Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - T84 Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Cônicas - Tiago de Oliveira

Transcrição

1 Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM11 - T8 Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Cônicas - Tiago de Oliveira 1. Determine a equação geral da elipse que satisfaça as condições dadas e esboce os gráficos. a) Eixo maior medindo 10 unidades e focos (±, 0); ( ) b) C(0, 0), um foco, 0 e um vértice V (1, 0); c) Distância focal medindo 8 unidades e vértices V (0, ±); d) C(0, 0), eixo menor medindo 6 unidades, focos no eixo dos x e passa pelo ponto ( 2, 2) ; ( e) C(0, 0), focos no eixo dos x, excentricidade e = 2/ e passa pelo ponto 2, ) ; f) Focos (0, ±) e excentricidade e = 2 ; g) C(0, 0), eixo menor sobre o eixo dos y, excentricidade e = 1/2 e passa pelo ponto (2, ). h) C(0, 0), eixo maior sobre o eixo dos y e passa pelos pontos A(1, 1) e B(2, 2 2). 2. Para cada uma das elipses abaixo, determine as coordenadas dos vértices, dos focos, a excentricidade e esboce o gráfico a) x y2 6 = 1; b) x2 6 + y2 100 = 1; c) x 2 + 2y 2 = 2; d) 9x 2 + y 2 = ; e) x 2 + 9y 2 = 2; f) x 2 + y 2 = 1; g) x 2 + 2y 2 = 1; h) 9x 2 + 2y 2 = 2.. O arco de uma ponte tem a forma de uma semi-elipse com um vão horizontal de 0m e com 16m de altura no centro. Determine a altura da ponte a 9m à esquerda ou a direita do centro.. O teto de um saguão com 10m de largura tem a forma de uma semi-elipse com 9 metros de altura no centro, e 6m de altura nas paredes laterais. Determine a altura do teto a 2m de cada parede.. Determine os pontos em que a reta x + y = 0 intercepta a elipse 2x 2 + y 2 = 2. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção. 6. Determine os pontos em que a reta x + 2y 6 = 0 intercepta a elipse x 2 + y 2 = 20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção. 7. Calcule os valores de a para que a reta y = ax + 8 seja tangente a elipse x2 2 + y2 16 = Determine a equação geral da hipérbole que satisfaça as condições dadas e esboce os gráficos. a) Focos (±, 0) e vértices (±, 0); b) Focos (0, ±) e vértices (0, ±1); c) Vértices (0, ±2) e distância focal medindo 2 11 ; d) Focos (±8, 0) e excentricidade e = /; e) Vértices (±, 0) e passa pelo ponto A(8, 2) ; 9. Para cada uma das hipérboles abaixo, determine as coordenadas dos vértices, dos focos, as equações da assíntotas, a excentricidade e esboce o gráfico. a) x2 y2 9 = 1; b) 9x 2 16y 2 = 1; c) x 2 y = 0; d) y 2 x 2 = 2.

2 10. Determine a equação da hipérbole cujos focos são os vértices da elipse x2 2 + y2 9 elipse. = 1 vértices são os focos dessa 11. Determine a equação da hipérbole de excentricidade 2, e focos coincidentes com os focos da elipse x2 2 + y2 9 = Identifique a cônica que satisfaz as condições dadas e determine sua equação. a) Vértices (±, 0) e excentricidade e = /2; b) Focos (0, ±2) e excentricidade e = 1/; c) Focos (0, ±1) e excentricidade e = /; d) Vértices (±, 0) e excentricidade e = /. 1. Determine a equação da parábola que satisfaça as condições dadas e esboce os gráficos. a) Foco (9, 0) e diretriz x = 9; b) Foco (0, ) e diretriz y = ; c) Vértice na origem e foco (, 0); d) Vértice na origem, eixo horizontal e passa pelo ponto (1, ). 1. Determine as coordenadas do foco, a equação da diretriz e esboce o gráfico das parábolas. a) y + x 2 = 0; b) 12x + y 2 = Determine o valor de k para que a parábola y = 2kx 2 tenha foco nos pontos: a) (0, ); b) (0, 2); 16. Determine os pontos em que a reta x + y = 2 intercepta a parábola x 2 y = Determine os pontos em que a parábola y 2 = 2x intercepta a circunferência x 2 + y 2 =. 18. Uma seção transversal de um refletor parabólico é mostrada na figura ao lado. A lâmpada do refletor é colocada no ponto F e a abertura, AB, neste ponto é 8cm. a) Encontre a equação da parábola. b) Encontre o diâmetro de abertura, CD, a uma distância de 70cm do foco da parábola. 19. Caracterize as cônicas representadas pelas seguintes equações.(determine o centro, vértice e foco quando for elipse e hiperbole. Quando for parabola identifique o vértice e o parâmetro.) a) 7x 2 9y x + y 116 = 0; b) x 2 + 9y 2 8x 6y + = 0; c) x = 1 y2 1 2 y + ; d) 9x 2 + 2y 2 6x + 0y 16 = 0; e) y 2 x 6y + 1 = 0; f) x 2 y 2 + 0x + 16y + 9 = 0; g) x 2 x 12y = 2; h) 289x = 2(26y 289x 2y 2 ). 2

3 20. As metades do eixo maior e da distância focal de uma elipse medem, respectivamente, cm e cm, e seu centro é o ponto (6, ). Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado 0 x, escreva a equação reduzida dessa elipse. 21. Dê a equação da elipse que passa pelos pontos (2, 0), ( 2, 0) e (0, 1). 22. Determine o conjunto de pontos em que a hipérbole x 2 y 2 = intercepta a circunferência x 2 + y Quantos pontos comuns têm a circunferência x 2 + y 2 y + = 0 e a parábola x 2 y + 1 = 0? 2. Obtenha as tangentes à elipse (λ) x 2 + 9y 2 = 6 que passam por P (7, 2) 2. conduza por P (0, 0) as tangentes à parábola (λ) x = y2 + e calcule o ângulo θ entre elas. 26. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos tais que o produto dos coeficientes angulares das retas que ligam os pontos A(2, 1) e B( 2, 1) seja Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos pontos A(, 0) e B(, 0) vale Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos A(, 0) e B(, 0) vale 8. GABARITO 1. a) 9x 2 + 2y 2 = 22 b) 7x y 2 = 7 c) 2x 2 + 9y 2 = 22 d) x 2 + y 2 = 6 e) x 2 + 9y 2 = f) x 2 + y 2 = 12 g) x 2 + y 2 = 8 h) 2x 2 + y 2 = a) V (±10, 0), F (±8, 0), e =.. b) V (0, ±10), F (0, ±8), e = c) V (±, 0), F (±2 6, 0), e = 2 6 d) V (0, ±), F (0, ±2), e = 2 e) V (± 2, 0), F (± 6, 0), e = f) V (0, ±1), F (0, ± 2 ), e = 2 g) V (± , 0), F (± 10, 0), e = h) V (±, 0), F (±, 0), e = 19m 2 m. (0, ) e (1, 0) 6. (2, 2) e (, 1) 7. a = ± a) 16x 2 9y 2 = 1; b) 1y 2 x 2 = 1; c) x 2 7y = 0; d) 7x 2 9y 2 = 22; e) x 2 12y 2 16 = 0; 9. a) V (±2, 0), F (± 1, 0), e = 1, y = ± 2 x; b) V (±, 0), F (±, 0), e =, y = ± x; c) V (0, ±2), F (0, ±), e = 2, y = ± x; d) V (0, ± 2), F (0, ±2), e = 2, y = ±x x 2 16y 2 1 = x 2 y 2 8 = a) Hipérbole, x 2 y 2 80 b) Elipse, 9x 2 + 8y c) Hipérbole, 22y 2 00x 2 1 d) Elipse, 16x 2 + 2y a) y 2 = 6x; b) x 2 = 20y; c) y 2 = 12x; d) y 2 = 16x; 1. a) (0, 1), y = 1 b) (, 0), x = 1. a) k = 1/2

4 b) k = 1/ (1, 1), ( 2, ) 17. (1, 2), (1, 2) 18. a) y 2 = 8x b) Diâmetro de 8cm 19. a) Hipérbole c( 2, ), V 1 (, ), V 2 (1, ), F 1 ( 6, ), F 2 (2, ); b) Elipse c(1, 2), V 1 ( 2, 2), V 2 (, 2), F 1 (1, 2), F 2 (1 +, 2); c) Parabola p = 2 e V (1, 1); d) Elipse a = ; b = ; c(2, 1); e) Parábola p = 2; V (1, ); F (2, ); f) Hipérbole a = ; b = 2; c(, 2); g) Parábola p = 6; V (2, ); F (2, 0); 20. h) Elipse a = 17; b = 8; c( 1, ). (x 6) x 2 + y 2 =. (y + )2 2 = {(2 2, 1), (2 2, 1), ( 2 2, 1), ( 2 2, 1)}. ( ) ( ) 2. (0, 1);, 8 ;, y = 2 ou y = 7x θ = arctan 26. x 2 (y 1)2 = 1 Hipérbole x 2 + 6y 2 = 96 Elipse 28. x 2 16 y2 9 = 1 Hipérbole Exercícios Extra 1. Um navio está viajando num curso paralelo e a 60 milhas de distância em linha reta da costa. Duas estações de transmissão, S 1 e S 2, estão localizadas na costa, a distância entre as estações é de 200 milhas (Figura). De acordo com os sinais de rádio o navegador determina que o navio está entre as duas estações, porém, a 0 milhas mais próximo de S 2 do que S 1. Utilizando a definição de HIPÉRBOLE, encontre a distância do navio a cada estação. (Para a resposta final assuma uma casa decimal) 2. Duas estações LORAN (abreviatura de Long-Range Navigation - Navegação de Longa Distância) A e B estão numa reta que vai de leste para oeste e A está a 80 milhas a leste de B. Um aviãoo viaja para o leste num curso reto que está a 60 milhas ao norte da reta que liga A e B. Sinais são mandados ao mesmo tempo de A e de B e o sinal de A atinge o avião 0µs antes do sinal de B. Se os sinais se propagam a uma velocidade de 0, 2 milhas por microssegundo, localize a posição do avião usando a definição de Hipérbole.

5 . Uma ponte suspensa de 00m de comprimento é sustentada por um cabo principal parabólico (veja a figura). O cabo principal está 100m acima da ponte nos extremos e m acima da ponte em seu centro. Calcule o comprimento dos cabos de sutentação que são colocados a intervalos de 0m ao longo da ponte. (Sugestão: Utilize o sistema de coordenadas retangulares em que a ponte é o eixo x e a origem está no meio da ponte.). Determine os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico de cada uma das hipérboles a seguir: a) x 2 y 2 + = 0 b) 2x 2 + 9y x 90y + 00 = 0 c) 9x 2 y 2 x + 8y + 11 = 0 d) x 2 6x 12y 1 = 0. A companhia Atlas produz dois tipos de bicicletas, Aurora e Estrela Negra. As possíveis quantidades x de bicicletas Aurora e y de bicicletas Estrelas Negras produzidas anualmente( em milhas ) estão relacionadas pela equação (chamada de curva de transformação de produto). 100x 2 + 9y x 216y = 0 Esboce a curva de transformação de produto da Campanhia Atlas. Qual a quantidade máxima de cada tipo de bicicleta pode ser fabricada anualmente?