Cálculo III-A Módulo 4

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 4 Aula 7 Integrais Triplas Objetivo Compreender a noção de integral tripla. Na aula 1, você aprendeu a noção de integral dupla. Agora, você verá o conceito de integral tripla. Seja f : R 3 R, onde é uma região sólida do R 3 (região limitada e fechada de R 3 ). Como está limitada, então eiste um paralelepípedo (ou caia) R [a,b] [c,d] [p,q], contendo. Dividimos R em n 3 subcaias R ijk, por planos paralelos aos planos coordenados, todas de mesmo volume V, escolhemos ( i, j, k) Rijk e formamos a soma S n n n n f ( i, j k), V i1 j1 k1 onde f ( ( i, j k), se i,j k), /, dita soma de Riemann de f. Se eistir lim S n L, diemos que f é integrável e o número L é dito integral tripla de f sobre o n sólido e é indicado por f(,,)ddd ou f(,,)dv ou f dv. OBS.: 1) Se f é contínua em então f é integrável.

2 Cálculo III-A Módulo 4 ) Se f(,,) 1 em, então ddd V(). 3) 4) (f +g)dv f dv+ gdv. kf dv k f dv, k R. 5) Se δ(,,) é contínua e positiva em, e representa a densidade volumétrica de massa (massa por unidade de volume), então a massa M de é dada por M δ(,,)ddd. 6) O centro de massa (,,) é dado por: δ(,,)dv M δ(,,)dv M δ(,,)dv M. 7) O momento de inércia em relação a um eio E é dado por: I E r (,,) δ(,,)dv onde r(,,) distância de (,,) ao eio E. Se eio E eio, então I ( + )δ(,,) dv. Se eio E eio, então I Se eio E eio, então I ( + )δ(,,) dv. ( + )δ(,,) dv.

3 Cálculo III-A Módulo 4 3 Aula 8 Redução do Cálculo de uma Integral Tripla a uma Integral Dupla Objetivo Reduir o cálculo de uma integral tripla a uma integral dupla. Observamos que um domínio de integração pode ser descrito como uma reunião de regiões dadas por: 1 { (,,); (,) D e 1 (,) (,) } onde D proj 1 onde D proj O (projeção de 1 sobre o plano ) e 1 (,), (,) contínuas; { (,,); (,) D e 1 (,) (,) } O e 1(,), (,) contínuas; 3 { (,,); (,) e 1 (,) (,) } onde proj 3 e O 1(,), (,) contínuas. Os esboços de 1, e 3 são: (,) 1 (,) (,) 1 (,,) D (,) (,,) 1 (,) D (,)

4 Cálculo III-A Módulo 4 4 (,) 3 (,,) 1 (,) (,) Prova-se que f(,,)ddd 1 D f(,,)ddd D f(,,)ddd 3 [ ] (,) f(,,)d dd 1 (,) [ ] (,) f(,,)d dd 1 (,) [ ] (,) f(,,)d dd. 1 (,) Eemplo 1 Calcule e ddd onde é o conjunto 1, e 1. Solução: Definimos por: { (,,); (,) D e }

5 Cálculo III-A Módulo 4 5 onde D [,1] [,1]. Logo, e ddd D [ e dd D ] e d dd 1 1 ] 1 1 [e e 1. e dd d Eemplo Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides + e 8. Solução: Inicialmente, calculemos a interseção das superfícies: { ( + ) Logo, a interseção dos paraboloides é a circunferência + 4, situada no plano (,,) + D (,) Descrevemos por: { (,,); (,) D e + 8 }

6 Cálculo III-A Módulo 4 6 onde D é o disco + 4. Como V() ddd, então [ ] 8 V() d dd + D D [ 8 ( + ) ] dd. Passando para coordenadas polares, temos: V() π π π (8 r )rdθdr ( 8r r 3 ) dr [ 4r r4 π(16 8) 16π u.v. ] Eemplo 3 Calcule a massa do sólido, no primeiro octante, limitado pelos planos,, +, + 4 e o cilindro + 4, sendo a densidade igual à distância de (,,) ao plano. Solução: O esboço de é: (,) 4 4 Podemos definir por: { (,,) R 3 ; (,) e 4 }

7 Cálculo III-A Módulo 4 7 onde é tal que + 4, e. Como M δ(,,)ddd, onde δ(,,), pois, então: M ddd [ 4 ] d dd (4 +)dd ( ) dd. Passando para coordenadas polares, temos: rcosθ rsenθ dd rdrdθ e D rθ é dado por: D rθ : { r θ π/

8 Cálculo III-A Módulo 4 8 Então, M π/ π/ π/ (rcosθ r cos θ)rdrdθ (r cosθ r 3 cos θ) drdθ [ r 3 r4 cosθ 3 4 cos θ ] dθ π/ ( 16 3 cosθ 4cos θ ) dθ [ 16 3 senθ (1 ) π 16 3 π u.m. ( ) ] π/ θ+ senθ Eercício 1: Calcule a integral iterada e ddd. Eercício : Calcule e ddd, onde é o conjunto 1, e 1. Eercício 3: Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido limitado pelos planos + 1,, e. Calcule uma das integrais. Eercício 4: Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada I e reescreva na ordem ddd ddd Eercício 5: Use a integral tripla para encontrar o volume do sólido a) limitado pelo cilindro e os planos e + 1; b) limitado pelos planos + 8, 8,, 4 e. Eercício 6: Calcule a massa do sólido no primeiro octante limitado por, 9,, e + 9 se a densidade é dada por δ(,,).

9 Cálculo III-A Módulo 4 9 Eercício 7: Seja um sólido limitado pelo cilindro + 1, com e pelos planos e com função densidade δ(,,). Calcule: a) A massa de. b) O momento de inércia em relação ao eio. Eercício 8: Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto de raio de base a e altura h. Determine o momento de inércia do sólido em relação ao eio de simetria se a densidade no ponto P é proporcional à distância de P até a base do sólido.