UNIDADE III LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. Disciplina: MATA álculo B UNIDADE III LISTA DE EXERÍIOS Atualizada. Derivada Direcional e Gradiente alcule o gradiente das seguintes funções: (. z 5 (. z (. w 4z (.4 w cos( sen( z (.5 w ln( z (. w e cos( cos( Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor v. (. (. z 5, v cos(, sen ( z, v = (, (. z tg (, v (, (.4 w cos( sen(, v,, (.5 w ln( z, v (,, ( z (. w e, v = (,, Determine o valor máimo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre. (. z, P(,- ( (. z e arctg, P (, (. w cos( sen(, P (-,, 7

2 (.4 w z z, P (,,. 4 Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V (, 5 z. (4. Determine a taa de variação do potencial em P(, 4, 5 na direção do vetor v (,,. (4. Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? (4. Qual a taa máima de variação de P? 5 Uma equação da superfície de uma montanha é z =, a distância está em metros, os pontos do eio a leste e os pontos do eio a norte. Um alpinista está no ponto correspondente a (-, 5, 85. (5. Qual é a direção e o sentido da parte que tem inclinação mais acentuada? (5. Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta razão? (5. Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo, e qual será esta razão? (5.4 Em qual direção ele estará percorrendo um caminho plano? Uma chapa de metal aquecida em um plano de tal modo que a temperatura T é inversamente proporcional à distância da origem. Se a temperatura em P(,4 é, determine a taa de variação de T em P na direção do vetor u i j. Em que direção e sentido o crescimento de T em P é maior? Em que direção a taa de variação é nula? Pontos ríticos 7 Determine e classifique os pontos críticos de: (7. z ( e (7. z 4 4 (7. z ( ( 4 (7.4 z (7.5 z (7. z

3 4 (7.7 z 5 (7.8 z 8 Determine os pontos etremos de: (8. (8. z z 5 tais que 4 tais que (8. z 4 5 tais que (8.4 w z tais que 4 (8.5 w z tais que z 4 9 De todos os triângulos de perímetro fio, determine o de maior área. (Use que A = p(p a(p b(p c, onde p é o semi-perímetro Suponha que a temperatura de um ponto (, é dada por + + z. Determine as temperaturas etremas (máima e mínima na esfera de raio centrado na origem, e ache os pontos onde estas temperaturas etremas são atingidas. Mostre que o volume do maior paralelepípedo retangular pode ser inscrito num z elipsóide é a b c 8abc. Mostre que o volume máimo de um cilindro circular com área total fia igual a é. Determine os pontos na superfície z = que estão mais próimos da origem. 4 Uma caia retangular sem tampa deve ter um volume de m. Encontre as dimensões da caia que tem a menor área superficial. Integração Dupla 5 Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: (5. 4 ( / f (, dd (5. (, dd f (5. f (, dd

4 Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais: (. sen( dd (. e dd (. 4 dd 8 7 alcule f (, da, onde R (7. f (, e ; R é região (. R / e f ; R é região (. R / e / f (, ; R é região (. R / e (7. (, cos( (7. 8 alcule as seguintes integrais, sabendo que R é região limitada pelas curvas dadas: (8. ( 8 dd ; R e 4 R (8. ( dd ; R, - -, - e R (8. R dd ; R ;, e 9 Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as (9. R dd ; R 4 (9. dd ; R R,, 4 (9. R (9.4 ( R dd dd ; R ( a a ; R,,,, alcule, usando integral dupla, o volume: (. do tetraedro delimitado no z octante pelo plano 4

5 (. do sólido limitado pela superfície e os três planos coordenados. f (, 4, os planos e 9 (. do sólido do octante delimitado pelos planos coordenados, pelo paraboloide z e pelo plano (.4 Determinar o volume do sólido limitado pelo plano z = o e pelo paraboloide z = ( use coordenadas polares. ampos Vetoriais Descreva geometricamente os seguintes campos de vetores definidos em R : (. F(, j (. F(, i j (. F(, i j alcule a divergência dos seguintes campos vetoriais: (. F(, (, e (. F(, (cos(, sen( (. F(, (, (.4 F(, ( z, z z z z (.5 F(, ( e, e, e (. F (,, z ( cos(, zsen (, z alcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais: (. F(, (z,, (. F(, ( sen(, z cos(, (. F(, (cos(, z z (.4 F(, (, 4 Verifique se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial: (4. F(, (sen( 4e,cos( (4. F(, ( e, e 5

6 (4. F(, (,4 (4.4 F(, ( z, z, (4.5 F(, ( ze, ze, e cos( Integrais urvilíneas 5 alcule a integral de linha, onde é a curva dada: (5 d ( d, consiste dos segmentos de reta de (, a (, e de (, a (,. (5. ( d ( d dz, : cos( t, sen( t, z t, - t (5. d d z (,,- a (,,. alcule F d dz, consiste nos segmentos de reta de (,, a (,,- e de em cada um dos seguintes casos: (. F(, i ( j, ( t ( t, sen( t, t (. F(, j, ( t ( t,, - t (. F(, i j z k, ( t (cos( t,sen( t, t, t (.4 F(, ( k, ( t ( t, t, t, t 7 alcule a integral de linha do campo vetorial F i j k no percurso definido por z do ponto (,, até o ponto (,/,. 8 alcule a integral de linha do vetor F i zj k ao longo da trajetória fechada determinada pelo círculo de raio centrado na origem e contido no plano cuja normal é o vetor i j k.

7 9 alcule a integral de linha do campo F zi j k, no caminho fechado definido pelas arestas do triângulo cujos vértices são (,,, (,, e (,, (percorridos nesta ordem. Mostre que as integrais a seguir não dependem do caminho escolhido. alcule essas integrais.. (sen d ( cos d, onde é qualquer caminho de (-, a (,.. ( e cos d ( e sen d, onde é qualquer caminho de (, a (,.. (d d zd, onde é qualquer caminho de (,, a (,,. Teorema de Green Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha: (. d arctg ( d, onde é o caminho fechado formado por,,,. (. ( d d, onde é o caminho fechado formado por,, (,,. (. ( d d, onde é o caminho fechado, no primeiro quadrante, formado por e. (.4 ( d d, onde é a circunferência 9. (.5 ( arctg ( d ln( d, onde é o caminho fechado formado por e. 7

8 Determine o trabalho realizado pelo campo de força F (, (, sobre uma partícula que dá uma volta no círculo 4 no sentido anti-horário. RESPOSTAS (. (,5 (., (.4 sen(, sen( z cos( cos( (. (, -4 (.5 z,, z z z (. e z sen(cos(, cos( sen(,cos(cos( (. (. ( ( (. tg ( ( sec tg (.4 ( sen( (z cos( (.5 z z (. ( z ( e e (., v ( 4, (. 9, (., v = (, -, (.4, v = (, 4, 4 (4. (4. (8,, (4. 4 e v (, (5., (5. subindo m por m (5. descendo a m por m (5.4, ou, 8 ; (, -; ( 4i j ; (7. (, ponto min (7., ponto min 4 4 (7. (, ma; (,, (, -, (-,, (-, - selas (7.4, ponto ma 4 8

9 (7.5 (-, ponto min; (, ponto ma (7. (, sela; (, - e (, 4 ponto ma local (7.7 (, ponto min (7.8 (, e (, - selas; (, - min (8. (,, (, 4 (8., (8. (,, (, 8 (8.4,, (8.5 (, -,, (-,, - 9 triângulo eqüilátero T ma = 4 em,, (,,, (-,, -, (-, -,, (, -, cm por 4cm por cm = e T min 4 em,, (5. (5. (5. 4 = = = = = 4 f (, dd f (, dd f (, dd f (, dd (. (. (. 9

10 = - 8 = = = - sen( dd e e dd dd (7. e e (7. 4 / (7. 89 ( (8. (8. arctg ( ln 4 (9. (9. 5/8 (9. 4a (9.4 / (. (. 4/ (. / (.4 / (. e (. sen( cos( (. z z z (.4 + z (.5 z e e e (. (. i zj k (. cos( i (. ( z i ( sen( k (.4 (4. não conservativo (4. conservativo; u(, e k, k é constante (4. conservativo; u(, k, k é constante (4.4 conservativo; u(, z k, k é constante (4.5 conservativo; u(, ze senz k, k é constante (5. 7/ (5. (5. 5/ (. (. (. 8 (.4

11 7 7/ 8 9 (. 9sen( 8 (. e cos( (. (. (. (