..., v p 1 ) para i=1 bitrários. i=1 123

131 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Portanto, i v (ω... ω p ) = p ( 1) i+1 ω i (v)(ω 1... ω i... ω p ). i=1 (f) Basta provar no caso em que α e βsão da forma α = α 1... α p e β = α p+1... α p+q, onde α i V, 1 i p + q. Neste caso, temos: i v (α β) = p+q ( 1) i+1 α i (v).α 1... α i... α p+q = i=1 = p ( 1) i+1 α i (v).α 1... α i... α p... α p+q + i=1 +(α 1... α p ) p+q ( 1) j+1 α j (v).α p+1... α j... α p+q = j=p+1 Å p ã = ( 1) i+1 α i (v).α 1... α i... α p (α p+1... α p+q )+ i=1 +( 1) p (α 1... α p ) q ( 1) j+1 α p+j (v).α p+1... α p+j... α p+q = j=1 = i v (α) β + ( 1) p α i v (β). (g) i v1 (i v2 (ω))(v 3,..., v p ) = ω(v 2, v 1, v 3,..., v p ) = ω(v 1, v 2, v 3,..., v p ) = = i v2 (i v1 (ω))(v 3,..., v p ) quaisquer que sejam v 3,..., v p em V, donde a tese. 8.4 Exercícios do Capítulo 8 1. Sejam f = a 1 e a n e n, g = b 1 e b n e n, onde (e 1,..., e n) é a base dual da base canônica de R n, e ω = f g = ω ij e i e j. Prove que i<j ω ij ω ik ω il a j a k a l = 0 (i, j, k, l = 1,..., n). b j b k b l 2. Sejam (v 1,..., v r ) e (v 1,..., v r) bases ordenadas do subespaço V R n. Prove que existe c R tal que v 1... v r = cv 1... v r. 3. α p V é decomponível se existem v 1,..., v p V tais que α = v 1... v p. 124

132 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR Prove: (a) Se α é decomponível então α α = 0. (b) e 1 e 2 + e 3 e 4 não é decomponível, onde (e 1,..., e n ) é a base canônica do R n. 4. (Lema de Cartan) Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n, v 1,..., v r V r e ω 1,..., ω r V tais que v j ω j = 0. Prove que ω j = r a ij v i, onde a ij = a ji, 1 j r. j=1 i=1 5. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n, x = v 1... v r, y = u 1... u r, v 1,..., v r, u 1,..., u r V. Prove que x = y se, e só se, existe matriz r r A = (a ij ) tal que u j = r a ij v i e det A = 1. i=1 6. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n e W V um subespaço de dimensão r. Se (ω 1,..., ω r ) é base ordenada de W e z = ω 1... ω r, prove que W = {v V ; v z = 0}. 7. Duas sequências (u 1,..., u r ) e (v 1,..., v r ) de vetores do espaço vetorial real V geram o mesmo subespaço W se, e só se, existe λ R tal que u 1... u r = λv 1... v r. 8. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n e v 1,..., v r vetores L. I. de V. Prove que W = {v v 1... v r ; v V } é um subespaço de dimensão (n r) de r+1 V. 9. Sejam v 1,..., v 2r vetores L.I. do espaço vetorial real V e z = v 1 v 2 + v 3 v v 2r 1 v 2r. Prove que z r = z. r.. z = r!v 1... v 2r. 125

133 CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR 10. Seja (e 1,..., e n ) base ordenada do espaço vetorial real V e (e 1,..., e n) a base dual. Se f = n a i e i e g = n i=1 i ek (f) = a k e i ek (g) = n b kj e j. j=1 i,j=1 b ij e i e j, com b ij = b ji, prove que 11. Sejam α 1,..., α p 1-formas linearmente independentes em R n. Se α é 1-forma tal que α α 1... α p = 0, mostre que α é combinação linear de α 1,..., α p e, neste caso, que existe (p 1)-forma β tal que α 1... α p = α β. 12. Seja (e 1,..., e n ) base ordenada do espaço vetorial real V e (e 1,..., e n) a base dual. Se ω = i<j<k = b jk e j e k, prove que j<k a ijk e i e j e k, b jk = n v i a ijk. i=1 v = n v i e i, e i v ω = i=1 126

134 Capítulo 9 Formas Diferenciais Começamos este capítulo introduzindo a noção fundamental de r forma diferencial numa variedade diferencial M m. Achamos sua expressão local e definimos sua diferencial exterior (que generaliza a diferencial de uma função f : M R). Estudamos as variedades com bordo e o conceito de orientação, introduzimos a noção de integral de uma m forma contínua de suporte compacto em uma variedade orientada e, dentre outros, demonstramos os teoremas de Stokes, Brouwer diferenciável, Poincaré-Brouwer, e o Lema de Poincaré. A seguir mostramos como se pode integrar uma função f : M R quando M é uma variedade riemaniana, e provamos que toda função harmônica numa variedade riemaniana compacta, conexa, orientada, é constante. Terminamos o capítulo estudando o grau de uma aplicação, e calculamos o grau da aplicação normal de Gauss de uma hipersuperficie compacta do R n. 127

135 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS 9.1 Generalidades Definição 9.1. Seja M m uma variedade diferencial de classe C k, k 1. Uma forma diferencial de grau r, ou uma r-forma, em M, é uma aplicação p M ω(p) r M p, onde M p = (T p M) é o espaço cotangente a M em p. Por exemplo, uma forma de grau 0 é simplesmente uma função f : M R. Se ω(p) r M p e v 1,..., v r T p M, então ω(p)(v 1,..., v r ) é também representado por ω(p; v 1,..., v r ). Definição 9.2. Sejam M m e N n variedades e f : M N de classe C 1. Se ω é uma r forma em N, definimos a r forma (f ω) em M por (f ω) (p; v 1,..., v r ) = ω (f(p); f (p)v 1,..., f (p) v r ), onde v 1,..., v r T p M. A forma f ω é a imagem inversa de ω por f (ou o "pull back" de ω por f). Se ω é forma diferencial de grau r em M e x : U R m é uma carta em torno de p M, então (x 1 ) (ω) é uma r forma em x(u). Logo, (x 1 ) (ω)(x(p)) = = a i1...i r (x(p))u i1... u ir, onde u i : R m R é a i-ésima forma coordenada i 1 <...<i r e a i1...i r : x(u) R. Pondo b i1...i r = a i1...i r x : U R, x i = u i x : U R, t i = x (p)v i, onde v i T p M, obtemos d x i (p) = u i x (p) para todo p U, e ω(p; v 1,..., v r ) = ω(p; x (p) 1 t 1,..., x (p) 1 t r ) = (x 1 ) (x(p); t 1,..., t r ) = = i 1 <...<i r b i1...i r (p)d x i1 (p)... dx ir (p)(v 1,..., v r ). Logo, ω = x : U R m. i 1 <...<i r b i1...i r dx i1... dx ir, que é a expressão de ω na carta 128

136 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Seja y : V R m outra carta em torno de p M. Então, ω =... dy jr. Temos: y i = u i (y x 1 ) x, donde dy i = m y i dx j, onde j=1 x j matriz jacobiana de (y x 1 ) no ponto x(p). Portanto, j 1 <...<j r c j1...j r dy j1 Ç å yi (p) é a x j dy j1... dy jr = m ( = ε(σ) y j 1 i 1 <...,<i r σ S r i 1,...,i r=1 x σ(i1 ) y j1 y j r dx i1... dx ir = x i1 x) ir... y jr x σ(ir) dx i1... dx ir = = i 1 <...<i r (y j1,... y jr ) (x i1,..., x ir ) dx i 1... dx ir, que também se escreve: dy J = I y J x I dx I. Portanto, ω = c j1...j r d y j1... dy jr = c J dy J = y J c J dx I = j 1 <...<j r J J I x I = b I dx I. Resulta, b I = y J c J ;, ou seja, b i1...i I J x r = (y j1,... y jr ) c j1...j r I j 1 <...<j r (x i1,..., x ir ), expressão que mostra que, se s < k, c j1...j r C s implica b i1...i r C s. Definição 9.3. Seja M uma variedade de classe C k e ω uma r forma diferencial em M. Se, numa vizinhança coordenada U, ω = a i1...i r dx i1... dx ir, i 1 <...<i r dizemos que ω C s, s < k, se as funções reais a i1,...,i r são de classe C s. As operações sendo definidas ponto a ponto, o conjunto Ω s r(m) das r formas diferenciais de classe C s em M é um espaço vetorial real. Se α Ω s r(m) e β Ω s q(m) então, para cada p M, temos que α(p) β(p) é um elemento de r+q M p. A aplicação p α(p) β(p) é de classe C s ; é o produto exterior α β das formas α e β. Assim, (α β)(p; v 1,..., v q+r ) = 1 q!r! σ S q+r ε(σ)α(p; v σ(1),..., v σ(r) ) β(p; v σ(r+1),..., v α(r+q) ) 129

137 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Se f : M R é de classe C s, isto é, f Ω s o(m), e ω Ω s r(m), então f ω = fω é a r forma definida por fω(p; v 1,..., v r ) = f(p) ω(p; v 1,..., v r ), quaisquer que sejam v 1,..., v r T p M. Obs. Ω s (M) = Ω s r(m) é a álgebra das formas diferenciais de classe C s em r 0 M m. Todo elemento ω Ω s (M) é da forma ω = ω 0 + ω ω m, onde ω i Ω s i (M) e m = dim M. Ω s r(m) é um módulo sobre o anel Ω s 0(M) = C s (M, R) das funções numéricas de classe C s em M. 9.2 Diferencial Exterior Definição 9.4. Seja ω Ω k r(m). Se a expressão local de ω é ω = I a I dx I, I = {i 1 <... < i r }, definimos sua diferencial exterior dω Ω k 1 r+1(m) por dω = da I dx I = da i1...i r dx i1... dx ir = I i 1 <...<i r = n a i1...i r dx j dx i1... dx ir. i 1 <...<i r j=1 x j Proposição 9.1. Seja M uma variedade de classe C k+1. Então: (a) d(α + β) = dα + dβ; (b) df = f ; (c) d(α ω) = dα ω + ( 1) r α dω; (d) d 2 (γ) = d(dγ) = 0 para toda γ Ω k+1 r (M), quaisquer que sejam α Ω k r(m), β Ω k r(m), f Ω k 0(M), ω Ω k q(m), sendo k

138 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Dem. Os cálculos serão feitos num mesmo sistema de coordenadas x : U R m em M. (a) e (b) são imediatos. Para provar (c), sejam α = I a I dx I e ω = J b J dx J. Então, α ω = a I b J dx I dx J e d(α ω) = J da I + a I db J ) Å I,J ã Å ã Å I,J(b ã Å ã dx I dx J = d a I d x I b J d x J + a I ( 1) r d x I db J d x J = = dα ω + ( 1) r α d ω. I J (d) Basta considerar o caso em que γ = ad x i1... d x ir = ad x I. Então, = j<k dγ = d a d x I = m d 2 γ = m Ç m j=1 k=1 2 a x j x k x k x j j=1 I a x j dx j dx i1... dx ir, e 2 a d x k d x j d x i1... d x ir = x k x j å 2 a d x j d x k d x i1... d x ir = 0, J pois a C 2 implica 2 a x j x k = 2 a x k x j. Logo : d 2 = 0. Vamos mostrar agora que a definição de d independe da carta, isto é, se x : U R m e y : V R m são cartas em torno de p M, então d x ω = d y ω. De fato, se ω = a K d x K = K L b L d y L, então d y ω = d b L d y L = L L = L,K K x K d a K dy L + a K d y L L,K Ç x K d a K y L å d y L = Ç å xk d y L = y L = da K dx K + a K d (d x K ) = da K dx K = d x ω, K K K e a diferencial exterior dω é uma (r+1) forma de classe C k definida em M C k+1, k

139 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Exemplo Seja ω = P d x + Qd y + Rd z em R 3, os coeficientes sendo de classe C k. Então, Ç R d ω = d P d x + d Q d y + d R d z = y Q Ç z P + z R å Ç Q d z d x + x x P y å d x d y, å d y d z+ ou seja, se ω corresponde ao campo de vetores ω = (P, Q, R), então d ω corresponde ao campo rot ω. Exemplo Sejam U um aberto do R n e ω Ω k r(u), isto é, ω : U r (R n ). Se ω = Ora, i 1,...,i r a i1...i r d x i1... d x ir, se v R n, e se p U, então ω (p) v = i 1,...,i r Ä a i1...i r (p) v ä d x i1... d x ir. d ω(p; v 1,..., v r+1 ) = d a i1...i r (p) dx i1... d x ir (v 1,..., v r+1 ) = i 1,...,i r = r+1 ( 1) j+1 (a i 1...i r (p) v j )(d x i1... d x ir )(v 1,..., v j,..., v r+1 ) = i 1,...,i r j=1 = r+1 ( 1) j+1 (ω (p) v j )(v 1,..., v j,..., v r+1 ), j=1 fórmula que relaciona a diferencial exterior d ω : U r+1 (R n ) com a derivada usual ω : U L(R n, r (R n ) ). Obs. Consideremos agora f : M m N n de classe C k+1 e ω Ω k r(n). Se a expressão local de ω no sistema de coordenadas y : V R n, f(p) V, é ω = a K dy K e x : U R n, p U, é carta em M, então K f ω = L,K(a Ç yk K f) x L å d x L, 132

140 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Ç å yk onde = (y k 1,..., y kr ) é um subdeterminante do jacobiano da aplicação x L (x l1,..., x lr ) (y f x 1 ) no ponto x(p). Esta expressão de f ω mostra que ω C k implica f ω C k, ou seja, f ω Ω k r(m). É fácil ver que: (a) id Mω = ω, onde ω Ω k r(m); (b) (g f) ω = f g (ω), onde f : M N, g : N P, ω Ω k r(p ); (c) f (α + cβ) = f (α) + cf (β), onde c R, α, β Ω k r(n), f : M N. Proposição 9.2. Seja f : M m N n de classe C k+1. Então: (a) f (α β) = f (α) f (β), onde α Ω k r(n) e β Ω k q(n); (b) f (dω) = d(f ω), onde ω Ω k r(n). Dem. (a) f (α β)(p; v 1,..., v r+q ) = (α β)(f(p); f (p)v 1,..., f (p)v r+q ) = = 1 ε(σ)α(f(p); f (p)v σ(1),..., f (p)v σ(r) ) β(f(p); f (p)v σ(r+1),... r!q! σ S r+q..., f (p)v σ(r+q) ) = 1 r!q! ε(σ)f α(p; v σ(1),..., v σ(r) ) f β(p; v σ(r+1),..., v σ(r+q) ) = σ = (f α f β) (p; v 1,..., v r+q ), quaisquer que sejam v 1,..., v r+q em T p M. Logo, f α f β = f (α β). Em particular, se α = a Ω k 0(N) é uma função C k em N, então f (aβ) = = f (a β) = (f a) (f β) = (a f)f β. (b) Basta considerar o caso em que ω = ad x i1... d x ir numa carta x : U R n em N. Então, f dω = f (da d x i1... d x ir ) = f (da) f (d x i1 )... f (d x ir ). 133

141 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Mas, f (da)(p; v) = da(f(p))df(p) v = d(a f)(p) v, donde f (da) = = d(a f) = d(f a). Em particular, f (dx i ) = d(x i f) = df i, onde f 1,..., f n são as componentes de x f. Logo, f dω = d(a f) df i1... df ir = d ((a f)df i1... df ir ) = = d (f a f dx i1... f dx ir ) = d (f ω). Obs. (1) Seja ω Ω k r(m) e sejam X 1,..., X r campos de vetores de classe C k em M. ω(x 1,..., X r ) : M R é a função tal que ω(x 1,..., X r )(p) = = ω(p; X 1 (p),..., X r (p). Ela é de classe C k (prove!). Se X k (M) é o espaço vetorial dos campos de vetores de classe C k em M, então ω : X k (M)... X k (M) C k (M) é uma aplicação r-linear alternada. (2) Sejam X X k (M) e ω Ω k r. A forma i X (ω) Ω k r 1(M) é definida por (i X ω) (p) = i X(p) ω(p), ou seja, se v 1,..., v r 1 T p M temos (i X ω) (p; v 1,..., v r 1 ) = ω (p; X(p), v 1,..., v r 1 ). (3) De modo análogo ao fibrado tangente a M m C k, definimos o fibrado cotangente T M = p M {p} (T p M) = {(p, α) p M, α (T p M) }. T M é uma variedade de dimensão 2m e classe C k 1. Uma 1-forma diferencial ω de classe C s, s < k, pode ser definida como uma aplicação ω : M T M, de classe C s, tal que π ω = id M, onde π : T M M é a projeção π(p, α) = p, ou seja, ω é uma seção de classe C s do fibrado cotangente. Se x : U R m é uma carta em M e π : T M M é a projeção, então 134

142 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS x : π 1 (U) x(u) (R m ) é uma carta em T M. Se a expressão (p, α) (x(p), α x (p) 1 ) local de α é α = m a i dx i, então π α = m (a i π) 2m i=1 i=1 j=1 Ç å = m xi (a i π)dx i, pois a matriz = [I m 0]. i=1 x j A 1 forma λ em T M, tal que 1 i m 1 j 2m x i x j d x j = λ(p, α) = π α, tem o nome de 1 forma de Poincaré, e é importante no estudo da Mecânica Clássica. 9.3 Orientação Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n 1, e seja B o conjunto das bases ordenadas de V. Definição 9.5. Duas bases, ξ = (u 1,..., u n ) e F = (v 1,..., v n ) de V são equivalentes, anotado ξ F, se o determinante da matriz de passagem de ξ para F é positivo. Se v j = n p ij u i, a matriz de passagem de ξ para F é a matriz invertível i=1 P = (p ij ), e ξ F se, e só se, det P > 0. Observemos que P = [I] F ξ, onde I : V V é a identidade. Proposição 9.3. A relação ξ F é uma relação de equivalência sôbre B. Dem. (a) ξ ξ pois det[i] ξ ξ = 1 > 0. (b) ξ F F ξ: com efeito, se P = [I] F ξ então P 1 = [I] ξ F. Portanto, det P > 0 det P 1 > 0. (c) ξ F, F G ξ G: sejam P = [I] F ξ e Q = [I]G F as matrizes de passagem de ξ para F e de F para G, respectivamente. A matriz de passagem 135

143 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS de ξ para G é R = [I] G ξ = [I]F ξ [I]G F = P Q. Logo, det R = det P det Q > O e ξ G. Proposição 9.4. A relação ξ F determina duas classes de equivalência no conjunto B das bases ordenadas do espaço vetorial real V. Dem. Fixemos uma base ξ = (u 1,..., u n ) de V e seja ξ = ( u1, u 2,..., u n ). A matriz de passagem de ξ para ξ tem determinante igual a 1, ou seja, ξ e ξ estão em classes distintas, B 1 e B 2. Se F é base arbitrária de V, temos R = [I] F ξ = [I] ξ ξ [I]F ξ = P Q, onde P, Q, R são as matrizes de passagem de ξ para ξ, de ξ para F e de ξ para F, respectivamente. Logo, det R = det P det Q = det Q, donde resulta que ou F B 1 ou F B 2, ou seja, só existem duas classes de equivalência. Definição 9.6. Qualquer uma das classes B 1, B 2 é dita uma orientação de V. Portanto, V tem duas orientações. Um espaço vetorial orientado é um espaço vetorial real associado a uma de suas orientações, ou seja, é um par (V, O), onde O é uma orientação de V. As bases que pertencem à orientação O chamam-se positivas. As outras são ditas negativas. Exemplo O espaço R n possui uma orientação canônica, que é aquela determinada pela base canônica (e 1,..., e n ). Uma outra maneira de se definir orientação do espaço vetorial V é a seguinte: Sejam ξ = (u 1,..., u n ) e F = (v 1,..., v n ) bases ordenadas de V, e ω n V {0}. Se v j = n p ij u i, P = (p ij ) é invertível, e ξ F se, e só se, det P > 0. i=1 Como ω(v 1,..., v n ) = det P ω(u 1,..., u n ), vemos que ξ F se, e só se, ω(v 1,..., v n ) e ω(u 1,..., u n ) têm o mesmo sinal. 136

144 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Definição 9.7. Dizemos que ω n V, ω 0, é positiva se ω(v 1,..., v n ) > 0 para toda base positiva F = (v 1,..., v n ). Resulta que ω(u 1,..., u n ) < 0 para toda base negativa ξ = (u 1,..., u n ). Como dim n V = 1, se θ n V, θ 0, então θ = aω para algum a 0. Portanto, ou θ é positiva ou ( θ) é positiva ; neste último caso dizemos que θ é negativa. Assim, n V {0} = B 1 B 2, onde B 1 é o conjunto das n formas positivas e B 2 o das negativas. Se θ(v 1,..., v n ) > 0, então F = (v 1,..., v n ) B j se, e só se, θ B j (j = 1, 2). Resulta que podemos considerar B 1 e B 2 como sendo as orientações de V. Exemplo Seja ξ = (e 1,..., e n ) a base canônica do R n e seja ξ = (e 1,..., e n) a base dual. A n forma e 1... e n define a orientação canônica do R n. Definição 9.8. Seja M uma variedade de classe C k. Um atlas coerente sobre M é um atlas A cujas mudanças de coordenadas têm jacobiano positivo, isto é, se x A, y A, então y x 1 tem jacobiano positivo. Proposição 9.5. Seja M m uma variedade C k. São equivalentes: (a) M admite um atlas coerente; (b) existe em M uma m forma diferencial contínua diferente de zero em todos os pontos. Dem. (a) (b) : Seja (U i ) i N uma cobertura localmente finita de M por domínios de cartas x i : U i R m, onde x i pertence ao atlas coerente A de M. Seja (ϕ i ) i N partição da unidade subordinada a (U i ) i N. Em cada U i temos a m forma dx 1 i... dx m i, onde x α i : U i R, 1 α m são as funções coordenadas em 137

145 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS U i. Seja ω = ϕ i dx 1 i... dx m i, onde ω i = ϕ i dx 1 i... dx m i é considerada i=1 nula fora de U i e, em cada ponto, a soma ω i é finita. A m forma ω = ω i i=1 ( ) i=1 x α está definida em M e, como dx 1 i... dx m i = det i x β dx dx m 1, temos ( ) 1 ω p = (ω i ) p = s x α ϕ i (p) det i (dx dx m 1 ) p, onde 1,..., s são os índices i=1 i=1 x β 1 i para os quais ϕ i (p) 0, e o coeficiente de dx dx m 1 é positivo. Resulta que ω é uma m forma de classe C k 1 diferente de zero em todas os pontos de M. (b) (a) : Seja ω uma m forma contínua diferente de zero em todos os pontos de M m. Em cada p M tomemos como positiva a orientação definida por ω p. Se x : U R m Ä é uma carta local e se, para cada p U, ω p x 1 (p),..., x m (p) ä > 0, isto é, se Ä ä x 1 (p),..., x m é base positiva de Tp M, então dizemos que x : U R m é carta positiva e temos ω = a dx 1... dx m, onde a : U R é função contínua positiva. Se y : V R m é carta local arbitrária e V é conexo, então ω = bdy 1... dy m em V, com b(p) 0 em todos os pontos de V. Assim, ou b(p) > 0 ou b(p) < 0 em V, ou seja uma carta local num conexo ou é positiva ou negativa. Se x : U R m e y : V R m são cartas positivas e U V ø, então ω = b dy 1... d y m = b a det ( y i x j ) a dx1... dx m = b a det ( y i x j ) ω, donde det ( y i x j ) = a b > 0. Os domínios das cartas positivas cobrem M pois se x : U R m pertence ao atlas de M e é negativa, trocamos x por x : U R m, x(p) = ( x 1 (p), x 2 (p),..., x m (p)) e obtemos carta positiva. Resulta que o conjunto das cartas positivas formam um atlas coerente sobre M. Definição 9.9. Uma variedade diferencial M m de classe C k é orientável se M satisfaz às condições equivalentes da Proposição 9.5. Corolário 9.1. Se M m é orientável e de classe C k, existe em M uma m forma 138

146 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS de classe C k 1 que não se anula em M. Corolário 9.2. Sejam M m uma variedade C k e (U i ) i I uma cobertura aberta de M. Se, para cada i I, existe uma m forma ω i definida em U i tal que U i U j ø implica ω i = f ij ω j com f ij > 0 em U i U j, então M é orientável. Dem. Seja x : U R m uma carta local na vizinhança U de um ponto. Tomando U suficientemente pequena, existe j I tal que U U j. Dizemos que x é Ç å uma carta positiva se ω j,..., > 0 em U. Da hipótese resulta que Ç å x 1 x m ω i,..., > 0 para toda U i tal que U U i. Se y : V R n é outra x 1 x m carta positiva em U V, temos ω j Ç y 1,..., å Ç å yα = det y m x β ω j Ç x 1,..., å, x m Ç å yα de modo que det > 0, isto é, as cartas x e y são coerentes. O conjunto das x β cartas positivas formam um atlas coerente em M, ou seja, M é orientável. Obs. Sejam V um espaço vetorial real, orientado, de dimensão (m + 1), munido de produto interno,, e v 1,..., v m V. A função f : V R, f(x) = = det ξ (v 1,..., v m, x), onde ξ = (e 1,..., e m+1 ) é base ortonormal positiva de V, é linear e, portanto, existe um único u V, anotado u = v 1... v m, tal que f(x) = u, x para todo x V. Este vetor u = v 1... v m chama-se o produto vetorial de v 1,..., v m ; ele é o único vetor de V que satisfaz às três seguintes propriedades (veja [17] Capítulo 10): (i) u v j (1 j m); (ii) u = volume do paralelepípedo de arestas v 1,..., v m ; 139

147 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS (iii) se v 1,..., v m são L.I. então (v 1,..., v m, u) é base positiva de V. Definição Seja M m R m+1 uma hipersuperfície de classe C k. Um campo de vetores normais a M é uma aplicação N : M R m+1 tal que N(p) (T p M) para todo p M. O campo é de classe C r se a aplicação N é de classe C r, onde 0 r k. Exemplo Se x : U R m é uma carta local em M R m+1, então é um campo normal de classe C k 1 no aberto U M. x 1 x m Proposição 9.6. Seja M m R m+1 uma hipersuperfície de classe C k. M é orientável se, e só se, existe em M um campo normal contínuo (respectivamente de classe C k 1 ) que não se anula em M. Dem. Se M é orientável, existe uma m forma diferencial contínua (resp. de classe C k 1 ) ω tal que ω p 0 para todo p M. Se x : U R m é uma carta em torno de p M, defina u(p) = = (p)... (p), vetor normal a T p M. Sejam (e 1,..., e m+1 ) a base canônica x 1 x m de R m+1 e F a forma alternada em R m+1 tal que F (e 1,..., e m+1 ) = 1. Como dim( m Mp ) = 1, resulta que i u(p) F = ω p λ u, onde λ u R, λ u 0. Assim, N(p) = u(p) é tal que i N(p) F = ω p, isto é, ω p (v 1,..., v m ) = F (N(p), v 1,..., v m ) para λ u quaisquer v 1,..., v M T p M. Obtemos, pois, o campo normal p M N(p), sendo i N F = ω. Resulta que N é contínuo (resp. C k 1 ) (prove!) e N p 0 para todo p M. Reciprocamente, seja N : p M N(p) (T p M) um campo normal contínuo (resp. C k 1 ) em M tal que N(p) 0 para todo p M. Seja F como acima e defina ω = i N F. Então ω é m forma contínua (resp. C k 1 ) (prove!) em M e ω p 0 para todo p M, e M é orientável. 140

148 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Exemplo Seja S n 1 = {x R n ; x = 1} a esfera unitária do R n. Se x S n 1 sabemos que N(x) = x é um campo de classe C de vetores unitários normais a S n 1, de modo que i N dx 1... dx n = ω é a forma elemento de volume de S n 1. Pela Proposição 8.11 do Capítulo 8, temos: ω = n ( 1) i+1 dx i (N)dx 1... dx i... dx n, donde i=1 ω = n ( 1) i+1 x i dx 1... dx i... dx n. i=1 Exemplo Seja f : R n {0} S n 1 a projeção radial, f(x) = x x. Se h R n, é fácil ver que f (x) h = h h, x x x x = h cx h, x, onde c = 3 x x é a 2 projeção algébrica de h sobre x. Por definição o "elemento de ângulo sólido" é a forma α = f ω, onde ω é o Ç å x elemento de volume de S n 1, isto é, se x R n {0}, temos ω = x = n ( 1) i+1 x i i=1 x dx 1... dx i... dx n. Portanto, se v 1,..., v n 1 R n, temos: Ç å x α(x; v 1,..., v n 1 ) = ω x ; f (x)v 1,..., f (x)v n 1 = Ç x = ω Ç x = det x ; v 1 c 1 x x x, v 1 c 1 x x = 1 x n det(x, v 1,..., v n 1 ) = 1 x n Logo, α(x) = 1 x n,..., v å n 1 c n 1 x = x,..., v å n 1 c n 1 x = x n ( 1) i+1 x i dx 1... dx i... dx n. i=1 n ( 1) i+1 x i dx 1... dx i... dx n. Se i=1 n = 2, temos 141

149 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS α(x, y) = ydx + xdy x 2 + y 2 que é o "elemento de ângulo" em R 2 {0}. 9.4 Variedades com Bordo O conjunto H 1 = {x = (x 1,..., x m ) R m ; x 1 0} é um semi-espaço fechado em R m ; seu bordo é H 1 = {x H 1 ; x 1 = 0}. Os pontos x H 1 tais H 1 0 x 1 H 1 que x 1 < 0 formam o interior de H 1, anotado inth 1. Assim, H 1 = int H 1 H 1, reunião disjunta. Definição Seja X R m um subconjunto arbitrário. f : X R n é de classe C k, k 1, quando f se estende localmente a uma aplicação de classe C k, isto é, quando para cada p X existe aplicação F p : U p R n de classe C k numa vizinhança aberta U p de p em R m, tal que f(x) = F p (x) para todo x U p X. Proposição 9.7. f : X R n é de classe C k em X se, e só se, existem aberto U R m, X U, e função F : U R n, de classe C k, tal que f = F X. Dem. Para cada p X existem aberto U p R m, p U p, e aplicação F p : U p R n, de classe C k, tal que F p (x) = f(x) para todo x U p X. Seja U = p X U p. O aberto U R m é uma variedade C k e a família (U p ) p X é uma 142

150 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS cobertura aberta de U. Seja p X ϕ p = 1 uma partição da unidade estritamente subordinada a essa cobertura. Definamos F : U R n por F = ϕ p F p, isto é, F (y) = p X ϕ p (y)f p (y). É claro que F C k e que F (x) = ϕ p (y)f(x) = f(x) para todo x X, donde f = F X. A reciproca é imediata. Definição f : X Y, X R m, Y R m é um difeomorfismo de classe C k se f é bijetora, e f e g = f 1 : Y X são de classe C k. Proposição 9.8. Sejam U aberto em H 1, mas não em R m, e f : U R n de classe C 1. Seja F : V R n uma extensão de classe C 1 de f, definida num aberto V R m. Para x U, a derivada F (x) : R m R n só depende de f, e independe da extensão F. R m 1 = H 1 V U 0 e 1 R Dem. Seja (e 1,..., e m ) a base canônica de R m. Observemos que x+te 1 H 1 para t < 0. Como F F (x + te j ) F (x) f(x + te j ) f(x) (x) e j = lim = lim, resulta t 0 t t 0 t t<0 t<0 que os valores de F (x) dependem apenas de f e não da extensão F. Podemos, assim, definir f (x) : R m R n como sendo F (x), qualquer que seja x H 1. Proposição 9.9. Sejam U R m aberto, X R m e f : U X um difeomorfismo de classe C 1. Então X é aberto em R m. 143

151 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Dem. Seja p U. Existem aberto V R m, X V e aplicação g : V R m, de classe C 1, tal que g X = f 1. Temos U f V g R m, g f = id : U U R m, e a regra da cadeia nos dá g (f(p)) f (p) = id : R m R m e, portanto, f (p) é invertível. Pelo teorema da função inversa, existem vizinhanças abertas U p de p em U e V f(p) de f(p) em V tais que f : U p V f(p) seja um difeomorfismo de classe C 1. Resulta que V f(p) f(u) = X, e X é aberto em R m. Proposição Sejam U e V abertos do semi-espaço H 1 e f : U V um difeomorfismo de classe C 1. Então f leva pontos interiores em pontos interiores e pontos do bordo em pontos do bordo. Dem. Seja p U um ponto interior. Existe bola B, aberta em R m, tal que p B. Pela Proposição 9.9 f(b) é aberto em R m e f(p) f(b) V H 1, donde f(p) é um ponto interior de H 1. Se p é um ponto do bordo em U H 1, então f 1 (f(p)) = p é um ponto do bordo e, portanto, f(p) não pode ser um ponto interior; logo, f(p) é um ponto do bordo. Definição Seja M um espaço topológico. Uma carta de dimensão m em M é um homeomorfismo x : U H 1 de um aberto U M sobre um aberto x(u) do semi-espaço H 1 R m. Se y : V H 1 é outra carta em M e U V ø, as aplicações y x 1 : x(u V ) y(u V ) e x y 1 : y(u V ) x(u V ) são chamadas de mudanças de coordenadas. Um atlas de dimensão m e classe C k, k 1, é um conjunto A de cartas x : U H 1 de dimensão m, cujos domínios cobrem M e cujas mudanças de coordenadas são de classe C k. Obs. Podemos usar, na definição de carta, qualquer semi-espaço fechado de R m. O uso de H 1 é apenas por conveniência. Alguns autores usam o semi-espaço H m dos pontos x = (x 1,..., x m ) R m tais que x m

152 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Definição Uma variedade diferencial com bordo, de dimensão m e classe C k, é um espaço topológico de Hausdorff, com base enumerável de abertos, dotado de um atlas máximo de dimensão m e classe C k. Um ponto p M é um ponto interior (respectivamente ponto do bordo) se, em alguma carta x : U H 1, x(p) int H 1 (respectivamente, x(p) H 1 ). Esses conceitos independem da carta pois se y : V H 1 é outra carta, o difeomorfismo y x 1 leva x(p) em y(p) e, pela Proposição 9.10, x(p) e y(p) são ambos interiores ou ambos pontos do bordo. O conjunto dos pontos do bordo de M é anotado M. Obs. É importante não confundir os conceitos de bordo e fronteira. Por exemplo, se A = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1}, então F ra = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1} = S 1, ao passo que A = ø. Se B = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 1}, então F rb = B = S 1. Proposição Se M m é uma variedade com bordo de dimensão m e classe C k, seu bordo M é uma variedade (sem bordo ) de dimensão (m 1) e classe C k. H 1 = R m 1 x x(p) = (0, x(p)) U p H 1 0 x 1 Dem. Sejam x : U H 1, U M, uma carta em M e x = x U M. Como x aplica pontos do bordo em pontos do bordo, x : U M H 1 = R m 1 é uma carta em M. Se y : V H 1 é outra carta em M, então 145

153 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS ȳ ( x) 1 : x (U V M) ȳ (U V M) é de classe C k, bem como sua inversa x (ȳ) 1. Assim, um atlas (U i, x i ) i I sobre M induz um atlas (U i M, x i ) i I sobre M, tornando M uma variedade de dimensão (m 1) e classe C k. Proposição Sejam M m uma variedade de dimensão m e classe C k, f : M R uma função de classe C k, e 0 (zero) um valor regular de f. O conjunto N = {q M; f(q) 0} é uma variedade de dimensão m e classe C k, cujo bordo é N = f 1 (0). U p V f 1 (o) x f R R t V o (0, 0) ω W I R m 1 f x 1 (ω, t) = t t 0 I Dem. O conjunto {q M; f(q) < 0} é aberto em M, donde variedade de dimensão m e classe C k. Seja p N tal que f(p) = 0. Como f é submersão em p, existe carta x : U R m, p U M, tal que x(u) = W I, onde I é um intervalo aberto de centro 0 e W um aberto de R m 1 contendo 0 R m 1, x(p) = (0, 0) e f x 1 (ω, t) = t. Seja H o semi-espaço de R m tal que x m 0, e definamos 146

154 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS V 0 = (W I) H e V = x 1 (V 0 ). Então, x = x V : V V 0 é uma carta no aberto V N, com p V, o que mostra ser N uma variedade com bordo N = f 1 (0). Exemplo Seja B = {x R m ; x 1} a bola de centro 0 e raio 1 do R m. A função f : R m R, f(x) = x, x 1 tem derivada f (x) : R m R tal que f (x) h = 2 x, h, donde f (x) = 0 se, e só se, x = 0. Como x = 0 / S m 1 resulta que B é variedade cujo bordo é S m 1 = f 1 (0) = B. Obs. De modo análogo ao visto para variedades (sem bordo) definem-se, para as variedades com bordo, os conceitos de espaço tangente, aplicação de classe C k entre duas variedades, orientação, formas diferenciais, etc. Por exemplo, uma orientação numa variedade com bordo M m, de dimensão m e classe C k, é dada por uma m forma de classe C k 1 que não se anula em ponto algum. Para uma variedade sem bordo esta condição é equivalente à existência de um atlas coerente; isto foi provado na Proposição 9.5. A mesma demonstração vale para uma variedade com bordo. No final da demonstração é preciso substituir a carta (U, x 1,..., x m ) por (U, x 1, x 2,..., x m ), o que não é possível no caso n = 1, a não ser que admitamos L 1 = {x R; x 0} como modelo local na definição de uma carta para uma variedade de dimensão 1 com bordo, o que faremos. Exemplo M = [0, 1] é uma variedade com bordo, de classe C ; ela tem um atlas formado pelas cartas x : [0, 1) ( 1, 0] e y : (0, 1] ( 1, 0] t x(t) = t t y(t) = t 1 Então, y x 1 (t) = y( t) = t 1, cuja derivada é negativa, e o atlas não é 147

155 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS coerente. Admitindo L 1 = {t R; t 0} como modelo local e substituindo y por y = z : (0, 1] [0, 1) L 1, então z x 1 (t) = z( t) = t + 1 e o atlas t t + 1 {x, z} é coerente. 9.5 Orientação no Bordo Seja M uma variedade com bordo, de dimensão m e classe C k, orientada. Proposição Suponhamos m 2 e sejam x : U R m e y : V R m cartas positivas em M, tais que U V M ø. Então, y x 1 : B = x(u V ) H 1 y(u V ) H 1 tem derivada positiva. Dem. Sejam x = (x 1,..., x m ) em U e y = (y 1,..., y m ) em V. Como y x 1 leva pontos do bordo em pontos do bordo e pontos interiores em pontos interiores, temos: (i) y 1 (0, x 2,..., x m ) = 0, e (ii) y 1 (x 1,..., x m ) < 0 para x 1 < 0, onde (x 1,..., x m ) x(u V ). Então: y 1 x j (0, x 2,..., x m ) = 0 para j = 2,..., m, e y 1 (0, x 2,..., x m ) = lim x 1 t 0 t<0 y 1 (t, x 2,..., x m ) y 1 (0, x 2,..., x m ) t y 1 (t, x 2,..., x m ) = lim t 0 t t<

156 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Portanto, J(y x 1 ) = y x 1 y 2 y 2 y 2 x 1 x 2 x m y m x 1 y m x 2 y m x m = y 1 x 1 0 J(y x 1 B ). Logo, det J(y x 1 ) = y 1 x 1 det J[y x 1 B ]. Como det J(y x 1 ) > 0 em todos os pontos de x(u V ), temos que y 1 (0, x 2,..., x m ) > 0, donde resulta x 1 provar. det J(y x 1 B) > 0, como queríamos Resulta que todo atlas coerente em M induz um atlas coerente em M ; é a orientação em M induzida pela orientação de M. Exemplo A orientação canônica em H 1 é dada pela forma dx 1... dx m, e a orientação induzida em H 1 = R m 1 é dada por dx 2... dx m, m 2. Definição Seja M m uma variedade com bordo, de dimensão m e classe C k. Dizemos que um vetor X p T p M "aponta para dentro" se X p / T p ( M) e existem ε > 0 e curva α : [0, ε) M de classe C 1 tal que α(0) = p, α ((0, ε)) intm, e α (0) = X p. Um vetor X p T p M "aponta para fora" se X p aponta para dentro. Exemplo Em H 1, x 1 (p) aponta para fora. Proposição X p T p M aponta para fora se, e só se, em cada carta x : U H 1, x(p) = 0, o coeficiente de x 1 (p) em X p é positivo. 149

157 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Dem. Se X p / T p ( M) aponta para fora, existe curva α : [0, ε) M, α C 1, tal que α(0) = p, α ((0, ε)) intm e α (0) = X p. Seja x : U H 1 carta local tal que x(p) = 0 e x 1 (q) 0 para cada q U. Se (x α)(t) = (α 1 (t),..., α m (t)), então x 1 (α(0)) = α 1 (0) = 0 e α 1 (t) < 0 para t > 0. Logo, α 1(0) α 1 (t) α 1 (0) = lim t 0 t t>0 0. Como X p = m α i(0) (p), o coeficiente de i=0 x i e, como X p / T p ( M), temos α 1(0) > 0. x 1 (p) em X p é α 1(0) 0 Reciprocamente, seja x : U H 1 carta local tal que x(p) = 0 e X p = m a i (p) com a 1 < 0. A curva α(t) = x 1 (a 1 t,..., a m t) é tal que i=1 x i α(0) = p, α ((0, ε)) intm e (x α) (0) = (a 1,..., a m ), donde α (0) = X p, ou seja, X p aponta para fora. Exemplo Seja M o semi-espaço H m = {y R m ; y m 0} com a orientação dada por dy 1... dy m. Apliquemos M = H m sobre H 1 pela carta x 1 = y m, x 2 = y 1,..., x m = y m 1. A orientação de M é dy 1... dy m = dx 2... dx m ( dx 1 ) = ( 1) m dx 1 dx 2... dx m, donde a orientação em M é ( 1) m dx 2... dx m = ( 1) m dy 1... dy m 1. Proposição Seja M m uma variedade com bordo, de dimensão m e classe C k. Se p M, a base ordenada (v 2,..., v m ) de T p ( M) define a orientação de M em p se, e só se, para cada vetor X p T p M, que aponta para fora, a base (X p, v 2,..., v m ) define a orientação de M em p. Dem. Seja x : U H 1 carta local tal que x(p) = 0. ω = dx 1... dx m define a orientação em U M, e a orientação em U M é dx 2... dx m. 150

158 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Temos: dx 1... dx m (X p, v 2,..., v m ) = dx 1 (X p )dx 2... dx m (v 2,..., v m ) já que dx 1 (v j ) = 0, 2 j m. Como dx 1 (X p ) > 0 e dx 2... dx m define a orientação de M U, resulta que (X p, v 2,..., v m ) define a orientação de M em p se, e só se, (v 2,..., v m ) define a orientação de M em p. Definição Um campo de vetores ao longo de M é uma aplicação X : p M X p T p M. Corolário 9.3. Se ω define a orientação de M e X é um campo de vetores ao longo de M, que aponta para fora, então i X ω(v 2,..., v m ) = ω(x p, v 2,..., v m ), donde i X ω define a orientação de M. Exemplo Sejam M m e N n duas variedades orientadas de classe C k. Seu produto cartesiano M N é uma variedade de dimensão (m + n) e classe C k. Se x : U R m é carta em M e y : V R n é carta em N, ambas positivas, então x y : U V R m+n é carta positiva em M N. Se x percorre o atlas coerente de M e y o de N, então as cartas x y de M N constituem um atlas coerente em M N, que define a orientação produto. Se (p, q) M N, então T (p,q) M N = T p M T q N. Se (u 1,..., u m ) é base positiva de T p M e (v 1,..., v n ) é base positiva de T q N, então (u 1,..., u m ; v 1,..., v n ) é base positiva de T (p,q) M N. Exemplo Seja M m uma variedade orientada (sem bordo) e I = [0, 1] orientada pelo atlas coerente {α, β}, onde α : [0, 1) [0, 1) e β : (0, 1] (0, 1] são iguais à identidade. Em (t, p) I M, uma base positiva de T (t,p) I M = R T p M, na orientação produto, é da forma (e 1, v 1,..., v m ), onde e 1 = 1 é a base canônica de R e (v 1,..., v m ) uma base positiva de T p M. No ponto t = 0 o vetor e 1 aponta para dentro e no ponto t = 1 ele aponta para fora, de modo que (v 1,..., v m ) é base 151

159 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS M M 0 0 e 1 1 M 1 e 1 negativa em (0, p) M 0 = {0} M e positiva em (1, p) M 1 = {1} M, na orientação induzida em (I M) = M 1 ( M o ), onde M 0 indica M 0 com a orientação oposta à vista acima. 9.6 Integração numa Variedade Orientada Sejam M m uma variedade orientada de dimensão m e classe C 1, e ω uma m forma contínua, definida em M, com suporte compacto. Se S = supp ω está contido no domínio de uma carta positiva x : U R m, então ω(p) = = a(x(p))dx 1... dx m, onde a : x(u) R é contínua e se anula no exterior do compacto x(s) x(u) R m, e definimos ω = ω = (x 1 ) ω = a(x 1,..., x m )dx 1... dx m, M U x(u) x(u) onde o membro da direita é uma integral múltipla de Riemann. Para provar que M ω independe da carta, seja y : V R m outra carta (positiva) tal que S V. Então, ω(p) = b(y(p))dy 1... dy m = Ç å Ç å yi yi = b(y(p)) det (p) dx 1... dx m, donde a(x(p)) = b(y(p)) det (p), x j Ç å x j yi onde J(p) = det (p) é positivo. Pelo teorema da mudança de variá- x j 152

160 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS veis temos: y(v ) b(y 1,..., y m )dy 1... dy m = = a(x 1,..., x m )dx 1... dx m = ω. x(u) M x(u) b(y 1,..., y m )J(p)dx 1... dx m = Se S = supp ω não está contido numa vizinhança coordenada, seja (U α ) α A uma cobertura de M por vizinhanças coordenadas, e seja (ϕ α ) α A uma partição da unidade, de classe C 1, estritamente subordinada à cobertura M = Seja ω α = ϕ α ω, donde ω α = ω. Como S é compacto e os suportes das ϕ α α formam uma família localmente finita, resulta que S supp ϕ α ø apenas para um número finito de índices, donde a soma ω α é uma soma finita. O suporte α de cada ω α sendo compacto e contido em U α, existe ω α, e podemos definir ω por meio da igualdade M ω = α A M Para provar que esta definição independe da cobertura e da partição da unidade escolhidas, seja (V β ) β B outra cobertura de M por vizinhanças coordenadas, e ψ β = 1 partição da unidade de classe C 1 a ela estritamente subordinada. β Os abertos ω α. M α A U α. U α V β (α A, β B) constituem uma cobertura de M, e as funções θ αβ = ϕ α ψ β formam uma partição da unidade subordinada a esta cobertura. Assim, M α M ω α = α M ϕ α ω = α M Ñ é ϕ α ψ β ω = β α,β M ϕ α ψ β ω = α,β M θ αβ ω, o que prova que e ψ β ω = Ç ψ β β M β α M ω tem caráter intrínseco. M å ϕ α ω = θ αβ ω, α,β Obs. Uma variedade compacta orientada M de dimensão zero é um conjunto finito 153

161 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS de pontos, cada um orientado por +1 ou 1. Escrevemos: M = p i n j. A i j integral de uma 0 forma f : M R é definida por f = f(p i ) f(n j ). M i i Proposição (1) (ω 1 + cω 2 ) = ω 1 + c ω 2 ; M M M (2) Se ω 0 e ω(p) > 0 para algum p M, então M ω > 0, onde c R e ω, ω 1, ω 2 são m formas contínuas, de suporte compacto, na variedade orientada M, de dimensão m e classe C 1. Dem. Deixada para o leitor. ( Use partição da unidade). Definição Dizemos que um difeomorfismo f : (M, ω M ) (N, ω N ) entre variedades orientadas (por ω M e ω N respectivamente) preserva a orientação se f ω N é forma positiva em M, ou seja, f ω N = λω M onde λ : M R é função positiva em todo ponto de M. Se f ω n é forma negativa em M, dizemos que f inverte a orientação. Proposição Sejam U e V abertos do R m. Um difeomorfismo f : U C1 V Ç å fi preserva a orientação se, e só se, det (x) > 0 para cada x U, onde x j f = (f 1,..., f m ). Dem. Sejam x = (x 1,..., x m ) U e y = (y 1,..., y m ) V. Temos: f (dy 1... dy m ) = d(f y 1 )... d(f y m ) = d(y 1 f)... d(y m f) = df 1... df m = Ç å Ç å fi fi = det dx 1... dx m, donde f preserva a orientação se, e só se, det > 0 x j x j em todos os pontos de U. Proposição Seja f : M m N m um difeomorfismo de classe C 1 entre variedades orientadas de dimensão m e classe C k. Se f preserva a orientação e {y α : V α R m } α A é atlas C k que define a orientação de N, então {x α = y α f : U α R m } α A é atlas C k que define a orientação de M. 154

162 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Dem. Como x α x 1 β = y α f f 1 yβ 1 U α = Å ã f 1 (V α ) = f 1 V α α α A α A = y α y 1 β é de classe C k, e = f 1 (N) = M, resulta que {x α } α A é atlas C k em M. Seja y : V R m carta positiva em N, e x = y f carta em M. Para p U = f 1 (V ) temos, para 1 i m, x (p) (p) = e i = x i = y (q)f (p) (p) = y (q) (q), onde q = f(p) e (e 1,..., e m ) é a base canônica do R m. Como f ω N = λω M, com λ(p) > 0 para todo p M, x i y i temos: Ä ä Ä λ(p)ω M p; x 1,..., x m = ωn q; f (p) x 1,..., f (q) ä ( ) x m = ωn q; y 1,..., y m e, y sendo carta positiva, resulta que x = y f é carta positiva em M, ou seja, o atlas {x α = y α f} α A define a orientação de M. Obs. Se f : M N é um difeomorfismo entre variedades orientadas conexas, então f ω N ou é positiva ou é negativa e, portanto, ou f preserva a orientação ou f inverte a orientação. Proposição Seja f : M m N n aplicação C k entre variedades de classe C k. Seja (ϕ α ) α A partição da unidade estritamente subordinada à cobertura aberta (V α ) α A de N. Então, (supp f ϕ α ) α A é família localmente finita e (f ϕ α ) α A é Ä partição da unidade estritamente subordinada à cobertura aberta f 1 ä (V α) = (U α ) α A de M. α A = Dem. Sejam p M, q = f(p) N; existe vizinhança aberta V q N, q V q, tal que V q V α = ø exceto para um número finito de índices α. U p = f 1 (V q ) é vizinhança aberta de p e U p U α = f 1 (V q ) f 1 (V α ) = f 1 (V q V α ) = ø exceto para um número finito de índices, donde (U α ) α A é localmente finita. Como (supp f ϕ α ) = = supp(ϕ α f) f 1 (supp ϕ α ) f 1 (V α ) = U α, resulta que (supp f ϕ α ) α A é localmente finita. Para p M temos α f ϕ α (p) = α ϕ α(f(p)) = α ϕ α(q) = 1, o que termina a demonstração. 155

163 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Proposição Seja f : M m N m um difeomorfismo de classe C 1 entre variedades orientadas de dimensão m e classe C k. Se f preserva a orientação, então f ω = ω para toda m forma contínua ω de suporte compacto em N. M N Dem. Seja {y α : V α R m } α A um atlas C k que define a orientação de N, e seja ϕ α = 1 uma partição da unidade estritamente subordinada à cobertura α aberta {V α } α A de N. Pela Proposição 9.18, {x α = y α f : U α R m } α A é atlas C k que define a orientação de M e, pela Proposição 9.19, {f ϕ α } α A ; é partição da unidade estritamente subordinada à cobertura aberta {U α } α A de M. Pela definição da integral, M f ω = α (f ϕ α ) (f ω) = f (ϕ α ω) = α α U α U α x α(u α) (x 1 α ) f (ϕ α ω) = = (y α f) 1 f (ϕ α ω) = α (y α f)(f 1 α (V α)) y α(v α) = ϕ α ω = ω. α V α N Obs. Se f inverte a orientação,então f ω = ω. M N (y 1 α ) (ϕ α ω) = Proposição (Stokes) Seja M m uma variedade orientada de dimensão m 2 e classe C k, cujo bordo M tem a orientação induzida. Se ω é uma (m 1) forma de classe C 1 e suporte compacto em M, então M dω = M ω. Obs. M ω significa a integral da restrição de ω a M, ou seja, M ω = onde i : M M é a inclusão. Para facilitar a compreensão da demostração do M i ω, 156

164 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS teorema de Stokes, vamos prová-lo no caso em que M = H 1 R 2, e ω = fdx + gdy, onde f e g são de classe C 1 e suportes contidos no quadrado [ a, a] [ a, a]. A orientação de H 1 é dada por dx dy, e a orientação de H 1 é dada por dy. y H 1 a a supp ω a x a = a a = a a Como dy 0 a g x dx 0 dω = (g x f y ) dx dy, temos a dx a a f y dy = a a [g(0, y) g( a, y)] dy 0 g(0, y)dy, pois g( a, y) = f(x, a) = f(x, a) = 0. Em H 1 temos dx = 0 e, portanto, ω = gdy = a H 1 H 1 o que prova o teorema de Stokes para M = H 1 R 2. Dem. da Proposição 9.21 (Stokes) H 1 dω = H 1 g x dxdy H 1 f y dxdy = a [f(x, a) f(x, a)] dx = a g(0, y)dy = H 1 dω, Por meio de uma partição da unidade vimos que podemos supor ω igual a uma soma finita de formas, cada uma delas com suporte contido numa vizinhança coordenada. Basta então considerar o caso em que S = supp ω U, sendo x : U H 1 uma carta positiva. Para p U, temos ω = m ( 1) i 1 f i dx 1... dx i... dx m, e é suficiente i=1 157

165 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS R m 1 = H 1 x(s) 0 x 1 x(u) considerar, para efeito da demonstração, apenas um termo desta soma, ou seja, podemos tomar ω = ( 1) i 1 fdx 1... dx i... dx m, onde f é de classe C 1 e i 1 f tem suporte compacto. Neste caso, dω = ( 1) dx i dx 1... dx i... dx m = x i = f x i dx 1... dx m. Seja a > 0 tal que supp ω esteja contido no interior do cubo [ a, a] m. 1 º Caso: x(u) H 1 = ø. Temos: = M dω = R m 1 dx 1... dx i... dx m a a f x i dx i = R m 1 dx 1... dx i... dx m [f(, x i 1, a, x i+1, ) f(, x i 1, a, x i+1, )] = 0 0 = 0. E: ω = ω = 0. Portanto, M ø 2 º Caso: x(u) H 1 ø. dω = ω = 0, neste caso. M M 158

166 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS R m 1 = H 1 x(s) x 1 (a) i 1: M dω = x(u) f dx 1... dx m = x i dx 1... dx i... dx m a a f x i dx i = 0, como no 1 º caso. Como dx 1 = 0 em H 1, temos i ω = 0, donde M ω = 0. (b) i = 1 : M dω = x(u) f x i dx 1... dx m = R m 1 dx 2... dx m 0 a f x 1 dx 1 = = f(0, x 2,..., x m )dx 2... dx m = R m 1 M ω. Obs. Seja ω uma m forma de classe C 1 definida numa variedade (sem bordo) compacta, orientada M m, de dimensão m e classe C k. Se ω é exata, isto é, se existe uma (m 1) forma η tal que ω = dη, então ω = dη = η = 0. M M M=ø 159

167 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS. Se ω é uma m forma contínua e positiva numa variedade (sem bordo) compacta, orientada M m, de dimensão m, então de ω ser fechada, isto é, de ser dω = 0. M ω > 0, donde ω não é exata, apesar Se M m não é compacta, uma m forma contínua positiva pode ser exata. Por exemplo, se M = R m, então ω = dx 1... dx m = d(x 1 dx 2... dx m ) é exata e positiva. Proposição Seja M m uma variedade com bordo, compacta, orientada, de dimensão m e classe C 2. Não existe f : M M de classe C 2 tal que f(x) = x para todo x M. Dem. Suponhamos que exista uma tal f, e seja ω a (m 1)forma que define a orientação de M. Então, ω é de classe C 1, dω = 0, M ω 0. Como f M = id M, o teorema de Stokes nos dá: 0 ω = f ω = d(f ω) = f (dω) = 0, absurdo. M M M M Proposição (Brouwer diferenciável) Não existe g : B B, de classe C 2, sem pontos fixos, onde B = {x R m ; x 1}. f(x) v x g(x) 0 160

168 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Dem. Suponhamos que exista uma tal g e definamos f : B S m 1 = B por f(x) = x + tv, t > 0, v = x g(x), f(x) sendo a interseção da semirreta x g(x) de origem g(x), que passa por x, com S m 1. Portanto, f S m 1 = id S m 1. Temos f(x) 2 = 1, donde x 2 +2t x, v +t 2 = 1, donde t = x, v +» 1 x 2 + x, v 2, onde o radicando é positivo, o que mostra que t é função de classe C 2 de x e, portanto, f também. Outra maneira de provar que f C 2 é observar que F (x, t) = = t 2 + 2t x, v + x 2 = 1 define t como função implícita de x, e que F t = 2t+ +2 x, v = 0 se, e só se, x, v + f(x) x, v = 0, o que equivale a f(x), v = 0. Por Pitágoras, temos g(x) > f(x) = 1, donde g(x) / B, absurdo. Resulta que F t 0 e f C2. Mas, pela Proposição 9.22, não existe f : B B = S m 1, f C 2 tal que f S m 1 = id S m 1. Resulta que toda g : B B, g C 2, tem pelo menos um ponto fixo. Obs. O teorema clássico de Brouwer afirma que o resultado acima é válido para aplicações g : B B contínuas (Veja [13]). Definição Sejam M e N variedades de classe C k. As aplicações f, g : M N, de classe C k, são ditas C k -homotópicas se existe aplicação H : [0, 1] M N, de classe C k, tal que H(0, x) = f(x) e H(1, x) = g(x), para todo x M. Pode provar-se que a relação "f e g são C k -homotópicas" é uma equivalência no conjunto das aplicações f : M N de classe C k. (Veja [13]). Proposição Seja M m uma variedade compacta, orientada, de dimensão m e classe C 2, e sejam fechada de classe C 1 em N, então f, g : M N aplicações C 2 -homotópicas. Se ω é uma m-forma M f ω = g ω. M Dem. Seja H : [0, 1] M N uma homotopia de classe C 2 entre f e g. Se M 1 = {1} M e M 0 = {0} M vimos que (I M) = M 1 ( M 0 ), onde 161

169 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS I = [0, 1]. Como H(0, x) = f(x) e H(1, x) = g(x) para todo x M, temos M g ω M f ω = M 1 H ω H ω = M 0 (I M) H ω = I M d(h ω) = I M H (dω) = 0, pois dω = 0. Obs. (1) Pode provar-se que toda aplicação contínua f : M N entre variedades C k, é homotópica a uma aplicação g : M N, g C k. Além disso, se f, g : M N são C k e existe uma homotopia contínua H entre f e g, então existe uma homotopia C k entre f e g. Veja a referência [13]. Obs. (2) Sejam M m e N n variedades orientadas, com ou sem bordo, e f : M N de classe C k. Se ω é uma m forma em N, definimos f(m) ω = M f ω. Pondo Γ = f(m), Γ = f( M), temos: α = α = f α = d(f α) = f (dα) = dα = dα, Γ f( M) M M M f(m) Γ para toda (m 1) forma α em N. ydx + xdy Exemplo Seja ω = a 1 forma "elemento de ângulo" em x 2 + y 2 R 2 {0}. Sejam f, g : [0, 2π] R 2 {0}, f(θ) = a(cos θ, sen θ), g(θ) = (a cos θ, b sen θ) onde a > b > 0. H(t, θ) = (1 t)f(θ) + tg(θ) é uma homotopia entre f e g. C = f([0, 2π]) é a circunferência x 2 + y 2 = a 2 e C 1 = g([0, 2π]) é a elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b

170 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS y (0, a) (0, b) θ f(θ) g(θ) (b, 0) (a, 0) x Então, [0,2π] vem C 1 ω = 2π. f ω = ω = C [0,2π] g ω = C 1 ω (pois dω = 0). Como C ω = 2π 0 dθ = 2π, Exemplo Seja α : S m S m a aplicação antípoda, α(x) = x. Seja ω a m forma que define a orientação de S m. Temos: α ω(x; v 1,..., v m ) = ω( x; v 1,..., v m ) = ( 1) m+1 ω(x; v 1,..., v m ) para toda base (v 1,..., v m ) de T x S m = T x S m. Portanto, α ω = ( 1) m+1 ω, e α preserva a orientação se, e só se, m é ímpar. Neste caso, isto é, m = 2p 1, α é homotópica a id S m. De fato, como R m+1 = R 2p, os pontos de S 2p 1 têm um número par de coordenadas e podem ser escritos como z = (z 1,..., z p ), cada p z i sendo um complexo, e z i 2 = 1. A aplicação H : [0, 1] S 2p 1 S 2p 1, i=1 dada por H(t, z) = e iπt z, é tal que H(0, z) = z e H(1, z) = z = α(z), ou seja, H é uma homotopia C entre α e id S 2p 1. Reciprocamente, se existe homotopia H C entre α e id S m temos, pela Proposição 9.24, que α ω = ω. Mas, S m S m α ω = ( 1) m+1 ω, o que implica ω = ( 1) m+1 ω, donde m é ímpar. S m S m 163

171 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Proposição (Poincaré e Brouwer) A esfera S m admite um campo contínuo de vetores tangentes não -nulos se, e só se, m é ímpar. Dem. Seja u : S m R m+1 um campo contínuo de vetores u(x) 0 tangentes a S m, isto é, u(x), x = 0 para todo x S m. Pondo v(x) = u(x) temos que u(x) v(x) = 1, e podemos considerar v : S m S m, contínua, com v(x), x = 0 para todo x S m. Seja H(t, x) = x cos(πt)+v(x) sen(πt). É fácil ver que H(t, x) = 1, H(0, x) = x, H(1, x) = x = α(x), ou seja, H : [0, 1] S m S m é uma homotopia entre a aplicação antípoda α e id S m, o que só é possível se m é impar. Assim, para m par, todo campo de vetores tangentes a S m = S 2p tem uma singularidade. Para m = 2p 1, o campo v(x) = v(x 1, x 2,..., x 2p ) = (x 2, x 1, x 4, x 3,..., x 2p, x 2p 1 ) é tangente a S 2p 1 e nunca se anula. Obs. Vimos que o elemento de volume de S n 1 é a (n 1) forma ω(x) = = n ( 1) i+1 x i dx 1... dx i... dx n e, então, dω = 0, e que o elemento de ângulo i=1 sólido é a (n 1) forma em R n {0} dada por α(x) = 1 n ( 1) i+1 x x n i dx 1 i=1... dx i... dx n. Como α = f ω, f(x) = x x, x 0, e f (dω) = d(f ω), temos que dω = 0 implica dα = 0. Mas α não é exata em R n {0}, pois se existisse uma (m 2) forma β em R n {0} tal que α = dβ, então 0 = dβ = α = volume de S n 1 = c n 1 > 0, absurdo. S n 1 S n 1 Se Sr n 1 é a esfera de centro 0 e raio r em R n, então α = α = c n 1. Sr n 1 S n 1 De fato, seja r < 1 (o caso r > 1 é análogo) e seja M = {x R n ; r x 1}, donde M = S n 1 ( S n 1 r ). 164

172 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS 0 S n 1 S n 1 r = c n 1. Então, 0 = dα = M M α = α S n 1 S n 1 r α = c n 1 S n 1 r α, donde S n 1 r α = Proposição Sejam M m e N m variedades de mesma dimensão e f : M N de classe C k. Se M é compacta e se q N é valor regular de f, então f 1 (q) é um conjunto finito. Dem. Se p f 1 (q) então f (p) : T p M m T q N m é bijetora, donde existe vizinhança U de p tal que f : U f(u) é um difeomorfismo, e p é o único ponto de U tal que f(p) = q, ou seja, os pontos de f 1 (q) são isolados. Por outro lado, f 1 (q) é fechado no compacto M, donde é também compacto. Sendo compacto e formado por pontos isolados, f 1 (q) é finito. Proposição Sejam M m e N m variedades de mesma dimensão e f : M N de classe C k. Se M é compacta, e se q N é um valor regular de f, existe uma vizinhança V de q, em N, tal que f 1 (V ) é a reunião de um número finito de abertos de M, disjuntos, cada um dos quais se aplica pela f difeomorficamente sobre V. Dem. Pela Proposição 9.26, f 1 (q) = {p 1,..., p s }, e existe vizinhança U i de p i que se aplica pela f difeomorficamente sobre um vizinhança Z i de q, e podemos 165

173 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS supor as vizinhanças U 1,..., U s duas a duas disjuntas. Seja Z = s W i de = f 1 i (Z), onde f i = f Ui, então W 1,..., W s são vizinhanças disjuntas p 1,..., p s, respectivamente, e f aplica cada W i difeomorficamente sobre Z. Se existir vizinhança V de q tal que i=1 Z i. f 1 (V ) s W i, então f 1 (V ) = V 1... V s, onde V i = f 1 (V ) W i, e f : V i V difeomorfismo, o que provaria o teorema. Suponhamos, por absurdo, que para toda vizinhança V de q, 1 Se V Z, exista algum ponto y V tal que y = f(x), com x / s W i. Tomando uma base de vizinhanças de q, B 1 B 2... podemos construir para cada B j os pontos y j B j e x j M tais que y j = f(x j ) e x j / s W i. Como M é compacta, (passando a uma subsequência se necessário), podemos supor que x j p M, donde y j = f(x j ) f(p). Mas y j q, donde q = f(p), ou seja, existe k {1,..., s} tal que p = p k. Como x j p, existem valores de j suficiente grandes para que seja que termina a demonstração. x j W j s W i, contra a hipótese de que x j / s W i, o 1 Obs. Sejam M m e N m variedades compactas, orientadas, de dimensão m e classe C k, e f : M N um difeomorfismo de classe C 1. Vimos que f ω = ε ω M N para toda m forma ω de classe C 1 em N, onde ε = 1 se f preserva a orientação e ε = 1 caso contrário. Se f : M N é de classe C 1 mas não necessariamente um difeomorfismo, vale a fórmula grau de f. Vamos provar uma versão local desta fórmula. M 1 1 f ω = γ ω, onde γ é um inteiro chamado N Proposição Seja q N um valor regular de f : M m N m, f de classe C 1, dim M = dim N = m. Existe vizinhança U de q em N tal que f ω = γ ω M N para toda m forma ω de classe C 1 e suporte contido em U, onde γ é um inteiro. 1 Dem. Na vizinhança de cada ponto de f 1 (q), f é um difeomorfismo local, donde 166

174 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS q tem vizinhança U tal que f 1 (U) consiste de abertos disjuntos V 1,..., V s e f : V i U é um difeomorfismo, 1 i s (vide Proposição 9.27). Se supp ω U então supp f ω f 1 (U). Portanto, f ω = s f ω = s ε i ω, M i=1 V i i=1 U onde ε i = ±1 conforme f : V i U preserve ou não a orientação. Por definição, γ = s ε i, e obtemos i=1 M f ω = γ ω. N 9.7 Formas Diferenciais em M [0, 1]. Lema de Poincaré Seja M m uma variedade de dimensão m e classe C k, e seja π : M [0, 1] M, π(p, t) = p, a projeção. Vamos mostrar que toda forma diferencial de classe C k em M [0, 1] é uma soma localmente finita dos seguintes tipos de formas: (I)f(p, t)π ϕ; (II)f(p, t)dt π ϕ, onde f : M [0, 1] R é de classe C k e ϕ é uma forma de classe C k em M. Sejam {x α } α A um atlas em M, x α : U α R m, {ϕ α } α A uma partição da unidade estritamente subordinada a {U α } α A, e g α : M R, g α C k, tal que supp g α U α e g α = 1 em supp ϕ α, cuja existência é garantida pelo lema de Urysohn diferenciável (Proposição 7.15 do Capítulo 7). Resulta que {π 1 (U α )} α A é uma cobertura aberta de M [0, 1] e {π ϕ α } α A é partição da unidade estritamente subordinada a {π 1 (U α )} α A, conforme a Proposição Seja ω uma r forma de classe C k em M [0, 1]. Temos: ω = ω α, onde ω α = (π ϕ α )ω. Então, supp ω α supp π ϕ α π 1 U α. Em π 1 U α a forma ω α pode ser escrita na forma α A ω α = I a α,i dx α,i + J b α,j dt dx α,j, 167

175 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS onde a α,i e b α,j são funções C k em π 1 U α com suporte contidos em supp π ϕ α, ou seja, ω α é a soma de formas do tipo (I) e do tipo (II) em π 1 U α. Para estender esta decomposição a M [0, 1], observemos que, como supp ω α supp π ϕ α e π g α = 1 em supp π ϕ α, temos ω α = (π g α )ω α = a α,i (π g α )dx α,i + b α,j dt (π g α ) dx α,j = = a α,i (π g α dx α,i ) + b α,j dt (π g α dx α,j ). Como supp g α U α, podemos considerar g α dx α,i como sendo 0 em M U α, de modo que ω é uma soma localmente finita de formas das tipos (I) e (II) em M [0, 1]. Além disso, dados U α, ϕ α e g α, a decomposição acima é única. Definição Uma variedade M m é contrátil (a um ponto p 0 M) se existe aplicação de classe C 1, H : M [0, 1] M, tal que H(p, 1) = p, H(p, 0) = p 0, para todo p M. Por exemplo, R m e B = {x R m ; x < 1} são contráteis, como é fácil verificar. Proposição (Lema de Poincaré) Sejam M m uma variedade contrátil e ω uma r forma fechada, de classe C 1 em M, isto é tal que dω = 0. Então ω é exata, ou seja, existe uma (r 1) forma α em M tal que ω = dα. Dem. Vamos definir, para cada k, uma aplicação maneira seguinte: K : Ω k (M) Ω k 1 (M) da (i) K(fπ ω) = 0 para as formas do tipo (I); Ç å 1 (ii) K(fdt π ω) = f(p, t)dt ω para as formas do tipo (II), e estender por linearidade. 0 Sejam i 1 : M M [0, 1] e i 0 : M M [0, 1] definidas por i 1 (p) = (p, 1) e i 0 (p) = (p, 0). Vamos provar que dk + Kd = i 1 i 0; para isto, basta provála numa vizinhança U [0, 1], de coordenadas (x, t) = (π x 1,..., π x m, t), em 168

176 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS M [0, 1]. Nas formas do tipo (I), temos: = K Ç å f Kd(fπ ω) = K t dt π ω + m f π dx i π ω + fπ dω = Ç å Ç å i=1 x i f 1 t dt f π ω = t dt ω = (f(x, 1) f(x, 0)) ω = (i 1 i 0) (f(x, t)π ω). 0 Como dk (fπ ω) = 0, temos dk + Kd = i 1 i 0 nas formas do tipo (I). Nas formas do tipo (II), temos: E: ñç 1 dk(fdt π ω) = d Ç å f(x, t)dt dω = i å f(x, t)dt Ç 1 0 ô ω f x i dt = Ç å 1 f(x, t)dt dx i ω+ å x i 0Ç å 1 dx i ω + f(x, t)dt dω. Ç å Kd (fdt π f ω) = K π dx i dt π ω K (fdt π dω) = i x i = Ç å Ç å 1 f 1 dt dx i ω f(x, t)dt dω. i x i 0 Portanto, Kd + dk = 0 nas formas de tipo (II), provando que Kd + dk = i 1 i 0. Como H i 1 = id M e H i 0 = constante = p 0, temos: ω = (H i 1 ) ω = i 1(H ω); 0 = (H i 0 ) ω = i 0(H ω), 0 0 e d(h ω) = H dω = 0 pois dω = 0. Logo, ω = i 1(H ω) = d(k(h ω)) = dα, onde α = K(H ω). 9.8 Aplicação à Análise Vetorial Sejam A R 3, aberto, f : A C R, F = (P, Q, R) : A C Ç R 3. Sabemos que f grad : C (A, R) X (A), grad f = x, f y, f å, rot : X (A) X (A), z 169

177 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS rot F = i j k = x y z P Q R Ç R y Q z, P z R x, Q x P å, y div : X (A) C (A, R), div(p, Q, R) = P x + Q y + R z = div F Definamos: α 0 : C (A, R) Ω 0 (A) α 0 f = f ; β 1 f = fdx dy dz. α 1 : X (A) Ω 1 (A) β 0 : X (A) Ω 2 (A) β 1 : C (A, R) Ω 3 (A), por: α 1 F = P dx + Qdy + Rdz; β0 F = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy e É fácil ver que α 0, α 1, β 0, β 1 são aplicação lineares bijetoras, isto é, isomorfismos. Além disso, o diagrama seguinte comuta: C (A, R) α 0 Ω 0 (A) = C (A, R) grad d X (A) α 1 Ω 1 (A) rot d X (A) β 0 Ω 2 (A) div C (A, R) β 1 Ω 3 (A), ou seja : d dα 0 = α 1 grad dα 1 = β 0 rot dβ 0 = β 1 div, como mostra um cálculo simples. Vamos mostrar que a Proposição 9.21 (Stokes) nos dá, no caso de R 3, os teoremas clássicos de Gauss e Stokes. 170

178 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Proposição (Stokes) Seja S uma superfície compacta, com bordo, de classe C, orientada, contida no aberto A do R 3. Se F C = (P, Q, R) : A R 3 é um campo vetorial, então: S Ç R y Q å Ç P dy dz + z = ou seja, o fluxo de S, onde S tem a orientação induzida. S å Ç Q dz dx + z R x P dx + Qdy + Rdz, x P y å dx dy = rot F através de S é igual à circulação de F ao longo do bordo Dem. Seja ω = P dx + Qdy + Rdz = α 1 F, donde dω = β0 rot F, e nos dá a tese. Proposição (Gauss) Seja T uma superfície compacta de classe dω = ω S S C e dimensão 3 em R 3, e seja n o campo unitário C normal a S = T e que aponta para fora de T. Se F = (P, Q, R) : A C R 3 é um campo definido num aberto A que contém T, então T Dem. Seja Ç P x + Q y + R å dx dy dz = z S P dy dz + Qdz dx + Rdx dy. ω = β 0 F = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy. Orientando T de modo natural e dando a S a orientação induzida, então n define a orientação de S (Veja a Proposição 9.15). Logo: dω = β 1 div F, e dω = ω nos dá a tese. T S 9.9 Integração numa Variedade Riemaniana. Grau de Aplicação. Seja M m uma variedade compacta, orientada, de classe C k e riemaniana. A forma "elemento de volume" em M m é a m forma σ definida por σ p (v 1,..., v m ) = = vol(v 1,..., v m ), onde p M e v 1,..., v m T p M. Seja (e 1,..., e m ) uma base ortonormal positiva de T p M e seja v k = 171

179 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS = m a ik e i. Sabemos que, por definição, vol (v 1,..., v m ) = det A, onde A = i=1 = (a ik ) m m. Assim, σ p (v 1,..., v m ) = det A. Definição Seja f : M R contínua. Definimos sua integral em M por f = fσ. Assim, a existência da forma elemento de volume σ nos permite definir M M a integral de uma 0 forma, isto é, de uma função. Seja x : U R m uma carta local em M, positiva. Se p U temos σ p = a(x(p))dx 1... dx m, onde a : x(u) R. Temos: σ p Ç x 1,..., x m å Ç Ç åå = a(x(p)) det dx i = a(x(p)). x j Mas, se = m a ki e k, então x i k=1 σ p Ç x 1,..., å = det A, onde A = (a ij ). x m Æ E: g ij =, = m a ki e k, a rj e r = m a ki a kj, donde det G = x i x j k,r=1 k=1 = det(a t A) = (det A) 2, e det A = det G, onde G = (g ij ). Logo, a(x(p)) = det G e f = f det G dx 1... dx m. U U Obs. (1) Sejam M m uma variedade orientada e D uma variedade com bordo, contida em M, de mesma dimensão que M, e com D compacto. Se ω é um elemento de volume de M e X X 1 (M), definimos a divergência de X como sendo a função div X tal que d(i X ω) = (div X)ω. Do teorema de Stokes resulta: div Xω = i X ω (teorema de Gauss). D D Em particular, se M é compacta, então Obs. (2): Suponhamos agora que M div Xω = 0. (M m, g) seja uma variedade riemaniana de classe C k, k 2, g(x, Y ) = X, Y o produto interno Ç de dois campos å X, Y X r (M). Se x : U R m é carta local, então g p (p), (p) = x i x j = g ij (p), p U, as funções g ij : U R sendo de classe C r, r < k. 172

180 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Toda f : M C2 R define um campo meio da igualdade df(y ) = g(x, Y ) para todo Y X 1 (M). X = grad f, o gradiente de f, por Definimos o laplaciano f de f por f = div grad f. Do teorema de Gauss acima, resulta: fσ = i X σ, X = grad f. D D Em particular, se M é compacta, então M fσ = 0. Se f = 0, f é dita harmônica. Neste caso, a fórmula f 2 = 2f f+ +2 grad f 2 (vide Exercício 26 no final do capítulo), nos dá,se M é compacta e conexa, que grad f 2 σ = 1 f 2 σ = 0, donde grad f = 0, e f é constante, M 2 M ou seja, toda função harmônica numa variedade riemaniana compacta e conexa (e orientada) é constante. Para a equação h = f temos o seguinte resultado: Proposição Seja M uma variedade riemaniana compacta, orientada, de classe C, e seja f : M Ck R tal que f = 0. Então a equação h = f M tem uma única solução (veja a referência Aubin, T.). Definição Sejam M m uma variedade de classe C, Z p (M) o espaço vetorial das p formas fechadas e B p (M) o subespaço das p formas exatas. O espaço quociente Zp (M) B p (M) = Hp (M) é o p-ésimo grupo de cohomologia de de Rham de M. Se ω Ω p (M), representamos por [ω] a classe de cohomologia de ω. Se [ω] = [ω ], então ω ω B p (M), isto é, ω ω = dθ para alguma θ Ω p 1 (M), e dizemos que ω e ω são cohomólogas. Proposição Se M m tem n componentes conexas, então H 0 (M) = R n. Dem. Como B 0 (M) = {0}, temos H 0 (M) = Z 0 (M) = {f : M R; df = 0}. Se df = 0 então f é constante em cada componente conexa de M. Se M tem n componentes conexas, então uma função constante em cada componente se identifica com uma n pla ordenada de números reais, ou seja, a um elemento de R n, donde H 0 (M) = R n. Exemplo H 0 (R n ) = R, pois R n é conexo. H p (R n ) = {0}, p 1, pelo Lema de Poincaré. 173

181 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS Toda variedade conexa contrátil de dimensão n tem a mesma cohomologia. Proposição Seja M m uma variedade compacta, orientada, de classe C, e seja ω uma m forma de classe C k em M. Se ω é exata, o teorema de Stokes nos dá que ω = 0. Reciprocamente, se ω = 0, então ω é exata. M M Dem. Seja σ uma forma volume em M. Então, ω = fσ para alguma f C (M, R) tal que f = 0. Seja h a solução de h = f, e seja X = grad h, donde div X = f. M Definamos a (m 1) forma α por α = i X σ. Resulta que dα = d(i X σ) = (div X)σ = = fσ = ω, e ω é exata. Corolário 9.4. H m (M m ) = R. Dem. Se σ é uma forma volume em M, e ω é uma m forma em M então existe λ R tal que ω = λ σ, donde (ω λσ) = 0. Pela Proposição acima temos que M M M ω λσ = dθ para alguma (m 1) forma θ. Resulta que H m (M m ) é gerado pela classe [σ] donde dim H m (M m ) = 1. Exemplo H 0 (S 1 ) = R, pois S 1 é conexa. H 1 (S 1 ) = R, pelo Corolário acima. H p (S 1 ) = {0}, se p 2. Definição Sejam M1 m e M2 m variedades conexas, compactas, orientadas, de dimensão m e classe C, σ 1 e σ 2 tais que M 1 σ 1 = C M 2 σ 2 = 1. Se f : M k 1 M 2, existe λ R tal que [f σ 2 ] = λ[σ 1 ]. Este número λ é o grau de f: λ = gr(f), ou seja, gr(f) = M1 f σ 2. Se θ é uma m forma em M 2, então M 1 f θ = gr(f) θ. M 2 De fato, se µ = M 2 θ, então θ µσ 2 = dβ, donde f θ = µf σ 2 +df β, e resulta f θ = µ M 1 M 1 f σ 2 = µgr(f) = gr(f) θ, M 2 174

182 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS o que mostra que grf independe da escolha de σ 2, pois se σ é tal que M 2 σ = 1, então M 1 f σ = gr(f). Proposição Sejam M1 m, M2 m variedades conexas, compactas, orientadas, de dimensão m e classe C C, e seja f : M k 1 M 2. Se q M 2 é um valor regular de f, então grf = ε p, onde ε p = 1 ou ε p = 1 conforme det f (p) > 0 ou p f 1 (q) detf (p) < 0, respectivamente. Dem. 1 Caso: f 1 (q) φ. Vimos, na Proposição 9.27, que existe vizinhança (conexa) V de q, em M 2, tal que f 1 (V ) é uma reunião finita de abertos W 1,..., W s de M 1, disjuntos, cada um dos quais se aplica difeomorficamente sobre V. Na Proposição 9.28, vimos que M 1 f ω = γ M 2 ω para toda m forma de classe C 1 e suporte em V, sendo γ = ε p, onde ε p = 1 ou ε p = 1 conforme f Wi = f i : W i V preserve ou p f 1 (q) não a orientação. C Seja h : M k 2 R tal que h = 0 em M V, e h > 0 numa vizinhança U de q, Ū V. Podemos supor que V é uma vizinhança coordenada e que y : V R m é uma carta positiva em V. Então, ω = hdy 1 dy m é m forma C k em M 2 cujo suporte está contido em V. Resulta, M 1 f ω = gr(f) M 2 Dem. 2 Caso: f 1 (q) = φ. ω = γ M 2 ω, ou seja, gr(f) = γ = p f 1 (q) ε p. Neste caso, q tem vizinhança V contida em M 2 f(m 1 ), pois f(m 1 ) é fechado. Se ω é m forma de classe C 1 e suporte compacto contido em V, então f ω = 0, M 1 donde gr(f) = 0. Obs. Do que foi visto acima, resultam: a) gr(f) é um inteiro; b) p f 1 (q) ε p (= gr(f)) independe do valor regular q de f; 175

183 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS c) Se f(m 1 ) M 2, então gr(f) = 0; d) Se f 1, f 2 : M 1 M 2 são C 2 homotópicas, então gr(f 1 ) = gr(f 2 ); e) O exemplo mostra que a aplicação antípoda α : S m S m, α(x) = x, tem grau igual a ( 1) m+1. Exemplo Seja M m R m+1 uma hipersuperfície compacta, de classe C 2, orientada por meio de um campo, de classe C 1, de vetores normais unitários, N : M m S m. Os subespaços T p M m e T N(p) S m coincidem, pois ambos são ortogonais a N(p), de modo que dn(p) = N (p) : T p M T p M. Por definição, K(p) = det N (p) é a curvatura gaussiana de M em p M. Quando m é par, K(p) não depende da orientação de M m. Seja ω a m forma volume que define a orientação de M m, ω = i N dx 1... dx m+1, e orientemos S m pela m forma volume σ tal que σ(n(p)) = ω(p). Para v 1,..., v m T p M, temos: (N σ)(p)(v 1,..., v m ) = σ(n(p))(n (p)v 1,..., N (p)v m ) = = ω(p)(n (p)v 1,..., N (p)v m ) = det N (p)ω(p)(v 1,..., v m ), donde N σ = Kω, e resulta M K = M Kω = M N σ = gr(n) S m σ = gr(n) vol(s m ), que relaciona a curvatura integral com o grau de N. H. Hopf provou (em 1925) que se m é par, então gr(n) = 1 vol(s m) K = 1 χ(m), onde χ(m) é a característica 2 M de Euler, que é um invariante topológico de M. No caso m impar, gr(n) não é um invariante topológico de M Exercícios do Capítulo 9 1. Seja ω = f(x)ydx + dy definida na faixa D = {(x, y) R 2 ; a < x < b}, onde f : (a, b) R é contínua. Seja F uma primitiva de f em (a, b), isto é, F = f. Se g = e F, prove que (gω) é uma forma exata em D. 176

184 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS 2. Sejam P, Q, R : D R de classe C 1 no aberto DÇ R 3. Mostre que se P ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy, então dω = x + Q y + R å dx z dy dz = div ωdx dy dz, onde ω é o campo (P, Q, R); 3. Ache uma (n 1) forma ω em R n tal que dω = dx 1... dx n. 4. Sejam a, b, c R. Prove que ω = ady dz + bdz dx + cdx dy é exata. 5. Sejam α uma r forma e β uma s forma em R n. Prove : (a) se α e β são fechadas, então α β é fechada; (b) se α é fechada e β é exata, então α β é exata. 6. Sejam α, β, θ formas em R n, α e β de grau par. Ache d(dα β θ + α dβ θ + α β dθ). 7. Sejam ω 1,..., ω p 1 formas no aberto D R n tais que ω i = n f ij dg j, 1 i p, onde as funções f ij são de classe C 1 e as g j são de classe C 2 em D. Se ω 1 (x),..., ω p (x) são L.I. em cada x D, mostre que existem 1 formas θ ij tais que dω i = p θ ij ω j. j=1 j=1 xdy dz + ydz dx + zdx dy 8. Seja α = em (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 fechada, calcule α, e prove que α não é exata. S 2 R 3 {0}. Prove que α é 9. Sejam ω = ydx xdy + dz, u, v : R 3 C 1 R. Prove que se ω vdu é fechada, então u e v independem de z e, neste caso, que du, dv e ω vdu são linearmente independentes em cada ponto de R Seja ϕ : M C1 M um difeomorfismo de uma variedade compacta orientada M. Se para uma forma volume ω em M temos ϕ ω = cω, onde c R, prove que c = ±1(donde ϕ preserva volume), e que fω = (f ϕ)ω para M toda f : M R contínua. 11. Seja a 2 forma ω = dx 1 dx dx 2n 1 dx 2n em R 2n. Prove que n ω = n!dx 1... dx 2n. M 177

185 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS 12. Sejam M m uma variedade de classe C, e X um campo de vetores de classe C, em M. A derivada de Lie em relação a X é a aplicação L X : Ω r (M) Ω r (M). Prove: ω L X ω = di X ω + i X dω (1) L X (α β) = (L X α) β + α (L X β); (2) L X f = Xf; (3) L X dω = dl X ω; (4) L fx ω = fl X ω + df i X ω; (5) L X (i X ω) = i X (L X ω); (6) L [X,Y ] ω = L X L Y ω L Y L X ω = [L X, L Y ] ω, onde α, β, ω Ω r (M) e f : M R é de classe C. 13. Prove que o espaço projetivo real P n é orientável se, e só se, n é ímpar. 14. Seja (M, g) uma variedade riemaniana compacta orientada, com bordo M, e de classe C 2. Para todo campo de vetores X C 1 (M, T M), prove que (div X)σ = X, N i N σ (Gauss), onde σ é a forma volume induzida pela M M métrica g, e N é um campo de vetores unitários ao longo de M, de classe C 1, e que aponta para fora. 15. Sejam (M, g) uma variedade riemaniana compacta, orientada, de classe C, com bordo M munido da orientação induzida, e N um campo normal unitário de classe C, que aponta para fora, ao longo de M. Se X : M C T M é um campo de vetores e f : M R é de classe C, prove: (a) div(fx) = f div X + grad f, X ; (b) grad f, X σ + (f div X)σ = f X, N i N σ, onde σ é a forma M M σm volume induzida pela métrica g. 16. Calcule S 2 xz dy dz + yz dz dx + x 2 dx dy. 178

186 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS 17. Sejam (M, g) uma variedade riemaniana orientada, de classe C, e P M uma hipersuperfície orientada C, com ou sem bordo. Mostre que existe um único campo normal unitário ao longo de P, de classe C, que determina a orientação de P. 18. Seja (M, g) uma variedade riemaniana, C, orientada, com bordo, : C (M, R) C (M, R) o laplaciano, e σ a forma volume induzida por g. (a) Se M é compacta, prove as identidades de Green: (u v)σ + grad u, grad v σ = M M M (u v v u) σ = M M Ç u v å i n σ; n Ç u v n v v å i n σ, n onde n é o campo normal unitário C que determina a orientação de u M, e n = n(u). (b) Se M é conexa e M = ø, mostre que as únicas funções harmônicas em M são as constantes. (c) Se M é conexa, M ø, e u e v são funções harmônicas em M, cujas restrições a M coincidem, mostre que u = v. 19. Sejam (M, g) uma variedade compacta, conexa, orientada, riemaniana C, e o laplaciano. λ R é um autovalor de se existe u : M C R, u 0, tal que λ. (a) Prove que negativo. u = λu. Neste caso, u é uma autofunção correspondente a 0 R é um autovalor de, e que todo outro autovalor é (b) Prove que se u e v são autofunções de correspondentes a autovalores distintos, então M (uv)σ = Seja (M m, g) uma variedade riemaniana orientada C. Prove que, dado p M, existe um referencial ortonormal positivo (E 1,..., E m ), definido 179

187 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS numa vizinhança aberta U de p, ou seja, E 1,..., E m X (M) são tais que (E 1 (q),..., E m (q)) é base ortonormal positiva de T q M para todo q U. Sejam ω 1,..., ω m 1 formas definidas em U tais que ω i (E j ) = δ ij, e seja ω = ω 1... ω m. Prove que ω = σ, onde σ é a forma volume induzida pela métrica g. Se X 1,..., X m, Y 1,..., Y m pertencem a X (M), prove que ω(x 1,..., X m )ω(y 1,..., Y m ) = det ( X i, Y j ). 21. Prove que ω = para todo p S 1. dy x dx y se x 0; se y 0, é uma forma C em S 1 tal que ω p Seja 0 R um valor regular de f : R 3 C R, e seja M = f 1 (0). dy dz dz dx dx dy Mostre que = = são satisfeitas nos pontos de M f x f y onde fazem sentido, e defina uma 2 forma ω em M tal que p M, e de classe C. f z ω p 0 em todo 23. Seja o aberto A = {(ρ, ϕ, θ) ρ > 0; 0 < ϕ < π; 0 < θ < 2π} do R 3, e seja f : A R 3 definida por (x, y, z) = f(ρ, ϕ, θ) = (ρ cos θ sen ϕ, ρ sen θ sen ϕ, ρ cos ϕ). Mostre que f (dx dy dz) = ρ 2 sen ϕ dρ dϕ dθ. 24. As equações de Maxwell no vácuo R 3, sem carga ou corrente, são: rot E = B t, rot B = E t, div E = 0, div B = 0 onde E = (E1, E 2, E 3 ) é o campo elétrico e B = (B1, B 2, B 3 ) é o campo magnético. Sejam as formas : E = E 1 dx + E 2 dy + E 3 dz B = B 1 dy dz + B 2 dz dx + B 3 dx dy Seja R 4 o espaço-tempo com coordenadas (x, y, z, t). E e B podem ser consideradas como formas em R 4. Se F = E dt + B, mostre que df = 0 equivale às duas equações div B = 0 e rot E = B t, e que d F = 0 equivale às duas equações div E = 0 e rot B = E, onde para uma t 180

188 CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS k forma ω em R n, ω é uma (n k) forma (a estrela de Hodge) definida por ω(e j1,..., e jn k ) = ε(σ)ω(e i1,..., e ik ) com (i 1,..., i k, j 1,..., j n k ) = = (σ(1),..., σ(n)) e ε(σ) = sinal da permutação σ. 25. Sejam (M m, g) uma variedade riemaniana de classe C k, k 2, e σ a forma volume induzida pela métrica g. Seja x : U R m uma carta local em M. (a) Se (b) Se f : M C2 R prove que, na carta x, grad f = m (g ij ) é a matriz inversa de G = (g ij ). X = m a i i=1 prove que, na carta x, x i div X = m i=1 i,j=1 (c) Se X = grad f, prove que f = div grad f = m ( + m g ij + 1 ) ln det G f gij. i,j=1 x i 2 x i x j ij f g, onde x j x i ( ai + 1 x i 2 a ln ) det G i. x i g ij i,j=1 2 f + x i x j No caso em que M = R m com a métrica usual, temos G = I m, div X = = m a i, e f = m 2 f. i=1 x i i=1 x 2 i 26. Se (M m, g) é variedade riemaniana, e f, g : M C2 R, prove que (fg) = = f g + g f + 2 grad f, grad g. 27. Sejam (M m, g) uma variedade compacta, orientada, de classe C, ω uma forma volume em M, e X um campo vetorial C tal que que, para toda f : M C R, temos (Xf)ω = Seja V um campo de classe C em R 3. Prove que: M div X = 0. Prove (a) se div V = 0, então existe um campo X em R 3 tal que rot X = V. (b) se rot V = 0, então existe uma função f : R 3 R tal que grad f = V. 29. Seja M uma variedade compacta orientada de classe C. Prove que M não é contrátil a um ponto. 30. Usando o teorema de Brouwer, prove que não existe r : B B = S n 1, r C 2, tal que r(x) = x para todo x S n

189 Capítulo 10 Sistemas Diferenciais Após introduzir o conceito de derivada de uma função numérica na variedade M, f : M R, relativamente a um campo vetorial X : M T M, estudamos o "colchete de Lie" de dois campos de vetores em M, e o fluxo local de um campo X : M T M. Generalizando o conceito de campo de direções no plano, definimos os sistemas diferenciais de dimensão r na variedade M m, provamos o teorema de integrabilidade de Frobenius, introduzimos a noção de folheação, apresentamos o teorema de Chevalley (sem demonstração) sobre a existência de variedade integral máxima, estudamos a relação entre comutatividade de campos e a de seus fluxos, e finalizamos com uma introdução às variedades simpléticas Colchete de Lie de Campos Vetoriais. Fluxos. Seja M m uma variedade de dimensão m e classe C k. Se X : M T M é um campo de vetores e x : U R m é uma carta local, então X = m a i, onde i=1 x i a i : U R. X é de classe C s, s < k, se, e só se, a i é de classe C s. Definição Sejam A M aberto e f : A R de classe C s+1. A derivada de f relativamente ao campo X C s é a função Xf : A R definida por (Xf)(p) = f (p).x p = X p f. Xf é de classe C s. Na carta x temos Xf = m f a i, i=1 x i 182

190 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS f onde (p) = (f x 1 ) (x(p)). Em particular, X(x j ) = a j. Se Y = b j x i x i x j é outro campo de classe C s em U, então Y (Xf) : U R é de classe C s 1 e Ç Y (Xf) = m ai f 2 å f b j + a i. i,j=1 x j x i x j x i Proposição Sejam X e Y campos vetoriais de classe C s na variedade M m de classe C k, s < k, s 1. Existe um único campo [X, Y ] em M, de classe C s 1, tal que M. [X, Y ]f = X(Y f) Y (Xf) para toda f de classe C 2 num aberto de Dem. Na carta x : U R m, temos X = a i, Y = b j e Ç å x i x j X(Y f) Y (Xf) = m b j f a i f a i b j = Ç å b j a j f a i b i, ou i,j=1 x i x j x j x i i,j Ç å x i x i x j seja, [X, Y ] x = m c k, com c k = m b k a k a i b i. k=1 x k i=1 x i x i Se y : U R m é outra carta local, então X = a α, Y = b j e y α y j [X, Y ] y = m d j, com d j = Ç b a j a å α b j α. j=1 y j α y α y α i Como a i b k x i = a i = a x i β e b k = b x k j, temos β y β j y j Ç a x i β b 2 å x k j + b j y α yα = Ç y β y j y α y α y j x i α,j i,j,α,β Analogamente, i b i a k x i = α,j b a j x k α y α b a j α + a y αb 2 x k α. j y j y α x k + a y α y βb 2 x k j j y j y α å. Logo, c k = Ç a b j α b a å j xk α. α,j y α y α y j Portanto, [X, Y ] x = m c k = Ç b a j α b a å k xk α = k=1 x k j,k,α y α y α y j x k = Ç b a j a å α b j α = d j = [X, Y ] y, j,α y α y α y j j y j 183

191 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS e [X, Y ] independe da carta e está definido em M. Por definição, [X, Y ] é o colchete de Lie dos campos X e Y. Proposição (a) [ax + by, Z] = a[x, Z] + b[y, Z]; (b) (c) (d) [X, Y ] = [Y, X]; [fx, gy ] = fg[x, Y ] + fx(g)y gy (f)x; [[X, Y ], Z] + [[Z, X], Y ] + [[Y, Z], X] = 0 (identidade de Jacobi), quaisquer que sejam os campos X, Y, Z : M T M de classe C s, f, g : M R de classe C 2 e a, b R. Dem. Exercício. Obs. Se M m é de classe C, o conjunto dos campos X C em M é o espaço vetorial real X (M). Munido da aplicação bilinear (X, Y ) [X, Y ], X (M) é uma álgebra que satisfaz [X, X] = 0 e a identidade de Jacobi, isto é, é uma álgebra de Lie. No caso C, um campo X pode ser pensado como uma aplicação X : C (M, R) C (M, R) f Xf que satisfaz às condições : (a) X(af + bg) = ax(f) + bx(g); (b) X(fg) = fx(g) + gx(f), quaisquer que sejam álgebra C (M, R). Exemplo f, g C (M, R), a, b R, ou seja, X é uma derivação na ñ x i, ô = 0. x j Exemplo X = x x + y y, Y = y, em M = R2. ñ Então [X, Y ] = x x, ô ñ + y y y, ô ñ = x y x, ô ñ y +y y, ô y y y y = y = Y. x y x + 184

192 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS Exemplo Se A e B são matrizes n n, pomos [A, B] = AB BA. É fácil ver que (A, B) [A, B] é bilinear, que [A, B] = [B, A], e que vale a identidade de Jacobi, ou seja, [A, B] é um colchete de Lie na álgebra M(n, R). Definição Seja X : M T M um campo de vetores de classe C s em M. Uma curva integral de X de origem p M, é um caminho ϕ : (a, b) M, ϕ C s, tal que ϕ(0) = p e ϕ (t) = X(ϕ(t)), onde (a, b) é um intervalo aberto contendo 0. A imagem ϕ(a, b) é uma órbita ou trajetória de X. Uma curva integral é máxima quando seu domínio não pode ser estendido a um intervalo maior. Por cada p M passa uma única trajetória (máxima) de origem p devido ao seguinte teorema de equações diferenciais. Proposição Sejam V um aberto do R m, y o V e f : V R m de classe C 1. Então a equação diferencial dy dt = f(y), y(0) = y 0 tem uma única solução y : (a 0, b 0 ) V, de classe C 1, onde (a 0, b 0 ) é o maior intervalo aberto contendo 0 no qual y está definida. Considerando a solução também como função do ponto inicial, y será função de t e de q, de modo que a condição para que inicial q é e temos o seguinte teorema. y (t, q) = f(y(t, q)), y(0, q) = q, t y(t, q) seja curva integral de ponto Proposição Sejam V um aberto do R m e f : V R m de classe C 1. Para cada ponto q V existem vizinhança W de q, um ε > 0 e uma função y : ( ε, ε) W V de classe C 1 y, tal que (t, q) = f(y(t, q)), y(0, q) = q para t todo (t, q) ( ε, ε) W. Se t ϕ(t, p) é a curva integral de X C s de origem p M, então ϕ : ( ε, ε) W M é de classe C s, onde W é uma vizinhança de p. Esta aplicação ϕ(t, p) é o fluxo local gerado por X. É usual escrever ϕ t (p) ao invés de ϕ(t, p). Se s, t pertencem a ( ε, ε), se ϕ t (ϕ s (q)) e ϕ t+s (q) estão definidos, então 185

193 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS ϕ t (ϕ s (q)) = ϕ t+s (q) pois ambos, como funções de t, são curvas integrais de X com ponto inicial ϕ s (q) (correspondente a t = 0). Se o fluxo ϕ(t, p) está definido em R M, então ϕ é o fluxo global de X e, neste caso, dizemos que o campo X é completo. Se ϕ é fluxo global, então ϕ t : M M é um difeomorfismo para cada t R, cujo inverso é ϕ t. Quando M m é uma variedade compacta, pode provar-se que todo campo X : M T M, X C s, é completo. Obs. Seja X : M T M um campo C s em M. Se p M e X p = 0, a órbita de X por p é {p}, e p é uma singularidade de X. Proposição Sejam ω uma 1-forma de classe C s, C s na variedade M m de classe C k, s < k. Então: d ω(x, Y ) = Xω(Y ) Y ω(x) ω([x, Y ]). X e Y campos de classe Dem. A aplicação (X, Y ) d ω(x, Y ) é bilinear, de modo que basta provar a fórmula acima no caso em que X = a, Y = b e ω = f k d x k numa carta x i x j local x : U R m. Temos: [X, Y ] = ñ a x i, b x j ô = a b x i x j b a x j x i, donde ω([x, Y ]) = ω(y ) = Ç f k a b δ jk b a å δ ik = x i x j Ç f k d x k b å = bf k δ jk = x j 0 se k i e k j b af j se k = j x i a bf i se k = i x j 0 se k j bf j se k = j 0 se k j e Xω(Y ) = a Ç (bf j ) = a b f j b + f j x i x i Analogamente: Y ω(x) = x i å 0 se k i Ç b a f i a + f i x j x j å se k = j se k = i 186

194 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS Então: Xω(Y ) Y ω(x) ω([x, Y ]) = 0 se k i e k j ab f j x i se k = j ab f i x j se k = i. Por outro lado, Ç d ω(x, Y ) = d f k d x k a, b å = x i x j l Ç f k d x l d x k a, b å = x l x i x j = l f k x l Ç d x l a å Ç x i d x k a å x i Ç d x l b å Ç x j d x k b å x j = l f k x l (abδ il δ jk abδ jl δ ik ) = Ç fk = ab δ jk f å k δ ik = x i x j 0 se k i e k j ab f j se k = j x i ab f i se k = i, x j o que prova o teorema. Proposição Sejam ϕ : M m N n de classe C k, k 2, X e X 1 campos C k em M, Y e Y 1 campos C k em N. Se d ϕ X = Y ϕ e d ϕ X 1 = Y 1 ϕ, então d ϕ [X, X 1 ] = [Y, Y 1 ] ϕ. Dem. Sejam f : N R de classe C k, e p M. Temos: [Y, Y 1 ] ϕ(p) (f) = Y ϕ(p) (Y 1 (f)) Y 1 ϕ(p) (Y (f)) = d ϕ p X p (Y 1 (f)) d ϕ p X 1 p (Y (f)) = = X p (Y 1 (f) ϕ) X 1 p (Y (f) ϕ) = X p (d ϕ(x 1 )(f)) X 1 p (d ϕx(f)) = X p (X 1 fϕ) X 1 p (X f ϕ) = d ϕ[x, X 1 ] p (f), donde [Y, Y 1 ] ϕ = d ϕ[x, X 1 ]. Obs. Os campos como X e Y acima, isto é, tais que d ϕ X = Y ϕ são ditos ϕ- relacionados. 187

195 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS 10.2 Sistemas Diferenciais Seja M m uma variedade de dimensão m e classe C k. Definição Um sistema diferencial de dimensão r, r N, r m, em M, é uma aplicação D que a cada p M associa um subespaço D p, de dimensão r, de T p M. Dizemos que D é de classe C s, s < k, se, para cada p M, existem carta local x : U R m, p U, e campos de vetores X 1,..., X r, de classe C s, definidos em U, que formam uma base para D q, qualquer que seja caso, dizemos que {X 1,..., X r } é uma base local de D em U. Definição Um sistema diferencial D de dimensão r e classe q U; neste C s em M m é completamente integrável se, para cada p M, existe carta local x : U R m, p U, tal que,..., seja base local para D em U. Dizemos que um x 1 x r campo de vetores X : M T M pertence a D, e escrevemos X D, se X(p) D p para todo p M. Se X, Y D implica [X, Y ] D dizemos que D é involutivo; neste caso, se {X 1,..., X r } é base local de D, então [X i, X j ] = = r c kij X k para 1 i, j r. k=1 Proposição Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe C s em M m. Se D é completamente integrável, então D é involutivo. Dem. Existe carta local x : U R m tal que,..., seja base local de D x 1 x r em U. Sejam X = r f i, e Y = r g j campos pertencentes a D. Temos: i=1 x i j=1 x j [X, Y ] = i,j ñ ô f i, g j = x i x j i,j f i g j ñ x i, x j ô + i,j Ç g j f i f i g j x i x j x j å D, x i pois ñ x i, ô = 0. x j Proposição Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe C s em M m. Existe carta local y : V R m, y(p) = 0, tal que D tenha base local {X 1,..., X r }, em torno de p, da forma X i = + m c ji (1 i r). y i j=r+1 y j 188

196 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS Dem. Seja y : V R m, y(p) = 0 carta local em M, e seja {Y 1,..., Y r } base local de D em V. Então, Y i = m a ji (1 i r), onde a ji C s. Como j=1 y j os Y i são linearmente independentes, a matriz A = (a ij ) r m tem posto r, e podemos supor que B = (a ki ) r r (1 i, k r), é invertível no aberto V V. Seja B 1 = (b ki ) r r e ponhamos X i = r b ki Y k (1 i r). Então, X i = r m b ki a jk = r r a jk b ki + r m a jk b ki = r k=1 j=1 y j k=1 j=1 y j k=1 j=r+1 y j j=1 Ç å + m r a jk b ki j=r+1 k=1 y j, donde X i = y i + k=1 m c ji j=r+1. y j δ ji + y j Corolário Se D é involutivo a base local da Proposição 10.8 satisfaz [X i, X j ] = 0, 1 i, j r. Dem. Para 1 i, j r, [X i, X j ] pertence ao espaço W 1 gerado por y r+1,..., ( [ ] ) y m pois y i, y j = 0 e, como D é involutivo, [Xi, X j ] pertence também ao espaço W 2 gerado por X 1,..., X r. Seja Z W 1 W 2 ; então, Z = m a k k=r+1 = y k Ñ r r b i X i = b i i=1 i=1 y i + m c ki k=r+1 Å m donde a k r ã b i c ki = r b i, donde b i = 0 e Z = 0, isto é, k=r+1 i=1 y k i=1 y i W 1 W 2 = {0}, e resulta [X i, X j ] = 0, 1 i, j r. Proposição Se X é um campo de vetores de classe C k em M, p M e X(p) 0, existe carta local x : U R m, p U x(p) = 0, tal que X = x 1 em U. Dem. Seja α : A M, A R m aberto, inversa de uma carta local, tal que 0 A, α α(0) = p, (0) = X(p), e definamos β : A M por β(t, x 2,..., x m ) = x 1 = ϕ t (α(0, x 2,..., x m )), onde ϕ t é o fluxo local definido por X. Temos, β (0) = X(p) t β e (0) = α (0) para i 2, donde a matriz jacobiana de β em 0 é invertível. x i x i Resulta que β : B M, B A, é um difeomorfismo do aberto B R m no y k é, 189

197 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS aberto β(b) M. Pondo x = β 1 : β(b) B temos que x é carta local tal que X = em U = β(b). x 1 Proposição (Frobenius) Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe involutivo então D é completamente integrável. C s em M m. Se D é Dem. (indução em r). O caso r = 1 decorre da Proposição Suponhamos r 2 e que o resultado seja verdadeiro para os sistemas involutivos de dimensão (r 1). Podemos supor que D tenha base local {X 1,..., X r } tal que [X i, X j ] = 0, 1 i, j r. Pela hipótese de indução, existe carta local y : V R m, V conexo, y(p) = 0, tal que o espaço W 1 gerado por X 1,..., X r 1 seja igual ao espaço W 2 gerado por,...,, donde = r 1 a ji X j, 1 i r 1, resultando ñ ô y 1 y r 1 y i j=1, X r = r 1 [a ji X j, X r ] = r 1 X r (a ji )X j W 1 (1 i r 1). y i j=1 j=1 ñ ô ñ ô Como X r = m a i, temos, X r = m, a j = m a j W 2, i=1 y i y i j=1 y i y j j=1 y i y j a j donde = 0 no conexo V, para r j m, 1 i r 1, ou seja, as funções y i a j (r j m) independem de y 1,..., y r 1. Pondo Y = X r r 1 a i = m a j, temos que o espaço gerado por i=1 y i j=r y j X 1,..., X r é igual ao espaço gerado por,...,, Y, onde Y depende apenas y 1 y r 1 de y r,..., y m. Pela Proposição 10.9 existe mudança de variáveis da forma: x i = y i 1 i r 1 x k = f k (y r,..., y m ), r k m tal que = (1 i r 1) e = Y. Logo, x i y i x r base local de D, e D é completamente integrável. x 1,..., x r é Exemplo Se r = 1 temos um campo de direções. Todo campo de vetores X, sem singularidades (X p 0, p M) define um campo de direções, onde D p = =reta gerada por X p. Prova-se que, se M é simplesmente conexa, todo campo de direções provém de um campo sem singularidades. Na esfera S 2, por exemplo, não 190

198 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS existe campo contínuo de direções pois todo campo de vetores contínuo em S 2 tem uma singularidade (teorema de Poincaré-Brouwer, Proposição 9.25 do Capítulo 9). Exemplo Em R 2 seja ω = ad x + bd y onde a, b : R 2 R são C e a 2 + b 2 0. Se p = (x, y) R 2 e v = (v 1, v 2 ) T p R 2, então ω(p, v) = = a(p)v 1 + b(p)v 2 = 0 se, e só se, v é perpendicular ao vetor (a(p), b(p)). Assim, a equação a (a(p), b(p)). adx+bdy = 0 define o campo de direções D tal que D p = reta perpendicular Exemplo Em R 3, sejam X = z, Y = x + z y e gerado por X e Y. Como [X, Y ] = y completamente integrável. D(x, y, z) =plano não pertence a D, temos que D não é Proposição Seja D um sistema diferencial de dimensão r em M m. é de classe C s se, e só se, para cada p M, existem (m r) 1-formas ω 1, ω 2,..., ω m r, de classe C s numa vizinhança coordenada U contendo p, tais que D q = {v T q M ; ω j (q; v) = 0, 1 j m r}, D para todo q U. Dizemos que ω 1 =... = ω m r = 0 são equações locais para D em U. Dem. Sejam x : U R m carta local em M e {X m r+1,..., X m } uma base local de D em U. Então, X α = m a iα (m r + 1 α m). Estendemos i=1 x i {X m r+1 (p),..., X m (p)} a uma base {X 1 (p),..., X m (p)} de T p M, e seja X j (p) = = m a ij (p), onde a ij R e 1 j m r. Estendemos X 1 (p),..., X m r (p) i=1 x i a U pondo X j = m a ij, 1 j m r, a ij = constante. A matriz i=1 x i A = (a ik ) m m é invertível em p, e, portanto, invertível numa vizinhança de p, que podemos considerar como sendo U, de modo que {X 1,..., X m r,..., X m } q é base de T q M para cada q U. Seja {ω 1,..., ω m r,..., ω m } a base dual, isto é, ω i (X k ) = δ ik em cada q U; é claro que ω 1,..., ω m r são de classe C s e que D q = {v T q M; ω j (q, v) = 0, 1 j m r}. A recíproca é análoga. Proposição Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe C s, 191

199 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS no aberto U da variedade M m, de equações equivalentes: ω 1 =... = ω m r = 0 em U. São (a) D é completamente integrável; (b) D é involutivo; (c) existem 1 formas α ij tais que dω i = m r j=1 α ij ω j ; (d) dω i = 0 quando restrita a D; (e) dω i ω 1... ω m r = 0 (1 i m r). Dem. (i) Já vimos que (a) (b). (ii) (c) (d) (b): sejam X, Y campos de classe C 1 pertencentes a D, e dω i = m r α ij ω j. Então, dω i (X, Y ) = [α ij (X)ω j (Y ) α ij (Y )ω j (X)] = 0, j=1 j pois ω j (X) = ω j (Y ) = 0, donde (c) (d). Mas, d ω i (X, Y ) = Xω i (Y ) Y ω i (X) ω i ([X, Y ]) = ω i ([X, Y ]), donde [X, Y ] D d ω i (X, Y ) = 0, isto é, (d) (b). (iii) (d) (c): seja {ω 1,..., ω m r,..., ω m } base de (T q M) em cada q U, e sejam X 1,..., X m campos tais que X m r+1,..., X m formem base de D em U. Então, d ω i = m c ijk ω j ω k e, para α, β > m r temos j,k=1 0 = d ω i (X α, X β ) = c ijk (ω j (X α )ω k (X β ) ω j (X β )ω k (X α )) = c ijk (δ jα δ kβ j,k j,k δ jβ δ kα ), donde c iαβ c iβα = 0 = 2c iαβ e, portanto, d ω i = m r α ij ω j, onde α ij = r c ijk ω k, e k=1 (c) (d). (iv) (c) (e): é claro que (c) (e). j=1 Seja θ uma 2 forma em U tal que θ ω 1... ω m r = 0. Vamos provar que existem 1 formas α i (1 i m r) tais que θ = m r α i ω i. Seja {ω 1,..., ω m r,..., ω m } base de (T q M) em cada i=1 q U. Podemos escrever θ = a ij ω i ω j, donde a ij ω i ω j ω 1... i<j i<j ω m r = 0, donde a ij = 0 se m r < i < j. Portanto, θ = a ij ω i ω j. i m r i<j 192

200 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS U P p M x R m r x(p) = (u 1, c) R r U 1 U 2 Pondo α i = a ij ω j, vem θ = m r α i ω i, e (c) (e), o que termina a j>i i=1 demonstração da proposição Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe C s na variedade M m. Definição Se N é uma variedade e ϕ : N M, ϕ C s, é uma imersão injetiva, dizemos que (N, ϕ) é uma subvariedade imersa de M. Uma variedade integral de D é uma subvariedade imersa N r de M m tal que T p N = D p para todo p N (onde identificamos T p N com ϕ (p) T p N e D p significa D ϕ(p) ). Proposição Se D é completamente integrável, então por cada ponto de M m passa uma variedade integral de D. Dem. Se x : U R m é carta local em M, com x(u) = U 1 U 2 R r R m r, U 1 e U 2 discos abertos, e,..., é base de D em U, então P = x 1 (U 1 c) é x 1 x r variedade integral (mergulhada) conexa de D passando por p U, onde x(p) = (u 1, c) (c = constante). P é dita uma placa de D. Obs. Se y : V R m, U V ø, é outra carta local nas mesmas condições de x acima, sejam x 1 (U 1 c) e y 1 (V 1 c ) as placas de D por p. Então, (y x 1 )(u 1, c) = (u 1, c ), isto é, y x 1 leva o "plano" u 2 = c no "plano" u 2 = c, de modo que y x 1 (u 1, u 2 ) = (h 1 (u 1, u 2 ), h 2 (u 2 )), a segunda coordenada dependendo apenas de u 2. Definição Seja M m uma variedade C. Uma folheação de dimensão r e 193

201 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS classe C s de M é um atlas máximo F, de dimensão r, e classe C s, cujas mudanças de coordenadas são do tipo acima, isto é, y x 1 (u 1, u 2 ) = (h 1 (u 1, u 2 ), h 2 (u 2 )). Assim, todo sistema diferencial completamente integrável D, de classe C s, define uma folheação de classe C s em M. Reciprocamente, toda folheação F de classe C s define um sistema diferencial completamente integrável de classe C s 1, onde D q = T q F é o subespaço de T q M tangente em q à placa de F que passa por q. Dado p M, seja x : U U 1 U 2, p U, uma carta local de F. É claro que D p é o espaço gerado pelos vetores (p),..., (p), e D é de classe x 1 x r C s 1. Observemos, entretanto, que nem toda variedade M possui uma folheação de dimensão r, já que nem todo sistema diferencial é completamente integrável. Definição Uma variedade integral máxima (N, ϕ) do sistema diferencial D é uma variedade integral conexa de D cuja imagem em M m não está contida propriamente em nenhuma outra variedade integral conexa de D. Proposição (Chevalley) Seja D um sistema diferencial completamente integrável de dimensão r e classe C s em M m. Por cada p M passa uma e uma única variedade integral máxima N r de D, e toda variedade integral conexa de D que passa por p está contida em N. N é a folha por p. Para uma demostração veja a referência [23]. Para o estudo detalhado das folheações veja a referência [1]. Proposição Seja D um sistema diferencial completamente integrável, de dimensão r e classe C s, na variedade M m de classe C k, k > s. Seja x : U U 1 U 2 R r R m r carta local, onde U 1 e U 2 são discos abertos, tal que x 1,..., x r seja base local de D. Se N C s é uma variedade integral de D, então N U é uma reunião enumerável disjunta de componentes conexas, cada uma delas contida numa única placa de D, abertas em N e mergulhadas em M. Se f : Q M é C s e f(q) N, então f : Q N é C s. Dem. A inclusão i : N M é contínua, donde i 1 (U) = N U é aberto em N e, portanto, reunião enumerável disjunta de componentes conexas, cada uma delas sendo um aberto de N. Seja V uma componente de N U, e p V arbitrário. Se 194

202 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS U M q f N Q B W p = f(q) x R m r R m r (0, c) x(p) = (u 1, c) π 2 c R r U 1 U 2 v D p, então v = r a i (p), donde (π 2 x) (p)v = 0, donde (π 2 x) (p) = 0, i=1 x i donde π 2 x V = c = constante, e V está contida na placa P definida por x i = 0, i r + 1. Como P é mergulhada em M e i : V M é de classe C s, resulta i : V P de classe C s ( Proposição 7.4 do Capítulo 7), imersão injetiva entre variedades de mesma dimensão, donde difeo local, aplicação aberta e homeomorfismo de V sobre um aberto de P. Seja agora f : Q M de classe C k, k s, f(q) N. Vamos provar que f : Q N é de classe C s. Pelo Corolário da Proposição 7.4 do Capítulo 7, basta provar que f : Q N é contínua. Sejam q Q, p = f(q) M, P p a placa por p e W uma vizinhança aberta de p em N. Podemos tomar U suficientemente pequeno de modo que P p W. Como f : Q M é contínua, existe vizinhança conexa B de q tal que f(b) U N donde f(b) está contida na componente conexa de U N que contém p, donde f(b) P p W, isto é, f : Q N é contínua, donde de classe C s. Exemplo Seja f : M m N n submersão C. Para cada q N sabemos que f 1 (q) ou é vazia ou é subvariedade C de dimensão (m n) de M, tal que T p f 1 (q) = N f (p). Pela forma local das submersões, existem cartas 195

203 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS locais x : U U 1 U 2 R m n R n e y : V R n, p U, q = f(p) V tais que f xy (u 1, u 2 ) = u 2. Defina D p = T p f 1 (q) = N f (p). O sistema diferencial D tem base local,...,, donde é completamente integrável, e suas folhas x 1 x m n são as componentes conexas de f 1 (q), q N. Por exemplo, f : ( 1, 1) R R, f(x, y) = (1 x 2 )e y é uma submersão. Ela define uma folheação, da faixa (1 x 2 )e y = c > 0. ( 1, 1) R R 2, cuja folhas são as curvas R Obs. Para uma aplicação da Proposição 10.14, veja a Proposição do Capítulo 11. Exemplo Sejam P, Q, R : A C2 R, onde A R 3 é aberto, e ω = = P d x + Qd y + Rd z. A condição de integrabilidade da equação ω = 0, segundo Frobenius, é que Ç ω d ω = 0. R Como d ω = y Q å Ç P d y d z + z z R å Ç Q d z d x+ x x P å d x d y, y resulta que a condição de integrabilidade é P Ç R y Q å Ç P + Q z z R å Ç Q + R x x P å = 0 y Se ω = Ad x + Bd y d z, é fácil ver que a condição ω d ω = 0 se escreve A y + B A z = B x + A B z. Por exemplo, se d z = (y 1)d x + d y, y > 1, é z y 1 imediato que a condição de integrabilidade é verificada. 196

204 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS d x Para achar as superfícies integrais, suponhamos z constante donde d y = = z z, que nos dá x = + ϕ(z), donde d x = d z (y 1) 2 y 1 y 1 zd y (y 1) + 2 +ϕ (z)d z, e comparando com a expressão de dz, obtemos ϕ (z) = 0, donde ϕ(z) = C e, portanto, x = z z 1 + C, e integrais no aberto A = {(x, y, z) R 3 y > 1}. Obs. Se z = (y 1)(x C), que é a família de superfícies d ω = 0 no aberto simplesmente conexo A, então as superfícies integrais são as equipotenciais do campo (P, Q, R) Campos vetoriais comutativos e fluxos Proposição Seja M m uma variedade de classe C k, k 2. Sejam X, Y campos de vetores de classe C 1 em M, e θ t o fluxo local de X em torno de p M. Então: onde q = θ t (p) e d θ t = d θ t (q). d θ t Y q Y p [X, Y ] p = lim, t 0 t Dem. Seja I p R o domínio da curva integral θ p (t), e consideremos a curva γ p (t) = = d θ t Y θt(p) = d θ t Y q. É claro que γ p (0) = Y p. Vamos mostrar que γ p(0) = [X, Y ] p. 1º Caso: X p 0. Seja x : U R m uma carta local em torno de p, tal que X = em U. O fluxo x(θ t (p)) é da forma x 1 (t, x 1, x 2,..., x m ) (x 1 + t, x 2,..., x m ), de modo que d θ t para todo i e todo t. Se a expressão local de Y é γ p (t) = d θ t Y q = d θ t Ç m = m i=1 i=1 d dt (f i θ t ) (p) = m x i i=1 Por outro lado, [X, Y ] p = e γ p(0) = [X, Y ] p. f i (q) x i (q) Y = m å i=1 X p (f i ) (p). x i ñ, m x 1 i=1 f i x i (q) = x i (p), onde f i : U C1 R, então x i = m f i (q) (p) e, portanto, γ i=1 x p(0) = i f i x i ô = m f i (p) = m X p (f i ) (p), i=1 x 1 x i i=1 x i 197

205 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS 2º Caso: X = 0 numa vizinhança U de p. Então [X, Y ] p = 0. Curvas integrais, com ponto inicial em U, são constantes, donde θ t = id para todo t I p, e γ p (t), é constante, donde γ p(0) = 0 = [X, Y ] p. 3º Caso:X p = 0 mas existe sequência p j p com X pj 0, donde γ p j (0) = m X pj (f i ) (p) = [X, Y ] pj γ i=1 x p(0) = [X, Y ] p por continuidade. i Proposição Sejam M m e N n variedades de classe C k, k 2, e F : M C1 N. Sejam X e Y campos de vetores de classe C 1 em M e N, e fluxos θ t e ψ t, respectivamente. X e Y são F relacionados (isto é, d F (p).x p = Y F (p)) ψ t F = F θ t. Dem. Se I p R é o domínio da curva θ p (t), então ψ t F (p) = F θ t (p) se, e só se, ψ F (p) (t) = F θ p (t) para todo t I p. : ψ F (p) (0) = d F (p)θ p(0), donde d F (p)x p = Y F (p). : Seja a curva γ p (t) = F θ p (t), t I p. Então, γ p(t) = d F (q).θ p(t) = = d F X q = Y F (q) = Y γp(t), onde q = θ t (p) = θ p (t), o que mostra que γ p (t) é uma curva integral de Y com ponto inicial F (p) e, portanto, a curva integral máxima ψ F(p) coincide com γ p (t) em I p, donde F θ p = ψ F (p), ou seja, ψ t F = F θ t. Proposição Sejam M m uma variedade C k, vetores de classe C 1, com fluxos locais θ t e ψ t, respectivamente. São equivalentes: k 2, X e Y campos de (a) [X, Y ] = 0. Neste caso dizemos que X e Y comutam; (b) Y é invariante pelo fluxo de X, isto é, d θ t Y p = Y θt(p); (c) X é invariante pelo fluxo de Y ; (d) θ t ψ s = ψ s θ t desde que definidos. Dem. (a) (b). Seja I p R o domínio da curva integral θ p (t), e seja γ p (t) = d θ t Y θt(p) = d θ t Y q. Como na Proposição 10.16, temos γ p (t) = = m f i (q) (p), e γ p (0) = Y p. i=1 x i 198

206 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS [X, Y ] = 0 significa que γ p(0) = 0. Vamos mostrar que γ p(t) = 0 para todo t I p. Se t = t 0 + s, então γ p(t 0 ) = d Ä ä dt d θ t Y θt(p) = t=t0 = d Ä ä d ds d θ t0 s Y θs(θt0 (p)) = d θ t0 d θ s=0 ds s Y θs(θt0 (p)) = d θ t0 [X, Y ] θt0 (p) = 0, s=0 donde γ p (t) = γ p (0) para t I p, e d θ t Y p = Y θt(p). (b) (a) : d θ t Y p = Y θt(p) = Y q nos dá d θ t Y q = Y p, donde [X, Y ] p = lim t 0 d θ t Y q Y p t = 0. Analogamente se prova que (a) (c). (b) (d): seja D t o domínio de θ t, e seja F = θ t : D t C 1 θ t (D t ). Pela Proposição 10.17, θ t ψ s = ψ s θ t no conjunto onde θ t ψ s está definida se, e só se, d θ t Y = Y, ou seja, se, e só se, Y é θ t invariante. Analogamente, trocando os papéis de X e Y, o mesmo acontece no conjunto onde definido. ψ s θ t está Obs. O posto de uma variedade é o número máximo de campos de vetores comutativos linearmente independentes que a variedade admite. Em 1965, E.L. Lima provou, dentre outras coisas, que S 3 tem posto um. Em 1970, H. Rosenberg, R. Roussarie, e D. Weil acharam condições, necessárias e suficientes, para que uma variedade, compacta orientada de dimensão três, tenha posto dois Variedades Simpléticas Sejam V um espaço vetorial real, ξ = (e 1,..., e m ) uma base ordenada de V e b : V V R uma forma bilinear. Se b ij = b(e i, e j ), então B = (b ij ) m m é a matriz de b na base ξ. Se ξ = (e 1,..., e m) é outra base de V, e e j = m p ij e i, então a matriz de b na base ξ é B = P t BP, onde P = (p ij ) m m é a matriz de passagem da base ξ para a base ξ. O espaço L 2 (V ; R) das formas bilineares sobre V é, como sabemos, canônicamente isomorfo ao espaço L(V, V ) via o isomorfismo i=1 199

207 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS ϕ : L 2 (V ; R) L(V, V ) b ϕ b : V V u ϕ b (u) : V R v ϕ(u)v = b(u, v) Proposição Com as notações acima, são equivalentes: (a) b(u, v) = 0 v V u = 0; (b) (c) ϕ b : V V é um isomorfismo; B = (b ij ) é invertível. Dem. (a) (b): É claro que ϕ b : V V é linear. Seu núcleo é N ϕ b = {u V ; ϕ b (u) = 0} = = {u V ; b(u, v) = 0 v V } = {0} se, e só se, ϕ b : V V é um isomorfismo. (b) (c) : Seja ξ = (e 1,..., e m) a base dual de ξ = (e 1,..., e m ). Como ϕ b (e i ) : V R leva e j em b(e i, e j ) = b ij, a matriz de ϕ b : V V nas bases ξ e ξ é [ϕ b ] ξ ξ = B = (b ij) e, portanto, ϕ b é isomorfismo se, e só se, B = (b ij ) é invertível. Definição b L 2 (V ; R) é não-degenerada se b satisfaz às propriedades equivalentes da Proposição Definição Uma forma simplética no espaço vetorial V é uma forma bilinear alternada não-degenerada, isto é, é uma 2 forma ω 2 V tal que ω(u, v) = 0 v V u = 0. (V, ω) é um espaço vetorial simplético. Exemplo Sejam V = R 2n, ξ = (u 1, v 1,..., u n, v n ) base ordenada de R 2n e ξ = (u 1, v1,..., u n, vn) a base dual. A 2 forma ω = n u i vi é uma forma simplética em R 2n. Ela é tal i=1 que: ω(u i, v j ) = ω(v j, u i ) = δ ij ; ω(u i, u j ) = 0 = ω(v i, v j ). Reciprocamente, se ω 2 (R 2n ) e existe base ξ de R 2n tal que as igualdades acima sejam satisfeitas, 200

208 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS então ω é dada por δ rs = ω(u r, v s ) = i,j ω = n u i v i. De fato, temos ω = n a ij u i vj, donde i=1 i,j=1 δ ir 0 0 δ = a ij δ ir δ js = a rs, e ω = n u i vi. js ij i=1 a ij Obs. Seja ξ = (u 1, v 1,..., u n, v n ) como acima e F = (u 1,..., u n, v 1,..., v n ). A matriz de ω = n u i vi na base ξ é a matriz i=1 Ω ξ = enquanto que a matriz de ω na base F é Ω F = A base e det Ω ξ = 1, 0 I n I n 0 F = (u 1,..., u n, v 1,..., v n ) é dita simplética. e det Ω F = 1. Em R 2, ω = d x d y, e toda 2 forma é múltiplo de d x d y, ou seja, em dimensão 2 toda 2 forma 0 é simplética. Definição Sejam (V, ω) um espaço vetorial simplético e W V um subespaço vetorial. O ortogonal simplético de W é o subespaço W = {u V ; ω(u, v) = 0 v W }. Proposição dim V = dim W + dim W. Dem. Se (t 1,..., t k ) é base de W então f 1 = ϕ ω (t 1 ),..., f k = ϕ ω (t k ) são L. I. pois ϕ ω : V V é isomorfismo. Sejam v 1,..., v k em V tais que f j (v i ) = δ ji, 1 i, j k, e ξ : V R k dada por ξ(v) = (f 1 (v),..., f k (v)). Dado (x 1,..., x k ) R k, seja v = k x i v i. Então, f j (v) = x j, ou seja, ξ(v) = (x 1,..., x k ), i=1 donde ξ é (linear) sobrejetora. Seu núcleo é N ξ = {v V ; f 1 (v) =... = f k (v) = 0} = = {v V ; ω(t 1, v) =... = ω(t k, v) = 0} = W. Portanto, dim W = = dim V k = dim V dim W. Definição Sejam (V, ω) um espaço vetorial simplético, e W V um subespaço. Dizemos que: (a) W é simplético se W W = {0}; 201

209 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS (b) W é isotrópico se W W ; (c) W é coisotrópico se W W ; (d) W lagrangiano se W = W. Proposição Seja (V, ω) um espaço vetorial simplético de dimensão m. Então, m é par e existe base de V, ξ = (u 1, v 1,..., u v, v n ), tal que ω = n u i vi. Dem. (indução). Se m = 0, nada a provar. Suponhamos o teorema verdadeiro para dim V < m, m 1. Como ω é não-degenerada, existem u 1, v 1 V tais que ω(u 1, v 1 ) = 1. u 1 e v 1 são L.I. ( pois v 1 = λu 1 ω(u 1, v 1 ) = 0). Seja W = S(u 1, v 1 ) o espaço gerado por u 1 e v 1, donde dim W = m 2. Vamos provar que W W = {0}; de fato, seja v = au 1 + bv 1 W W. Então 0 = ω(u 1, v) = b e 0 = ω(v, v 1 ) = a, ou seja v = 0. Resulta que W é simplético, donde W é simplético (pois(w ) = = W ). Por indução, dim W é par, donde m = 2n é par, e existe base do tipo (u 2, v 2,..., u n, v n ) para W, e F = (u 1,..., u n, v 1,..., v n ) é base simplética para (V, ω). Como vimos, na base ξ = (u 1, v 1,..., u n, v n ) a 2 forma ω se escreve ω = n u i vi, onde ξ = (u 1, v1,..., u n, vn) é a base dual de ξ. i=1 Definição Sejam (V 1, ω 1 ) e (V 2, ω 2 ) espaços vetoriais simpléticos. Um isomorfismo T : V 1 V 2 é dito simplético se T ω 2 = ω 1. Obs. O conjunto Sp(V, ω), dos automorfismos simpléticos do espaço vetorial simplético (V, ω), é um subgrupo do grupo SL(V ) dos automorfismos de determinante igual a 1 de V. Vimos que na base i=1 F = (u 1,..., u n, v 1,..., v n ) a matriz de ω é J = 0 I n. Se M é a matriz do automorfismo T : V V na base F, I n 0 T é simplético M t JM = J. De fato, se u, v V, X = [u] F, Y = [v] F então ω(u, v) = X t JY e (T ω)(u, v) = ω(t u, T v ) = (MX) t J(MY ) = X t M t JMY e, portanto, T ω = ω se, e só se, M t JM = J Sp(V, ω) é o grupo simplético. Definição Seja M 2n uma variedade de classe C k, k 2. Se ω é uma 2 forma fechada (d ω = 0) e não degenerada de classe C s em M, dizemos que (M, ω) é uma variedade simplética, ou seja, p M ω p 2 (T p M) é tal que ω p 202

210 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS é simplética para cada p M. Se (M 1, ω 1 ) e (M 2, ω 2 ) são variedades simpléticas e f : M 1 M 2 é um difeomorfismo tal que f ω 2 = ω 1, dizemos que f é um difeomorfismo simplético. Uma subvariedade N M é simplética, isotrópica, coisotrópica, lagrangiana se, para cada p N, o subespaço T p N T p M tem essa propriedade. Exemplo Se ξ = (u 1, v 1,..., u n, v n ) é a base canônica de R 2n e ξ = = (u 1, v1,..., u n, vn) = (d x 1, d y 1,..., d x n, d y n ) é a base dual, então ω = n u i vi = n d x i d y i é a forma simplética canônica em R 2n. i=1 Exemplo Se M 2 é uma variedade de dimensão dois e ω é uma 2 forma em M tal que ω p 0 para todo p M, então (M, ω) é uma variedade simplética. Suponhamos que um corpo rígido tenha i=1 0 R 3 como ponto fixo. A configuração do corpo num instante t é dada pela transformação linear que leva a base canônica do R 3 numa base ortogonal positiva fixada ao corpo, isto é, o espaço de configuração do corpo é o grupo SO(3) das rotações do espaço. Sabemos que SO(3) é uma variedade de dimensão três e classe C, e dizemos que três é o número de graus de liberdade. Em geral, o espaço de configuração de um sistema dinâmico a n graus de liberdade é uma variedade M n de dimensão n. Cada ponto da variedade representa um estado do sistema dinâmico. Se x : U R n é uma carta local em M, as coordenadas x 1 = q 1,..., x n = q n são as "coordenadas generalizadas". Um vetor tangente a M é um "vetor velocidade", cujas componentes são escritas tangente T M é o espaço q 1, q 2,..., q n : são as "velocidades generalizadas". O fibrado (q, q) das velocidades generalizadas. Um sistema lagrangiano autônomo é definido pelo espaço de configuração M e uma função chamada lagrangiana, L : T M C2 R. Se L(q, q) é a expressão local de L nas coordenadas (q, q) = (q 1,..., q n, q 1,..., q n ) de T M, prova-se que γ : R C1 M é um L movimento neste sistema lagrangiano se, e só se, q d L = 0 sobre a curva dt q γ(t). O espaço cotangente T M é o espaço de fases do sistema dinâmico. Para cada carta local x : π 1 (U) x(u) (R n ) x : U R n em M, tem-se a carta local em T M dada por (m, α) (x(m), αx (m) 1 ) π : T M M é a projeção do fibrado,, x(m, α) = (q 1,..., q n, p 1,..., p n ), onde α = n a i d q i é a expressão local de α e i=1 203

211 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS p i = a i π; p 1,..., p n são os "momentos generalizados". Vimos, no final da seção 9.2 do Capítulo 9, que a 1 forma λ de Poincaré tem expressão local λ(m, α) = π α = n p i d q i. A 2 forma de Poincaré é ω = d λ, que se escreve localmente como i=1 ω = n d p i d q i. É a forma simplética canônica i=1 do fibrado cotangente T M. É claro que λ C k 1 se M C k. Como ω n = = ω. n.. ω = ±n!d q 1 d q 2... d q n d p 1... d p n nunca se anula, resulta que T M é sempre orientável, M o sendo ou não. A 2n forma ω n = ω. n.. ω é a forma de Liouville ou forma volume simplético para o espaço de fases. Um sistema hamiltoniano autônomo é definido pelo espaço de fases T M, uma forma simplética ω e uma função H : T M R, a hamiltoniana. Seja L : T M Ck R a lagrangiana e seja P : T M T M definida em coordenadas locais por P (q, q) (q, p), q i = q i, p i = L. q i Temos: Logo, P d p i = n j=1 d q 1... d q n. Supondo p i d q j + n p i d q j = n q j j=1 q j j=1 P (dq 1... dq n dp 1... dp n ) = det 2 L det q j q i termos de q e p, e as "equações de Lagrange" de fases, às "equações de Hamilton": H(q, p) = p dq L(q, q). De fato, temos: dh = H q donde dq + H p H q = dp dt e dp = pd q + qdp L q 2 L q j q i d q j + 2 L q j q i d q j. 2 L q j q i dq 1... dq n 0, podemos exprimir localmente q em dq i dt dq L q = qdp L dq = qdp ṗdq, q H p = dq, como queríamos. dt Seja X um campo de vetores em T M, L = d L dão origem, no espaço q i dt q i = H e d p i = H, se definimos p i dt q i L d q = pd q + qdp dq pd q = q X = n i=1 a i q i + n j=1 b j. As curvas p j 204

212 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS integrais de X satisfazem às equações de Hamilton se, e só se, a i = dq i dt = H p i e b i = dp i = H Ç, ou seja X = n H H å. É fácil ver que dt q i i=1 p i q i q i p i i X ω = n b i dq i + a i dp i, de modo que i X ω = dh, e X = X H é chamado de i=1 campo de vetores hamiltoniano. O fluxo (ϕ t ) gerado por X é o fluxo hamiltoniano. Como i X ω = dh temos que X H H = dh(x H ) = ω(x H, X H ) = 0, ou seja H é constante ao longo do campo X H. Se c é valor regular de H, então H 1 (c) é subvariedade tal que T p H 1 (c) = N (dh(p)). Como dh(x H ) = 0 temos que X H (p) é tangente a H 1 (c) em p H 1 (c). Proposição Sejam M variedade compacta de classe C k, k 2, e α : M T M uma 1 forma de classe C 1 em M. α é um mergulho e dα = 0 α(m) T M é subvariedade lagrangiana. Dem. Sejam (q, p) = (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) coordenadas locais em T M e α = = n a i d q i a expressão local de α. Para q M temos α(q) = (q 1,..., q n, a 1 (q),..., i=1..., a n (q)), de modo que α é uma imersão. Se π : T M M é a projeção do fibrado, temos π α = id M, de modo que α é injetora. Seja g = α 1 : α(m) M. Provemos que g é contínua. Para isso, seja F M fechado, donde α(f ) = g 1 (F ) é fechado em α(m) (pois α(m) é compacto), ou seja, g é contínua e α : M T M é um mergulho. Como dim α(m) = n, α(m) é subvariedade lagrangiana α ω = 0, onde ω = d λ é a 2 forma de Poincaré em T M. Ora, α λ = α ( p i d q i ) = = a i d q i = α, donde α ω = α d λ = d(α λ) = d α, donde a tese. Proposição (Darboux) Seja ω uma forma simplética na variedade M 2n de classe C k. Para cada p M existe carta local em torno de p, ϕ : U R 2n, ϕ(q) = (x i (q), y i (q)) tal que ω = n d x i d y i. Para a demonstração desse teorema fundamental veja a i=1 Referência [5]. Obs. Se D é um sistema diferencial de dimensão (m 1) numa variedade M m de classe C, isto é, se D é um campo de hiperplanos em M, sabemos que D C se, e só se, para cada p M, existe 1 forma α C numa vizinhança coordenada U de p, tal que D q = {v T q M; α(q; v) = 0} qualquer que seja q U, ou seja, 205

213 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS α = 0 é equação local para D em U. Se α dα = 0, o teorema de Frobenius nos diz que D é completamente integrável em U. Numa direção oposta a esta temos: Definição Seja M m uma variedade de classe C e dimensão m = 2n + 1. Uma estrutura de contato em M é definida pela existência de uma 1 forma α globalmente definida em M, tal que α (d α) n 0 em todo ponto de M. η = = α (dα) n é uma forma volume em M, de modo que M é orientável. O campo de hiperplanos ξ = ker α é não-integrável em M. Se β é outra 1 forma tal que ξ = ker β, então β = λα, onde λ C e λ(p) 0 em todo p M, de modo que β (d β) n = λ n+1 α (d α) n 0. Obs. No caso particular importante de n = 1(m = 3), a condição α d α 0 pode ser escrita d α ξ 0. Se X, Y ξ são L.I., então d α(x, Y ) = X(α(Y )) Y (α(x)) α([x, Y ]) = α([x, Y ]) 0, ou seja, α d α 0 equivale a X, Y ξ, L.I, [X, Y ] / ξ. Exemplo Em R 3, α = dz + x dy é uma forma contato pois α d α = = dx dy dz. Exemplo Em S 3, dα 0 = 2(dx dy + dz dt) e α 0 = xdy ydx + zdt tdz é uma forma contato pois α o dα 0 = 2xdy dz dt 2ydx dz dt + 2zdx dy dt 2tdx dy dz 0 em S 3, pois d(α 0 dα 0 ) = 8dx dy dz dt 0. Exemplo Seja X : N C T N é dito de Liouville se (N 2n+2, ω) uma variedade simplética. Um campo de vetores d(i X ω) = ω. Seja M 2n+1 uma hipersuperfície de N transversal a X, isto é, tal que X p / T p M, p M. Neste caso, α = i X ω é uma forma contato em M. De fato, α (dα) n = (i X ω) (d(i X ω)) n = (i X ω) ω n. Mas, i X ω 2 = i X (ω ω) = 2(i X ω) ω e, por indução, i X ω n+1 = (n+1)(i X ω) ω n, donde (i X ω) ω n = 1 n + 1 i X(ω n+1 ) 0, pois ω é não-degenerada (e fechada). Se N = R 4, M = S 3, ω = dx dy + dz dt, então X = 1 2 (xe 1 + ye 2 + +ze 3 + te 4 ) é de Liouville, e se v = (v 1, v 2, v 3, v 4 ), temos (i X ω)(v) = 1 2 (xv 2 yv 1 + zv 4 tv 3 ) = 1 (xdy ydx + zdt tdz)(v), donde 2 i exemplo acima de S 3. Xω = 1 2 α 0, como no 206

214 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS 10.5 Exercícios do Capítulo 10 (1) Consideremos em R 3 os campos X = z x + z ; Y = y + z ; Z = z x. Prove que X, Y, Z definem um sistema diferencial involutivo de y classe C em R 3, e ache sua dimensão. (2) Seja D = {(x, y, z) R 3 x > 0, y > 0, z > 0}. Considere em D os campos X = x x 2y y e Y = xy y xz. Prove que eles geram um sistema z diferencial involutivo em D, e que x 2 yz = constante é superfície integral. (3) Ache as curvas integrais do campo de vetores em R 3 definido por X = y x + +y z + 2 z. (4) Para cada t R, seja ϕ t : R 2 R 2 tal que ϕ t (x, y) = (x cos t+ +y sen t, x sen t + y cos t). Prove que (ϕ t ) é um grupo a 1 parâmetro de transformações de R 2, ache o campo de vetores associado e descreva as órbitas. (5) Seja o sistema z x = h(x, y, z) z y onde g e h são C num aberto do R 3. Sejam: (a) Se = g(x, y, z) X = x + h z, Y = y + g z. z = f(x, y) é uma solução do sistema, prove que X e Y geram o espaço tangente em cada ponto da superfície z = f(x, y) em R 3. (b) Seja D o sistema diferencial gerado por X e Y. Prove que D involutivo equivale a f xy = f yx. (6) Sejam (V, ω) um espaço vetorial simplético, dim V = 2n, e W V um subespaço. Prove: (a) (W ) = W. 207

215 CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS (b) W é simplético ω W é não -degenerada. (c) W é isotrópico ω W = 0. (d) W é lagrangiano ω W = 0 e dim W = n. (7) Seja (V, ω) um espaço vetorial simplético, dim V = 2n. Existe base ξ = = (u 1, v 1,..., u n, v n ) tal que: (a) W simplético W = S(u 1, v 1,..., u k, v k ) para algum k. (b) W isotrópico W = S(u 1, u 2,..., u k ) para algum k. (c) W coisotrópico W = S(u 1,..., u n, v 1,..., v k ) para algum k. (d) W lagrangiano W = S(u 1,..., u n ), onde S(u, v, ω,...) significa o espaço gerado por u, v, ω,

216 Capítulo 11 Grupos de Lie Neste capítulo introduzimos os conceitos básicos da teoria dos grupos de Lie G e de seus subgrupos fechados H. Estudamos as ações de G numa variedade M, enunciamos o teorema central sobre o espaço de órbitas M / G, e o aplicamos ao caso dos espaços homogêneos M = G / H, onde H é um subgrupo de Lie de G. Dentre outros exemplos, consideramos as variedades de Grassmann. Após introduzir o conceito de álgebra de Lie G do grupo de Lie G, demonstramos, usando o teorema de Frobenius, que para toda subálgebra H de G existe um grupo de Lie H, que é subgrupo conexo de G e variedade imersa, cuja álgebra de Lie é H. Terminamos com o teorema de Weyl sobre a existência de um produto interno G invariante no espaço vetorial real V quando se tem uma representação linear de G em V Generalidades sobre Grupos de Lie Definição Um grupo de Lie G é um grupo, que é também uma variedade diferencial de classe C, no qual as operações de grupo, (x, y) xy e x x 1, são de classe C. Obs. É fácil verificar que se as operações de grupo são C então a aplicação (x, y) xy 1 é C, e reciprocamente. Exemplo GL(n, R) = {X M(n, R) ; det X 0} é subvariedade C de M(n, R) R n2, e um grupo com a operação de multiplicação matricial. Como 209

217 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE (X, Y ) XY 1 é uma aplicação C de GL(n, R) GL(n, R) GL(n, R), resulta que GL(n, R) é um grupo de Lie de dimensão n 2. Exemplo Seja C = R 2 {0} o conjunto dos complexos não-nulos. Com a multiplicação de complexos C é umç grupo. Se z = å(x, y) e z = (x, y ), então zz = (xx yy, xy + yx ) e z 1 x = x 2 + y, y. 2 x 2 + y 2 Resulta que (z, z ) zz e z z 1 são de classe C, e C é um grupo de Lie (de dimensão 2). Exemplo Sejam G e H grupos de Lie. O produto cartesiano G H tem, como vimos, estrutura de variedade diferencial, a saber, se x : U R m é carta em G e y : V R n é carta em H, então x y : U V R m+n, (x y)(g, h) = (x(g), y(h)) é carta em G H. O produto G H tem também estrutura de grupo com a multiplicação verificar que, então, G H, é um grupo de Lie. (g 1, h 1 )(g 2 h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ). É imediato Obs. Se a G, as translações L a : x G ax G e R a : x g xa G são difeomorfismos, bem como x x 1, e os automorfismos internos x axa 1. Se V percorre um sistema fundamental de vizinhanças do elemento neutro e G, então os conjuntos de a. av (resp. V a) formam um sistema fundamental de vizinhanças Como (x, y) xy 1 é contínua em (e, e), dada uma vizinhança U de e, existe vizinhança V de e tal que V V 1 U, onde V 1 = {g 1 G ; g V }. E, como x axa 1 é contínua em e, existe vizinhança W de e tal que aw a 1 U. Uma vizinhança V de e é simétrica se V = V 1. Se U é vizinhança de e, U 1 também o é, e V = U U 1 é vizinhança simétrica de e contida em U. Logo, as vizinhanças simétricas de e formam um sistema fundamental de vizinhanças de e em G. Proposição Sejam G um grupo de Lie, e H um subgrupo que é também uma subvariedade (mergulhada). Então H é um grupo de Lie. Dem. Vamos provar que g : H H H, g(x, y) = xy 1 é de classe C. 210

218 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Sejam: f : G G G, f(x, y) = xy 1 ; j : H H G G, j(x, y) = (x, y); i : H G, i(x) = x. f C por hipótese, j C, pois H H é subvariedade de G G, e i é mergulho C, pois H é subvariedade de G, e temos o diagrama comutativo H i G g f j H H isto é, i g = f j. de Lie. Pela Proposição 7.4 do Capítulo 7 resulta que g C, donde H é um grupo Exemplo S 1 = {z C ; z = 1} é um grupo com a operação de multiplicação de complexos, um subgrupo de C. S 1 sendo subvariedade de C = = R 2 {0}, resulta que S 1 é um grupo de Lie e que T n = S 1 S 1 o toro n dimensional é também um grupo de Lie. Como S 1 é um grupo comutativo, T n também é comutativo. Definição Se G é um grupo de Lie e H é um subgrupo de G que é também uma subvariedade de G, dizemos que H é um subgrupo de Lie de G. (A Proposição 11.1 garante que H é um grupo de Lie ). Proposição Se H é um subgrupo de Lie de G, então H é fechado em G. Dem. Sejam x H e V vizinhança de e em G tal que V H seja compacta. Seja W uma vizinhança simétrica de e em G tal que W 2 V. Então xw é vizinhança de x e xw H ø. Se y 0 xw H, para cada y xw H temos y0 1 y = ω0 1 x 1 xω = ω0 1 ω W 2 H V H, donde y y 0 (V H). Como y 0 (V H) é compacto, é fechado em G. Assim, para cada y xw H achamos vizinhança fechada y 0 (V H) de y 0 tal que y y 0 (V H) H, donde xw H xw H y 0 (V H) = y 0 (V H) H, ou seja, em G. x H e H é fechado 211

219 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Exemplo (a) O(n, R) = {X GL(n, R); XX t = I n } é subgrupo de Lie; (b) SL(n, R) = {X GL(n, R) ; det X = 1} é subgrupo de Lie; (c) SO(n, R) = 0(n, R) SL(n, R) é subgrupo de Lie de GL(n, R); (d) S 1 C é subgrupo de Lie. Exemplo Seja c R um irracional. A aplicação h : t R g (t, ct) R 2 f Ä e 2πit, e 2πictä T 2 = S 1 S 1 é uma imersão injetora, como se verifica sem dificuldade. Além disso, h C e h é um homomorfismo de grupos, de modo que sua imagem h(r) em T 2 é um subgrupo e uma subvariedade imersa, mas h(r) não é fechado em T 2 ; pode provar-se que h(r) é denso em T 2. Obs. Sejam G e H dois grupos de Lie. Se H é subgrupo de G e subvariedade imersa fechada de G, pode provar-se que H é subvariedade (mergulhada) de G e, portanto, um subgrupo de Lie de G. Muitos autores, na definição de subgrupo de Lie H de G, exigem que H seja apenas subvariedade imersa de G (e não mergulhada). É o caso de h(r) no Exemplo 6 acima. Definição Sejam G um grupo de Lie e M uma variedade de classe C. Uma ação (à esquerda) de G em M é uma aplicação θ : G M M de classe C, θ(g, p) = g p, tal que: (i) e p = p, onde e é o elemento neutro de G; (ii) g 1 (g 2 p) = (g 1 g 2 ) p, quaisquer que sejam p M, g 1 e g 2 em G. Obs. Analogamente se define uma ação à direita de G em M. Para g G, se θ g : M M é definida por θ g (p) = θ(g, p) = g p, então θ g é um C difeomorfismo cujo inverso é = θ g 1. As condições (i) e (ii) acima se escrevem também como: θ 1 g (i) θ e = id M ; 212

220 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE (ii) θ g1 θ g2 = θ g1 g 2. O grupo de isotropia de p M é G p = {g G; g p = p}. A órbita de p M é G p = {g p ; g G}. A ação θ é transitiva se G p = M para todo p M, ou seja, dados p e q em M, existe g G tal que q = g p. A ação é livre se G p = {e} para todo p M. Exemplo Seja H um subgrupo de Lie do grupo de Lie G. A aplicação H G G (h, g) hg é uma ação de H em G. O grupo de isotropia de g G é G g = {h H ; hg = g} = {e}, de modo que a a ação é livre. A órbita de g G é {hg : h H} = H.g, a classe lateral à direita. Se H = G a ação é transitiva. Exemplo GL(n, R) R n R n (A, x) Ax Existem duas órbitas : {0} e R n {0}. é a ação natural de GL(n, R) em R n. Exemplo SO(n, R) S n 1 S n 1 (A, x) Ax é ação transitiva (Prove!) de SO(n, R) em S n 1. As órbitas são {0} e as esferas de centro na origem. Exemplo Em G = GL(n, R) R n = {(A, x); det A 0, x R n } definamos o produto (A, x)(b, y) = (AB, Ay + x). É fácil verificar que, munido deste produto, G é um grupo no qual o elemento neutro é (I, 0), onde I = id R n e 0 R n, e que (A, x) 1 = (A 1, A 1 x). G é um grupo de Lie chamado de grupo afim do R n. Exemplo No espaço R 4, se p = (t, x, y, z) e q = (t, x, y, z ) definimos p + q = (t + t, x + x, y + y, z + z ) e p.q = (tt xx yy zz, tx + xt + yz zy, ty xz + yt + zx, tz + xy yx + zt ). Verifica-se que H = (R 4, +, ) é um anel de divisão; seus elementos são os quatérnios. Os da forma (t, 0, 0, 0) formam um subanel isomorfo ao corpo R dos reais. Temos: (k, 0, 0, 0)(t, x, y, z) = (t, x, y, z) (k, 0, 0, 0) = (kt, kx, ky, kz). Vamos identificar (k, 0, 0, 0) com k R, e chamar os elementos deste tipo de escalares. Os quatérnios do tipo (0, x, y, z) são chamados de imaginários puros. 213

221 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Observemos que (0, x, y, z) (0, x, y, z) = ( x 2 y 2 z 2, 0, 0, 0). O conjugado de p = (t, x, y, z) é p = (t, x, y, z); é fácil ver que pq = q p, que p p = (t 2 + x 2 + y 2 + z 2, 0, 0, 0) = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = p 2, e que p q = p q. Pondo p 1 = p p, temos p 2 p 1 = 1 para todo p 0. Os elementos 1 = (1, 0, 0, 0); i = (0, 1, 0, 0);j = (0, 0, 1, 0) e k = (0, 0, 0, 1) formam uma base do espaço vetorial H, e são tais que i 2 = j 2 = k 2 = 1, ijk = 1, ij = ji = k, j k = k j = i, k i = i k = j, 1 i = i, 1 j = j, 1 k = k. Os elementos da forma (0, x, y, z) = xi + yj + zk formam um subespaço isomorfo a R 3. A esfera S 3 é o conjunto dos quatérnios unitários: S 3 = {(t, x, y, z); t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1}. de Lie. A multiplicação (p, q) pq e a inversão p p 1 tornam S 3 um grupo Se p = (t, x, y, z) = t + xi + yj + zk, então p i = x + ti + zj + yk e i p = x + ti zj + yk, de modo que p i = i p se, e só se, z = y = 0. Analogamente, p j = j p se, e só se, x = z = 0, e p k = k p se, e só se, x = y = 0. Assim, se p q = q p para todo q = xi + yj + zk, então p = (t, 0, 0, 0) = t e, se p S 3, então t = ±1. Para p S 3, seja ϕ p : R 3 R 3 É claro que ϕ p é linear e que q = (0, x, y, z) ϕ p (q) = pqp 1 = pqp ϕ p (q) = q, ou seja, ϕ p é ortogonal. Para cada p = (t, x, y, z) S 3, as colunas da matriz de ϕ p na base canônica são pip 1, pjp 1, pkp 1, onde, por exemplo, +(2xz 2yt)k, de modo que conexo e contém a identidade, de forma que que ϕ é um homomorfismo de grupos cujo núcleo é Vamos mostrar que ϕ é sobrejetora: dado pip 1 = (t 2 + x 2 y 2 z 2 )i + (2tz + 2xy)j+ ϕ : S 3 O(3) é de classe C. Além disso, ϕ(s 3 ) é ϕ : S 3 SO(3). É imediato verificar {p S 3 pq = qp} = {1, 1}. T SO(3) sabemos que T tem um auto-valor λ de módulo 1, isto é, λ = ±1. Seja v 1, v 1 = 1, tal que T v 1 = = ±v 1. Tomemos v 2, v 2 = 1, ortogonal a v 1, e v 3 = v 1 v 2 (produto vetorial). F = (v 1, v 2, v 3 ) é base ortonormal positiva de R 3. Como Rv 1 é T invariante temos que v1 = espaço gerado por v 2 e v 3, também é T invariante, de modo que existe θ R tal que T v 2 = cos θv 2 + sen θv 3 e T v 3 = sen θv 2 + cos θv

222 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE = Como T SO(3) temos det[t ] F F = 1, donde λ = +1 e [T ] F F = A = cos θ sen θ. 0 sen θ cosθ Seja p = cos θ + sen θv Então: p 1 = p = cos θ sen θv 2 2 1, ϕ p (v 1 ) = v 1, ϕ p (v 2 ) = cos θv 2 + sen θv 3, ϕ p (v 3 ) = sen θv 2 + cos θv 3 como mostra um cálculo simples, ou seja, ϕ p = T, e ϕ é sobrejetora. Temos o diagrama comutativo: S 3 ϕ SO(3) π f P 3 = S3 { 1, 1} onde π é a aplicação canônica. Como f π = ϕ C, resulta que f C. Como SO(3) é de Hausdoff, P 3 é compacto, f π = ϕ é contínua, resulta que f 1 é contínua, ou seja, f : P 3 SO(3) é um homeomorfismo C. Além disso, ϕ é localmente injetora e um homomorfismo, de modo que seu posto é 3, donde submersão (sobrejetora). Pela Proposição 7.5 do Capítulo 7, resulta que f 1 C, já que f 1 ϕ = π C. Assim, f : P 3 SO(3) é um difeomorfismo entre o espaço projetivo P 3 e o grupo SO(3) das rotações de R 3. Obs. Os subgrupos finitos próprios de SO(3) são, a menos de conjugação, os seguintes: T = grupo do tetraedro, de ordem 12; O = grupo do octaedro, de ordem 24; Q = grupo do icosaedro, de ordem 60; C n = grupo cíclico de ordem n; D n = grupo diedral de ordem 2n. Resulta que os subgrupos finitos próprios de S 3, a menos de conjugação, são: T = ϕ 1 (T ), de ordem 24; 215

223 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE O = ϕ 1 (O), de ordem 48; I = ϕ 1 (Q), de ordem 120; ϕ 1 (C n ) se n é ímpar C n = ϕ 1 (C n ) se n é par 2 D n = ϕ 1 (D n ), de ordem 4n., de ordem n; Definição Sejam G e H grupos de Lie. Uma aplicação homomorfismo de grupos de Lie (Lie-homomorfismo, por brevidade) se f é um homomorfismo de grupos. f : G H é um f C e Definição Sejam p M θg g p M e q N ϕg g q N ações C do grupo de Lie G em M e N, respectivamente. Uma aplicação é equivariante em relação a estas ações se é comutativo o diagrama f : M C N M f N θ g ϕ g M f N, ou seja, se f(g p) = g f(p) quaisquer que sejam p M, g G. Proposição Com as notações acima, suponhamos θ transitiva. Então, o posto de f é constante. Em particular, os conjuntos de nível de f são subvariedades fechadas de M. Dem. Seja p 0 M fixo e p M arbitrário. Seja g G tal que p = g p 0. Como f θ g = ϕ g f, temos f (θ g (p 0 )) θ g(p 0 ) = ϕ g(f(p 0 )) f (p 0 ), isto é, f (p) θ g(p 0 ) = ϕ g(f(p 0 )) f (p 0 ). Como θ g(p 0 ) e ϕ g(f(p 0 )) são isomorfismos, resulta que posto f (p) = posto f (p 0 ), ou seja, posto (f) é constante. Corolário Seja f : G H um Lie-homomorfismo. O núcleo de f, ker f = {g G f(g) = e}, é um subgrupo de Lie de G, de dimensão igual a dim G posto(f). Dem. Consideremos em G a ação L g (x) = g x, que é transitiva, e em H a ação θ g (h) = f(g) h. Então: f L g (x) = f(gx) = f(g) f(x) = θ g f(x), donde f é equivariante. Resulta que ker f é subvariedade fechada de G e, portanto, um subgrupo de Lie de G. Além disso, o espaço tangente a ker f = f 1 (e) é igual ao núcleo da derivada f (e) : T e G T e H, donde dim ker f = dim G posto (f). 216

224 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Definição Seja G M θ M uma ação C do grupo de Lie G na variedade M. Dizemos que a ação é própria se, para todo compacto conjunto G K = {g G (g K) K ø} é compacto. K M, o Proposição A ação G M θ M é própria se, e só se, a aplicação ϕ : G M M M, é compacto qualquer que seja ϕ(g, p) = (g p, p) é uma aplicação própria, isto é, ϕ 1 (L) L M M compacto. Dem. Sejam L M M compacto, π i : M M M(i = 1, 2) as projeções, e K = π 1 (L) π 2 (L). Então, ϕ 1 (L) ϕ 1 (K K) {(g, p) g p K, p K} G K K. Como G K K é compacto e ϕ 1 (L) é fechado, resulta que ϕ 1 (L) é compacto. Reciprocamente, seja K M compacto, donde ϕ 1 (K K) é compacto e π G (ϕ 1 (K K)) é compacto, onde π G : G M G é a projeção. Mas, π G (ϕ 1 (K K) ) = {g G existe p K tal que ϕ(g, p) K K} = = {g G existe p K tal que g p K} = G K, donde G K é compacto. Corolário Se G é compacto então G M θ M é uma ação própria. Dem. Se K M é compacto, então G K = π G (ϕ 1 (K K)) é fechado em G, donde compacto. Proposição Seja G M M uma ação do grupo de Lie G na variedade M. Se a ação é C, livre e própria, existe uma e uma única estrutura diferencial C no espaço de órbitas M / G tal que a aplicação quociente uma submersão C. Dem. Veja a Referência [9]. π : M M / G seja Proposição Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo de Lie de G. A ação à direita de H em G, G H θ G (g, h) gh espaço de órbitas G / H é uma variedade C, e C. é C, livre, e própria. Portanto, o π : G G / H é uma submersão Dem. É claro que a ação θ é de classe C e livre. Para provar que a ação é própria, seja K G G compacto e ϕ : G H G G, ϕ(g, h) = (gh, g). 217

225 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Para mostrar que ϕ 1 (K) é compacto, seja (g i, h i ) uma sequência em ϕ 1 (K). Passando a uma subsequência, podemos supor que (g i h i ) e (g i ) convergem em G, donde h i = gi 1 (g i h i ) converge para um ponto de H (pois H é fechado) e, portanto, (g i, h i ) converge em G H. Resulta que ϕ 1 (K) é compacto e ϕ é própria. Exemplo Seja, por exemplo, I S 3 o subgrupo de ordem 120. Então, S 3 / I é subvariedade de dimensão 3 e classe C, e π : S 3 S3 / I é submersão C. Definição Sejam G um grupo de Lie e M uma variedade C. Se G opera transitivamente em M, dizemos que M é um espaço homogêneo de G. Exemplo A ação natural de O(n)(respectivamente SO(n)) em S n 1 (n 2) é transitiva, de modo que S n 1 é um espaço homogêneo de O(n)(respectivamente SO(n)). Exemplo Seja G o grupo afim do R n, isto é, o produto (A, x) (B, y) = (AB, Ay + x). G = GL(n, R) R n com θ : G R n R n, θ[(a, b), x] = Ax + b é uma ação transitiva de G em R n. Assim, R n é um espaço homogêneo do grupo afim. A Geometria Afim do R n é o estudo das propriedades das figuras que são invariantes sob a ação do grupo afim. Exemplo Se, no Exemplo , tomarmos o mesmo produto, obteremos uma ação transitiva G m = O(n) R n com ((A, b), x) Ax + b, com A O(n). G m é o grupo dos movimentos rígidos do R n. A Geometria Métrica do R n é o estudo das propriedades das figuras que são invariantes sob a ação do grupo dos movimentos rígidos. Obs. Pode provar-se que os elementos g SO(4) são da forma g(x) = lxr 1, onde l e r são quatérnios unitários. Se, por exemplo, G SO(4) é o subgrupo formado pelas rotações g(x) = lxr 1, com l S 3 e r I (subgrupo de ordem 120 de S 3 ), como a ação G S 3 S 3 (g, x) g(x) é própria e livre, resulta (da Proposição 11.5) que S3 / G tem uma estrutura diferencial tal que a projeção π : S 3 S3 / G seja uma submersão C. 218

226 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Proposição Seja θ : G M C M uma ação transitiva do grupo de Lie G na variedade M. Seja H = G p o grupo de isotropia de p M. Então, f : G / H M, f(g(h)) = g p, é um difeomorfismo equivariante. Além disso, f(g 1 g 2 H) = g 1 f(g 2 H) quaisquer que sejam g 1, g 2 G. Dem. A aplicação f : G / H M está bem definida e é injetora, pois f(g 1 H) = = f(g 2 H) g 1 p = g 2 p g 1 2 g 1 p = p g 1 2 g 1 = h H g 1 = g 2 h g 1 H = = g 2 H. Como a ação é transitiva, f é sobrejetora, donde bijetora. Definamos G ψ M π f G /H ψ : g G g p M,donde f π = ψ, onde π é a submersão sobrejetora canônica. Como ψ C e π C, resulta f C. Como H = ψ 1 (p), temos que H é fechado em G. Como ψ(g 1 g) = g 1 gp = = g 1 (ψ(g)), temos o diagrama comutativo abaixo,, ou seja, ψ é equivariante, donde G ψ M L g1 θ g1 G ψ M de posto constante, resultando H uma subvariedade de G e, portanto, um subgrupo de Lie de G. f : G / H M também é equivariante, pois f(g 1, gh) = g 1 gp = = g 1 f(gh), donde de posto constante. Como f é bijetora e tem posto constante, resulta,pela Proposição 7.6 do Capítulo 7, que f é um difeomorfismo. Obs. A proposição acima mostra que todo espaço homogêneo M é da forma G / H, onde H é um subgrupo fechado do grupo de Lie G. Corolário Sejam X um conjunto e θ : G X X uma ação transitiva do grupo de Lie G em X. Se o grupo de isotropia de um ponto x X, G x = H, 219

227 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE é um subgrupo de Lie de G, então X tem uma única estrutura diferencial tal que a ação θ seja C. Dem. Com as notações da Proposição 11.7, sabemos que G / H é uma variedade C, e que f : G /H X, f(gh) = g x, é uma bijeção equivariante. Transportando para X a estrutura que torna f um difeomorfismo C, temos que θ(g, x) = g x = f(g f 1 (p)), donde θ C. A unicidade resulta do fato de X ser difeomorfo a G / H. Exemplo A ação natural de O(n) em S n 1, θ : (A, x) A.x, A O(n), x S n 1, é transitiva, bem como a de SO(n) em S n 1, n 2. Tomando o ponto e n = (0,..., 0, 1) S n 1, o grupo de isotropia H = {A O(n); Ae n = e n } é o conjunto das matrizes 0 B 0., com B O(n 1), ou seja, H se identifica com O(n 1). Resulta que S n 1 é difeomorfa a O(n) /O(n. Analogamente temos um difeomorfismo entre S n 1 e 1) SO(n) /SO(n. 1) Exemplo O grupo G m dos movimentos rígidos do R n opera em R n por (A, b)x = Ax + b, onde A O(n), b R n e x R n. É claramente uma ação transitiva. O subgrupo de isotropia da origem 0 R n é formado pelos elementos (A, 0) e se identifica com O(n), de modo que R n é difeomorfo a G m/ O(n). Exemplo Variedades de Grassmann Seja G k (n) o conjunto dos subespaços de dimensão k do R n. O(n) opera em G k (n) por O(n) G k (n) G k (n). (T, V ) T (V ) Esta ação é transitiva pois se V, W G k (n), tomando bases ortonormais E = (e 1,..., e k,..., e n ), F = (f 1,..., f k,..., f n ) de R n tais que (e 1,..., e k ) seja base de V e (f 1,..., f k ) de W, existe T O(n) que leva E em F, 220

228 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE donde Ñ V éem W. O grupo de isotropia H de V é formado pelas matrizes do tipo A 0, A O(k), D O(n k). H é subgrupo de Lie de O(n), difeomorfo a O(k) O(n k), de modo que G k (n) é uma variedade C difeomorfa 0 D a O(n) /O(k) e, portanto, compacta. O(n k) 11.2 Campos Invariantes Definição Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores invariante à esquerda se, para cada g G, o diagrama X : G T G é G X T G L g d L g G X T G comuta, isto é, se dl g X = X L g, ou seja, X é L g relacionado com si mesmo. Analogamente se define um campo de vetores invariante à direita. Proposição Todo campo vetorial invariante à esquerda é de classe C. Dem. Basta provar que f C (G, R) implica Xf C (G, R). Para isto, seja γ : R G um caminho C tal que γ(0) = e, γ (0) = X e, e definamos α : R G por α(t) = g γ(t). α é C pois é a composta t (g, t) (g, γ(t)) g γ(t) = α(t), todas de classe C. Além disso, α(0) = g, α (0) = dl g X e = X g, já que X é invariante à esquerda. Seja F (g, t) = d dt f(α(t)); F C e (Xf)(g) = f (g) α (0) = d f(α(t)) = dt t=0 = F (g, 0). Como g (g, 0) F (g, 0) é C, resulta que Xf C, ou seja, X C. Representamos por L(G) o conjunto dos campos de vetores invariantes à esquerda do grupo de Lie G. L(G) é um subespaço vetorial do espaço X(G) de todos 221

229 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE os campos de vetores X : G T G de classe C. Proposição Se X, Y L(G) então [X, Y ] L(G). Dem. Como dl g X = X L g e dl g Y = Y L g, a Proposição 10.6 do Capítulo 10 nos dá que dl g [X, Y ] = [X, Y ] L g, ou seja, [X, Y ] L(G). Definição Sejam V um espaço vetorial real e uma aplicação bilinear tal que (x, y) V V [x, y] V (a) (b) [x, y] = [y, x]; [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 (identidade de Jacobi). (V, [, ]) é dita uma álgebra de Lie. Resulta que L(G) é uma álgebra de Lie quando munida do colchete de Lie: L(G) é a algebra de Lie do grupo de Lie G. Proposição A aplicação F : L(G) T e G definida por F (X) = X e é um isomorfismo, resultando diml(g) = dim G. Dem. F é claramente linear; ela é injetora pois se F (X) = 0 então X e = 0 e, então, X g = dl g X e = 0 para todo g G, donde X = 0. F é sobrejetora pois se x T e G, seja X g = dl g (x), donde X e = x e F (X) = x. X L(G) já que X L σ (g) = X(σg) = dl σg (x) = dl σ dl g (x) = dl σ X g, donde X L σ = dl σ X para todo σ G. Obs. Por meio do isomorfismo F : L(G) T e G podemos induzir em T e G uma estrutura de álgebra de Lie, e considerar a álgebra de Lie de G como sendo T e G. Sob este ponto de vista, na Seção 7.7 do Capítulo 7, vimos por exemplo, que para G = O(n, R) temos L(G) = A n (R) = espaço das matrizes antissimétricas n n, e que para G = SL(n, R) temos L(G) = espaço das matrizes n n de traço nulo. Proposição Sejam G e G 1 grupos de Lie, e de classe C. Então: F : G G 1 um homomorfismo (a) L F (σ) F = F L σ para todo σ G; 222

230 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE (b) df = df (e) : T e G = L(G) T e G 1 = L(G 1 ) é tal que df (X) F = df X, para todo X L(G), ou seja, X e df (X) são F relacionados; (c) df : L(G) L(G 1 ) é um homomorfismo de álgebras. Dem. (a) Como F é homomorfismo, temos F (L σ (g)) = F (σg) = F (σ)f (g) = = L F (σ) F (g) para todo g G, donde F L σ = L F (σ) F. (b) Seja X 1 = df (X), onde X L(G). Então, X 1 L(G 1 ) e X 1 L F (σ) = = dl F (σ) X 1. Temos: X 1 (F (σ)) = X 1 F L σ (e) = X 1 L F (σ) F (e) = X 1 L F (σ) (e) = = dl F (σ) X 1 (e) = dl F (σ) df (X)(e) = d(l F (σ) F )X(e) = d(f L σ )X(e) = = df (X)σ = X 1 (σ), donde X 1 F = X 1, ou seja, df (X) F = df (X). (c) Pela Proposição 10.6 do Capítulo 10 sabemos que [X, Y ] é F relacionado com [X 1, Y 1 ]. Em particular, [X 1, Y 1 ](e) = df [X, Y ](e), donde [df (X), df (Y )] = = df [X, Y ] e F é homomorfismo de álgebras. Definição Sejam G uma álgebra de Lie e H um subespaço vetorial de G. Dizemos que H é uma sub-álgebra de G se X, Y H implica [X, Y ] H. Proposição Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie L(G) = G e H G uma subálgebra. Existe um grupo de Lie H, que é um subgrupo de G, que é conexo, e que é subvariedade imersa de G, tal que L(H) = H. Dem. Se g G, definamos D g = {X g ; X H} D : g D g é um sistema diferencial em G. Se {Y 1,..., Y r } é base de H, então {Y 1,..., Y r } é base local de D, donde D é C. Como H subálgebra de G, temos que [Y i, Y j ] = r c kij Y k, donde resulta que D é involutivo. Seja H a folha de D pelo elemento neutro k=1 e G. Se a G, o difeomorfismo L a é tal que dl a D g = D ag, e L a : G G transforma cada folha de D em folha de D. Se h 1, h 2 H, então L h1 h 1 (h 2 ) = h 1, ou 2 seja, (H) = H, e h 1 h 1 L h1 h 1 2 (H) é a folha de D que passa por h 1 H, donde L h1 h H, o que mostra que H é subgrupo de G. Além disso, H é conexo e subvariedade imersa de G, por ser uma folha de D. composta A aplicação f : H H G, f(h 1, h 2 ) = h 1 h 1 2 é de classe C como H H j G G µ (h 1, h 2 ) (h 1, h 1 2 ) h 1 h 1 2 G 223

231 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE de aplicações C. Como a imersão injetora i : H G é C, resulta que f : H H H é C (Proposição 7.4 do Capítulo 7) e H é um grupo de Lie. É claro que L(H) = H. Observemos que, em geral, H não é um subgrupo de Lie de G, pois não é subvariedade (mergulhada) de G Formas Invariantes Definição Sejam G um grupo de Lie e ω uma p forma em G. Dizemos que ω é invariante à esquerda se L gω = ω para todo g G, ou seja, se para todos x G e v 1,..., v p T x G, tivermos ω x (v 1,..., v p ) = ω gx (L g(x)v 1,..., L g(x)v p ). Proposição Sejam G um grupo de Lie e ω uma p forma invariante à esquerda em G: (a) quaisquer que sejam os campos vetoriais invariantes à esquerda G, a função ω(x 1,..., X p ) : G R é constante; X 1,..., X p em (b) ω é de classe C. Dem. (a) Temos: (L gω)(x 1 (x),..., X p (x)) = ω gx Ä L g (x)x 1 (x),..., L g(x)x p (x) ä = Como L gω = ω, pondo x = e, vem: = ω gx (X 1 (gx),..., X p (gx)). ω e (X 1 (e),..., X p (e)) = ω g (X 1 (g),..., X p (g)), ou seja, ω(x 1,..., X p ) é constante. (b) Para provar que ω C devemos mostrar que a função ω(y 1,..., Y p ) C, quaisquer que sejam Y 1,..., Y p X(G). Para isso, sejam X 1,..., X p,..., X n campos vetoriais invariantes à esquerda (de classe C ), tais que X 1 (g),..., X n (g) formem uma base de T g G para cada g G. 224

232 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Então, Y j = n a ij X i, onde i=1 a ij C, e basta provar que ω(x i1,..., X ip ) C quaisquer que sejam X i1,..., X ip, o que resulta de (a), já que ω(x i1,..., X ip ) é constante. Obs. Se R gω = ω para todo g G dizemos que a p forma ω é invariante à direita. Como acima, prova-se que toda forma invariante à direita no grupo de Lie G, é de classe C. Quando L gω = ω = R gω para todo g G, dizemos que ω é invariante; neste caso, A gω = ω, onde A g é o automorfismo interno A g (x) = gxg 1 de G, isto é, A g = L g R g 1. Sejam G um grupo de Lie e ω uma forma volume, invariante à esquerda, que define a orientação de G. Se g G, L g : G G, L g (x) = gx é um difeomorfismo C tal que L gω = ω, ou seja, L g preserva a orientação. Se f : G R é contínua e de suporte compacto, então G fω = L gfω = (f L g )ω, G G às vezes escrito como f(x)dx = f(gx)dx, e dizemos que a integral é invariante G à esquerda. No caso de G ser compacto, podemos escolher ω de modo que ω = 1. G A forma R σω, onde R σ x = xσ, é invariante à esquerda, pois L g(r σω) = = (R σ L g ) ω = (L g R σ ) ω = R σl gω = R σω. Resulta que existe função α : G R tal que R σω = αω. Seja λ(σ) = α(σ). Então: G fω = ± G Rσ(fω) = ± G G (f R σ )Rσω = ± G (f R σ )α(σ)ω = (f R σ )λ(σ)ω, ou seja, a integral é invariante à direita se, e só se, λ = 1 e, neste caso, dizemos que G é unimodular, resultando fω = G(f R σ )ω, ou ainda, f(x)dx = = f(xσ)dx. G G G G Se G é compacto, então G é unimodular, pois a integral num grupo compacto é invariante. 1 = ω = λ(σ)ω = λ(σ), e G G Definição Sejam G um grupo de Lie e V um espaço vetorial. Uma representação linear de G em V é um homomorfismo ρ : G GL(V ). 225

233 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Proposição (Weyl) Seja (ρ, V ) uma representação linear do grupo de Lie G, compacto. Existe um produto interno u, v em V tal que ρ(x)u, ρ(x)v = = u, v para todo x G, u V, v V, ou seja,, é G invariante. Dem. Seja (u v) um produto interno qualquer em V. Definamos f : G V V R por f(t; u, v) = f(t; v, u) = (ρ(t)u ρ(t)v). Para u e v fixos, f é contínua em t e f(st; u, v) = f(s; ρ(t)u, ρ(t)v). Definamos u, v = f(s; u, v)ds. É imediato G verificar que, é um produto interno em V, e temos: ρ(t)u, ρ(t)v = f(st; u, v)ds = f(s; u, v)ds = u, v. G G 11.4 Exercícios do Capítulo Seja G um grupo de Lie conexo, e U uma vizinhança aberta do elemento neutro. Prove que G = U n. n=1 2. Na Proposição 11.12, prove que H é único a menos de isomorfismo. 3. Sejam G um grupo de Lie conexo, M uma variedade conexa, orientada, e θ : G M C M (g, p) θ(g, p) = gp uma ação de G em M. Prove que o difeomorfismo θ g : M C M, θ g (p) = gp, preserva orientação. 4. Seja M m uma variedade C. Dizemos que M é paralelizável se existem campos vetoriais X i : M C T M, 1 i m, tais que {X 1 (p),..., X m (p)} seja base de T p M para todo p M. [ R. Bott e J. Milnor provaram (em 1958) que as únicas esferas paralelizáveis são S 1, S 3 e S 7. S 1 e S 3 têm estrutura de grupo de Lie, S 7 não ]. Prove que todo grupo de Lie G é paralelizável. 5. Seja H = 1 x y 0 1 z ; x, y, z R. 226

234 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE (a) Mostre que H tem uma estrutura diferencial C com a qual é difeomorfa a R 3. (b) Mostre que H, com a multiplicação matricial, é um grupo de Lie (chamado grupo de Heisenberg). (c) Mostre que x, y, x y + é uma base para a álgebra de Lie de z H. 6. O conjunto das matrizes complexas n n, munido da multiplicação matricial, é o grupo de Lie GL(n, C), de dimensão 2n 2. Sejam: SL(n, C) = {A GL(n, C); det A = 1}; onde A = Āt é a adjunta de A; U(n) = {A GL(n, C) ; A A = I n }, SU(n) = U(n) SL(n, C). (a) Mostre que U(n) é um subgrupo de Lie de GL(n, C), de dimensão n 2. (b) Mostre que SL(n, C) é um subgrupo de Lie de GL(n, C), de dimensão 2n 2 2. (c) Mostre que SU(n) é um subgrupo de Lie de GL(n, C), de dimensão n Sejam G um grupo de Lie, M m uma variedade C, e θ : G M C M uma ação C, livre e própria. Prove que as G órbitas são subvariedades de M, de mesma dimensão que G. 8. Uma sequência de n subespaços de R n, V n = R n V n 1 V 1, com dim V j = j, 1 j n, é chamada de uma bandeira em R n. Mostre que a ação natural de GL(n, R) em R n é transitiva no conjunto M das bandeiras de R n, e obtenha uma estrutura diferencial C em M. Qual a dimensão de M? 9. Se α e β são formas invariantes à esquerda no grupo de Lie G, prove que α β e dα o são também. 227

235 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE 10. Prove que se ω é uma p forma no grupo de Lie G tal que ω(x 1,..., X p ) = =constante, quaisquer que sejam os campos vetoriais invariantes à esquerda, então ω é invariante à esquerda. 11. Sejam G um grupo de Lie, G = L(G) sua álgebra de Lie, e E p (G) o espaço vetorial das p formas em G, invariantes à esquerda. Se ω E p (G) e X 1,..., X p G, seja f : E p (G) p G ω f ω tal que f ω (X 1,..., X p ) = = ω(x 1,..., X p ) R. Prove que f é um isomorfismo. Em particular, E 1 (G) é isomorfo a G. 12. Sejam G um grupo de Lie, µ(a, b) = ab a multiplicação em G, e ϕ(a) = a 1 a inversão em G. Prove: (a) dµ(a, b)(x a, Y b ) = dr b (a)x a + dl a (b)y b ; (b) dϕ(a)x a = dr a 1(e)dL a 1(a)X a, onde a, b G, X a T a G e Y b T b G. 13. Seja {α(t) ; t R} um subgrupo a 1 parâmetro do grupo de Lie G, ou seja, α : R C G é tal que α(0) = e, e α(s)α(t) = α(s + t). {L α(t) ; t R} e {R α(t) ; t R} são subgrupos a 1 parâmetro de G. As órbitas de e G por esses grupos coincidem com a curva α : R G. Para cada x G, seja β x (t) = xα(t) = R α(t) x, e definamos o campo de vetores X por X(x) = β x(0). Prove que X é invariante à esquerda e que X(e) = α (0). 14. Se G é conexo, unimodular e L gω = ω, prove que R σω = ω. 15. Seja G conexo e unimodular. Se ω é forma volume invariante à esquerda, e ϕ(x) = x 1 é a inversão, prove que ϕ ω = ( 1) n ω, e que f(x)dx = = G f(x 1 )dx. G Ñ 16. Seja G = a 0 b 1 é ; a, b R, a >

236 CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE Prove que G tem uma estrutura de grupo de Lie que o torna um subgrupo de Lie de GL(2, R). 17. Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo de Lie de G que é normal em G. Prove que G / H é um grupo de Lie e que a aplicação quociente é um Lie-homomorfismo. π : G G / H 18. Sejam ϕ : G G um Lie-homomorfismo sobrejetor e N = ker ϕ seu núcleo. Prove que G / N é Lie-isomórfico a G. 19. Dê um exemplo de uma ação C e própria de um grupo de Lie G numa variedade diferencial M, tal que M / G não seja uma variedade. 20. Sejam G um grupo de Lie e H um Lie - subgrupo de G. Prove que se H e G /H são conexos, então G é conexo. Prove, por indução, que SO(n) é conexo. 229

237 Bibliografia [1] Camacho, C., e Lins, A., Teoria Geométrica das Folheações. IMPA, Rio de Janeiro, [2] Cartan, H, Calcul Différentiel et Formes Différentielles. Hermann, Paris, [3] Dieudonné, J., Treatise on Analysis. Vol. 1,2,3, Academic Press, [4] do Carmo, M. P., Formas Diferenciais e Aplicações. 8 Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro [5] da Silva, Ana Cannas, Lectures on Symplectic Geometry - Lectures Notes in Mathematics. Springer, [6] Frankel, T., The Geometry of Physics. Cambridge University Press, [7] Júdice, E. D., O Teorema de Sard e suas Aplicações. IMPA, Rio de Janeiro, [8] Lang, S., Undergraduate Analysis. Springer, New York, [9] Lee, J. M., Smooth Manifolds. Springer, New York, [10] Lima, E. L., Elementos de Topologia Geral - Ao Livro Técnico. Rio de Janeiro, [11] Lima, E. L., Cálculo Tensorial. IMPA,Rio de Janeiro, [12] Lima, E. L., Variedades Diferenciáveis. IMPA, Rio de Janeiro, [13] Lima, E. L., Curso de Análise. Vol. 2, IMPA, Rio de Janeiro,

238 BIBLIOGRAFIA [14] Lundell, A. T., A short Proof of the Frobenius Theorem. PAMS, Vol. 116, #4, [15] Marco, J. P., et. al., Mathématiques L3, Analyse. Pearson, Paris, [16] Matsushima, Y., Differentiable Manifolds. Marcel Dekker Inc., New York, [17] Mendes, R. N., Álgebra Linear [18] Milnor, J., Topology from the Differentiable Viewpoint. University Press of Virginia, [19] Munkres, J., Analysis on Manifolds. Addison Wesley, [20] Nachbin, L., Introdução à Análise Funcional: Espaços de Banach e Cálculo Diferencial. OEA, Washington D.C., [21] Spivak, M., Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin Inc., [22] Tu, L. W., An Introduction to Differentiable Manifolds. Springer, New York, [23] Warner, F., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Scott, Foresman, Bibliografia Complementar Aubin, T., Nonlinear Analysis on Manifolds. Springer, Bröcker, T.; Jänich, K., Introduction to Differential Topology. Cambridge, Cantarella, J.; De Turck, D.; Gluck, H., Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-space. A. M. Monthly 109 (2002) #5. Guillemin, V.; Pollack, A., Differential Topology. Prentice Hall, Hirsch, M., Differential Topology. Springer, Lima, E. L., Introdução à Topologia Diferencial. IMPA, Rio de Janeiro, Pugh, C., Real Mathematical Analysis. Springer,

239 Índice Ação, 213 livre, 214 própria, 218 transitiva, 214 Álgebra das formas diferenciais, 131 de Lie, 185, 223 exterior, 123 Ângulo sólido, 141 Aplicação antípoda, 164 de classe C k, 13, 56, 72, 148 derivada, 55, 76 equivariante, 217 linear contínua, 3 multilinear contínua, 8 própria, 218 r-linear alternada, 135 Atlas, 67, 145 coerente, 138 máximo, 68 Caminho, 74 de saltos, 23 regulado, 24 Campo de Vetores, 103, 151 hamiltoniano, 206 completo, 187 comutativo, 199 que aponta para dentro, 150 que aponta para fora, 150 Carta, 66, 145 Cobertura localmente finita, 96, 100 Colchete de Lie, 185 Conjunto de nível, 217 Contração, 43 Coordenadas generalizadas, 204 Curva integral, 186 Derivação, 185 Derivada, 12, 76, 107 de Lie, 178 parcial, 35 Determinante, 120 Difeomorfismo, 41 equivariante, 220 de classe C 1, 41 de classe C k, 73, 144 local,

240 ÍNDICE Diferencial exterior, 131 Divergência de Campo, 173 Equações de Hamilton, 205, 206 de Lagrange, 205 Espaço cotangente, 204 de órbitas, 218 de Banach, 2 de fases, 204 homogêneo, 219 projetivo, 72, 216 tangente, 75, 148 vetorial normado, 2 vetorial orientado, 137 vetorial simplético, 201, 203 Fibrado cotangente, 135 tangente, 106, 204 Fluxo global, 187 hamiltoniano, 206 local, 187 Folha, 195 Folheação, 195 Forma contato, 207 de Liouville, 205 de Poincaré, 136 diferencial, 129 exata, 161 fechada, 161, 162 local das imersões, 49, 82 local das submersões, 50, 83 negativa, 155 positiva, 155 simplética, 201, 204, 205 volume, 142 Função auxiliar, 100 harmônica, 174 Gradiente, 174 Grau de aplicação, 175 Grupo das rotações, 95 de cohomologia, 174 de isotropia, 214 de Lie, 210 linear especial, 94 linear geral, 70 simplético, 203 unimodular, 226 Hamiltoniana, 205 Hessiana, 58 Homotopia, 162 Imersão, 47, 81 Integral, 24, 25, 173 Invariante à direita, 222, 226 à esquerda, 222, 225 pelo fluxo, 199 Lagrangiana, Laplaciano, 174,

241 ÍNDICE Lema de Cartan, 126 de Poincaré, 168, 169 de Urysohn, 101 Lie-isomorfismo, 217 Métrica riemaniana, 102 Matrix jacobiana, 14 Matriz jacobiana, 78 Mergulho, 47, 84, 88 Momentos generalizados, 205 Mudanças de coordenadas, 67, 145 Norma, 1 Normas equivalentes, 5 Órbita, 186, 214 Orientável, 139 Orientação, 137, 148, 155 no bordo, 150 produto, 152 Paracompacto, 96 Paralelizável, 227 Partição da unidade, 100 Placa, 194 Ponto crítico, 110 do bordo, 146 fixo, 43 interior, 146 Posto, 46, 81 Posto constante, 85 Produto exterior, 115, 130 interior, 124 tensorial, 114 Pull back, 129 Regra da Cadeia, 17, 78 Seção do fibrado cotangente, 136 do fibrado tangente, 107 Sistema de coordenadas locais, 66 diferencial, 189 base local, 189, 192 equações locais, 192 lagrangiano, 204 Subespaço coisotrópico, 202 isotrópico, 202, 209 lagrangiano, 203, 209 ortogonal simplético, 202 simplético, 202, 209 Subgrupo de Lie, 210, 212 Submersão, 47, 81 Subvariedade, 88 lagrangiana, 206 Suporte, 98 Teorema da função implícita, 50, 91 da função inversa, 45, 78 de Brouwer, 161 de Chevalley, 195 de Darboux, 206 de Frobenius, 190 de Gauss,

242 ÍNDICE de Leibniz, 38 de Poincaré-Brouwer, 164, 192 de Schwarz, 60 de Stokes, 158 do ponto fixo de Banach, 43 do posto, 48, 82 do Valor Médio, 29 fundamental do Cálculo, 28 Trajetória, 186 Valor crítico, 93 regular, 93, 110, 166 Variedade de Grassmann, 221 diferencial, 68, 139 diferencial com bordo, 146 integral, 194, 195 produto, 90 riemaniana, 102, 172, 179, 181 simplética, 203, 207 Vetor tangente, 75, 109 velocidade,