Analise Matematica III A - 1 o semestre de 2006/07 FICHA DE TRABALHO 6 - RESOLUC ~AO

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1 ecc~ao de Algebra e Analise, Departamento de Matematica, Instituto uperior Tecnico Analise Matematica III A - o semestre de 6/7 FIHA DE TRABALHO 6 - REOLU ~AO ) Indique se as formas diferenciais seguintes s~ao fechadas e/ou exactas no seu domnio. Para cada forma exacta calcule um potencial. a) e y dx zy dy + e z dz. b) x x +y +z dx + y x +y +z dy + z x +y +z dz. c) ' x cos z dx ^ dy + xy sin z dx ^ dz + x sin z dy ^ dz. d) xyz dx ^ dy ^ dw + xyw dx ^ dy ^ dz + dy ^ dz ^ dw. a) d e y dx ^ dy + y dy ^ dz. Logo, n~ao e fechada nem exacta. b) Temos d, pelo que e fechada. O domnio de e R 3 nf(; ; )g que n~ao e um conjunto em estrela. Logo, n~ao podemos aplicar o lema de Poincare para concluir que e exacta. Vamos tentar encontrar um potencial (R 3 n f(; ; )g). Ent~ao d fornece: >< >: x y z x x +y +z y x +y +z z : x +y +z A primeira equac~ao fornece (x; y; z) log(x + y + z ) + (y; z). onrmamos facilmente que com (y; z) satisfazemos as restantes equac~oes. Por outro lado, a func~ao (x; y; z) log(x + y + z ) e de classe no domnio de. Logo, e exacta no seu domnio. c) Temos d'. O domnio de ' e R 3 que e um conjunto em estrela. O lema de Poincare permite-nos concluir que ' e exacta, ' d com (R 3 ). Temos, >< >: x 3 x 3 y ' y x cos z ' z 3 xy sin z ' z 3 x sin z:

2 Podemos sempre encontrar um potencial com. Ent~ao, a primeira equac~ao fornece x cos z + (y; z) e a segunda equac~ao fornece 3 x y sin z + (y; z). ubstituindo na terceira equac~ao, observamos que podemos resolv^e-la tomando (y; z) (y; z) : Logo, um potencial para ' e x cos z dy + x y sin z dz. d) Temos d e o seu domnio, R 4, e um conjunto em estrela. Pelo lema de Poincare, existe (R 4 ) com d. Verifca-se de imediato que, por exemplo, a forma xyzw dx ^ dy + y dz ^ dw e um potencial. ) Determine se as formas diferenciais seguintes s~ao fechadas e/ou exactas no seu domnio. e n~ao forem exactas no seu domnio determine, caso existam, regi~oes maximais onde as formas sejam exactas. a)! (y ) (x ) +(y ) + b) z x +z dx + z y +z dy + (y ) (x+) +(y ) dx+ y y +z dz + (x ) (x ) +(y ) + x x +z dz. (x+) (x+) +(y ) dy. a) E facil de vericar que! e fechada. O seu domnio e R nf(; ); ( ; )g. (y ) x Observamos que! +, com dx + dy e (x ) +(y ) (x ) +(y ) (y ) x+ dx + dy. omo foi visto na aula, a forma (x+) +(y ) (x+) +(y ) e fechada mas n~ao e exacta no seu domnio R n f(; )g. De facto, o potencial local para (a menos de constante) e o ^angulo (x; y) das coordenadas polares com origem em (; ), que tem uma descontinuidade de sobre o semi-eixo y ; x. (O semi-eixo onde o potencial e descontnuo pode ser alterado adicionando-se constantes ao potencial.) A forma e semelhante, sendo singular no ponto ( ; ), e sendo o seu potencial local dado (a menos de constante) por medido como se a origem estivesse em ( ; ). Logo,! n~ao e exacta: o seu potencial local tem uma descontinuidade de quando rodeamos o ponto (; ) ou o ponto ( ; ) no sentido anti-horario. Numa regi~ao maximal onde! seja exacta, n~ao podem existir curvas fechadas a rodear (; ) e/ou ( ; ). Uma dessas regi~oes e, por exemplo, R excepto o semi-eixo com origem em ( ; ) e que passe em (; ). b) Temos + com z dx + x z dz e dy + x +z x +z y +z y dz, sendo e fechadas. O domnio de e R 3 n eixo dos y e o y +z

3 domnio de e R 3 neixo dos x. As formas ; s~ao generalizac~oes obvias para R 3 de formas do tipo das da alnea anterior que examinamos na aula. As formas e s~ao ambas fechadas mas n~ao s~ao exactas: o potencial para tem uma descontinuidade de quando rodamos a volta do eixo dos y (no sentido em que o semi-eixo positivo dos x roda para o semi-eixo positivo dos z); o potencial para tem uma descontinuidade de + quando rodamos a volta do eixo dos x (no sentido em que o semi-eixo positivo dos y roda para o semi-eixo positivo dos z). Deste modo, a forma sera exacta apenas numa regi~ao onde seja impossvel rodear separadamente o eixo dos y ou o eixo dos z. No entanto, e permitido rodear simult^aneamente os dois eixos, pois, nesse caso, as descontinuidades nos potenciais cancelam-se. Por exemplo, na regi~ao R 3 n f(x; y; z) R 3 : z ; xy > g a forma e exacta. 3) onsidere a variedade-, R 3, denida por x 4+y 6 ; z x, orientada no sentido horario relativamente a um observador colocado no ponto R (; ; ). eja! y dx + x dy + dz. alcule w segundo a orientac~ao dada. Parametrizemos : () ( cos ; 4 sin ; 4 cos ); ]; [. Temos! 4 sin ( sin d)+ cos ( 4 cos d) ( cos sin d) (+ cos sin )d. Logo,! ( )( + cos sin )d 6: Note-se que percorre no sentido pretendido. 4) onsidere a variedade-, M f(x; y; z) R 3 : x y + z ; < x < g; orientada com a normal unitaria, n, com n x <. eja! z dx R ^ dy y dx ^ dz + x dy ^ dz. alcule! com a orientac~ao indicada. M 3

4 Parametrizemos M com g(; ) (; cos ; sin ), com ]; [; ]; [. Temos, Dg(; ) 4 cos sin sin cos Tomando, por exemplo, (; ) (; ) temos Dg(; ) 4 e (; ; ) (; ; ) (; ; ). omo queremos a normal n a M com n x <, conclumos que g n~ao e compatvel com n, pelo que devemos incluir um sinal de em frente do integral. Temos, g (dx^dy) sin d^d; g (dx^dz) cos d^d; g (dy^ dz) d ^ d. Logo, M! 5) onsidere a forma fechada 3 5 ; 3 5 : [ sin cos + ]dd ( + )d :! x(y x ) p z + (y x dx ) + y x p z + (y x dy ) + z p z + (y x ) dz: a) Indique uma H curva fechada E, contida no domnio de!, tal que o valor de! lhe permita concluir se! e ou n~ao exacta. (N~ao E necessita de calcular o integral nesta alnea.) b) Mostre que a forma! e exacta no seu domnio determinando um potencial. c) eja a variedade- dada por y + x e z + x 5, < x <, orientada de modo a que R o ponto (; ; ) e o inicial e o ponto (; 3; ) e o nal. alcule! segundo a orientac~ao dada. d) eja a R curva denida por y 4 + z 4 e x. alcule! segundo uma orientac~ao a sua escolha. 4

5 a) A forma! e fechada e o seu domnio e R 3 n A onde A e a parabola y x ; z. Assim, no domnio de!, as unicas curvas fechadas que n~ao s~ao homotopicas a um ponto s~ao as que rodeiam a curva (ilimitada) A. Bastaria, ent~ao, calcular o integral de! ao longo de uma destas curvas, por exemplo, ao longo da circunfer^encia x ; y + z. e esse integral fosse zero poderamos imediatamente concluir que! seria exacta; se ele n~ao fosse igual a zero ent~ao! n~ao poderia ser exacta. b) Observamos facilmente que as componentes de! s~ao as derivadas parciais do campo escalar (x; y; z) p z + (y x ) que, sendo de classe no domnio de!, e um potencial. c) Pelo teorema de tokes generalizado temos,! d (; 3; ) (; ; ) p p 5: d) omo e uma curva fechada contida no domnio de! e sendo! exacta, vamos ter H!. 6) eja R 3 o quarto de superfcie esferica de raio centrada na origem dado por y < ; z >, orientado com a normal n tal que n z <. a) eja! dx ^ dy + dx ^ dz. Utilizando o teorema de tokes generalizado, calcule R!. b) eja y dx + xy dy. Escolha uma orientac~ao para o bordo de,. Utilizando o teorema de tokes generalizado, calcule R. a) d! e o domnio de! e R 3, logo, pelo lema de Poincare,! e exacta e existe um potencial (R 3 ), tal que >< >: x 3 x 3 y Uma soluc~ao e x dy + x dz. y!! z 3! z 3 : O bordo de e constitudo por uma semi-circunfer^encia A no plano xy e por uma semi-circunfer^encia B no plano xz. Ao orientarmos com a normal n com n z <, vamos, atraves da regra da m~ao direita, 5

6 induzir uma orientac~ao em A [ B que corresponde a percorrer A com o semi-eixo positivo dos x a girar para o semi-eixo negativo dos y, e a percorrer B com o semi-eixo positivo dos z a girar para o semi-eixo positivo dos x. Podemos ent~ao parametrizar A e B, respectivamente, com, por exemplo, () (cos ; sin ; ) e () (sin ; ; cos ), ]; [. Temos cos d e sin d Logo, pelo teorema de tokes generalizado,! d A + B ( ) cos d+ ( ) sin d : b) Orientemos o bordo de como na alnea a). Ent~ao, tomamos orientada com a normal n tal que n z <. Podemos parametrizar com coordenadas esfericas, com g(; ) (cos sin ; sin sin ; cos ), ]; [; ]; [. Temos, Dg(; ) 4 Em (; ) (; 6) temos, Dg(; 6) sin sin cos cos cos sin sin cos sin 4 p 3 p p e (; ; ) ( 3; ; ) ( ; ; 34). Logo, g e compatvel com a orientac~ao denida por n. Temos, g (dx^dy) cos sin d ^d, g (dx^dz) sin sin d ^ d, g (dy ^ dz) cos sin d ^ d. 3 5 ; 3 5 : Temos ainda d 3y dx ^ dy e g d 3 sin cos sin d ^ d. Logo, d 7) onsidere a variedade-, ( 3) sin cos sin dd 6 f(x; y; z) R 3 : x y z ; z > ; x > g; e o campo vectorial f : R 3! R 3 dado por f(x; y; z) ( x; y; z). R alcule o uxo f n segundo a direcc~ao da normal n que tem a primeira componente positiva, de tr^es formas distintas: 6 cos sin d :

7 a) Pela denic~ao de uxo. b) Utilizando o Teorema da Diverg^encia. c) Utilizando o Teorema de tokes. a) A superfcie e uma superfcie de revoluc~ao em torno do eixo dos x. Em coordenadas cilndricas apropriadas (; ; x), e denida por x com x > e z >, logo e parte de um paraboloide. Uma parametrizac~ao para e dada por g(; ) ( ; cos ; sin ); < < ; < < : Temos g g cos sin sin cos e e e3 (; cos ; sin ): A primeira componente de g g e positiva, portanto este vector tem o sentido da normal pedida a superfcie. onclui-se que g F n d F (g(; )) g d d ( ( ); cos ; sin ) (; cos ; sin ) d d ( ) + 3 d d + 4 d : b) F e um campo de classe em R 3 logo podemos aplicar o Teorema da Diverg^encia a regi~ao D f(x; y; z) R 3 : x < y z ; x > ; z > g: A fronteira de D e formada por, por metade de um disco f(x; y; z) R 3 : y + z ; x ; z > g 7

8 e pela superfcie no plano z f(x; y; z) R 3 : x y ; z ; x > g: Uma vez que a normal a dada, n, e a normal exterior a D, o teorema da diverg^encia diz que D div F dx dy dz F n d + F n d + F n d onde n ( ; ; ) e n (; ; ) s~ao as normais as superfcies e, respectivamente. omo conclui-se que F n d div F F n d x d d d F n d z d area( ) : c) Uma vez que F e solenoidal (isto e, divf ) e o domnio de F e R 3, que e um conjunto em estrela, concluimos que F e um rotacional. Para achar um potencial vector A temos de resolver o sistema rot A F () () < : e e e 3 x y z A A A 3 A 3 A y z A A 3 z x A A x y Fazendo, por exemplo, A obtemos, < : A 3 A y z A 3 x y A x x z () < : x y z A 3 A y z ( x; y; z) x A 3 (x; y; z) yx + 3 (y; z) A (x; y; z) zx + (y; z)

9 ubstituindo na primeira equac~ao obtemos x + 3 y (y; z) x (y; z) x z pelo que podemos fazer (y; z) 3 (y; z). potencial vector para F e dado por onclui-se que um Pelo Teorema de tokes, F n d A(x; y; z) (; zx; yx): rot A n d O bordo de e a uni~ao das seguintes curvas: e I A d: f(x; y; z) R 3 : y + z ; x ; z > g f(x; y; z) R 3 : x y ; z ; x > g: De acordo com a regra da m~ao direita, deve ser percorrida do ponto (; ; ) para o ponto (; ; ) e deve ser percorrida no sentido contrario, ou seja, do ponto (; ; ) para o ponto (; ; ). Uma parametrizac~ao de e (t) (; cos t; sin t); < t < e uma parametrizac~ao para e (t) ( t ; t; ); < t < ; que percorrem as curvas no sentido desejado. Assim, F n d + I I A d + A d (; sin t; cos t) (; sin t; cos t) dt (; ; t( t )) ( t; ; ) dt dt + : 9

10 ) onsidere o campo vectorial h(x; y; z) x ( x + y + z + z x + (z ) ; y z x + y + z +y3 ; x + y + z x x + (z ) ): a) Verique que h e fechado. era h um gradiente no seu domnio? Justique. b) alcule o trabalho de h ao longo da espiral parametrizada por (t) (cos t; t; + sin t), com t ] ; [. c) alcule o trabalho de h ao longo da elipse denida pelas equac~oes x 3 + y 4 e z, orientada segundo um sentido a sua escolha. a) Verica-se facilmente que rot h, ou seja, h e fechado. Vamos x y z escrever h a + b + c onde a ( ; ; ), b x +y +z x +y +z x +y +z z x ( ; ; ) e c (; y 3 ; ). Temos que a; b; c s~ao fechados. x +(z ) x +(z ) O campo c e obviamente um gradiente, com c r( 4 y4 ). O campo b, que corresponde a formas- do tipo que encontramos na aula e no problema ) desta cha, e fechado mas n~ao e gradiente no seu domnio: o integral de linha de b ao longo de uma curva fechada que d^e uma vez a volta ao eixo x ; z, no sentido em que o semi-eixo positivo dos x roda para o semi-eixo positivo dos z, e igual a. Finalmente, temos a r r( log(x + y + z )), no seu domnio R 3 n f(; ; )g. onclumos que h e a soma de dois gradientes, a e c, com um campo b que n~ao e gradiente, pelo que h n~ao e um gradiente no seu domnio. b) Temos ( ) (; ; ) e () (; ; ). Estes dois pontos est~ao a mesma dist^ancia da origem e, portanto, pertencem a mesma superfcie equipotencial de. Logo, a d (; ; ) (; ; ): Por outro lado, c d 4 y4 j y y :

11 Finalmente, a projecc~ao da espiral no plano xz fornece uma circunfer^encia que rodeia o eixo x ; z e que e percorrida duas vezes no sentido em que o semi-eixo positivo dos x gira para o semi-eixo positivo dos z. Logo, b d ( ) 4: (Note que a componente de b segundo os y e nula.) Assim, h d + 4 4: c) A elipse n~ao rodeia o eixo x ; z, pelo que o trabalho de b ao longo da elipse e nulo. Do mesmo modo, sendo a e c gradientes, o seu trabalho ao longo da elipse e nulo. Logo, tambem e nulo o trabalho de h ao longo da elipse. z (y ) +z dy + y (y ) +z dz (R 3 n f(x; ; ); x Rg). eja! (R 3 n f(x; ; ); x Rg) uma forma fechada. Mostre que! a + d, com a R e (R 3 n f(x; ; ); x Rg). 9) eja (Ou seja, qualquer forma- fechada em R 3 n f(x; ; ); x Rg e dada por uma forma- exacta, mais, vezes uma constante.) eja L o eixo y ; z e seja! (R 3 n L) uma forma fechada qualquer. eja uma curva fechada que rodeie uma vez o eixo L, orientada de modo a que H : Notemos que se uma forma- fechada em R 3 n L tiver integral nulo ao longo de ent~ao sera exacta. Ent~ao a forma H ~!!! ; sera exacta, pois I ~! I! H! : Logo, existe (R 3 n L) tal que ~! d, ou seja H! d +! ; como queramos mostrar.

12 ) eja U R n um aberto e : U! R m uma aplicac~ao de classe. Mostre que se! k (R m ) ent~ao d! d!. omo ( ^ ) ^, e como d( ^ ) d ^ + ( ) grau ^ d, basta mostrar o resultado para formas- do tipo onde i m.! f(x ; : : : ; x m )dx i ; ejam v ; v campos vectoriais em U, p U e tomemos coordenadas x em R m e y em R n. Temos, d!(v ; v ) jp mx j mx j k;l mx j f((p)) x j nx nx k;l nx k;l ( X n k ( X n k f((p)) x j dx j ^ dx i (D(p) v (p); D(p) v (p)) rj (p) v (p) r j (p) v (p) det r i (p) v (p) r i (p) v (p) f((p)) j x j (p) v k y (p) i (p) v l k y (p) $ l f((p)) y k (p) v k i (p) v l y (p) $ l f((p)) y k dy k^ y k y k dy k^ como queramos mostrar. (p) i (p) dy k ^ dy l (v ; v )(p) y l ) n X ) l (f ) i y l dyl! (v ; v )(p) (!) (v ; v )(p) d!(v ; v ) jp ;