SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO

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1 SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (1) Superfícies regradas. Seja I um intervalo aberto da reta. Uma superfície imersa regrada S em R 3 é a imagem de uma imersão X : I R R 3 da forma X(u, v) = α(u) + vw(u), u I, v R Sendo α, w : I R 3, de classe C (suaves) e w(u) 0, u I. Admite-se que a imersão tenha pontos singulares; ou seja, admite-se pontos onde X u X v = 0. Os pontos onde X u X v 0, são chamados de pontos regulares da imersão X. A curva α se chama curva geratriz, a curva w se chama de curva diretriz. As retas geratrizes da superfície regrada S são as retas v α(u) + vw(u). (a) Seja S uma superfície regrada regular. Deduza que as retas geratrizes são curvas assimptóticas. OBS: Vamos ver, no estudo da Geometria extrínseca, que o teorema de curvatura de Gauss implica que a curvatura de Gauss K de uma superfície regrada S satisfaz K 0. De fato, o teorema de curvatura de Gauss, diz que K ext = eg f 2 EG F 2 = K (1) onde e, f, g, são as quantidades geométricas dadas em sala de aula. Um cálculo fácil, que você pode verificar, mostra que para as superfícies regradas g = 0. (b) Deduza que o hiperbolóide elíptico de uma folha x 2 a + y2 2 b z2 = 1, a, b, c > 0 2 c2 é uma superfície regrada. Sugestão: ( ) Considere (u, v) a (cos u v sin u), b (sin u+v cos u), cv. 1

2 2 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (2) Superfícies desenvolvíveis: K 0. Vamos considerar superfícies regradas X(u, v) = α(u)+vw(u), u I, v R, quando w(u) = 1, u I e quando α e w, satisfazem que o produto misto w w α 0 ( developable surfaces ). (a) Seja α : I R 3 uma curva regular cuja curvatura nunca se anula. Considere a imersão X(u, v) = α(u) + vα (u) (i) Deduza que X é uma imersão regular em todos os pontos, exceto nos pontos da curva α. Exiba exemplos de tais superfícies escolhendo uma curva espacial clássica α. (ii) Usando a fórmula de Gauss (1), deduza que a parte de S, fora do traço de α, é plana, i. e. K 0. (b) Dizemos que uma superfície regrada S é um cilindro sobre uma curva, se S é a imagem de uma imersão X da forma X(u, v) = α(u) + vp, onde p R 3 é um vetor fixo unitário. (i) Deduza que um cilindro cilindro sobre uma curva é regular em todos os pontos onde α p não se anula. Exiba exemplos explícitos de cilindros generalizados completos (como espaços métricos) globalmente regulares (a imersão é regular em todos os pontos) não triviais, de modo que pelo menos um exemplo seja imerso, mas não seja mergulhado. Isto é, o seu exemplo deve ter auto-interseções. Ou seja, não deve ser uma subvariedade de dimensão 2 do R 3. Não deve ser uma superfície regular. Sugestão: escolha bem a curva α. (ii) Usando a fórmula de Gauss (1) deduza que os cilindros generalizados regulares são planos, i.e. K 0. (c) Dizemos que uma superfície regrada S é um cone generalizado se é imagem de uma imersão da forma X(u, v) = q + vw(u), w(u) = 1 (i) Deduza que que um cone generalizado é regular em todos os pontos onde vα α 0. Logo, um cone nunca é regular no seu vértice. Exiba exemplos de tais cones, sendo pelo menos um que seja imerso, mas não seja mergulhado (tenha auto-interseções). (ii) Deduza que um cone generalizado nos pontos regulares é plano, i. e, K 0.

3 SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO 3 (3) Deduza que o cilindro circular reto x 2 + y 2 = a 2, a > 0 em R 3, é uma subvariedade de dimensão 2 do R 3 (superfície regular). Classifique todas as geodésicas do cilindro circular reto x 2 + y 2 = a 2, a > 0 em R 3, de duas maneiras distintas: A primeira maneira fazendo um estudo da equação das geodésicas no cilindro e a outra maneira fazendo uso de isometrias. (4) A esfera S 2. Considere a esfera unitária S 2 = {x 2 +y 2 +z 2 = 1} em R 3. (a) Deduza que S 2 é uma subvariedade de dimensão 2 do R 3 (superfície regular). Classifique todas as geodésicas da esfera S 2. Responda qual das afirmações abaixo está rigorosamente correta: (i) Os circulos máximos são geodésicas das esfera S 2. (ii) Os circulos máximos, parametrizados com velocidade constante, são geodésicas das esfera S 2. (b) Calcule a curvatura geodésica k g de um paralelo da esfera. (c) Considere a parametrização de S 2 em coordenadas esféricas θ, φ dada por X(θ, φ) = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) (deixarei livre aqui o domínio da parametrização). Seja X θ, X φ o referencial local adaptado à para metrização X. Seja a conexão Riemanniana de S 2. (i) Calcule Xφ X φ, Xθ X φ, Xθ X θ. Usando obrigatoriamente este item, deduza que os círculos máximos, parametrizados com velocidade constante, são geodésicas de S 2. Usando obrigatoriamente este item, calcule a curvatura geodésica k g dos paralelos de S 2. (ii) Verifique a equação de Gauss de um paralelo k 2 = k 2 g + k 2 n onde k é a curvatura do paralelo em R 3, k g é a curvatura geodésica do paralelo na esferatoro S 2 e k n é a curvatura normal, explicitando estas quantidades em termo dos parâmetros θ, φ. (d) Uma curva na esfera que faz ângulo constante com os meridianos da esfera é chamada de loxodrômica. (i) Mostre que a imagem de uma loxodrômica pela projeção estereográfica do pólo norte (veja adiante) é uma espiral logarítmica. (ii) Usando coordenadas esféricas, encontre uma equação diferencial de primeira ordem que as loxodrômicas

4 4 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP satisfazem. Em seguida exiba uma fórmula explícita. Com a ajuda do MAPLE esboce uma loxodrômica na esfera estudando a sua curvatura e a sua torção. (e) Deduza que na esfera não há linhas assimptóticas. (5) A esfera S 2 bis. (a) Mostre que a projeção estereográfica usual do pólo norte é dada por Π N (x, y, z) = x + iy 1 z := u + iv := E dando a interpretação geométrica desta aplicação. (b) Mostre que Π N leva círculos da esfera em círculos ou retas no plano, determinando geometricamente cada situação. (c) Mostre que Π N preserva os ângulos mas inverte as suas orientações. (d) Mostre que a inversa é dada por ( 2u E EE + 1, 2v EE + 1, EE 1 EE + 1 onde EE = u 2 + v 2. (e) Mostre que a métrica Euclideana ds 2 = dx 2 +dy 2 +dz 2 em R 3 induzida em S 2, induz em C { } a seguinte métrica ds 2 = 4 (1 + u 2 + v 2 ) 2 (du2 + dv 2 ) (f) Generalize os itens anteriores considerando a esfera S n de dimensão n, i.e, a esfera unitária centrada na origem de R n+1. (g) Considerando o referencial adaptado {, } da métrica u v ds 2 4 = (du 2 + dv 2 ) na esfera C { }, calcule a (1+u 2 +v 2 ) 2 conexão Riemanniana da esfera determinando as quantidades,,. u u u v v v (h) Aplique obrigatoriamente o cálculo anterior para escrever a equação das curvas em S 2 de curvatura geodésica κ g = cst( constante). (i) Já sabemos que a curvatura de Gauss de uma superfície Riemanniana é um invariante intrínseco (depende apenas da métrica). Em termos de coordenadas isotérmicas w = u + iv pode ser escrita como K = w log λ λ 2 )

5 SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO 5 onde, a métrica em termos das coordenadas isotérmicas (conformes) w = u + iv, é dada por ds 2 = λ 2 dw 2. Mostre, usando coordenadas isotérmicas (u, v) (fazendo E = w) explicitadas acima, que a curvatura de Gauss da referida métrica esférica é K +1. (j) Deduza que uma isometria positiva da esfera S 2 é uma equivalência conforme de S 2 ; daí uma transformação de Möbius da esfera. Mostre que uma isometria positiva da referida métrica é o conjunto das transformações de Möbius da forma T (z) = az c cz + a satisfazendo a 2 + c 2 = 1, a, c C. Conclua que toda isometria positiva da esfera S 2 leva círculos em círculos. (k) Classifique todas as isometrias positivas de S 2, geometricamente. (l) Mostre que para cada tal isometria positiva T correspondem z e 1 fixados por T. z (m) A aplicação z 1/z é uma isometria positiva? Descreva-a geometricamente. (n) Mostre que os meridianos na esfera, parametrizados com velocidade constante, são as únicas geodésicas da esfera, fazendo obrigatoriamente um estudo da equação das geodésicas na esfera. (o) Mostre que dados dois pontos p e q de S 2 existe uma isometria positiva de S 2 que leva p em q, ou seja S 2 é uma variedade homogênea bidimensional. (p) Mostre que dadas duas geodésicas C 1 e C 2 de S 2 existe uma isometria positiva de S 2 que leva C 1 em C 2. (q) Defina o conceito de reflexão numa geodésica da esfera, geometricamente, sem fazer uso do ambiente Euclideano. Em seguida, mostre que tal reflexão é a restrição de uma reflexão Euclideana de R 3 à esfera. (r) Defina o conceito de translação ao longo de uma geodésica na esfera S 2. Deduza que tais translações são compostas de duas reflexões em geodésicas, como definido acima. (s) Dados p, q S 2 seja dist S 2(q, p) a distância entre p, q (na métrica das esfera).

6 6 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (i) Deduza que existe uma curva C na esfera que minimiza o comprimento de arco, dentre todas as curvas parametrizadas suaves regulares ligando p à q. Além disso, o traço desta curva é um arco de círculo de raio máximo contido em S 2. Aqui faça um estudo alternativo analizando o funcional comprimento de arco. (ii) Seja C r := {q S 2 ; dist S 2(q, p 0 ) = r}, o círculo esférico de raio r e centro p 0 em S 2. (iii) Deduza que o comprimento de C r é proporcional ao seno de r. (iv) Deduza que o vetor curvatura geodésico κ g de C r é dado por κ g = cot ϕ = cot r, concluindo ϕ r que a curvatura geodésica κ g = cot r. (v) Deduza que se um paralelo P tem raio R (como círculo em R 3 1 ), então R =, onde κ 1+κ 2 g é a cur- g vatura geodésica de P. (vi) Deduza que as isometrias da esfera levam círculos em círculos, em que círculos aqui significa uma curva obtida fazendo a interseção da esfera com um plano de R 3. Dê o significado disto intrínseco. (6) Determine todas as geodésicas da esfera unitária S n R n+1, de dimensão n, exibindo uma fórmula explícita e fazendo uso do teorema de existência e unicidade local das geodésicas. (7) Superfícies de revolução. Considere S uma superfície de revolução em torno do eixo z parametrizada por X(u, θ) = (a(u) cos θ, a(u) sin θ, c(u)), u I, onde I [0, ) é um intervalo da reta e a(u) 0 (não colocarei a variação de θ aqui). Assuma que a curva parametrizada u (a(u), b(u)), é regular e que está parametrizada pelo comprimento de arco. (a) Calcule o comprimento de um paralelo. (b) Calcule a métrica de S no sistema de coordenadas (u, θ). (c) Mostre que os meridianos são geodésicas de S, por um argumento geométrico. (d) Encontre uma condição necessaria e suficiente sobre a(u) de maneira que o paralelo u = c 0 seja uma geodésica, fazendo um argumento geométrico. (e) Determine a conexão Riemanniana da superfície S, deduzindo

7 SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO 7 u u θ θ = θ u = 0, u = a (u) a(u) θ θ = a (u) a(u) u explique geometricamente este resultado (f) Deduza que as equações das geodésicas em S, assumindo que a geodésica está parametrizada pelo comprimento de arco, são equivalentes ao seguinte sistema (aqui (u(t), θ(t)) são expressões locais de uma curva em S): { ( du dt ) 2 + a 2 (u(t)) ( dθ dt ) 2 = 1 a 2 (u(t)) dθ = C, (C=cst) (2) dt Note que se dθ(0) dt > 0 então C > 0. (g) Recupere os fatos que os meridianos parametrizados por uma velocidade constante são geodésicas. Recupere também os fatos que os paralelos parametrizados por uma velocidade constante são geodésicas a (u)a(u) = 0. Interprete. (h) Deduza que se existir dois paralelos de S da forma a(u) = C, então uma geodésica tangente a um destes paralelos, oscila entre estes dois paralelos. Verifique que o dado C determina a geodésica. (i) Mostre que se φ é o ângulo que uma geodésica de S faz com um paralelo P dado por a(u) = r = cst, 0 φ π/2, então as geodésicas estão determinadas pela equação de Clairaut: r cos φ = C, (i) Deduza que se uma geodésica é assimptótica a um paralelo, este paralelo tem que ser uma geodésica. (ii) Estude as geodésicas no parabolóide. (iii) Estude as geodésicas no catenóide. (8) O toro T 2. Seja 0 < r < a. Considere o círculo C no plano yz dado por z 2 + (y a) 2 = r 2. Considere T 2 o toro de revolução gerado pela rotação de C em torno do eixo z.

8 8 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (a) Deduza que T 2 é uma superfície regular, mostrando que é uma superfície de nível, i. e, pode ser obtida como imagem inversa de um valor regular de uma função suave. Calcule o normal unitário ao toro. (b) Exiba parametrizações explícitas naturais de T 2, calculando a métrica g e a conexão Riemanniana num referencial local adaptado ao sistema de coordenadas obtido. (c) Encontre parametrizações conformes de T 2 e calcule a curvatura de Gauss K, usando a fórmula que depende apenas da métrica. Estude os pontos onde K > 0, K = 0 e K < 0, respectivamente, fazendo um desenho do toro e apontando estes pontos na figura. (d) Encontre todos os paralelos de T 2 que são linhas assimptóticas, caso existirem. (e) Verifique a equação de Gauss de um paralelo k 2 = k 2 g + k 2 n onde k é a curvatura do paralelo em R 3, k g é a curvatura geodésica do paralelo no toro T 2 e k n é a curvatura normal, explicitando estas quantidades em termo dos parâmetros u, v da parametrização escolhida. (9) Classifique todas as superfícies de revolução satisfazendo curvatura de Gauss K 1, estudando e determinando o comportamento geométrico da curva geratriz. (10) Deduza que a superfície de revolução cuja curva geratriz é a tractrix, possui nos pontos regulares curvatura de Gauss K 1. (11) Família catenóide-helicóide. Considere a superfície de revolução da catenária, chamada de catenóide dada por x = a cosh v cos u, y = a cosh v sin u, z = av; 0 < u < 2π, v R ( catenóide menos um meridiano ). O catenóide é a única superfície mínima de revolução de R 3. Considere o helicóide de R 3 parametrizado por x = av cos u, y = av sin u, z = au; 0 < u < 2π, v R ( domínio fundamental do helicóide=pedaço do helicóide entre as alturas z = 0, e z = 2πa ). O helicóide é a única superfície mínima regrada de R 3. (a) Encontre uma definição geométrica do helicóide. Mostre que o helicóide é invariante por um grupo a 1-parâmetro de isometrias de R 3 (screw motions).

9 SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO 9 (b) Mostre que o catenóide e o helicóide são localmente isométricos. Sugestão: Aqui é preciso re-parametrizar o helicóide para ver isto, como já está feito abaixo. Calcule a curvatura de Gauss, usando a fórmula que depende apenas da métrica. (c) Considere a família catenóide-helicóide, denotada F θ, abaixo. Z θ = cos θ C(u, v) + sin θ H(u, v) θ [0, 2π) onde C(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av) e H(u, v) = ( a sinh v sin u, a sinh v cos u, au), 0 < u < 2π, < v <, são parametrizações (locais) do catenóide e do helicóide, respectivamente. (i) Mostre que F θ é uma família a 1-parâmetro de superfícies helicoidais cujo passo depende de θ ( Claro que para θ = 0 obtemos o catenóide). (ii) Mostre F θ é uma família a 1-parâmetro de superfícies mínimas isométricas, ligando uma parte do catenóide ( catenóide menos um meridiano ) a uma parte do helicóide ( domínio fundamental do helicóide ). Dizemos que Z θ, θ (0, 2π) é uma superfície associada ao catenóide (helicóide). O catenóide é conjugado ao helicóide. (iii) Conclua que o catenóide e o helicóide são localmente isométricos e, por uma isometria local, geodésicas no catenóide são levadas em geodésicas no helicóide. Em particular, conclua que as retas do helicóide correpondem à geodésicas do catenóide, determinando tais geodésicas. (iv) Deduza que as curvas coordenadas do helicóide são linhas assimptóticas. Mais precisamente, mostre que as linhas assimptóticas do helicóide são retas e hélices circulares. (v) Encontre as linhas assimptóticas do catenóide. Mais precisamente, mostre que as linhas assimptóticas do catenóide são hélices logarítmicas (A projeção no plano horizontal é uma espiral logarítmica). (12) Seja g 1 a métrica de S n 1. Seja (dr) 2 a métrica canônica de I = (0, ). Define-se a métrica g em S n 1 I, por g m,r = r 2 g 1 + (dr) 2, m S n 1, r I (a) Será que g é a métrica produto? (b) Deduzir que (S n 1 I, g) é isométrica à métrica de R n \{0} munida da métrica Euclideana.

10 10 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (c) Mostrar que (S n 1 I, g 1 (dr) 2 ) é isométrica ao cilindro C = {x = (x 0, x 1,..., x n ) R n+1 ; x x 2 n = 1; x 0 > 0} munido da métrica induzida de R n+1. (13) Considere a aplicação f : R n (0, π) R n R, por f(z, r) := (x, t) = (sin r z, cos r), z = (z 1,..., z n ) R n, r (0, π). (a) Deduza que f determina um difeomorfismo g : S n 1 (0, π) S n R n R por g(z, r) = (sin r z, cos r). (b) Deduza que a métrica induzida em S n 1 (0, π), pela métrica canônica de S n, dada pela restrição da métrica canônica de R n R, dt 2 + dx dx 2 n à S n, é dada por dr 2 + sin 2 rds 2 n 1, onde ds 2 n 1 é a métrica canônica de S n 1, que é a restrição da métrica Euclideana dz dz 2 n à S n 1. Deduza que os meridianos são geodésicas de S n. OBS: Uma consideração análoga pode-se fazer para as métricas dt 2 +sin 2 t ds 2 p+cos 2 t ds 2 q em S p S q (0, π/2), considerando a aplicação S p S q (0, π/2) R p+1 R q+1, (x, y, t) (x sin t, y cos t). Tais métricas são chamadas são chamadas de warped products (logo, a métrica canônica da esfera pode ser vista assim). Aqui ds 2 p, denota a métrica canônica da esfera S p.