Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia 2a. Prova - 1o. Semestre /05/2017

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1 Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo iferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - 1o. Semestre 17-3/5/17 Turma A Questão 1: Calcule xy ds, onde é dada pela interseção das superfícies x + y = 1, x + z 5 = 1, y, z, percorrida do ponto 1,, ) ao ponto, 1, 5). Uma parametrização para é t) = t, 1 t², 5 ) 1 t² com t [, 1], percorrida de t = 1 para t =. t 1,, 1 t Assim, t) = 5t 1 t xyds = ), t) = t 1 t = 1+5t 1 t t 1 t 1 + 5t 1 t dt = 1 e a integral ca t 1 + 5t dt Para calcular a integral, basta fazer a seguinte mudança de variáveis: seja u = 1 + 5t du = 5tdt, então 1 t 1 + 5t dt = [ ] udu = u = 1 6 )

2 Questão : Considere o campo F = ye xy sin yz) + 1, xe xy sin yz) + ze xy cos yz) y, ye xy cos yz) z). a) Mostre que F é conservativo. b) Calcule F dr onde t) = cos t, 1 + sin t, cos t)) e t [, 3π ]. a) Para mostrar que F é conservativo, vamos achar uma função potencial, que também ajudará a resolver o item b. Supondo que tal função potencial, denotada por ϕ, exista, ela deve satisfazer x = yexy sin yz) + 1 ϕ x, y, z) = e xy sin yz) + x + f y, z) onde f y, z) deve ser determinada. Para tal, temos duas expressões para y, uma vinda do campo F e outra derivando ϕ parcialmente y = xexy sin yz) + ze xy cos yz) y = xe xy sin yz) + ze xy cos yz) + f y f y = y f y, z) = y² + g z) onde g z) deve ser determinada. Com procedimento análogo para z, z = yexy cos yz) z = ye xy cos yz) + g z g z = z g z) = z² + C onde C é uma constante qualquer. Portanto, tomando ϕ x, y, z) = e xy sin yz) + x y² z², temos que ϕ é uma função potencial para F e, logo, este é conservativo. b) Um jeito fácil de calcular a integral é utilizar a função potencial encontrada no item a. F dr = ϕ )) 3π ϕ )) = ϕ,, 1) ϕ 1, 1, 1) = 1 e sin 1

3 Questão 3: Seja F = y³ 3 yex y), y 1) e x y) + x³ 3 ). + 1 Calcule F dr, onde é o semi-círculo dado por x² + y² =, y x, e percorrido de, ) até, ). O cálculo direto da integral é complicado, por isso, a ideia é usar o Teorema de Green para calculá-la. A gura abaixo ajudará a entender as curvas e domínios que serão denidos. Seja a curva t) = t, t), t [, ] e a região limitada do plano cuja fronteira é Im ) Im ). O Teorema de Green nos dá F dr + F dr = rot F k da F dr = F dr rot F k da Vamos calcular as integrais do lado direito separadamente. F dr = F t)) t) dt = rot F k da = x² + y²dxdy = F t)) π 5π t) dt = dt = [ ] r = π r²rdθdr = π onde na integral de domínio foi descrito com coordenadas polares. Assim, a integral pedida é F dr = F dr rot F k da = π 3

4 Questão : Calcule sentido anti-horário e F = F d r onde é a fronteira do retângulo R = [ 1, ] [ 1, 1] percorrida uma vez no y x² 9 + y² 5 i + x j. x² 9 + y² 5 O cálculo direto da integral parametrizando a fronteira de R é complicado e, portanto, vamos recorrer ao Teorema de Green. Porém note que R contém um ponto em que F não está denido, então uma curva auxiliar é construída de modo que esteja contida em R e englobe a singularidade origem), para assim o Teorema de Green poder ser aplicado. Seja t) = 3 1 sen t, 5 1 cos t), t [, π] e A o interior da região limitada por. O Teorema de Green garante que F d r + F d r = rotf k R\A Porém rot F =, então basta calcular a integral sobre. Logo, F d r = π π F t)) t) dt = 15dt = 3π F d r = F d r = 3π

5 Turma B Questão 1: Calcule xy ds, onde é dada pela interseção das superfícies x + y 16 = 1, x + z = 1, y, z, percorrida do ponto 1,, ) ao ponto,, 1). Uma parametrização para é t) = t, 1 t², ) 1 t² com t [, 1], percorrida de t = 1 para t =. ) t 1,,, 1 t t) = Assim, t) = t 1 t xyds = t 1 t = 1+16t 1 t t 1 t t 1 t dt = 1 e a integral ca t 16t dt Para calcular a integral, basta fazer a seguinte mudança de variáveis: seja u = t du = 3tdt, então 1 t t dt = 17 1 [ ] udu = u = 1 17 )

6 Questão : Considere o campo F = ye xy sin yz) + 1, xe xy sin yz) + ze xy cos yz) y, ye xy cos yz) z). a) Mostre que F é conservativo. b) Calcule F dr onde t) = cos t, 1 + sin t, cos t)) e t [, 3π ]. a) Para mostrar que F é conservativo, vamos achar uma função potencial, que também ajudará a resolver o item b. Supondo que tal função potencial, denotada por ϕ, exista, ela deve satisfazer x = yexy sin yz) + 1 ϕ x, y, z) = e xy sin yz) + x + f y, z) onde f y, z) deve ser determinada. Para tal, temos duas expressões para y, uma vinda do campo F e outra derivando ϕ parcialmente y = xexy sin yz) + ze xy cos yz) y = xe xy sin yz) + ze xy cos yz) + f y f y = y f y, z) = y² + g z) onde g z) deve ser determinada. Com procedimento análogo para z, z = yexy cos yz) z = ye xy cos yz) + g z g z = z g z) = z² + C onde C é uma constante qualquer. Portanto, tomando ϕ x, y, z) = e xy sin yz) + x y² z², temos que ϕ é uma função potencial para F e, logo, este é conservativo. b) Um jeito fácil de calcular a integral é utilizar a função potencial encontrada no item a. F dr = ϕ )) 3π ϕ )) = ϕ,, 1) ϕ 1, 1, 1) = 1 e sin 1 6

7 Questão 3: Seja F = y³ 3 + x + 1) ex y), xe x y) + x³ 3 ). + 1 Calcule F dr, onde é o semi-círculo dado por x² + y² =, y x, e percorrido de, ) até, ). O cálculo direto da integral é complicado, por isso, a ideia é usar o Teorema de Green para calculá-la. A gura abaixo ajudará a entender as curvas e domínios que serão denidos. Seja a curva t) = t, t), t [, ] e a região limitada do plano cuja fronteira é Im ) Im ). O Teorema de Green nos dá F dr + F dr = rot F k da F dr = F dr rot F k da Vamos calcular as integrais do lado direito separadamente. F dr = F t)) t) dt = rot F k da = x² + y²dxdy = F t)) t) dt = π 5π [ r r²rdθdr = π dt = ] = π onde na integral de domínio foi descrito com coordenadas polares. Assim, a integral pedida é F dr = F dr rot F k da = π 7

8 Questão : Calcule sentido anti-horário e F = F d r onde é a fronteira do retângulo R = [ 1, ] [ 1, 1] percorrida uma vez no y x² + y² 16 i + x j. x² + y² 16 O cálculo direto da integral parametrizando a fronteira de R é complicado e, portanto, vamos recorrer ao Teorema de Green. Porém note que R contém um ponto em que F não está denido, então uma curva auxiliar é construída de modo que esteja contida em R e englobe a singularidade origem), para assim o Teorema de Green poder ser aplicado. Seja t) = 1 sen t, 1 cos t), t [, π] e A o interior da região limitada por. O Teorema de Green garante que F d r + F d r = rotf k R\A Porém rot F =, então basta calcular a integral sobre. Logo, F d r = π π F t)) t) dt = 8dt = 16π F d r = F d r = 16π 8