2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares

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1 Lista 3: CDCI2 Turmas: 2AEMN e 2BEMN Prof. Alexandre Alves Universidade São Judas Tadeu 1 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Exercício 1: Calcule a integral dupla transformando a região de integração com uma matriz de rotação ou cisalhamento. Siga os passos do exemplo dado em aula. (a) f (x, y) = x + y, B = o paralelogramo de vértices (, ), (2, ), (1, 2), (3, 2) (b) f (x, y) = x 2 y 2, B = o paralelogramo de vértices (, ), (, 2), (, 2), (2, 2) (c) g(x, y) = x + y, B = o losango de vértices (, ), ( 2, ), (, 2/2), (, 2/2) Exercício 2: Calcule o Jacobiano das seguintes transformações de duas variáveis (a) x = 2u v u + 2v y = 2 2 (b) x = u 2 v 2 y = u 2 + v 2 (c) x = e u e u y = e u + e u (d) x = sin(u + v) y = sin(u v) (e) x = ln(u/v) y = u ln(v/u) 2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Exercício 3: Calcule as seguintes integrais usando coordenadas polares: (a) f (x, y) = x 2 + y 2, B = o círculo de raio 9 no terceiro quadrante (b) f (x, y) = x 2 + y 2 e x2 y 2, B = o círculo de raio ln(1/3) (c) g(x, y) = 16 x 2 y 2, B = o círculo x 2 + y 2 4 (d) g(x, y) = x 2 + y, B = {(x, y) R 2 1 x 2 + y 2 5} (e) ( f ) (g) π/4 4 π/2 1+sin θ 3 9 x 2 r sin θ cos θrdrdθ θ r rdrdθ arctan( y x )dydx 1

2 1 (h) f (x, y) =, B o conjunto de todos os (x,y) tais que: (x 2 + y 2 ) 3/2 1 x 2 + y 2 4, x y x, x (i) xdxdy, B = a região do plano limitada pela curva B ( j) r = cos(3θ), π 6 θ π 6 x2 + y 2 da, B o triângulo de vértices (, ), (1, ), (1, 1) B Exercício 4: A integral dupla de uma função de duas variáveis f (x, y) sobre uma região circular de raio R e centro em C = (x, y ) pode ser calculada alterando as transformações polares da seguinte maneira x = x + r cos θ y = y + r sin θ de modo que B f (x, y)dxdy = 2π R g(r, θ)rdrdθ onde g(r, θ) é a função f (x, y) resultante dessas transformações. (a) Mostre que o Jacobiano dessa transformação é o mesmo das transformações polares usuais, ou seja, J = (x,y) = r. (r,θ) (b) Use esse resultado e as transformações acima para calcular a integral de f (x, y) = x 2 2x y 2 sobre a região B = (x, y) (x 1) 2 + y Aplicações de Integrais Duplas 3.1 Áreas Exercício 5: Calcule a área da região limitada pela elipse usando as seguintes transformações: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, a >, b > x = ar cos θ y = br sin θ e calculando o Jacobiano da transformação. 2

3 Exercício 6: Calcule a área das seguintes regiões do plano cartesiano: (a) B = {(x, y) x 2 y x, x 1} (b) B = a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas: y = 1, y = x + 2, y = x + 6, y = x + 2 (c) B = {(x, y) e x y e x, 1 x } (d) B = {(x, y) x y x + 1} Exercício 7: Calcule a área das seguintes regiões em coordenadas polares(veja a Figura 1): (a) (b) (c) (d) B = A região cortada do primeiro quadrante pela curva:r = 2 2 sin(2θ) B = A região interior à rosácea:r = 12 cos[3θ] B = A área da região limitada pelo eixo x e pela espiral:r = 4θ/3, θ 2π B = A área da região comum aos interiores dos cardióides:r = 1 + cos θ, r = 1 cos θ 3.2 Massa,Carga e Centro de Massa Exercício 8: Determine a massa e as coordenadas do centro de massa das lâminas que ocupam as regiões G e têm densidade local de massa ρ(x, y) (a) G = {(x, y) x 1, 1 y 2x}, ρ(x, y) = 6x + 6y + 6 (b) (c) (d) G = A região do primeiro quadrante limitada pelas curvas: x =, y = x, y = 2 x 2 e ρ(x, y) = 3 G = A região triangular limitada pelas curvas: x =, y = x, y = 2 x e ρ(x, y) = 6x + 3y + 3 G = A região infinita do segundo quadrante limitada pelos eixos coordenados e a curva y = e x (e) G = A região semicircular: y, x 2 + y 2 a 2 e ρ(x, y) = K x 2 + y 2, K constante ( f ) G = {(x, y) 9 x 2 + y 2 25, y } e ρ(r, θ) = cos 2 θ Exercício 9: Uma lâmina ocupa a região circular x 2 + y 2 = 2y mas fora do circunferência x 2 + y 2 = 1. Determine o C.M. se a densidade local de massa é inversamente proporcional à distância do ponto (x, y) à origem. Exercício 1: Considere uma placa constituída de dois materiais de densidades diferentes. A metade superior da placa é um semicírculo de raio 2 metros e tem 3

4 Y 1.5 Y Y Y Figura 1: Exercício 7. Curvas polares. Canto superior esquerdo item(c). Canto superior direito item(a). Canto inferior esquerdo item(d). Canto inferior direito item(b). 4

5 3 Y Figura 2: Exercício 1. Placa constituída de dois pedaços de densidades diferentes. densidade K vezes maior do que o material que compõe a metade inferior em formato retangular de dimensões 4m 2m, conforme mostrado na figura 2. Quanto deve valer K para que o C.M. da placa se localize sobre a origem do sistema de coordenadas (, )? Dica: Calcule o C.M. da parte superior e inferior separadamente, e então calcule o C.M. da placa como um todo usando a fórmula para o C.M. de duas partículas de massas m 1 e m 2, situadas nas posições (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), respectivamente: x CM = m 1x 1 + m 2 x 2 y CM = m 1y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 Para diminuir os cálculos, note que a coordenada x do C.M. de cada metade vale zero. Por quê? Exercício 11: Uma carga Q de sinal positivo é distribuída sobre todo o primeiro quadrante do plano xy de modo que sua densidade superficial é Encontre a carga total Q. σ(x, y) = e 1x e 1y ( C m 2 ). 5

6 Exercício 11: Uma carga elétrica de sinal negativo é distribuída sobre um disco de raio R de acordo com a densidade superficial σ(r, θ) = r R ( C m 2 ) Qual deve ser a densidade de carga(constante) de um disco de raio R com carga positiva para neutralizar a carga do disco de carga negativa quando sobreposto a este? Considere que as cargas positivas estão distribuídas homogeneamente sobre o seu disco. 3.3 Momentos de Inércia Exercício 12: Determine os momentos de inércia I x, I y e I de um disco de densidade ρ(x, y) = x 2 + y 2, centro na origem e raio R. Exercício 13: Calcule o momento de inércia da rosácea do item(b) do exercício 7(figura 1, canto inferior direito) em relação à origem, assumindo uma densidade de massa constante no interior da região. Dica: Note que I = B (x2 + y 2 )ρ(x, y)dxdy e então passe para coordenadas polares. Dados: 2π 2π cos 2 (3θ) = π cos 4 (3θ) = 3π 4 Exercício 14: Uma placa retangular de densidade constante ρ(x, y) = 1 ocupa a região limitada pelas retas x = 4 e y = 2 no primeiro quadrante. O momento de inércia em relação à reta y = a é dado pela integral I a = 4 2 Encontre o valor de a que minimiza I a. (y a) 2 dydx 3.4 Área de uma superfície Exercício 15: Calcule a área dos planos de equações dadas a seguir sobre o retângulo R = [, 2] [, 2] (a) z = 3x 4y + 6 6

7 (b) z = 4x + 3y 2 (c) 2z 4x = (d) 3z 9y + 12 = Exercício 16: O fluxo do campo elétrico de uma carga puntiforme situada na origem dos eixos coordenados através de uma superfície S é dado por Φ E = E d S Calcule o fluxo do campo elétrico de uma carga +Q situada na origem através do hemisfério superior de uma superfície esférica de raio R e de uma superfície de raio 2R. Você pode usar a resposta do cálculo da integral de superfície para a esfera de raio R no cálculo da esfera de raio 2R. Lembre-se que o campo elétrico de uma carga +Q situada na origem é radial e dado por e que d S = r r ds. E = S Q r 4πε r 3 EERCÍCIOS PARA SEREM ENTREGUES EM 25/4: 1(a), 2(b), 3(g), 5, 7(c), 9, 1, 11, 14 e 16. 7