Exercícios resolvidos P3

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1 Exercícios resolvidos P3 Questão 1 Calcule a área da superfície obtida pela revolução da curva α(t) (R cos t,, R sin t + a), t [, 2π], < R < a, em torno do eixo x. Esta superfície é chamada de Toro. Resposta: Uma parametrização para esta superfície é dada por (Faça um desenho!) r(t, θ) (R cos t, (R sin t+a) sin θ, (R sin t+a) cos θ), (t, θ) [, 2π) [, 2π). Vimos em sala que a área de uma superfície parametrizada é dada por A 1 d r t r θ da. [,2π) [,2π) Fazendo o cálculo do produto vetorial, obtemos r t r θ ( R cos t(r sin t + a), R sin t(r sin t + a) sin θ, R sin t(r sin t + a) cos θ). Logo, r t r θ R (R sin t + a) 2 R(R sin t + a). Veja que, não colocamos o módulo na expressão acima pois < R < a implica que R sin t + a > para todo t. Finalmente, A 2π 2π R 2 sin t + ar dtdθ 2π[ R 2 cos t + arθ] 2π 2π (2aRπ) 4aRπ 2. Nota: Esta superfície pode ser pensada como o produto cartesiano de dois círculos, um de raio a e outro de raio R. Assim, poderíamos pensar que, da mesma forma que calculamos a área da superfície de um cilíndro, a área é o produto dos perímetros, ou seja, (2πa)(2πR) 4aRπ 2.

2 Questão 2 Mostre que a equação x+sin(y +z) dene implicitamente y como função de x e z (y ϕ(x, z)) numa vizinhança de (,, ). Calcule 2 ϕ x 2 (, ). Em seguida, explicite a função ϕ e calcule novamente 2 ϕ x 2 (, ). Resposta: Dena a função F : R 3 R por Observe que F (x, y, z) x + sin(y + z). F (x, y, z) cos(y + z), y logo F y (,, ) cos( + ) 1. Assim, como F é uma função C, em particular C 1, e F y (,, ) temos que existe uma vizinhança V R2 do ponto (, ) e uma função C ϕ : V R tal que Em outras palavras, a equação F (x, ϕ(x, z), z) F (,, ). x + sin(y + z) dene, localmente, y como função de x e z. O teorema ainda diz que F ϕ x (x, z) (x, ϕ(x, z), z) x F (x, ϕ(x, z), z) 1 cos(ϕ(x, z) + z). y Tomando, mais uma vez a derivada parcial com respeito a x : 2 ϕ x (x, z) 1 ( sin(ϕ(x, z) + x))( ϕ(x, z) + 1). 2 (cos(ϕ(x, z) + x) 2 ) x Aplicando no ponto (, ), obtemos 2 ϕ 1 (, ) ( sin())( ϕ(, ) + 1). x2 cos() x Para a segunda parte do exercício, escrevendo sin(y + z) x, vemos que próximo ao ponto (,, ), podemos escrever y + z arcsin( x). Logo ϕ(x, z) y z + arcsin( x).

3 Com isso podemos calcular as derivadas parciais diretamente: e assim, O que implica que 2 ϕ x 2 (, ). ϕ (x, z) 1 x 1 x 2 2 ϕ x (x, z) 1 2x. 2 2 (1 x 2 ) 3 2 Questão 3 eja a superfície cilíndrica com tampa mostrada na gura 1. é a união das superfícies 1 e 2, sendo que 1 é o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfaz x 2 + y 2 1, z 1, e 2 é o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfaz x 2 + y 2 + (z 1) 2 1, z 1. eja F (x, y, z) (zx + z 2 y + x, z 3 yx + y, z 4 x 2 ). uponha que está orientada com vetores normais apontando fora. Calcule F d usando o teo. de tokes de duas formas: calculando a integral de linha sobre a fronteira diretamente e escolhendo uma superfície adequada. Figura 1: Resposta: Em primeiro lugar, observe que o campo em questão é C, em particular C 1, e a superfície é suave (regular) por partes. endo assim, podemos aplicar o teo. de tokes.

4 A fronteira de é a curva C dada pelo conjunto dos pontos (x, y, ) que satisfazem x 2 + y 2 1. A orientação da superfície induz a orientação anti-horária na curva C e assim, α(t) (cos t, sin t, ), t [, 2π], é uma parametrização de C. Pelo teo. de tokes, F d F dr C 2π 2π. F (α(t)) α (t)dt (cos t, sin t, ) ( sin t, cos t, )dt O teo. de tokes também pode ser usado para argumentar que a integral do rotacional não depende da superfície escolhida, contanto que o bordo permaneça o mesmo e a orientação do bordo concorde com a orientação da nova superfície. Assim, observe que o disco unitário D {(x, y, ) x 2 + y 2 1} também possui como bordo a curva C e a parametrização do disco r : D R 3 r(x, y) (x, y, ) tem como vetor normal r x r y (,, 1) que concorda com a orientação de C. Logo, pelo teo. de tokes F d F d D F (x, y, ) (,, 1) da x 2 +y 2 1 da. x 2 +y 2 1

5 Questão 4 Calcule a integral de superfície F d sendo que é a superfície dada por {(x, y, z) x 2 +y 2 1, z 1}, orientada com vetores normais apontando para fora, e F (x, y, z) (1, 1, z(x 2 + y 2 )). Efetue os cálculos diretamente e depois use o teo. da divergência. Resposta: Primeiro, vamos calcular a integral de superfície diretamente. eja r : [, 2π] [, 1] R 3 uma parametrização do cilindro dada por endo assim, A integral de superfície é F d r(t, z) (cos t, sin t, z). r t r z (cos t, sin t, ). 2π 1 2π 1 2π 1. F (r(t, z)) (r t r z ) dzdt (1, 1, z) (cos t, sin t, ) dzdt cos t + sin t dzdt Agora, usando o teorema da divergência. eja E {(x, y, z) x 2 + y 2 1, z 1} e E a fronteira da região E orientada com vetores normais apontando para fora. Observe que E T 1 T, sendo que T 1 {(x, y, 1) x 2 + y 2 1} é a tampa de cima do cilindro e T {(x, y, ) x 2 + y 2 1} é a tampa de baixo do cilindro. Assim, como E é do tipo I, II e III, simultaneamente, e F é de classe C 1, temos que, pelo teorema da divergência, F dv F d F d + F d + F d. (1) E E T 1 T 2

6 Do lado esquerdo, temos que F dv x 2 + y 2 dv E E 1 2π 1 R 3 drdθdz π 2. Agora o lado direito. O vetor normal a T é n (,, 1), logo F d z(x 2 + y 2 ) d T T, pois z em T. Já o vetor normal a T 1 é n 1 (,, 1), logo, usando a parametrização r(x, y) (x, y, 1), F d F (x, y, 1) (,, 1) da T x 2 +y 2 1 x 2 + y 2 da x 2 +y 2 1 π 2. Assim, pela equação (1), temos que F d.