Winding Numbers. 11 a aula, É costume chamar-se variedade fechada 1 a qualquer variedade compacta sem bordo.

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1 11 a aula, Winding Numbers É costume chamar-se variedade fechada 1 a qualquer variedade compacta sem bordo. Sejam X n 1 uma variedade fechada, f : X n 1 R n um mapa suave e p um ponto em R n f(x n 1 ). Define-se então o mapa f p : X n 1 S n 1, f p (x) = f(x) p f(x) p. Quando X n 1 está orientada, define-se o winding number de f em torno de p como sendo o grau W (f, p) := deg(f p ). Em geral, define-se o winding number módulo 2 de f em torno de p como sendo o grau módulo 2 W 2 (f, p) := deg 2 (f p ). Proposição São localmente constantes as funções em R n f(x n 1 ) : (1) p W 2 (f, p), (2) p W (f, p), se X n 1 for uma variedade orientada. Em particular, estas funções são constantes em cada uma das componentes conexas de R n f(x n 1 ). Dados p, v R n, designemos por l p, v = { p + t v : t 0 } a semirecta de origem p e direcção v. A pré-imagem f 1 (l p, v ) = { x X n 1 : f(x) l p, v } 1 Este é um conceito absoluto não relacionado com o conceito topológico de fechado, que é um conceito relativo à topologia do espaço ambiente. 1

2 2 representa o conjunto dos pontos cuja imagem por f intersecta a semirecta l p, v. Supondo X n 1 orientada, definimos sgn (f 1 (l p, v ), x) como o único sinal ɛ = ±1 tal que vale a seguinte identidade de espaços lineares orientados R n = ɛ ( R v Df x (T x X n 1 ) ). Proposição v S n 1 é um valor regular de f p : X n 1 S n 1 sse f l p, v. Por outro lado, havendo transversalidade: (1) W 2 (f, p) = #f 1 (l p, v ) mod 2, (2) W (f, p) = x f 1 (l sgn (f 1 p, v) (l p, v ), x), quando X n 1 está orientada. Seja π p : R n {p} S n 1 a projecção π p (y) = y p. Para cada direcção v y p Sn 1, temos (π p ) 1 (v) = l p, v. Como f p = π p f, temos (f p ) 1 (v) = f 1 ((π p ) 1 (v)) = f 1 (l p, v ). Dado x f 1 (l p, v ), a derivada D(f p ) x : T x X n 1 S n 1 é a composição de Df x : T x X n 1 R n com D(π p ) f(x) : R n S n 1. Usando o Lema do Núcleo Transversal (4 a aula), vemos que são equivalentes as seguintes afirmações: (1) D(f p ) x é um isomorfismo; (2) D(f p ) x é sobrejectiva; (3) A restrição de D(π p ) f(x) a Df x (T x X n 1 ) é sobrejectiva, (4) Df x (T x X n 1 ) é transversal a Nuc(D(π p ) f(x) ) = T f(x) l p, v ; (5) f x l p, v. Logo, x f 1 (l p, v ) é um ponto regular de f p sse f x l p, v. Como x é arbitrário, v S n 1 é um valor regular de f p sse f l p, v. Resta ver que se v S n 1 é um valor regular de f p, dado x f 1 (l p, v ), sgn ( f 1 (l p, v ), x ) = sgn( D(f p ) x ). Porque v é um valor regular de f p, a derivada Df x : T x X n 1 R n é injectiva. Consideremos na imagem Df x (T x X n 1 ) a orientação induzida por Df x. São então equivalentes: (1) sgn( D(f p ) x ) = +1 ; (2) O isomorfismo restrição D(π p ) f(x) : Df x (T x X n 1 ) T fp(x)s n 1 preserva orientação; (3) Vale a identidade R n = R v Df x (T x X n 1 ) de espaços lineares orientados; (4) sgn (f 1 (l p, v ), x) = +1.

3 Topologia Diferencial 3 Proposição Sejam X n 1 uma variedade fechada e f : X n 1 R n um mapa suave. Dadas componentes conexas U e U de R n f(x n 1 ) e dados pontos p U e p U tais que f 1 ([p, p ]) = {x} e f x [p, p ], então (1) W 2 (f, U) = W 2 (f, U ) + 1 mod 2, (2) W (f, U) = W (f, U )+sgn (f 1 (l p, v ), x), no caso de X n 1 estar orientada. Sejam p e p nas condições do enunciado. Podemos logo supor que a direcção v = p p é um valor regular de f p p p. Se não for substituímos p por outro ponto próximo que ainda satisfaça com p as restantes condições. Observando que esta proposição segue da anterior. f 1 (l p, v ) = {x} f 1 (l p, v), A figura acima mostra os valores da função winding number módulo 2 relativa a uma curva fechada não orientada em R 2. A figura seguinte mostra os valores da função winding number relativa à mesma curva fechada em R 2 com a orientação indicada.

4 4 Teorema de Separação de Jordan-Brouwer Seja X n 1 R n uma variedade fechada. Então R n X n 1 tem exactamente duas componentes conexas. Designemos por i : X n 1 R n o mapa de inclusão, e seja, para cada i = 0, 1, Z i := { p R n X n 1 : W 2 (i, p) = i }. Como R n X n 1 = Z 0 Z 1, basta ver que cada Z i é um aberto não vazio e conexo. Z 0 e Z 1 são abertos porque a aplicação p W 2 (i, p) é localmente constante. São não vazios porque tomando dois pontos próximos p, p R n X n 1 tais que o segmento [p, p ] intersecta transversalmente X n 1 num único ponto, pela proposição anterior tem-se W 2 (i, p) W 2 (i, p ). Resta ver que Z 0 e Z 1 são conexos. Tomemos ɛ > 0 tal que V ɛ (X n 1 ) seja uma vizinhança tubular da variedade fechada X n 1. Para cada i = 0, 1 definimos Vɛ i (X n 1 ) := Z i V ɛ (X n 1 ). Seja, para cada x X n 1, ξ(x) R n o único vector tal que (1) ξ(x) Tx X n 1 ; (2) ξ(x) = 1; (3) W 2 (i, x + t ξ(x)) = 0, para todo 0 < t ɛ. As condições (1) e (2) determinam, localmente, dois campos de vectores suaves simétricos um do outro. A condição (3) escolhe o campo de vectores que aponta para o exterior de X n 1. Estas três condições determinam um campo de vectores global e suave ξ X (Xn 1 ). Definimos o mapa φ : X n 1 R R n, φ(x, λ) = x + λ ξ(x). O mapa φ pode factorizar-se na composição do difeomorfismo ψ : X n 1 R T X n 1, ψ(x, λ) = (x, λ ξ(x)), com o mapa E : T X n 1 R n, E(x, v) = x + v. Logo, pela definição de vizinhança tubular, a restrição φ : X n 1 ] ɛ, ɛ[ V ɛ (X n 1 ) é um difeomorfismo. Tendo em conta a definição dos conjuntos Vɛ i (X n 1 ), e a condição (3) usada acima na definição do campo ξ, temos φ( X n 1 ]0, ɛ[ ) = V 0 ɛ (X n 1 ) e φ( X n 1 ] ɛ, 0[ ) = V 1 ɛ (X n 1 ). Logo, estes dois conjuntos são conexos por serem difeomorfos a produtos de conexos. Finalmente, Z i é conexo porque cada ponto x Z i pode ser conectado a Vɛ i (X n 1 ) por um caminho em Z i. Tome-se p X n 1 tal que x p = dist X n 1(x), e defina-se γ : [0, 1[ R n, γ(t) = x + t (p x). Para cada 0 t < 1, γ(t) x = t p x < dist X n 1(x), o que implica γ(t) R n X n 1. Como γ([0, 1[) é conexo e γ(0) Z i, segue que γ([0, 1[) Z i. Tomando 0 < t < 1 suficientemente próximo de 1, temos γ(t) p = (1 t) p x < ɛ, o que implica que γ(t) Z i V ɛ (X n 1 ) = Vɛ i (X n 1 ). Isto prova que x está conectado a Vɛ i (X n 1 ) por um caminho em Z i. Corolário Toda a variedade fechada X n 1 R n é o bordo duma variedade compacta com bordo Z n R n. Em particular, X n 1 é orientável.

5 Topologia Diferencial 5 Como X n 1 é compacta, existe r > 0 tal que X n 1 D r (0), onde D r (0) designa o disco de centro na origem e raio r. Para cada ponto p R n D r (0), como a semirecta l p, p está contida em R n D r (0) e não intersecta X n 1, temos R n D r (0) Z 0. Logo, Z 1 D r (0). Seja então Z n = Z 1 X n 1. Z n é compacto porque Z 1 é limitado e X n 1 é a fronteira topológica de Z 1. Vejamos que Z n é uma variedade com bordo. Se p Z 1, como Z 1 é aberto em R n, (Z n, p) (R n, 0). Dado p X n 1, aplicando o teorema da classificação local de mapas em pontos regulares ao mapa de inclusão i : X n 1 R n, obtemos cartas locais φ : (X n 1, p) (R n 1, 0) e ψ : (R n, p) (R n, 0) tais que ψ i φ 1 (x 2,..., x n ) = (0, x 2,..., x n ). Esta relação mostra que o difeomorfismo ψ transforma X n 1 no hiperplano {x 1 = 0} = {0} R n 1. Logo, ψ transforma as componentes conexas do complementar de X n 1 no seu domínio nos semiespaços em que o hiperplano {x 1 = 0} divide R n. Assim podemos supor, compondo se necessário ψ com a reflexão (x 1, x 2,..., x n ) ( x 1, x 2,..., x n ), que ψ : (Z n, p) (H n, 0). Logo, Z n é uma variedade com bordo. O facto de X n 1 ser uma variedade orientável resulta de X n 1 ser o bordo duma variedade com bordo, ou, alternativamente, da existência dum campo normal unitário demonstrada na prova do Teorema de Jordan-Brouwer. Índice da pré-imagem dum mapa f : X n R n Sejam X n uma variedade compacta com bordo e f : X n R n um mapa suave. Dado p R n f( X n ), suponhamos que f 1 (p) é um conjunto finito, o que é verdade, por exemplo, se p R n é um valor regular do mapa f. Para cada pré-imagem x f 1 (p) define-se o índice da pré-imagem x Ind x (f) := W (f Dɛ(x), p), onde ɛ > 0 é escolhido suficientemente pequeno de modo que D ɛ (x) f 1 (p) = {x}, e D ɛ (x) designa o disco de centro em x e raio ɛ em X n. Lema Sejam x f 1 (p), e suponhamos que o anel { y X n : ɛ y x ɛ } não contém pré-imagens em f 1 (p). Então W (f Dɛ (x), p) = W (f Dɛ(x), p). Em particular, o índice duma pré-imagem está bem definido.

6 6 Consideremos o anel A ɛ,ɛ(x) = { y X n : ɛ y x ɛ }. A função f p (y) = f(y) p f(y) p está definida e é suave sobre este anel porque f 1 (p) A ɛ,ɛ(x) =. Pelo teorema da restrição de grau zero, 0 = deg(f p Aɛ,ɛ (x)) = deg(f p Dɛ(x)) deg(f p Dɛ (x)) = W (f Dɛ(x), p) W (f Dɛ (x), p). Observemos que D ɛ (x) é uma componente do bordo do anel A ɛ,ɛ(x). As duas orientações induzidas nesta componente, pelo disco e pelo anel, coincidem. O bordo D ɛ (x) é também componente de A ɛ,ɛ(x). Neste caso as orientações induzidas pelo disco e pelo anel são opostas, o que explica o sinal negativo afectado ao grau desta componente no cálculo acima. Teorema do Índice Sejam X n uma variedade compacta com bordo, f : X n R n um mapa suave, e p R n f( X n ) tal que f 1 (p) é finito. Então W (f X n, p) = Ind x (f). x f 1 (p) Seja f 1 (p) = {x 1,..., x m }. Tomemos r > 0 suficientemente pequeno de modo que as aderências dos discos abertos D i = D r (x i ) sejam disjuntas duas duas. Então Y n = X n m i=1d i é uma variedade compacta com bordo sobre a qual está definida e é suave a função f p (y) = f(y) p. Pelo teorema da restrição de grau f(y) p zero, m 0 = deg(f p Y n) = deg(f p X n) deg(f p Di ) = W (f X n, p) = W (f X n, p) i=1 m W (f Di, p) i=1 m Ind xi (f). i=1

7 Topologia Diferencial 7 Observemos que o bordo de Y n é a seguinte variedade orientada Y n = + X n D 1... D m. Índice de singularidades de campos vectoriais Sejam U R n um aberto e ξ X (U) um campo de vectores. Dada uma singularidade isolada p U, ξ(p) = 0, define-se o índice de p por Ind p (ξ) := W (ξ Dɛ(p), 0) = deg(ξ p ), onde ξ p : D ɛ (p) S n 1 é definido por ξ p (x) = ξ(x)/ ξ(x) e ɛ > 0 é escolhido suficientemente pequeno de modo a isolar a singularidade p, i.e., D ɛ (p) ξ 1 (0) = {p}. Mais geralmente, se X n é uma variedade e ξ X (X n ) um campo de vectores tangente, define-se o índice de ξ numa singularidade isolada p X n, ξ(p) = 0, como sendo o índice na origem dum representante φ ξ de ξ relativo a uma carta local φ : (X n, p) (R n, 0). Proposição Numa singularidade não degenerada p X n dum campo ξ X (X n ) o índice satisfaz Ind p (ξ) = sgn(dξ p ) = ±1.

8 8 Como o índice duma singularidade dum campo de vectores ξ é, por definição, o índice dum representante de ξ numa carta local, podemos logo supor que ξ X (U) é um campo definido num aberto U R n com uma singularidade na origem. Supondo que p = 0 é uma singularidade não degenerada, A = Dξ 0 : R n R n é um isomorfismo. Pelo desenvolvimento de Taylor na origem temos ξ(x) A x numa vizinhança de 0. Seja D um pequeno disco centrado na origem, e consideremos os mapas ξ 0, F A : D S n 1 definidos por ξ 0 (x) = ξ(x) e ξ(x) F A (x) = A x. Porque estas aplicações estão próximas, elas são necessariamente A x homotópicas, cf. ex 6-7 e 8-3. Por outro lado, F A é um difeomorfismo, cf. ex 5-8, tal que sgn(f A ) = sgn(a). Logo, Ind 0 (ξ) = deg(ξ 0 ) = deg(f A ) = sgn(f A ) = sgn(a). Proposição Seja p X n um ponto crítico não degenerado duma função suave f : X n R. Os índices de p como ponto crítico de f e como singularidade de f satisfazem Ind p ( f) = ( 1) ind(f,p). Comecemos por supor que f = Q A é uma forma quadrática definida por uma matriz simétrica não degenerada A. Sejam λ 1... λ k < 0 < λ k+1... λ n os valores próprios de A. O determinante de A é o produto dos valores próprios de A, i.e., det A = λ 1 λ n. O índice da forma quadrática Q A é o número ind(a) = k de valores próprios negativos. Desta caracterização resulta que sgn(a) = ( 1) ind(a). Observemos que f x = A x é um campo linear com uma única singularidade na origem de índice igual a sgn(a). Seja agora p X n um ponto crítico não degenerado duma função suave f : X n R. Seja A a matriz Hessiana de f no ponto p relativa a uma carta local, e B a matriz Jacobiana de f na singularidade p, relativa à mesma carta local. Da proposição a seguir à definição de índice dum ponto crítico resulta que as matrizes A e B são semelhantes. Mas matrizes semelhantes têm sempre o mesmo sinal do determinante, e o mesmo índice. Pela proposição anterior, Ind p ( f) = sgn(b). Por definição de índice dum ponto crítico, ind(f, p) = ind(a). Logo, Ind p ( f) = sgn(b) = sgn(a) = ( 1) ind(a) = ( 1) ind(f,p). Teorema do Índice Local Seja p X n uma singularidade isolada de ξ X (X n ), e ɛ > 0 tal que p é a única singularidade de ξ na aderência do disco

9 Topologia Diferencial 9 D ɛ (p). Então para todo o campo de Morse ξ X (X n ) suficientemente próximo de ξ, Ind p (ξ) = sgn(d ξ x ). x D ɛ(p) : ξ(x)=0 Seja ξ um campo de Morse suficientemente perto de ξ de modo que os mapas x ξ(x) e x ξ(x), de D ξ(x) ξ(x) ɛ(p) em S n 1 fiquem homotópicos. Da proposição acima segue que Ind p (ξ) = W (ξ Dɛ(p), 0) = W ( ξ Dɛ(p), 0) = Ind x ( ξ) = x D ɛ(p) ξ 1 (0) x D ɛ(p) ξ 1 (0) sgn(d ξ x ). Uma singularidade degenerada p X n dum campo ξ X (X n ) pode ser vista como o resultado de colapsar várias singularidades não degeneradas. Perturbando ξ, obtemos um campo de Morse ξ X (X n ), perto de ξ, no qual a singularidade p se desdobra em várias singularidades não degeneradas p 1,..., p m. O teorema acima mostra que o índice Ind p (ξ) guarda a memória do somatório dos índices das singularidades p i de ξ colapsadas na singularidade p de ξ. Corolário Seja p X n uma singularidade dum campo vectorial ξ X (X n ). Dadas cartas locais φ : (X n, p) (R n, 0) e ψ : (X n, p) (R n, 0), Ind 0 (φ ξ) = Ind 0 (ψ ξ). Em particular, o índice duma singularidade está bem definido. Sejam ɛ > 0 tal que p é a única singularidade de ξ na aderência do disco D ɛ (p), e ξ um campo de Morse suficientemente perto de ξ, nas condições da proposição

10 10 anterior. Dadas cartas locais φ : (X n, p) (R n, 0) e ψ : (X n, p) (R n, 0), escrevemos Dɛ φ (p) = φ(d ɛ (p)) e Dɛ ψ (p) = ψ(d ɛ (p)). Aplicando o teorema anterior aos campos φ ξ e ψ ξ, e tendo em conta que os campos φ ξ, ξ e ψ ξ têm os mesmos sinais das derivadas 2 em singularidades correspondentes, obtemos Ind 0 (φ ξ) = sgn(d(φ ξ)x ) x Dɛ φ (p) : (φ ξ)(x)=0 = sgn(d ξ x ) = x D ɛ(p) : ξ(x)=0 x D ψ ɛ (p) : (ψ ξ)(x)=0 sgn(d(ψ ξ)x ) = Ind 0 (ψ ξ). Seja X n uma variedade compacta com bordo e ν X ( Xn ) o campo normal exterior a X n. Dizemos que um campo de vectores ξ X (X n ) aponta para o exterior de X n ao longo de X n sse ξ(x) ν(x) > 0 para todo x X n. Teorema de Poincaré-Hopf Seja X n uma variedade compacta com bordo e ξ X (X n ) com singularidades isoladas que aponte para o exterior de X n ao longo de X n. Então χ(x n ) = Ind x (ξ). x X n : ξ(x)=0 2 O sinal dum automorfismo linear A : R n R n é, por definição, o sinal do seu determinante.

11 Topologia Diferencial 11 Seja X n 1 R n uma variedade fechada e orientada. Chama-se mapa de Gauss de X n 1 à aplicação G X n 1 : X n 1 S n 1 que a cada ponto x X n 1 associa o único vector normal unitário a X n 1 nesse ponto, escolhido de modo que valha a seguinte identidade de espaços lineares orientados R n = R G X n 1(x) T x X n 1. Lema de Hopf Seja X n R n uma variedade compacta com bordo e ξ X (X n ) um campo com singularidades isoladas que aponte para o exterior de X n ao longo de X n. Então a soma dos índices das singularidades de ξ em X n é igual ao grau do mapa de Gauss do bordo X n : deg(g X n) = Ind x (ξ). x X n : ξ(x)=0 Consideremos o mapa f ξ : X n S n 1 definido por f ξ (x) = ξ(x). Este mapa é ξ(x) homotópico ao mapa de Gauss G X n : X n S n 1, porque f ξ (x) G X n(x) > 0 para todo x X n. Veja-se o exercício 8-3. Logo, pelo Teorema do Índice, deg(g X n) = deg(f ξ ) = W (ξ X n, 0) = Ind x (ξ). x ξ 1 (0) Teorema da Vizinhança Tubular duma Variedade com Bordo Sejam X n R N uma variedade compacta com bordo, ν X ( Xn ) o campo normal exterior, e V ɛ (X n ) = { x R N : dist X n(x) ɛ }.

12 12 Designemos por ϕ : V ɛ (X n ) R a função ϕ(x) = dist X n(x) 2. Então existem ɛ > 0, um mapa π : V ɛ (X n ) X n, e uma hipersuperfície N ɛ V ɛ (X n ) tais que (1) V ɛ (X n ) divide-se em duas componentes Vɛ (X n ) e V ɛ + ( X n ) com N ɛ = Vɛ (X n ) V ɛ + ( X n ); (2) O mapa π é suave em cada uma das componentes Vɛ (X n ) e V ɛ + ( X n ); (3) π é uma projecção contínua, i.e., π(x) = x para todo x X; (4) Se x Vɛ (X n ) então π(x) X é o ponto que minimiza a distância de x a X n, satisfazendo x π(x) Tπ(x) Xn ; (5) Se x V ɛ + ( X n ), π(x) X n é o ponto que minimiza a distância de x a X n, satisfazendo x π(x) Tπ(x) Xn e ν(π(x)) (x π(x)) 0; (6) ϕ(x) = x π(x) 2, para todo x V ɛ (X n ); (7) A função ϕ é de classe C 1, satisfazendo ϕ(x) = 2 (x π(x)) ; (8) V ɛ (X n ) é uma variedade com bordo de classe C 1. Para fazer depois... Proposição Sejam X n R N uma variedade compacta com bordo, e ξ X (X n ) um campo de vectores com singularidades isoladas que aponte para o exterior de X n ao longo de X n. Então existe ɛ > 0 tal que deg(g Vɛ(X n )) = Ind x (ξ). x X n : ξ(x)=0 Tomemos ɛ > 0 dado pelo Teorema da Vizinhança Tubular duma Variedade com Bordo. Definimos ξ : V ɛ (X n ) R N, ξ(x) := x π(x) + ξ(π(x)). }{{}}{{} Tπ(x) Xn T π(x) X n O bordo da vizinhança tubular V ɛ (X n ) é um conjunto de nível da função ϕ, V ɛ (X n ) = ϕ 1 (ɛ 2 ), pelo que o campo gradiente ϕ(x) = 2 (x π(x)) aponta para fora de V ɛ (X n ) ao longo de V ɛ (X n ). Como ξ(x) ϕ(x) = 2 x π(x) 2 = 2 ɛ 2 > 0, vemos que o campo ξ também aponta para fora de V ɛ (X n ) ao longo de V ɛ (X n ). Os campos ξ e ξ têm as mesmas singularidades porque ξ(x) = 0 x = π(x) e ξ(π(x)) = 0 x X n e ξ(x) = 0. Logo, todas as singularidades de ξ estão em X n X n Vɛ (X n ), onde a função ξ é suave. Pelo Teorema do Índice Local podemos supor, substituindo se necessário ξ por um campo de Morse próximo, que todas as singularidades de ξ são não degeneradas. Seja p X n X n uma singularidade de ξ. Vamos mostrar que

13 Topologia Diferencial 13 Ind p ( ξ) = Ind p (ξ). Temos π(p) = p, e as aplicações lineares Dπ p : R N T p X n e Id Dπ p : R N T p X n são projecções ortogonais. Derivando obtemos D ξ p (u) = u Dπ p (u) + Dξ π(p) Dπ p (u) = (Id Dπ p )(u) + Dξ }{{} p Dπ p (u). }{{} Tp X n T px n Numa base ortonormada de R n em que os primeiros vectores formem uma base de Tp X n e os últimos uma base de T p X n, a matriz Jacobiana de D ξ p : R N R N tem [ ] I O a forma, onde A representa a matriz Jacobiana de Dξ O A p : T p X n T p X n na base correspondente. Logo [ ] I O Ind p ( ξ) = sgn( ) = sgn(a) = Ind O A p (ξ). Finalmente, aplicando o lema de Hopf ao campo ξ obtemos deg(g Vɛ(X n )) = Ind x ( ξ) = x V ɛ(x n ) : ξ(x)=0 x X n : ξ(x)=0 Ind x (ξ). Notemos que no lema de Hopf se assume que a variedade e o campo são ambos suaves. No entanto nesta aplicação, se a variedade X n tiver um bordo não vazio, a vizinhança tubular V ɛ (X n ) é apenas de classe C 1 enquanto o campo ξ é apenas contínuo. Não é difícil ver que o lema de Hopf é válido para variedades de classe C 1. Quanto à falha de suavidade do campo ξ podemos resolvê-la aproximando ξ por um campo suave η que satisfaça a mesma condição de transversalidade com o bordo V ɛ (X n ), e continue não nulo fora duma vizinhança compacta K das singularidades de ξ. Podemos supor que K está contida na região onde o campo ξ é suave. Nesta vizinhança, o campo perturbado η terá o mesmo número de singularidades que ξ, próximas das originais, e exactamente com os mesmos índices. A conclusão desta proposição segue então de aplicar o lema de Hopf ao campo suave η.

14 14 Proposição Seja X n R N uma variedade compacta com bordo e ξ X (X n ) um campo de vectores com singularidades isoladas que aponte para o exterior de X n ao longo de X n. Então existe uma função f : X n R tal que (1) f 1 (0) = X n, (2) X n = f 1 (], 0[), (3) 0 é um valor regular de f, e (4) f é uma função de Morse. Para fazer depois... Prova do Teorema de Poincaré-Hopf: O Teorema de Ponicaré-Hopf segue das duas proposições anteriores. Pela primeira, a soma dos índices das singularidades dum campo ξ X (X n ), que aponte para fora de X n ao longo do bordo, não depende do campo ξ. Assim sendo, ficamos reduzidos a dar um exemplo dum campo onde a soma dos índices seja igual à característica de Euler χ(x n ). Vamos usar o campo gradiente duma função de Morse. Seja f : X n R nas condições da proposição anterior, e consideremos o campo de Morse ξ = f. Pela teoria de Morse, tendo em conta a relação demonstrada entre o índice dum ponto crítico e o índice desse mesmo ponto como singularidade do campo gradiente, obtemos χ(x n ) = ( 1) ind(f,p) = p Crit(f) Ind p (ξ). p ξ 1 (0)