3 Superfícies Spacelike em IR 2,1

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1 Superfícies Spacelike em IR,. Fórmula de Representação para Spacelike no espaço de Lorentz.. O espaço de Minkowski Seja IR, = IR, ḡ o espaço de Minkowski de dimensão com a métrica de Lorentz ḡ =(dx ) +(dx ) (dx ). Enunciaremos agora um resultado sobre as isometrias do espaço de Minkowski. Teorema. As isometrias de IR, são da forma A(X) +b, onde < A(X),A(Y ) >=< X,Y >, ou seja, A O(, ) chamado de grupo de Lorentz. Pode-se mostrar que as isometrias de H são dadas pelas isometrias do espaço de Lorentz que fixam a origem, portanto são matrizes pertencendo ao grupo de Lorentz, e que preservam o semi-espaço superior x 0 > 0 Vejamos alguns exemplos de isometrias em H hiperbolóide. visto no modelo do Exemplo 6 As rotações hiperbólicas em torno do ponto p, veja figura 4., são exemplos de isometrias de H que são dadas na seguinte forma A = cosθ sen θ 0 senθ cos θ

2 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 76 Figura.: Rotação hiperbólica em torno de p Exemplo 7 As translações hiperbólicas ao longo de uma geodésica γ (veja figura 4.) é um outro exemplo de isometria de H. A matriz que representa tal isometria é dada por A = cosh ψ sinh ψ 0 sinh ψ cosh ψ Figura.: Translação hiperbólica ao longo da geodésica γ.. Superfícies Spacelike de curvatura média constante no espaço de Lorentz Neste capítulo a referência utilizada é [7]. Seja M uma variedade conexa diferenciável de dimensão, e X : M IR, uma imersão diferenciável. Aqui vamos considerar que X é uma imersão spacelike ou M é uma superfície spacelike em IR,, ou seja, a métrica ḡ restrita à superfície M é positiva definida.

3 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 77 Assumiremos também que M seja orientada. Sendo assim, podemos observar que não existem superfícies spacelike fechadas em IR,, pois caso contrário, existiria um vetor em tal variedade que faria um ângulo maior que π, o que leva a uma contradição com o fato de ser spacelike. 4 Denotaremos por g como sendo a métrica ḡ restrita à M. Seja z = x+iy as coordenadas isotérmicas em M, assim temos que g = λ (dx) +(dy), λ > 0. Definimos um referencial local (e,e,e ) adaptado à M em IR, da seguinte maneira. Seja X(z) = X (x, y),x (x, y),x (x, y) a expressão local da imersão X, definimos e = X λ x = X λ x, X x, X x e = X λ y = X λ y, X y, X. y E, definimos que e = e e e <e,e >=, <e,e i >=0, com i =,. Em termos das coordenadas locais, e é dado por e = λ X x X y X X x y, X X x y X X x y, X X x y X x X. y Seja a conexão Riemanniana de IR,. Definimos a segunda forma fundamental de M da seguinte maneira: h i,j = ei e j,e, onde i, j =,. Observe que se é a conexão Riemanniana de M,então Xx X x = Xx X x + Xx X x,e e. Xx X y = Xx X y + Xx X y,e e.

4 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 78 Xy X y = Xy X y + Xy X y,e e. Daí, através de alguns cálculos simples, concluímos que X xx = λ λ x X x λ λ X y y + λ h e, X xy = λ X λ y x + λ λ x X y + λ h e, (-) E, além disso, X yy = λ λ x X x + λ λ X y y + λ h e. e x = h X x + h X y, e y = h X x + h X y, (-) Sabemos que a curvatura média H de M é definida por H = h + h. Note que se H = 0 temos que as funções coordenadas são harmônicas em M. Seja φ = h h segue de - que ih, a função de Hopf associada à imersão, então e = H X + φx z. (-) Observe ainda que a curvatura de Gauss K de M é dada por K = H + φ, (-4) onde K = (h h h ) pela equação de Gauss.7.

5 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 79.. A Aplicação de Gauss Para uma superfície spacelike M IR,, a aplicação de Gauss G de M por definição é a aplicação de M em IR, que associa a cada ponto p M ao ponto em IR, obtido da translação do vetor normal unitário e (p) de M em p para a origem de IR,. Observe que como <e (p),e (p) >= a aplicação de Gauss G é uma aplicação de M em H, onde H = {(x,x,x ) IR, ;(x ) +(x ) (x ) = }, o qual é o hiperbolóide de duas folhas em IR, e que tem curvatura Gaussiana K =, com respeito a métrica induzida. Pode-se definir uma estrutura complexa em H da seguinte maneira. Considere as seguintes projeções estereográficas, Π (x) : H {0, 0, } D (x,x,x ) Π (x,x,x )= x x, x x (-5) Π (x) : H {0, 0, } D x (x,x,x ) Π (x,x,x )= +x, x, +x (-6) onde D é o disco unitário sem o bordo no plano x, x, ou seja, D = {(x,x ); (x ) +(x ) < }. Como conseqüência temos a seguinte seqüência de aplicações: M H D de Gauss. À composta h i =Π i G com i =, também damos o nome de aplicação

6 Imersões Mínimas e Conformes em M IR Equação de Beltrami Seja M uma superfície spacelike imersa em IR, dada pela aplicação X : M IR,, e Ψ a aplicação de Gauss de M em D como vimos na seção anterior. Nesta seção vamos provar que Ψ satisfaz a equação de Beltrami. Lemma. Se X =(X,X,X ):M IR, é uma superfície spacelike, então (X + ix ) = h X, (-7) X = h (X ix ) (-8) Prova. Note que X, X = z X x ix, X y x + ix = λ y (-9) E, temos ainda que, X, X X = z, X =0 (-0) z Se (e,e,e ) é o referencial local adaptado a M em IR,, então usando os operados complexos = i e = + i, segue que o x y z x y vetor normal e é dado por e = i X X λ z X X, X X z z X X, X X z z X X z e e e A aplicação de Gauss h como vimos anteriormente será dada por h (e )= e + ie e (-) Daí, segue que h = (e ) +(e ). Logo podemos obter que ( e )

7 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 8 ( h )( e )= (-) Substituindo e na equação - e usando as equações -9 e -0, concluímos que h (X ix ) = X. Portanto provamos a segunda igualdade do lema. Agora, observe que X (X + ix ) (X ix ) (X + ix ) = h X X = h + = h X Na última passagem utilizamos a equação -0, e portanto provamos a primeira igualdade do lema. No próximo resultado, vamos calcular as derivadas da aplicação de Gauss h e h. Proposição. As derivadas complexas das aplicações de Gauss h e h são dadas por: h z = H h (X + ix ), (-) z h = φ h (X + ix ). (-4) z h z = H h (X ix ), (-5) z h = φ h (X ix ). (-6) z

8 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 8 Prova. Lembre que h (e )= e + ie. Diferenciando esta equação com respeito e a z, usando o fato que e = H X + φ X e as equações do lema anterior, segue z a primeira igualdade. As outras igualdades se demonstram de forma análoga. Da última proposição, segue diretamente o próximo teorema. Teorema.4 A aplicação de Gauss h de uma superfície spacelike M em IR, satisfaz a equação de Beltrami H h = φh z. (-7) Um fato bem conhecido é que a aplicação de Gauss de uma superfície mínima do espaço Euclideano é uma aplicação holomorfa na esfera de Riemann. Em conexão com isto, temos o seguinte resultado. Proposição.5 Sejam M uma superfície spacelike em IR,. Então em p M H(p) =0 h (p) =0, (-8) z φ(p) =0 h (p) =0. (-9) z Prova. Do lema. segue que (X + ix ) z = λ h. Então da proposição. temos que h z = α H, h = α φ, (-0) onde α = λ h. Como α = 0, isto prova a proposição quando p h (D ). Analogamente prova para o caso p h (D ).

9 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 8..5 Fórmula de Representação de uma superfície spacelike Dada uma superfície spacelike M em IR,, vamos determinar uma fórmula de representação para M em termos da aplicação de Gauss h e da curvatura média H de M. Teorema.6 Seja M uma superfície spacelike imersa em IR, pela aplicação X =(X,X,X ):M IR,. Sejam H e h i com i =, a curvatura média e as aplicações de Gauss de M. Então (i) Em h (D ), temos que H X = +h ( h ) h, H X H X h = i h ( h ), h = h ( h ). (-) (ii) Em Ψ (D ), temos que H X = +h ( h ) h, H X H X h = i h ( h ), h = h ( h ). (-) Prova. Lembre que - h = H h X ix (-) E, usando o lema., segue que X + X = h X ix = h X ix h X + ix

10 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 84 Portanto substituindo a última equação na equação - temos que h h = H h X + ix (-4) Somando - com -4 provamos a primeira igualdade do teorema. E, subtraindo essas equações uma da outra provamos a segunda. Por outro lado, lembre que X = h X ix H X = h H X ix Logo, usando novamente a equação - provamos a última igualdade do item (i) do teorema. Analogamente prova-se o item (ii), utilizando a equação -5. Observação. Se usarmos o mesmo argumento, utilizando a equação - 4 em vez da equação -6 concluímos que em h i (D ), temos as seguintes equações φ X = +h ( h ) h z, φ X φ X h = i h ( h ) z, h = h ( h ) z. (-5) E também as equações correspondentes em h (D ). Consideremos agora uma superfície spacelike M imersa em IR,, dada pela aplicação X =(X,X,X ):M IR, e vamos assumir que φ = 0. Se colocarmos F = φ h h então das equações temos z X, X, X = F ( + h ), if ( h ), Fh, (-6) e como conseqüência, tem-se que

11 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 85 F = X ix. (-7) Lembre que se M é mínima, então cada componente da imersão é harmônica e portanto usando a equação -7 concluímos que F é holomorfa caso M seja mínima. Com isto temos que a equação -6 nos dá uma representação de Weierstrass-Enneper no espaço de Lorentz para uma superfície spacelike mínima. Veja o próximo teorema. Teorema.7 Qualquer superfície spacelike mínima simplesmente conexa M em IR, pode ser representada na forma z X(z) =Re F ( + h ), if ( h ), Fh dz + c, (-8) onde z M e c IR,, a integral ao longo de um caminho partindo do ponto z. Prova. Sendo F uma função holomorfa, então h = X define uma função F meromorfa, uma vez que sabemos que X é harmônica em M. Eportantoa aplicação Fh é holomorfa em M. Com isso podemos integrar a equação -6 e obter a representação para a superfície spacelike...6 Condições de Integrabilidade Nesta seção provaremos que a aplicação de Gauss h de uma superfície spacelike M satisfaz uma equação diferencial não-linear de segunda ordem em h e H. Proposição.8 Seja M uma superfície spacelike em IR,. Então a função curvatura média H de M e a aplicação de Gauss h de M em D satisfaz a seguinte equação diferencial de segunda ordem h H z + h h h h = H h z z (-9) Prova. Seja H = 0, pois se H(p) =0emp h D,então h (p) =0,então z o resultado é obviamente válido.

12 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 86 Lembre que h z = H então pela equação -, segue que h (X + ix ), z h z = H (X + ix ). (-0) ( e ) z Pelas equações - podemos facilmente calcular X + ix z = λ Hh h. (-) que Diferenciando a equação -0 com respeito a z, usando - e -, temos h z = H h H z +( h ) H X + h φx z z + λ H ( h )h. (-) Agora, substituindo as equações - e -5 na equação anterior, segue o resultado. Portanto provamos a proposição para h. Analogamente prova-se para h. Corolário.9 A curvatura média H de uma superfície spacelike M em IR, é constante se, e somente se, a aplicação de Gauss h é uma aplicação harmônica. Prova. Defato,seH é constante, então h satisfaz a equação??, eportantoé uma aplicação harmônica. Lema. Sejam f i,g :Ω C, onde i =,,, funções complexas tais que f i = g i(z). A condição de integrabilidade desse sistema, dada pelo teorema de Frobenius, é: ( g z, g z, g z ) IR.

13 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 87 Proposição.0 A equação -9 é a condição de integrabilidade do sistema X X X = +h j h j h ( h j ) =( )j i H =( )j H h j h j ( h j ) h j h j ( h j ), (-) onde j =, e i é a unidade imaginária. Prova. Para verificar que a equação -9 é a condição de integrabilidade do sistema - basta verificar que P z IR (veja lema.), onde P é o lado direito do sistema -, ou seja, P = f j ( + h j), ( ) j if j ( h j), ( ) j f j h j, onde f j = H( h j ) h j. De fato, diferenciando P em relação a z, segue que P z = H λ Reh j h j, ( ) j Imh j h j, ( )j + h j h j, (-4) onde λ = H( h j ) h j z. Enunciaremos agora um resultado que permite construir superfícies spacelike em IR, com curvatura média constante. Teorema. Sejam M uma superfície Riemanniana simplesmente conexa, H : M IR uma função real não nula diferenciável em M, eh : M D tal que h = 0. Suponha que H e h satisfazem a equação -9. Então existe uma imersão spacelike X : M IR, com as seguintes propriedades: (i) A curvatura média de M é H e a aplicação de Gauss de M é dada por Ψ.

14 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 88 (ii) X =(X,X,X ) é dada explicitamente por z X (z) = Re H z X (z) = Re ( ) j +h j ( h j ) h j dz + c, H i h j h j ( h j ) dz + c, z X (z) = Re ( ) j h j h j H ( h j ) dz + c, onde a integral é ao longo de um caminho arbitrário começando em um ponto fixado até o ponto z, i é a unidade imaginária e j =,. Corolário. Seja X : M IR, uma spacelike como no teorema anterior. Então, temos que: (i) A métrica induzida em M é dada por g = h H( h ) z dz. (-5) (ii) A curvatura Gaussiana K de M é dada por K = H h z h z. (-6) Para finalizarmos o estudo de spacelike no espaço de Lorentz, enunciaremos dois resultados importantes sobre essas superfícies. Proposição. Seja Ω um domínio em C e seja S :Ω IR, uma imersão spacelike. Suponha que S é completa com respeito a métrica induzida. Então, S é um gráfico inteiro e Ω é simplesmente conexo. Proposição.4 Seja S uma superfície spacelike completa em IR,. Suponha que a curvatura média H de S é constante. Então S pode ser representada como um gráfico de função x = f(x,x ) tal que f está definida para todos (x,x ) IR e satisfaz a equação Mais ainda, f é uma função convexa e S tem curvatura Gaussiana nãopositiva. f x i =H. x i Df i

15 Imersões Mínimas e Conformes em M IR Teorema Fundamental da Geometria em IR, Seja X : M IR, uma imersão isométrica com primeira e segunda formas fundamentais dadas por I = i,j g ij du i du j e II = i,j L ij du i du j, onde g ij = X i,x j e L ij = N, Xj X i, {u,u } são as coordenadas locais de M, X i = X u i e é a conexão Riemanniana de IR,. Temos que, Xj X i = Xj X i + L ij N = Γ k ijx k + L ij N, (-7) k= onde Γ k ij são os símbolos de Christoffel de M. Afirmação: A conexão Riemanniana de IR, coincide com a derivada usual de IR. De fato, seja x, x, x uma base para Tp IR,. Dados X, Y dois campos em IR,, temos que X = i= x i e X = x i j= y j. x j Daí, usando as propriedades da conexão, segue que Y X = = = j= y j x j y j j= y j j= x j x j i= x i i= i= x i x x i + x x i + i= i= x i x j x i k= x i Γ k ij x k, e, Γ k ij = m x i (g jm )+ x j (g mi ) (g ij ) g mk =0, x m

16 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 90 pois os g ij s são constantes. Logo, temos que Y X = = y j j= i= = Y = YX x j Y (x i ) x i i= x i x i i= x x i E com isso provamos nossa afirmação. Daí, a equação -7 fica, (X i ) j = Γ k ijx k + L ij N. (-8) k= E, através de alguns cálculos, obtemos que N i = Xi N = s,m L is g sm X m. Portanto, se a imersão X existe, temos que X,X,N satisfazem o seguinte sistema (X i ) j = Γ k ijx k + L ij N k= N i = Xi N = (-9) L is g sm X m s,m Uma questão que surge quando estamos estudando determinado espaço é a sobre a existência de imersões isométricas nesse espaço. Para tanto, provaremos o teorema fundamental da geometria para o espaço de Minkowsky. Para fazer a demonstração de tal teorema, faremos uso do teorema de Frobênius que enunciaremos sem demonstração para não fugirmos do nosso propósito. Teorema.5 (de Frobenius) e sejam Seja U V IR m IR n um aberta, onde U é uma vizinhança de 0 IR m

17 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 9 f i : U V IR n (t, x) f i (t, x), funções C, onde i =,,m.então para cada x V, existe no máximo uma função α : W V definida em uma vizinhança W de 0 IR m, satisfazendo α(0) = x α(t) t j = f j (t, α(t)) t W. Além disso, tal α existe em alguma vizinhança W se, e somente se, existe uma vizinhança de (0,x) U V na qual f j t f n i i t + f j j x f k k i k= n k= f i x k f k j =0 i, j =,, m.. em []. Uma demonstração para o teorema de Frobenius pode ser encontrada Teorema.6 (Fundamental da Geometria para IR, ) Seja M uma variedade diferenciável, simplesmente conexa, orientada e sejam I um forma bilinear simétrica positiva definida e II uma forma bilinear simétrica sobre M, satisfazendo as equações de Gauss e Mainardi-Codazzi. Então existe uma imersão isométrica X : M IR, com primeira forma fundamental dada por I e segunda forma fundamental dada por II. Prova. Se X,X,N existem e satisfazem o sistema -9, então é bem provável que a imersão exista. Suponhamos então que X,X,N são funções vetoriais (a serem encontradas) satisfazendo o sistema -9. Surge então a seguinte pergunta: Quando conseguimos determinar tais funções X,X,N? Tal pergunta é equivalente a: Quando o sistema de Equações Diferenciais Parciais é integrável?

18 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 9 Usando a parte do teorema de Frobenius correspondente à existência, temos que tal sistema é integrável se, e somente se, X i = X i e N ij = N ji, ou seja, se e somente se, I e II satisfazem as equações de Gauss e Mainardi-Codazzi. Ora, mas por hipótese temos que I e II são formas bilineares satisfazendo Gauss e Mainardi-Codazzi, logo X,X,N existem com condições iniciais Xi,X j p = g ij(p), X i,n p =0e N,N p =. Sendo assim, conseguimos encontrar X,X,N satisfazendo o sistema -9. Agora queremos encontrar a imersão X : M IR,, onde: = X i X u i X(u 0,u 0)=p. jk kj (-40) Usando novamente o Teorema de Frobenius, concluímos que o sistema -40 é integrável, pois (X i ) j =(X j ) i. E para verificar essa última igualdade basta trocarmos i com j na equação -9 e usar que Γ k ij =Γ k ji e L ij = L ji. Teorema.7 (Unicidade) Seja X : Ω IR, uma superfície imersa em IR,, onde Ω é um domínio, com primeira forma fundamental dada por I e segunda forma fundamental dada por II. Então X(Ω) é única a menos de movimento rígido. Prova. Suponha que existam X : Ω IR, e X : Ω IR, duas imersões que satisfazem I e II. Seja (u 0,u 0) Ω, por uma isometria de IR, podemos supor que X(u 0,u 0) = X (u 0,u 0). Também podemos supor que X (u u 0,u 0)= X (u i u 0,u 0), pois as superfícies são isométricas. i Seja C(t) =(u (t),u (t)) uma curva passando por (u 0,u 0). A imagem de C satisfaz o seguinte sistema: X = X du dt + X X = Γ X +Γ X du X = Γ X +Γ X du du dt = g(x,x,t) dt + Γ X +Γ X du dt + Γ X +Γ X du dt = g (X,X,t) dt = g (X,X,t), (-4)

19 Imersões Mínimas e Conformes em M IR 9 onde X i = X, para i =,. ui Agora, o resultado segue do teorema de existência e unicidade de EDO.