Questão 1. (2,5 pontos)

Transcrição

1 ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UFN POVA DE EPOSIÇÃO DE CÁLCULO ECT 11 Turma 4/1/14 Profs. onaldo e Gabriel Nome Legível: Assintatura: Instruções: Q1 1. Leia todas as instruções antes de qualquer outra coisa.. Q A resolução das questões pode ser feita com grate.. Faça uma prova organizada e detalhada, apresentando as respostas de forma coerente, de modo que todas as justicativas relevantes no contexto da disciplina devem estar presentes na solução. Indique bem o que você está fazendo pois resultados sem explicação e/ou desorganizados não serão considerados. Q 4. esolva cada questão na frente e/ou verso da folha onde ela se encontra. 5. As duas últimas folhas são de rascunho e não serão corrigidas. Questão 1. (,5 pontos) Considere a função vetorial r = a cos t î + a sin t ĵ, que retrata uma circunferência de raio a, com t π. a) Calcule vetor velocidade v(t). b) Calcule o vetor tangente T. c) Calcule o vetor normal N. d) Verique que o produto escalar T N =. e) (BÔNUS) (,5 ponto)acrescentando agora a seguinte componente vertical em r = a cos t î + a sin t ĵ + t ˆk modica a curva de que maneira? 1

2 Questão. (,5 pontos) Considere a função w = sin(xy), onde: x = e t y = ln(t + 1) a) Monte o esquema da árvore usando a regra da cadeia para estruturar dw dt. b) Calcule w x, w y, dx dt e dy dt. c) Calcule a derivada dw dt em t =.

3 Questão. (, pontos) Determine a área delimitada pelas curvas x +y = x e r = 1+cos (θ) no primeiro quadrante do plano xy. Solução: Vamos primeiro expressar a equação da curva x + y = x em coordenadas polares: (rcos (θ)) + (rsen (θ)) = rcos (θ). Simplicando, temos: r = rcos (θ), r = cos (θ). Com isso podemos podemos calcular tal área com a seguinte integral dupla: A = A = ˆ π/ ˆ π/ ˆ 1+cos(θ) cos(θ) [ r rdr ] 1+cos(θ) cos(θ) A = 1 ˆ π/ [ 1 + cos (θ) + cos (θ) 4cos (θ) ] A = 1 ˆ π/ [ 1 + cos (θ) cos (θ) ] [ ] θ π/ A = + sen (θ) ˆ π/ cos (θ) A = π 4 + sen (π/) ˆ π/ [ ] 1 cos (θ) + A = π [ ] θ sen (θ) π/ + 4 A = π π 8 sen (π) 4 A = 1 π 8 u.a.

4 Questão 4. (, pontos) Seja o campo vetorial F :, dado por F = xî + y ĵ. Determine o uxo deste campo através da circunferência de raio centrada na origem das seguintes formas: (a) fazendo a integral de uxo C F ˆn ds (1,5 pontos) e (b) utilizando o teorema da divergência no plano (1,5 pontos). Solução. (a) Podemos parametrizar a curva dada da seguinte maneira: r = cos (t) î + sen (t) ĵ, com π t. O vetor tangente à curva é dado por: T = d r dt = sen (t) î + cos (t) ĵ, seu módulo é, então ˆT = sen (t) î + cos (t) ĵ. O vetor normal à curva é dado pelo produto vetorial: ˆn = ˆT ˆk Também precisamos do diferencial de linha: ˆn = cos (t) î + sen (t) ĵ. ds = T dt = dt, e da expressão do campo vetorial em função da parametrização da curva: F = cos (t) î + (sen (t)) ĵ F = cos (t) î + 4sen (t) ĵ. O produto escalar da integral de uxo é dado por: F ˆn = cos (t) + 4sen (t) Finalmente, podemos expressar a integral de uxo Φ = C F ˆn ds = ˆ π [ cos (t) + 4sen (t) ] dt. O cálculo das primitivas indica: ˆ ˆ [ ] 1 cos cos (t) (t) dt = + dt = t sen (t) + 4 e então ˆ sen (t) dt = ˆ (1 cos (t) ) sen (t) dt = cos (t) + cos (t) [ ] t sen (t) π [ ] π Φ = cos (t) + cos (t) 4 4

5 (b) O teorema da divergência estabelece que F ˆn ds = C Φ = 4π. F da, onde é a região encerrada pela curva C. O divergente em questão é dado por: ( F = î x + ĵ ) ( ) xî + y ĵ = 1 + y, y e a região é um círculo de raio centrado na origem. Então, temos a seguinte integral de área: ˆ π ˆ F da = (y + 1) da = drr (rsen (θ) + 1), que foi expressa em coordenadas polares. esolvendo a integral temos: ˆ π ˆ π ˆ ˆ π drr (rsen (θ) + 1) = [ ] r sen (θ) + r [ ] [ ] 16sen (θ) 16cos (θ) π + = + θ = 4π que é exatamente o resultado obtido pela integral de uxo. 5