Teoria Local das Curvas

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1 Teoria Local das Curvas Márcio Nascimento da Silva Departamento de Matemática Universidade Estadual Vale do Acaraú de setembro de 007 pré-prints do Curso de Matemática de Sobral no Editor Tarcisio Praciano-Pereira Resumo O objetivo deste trabalho é caracterizar uma curva usando um referencial móvel. Para isso vamos usar o triedro de Frenet, uma base ortonormal positiva obtida a partir da própria curva, quando suposta parametrizada pelo comprimento de arco. palavras chave: curvatura, torção, triedro de frenet

2 Curvatura Seja : I R 3 definida por (s) ( (s), (s), 3 (s)) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e considere a Figura. (s ) (s ) (s ) (s ) θ θ Figura : Vetor tangente ao traço de nos pontos (s ) e (s ). Os vetores velocidade nos pontos (s ) e (s ) são representados por (s ) e (s ) respectivamente. Considere o ângulo que θ i que o vetor (s i ) faz com a horizontal e seja θ θ θ como mostra a Figura. (s ) θ (s ) (s ) (s ) Figura : Variação do ângulo θ. Sabemos que (s) d ds (s) (s) (s 0 ) lim s s0 lim s s0 s

3 CURVATURA Portanto (s) d ds (s) lim (s) (s 0 ) ( ) lim (s) (s 0 ), (s) (s 0 ), 3(s) 3(s 0 ) ( ) lim (s) (s 0 ), lim (s) (s 0 ), lim 3(s) 3(s 0 ) s s0 ( lim (s) ) ( (s 0 ) + lim (s) ) ( (s 0 ) + lim 3(s) 3(s 0 ) ( lim (s) ) ( (s 0 ) + lim (s) ) ( (s 0 ) + lim 3 (s) 3(s 0 ) [ ( lim (s) ) ( (s 0 ) + (s) ) ( (s 0 ) + 3 (s) ) ] 3(s 0 ) ) ) lim s s0 lim s s0 ( (s) (s 0 ) ( ( ) (s) (s 0) lim s s0 (s) (s ) lim s s0 s ) ( + (s) (s ) ( 0 ) + 3 (s) ) 3(s 0 ) ) ( ) ( + (s) (s 0) + 3 (s) 3 (s 0) ) Por outro lado, observando a Figura 3, temos que a seguinte relação: A Sh < A T < A S onde A Sh é a área do setor circular do círculo de raio h (circunferência pontilhada), A T é a área do triângulo AOB e A S é a área do setor circular do círculo de raio, uma vez que está parametrizada pelo comprimento de arco e (s) para todo s I. Como a área do setor circular é dada por onde r é o raio do círculo e θ o ângulo central, segue que A Sh A S r.θ h..

4 CURVATURA 3 A A (s ) h O θ (s ) B B Figura 3: Variação do ângulo θ. e Assim o que equivale a Daí e temos uma vez que lim lim h. A T.h <.h <. < < h < lim < lim h. lim h.. lim h lim lim h (observe a Figura 3). Pelo Teorema do Confronto, segue que lim lim ()

5 CURVATURA 4 ou seja (s) dθ ds e concluímos que a quantidade (s) nos dá a variação do ângulo que a linha tangente faz com a direção horizontal. Definição. A curvatura de em s é definida por κ(s) (s) Veja que grandes variações de θ implicam em dθ ds relativamente grande, isto é, pontos do traço de nos quais a curva é bem fechada, têm curvatura relativamente grande. E claro, pequenas variações de θ significam curvatura relativamente pequena. curvatura grande curvatura pequena Figura 4: Curvatura. Exemplo. Se é uma reta, então θ é sempre nulo para quaisquer dois pontos (s ), (s ) no traço de, isto é, dθ ds 0. Assim, (s) 0, ou seja, uma reta tem curvatura zero. Exemplo. Se é uma circunferência de raio, digamos, com a parametrização (s) (cos s, sens, 0) então e (s) ( sens, cos s, 0) (s) ( cos s, sens, 0)

6 TRIEDRO DE FRENET 5 ou seja (s) ( cos s) + ( sens) + 0 e assim, uma circunferência tem curvatura constante. Exemplo.3 Considerando agora uma circunferência de raio r, temos, por exemplo, a seguinte parametrização pelo comprimento de arco (s) (r. cos(s/r), r.sen(s/r), 0) Daí e (s) ( sen(s/r), cos(s/r), 0) (s) ( r ) cos(s/r), r sen(s/r), 0 logo (s) r Assim, uma circunferência de raio r tem curvatura constante igual a r. Quando κ(s) 0 (ou seja (s) 0 que equivale a (s) (0, 0, 0)), dizemos que a curva tem uma singularidade de ordem. Singularidade de ordem zero ocorre quando (s) (0, 0, 0). Consideraremos curvas regulares ( (s) (0, 0, 0)) sem singularidades de ordem. O número κ(s) circunferência de raio é chamado raio de curvatura de em s. Considerando a κ(s) contida no plano gerado por (s) e (s) e tangente ao traço de no ponto (s) temos um círculo de curvatura em (s). A circunferência é uma curva onde o círculo de curvatura em cada ponto coincide com a própria curva, uma vez que no Exemplo.3 obtivemos κ(s) r e portanto o raio de curvatura em cada ponto é Triedro de Frenet κ(s) r Se : I R 3 é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, sabemos que (s) é um vetor unitário para cada s I. Vamos denotar o vetor tangente (s) por T (s). Também é verdade que T (s), T (s) Derivando, obtemos T (s), T (s) 0

7 TRIEDRO DE FRENET ou seja, T (s) T (s). Lembre que T (s) (T (s)) ( (s)) (s). Seja N(s) o vetor unitário na direção de T (s), ou seja, N(s) T (s) T (s) T (s) (s) T (s) κ(s) T (s) κ(s).n(s) Chamamos N de vetor unitário normal de. O plano gerado por T e N é chamado plano osculador. Agora considere o vetor B(s) T (s) N(s). Note que B(s) é um vetor unitário para cada s. De fato, B(s) T (s) N(s) T (s). N(s). sen(t (s), N(s)) onde (T (s), N(s)) representa o ângulo entre T (s) e N(s). Como tal ângulo é π/, segue que B(s). O vetor B é chamado vetor binormal de. Os vetores T, N, B formam, então, uma base ortonormal positiva para cada s chamada Triedro de Frenet. O plano gerado pelos vetores N e B é chamado plano normal. Já o plano gerado por T e B é chamado plano retificador. Ainda sobre o vetor binormal B, temos: e B(s) B(s), B(s) B (s), B(s) 0 B (s) B(s) () equivale à B (s) T (s) N(s) + T (s) N (s) B (s) T (s) N (s) B (s) T (s) (3) uma vez que T (s)//n(s) implica em T (s) N(s) 0. De () e (3) temos B (s)//n(s) para cada s. Assim, existe τ τ(s) tal que B (s) τ(s).n(s) Repare ainda que B(s) é ortogonal ao plano osculador de para cada s. Assim, B (s) nos dá a medida de quão rapidamente o plano osculador varia. Como B (s) τ(s).n(s) segue que chamada torsão de.. Fórmulas de Frenet τ(s) B (s) Podemos expressar os vetores T, N e B em função de T, N, B. Já vimos que T (s) κ(s).n(s) e que B (s) τ(s).n(s). Falta encontrar uma expressão para N (s). Sendo T (s), N(s), B(s) um triedro ortonormal positivo para cada s, segue que B(s) T (s) N(s). Daí que equivale a N (s) B (s) T (s) + B(s) T (s) N (s) (τ(s)n(s)) T (s) + B(s) (κ(s).n(s))

8 3 FORMA CANÔNICA LOCAL 7 e portanto N (s) κ(s).t (s) τ(s).b(s) e portanto seguem-se as Fórmulas de Frenet: T (s) κ(s).n(s) N (s) κ(s).t (s) τ(s).b(s) B (s) τ(s).n(s) 3 Forma Canônica Local Vamos usar o Triedro de Frenet como base no ponto (s 0 ) do traço de e exprimir (s) numa vizinhança de s 0. Considere a expansão de Taylor de terceira ordem de : (s) (s 0 ) + ( ). (s 0 ) + () (s 0 ) + () 3 (s 0 ) + R R onde lim s s0 ( ) 3 0. Já vimos que T e que T κ.n para cada s. Daí (κ.n) κ.n + κ.n κ.n + κ.( κ.t τ.b) κ.t + κ.n κ.τ.b Assim (s) (s 0 ) ( ).T (s 0 ) + () κ(s 0 ).N(s 0 ) + + () 3 [ κ(s0 ).T (s 0 ) + κ (s 0 ).N(s 0 ) κ(s 0 ).τ(s 0 ).B(s 0 ) ] + R [( ) κ(s 0 ) () 3 ] T (s 0 ) + [ (s s0 ) + κ(s 0 ) + κ (s 0 ) () 3 ] N(s 0 ) + + [ κ(s 0 ).τ(s 0 ). () 3 ] B(s 0 ) + R Podemos supor sem perda de generalidade que s 0 0. Fazendo com que (s 0 ) coincida com a origem de R 3 e que T (s 0 ) (, 0, 0), N(s 0 ) (0,, 0) e B(s 0 ) (0, 0, ) então (s) (x(s), y(s), z(s)) é tal que x(s) s κ s 3 + R x y(s) κ.s + κ.s 3 + R y z(s) κ.τ.s3 + R z onde as funções κ e τ estão avaliadas em s 0 0 e (R x, R y, R z ) R. As três equações acima representam a forma canônica local de numa vizinhança de s 0 0.

9 REFERÊNCIAS 8 N B T Figura 5: Triedro de Frenet. Referências [] DO CARMO, M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 97, New Jersey. [] ARAÚJO, P. V. Geomtria Diferencial, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 998, Rio de Janeiro. [3] O NEILL, B. Elementary Differential Geometry, Academic Press, 997, San Diego.