Evolutas e Involutas: Planas e Espaciais

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1 Evolutas e Involutas: Planas e Espaciais Aluno: Igor Albuquerque Araujo Orientador: Marcos Craizer Introdução Foi feito um estudo de conjuntos focais de superfícies. Foram utilizados os softwares Maple e Geogebra para auxiliar na visualização de superfícies regradas. Além disso, foi feito um estudo minucioso e completo de evolutas euclideanas de curvas planas e espaciais, com a visualização de suas principais propriedades. Ao final foi feito um estudo que compreende diversos temas, com o objetivo de auxiliar na revisão do texto [4] para o mini-curso Evolutas de Curvas e Superfícies, apresentado pelo orientador Marcos Craizer no III Colóquio de Matemática da Região Sudeste. Dentre os temas podemos citar: evolutas na geometria afim, evoluta de áreas, conjunto de simetria central, conjunto de simetria da distância afim, evoluta de área e o estudo de singularidades do tipo A3 e A4 em pontos não-umbílicos. Objetivos A partir dos conceitos de geometria diferencial de curvas, estudar as evolutas e involutas planas e suas propriedades. A partir das propriedades geométricas observadas no plano, generalizar a idéia de evolutas para curvas no espaço e observar as propriedades análogas que seguem dessa definição. Metodologia Foi feito um estudo dos principais temas de Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies [3], tanto no plano quanto no espaço. Foi definida a evoluta de uma curva plana como o lugar geométrico dos centros dos círculos que melhor aproximam a curva (os círculos osculadores). Com o auxílio do modelo de aproximação local de uma curva plana a partir de sua curvatura em um dado ponto, equações locais da evoluta da curva foram observadas através do software Maple. Por conseguinte foi definida a evoluta de uma curva espacial, por meio do lugar geométrico dos centros de esferas que melhor aproximam a curva em certo ponto (as esferas osculadoras). Então, o modelo local utilizando curvatura e torção da curva forneceu uma forma local para a evoluta espacial. Com o uso do Maple, evolutas de curvas espaciais foram visualizadas e um programa básico que fornece a evoluta de uma curva dada sua parametrização foi feito. Um estudo minucioso da evoluta espacial assim definida foi feito, culminando na apresentação de propriedades geométricas da evoluta, que justificaram a escolha dessa definição. Foi demonstrado que a reta tangente a evoluta é a reta focal a curva original, o plano osculador a evoluta é o plano normal a curval original e, além disso, exemplos dessas propriedades foram visualizados usando Maple. Condições necessárias e suficientes para acontecerem singularidades (como cúspides não planares, por exemplo) na evoluta foram estudadas. Os conceitos e definições formais, utilizando fórmulas matemáticas e o uso da função distância, foram oriundos do estudo do capítulo 6 de [1], utilizando o auxílio da forma local como vista em [3].

2 Curvas Planas A. Curvas Regulares Considerando uma curva parametrizada α: I R suave, onde I R é um intervalo da reta. Dizemos que α é regular se α (t) 0, para todo t I. Uma curva plana está parametrizada pelo comprimento de arco se α (t) = 1,t I. Uma curva regular plana α(t) sempre pode ser parametrizada por comprimento de arco s e então escrevemos α(s). Nesse último caso temos o vetor unitário tangente t(s) = α (s) e vetor unitário normal n(s) obtido por uma rotação de 90 de t(s) no sentido anti-horário. Definimos, então, a curvatura k(s) como t (s) = k(s)n(s). Temos também então n (s) = k(s).t(s). B. Função Distância A função distância V:I R R é dada por V(t,c) = α(t) c P. Para cada ponto c do plano vamos escolher o raio P do círculo com centro em c e que passa por α(t). Assim, teremos V(t,c) = 0 e V(t,c) = (α(t) c).(α(t) c) P = α(t).α(t) c.α(t) (P c.c). C. Centro de Curvatura Podemos perceber que V(t,c) = 0 e V (t,c) = (α(t) c).α (t) = 0 representa os pontos c do plano que são normais a curva α no ponto α(t). Ou seja, corresponde a reta normal a curva. E também que V(t,c) = V (t,c) = 0 e V (t,c) = (α(t) c).α (t) + α (t).α (t) = 0 tem solução se k(t) 0, sendo o centro de curvatura c da curva. Quando temos k(t) = 0, pensamos no centro de curvatura como estando no infinito. D. Evoluta Dessa forma a evoluta da curva α é definida como os pontos e(t) = α(t) + #( ) n(t), que correspondem aos pontos c tais que V(t,c) = V (t,c) = V (t,c) = 0. Curvas Espaciais A. Curvas Regulares Da mesma forma, considerando uma curva parametrizada α: I R $ suave, onde I R é um intervalo da reta. Dizemos que α é regular se Figura 1. Uma parábola e sua evoluta. α (t) 0, para todo t I. Uma curva espacial está parametrizada pelo comprimento de arco se α (t) = 1,t I. Uma curva regular espacial α(t) sempre pode ser parametrizada por comprimento de arco s e então escrevemos α(s). No caso espacial temos o vetor unitário tangente t(s) = α (t), o vetor unitário normal n(s) e o vetor unitário binormal b(s) tais que α (t) = k(s).n(s) e b(s) = t(s) n(s), onde k(s) é a curvatura da curva α. Temos também que n (s) = k(s).t(s) τ(s).b(s) e b (s) = τ(s).n(s), onde τ(s) é a torsão da curva α. Dizemos que a curva é linear em t se α (t) é múltiplo de α (t) e que é planar em t se α (t),α (t)e α (t) são linearmente dependentes.

3 B. Função Distância: De forma análoga ao caso plano, temos a função distância V:I R R, dada por V(t,c) = αt c P. Para cada ponto c do plano vamos escolher o raio P da esfera com centro em c e que passa por αt. Assim, teremos Vt,c = 0 e Vt,c = αt c.αt c P = αt.αt c.αt P c.c. C. Centro de Curvatura Podemos perceber que Vt,c = 0 e V t,c = αt c.α t = 0 representa os pontos c do plano que são normais a curva α no ponto αt. Ou seja, corresponde ao plano normal a curva. Também temos que Vt,c = V t,c = 0 e V t,c = αt c.α t + α t.α t = 0 tem solução quando a curva não é linear em t e o conjunto solução corresponde aos pontos c pertencentes a uma certa reta do espaço, que chamaremos a reta focal a curva α. Agora, Vt,c = V t,c = V t,c = 0 e V t,c = αt c.α t + 3.α t.α t = 0 tem solução se a curva não é planar em t, que corresponde a um ponto pertencente a reta focal, o centro de curvatura da curva. D. Evoluta A evoluta da curva α é a curva es = αs + ns * + bs e uma conta #) #),) simples nos mostra que os pontos da evoluta correspondem também aos pontos tais que Vt,c = V t,c = V t,c = V t,c = 0. Figura 2. Uma curva espacial, sua evoluta e o triedro t,n e b da curva. Involutas A. Definição As involutas de uma curva α são definidas como a família de curvas -. tais que -. = / , onde 1. é o vetor tangente unitário, 3. é o vetor normal unitário e são funções que satisfazem = 0 e = 0, sendo 5. a curvatura da curva / no ponto /.. Dessa forma, para uma curva,

4 temos uma família infinita de curvas que são chamadas involutas dessa curva. Essa definição vale para curvas espaciais apenas e visa satisfazer a proposição a seguir. Figura 3. Hélice /(.) = ( 6,sin 6,cos 6 ) em vermelho e sua involuta para μ(s) = (2 + cos ) ) e λ(s) = sin ) em azul. Figura 4. Hélice em vermelho e sua involuta em azul para λ(s) = 0. Nesse caso a involuta e a evoluta da curva coincidem.

5 B. Proposição 1 A evoluta de todas involutas de uma curva é a curva original. Ou seja, a evoluta e(s) de qualquer involuta -(.) da família de involutas de uma curva α(s) satisfaz e(s) = α(s), para todo s I. Demonstração: Seja -(.) = /(.) + 0(.).1(.) + 2(.).3(.), com (.) 5(.).2(.) = 0 e 0(.).5(.) + 2 (.) = 0. Para facilitar a notação o (s) será omitido daqui em diante. Então temos - = = ( 5.1 =.>) = 1.( ) + 3.( ) + >.( 2=) = 2=.>. - = (2=).> 2=.> = (2=).> 2.=.3. - = (2=).> (2.= ).3 (2=).> 2.=.3 = 1.(5.2.= ) + 3.( (2=).= (2.= ) ) + >.( (2=) + 2.= $ ). Logo temos que (/ -).- = ( ).(2=.>) = 0. (/ -).- = ( ).((2=).> + 2.=.3) = 2 =. (/ -).- = ( ).(1.(5.2.= ) + 3.( (2=).= (2.= ) ) + >.( (2=) + 2.= $ ).) = = + 2.((2=).= + (2.= ) ) = 32=(2=). Portanto temos que (/ -).- = 0, (/ -).- = -.- e (/ -).- = 3-.-, o que nos mostra que / é a evoluta de - e conclui a demonstração. Forma Canônica Local A. Forma Canônica Local de Curvas De acordo com secção 1.6 de [3], toda curva espacial pode ser aproximada numa vizinhança de 0 de pela fórmula /(.) = /(0) +./ (0) + 6? / (0) + 6@ A / (0) + B(. $ ) e então através de movimentos rígidos ser levada na curva C(.) = (. D? A, D6? + DE A, DF6@ A ). Repare que podemos fazer com que o triedro 1(0),3(0) 4 >(0) seja levado no triedro xyz por um movimento rígido. B. Forma Canônica Local da Evoluta Considerando essa aproximação de ordem 3 podemos usar a equação da definição da evoluta e, depois de alguns cálculos, chegar a uma fórmula aproximada para a evoluta. O uso da forma canônica local não fornece uma fórmula explícita curta e por isso será omitida. Entretanto, com o uso dessa fórmula e o auxílio do software Maple a Figura 2 foi obtida, representando o comportamento local de uma curva espacial arbitrária e também de sua evoluta. Proposição 2 A. Enunciado Sendo α uma curva espacial regular que não é planar, nem linear em nenhum ponto, sendo e sua evoluta. Então: a) Em um ponto em que a evoluta 4 é regular, a evoluta não é planar, nem linear. b) Em um ponto em que a evoluta 4 é regular, a linha tangente a evoluta 4 coincide com a linha focal a curva /. c) Em um ponto em que a evoluta 4 é regular, o plano osculador a evoluta 4 coincide com o plano normal a curva /. d) Em um ponto em que 4 = 0 e 4 0 a evoluta tem um cúspide não planar ordinário (ordinary non-planar cusp).

6 e) A evoluta 4 é regular em um ponto se e somente se a quarta derivada da função distancia é não nula (G HHHH (1,4) 0) e tem cúspide não planar ordinário (ordinary non-planar cusp) se e somente se a curva / tem um vértice ordinário (ordinary vertex, ou seja, G HHHH (1,4) = 0 e G HHHHH (1,4) 0). B. Demonstração Como e é a evoluta, Eq. (1): (e α).α = 0. Eq. (2): (e α).α = α.α. Eq. (3): (e α).α = 3α.α. Derivando (1) e (2): e.α α.α + (e α).α = e.α α.α + α.α = 0 Eq. (4): e.α = 0. e.α α.α + (e α).α = 2α.α Eq. (5): e.α = 0. Derivando (4) e (5): e.α + e.α = 0 Eq. (6): e.α = 0. Eq. (7): 4./ + 4./ = 0. Por fim, derivando (6): Eq. (8): 4./ + 4./ = 0. (Para letra a) Suponha 4 0. De (4) e (5) e como / é não planar, 4./ 0. Por (7) e (8) 4./ 0 4 não é múltiplo de 4 (4 é não linear). 4./ 0 4 é linearmente independente com 4 e 4 (4 é não planar). (Para letra b) A tangente a 4 é o conjunto dos pontos I tais que I = 4 + J.4 para algum J, que satisfaz (I /)./ = (4 /)./ = 0 (por (1) e (4)) e (I /)./ = (4 /)./ = /./ (por (2) e (5)). Porém a reta focal a / é exatamente o conjunto de pontos I tais que (I /)./ = 0 e (I /)./ = /./. (Para letra c) O plano osculador a 4 é o conjunto de pontos I tais que I = 4 + J.4 + K.4 para alguns J e K, que satisfaz (I /)./ = (4 /)./ = 0 (por (4), (6) e (1)). Porém o plano normal a / é exatamente o conjunto de pontos I tais que (I /)./ = 0. (Para letra d) Derivando (7) e (8) e fazendo 4 = 0: Eq. (9): 24./ + 4./ = 0. Eq. (10): 4./ + 24./ + 4./ = 0. Fazendo 4 = 0 em (7): Eq. (11): 4./ = 0. De (8) obtemos: Eq. (12): 4./ = 0. Suponha 4 0. Como / é não planar, de (6) e (11) temos 4./ 0. De (9), temos 4./ 0 4 não é múltiplo de 4. Se 4./ = 0 então teríamos 4./ = 0 e 4./ = 0 (por (9) e (10)). Logo, 4./ 0. Isso com (6) e (12) nos garante que 4 é linearmente independente com 4 e 4 e, portanto, 4 tem cúspide não planar ordinário (4 = 0 e 4,4,4 linearmente independentes). (Para letra e) G HHHH (1,4) = (/ 4)./ + 4/./ + 3/./. E derivando (3): (4 /)./ + 4./ 4/./ 3/./ = 0 4./ = G HHHH (1,4). Portanto / 0 G HHHH (1,4) 0. Derivando novamente: G HHHHH (1,4) = 4./ + 24./. Portanto, se G HHHH (1,4) = 0 e G HHHHH (1,4) 0 então 4 = 0 e 4./ Por outro lado, se 4 tem cúspide não planar ordinário, então 4 é não regular e 4,4,4 são linearmente independentes. Logo, 4 = 0 e 4 0. Concluindo, G HHHH (1,4) = 0 e G HHHHH (1,4) 0 se e somente se 4 = 0 e 4 0. Pela afirmação da letra d, o resultado segue.

7 C. Figuras e exemplificações Figura 5. Curva de Viviane em vermelho e sua evoluta em azul. Figura 6. Reta focal a curva em verde correspondendo a tangente a evoluta (azul). Figura 7. Plano osculador a evoluta (azul) correspondendo ao plano normal a curva (vermelho) e o vetor tangente a curva. Figura 8. Curva de Steinmetz em vermelho e sua evoluta em azul. Repare que a evoluta possui 4 cúspides. Figuras 9. Esferas osculadoras a curva. Seus centros são pontos da evoluta.

8 Conclusões As conseqüências e propriedades das evolutas de curvas espaciais planas fazem jus a definição, uma vez que no caso plano temos uma propriedade semelhante: a reta tangente a evoluta é normal a curva original. E ainda, o modelo que define os círculos osculadores como círculos de contato de ordem maior ou igual a 3 com a curva mostra ser intuitiva a generalização da evoluta para curvas espaciais a partir das esferas que fazem contato de ordem maior ou igual a 4 com a curva (as esferas osculadoras). Referências 1 PORTEOUS, Ian R. Geometric Differentiation: For the Intelligence of Curves and Surfaces. 2nd Ed. Cambridge University Press, BRUCE, J. W.; GIBLIN, P. J. Curves and Singularities, Cambridge University Press, CARMO, Manfredo Perdigão do. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. 5. ed. Rio de Janeiro: SBM, p. 4 CRAIZER, Marcos. Evolutas de Curvas e Superfícies. Rio de Janeiro: SBM, p.