MAT Cálculo a Várias Variáveis I Lista de Exercícios sobre Integração Dupla

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1 MAT116 - Cálculo a Várias Variáveis I Lista de Exercícios sobre Integração Dupla 1 Exercícios Complementares resolvidos Exercício 1 Considere a integral iterada 1 ] exp ( x ) dx dy. x=y 1. Inverta a ordem de integração de I.. Calcule o valor de I. Solução do Exercício 1 1. A região de integração é um triângulo de vértices (0,0), (,0) e (,1). Portanto ] x/ exp ( x )dy dx.. Usando o item anterior, 1 x exp ( x )dx = 1 4 exp ( x ) = 1 (1 exp ( 4)). 4 Exercício Dada uma função real f e um domínio D, o valor médio de f em D é definido como 1 fda, A(D) onde A(D) é a área de D. Sendo D um disco de raio, calcule 1. O valor médio da distância ao centro de D.. O valor médio do quadrado da distância ao centro de D. Solução do Exercício D 1

2 1. Considerando um sistema de coordenadas cuja origem coincide com o centro de D, temos que a distância de um ponto ao centro é a coordenada polar r. Portanto D fda = θ=0 r=0 r.rdrdθ = π3. 3 Como a área do disco é π, o valor médio procurado é 3.. Considerando um sistema de coordenadas cuja origem coincide com o centro de D, temos que o quadrado da distância de um ponto ao centro é r. Portanto D fda = θ=0 r=0 r.rdrdθ = π4. Como a área do disco é π, o valor médio procurado é 1. Exercício 3 Considere a função f(x, y) = x e a região = {(x, y) x + y 4 16, x + y 4}. Denote por L a integral dupla de f em, ou seja, L = x da. 1. Escreva L como duas integrais iteradas, integrando primeiro em x e depois em y.. Escreva L como duas integrais iteradas, integrando primeiro em y e depois em x. 3. Calcule o valor de L. Solução do Exercício Utilizando o item (a), temos que L = L = L = 1 L = y 4 x=4 y (16 x ) 1/4 y= 4 x x dxdy. x dydx. 16 y 4 (4 y) ] dy y y 4y ] dy =

3 Exercício 4 Considere a região = {(x, y) exp (x) 1 y exp (x), x 0}. 1. Esboce a região, indicando o ponto de interseção (x 0, y 0 ) das curvas y = exp(x) e y = exp (x) 1.. Calcule a integral de f(x, y) = exp ( x) em. Solução do Exercício 4 1. Igualando as equações temos e x = e x 1. Fazendo t = e x, temos a equação do segundo grau t t 1 = 0, cuja única solução positiva é t = Concluímos que ( 1 + ] 5 (x 0, y 0 ) = ln, 1 + ) 5.. Temos que f(x, y) da = = x0 e x x0 y=e x 1 e x dydx ( 1 e x + e x) dx = x 0 + e x0 e x0. Substituindo o valor de x 0 obtido em (a) concluímos que ( 1 + ) 5 f(x, y) da = ln Exercício 5 Considere a função f(x, y) = x e a região = {(x, y) x + y 4, x 0, y 1}. Denote por I a integral dupla de f em, ou seja, x da. 1. Escreva I como duas integrais iteradas em coordenadas cartesianas.. Escreva I como duas integrais iteradas em coordenadas polares. 3. Calcule o valor de I. Solução do Exercício 5 3

4 1. Temos ou. Escrevemos θ= π 6 y=1 4 y x dxdy (1) 3 4 x y=1 r= 1 sin(θ) x dydx. rcos(θ) rdrdθ. 3. Utilizando a fórmula (1) obtemos 1 y=1 (4 y ) dy = 5 6. Exercício 6 Considere a região do plano { ( )} 3x + = (x, y) x 0, y 0, y ln(x), y ln Faça um esboço de indicando seus pontos mais significativos.. Encontre a área de. Solução do Exercício 6 1. O ponto de interseção das curvas é obtido resolvendo-se o sistema { y = ln(x) y = ln( 3x+ 4 ). Igualando as duas equações obtemos x =, y = ln() x 4

5 . A área de é dada por A = ln() exp(y) x= 4 exp(y) 3 A = 1 3 ln() 1dxdy = ln() exp(y)dy = ln() 3 exp(y) 4 exp(y) dy Exercício 7 1. Considere uma região do plano tal que a integral dupla de uma função f(x, y) nesta região possa ser escrita como f(x, y)da = arcsin ( x π ) f(x, y)dydx + x= π x f(x, y)dydx.. Descreva a integral de f(x, y) em como uma integral iterada, integrando primeiro em x e depois em y. (Sugestão: faça um esboço da região.) 3. Calcule a área de. Solução do Exercício 7 1. Observando a região temos que f(x, y)da = y x= π sin(y) f(x, y)dxdy x. Considerando f(x, y) = 1 obtemos A = y x= π sin(y) 1dxdy = π y π sin(y)dy = 3 8 π 1 π. Exercício 8 5

6 Considere a região do plano descrita por = {(x, y) 0 x 1, 0 y 1, x + y 1}. 1. Esboce a região e calcule sua área.. Encontre as coordenadas do centróide de. Solução do Exercício 8 A região é um quadrado de lado 1 menos um quadrante de disco de raio 1. Portanto sua área é A = 1 π 4. Para a abcissa do centróide calculamos Ix = x da. A integral dupla no quadrado de lado 1 é Ix1 = 1 enquanto que a integral dupla no quadrante é Ix = θ=0 1 r=0 1 x dydx = 1, r cos(θ) rdrdθ = 1 3. Segue que Ix = = 1 6. Portanto x = 3(4 π). Como a figura é simétrica com relação a reta y = x, concluímos que y = x = 3(4 π). Exercício 9 Considere a região do plano = {(x, y) 0 x, x y 4 x }. 1. Faça um esboço de e calcule sua área.. Descreva a integral dupla de f(x, y) = y sobre em coordenadas polares. 3. Encontre a ordenada y do centróide de. Solução do Exercício 9 A área de é um oitavo da área do disco de raio. Portanto A() = π. Em coordenadas polares, é descrita por π 4 θ π, 0 r. Portanto Usando as coordenadas polares Portanto y = 8 3π. y dxdy = θ= π 4 r=0 y dxdy = r sin θ rdrdθ..

7 Exercícios Complementares sem resolução Exercício 10 Fazer os seguintes exercícios da seção do livro Cálculo Integral a Várias Variáveis de M. Craizer e G. Tavares: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). (b), (d) Exercício 11 Fazer os seguintes exercícios da seção.1.4 do livro Cálculo Integral a Várias Variáveis de M. Craizer e G. Tavares: 1(b), 4(a), 4(b). Exercício 1 Considere as curvas definidas implicitamente pelas equações cartesianas abaixo. Determine a equação polar destas, nos intervalos indicados, fazendo um desenho. 1. (Lemniscata de Bernoulli). ( x + y ) = x y ( π/4 θ π/). (Limaçon de Pascal). ( x + y x ) = x + y (0 θ π) 3. (Cardióide) ( x + y ) x(x + y ) y = 0 (0 θ π) Exercício 13 Considere a região do plano xy cuja fronteira dada por := 1/, 1] 1, 3]. Calcule f(x, y)dxdy onde 1. f(x, y) = x log x cos(πy) sen (πy). f(x, y) = y 1 + y x cos(πx) 3. f(x, y) = x 1 x 4. f(x, y) = xe x log y 5. f(x, y) = y3 + y y y + 1 e y y 6. f(x, y) = e y sen y x 4 e 7x5. 1 x f(x, y) = y y + 1 sen x cos x. (espostas (a): 0 (b): log 5(1/(π) + 1/π ) (c): 3(e 1 e 3 ) (d): (3 log 3 ) e (e): (0/3 + log ) log(1/11)/) Exercício 14 Considere a região do plano delimitada pelas parábolas y = x + 1 e y = x

8 1. Calcule a área de (esposta: 64/3).. Calcule o centróide de (esposta: 5). 3. Calcule o valor médio da função f(x, y) = x em (esposta: 1/5). Exercício 15 Em cada item do exercício anterior, interprete a integral dupla em termos de volume de uma região U do espaço, determinando rigorosamente U, usando inequações. Exercício 16 Considere a regiões do plano 1 = {(x, y) ; 1 y x + 1, 0 x 1} e = {(x, y) ; 1 y x/3 + 7/3, 1 x 4}. Seja := 1. Considere a integral dupla: F (x, y) dxdy 1. Esboce um desenho de. Escreva, sem fazer cálculos, uma soma de duas integrais iteradas, usando integrais do tipo b f(x) a f 1(x) F (x, y) dydx, que seja igual a I.. Escreva, sem fazer cálculos, uma integral iterada, usando integrais do tipo d g(y) c g 1(y) F (x, y) dxdy, que seja igual a I. 3. Calcule a área de e calcule a coordenada y do centróide de. esposta: A = area() = 11 6, y = 73/55. Exercício 17 Considere as regiões 1, do plano dadas por: Seja := 1. Considere a integral dupla I := 1 ={(x, y) ; 0 x y 1} = {(x, y) ; 1 x y } y x + y dxdy. 1. Faça o desenho da região. Escreva, usando coordenadas retangulares x, y, sem fazer cálculos, uma integral iterada, que seja igual a I.. Escreva sem fazer cálculos, usando coordenadas polares uma fórmula, que seja igual a I. 3. Calcule I. esposta: π/4 /. Exercício 18 Seja := {(x, y) ; 0 x y, x + (y 1) 1}. 1. Determine usando coordenadas polares. Sug: esboce um desenho.. Escreva a integral dupla 4(x + y ) dxdy, usando coordenadas polares. 3. Use o MAPLE para calcular que / π/4 sen 4 θdθ = 3π/3 + 1/4. Deduza que 3π/ + 4 8

9 Exercício 19 Considere U a região sólida interior à esfera dada por x + y + z = 16, que está também no interior do cilindro dado por x + (y ) = Determine U usando desigualdades e faça um desenho da região usando o MAPLE.. Calcule o volume de U (esposta: 18π/3 + 51/9). Exercício 0 Considere a região A delimitada pelo cardióide dado em coordenadas polares por r = + cos θ. 1. Calcule a área da região obtida removendo-se de A o disco de raio 1/ centrado na origem e faça uma figura usando o MAPLE (esposta: 4π + π/4). Exercício 1 Considere a região A delimitada pelo cardióide dado em coordenadas polares por r = 1 + cos θ. 1. Calcule a área da região obtida removendo-se de A, a parte que está contida em A do disco de raio 1/ centrado na origem. Exercício Seja 1 a região do plano dada em coordenadas polares por 0 r sen θ, 0 θ π/. Considere := 1 {(x, y) ; x + y 3/4}. 1. Seja I := F (x, y)dxdy. Escreva I usando coordenadas polares. OBS: (Mini-tabela). sen π/4 = cos π/4 = /, sen π/6 = cos π/3 = 1/, sen π/3 = cos π/6 = 3/.. Calcule a área de. esposta: area() = π/48 + 3/16. Exercício 3 Calcule I determinando as regiões de integração e interpretando o resultado y=x x x + y dydx + 1 x y /4 dxdy onde é a região do plano dada por x + y /4 1 (esposta: + π/3). Exercício 4 Seja := {(x, y) ; x /4 + y /9 1}. 1. Calcule o volume da região U de 3 delimitada pelo gráfico da funções z = x +y +1 e z = xy restritas à região (esposta: 51π/). Exercício 5 Considere as superfícies dadas abaixo. Determine: Interseção com os planos coordenados, xy, xz, yz. 9

10 Estude as interseções com os planos z = c, c, quando tais interseções forem círculos. Identifique as superfícies de revolução (e seus eixos). Explicite também os planos de simetria π das superfícies: Isto é, reflexão em π, deixa a superfície invariante, levando uma metade desta na outra metade. Use o MAPLE para obter um desenho de cada superfície. 1. x + y + z = 1.. x + y /4 + z /9 = x + y z = 1 (hiperbolóide com folhas). 4. x + z y = x + y z = 1 (hiperbolóide com 1 folha.). 6. (x 1) + (y + 1) (z 3) = x + y + z /4 = x + y = 9z. 9. x + z = 9y. 10. x y = z. 11. z = xy (Sela.). 1. cosh z = x + y (catenóide). Lembrete: cosh z = ez + e z. 13. z =. Procure encontrar um cilindro para o qual a superfície converge quando 1 x y z. 14. z = log ( cos y ), π/ < x < π/, π/ < y < π/ (Superfície de Scherk). cos x Exercício 6 Considere as superfícies D, D 1 e S 1 definidas a seguir (esboce um desenho) : D = {(x, y, z) 3 ; x + y 9, z = 0} D 1 = {(x, y, z) 3 ; z = x + y + 7, x + y 9} S 1 = {(x, y, z) 3 ; 0 z x + y + 7, x + y = 9} D Considere S := D S 1 D 1 a superfície fechada, que é fronteira de um sólido U Desenhe corretamente S.. Escreva o volume de U usando coordenadas retangulares. Escreva o volume de U usando coordenadas polares. 3. Calcule (x + y + 7) (x + y + 1) + 1 ] dxdy. esposta: 189π/10. Sugestão: Use coor- 10 denadas polares. Exercício 7 Considere as regiões U 1, U do espaço dadas por: U 1 ={(x, y, z) 3 ; 0 z 9 x y, 0 x y} U = {(x, y, z) 3 ; 0 z 9 (x 1) (y 3) } 10

11 1. Escreva o volume V 1 da região U 1 usando integrais iteradas, via coordenadas cartesianas ou retangulares usuais x, y.. Escreva o volume V 1 da região U 1, usando coordenadas polares e calcule V Calcule o volume V de U. esposta: V 1 = 81π/16, V = 81π/. Sugestão: use os itens precedentes. Exercício 8 Considere a região U do espaço dada por U := {(x, y, z) 3 ; 0 z y + x; 0 y sen x, 0 x π}. 1. Escreva o volume de U usando uma integral iterada nas variáveis x, y.. Calcule o volume de U. esposta: Volume(U) = 4/9 + π. 3. Seja W := {(x, y, z) 3 ; 0 z y + x; sen x y sen x, 0 x π}. Calcule o volume de W. Sug: Faça o mínimo de contas possível, justificando corretamente a sua resposta. Exercício 9 Considere a região = {(x, y) ; x + y }. Seja A o número real positivo determinado pela integral dupla : A = 4 (x + y ) 4] dxdy. Calcule as seguintes integrais duplas em termo de A. Não é preciso calcular A, mas é preciso dar uma justificativa matemática correta. 1. Usando desigualdades, determine U 3 tal que A = Volume(U). Calcule I 1 = 4 ( (x 1) + (y + 1) ) ] 4 dxdy, onde, 1 = {(x, y) ; (x 1) + 1 (y + 1) }. Justifique sua resposta.. I = 4 (x + y ) 4] dxdy, onde = {(x, y) ; x + y, 0 x y}. Justifique sua resposta. 3. I 3 = 7 (x + y ) 4] dxdy. Justifique sua resposta. 4. Agora, usando o MAPLE, calcule A. Exercício 30 Determine o volume do sólido delimitado pelos parabolóides z = 4x + y e z = 1 + x y. Idem com respeito aos parabolóides z = x + 3y e z = 4 y (espostas: 4π e 4π). Exercício 31 4 Seja V := 8 16 x 16 x dydx. 1. Interprete V como sendo o volume de uma certa região do espaço delimitada por dois cilindros.. Usando o MAPLE, faça uma figura. 3. Calcule V (esposta: 104/3). 11

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