1 Geometria Hiperbólica

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1 Geometria Hiperbólica Modelos de H n Apresentaremos três classes de modelos para o espaço hiperbólico H n, de acordo com as tansformações correspondentes a isometrias. No modelo do hiperbolóide, as isometrias são transformações de Lorenz, transformações lineares preservando uma forma quadrática. No modelo de Klein, as isometrias são transformações projetivas, levando retas em retas. E finalmente, nos modelos da bola unitária e do semi-espaço superior, as isometrias são as transformações de Möbius, preservando ângulos. Faremos uma exposição das principais características dos modelos acima citados. O estudo das Variedades Riemanianas de dimensão 2, completas, simplesmente conexas e com curvatura constante igual a é de grande importância no desenvolvimento da geometria hiperbólica. Não nos limitaremos aqui, apenas o caso n = 2. Iniciando com um estudo completo de um destes exemplos, construiremos outros, através de difeomorfismos, que lhes serão isométricos. Estaremos sempre preocupados em determinar as geodésicas e a métrica em cada cada um desses exemplos.. O Modelo do Hiperbolóide É preciso, para entendimento deste capítulo, que sejamos familiarizados com noções de geometria Riemaniana encontradas na referência [CA]. Utilizaremos aqui sem qualquer menção explícita. O primeiro modelo de variedade completa com curvatura constante igual a é construído considerando a forma quadrática Q(x) = {x x 2 n x 2 n+} definida no espaço R n. Será essencialmente {x R n ; Q(x) = e x n+ > 0}. Para estudarmos este modelo, torna-se necessário definir métricas pseudo-riemanianas.

2 Grupos de Coxeter hiperbólicos Definição. Uma métrica pseudo-riemaniana em uma variedade diferenciável M de dimensão n é a escolha para cada ponto p M de uma forma simétrica bilinear não degenerada (, ) p ( porém, não necessariamente positiva definida) em T p M que varia diferencialmente com p no seguinte sentido: Se X : U R n M(n = dim M) é um sistema de coordenadas locais em torno de p M com X(X,, X n ) = q X(U) e σ (q) = dx(0,, 0,, 0,, 0) então, g ij (X X n ) = ( (g), (q)) q σx i X i X j é uma função diferenciável em U. É fácil ver que a forma quadrática Q(x) = {x x 2 n x 2 n+} definida para todo x em R n+ introduz uma métrica pseudo-riemaniana (, ) no R n+. Esta métrica é chamada métrica de Lorentz e no caso n = 3 ela aparece naturalmente em relatividade. Veremos que, no que segue, algumas propriedades de espaco R n+ munido desta métrica pseudo-riemaniana. Antes, porém, convém observar que as noções de conexão, isometrias, e suas propriedades podem ser estendidas naturalmente, a métricas pseudo-riemanianas. Definição.2 Sejam (M,<, >) e (N,<, >) variedades pseudo-riemanianas. Um difeomorfismo f : M N é chamada uma isometria se < u, v > p =< dfp(u), dfp(v) > f(p) para todo p M u, v T p M (I) Definição.3 Sejam M e n como na definição anterior, e U M aberto. Um difeomorfismo f : U f(u) N satisfazendo (I) chama-se isometria local. Definição.4 Uma conexão afim em uma variedade pseudo-riemaniana de dimensão n, (M, < >) é compatível com a métrica pseudo-riemaniana se X < Y, Z >=< X Y, Z > + < Y, X Z > onde X, Y, Z são campos de vetores tangentes a M.

3 Grupos de Coxeter hiperbólicos 2 Definição.5 A conexão afim é simétrica quando X Y Y X = [X, Y ], forallx, Y X (M) onde [X, Y ] = XY Y X e X (M) é o conjunto dos campos de vetores tangentes a M. Teorema.6 Dada uma variedade pseudo-riemaniana M, existe uma única conexão afim de em M satisfazendo as condições:. é simétrica 2. é compatível com a métrica pseudo-riemaniana A demonstração deste teorema é análoga a feita para métricas Riemanianas [CA]. Uma propriedade importante da conexão pseudo-riemaniana associada a métrica de Lorentz, definida no espaço R n+, é que o transporte paralelo usual desta conexão coincide com atransporte paralelo usual do R n+. Isto será necessário para determinarmos as isometrias de (R n+,(, )). Proposição.7 O transporte paralelo da conexão pseudo-riemaniana do (R n+, (, )) onde (, ) é a métrica de Lorentz, coincide com o transporte paralelo usual do R n+. Demonstração: Sabemos que para cada p R n+, T p R n+ = R n+. Seja portanto {e,, e n+ } base canônica de R n+ e identifiquemos e i (p)(que é obtido do vetor e i fazendo uma translação da origem 0 do R n+ para o ponto p), com o vetor e i. Dada a forma quadrática Q : R n+ R, a ela está associada a forma bilinear (, ) : R n+ R n+ R (u, v) u v + + u n v n u n+ v n+ onde u = (u,, u n ) e v = (v,, v n ) são elementos do R n+. Segue-se que a métrica de Lorentz é definida em cada p R n+ seguinte modo: (, ) : T p R n+ T p R n+ R do (u, v) p (u, v) Portanto, os coeficientes 0, i j, g ij (p) = (e i, e j ) =, i = j n +,, i = j = n +.

4 Grupos de Coxeter hiperbólicos 3 A conexão pseudo-riemaniana no (R n+, (, )) é dada por < ei e j, e n >= e i (e j, e k ) e k (e i, e j )+e j (e i, e k ) ([e i, e j ], e k )+([e k, e i ], e j ) ([e j, e k ], e i ) = 0 pois, (e j, e k ) = C, C constante j, k e portanto a derivada da direção do vetor e i, e i (e j, e k ) = 0 para todo i = n + Além disso, [e j, e k ] = e j e k e k e j = 0 Temos assim que ei e j = 0, i, j = n + e portanto, se X é um campo de vetores em R n+, X(p) = X(p)e i, p R n+ e ej X = ej i x ie i = i e j(x )e = i x i ej e i = i e j(x i )e i isto é ej X = i e j (x i )e i Seja V um campo de vetores ao longo de uma curva C : I R n+. Escrevendo V na base canônica {e,, e n+ } do R n+ temos que n+ V = v j e j j= onde v j = v j (t) A derivada covariante DV de V ao longo da curva C é dada pela expressão DV = D n+ ( v j e j ) = j= j v j De j + j Dv j e j mas De j = dc e j = dxi e j = dx i e i e j = 0. e i DV logo, = dv j j e j isto é, a derivada coariante coincide com a derivada usual e portanto o tansporte paralelo coincide com o transporte paralelo usual do R n+. Como o transporte paralelo coincide com o transporte paralelo usual do R n+ as geodésicas de (R n+, (, )) são retas usuais. Proposição.8 Qualquer aplicação f : R n+ R n+ que preserva (, ) é linear.

5 Grupos de Coxeter hiperbólicos 4 Demonstração: Suponhamos que f : R n+ R n+ preserva (, ) e seja e,, e n+, base ortonormal do (R n+, (, ))(um vetor v é unitário se v = (v, v) = ou é onde i = ). Afirmamos que {f(e ),, f(e n+ )} é base ortonormal do (R n+, (, )). De fato, como f preserva (, ) temos: ()f(e j ) = 0, j (f(e j ),f(e j ))=( e j,e j )= ou, logo, (f(e j ),f(e j )) 0, o que implica que f(e j ) 0. (2)(f(e i ), f(e j )) = (e i, e j ) = ou, se i = j ou 0, se i j Resta mostrar que f é linear, e para isto, seja a R n+, a = n = a ie i. Escrevendo f(a) na base {f(e ),, f(e n+ )}: f(a) = b i f(e i ) onde b i = (f(a), f(e i )) = (a, e i ) = a i logo f(a) = ai f(e i ), e portanto, f é linear. Seja O (n + ) o grupo das transformações lineares f : R n+ R n+ que preservam (, ). forma Queremos mostrar que as isometrias de (R n+, (, )) são as aplicações da p A(p) + q A O (n + ), q R n+ Para isto, necessitamos do lema que segue, Lema.9 Se uma aplicação f : R n+ R n+ é uma isometria, então p, q R n+ temos que d(f(p), f(q)) = d(p, q) onde d(p, q) = uma reta com C(0) = p e C() = q. 0 C (t), C : R R n+ Demonstração: Se f é uma isometria, f é um difeomorfismo e p, q R n+, d(f(p), f(q)) = (p, q). q. Seja C : R R n+ uma parametrização da reta com C(0)= p e C() = Como f é isometria e as retas são geodésicas de (R n+, (, )) e f C(0) = f(p) e f C() = f(q). Concluimos assim que d(f(p), f(q)) = d f C(t) = df C (t) = C (t) = d(p, q)

6 Grupos de Coxeter hiperbólicos 5 Finalmente, podemos determinar as isometrias de (R n+, (, )). Teorema.0 As isometrias de (R n+, (, )) são da forma. p A(p) + q A O (n + ), q R n+ Demonstração: É claro que todas as aplicações da forma p A(p) + q A O (n + ), q R n+ são isometrias de (R n+, (, )). Para provar que toda isometria de f : R n+ R n+ de (R n+, (, )) é desta forma, consideremos primeiramente o caso em que f(0) = 0. = d(p, q). Sendo f uma isometria, pelo lema anterior, p, q R n+, d(f(p), f(q)) Em paticular, d(f(p),f(0)) = d(p, 0) mas d(f(p), 0) = 0 f(p) = f(p), (C : [0, ] R t tf(p) é uma reta ligando p a 0). Analogamente, d(p, 0) = p, e portanto, f(p) = p, ou seja, f preserva (, ). Assim, f pertence a O (n + ). Se f(0) 0, seja A : R n+ R n+ definida por A(p) = f(p) - f(0), A é uma isometria de R n+ pois da p (v) = df p (v) p, v R n+ Além disso, A(0) = 0, logo A O (n + ) e f(p) = A(p) + q, q = f(0) Estamos prontos a descrever o primeiro exemplo de variedade Riemaniana completa de curvatura seccional constante e igual a. Definição. A esfera de raio imaginário na métrica de Lorentz é S n i = {X R n+ X X 2 n X 2 n+ = } Definimos H n = Hi n = {X Si n X = (X,, X n+ ), X n+ > 0} Proposição.2 H n é uma variedade Riemaniana de dim n cujo espaço tangente em cada ponto p H n é T p H n = {v R n+, (v, p) = 0}

7 Grupos de Coxeter hiperbólicos 6 Figura.: Modelo do Hiperbolóide Demonstração: É fácil ver que Hn é variedade Riemaniana de dim n já que H n = Q ( ) onde Q : U = {X R n+ ; X n+ > 0} R e é o valor regular de Q. X (x, x) De fato, para todo x = (x,, x n+ ) U temos que Q(x) = x 2 + x x 2 n x 2 n+ e, dq(x) = (2x + 2x x n 2x n+ ) não é sobrejetiva se x i = 0, i, isto é, se x = 0, mas 0 Q logo, é o valor regular de Q e isto mostra que Q ( ) é variedade diferencial de dimensão n + = n. Para calcular o espaço tangente a H n em um ponto p H n, seja C : ( ɛ, ɛ) H n uma curva diferenciável com C(0) = p e C (0) = v. Do fato de C(t) H n, t segue-se que (C(t), C(t)) =, t, derivando em relação a t, em particular (C(t), C (t)) = 0 (C(0), C (0)) = 0,

8 Grupos de Coxeter hiperbólicos 7 isto é (p, v) = 0. Mostramos assim que se um vetor v T p H n, então (v, p) = 0. Logo, v T p H n {v R n+ ; (v, p) = 0} = p. Por outro lado, Q p é não degenerada pois, se w p é tal que (v, w) = 0 para todo v p, segue que w (p ) = {p} = espaço gerado por p e portanto w = λp, p R, mas 0 = Q(w) = λ 2 e Q(p) = λ 2, logo, λ = 0 o que implica que w = 0. Como Q p é não degenerada, dim p = n = dim T p H n, e portanto, T p H n = p... Métrica Riemaniana do H n Mostraremos no que segue, que a métrica induzida pela métrica de Lorentz (, ) do R n+ é Riemaniana. Para isto, é conveniente considerar o índice de uma função bilinear B : V V R em um espaço vetorial V que é definido como sendo a maior dimensão de qualquer subespaço W V no qual B é negativa definida. Vê-se facilmente que a função bilinear B : R n+ R n+ R tem índice. (X, Y ) = (X, Y ) = X Y + + X n Y n X n+ Y n+ Proposição.3 Um vetor v 0 é tangente a H n se, e seomente se (v, p) = 0. Demonstração: Suponhamos que 0 v T p H n. Sabemos da proposição anterior que (v, p) = 0. (I) v e p são linearmente independentes, caso contrário, v = λp, λ R, λ 0 e teríamos 0 = (v, p) = (λp, p) = λ o que nos leva a uma contradição.

9 Grupos de Coxeter hiperbólicos 8 (II) (v, v) 0 Seja W = {v, p} o espaço gerado pelos vetores v e p, dim W = 2 já que p e v são linearmente independentes. Suponhamos que (v, v) 0. Para todo w W, w = av + bp com a e b R. Q(a) = a 2 Q(v) + b 2 Q(p) = a 2 Q(v) b 2 < 0 Isto siginifica que a forma bilinear B associada a Q, restrita a w é negativa definida e portanto, a forma bilinear B tem índice maior ou igual a 2, o que nos dá uma contradição. Agora, como v e p são linearmente independentes, segue que (v + p, v + p) 0 e portanto 0 (v + p, v + p) = (v, v) + 2(v, p) + (p, p) = (v, v) Se (v, v) = 0 então (v + p, v + p) < 0 contradição, logo (v, v) > 0. ( ) Suponhamos que v = (v,, v n+ ) é tal que (v,v)> 0. Queremos mostrar que existe p H n tal que v T p H n. Seja p = n v2 i ( n v2 i v2 n+) (v v n+,, v n v n+, n vi 2 ) (p, p) = v2 v 2 n+ + + v 2 nv 2 n+ + ( n v2 i ) 2 n v2 i ( n v2 i v2 n+) = Logo, p H n. Além disso, = n v2 (v 2 n+ n v2 i ) v 2 i ( n v2 i v2 n+) = (v, p) = n v2 i ( n v2 i v2 n+) (v2 v n+ + + v 2 nv n+ v n+ ( n vi 2 ) 2 ) = 0,

10 Grupos de Coxeter hiperbólicos 9 isto é, v T p H n. A proposição que acabamos de demostrar, garante que a pseudo-métrica (, ) do R n+, restrita a H n é positiva definida e portanto é uma métrica para este espaço...2 Curvatura e Geodésica de H n Para provarmos que H n tem curvatura seccional constante e igual a relembramos que, dada uma imersão f : M M, M e M são variedades diferenciáveis, podemos definir para cada ponto p M uma aplicação bilinear: B : T p M T p M T p M (x, y) ( X Y X Y )(p) Onde, são as conexões Riemanianas de M e M respectivamente e, X, Y são extensões a M dos campos de vetores X, Y tangentes a M tais que X(p) = x e Y (p) = y. B é chamada segunda forma fundamental de M e, para cada vetor unitário n (T p M) associamos a B uma aplicação linear auto-adjunta. S n : T p M T p M determinada por S n (x), Y = B(x, y), n Mostra-se que S n (x) = ( X N) T, onde X e N são campos de vetores tangentes a M com X(p) = x e N(p) = n. Proposição.4 Sp(x) = I onde I é aplicação identidade do R n+. p (T p H n ) pois T p H n = {v, (v, p) = 0}, logo, tem sentido falarmos na aplicação linear Sp. Observe que a aplicação linear N : R n+ R n+ x x é uma extensão de p a um campo de vetores em R n+.

11 Grupos de Coxeter hiperbólicos 20 N sendo linear é diferenciável e, para todo v R n+ dn p (v) = N(v) = v. Como a derivada covariante do (R n+, (, )) coincide com a derivada usual X N(p) = X(N)(p) = dnp(x) = N(x) = x. Logo, ( X N)(p) = x T p H n O que implica que, e portanto, ( X N) T (p) = x Sp(x) = x x T p H n O que mostra que Sp = I. Uma consequência imediata dessa proposição é o colorário que enunciaremos a seguir e cujo resultado será usado no cálculo da curvatura de H n. Corolário.5 B(x, y) = p(x, y), x, y T p H n Demostração: B(x, y)(p) = ( x Y )(p) X Y (p), X, Y são campos de vetores tangentes a H n, com X(p) = x e Y (p) = y. Segue da definição de B que B(x, y) (T p H n ) R n+ = T p H n (T p H n ) e dim(t p H n ) = n logo dim(t p H n ) =. Como 0 p (T p H n ), B(x, y) = λp, λ R. λ = (B(x, y), p) = (S p (x), y) = ( x, y) = (x, y) Logo, λ = (x, y) e B(x, y) = p(x, y). Proposição.6 H n é uma variedade Riemaniana de dimensão n com curvatura seccional constante e igual a. Demonstração: Observemos que a curvatura do (R n+, (,, )) é K = 0 por que os coeficientes R ijkl = (R(e i, e j ), e k, e l ) = 0,

12 Grupos de Coxeter hiperbólicos 2 e, j, k, l = n +, onde {e,, e n+ } é base canônica do R n+ e, R(e i, e j )e k = ej ei e k ei ej e k + (ei,e j )e k que é identicamente zero para todo i, j, k já que ei e k = 0, (e i, e k ) = 0 i, k R ijkl = 0, i j l k implica que K = 0. Pelo Teorema de Gauss [CA], denotando por K a curvatura seccional de H n temos, para quaisquer vetores ortonormais x, y T p H n K(x, y) K(x, y) = (B(x, x), B(x, x)) B(x, y) 2 isto é, Pelo corolário anterior, K(x, y) = (B(x, x), B(x, x)) B(x, y) 2 B(x, x) = p(x, x) = p B(y, y) = p(y, y) = p B(x, y) = p(x, y) = 0 Logo, K(x, y) = (p, p) =. Para provarmos que H n é um exemplo de variedade Riemaniana completa com curvatura seccional constante igual a resta-nos mostrar que ela é completa. Para isto é suficiente verificarmos que ela é uma variedade homogênea. Definição.7 Uma variedade Riemaniana M é homogênea se dados p, q M existe uma isometria f : M M com f(p) = q. Teorema.8 Toda variedade homogênea é completa. Demonstração: Ver em [CA]

13 Grupos de Coxeter hiperbólicos 22 Vamos verificar a existência desta isometria. Proposição.9 As restrições dos elementos de O (n + ), o subgrupo das transformações lineares de R n+ que preservam (, ) a H n são isometrias de H n e, dados x, y H n e bases {v i } n i=, {w i } n i= de T x H n e T y H n respectivamente, a transformação linear que leva x y é uma isometria de H n. v i w i Demonstração: Seja f O (n + ). Sabemos que f é uma isometria de R n+. Para provarmos que f é uma isometria de H n basta mostrarmos que f(h n ) = H n. Se q f(h n ) então existe p H n tal que f(p) = q. Como f é isometria de R n+ (q, q) = (f(q), f(q)) = (p, p) = Logo, q H n e mostramos que f(h n ) H n (I) Se p H n seja q = f(p) (q, q) = (f(q), f(q)) = (p, p) = Logo, p f(h n ) H n f(h n ) (II) (I) e (II) f(h n ) = H n e portanto f é isometria de H n. Seja x, y H n e {v,, v n } e {w,, w n } bases ortonormais de T x H n e T y H n respectivamente. Como (x, v i ) = (y, w i ) = 0, i e (x, x) = (y, y) = assim, {x, v,, v n } e {y, w,, w n } são bases ortonormais de (R n, (, )). Logo, f : R n+ R n+ x y

14 Grupos de Coxeter hiperbólicos 23 v i w i i =,, n. é um elemento de O (n + ) e portanto f H n é uma isometria de H n com f(x) = y. Com a proposição que acabamos de demonstrar concluimos que H n é homogênea e portanto completa. Finalizando o estudo deste modelo, mostraremos que as geodésicas de H n são as interseções desta variedade com planos que passam pela origem do R n+. Proposição.20 As simetrias de H n em relação a planos P que passam pela origem do R n+ são isometrias de H n. Seja P um plano que passa pela origem de R n+. Sejam v i, v 2 base ortonormal de P e completemos esta base a uma base ortonormal {v, v 2,, v n+ } do R n+. Uma simetria de R n+ em relação ao plano P é aplicação linear f : R n+ R n+ u i u i i =, 2 u j u j j = 3,, n + Afirmamos que f O (n + ) porque. i,j =, 2 (f(u i ), f(u j )) = (u i, u j ) 2. i =, 2 j, 2 (f(u i ), f(u j )) = (u i, u j ) = (u i, u j ) = 0 = (u i, u j ) i j 3. i,j, 2 (f(u i ), f(u j )) = ( u i, u j ) = (u i, u j ) Isto é, f preserva o produto interno e portanto é um elemento de O (n + ). f sendo um elemento de O (n + ), f H n é uma isometria de H n pela proposição anterior. Proposição.2 Seja M uma variedade Riemaniana e Y : I M uma curva diferenciável. Se existe isometria f : M M tal que. f σ(i) = id 2. f(p) p, p M, p γ(i)

15 Grupos de Coxeter hiperbólicos 24 Então γ é uma geodésica de M. Demonstração: Seja p γ e B σ (p) tal que a aplicação exponencial exp p : B σ (0) B σ (p) é um difeomorfismo. Sabemos que se q B σ (p) existe uma geodésica minimizante γ ligando p a q. Suponhamos que γ γ. Sendo f uma isometria de M temos que f( γ) é uma geodésica minimizante ligando f(p) a f(q). Mas f(p) = p e f(q) = q e pela unicidade de uma tal geodésica, f( γ) = γ e implica que f γ = id nos leva a uma contradição. Logo, γ é geodésica. Observamos que as interseções de H n com um plano que passa pela origem do R n+ é uma curva e os pontos desta curva são os únicos que permanecem invariantes por uma simetria de H n em relação ao plano considerado. Segue daí que estas curvas são geodésicas de H n. Como dado qualquer ponto p H n e qualquer vetor p passando pela origem do R n+ e que contém v, estas são as únicas geodésicas de H n. Através de um cálculo simples, podemos achar uma parametrização destas geodésicas..2 Modelo Projetivo de Klein O exemplo que apresentaremos a seguir é conhecido, na geometria hiperbólica, como o modelo de Klein e ele tem a vantagem de que suas geodésicas são segmentos de retas euclidianas. Passaremos agora a construir tal exemplo. Para isso, consideremos R n+ = {(x,, x n+ ) R n+ e definimos φ : H n R n p φ(p) onde φ(p) é a interseção de R n com a reta que passa por p e 0 R n+. Proposição.22 φ : H n R n é um difeomorfismo de H n sobre B n () = {(x,, x n+ ) R n tal que n i= x2 i < } Demonstração: Se p = (p,, p n+ ) é um ponto de H n, a reta que passa por p e 0 R n+ é dada por:

16 Grupos de Coxeter hiperbo licos 25 Figura.2: Modelo projetivo de Klein rp = {x = λp ; xn+ = λpn+ e portanto φ(p) = rp Rn } e dada pela equac a o: xn+ = PUC-Rio - Certificação Digital Nº /CA Concluimos que λ= φ(p) = ( pn+ e, p pn,,, ) pn+ pn+ ou seja, φ : H n Rn p pn (p,, pn+ ) (,,, ) pn+ pn+ E claro que e diferencia vel e se (p,, pn+ ) Hn, φ(p) = pn p,,, ) e tal que ( pn+ pn+ n X n 2 Pi2 X 2 Pn+ = p = < i P + P + P + n n n P P n ja que, p Hn enta o p2i p2n+ = ou seja, n p2i = p2n+. Concluimos assim que φ(hn ) B n () Seja agora, x = (x,, xn, ) B n (). Queremos encontrar p = (p,, pn+ ) Hn tal que φ(p) = x Suponhamos que existe tal p, isto e, φ(p) = p pn+ Temos assim o sistema,, pn, ) = (x,, xn, ) pn+

17 Grupos de Coxeter hiperbólicos 26 x = p p n+ (I) x n = p n p n+ Elevando ao quadrado cada equação do sistema e somando temos, (II) x x 2 n = p2 + + p 2 n p 2 n + p = (p,, p n ) H n e x = (x,, x n, ) B n () implicam que n p 2 i = p 2 n+ e i= n x 2 i < i= respectivamente. Substituindo em (II) temos O que implica que n i= x 2 i = p2 n+ p 2 n+ ( n x 2 i )p 2 n+ = i= ou seja p n+ = n i= x2 i Substituindo o valor de p n+ em (I) segue-se que e portanto, x p i = x i (p n+ ) = p = ( n,, i= x2 i é um ponto de H n tal que φ(p) = x. x i n i= x2 i x n n, i= x2 i Mostramos assim que φ : H n B n () é sobre. n ) i= x2 i Para provarmos que φ : H n B n () é um difeomorfismo basta verificarmos que é injetiva e que φ : B n () H n é diferenciável. () φ é

18 Grupos de Coxeter hiperbólicos 27 Sejam x = (x,, x n+ ), y = (y,, y n+ ) elementos de H n tais que φ(x) = φ(y) isto é ( x x n+,, Concluimos daí que x i x n+ = Do fato de x, y H n segue-se n x 2 i = x 2 n+ i= ) ( x n y, =,, x n+ y n+ ) y n, y n+ y i y n+, foralli =,, n. (I) e n yi 2 = yn+ 2 elevando ao quadrado (I) e somando em relação a i temos i= isto é, x 2 n+ n i= x 2 i = y 2 n+ n i= y 2 i ( x 2 n+)y 2 n+ = x 2 n+( y 2 n+) y 2 n+ x 2 n+y 2 n+ = x 2 n+ x 2 n+y 2 n+ x 2 n+ = y 2 n+ Como x n+ > 0 e y n+ > 0 segue que Substituindo em (I) temos que x n+ = y n+ Logo, φ é injetiva. É imediato que x i = y i, i φ : B n () H n x (x,, x n, ) (( n,, i= x2 i x n n, i= x2 i n ) i= x2 i é diferenciável e com isso terminamos a demonstração de que φ : H n B n () é difeomorfismo.

19 Grupos de Coxeter hiperbólicos Métrica e Geodésica em B n () Sendo φ um difeomorfismo, a métrica em H n induz uma métrica em <, > em B n () de modo que φ : H n B n () seja isometria. (H n, (, )) e (B n (), <, >) sendo isométricas segue, do fato de H n ser uma variedade Riemaniana completa com curvatura seccional constante e igual a que B n (), <, > também o é. Mostraremos agora que as geodésicas de (B n (), <, >) são interseções de retas euclidianas com B n (). Proposição.23 As geodésicas de (B n (), <, >) são as cordas de S n = δb n () menos os extremos. Figura.3: Geodésicas em B n () Demonstração: Sabemos que as geodésicas de H n são H n P onde P é um plano que passa pela origem do R n+. φ : H n B n () sendo uma isometria, as geodésicas de B n () são φ(γ) onde γ é uma geodésica de H n. Logo, as geodésicas de B n () são φ(h n P ) onde P é um plano que passa pela origem do R n+. Queremos mostrar que γ = φ(h n ) P. Se p γ, a reta que passa por p e a origem do R n+ está contida em P. De fato, p γ = φ(h n P ) implica que φ (p) H n P logo, a reta que passa por φ e a origem de R n+ está contida em P. Mas por definição da φ, φ e p = φ(φ (p)) estão sobre a mesma reta. Usando este fato, temos que φ(p) P e portanto, φ(p) φ(h n ) P.

20 Grupos de Coxeter hiperbólicos 29 Isto é, φ(h n P ) φ(h n ) P (I) Por outro lado, se p φ(h n ) P existe x H n tal que φ(x) = p. Queremos mostrar que x P, x está na reta determinada pelos pontos 0 e p que estão no plano P logo, x P o que significa que x H n P e portanto φ(x) φ(h n P ) = φ(γ) Comluimos assim que φ(h n ) P φ(γ), e então φ(γ) = φ(h n ) P. Provamos que as geodésicas de B n () são B n () P, onde P é um plano passando pela origem do R n+, isto é, que as geodésicas de B n () são as cordas de S n () = δb n () menos os extremos..3 Modelo da Bola Unitária (B n (2))e o Modelo do Semi-Espaço Superior (H n +) O Modelo que descreveremos agora é obtido através de uma projeção estereográfica, e conhecido na geometria hiperbólica como modelo de Poincaré. Neste modelo, as retas não são retas euclidianas, mas ele tem a vantagem sobre o modelo de Klein pois seus ângulos são medidos de modo euclidiano. Chamemos de S n = {(x,, x n+ ) R n+ ; n x 2 i + (x n+ ) 2 =, x n+ < } o hemisfério sul da esfera de raio e centro no ponto (0,, 0, ) R n+ e B n (2) = {(x x n ) Rn; x 2 i < 4} a bola de centro na origem e raio 2. Figura.4: Modelo do Poincaré Para cada p S n consideremos a reta r p determinada por p e pelo polo norte N = (0,, 0, 2) de S n

21 Grupos de Coxeter hiperbólicos 30 Definimos σ : S n B n (2) p σ(p) onde σ(p) é o ponto de interseção da reta r p com R n. Proposição.24 σ : S n B n (2) é um difeomorfismo. Demonstração: () σ(s n ) = B n (2) Seja p S n, p = (p p n+ ), p n+ < 0 e n p2 i + (p n+ ) 2 = A reta determinada por p e N é dada por x = λp x n = λp n x n+ = 2 + λ(p n+ 2) Pela definição de σ, Fazendo x n+ = 0, temos λ = e, neste caso σ(p) = r p R n 2 2 p n+ 2p 2p n σ(p) = (,, ). 2 p n+ 2 p n+ Queremos mostrar que σ(p) B n (2). Elevando ao quadrado cada coordenada de σ(p) e somando chegamos a 4 n i p2 i (2 p n+ ) = 4( (p n+ ) 2 ) = 4( p2 n+ + 2p n+ ) = 2 (2 p n+ ) 2 (2 p n+ ) 2 4p n+ (2 p n+ ) Do fato de p S n temos, o que implica que 0 < p n+ < logo, 2 p n+ >

22 Grupos de Coxeter hiperbólicos 3 0 < 4p n+ 2 p n+ e portanto, σ(p) B n (2) ou seja, σ(s n ) B n (2). Por outro lado, se x = (x,, x n ) é um elemento de B n (2), suponhamos que existe p = (p,, p n+ ) S n tal que σ(p) = x. Logo, 2p 2p n σ(p) = (,, ) = (x,, x n ) 2 p n+ 2 p n+ 2p 2 p n+ = x 2p n 2 p n+ = x n Elevando ao quadrado e somando temos, 4 n p2 i (2 p n+ ) = n 2 x2 i (II) mas (p,, p n+ ) S n implica que n+ p 2 i = e portanto Substituindo em (II) obtemos, p 2 n+ = n p 2 i ou seja, 4p n+ n (2 p n+ ) = p 2 2 i p n+ = 2 n x2 i 4 + n x2 i Substituindo o valo de p n+ em (I) para cada i =,, n. p i = x i(2 p n+ ) = x i 2 2 (2 2 n x2 i 4 + n x2 i ) = 4x i 4 + x i n = x2 i + n 4 x2 i Mostramos assim que para cada x = (x,, x n ) B n (2) existe x x x 2 n p = ( +,, n 4 x2 i +, 2 i n 4 x2 i + ) S n n 4 x2 i e tal que σ(p) = x. Concluimos portanto que B n (2) σ(s n ) e deste fato segue que B n (2) = σ(s n )

23 Grupos de Coxeter hiperbólicos 32 (2) σ é ( ) σ(p) = σ(q) 2p 2 p n+ = 2q 2 q n+ ou seja, 2p n 2 p n+ = 2q n 2 q n+ i =,, n, p i 2 p n+ = q i 2 q n+ Elevando ao quadrado e somando: q i (2 q n+ ) 2 n q2 i. (2 p n+ ) 2 n p2 i = Isto é, p n+(2 p n+ ) = q n+(2 q n+ ) p n+ = q n+ (2 p n+ ) 2 (2 q n+ ) 2 2 p n+ 2 q n+ ) e, portanto, p n+ = q n+ e p i = q i, i. Mostramos assim, que σ e biunívoca e a diferenciabilidade de σ e σ : B n (2) S n x (x,, x n ) ( +,, x 2 4 i + ) x 2 4 i é imediata. Logo, σ é difeomorfismo. x n.3. Métrica e Geodésicas de B n (2) Definição.25 Para cada p B n (2), u, v R n = T p B n (2) definimos < u, v > p =< dσ p onde <, > é a métrica da semi-esfera S n. (u), dσp (v) > σ (p) Já sabemos que, sendo σ um difeomorfismo, <, > define de fato uma métrica Riemaniana em B n (2) em que σ : (S n, <, > ) (B n (2), <, >) é uma isometria. Além disso (B n (2), <, >) é uma variedade Riemaniana completa com curvatura seccional constante igual a.

24 Grupos de Coxeter hiperbólicos 33 Definição.26 Duas métricas <, > e <<>> em uma variedade diferenciável M são conformes se existe uma função diferenciável f : M R positiva, tal que para todo p M e todo u, v T p M se tenha < u, v > p = f(p) << u, v >> p Observamos que a métrica de B n (2) é conforme a métrica usual do R n. Um outro fato importante é que as isometrias de B n (2) são as aplicações conformes de B n (2) sobre si mesma. Este fato sérá provada na próxima seção. Para o caso n 3 não faremos aqui porque não nos será necessário neste trabalho. Para quem estiver interessado ele poderá ser encontrado na referência [SP]. Finalizando o nosso estudo deste exemplo, provaremos o seguinte teorema: Teorema.27 As geodésicas de (B n (2), <, >) são os semi-círculos e segmentos de reta perpendiculares a γ = δb n (2) Figura.5: Geodésicas Demonstração: Sabemos que a projeção estereográfica leva retas em círculos. σ : S n B n (2) sendo uma isometria, as geodésicas de B n (2) são as imagens das geodésicas de S n por σ. Como as geodésicas de S n são semi-círculos perpendiculares a δb n () = {(x,, x n, ) R n+ ; x 2 i = } Concluimos que as geodésicas de B n (2) são semi-círculos e segmentos de reta perpendiculares a σ(δb n ()) onde σ é uma extensão de σ a S n δb n (), extensão esta que pode ser feita naturalmente.

25 Grupos de Coxeter hiperbólicos 34 Afirmamos que σ(δb n ()) = γ. De fato, se x = (x,, x n, ) δb n (), n x2 i = e σ(x) = (2x,, 2x n ) é tal que 4x 2 i = 4 x 2 i = 4 Vemos assim que se x δb n () então σ(x) γ Reciprocamente, se x = (x,, x n, ) γ n+ x 2 i = 4 e σ (x) = ( x 2,, x n 2, ) é um elemento de δb n () e portanto, σ(δb n ()) Portanto as geodésicas de B n (2) são segmentos de retas passando pela origem de R n, (por serem os únicos segmentos que intersectam γ ortogonalmente) ou semi-círculos perpendiculares a γ. É fácil ver que qualquer segmento de reta ou semi-círculos nas condições acima é uma geodésica de B n (2). Basta considerarmos sua imagem por σ que é uma geodésica de S n e depois a imagem desta geodésica por σ. Veremos que é possível munirmos o semi-espaço superior H n = {(x,, x n ) R n ; x n > 0} de uma métrica Riemaniana, conforme a métrica usual do R n e tal que com esta métrica, H n é uma variedade completa com curvatura constante e igual a e suas isometrias são as aplicações conformes do espaço R n. E lembremos que a métrica do exemplo que acabamos de estudar é conforme a métrica usual do R n. Nada é mais natural tentarmos introduzir em H n uma métrica, induzida pela métrica de B n (2), através de uma aplicação conforme do R n. Para isso, consideremos o ponto N = (0,, 0, 2) R n e a inversão I : R n \ {N} R n \ {0} x x N x n 2 Sabemos que I é uma aplcação conforme e resta-nos provar que I é um difeomorfismo. Proposição.28 I : R n \ {N} R n \ {0} é um difeomorfismo.

26 Grupos de Coxeter hiperbólicos 35 Demonstração: É claro que I é diferencial e para mostrarmos a proposição basta provarmos que I tem uma inversa I : R n \ {0} R n \ {N} que também é diferenciável. Afirmamos que a aplicação diferenciável é a inversa que desejamos. I : R n \ {0} R n \ {N} x x x 2 + N De fato, para todo x = (x,, x n ) R n \ {0}. x N ( ) x N I (I(x)) = I x n + N = 2 x n 2 x N 2 = x N + N = x. x n 2 Logo, I I= id R n Reciprocamente, se x = (x,, x n ) R n \ {N}. x ( ) x I(I ) = I x + N x + N N = 2 2 x x + N N = x 2 Ou seja, I I = id R n Proposição.29 I(B n (2)) = {(x,, x n ) R n ; x n > 4 }, onde B n (2) = {(x,, x n ) R n ; x 2 i < 4}. Demonstração: Se x B n (2) então x 2 i < 4, x = (x,, x n ) ( x I(x) =,, x 2 i + 4x n+4 x n x 2 i + 4x n+4, ) x n+2 x 2 i + 4x n+4 Como x B n (2) o que implica que 2 < x n < 2 0 < x n + 2 < 4 e, 0 < x 2 i + 4x n + 4 x 2 n + 4x n + 4 = (x n + 2) 2

27 Grupos de Coxeter hiperbólicos 36 Logo, proposição. x n + 2 x 2 i + 4x n + 4 x n + 2 (x n + 2) 2 = x n + 2 > 4 Pelo visto nas proposições anteriores a aplicação conforme o que demonstra a f : B n (2) H n x I(x) 4 e n onde e n = (0,, 0, ) R n é um difeomorfismo e sua inversa é f : H n B n (2) x I (x + 4 e n) f sendo um difeomorfismo, a métrica de B n (2) induz uma métrica em H n de modo que f seja uma isometria e portanto H n com essa métrica é o exemplo que queríamos encontrar..3.2 Métrica e Geodésica do Semi-espaço superior Um outro fato importante já mencionado, é que as isometrias de H n são aplicações conformes de H n sobre si mesmo. Observamos que a isometria entre H n e B n (2) é uma aplicação conforme e portanto este resultado sendo verdadeiro para uma variedade é verdadeiro para outra. Aqui demonstraremos apenas o caso n = 2 que é tratado de modo diferente dos outros casos (n 3) por ser o único caso que utilizaremos neste trabalho. A demonstração para o caso n 3 pode ser enconrado em [SP]. Proposição.30 Pondo (x, y) = z = x+iy, i = a transformação linear z az + b cz + d, a, b, c, d R, ad bc = é uma isometria de H2. Demostração: Seja T : H 2 H 2 z = (x, y) az + b cz + d. () Se z H 2 então T (z) H 2 z= (x, y) H 2 implica que y> 0 T (z) = az + b cz + d (ax + b) + iay = (cx + d) + icy = [(ax + b)(cx + d) + acy2 ] + (ad bc)yi (cx + d) 2 + c 2 y 2 Logo, T (z) = z = x + iy onde

28 Grupos de Coxeter hiperbólicos 37 y = o que prova que T (z) H 2. E, portanto, z H 2 2. (2) T é difeomorfismo y (cx + d) 2 + c 2 y 2 > 0 Sabemos que T é diferenciável pois á a restrição a H 2 diferenciável da aplicação f : C \ {( d c, 0)} C e que tem uma inversa z az + b cz + d T : H 2 H 2 z dz b cz + a De fato, T (T (z)) = T = ( ) dz b = cz + a ( ) dz b a cz + a ( ) dz b c cz + a adz ab bcz + ab cdz cb cdz + ad = z + b + d az + b T (T (z)) = T = ( az + b d( cz + d ) = cz + d ) b c( az + b = z cz + d ) + a Logo, T (T (z)) = T (T (z)) = z z H 2 e portanto T é inversa de T. Para mostrarmos que T é uma isometria resta-nos provar que ela preserva a a forma fundamental de H 2. dada por Para todo z H 2, z = (x, y), y > 0 a primeira forma fundamental ds 2 é ds s = g dx 2 + 2g 2 dxdy + g 22 dy 2

29 Grupos de Coxeter hiperbólicos 38 onde g ij =< e i, e j > z, {e, e 2 } base canônica de R 2 = T z H 2. Escrevendo como z = x + iy temos que z = x iy e z z = 2iy dz = dx + idy dz = dx idy Logo, dzdz = dx 2 + dy 2 = y 2 ds 2 e por outro, (z z) 2 = 4y 2 e portanto, ds 2 = 4dzdz (z z) 2 Seja z = T (z) = az + b az + b, z = cz + d cz + d logo, T x = dt z dz x z z = az + b cz + d a z + b c z + d = (d s) 2 = 4d zd z ( z z) = = a(cz + d) c(az + b) (cz + d) 2 = T y = dt z dz y = (cz + d) 2 d z = d z = dz (cz + d) 2 d z (c z + d) 2 z z (cz + d)(c z + d) 4dzd z (cz + d) 2 (c z + d) 2 (z z) 2 (cz + d) 2 (c z + d) 2 (cz + d) 2 = 4dzd z (z z) 2 = ds2 Assim, T preserva a a forma fundamental. Sabemos que toda aplicação conforme do espaço H 2 é uma isometria deste espaço e portanto as isometrias de H 2 são as aplicações conformes deste espaço nele mesmo. Provaremos que as geodésicas de H n são semi-retas e semicírculos perpendiculares ao hiperplano R n = {(x,, x n ) R n ; x n = 0}. Para provarmos isto usaremos o seguinte resultado da geometria Riemaniana e cuja demonstração pode ser encontrada em [CA].

30 Grupos de Coxeter hiperbólicos 39 Lema.3 Seja M uma variedade Riemaniana e sejam (x,, x n ) coordenadas locais em M. Seja x k = x k (t) onde t é um parâmetro arbitrário, uma curva dada em M pelas equações: x k + ij Γ k ijx ix j = αx k, (x i = dx i ) onde α = α(t, x,, x n ) e, Γ k ij, i, j, k =,, n são os símbolos de Christoffill a variedade M. Então x k (t) é uma geodésica. Proposição.32 Seja R o hiperplano x n = 0 e P um plano perpendicular a R. Então existe uma isometria f : H 2 H 2 tal que f(p ) = x x n. Demonstração: R sendo o hiperplano x n = 0 segue que e n = (0, 0,, ) é normal a R. P é um plano perpendicular a R, logo e n é paralelo a P. Seja v P tal que {e n, v} é base ortonormal de P, v é perpendicular a e n portanto, v R. Sejam w,, w n vetores de R tal {v, w,, w n, e n } é base ortonormal de R n f : R n R n e i v e i w i e n e n é uma isometria de R n portanto uma aplicação conforme. Sabemos que as isometrias de H n são as aplicações conformes de H n sobre si mesmos. Para mostrarmos que f é uma isometria de H n basta portanto obsevarmos que f(h n ) = H n, pois f deixa invariante a n-ésima coordenada de cada ponto do R n. Se x = (x,, x n ) R n, f(x) = x v + n i=2 x iw i + x n e n. v, w i R, i v = (v,, v n, 0), w i = (w i,, w n i, 0) Logo, a n-ésima coordenada de f(x) é x n. Teorema.33 As retas perpendiculares ao hiperplano x n = 0 e os círculos de H n cujos planos que os contém são perpendiculares ao hiperplano x n = 0 e cujos centros estão neste hiperplano são geodésicas de H n. Pela proposição anterios, basta considerarmos retas e círculos no plano x x n. Dividiremos a demonstração em dois casos:

31 Grupos de Coxeter hiperbólicos 40 o caso: Seja r uma reta no plano x x n perpendicula ao hiperplano x n = 0. Como r é perpendicular ao hiperplano x n = 0 seu vetor direção é v r = e n = (0, 0,, ) Seja x 0 ponto onde r intersecta o hiperplano x n = 0, x 0 = (x,, x n, 0). Uma parametrização de r pode ser dada por A aplicação t x 0 + te n, t > 0. f : R n R n p x 0 + p é uma isometria de R n que deixa a última coordenada invariante, logo, é uma isometria de H n. Seja γ uma parametrização do eixo x n definada abaixo: Temos então γ : (0, + ) H n t (0,, 0, t) e portanto, dγ = (0,, 0, ) dγ = t Para provarmos que γ é uma geodésica de H n basta mostrarmos que para toda curva diferenciável c : [a, b] H n, a > 0 com c(a) = γ(a), c(b) = γ(b) temos que o comprimento b a l(γ) b a l(c) b a Seja portanto, c(t) = (x (t),, x n (t)) uma parametrização de C. l(c) = b dc a = b ( dx a )2 + + ( dx n )2 b x dx n a n dx n dx n = b a x n t = l(γ) 2 o caso: Seja c um semicírculo de centro no hiperplano x n = 0, contido no plano x x n. A equação de um tal círculo é dada por

32 Grupos de Coxeter hiperbólicos 4 onde c R r R. H n são x 2 n + (x c) 2 = r 2 x 2 = = x n = 0 Fazendo x = t temos x n (t) = r 2 (t c) 2 dx n = 2 r 2 (t c) 2(t c) = (t c) c) = (t 2 r2 (t c) 2 x n d 2 x n 2 = x n + (t c) dx n x 2 n = x n (t c)2 x 3 n Um cálculo simples mostra que os símbolos de Christofell da variedade Γ k ij = 0, i, j, k distintos Γ i ij = f j, Γ j ii = f j f i = f e f(x,, x n ) = lnx n x i Queremos mostrar que Γ j ij = f i, Γ j ii = f i, onde d 2 x n 2 = ij Γ n dx i dx j ij + αdx n onde, Se i, n, α = α(t, x,, x n ) dx i = 0, dx = 0 e se i, j, k distintos Γk ij = 0 Logo, basta provarmos que d 2 x n = {Γ n dx dx 2 + dx dx n Γn n + dx dx n Γn n + Γn nn( dx n )2 } + α dx n Γ n = f n = x x n lnx n = x n Γ n n = f = 0 Γ n n = f = x x n lnx n = 0 Γ n nn = f n = x n. dx i dx j ij Γn ij = ( t c ) 2 x n x n x n dx i dx j ij Γn ij = (t c)2 2(t c)2 + x n x 3 n x 3 n

33 Grupos de Coxeter hiperbólicos 42 = d2 x n onde α = x 2 n 2 2(t c) 2(t c) x 2 n dx n = d2 x n 2 αdx n. Logo, d2 x n x 2 n = ij Γm ij dx i dx j + αdx n. Sabemos que se k, n dx n d 2 x k = d2 x = Logo, = 0 dx = e portanto, dx i ij Γk ij Γ k ( dx )2 + Γ k n dx j dx = Γ k dx i ij dx n + Γk n dx dx j dx n + Γk nn( dx n )2 = dx i dx i Γk ij + dx dx n i Γn in = Se K, n dx i dx j ij Γk ij = f k + f k ( dx n )2 = 0 pois f k = x k lnx n = 0 e d2 x k 2 = dx i dx j ij Γk ij + αdx k Se k = dx i dx j ij Γ ij = Γ ij + Γ dx n n + dx n Γ n + Γ nn( dx n )2 dx n = f f n f dx n n + f ( dx n )2 f = x lnx n = 0 f n = x n lnx n = x n logo, dx dx j ij Γ ij dx dx j ij Γ ij + αdx isto é, k = n = 2(t c) x n e portanto c) 2(t c) = 2(t + = 0 = d2 x x n x n 2. d 2 x k 2 = ij Γ k dx i dx j ij + αdx k

34 Grupos de Coxeter hiperbólicos 43 Pelo lema, segue que γ(t) = (t, 0,, 0, r 2 (t c) 2 ) é uma geodésica de H n Observemos que para cada ponto p H n, v R n existe em plano perpendicular ao hiperplano x n = 0 tal que p P e v é paralelo ao plano P. Além disso, em P é sempre possível traçar uma reta perpendicular a este hiperplano passando por p com direção v ou um semicírculo perpendicular a este hiperplano, com centro nele, passando por p cuja tangente em p é dado pelo vetor v. Pela unicidade das geodésicas passando por um ponto dado e com velocidade neste ponto, concluímos que as geodésicas de H n são exatamente dadas pelo teorema que acabamos de ver.