denomina-se norma do vetor (x 1,..., x n ). (Desigualdade de Schwarz) Quaisquer que sejam os vetores u e v de R n, tem-se

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1 Teoria FUNÇÕES VETORIAIS Geometria do Espaço R n : O espaço R n é um espaço vetorial sobre R com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas coordenada a coordenada. O número (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = x 1 y x n y n denomina-se produto escalar dos vetores (x 1,..., x n ) e (y 1,..., y n ). Dizemos que os vetores (x 1,..., x n ) e (y 1,..., y n ) são ortogonais se (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = 0. O número (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n ) denomina-se norma do vetor (x 1,..., x n ). (Desigualdade de Schwarz) Quaisquer que sejam os vetores u e v de R n, tem-se u v u v. Quaisquer que sejam os vetores u e v de R n e qualquer que seja o escalar λ tem-se: 1. u 0; u = 0 u = λ u = λ u. 3. (Desigualdade Triangular) u + v u + v. Topologia do Espaço R n : Sejam (x 0, y 0 ) um ponto do R 2 e r > 0 um real. O conjunto {(x, y) R 2, (x, y) (x 0, y 0 ) < r} denomina-se bola aberta de centro (x 0, y 0 ) e raio r. Seja A um subconjunto não-vazio de R 2. Dizemos que (x 0, y 0 ) A é um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x 0, y 0 ) 1

2 contida em A. Seja A um subconjunto não-vazio de R 2. Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A for ponto interior. Por definição, o conjunto vazio é um conjunto aberto. Seja A um subconjunto do R 2 e seja (a, b) R 2. Dizemos que (a, b) é ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) A, com (x, y) (a, b). Observação. Todas as definições apresentadas aqui podem ser facilmente generalizadas para o R n. Funções Vetoriais: Uma função vetorial é uma função F : A R n, onde A é um subconjunto de R. Uma tal função associa a cada real t A, um único vetor F (t) R n. O conjunto ImF = {F (t) R n t A} é a imagem de F e corresponde ao lugar geométrico, em R n, descrito por F (t) quando t varia em A. Limite e Continuidade: Seja F : A R R n e seja t 0 um ponto do domínio de F ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de F. Dizemos que o limite de F (t) é L R n, quando t tende a t 0, e escrevemos lim t t0 F (t) = L, se para todo ɛ > 0 dado, existir δ > 0 tal que, para todo t A, 0 < t t 0 < δ F (t) L < ɛ. Sejam F = (F 1,..., F n ) uma função vetorial e L = (L 1,..., L n ). Então lim t t0 F (t) = L lim t t0 F i (t) = L i, i = 1, 2,..., n. Sejam F : A R n e t 0 A. Definimos Derivada: F contínua em t 0 lim t t0 F (t) = F (t 0 ). Sejam F : A R n e t 0 A. Definimos a derivada de F em t 0 por 2

3 df dt (t 0) = lim t t0 F (t) F (t 0 ) t t 0 desde que o limite exista. Sejam F = (F 1,..., F n ) e t 0 pertencente ao domínio de F. Então, F (t 0 ) = (F 1(t 0 ),..., F n(t 0 )). Seja F : A R n diferenciável em t 0, com df dt (t 0) 0. A reta X = F (t 0 ) + λ df dt (t 0), λ R denomina-se reta tangente à imagem de F no ponto F (t 0 ). Integral: A integral de Riemann de uma função F : [a, b] R n é, por definição, b a F (t)dt = lim max t i 0 m i=1 F (c i) t i. Seja F = (F 1,..., F n ) definida em [a, b]. Então, b a F (t)dt = ( b a F 1(t)dt,..., b a F n(t)dt). Além disso, se G for uma primitiva de F em [a, b], teremos b F (t)dt = G(b) G(a). a Seja γ : [a, b] R n uma curva com derivada contínua em [a, b]. Definimos o comprimento L(γ) da curva γ por L(γ) = b a γ (t) dt. 3

4 Exercícios Fixação: 1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que é perpendicular à direção do vetor n = ( 1, 3). 2. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que seja paralela à direção do vetor v = ( 1, 1). 3. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e que é perpendicular à reta 2x + y = Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x + 2y = Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e que seja perpendicular à direção do vetor n = (2, 1, 3). 6. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2, 1, 1) e que seja perpendicular à direção do vetor n = ( 2, 1, 2). 7. Seja proj a b a projeção vetorial de b sobre a, definida como a a b projeção escalar vezes o versor na direção de a. Mostre que a o vetor ort a b = b proj a b é ortogonal a a. (Este vetor é chamado projeção ortogonal de b sobre a). 8. A Lei do Paralelogramo afirma que a + b 2 + a b 2 = 2 a b 2. (a) Dê uma interpretação geométrica da Lei do Paralelogramo. (b) Demonstre a Lei do Paralelogramo. 9. Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em R 2. (a) {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1} (b) {(x, y) R 2 x + y 1} (c) {(x, y) R 2 x = 1, 1 < y < 3} (d) {(x, y) R 2 x 2 + 2xy + y 2 < 0} (e) {(x, y) R 2 xy > 0} 10. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. 4

5 (a) {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1} (b) {(x, y) R 2 x e y inteiros} (c) {( 1, 1) n 0 natural} n (d) {(x, y) R 2 x = 1, 1 < y < 2} 11. Defina bola aberta de centro (x 0, y 0, z 0 ) e raio r > 0 no R 3. Interprete geometricamente. 12. Seja F um subconjunto do R 2. Dizemos que F é um conjunto fechado se o conjunto de todos os (x, y) não pertencentes a F for aberto. Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados. (a) {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} (b) {(x, y) R 2 x 0, y > 0} (c) {(x, y) R 2 x e y inteiros} (d) {(x, y) R 2 x e y racionais} (e) (f) R Determine o domínio das funções vetoriais. (a) r(t) = ( 4 t 2, e 3t, ln(t + 1)) (b) r(t) = t 2 t + 2 i + sin t j + ln(9 t 2 ) k 14. Desenhe a imagem da função F. (a) F (t) = (t, 2t) (b) F (t) = (t, t 2 ) (c) F (t) = (cos t, sin t), t [0, 2π] (d) F (t) = (2 cos t, sin t), t [0, 2π] 15. Desenhe a imagem da função F. (a) F (t) = (t, t, t), t 0 (b) F (t) = (cos t, sin t, 1) (c) F (t) = (cos t, sin t, 5t), t Encontre uma função vetorial cuja imagem é o segmento de reta que liga P a Q. (a) P (0, 0, 0), Q(1, 2, 3) 5

6 ( 1 (b) P (0, 1, 1), Q 2, 1 3, 1 ) Sejam as funções F e G dadas por F (t) = (t, t 2, 2) e G(t) = (3, t, t). Calcule: (a) 2F (t) + 3G(t) (b) tf (t) (c) F (t) G(t) 18. Seja F (t) = sin t t i + (t 2 + 3) j. Calcule lim t 0 F (t). 19. Calcule. t 1 (a) lim t 1 F (t), onde F (t) = ( t 1, t2, t 1 ) t (b) lim t 2 r(t), onde r(t) = t3 8 t 2 4 i + cos π t t 2 j + 2t k tan 3t (c) lim t 0 F (t), onde F (t) = (, e2t 1, t 3 ) t t 20. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. (a) F (t) = t i + t j + 3 k (b) F (t) = t 1 i + t + 1 j + e t k 21. Calcule df dt. (a) F (t) = (sin 3t, e t2, t) (b) F (t) = (3t 2, e t, ln(t 2 + 1)) (c) F (t) = 3 t 2 i + cos t 2 j + 3t k (d) F (t) = sin 5t i + cos 4t j e 2t k 22. Determine a equação da reta tangente à imagem da função dada, no ponto dado. (a) F (t) = (cos t, sin t, t) e F ( π 3 ) (b) F (t) = (t 2, t) e F (1) (c) F (t) = ( 1 t, 1 t, t2 ) e F (2) (d) F (t) = (t, t 2, t, t 2 ) e F (1) 23. Calcule. 6

7 (a) 1 0 [t i + 4 j + t 2 k]dt (b) 1 0 [t i + e t j]dt (c) 1 1 [sin 3t i + t 2 j + k]dt (d) 2 1 (3 i + 2 j + k)dt 24. Calcule o comprimento da curva dada. (a) γ(t) = (R cos t, R sin t), (R > 0), t [0, 2π] (b) γ(t) = (2t 1, t + 1), t [1, 2] (c) γ(t) = (e t cos t, e t sin t, e t ), t [0, 1] (d) γ(t) = (t, et + e t ), t [ 1, 0] 2 Aplicação: 1. Um quarterback lança uma bola de futebol com ângulo de elevação de 40 e velocidade de 18 m/s. Encontre as componentes horizontal e vertical do vetor velocidade. 2. Uma mulher caminha para oeste no convés de um navio, a 5km/h. O navio está se movendo para o norte a uma velocidade de 35km/h. Encontre a velocidade e direção da mulher em relação à superfície da água. 3. Um varal de roupas é estendido entre dois postes, 8m distantes um do outro. O fio do varal está bastante esticado, de forma a ser considerado horizontal. Quando uma camisa molhada com massa de 0,8kg é pendurada no meio do varal, esse ponto central é deslocado para baixo 8cm. Determine a tensão em cada metade do varal. 4. Encontre o trabalho feito por uma força F = 8 i 6 j +9 k que move um objeto do ponto (0, 10, 8) para o ponto (6, 12, 20) ao longo de uma reta. A distância é medida em metros e a força em newtons. 5. Uma molécula de metano, CH 4, é estruturada com os quatro átomos de hidrogênio nos vértices de um tetraedro regular e o carbono no centro. O ângulo de vínculo é o ângulo formado pela ligação H-C-H; é o ângulo entre as retas que ligam o carbono a dois átomos de hidrogênio. Mostre que esse ângulo de vínculo é de aproximadamente 109,5. Dica: Tome os vértices do tetraedro 7

8 nos pontos ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) e (1, 1, 1). Use o fato de que 1 o centro é 2, 1 2, 1 ) Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, é sempre importante saber se eles vão colidir. (Será que um míssil atingiu seu alvo em movimento? Vão se colidir duas aeronaves?) As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam dadas pelas seguintes funções vetoriais r 1 (t) = (t 2, 7t 12, t 2 ) e r 2 (t) = (4t 3, t 2, 5t 6) para t 0. As partículas colidem? 7. Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais r 1 (t) = (t, t 2, t 3 ) e r 2 (t) = (1 + 2t, 1 + 6t, t). (a) As partículas colidem? (b) Suas trajetórias se interceptam? 8. A molécula de DNA tem o formato de uma hélice dupla. O raio de cada hélice é cerca de 10 angstroms (1 angstrom = 10 8 cm). Cada hélice se eleva cerca de 34 angstroms durante cada volta completa, e existem aproximadamente 2, voltas completas. Estime o comprimento de cada hélice da molécula de DNA. 8

9 Respostas Fixação: 1. (x, y) = (1, 2) + λ(3, 1) 2. (x, y) = (1, 2) + λ( 1, 1) 3. (x, y) = (1, 1) + λ(2, 1) 4. v = a(1, 3 2 ) 5. 2x + y + 3z = x + y + 2z = (a) A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de seus lados. (b) 9. (a) Sim (b) Não (c) Não (d) Sim (e) Sim 10. (a) {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} (b) (c) {(0, 1)} (d) {(x, y) R 2 x = 1, 1 y 2} 11. B r (x 0, y 0, z 0 ) = {(x, y, z) R 3 / (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) < r}; corresponde a uma esfera de centro (x 0, y 0, z 0 ) e raio r. 12. (a) Sim (b) Não (c) Sim (d) Não (e) Sim (f) Sim 9

10 13. (a) 1 < t 2 (b) ( 3, 2) ( 2, 3) 14. (a) Reta (b) Parábola (c) Circunferência (d) Elipse 15. (a) Semi-reta (b) Circunferência (c) Hélice 16. (a) r(t) = (t, 2t, 3t), 0 t 1 (b) r(t) = ( t 2, 4t 3, 4 3t ), 0 t (a) (2t + 9, 2t 2 + 3t, 4 + 3t) (b) (t 2, t 3, 2t) (c) (3t, t 3, 2t) 18. lim t 0 F (t) = i + 3 j 19. (a) ( 1, 1, 0) 2 (b) (3, π 4, 4) (c) (3, 2, 0) 20. (a) t 0 (b) t (a) F (t) = (3 cos 3t, 2te t2, 1) (b) F (t) = (6t, e t 2t, t ) (c) F (t) = i 2t sin t 2 j + 3 k t (d) F (t) = 5 cos 5t i 4 sin 4t j + 2e 2t k 22. (a) (x, y, z) = ( 1 3 2, 2, π 3 3 ) + t( 2, 1 2, 1) (b) (x, y) = (1, 1) + t(2, 1) (c) (x, y, z) = ( 1 2, 1 2, 4) + t( 1 4, 1 4, 4) 10

11 (d) (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) + t(1, 2, 1, 2) 23. (a) 1 2 i + 4 j k (b) 1 2 i + (e 1) j (c) 2 3 j + 2 k (d) 3 i + 2 j + k 24. (a) L = 2πR (b) L = 5 (c) L = 3(1 e 1 ) Aplicação: (d) L = e e v horizontal 13, 8 m/s; v vertical 11, 6 m/s 2. A mulher se desloca em relação à água com velocidade aproximada de 35,4 m/s na direção noroeste, fazendo um ângulo de aproximadamente 8 com o norte. 3. T1 = 196 i + 3, 92 j; T 2 = 196 i + 3, 92 j joules Elas colidem em t = (a) Não (b) Sim 8. O comprimento de cada hélice da molécula de DNA é cerca de 2, angstroms (mais de 2 metros!). 11