Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg

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1 Geometria Analítica Cônicas Prof. Vilma Karsburg

2 Cônicas Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendiculares. Considere e fixa e g girar 360 em torno de e, mantendo constante o ângulo entre estas retas. Assim, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita. A reta g é chamada de geratriz e a reta e é chamada de eixo. Chama-se de cônica o conjunto de pontos que formam a intersecção de um plano com a superfície cônica. Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π qualquer que não passa pelo vértice, a cônica será:

3 Cônicas Parábola: quando π for paralelo a uma geratriz da superfície.

4 Cônicas Elipse: quando π não for paralelo a uma geratriz da superfície e intercepta apenas uma das folhas da superfície. Caso particular, é uma circunferência, se π for perpendicular ao eixo.

5 Cônicas Hipérbole: quando π não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície. A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, um em cada folha da superfície.

6 Cônicas Circunferência

7 Animação de Cônicas ectos/coni/las_secciones_conicas.html

8 Cônicas Degeneradas Se π passar por O, temos as cônicas degeneradas: Uma reta:

9 Cônicas Degeneradas Se π passar por O, temos as cônicas degeneradas: Um ponto:

10 Cônicas Degeneradas Se π passar por O, temos as cônicas degeneradas: Duas retas:

11 Cônicas Aplicação: Parábolas acústicas, são paraboloides constituídos por duas antenas parabólicas metálicas. São antenas de mesmo tamanho perfeitamente alinhadas e dispostas uma em frente a outra numa distância de 20 metros.

12 Cônicas O anel metálico num determinado ponto representa o foco da antena. Quando uma pessoa fala, emitindo o som próximo ao anel, as ondas sonoras refletidas na superfície da antena produzem um feixe de ondas paralelas que, ao incidirem na outra antena, refletem-se convergindo para o foco desta, então uma outra pessoa posicionada nesse ponto escuta perfeitamente o que foi emitido.

13 Circunferência Definição: é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um ponto fixo, denominado centro da circunferência. Equação da Circunferência: sendo C(a,b) o centro da circunferência e P(x,y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C até P é o raio dessa circunferência, Então: Ou seja, d C, P = x a 2 + y b 2 = r x a 2 + y b 2 = r 2 É chamada equação reduzida da circunferência.

14 Circunferência Quando o centro da circunferência estiver na origem C(0,0), a equação da circunferência será, x 2 + y 2 = r 2 Da equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0

15 Circunferência Observações sobre a equação geral: Os coeficientes dos termos x 2 e y 2 devem ser iguais a 1; Não deve existir o termo xy; Para obtermos o centro e o raio de uma circunferência, a partir da equação geral, basta fatorarmos o trinômio quadrado perfeito.

16 Exemplos

17 Posições relativas ponto x circunferência Dada a circunferência λ de equação λ: x a 2 + y b 2 = r 2 e o ponto P(m,n) temos as seguintes posições relativas:

18 Posições relativas ponto x circunferência

19 Posições relativas reta x circunferência Dada a circunferência α de equação α: x a 2 + y

20 Posições relativas reta x circunferência Lembre-se que a distância entre um ponto e uma reta é dado por: d C, s = Aa + Bb + C A 2 + B 2

21 Posições relativas circunferência x circunferência Duas circunferências λ 1 O 1, r 1 e λ 2 O 2, r 2 ), com r 1 > r 2 e sendo d a distância entre seus centros, prova-se que há seis possibilidades para λ 1 e λ 2, conforme,

22 Posições relativas circunferência x circunferência Esboce o desenho da sexta possibilidade (circunferências concêntricas).

23 Exemplos:

24 Parábola Considere em um plano, uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Parábola é o conjunto de pontos do plano que são equidistantes de F e d.

25 Parábola Então, um ponto P qualquer é pertencente a parábola, se e somente se, d P, F = d P, d) Ou de modo equivalente d P, F = d P, P Notações: F: foco d: diretriz e: é a reta que passa por F e é perpendicular a d V: vértice (interseção da parábola com o eixo)

26 Parábola Equação Reduzida Seja a parábola de vértice V(0,0). Temos dois casos: Caso 1) Eixo da parábola é o eixo y P(x,y) é um ponto da parábola, F(0,p/2) o foco e diretriz de equação y=-p/2.

27 Parábola Equação Reduzida Da definição de parábola temos, Ou seja, x 2 = 2py Que é a equação reduzida da parábola para este caso.

28 Observações: py 0, então Parábola Equação Reduzida O gráfico dessa equação reduzida é simétrico em relação ao eixo y. Logo se (x,y) pertence ao gráfico, (-x,y) também pertence ao gráfico.

29 Parábola Equação Reduzida Seja a parábola de vértice V(0,0). Caso 2) Eixo da parábola é o eixo x P(x,y) é um ponto da parábola, F(p/2,0) o foco e diretriz de equação x=-p/2.

30 Parábola Equação Reduzida Analogamente ao caso 1, obtemos a equação reduzida: y 2 = 2px

31 Exemplo) Parábola Equação Reduzida

32 Parábola Translação de eixos: podemos considerar um novo sistema xy, onde os novos eixos x e y tenham a mesma direção e sentido dos eixos x e y. x = x h y = y k Observe que O (h,k).

33 Equação da Parábola Seja uma parábola de vértice V(h,k) 0,0, temos dois casos: Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y

34 Equação da Parábola Com origem no ponto V e baseado no plano x y, V=O. Ou seja, o vértice V é a origem do plano x y. Assim, x 2 = 2py Mas da translação de eixos, temos: x h 2 = 2p y k) Que é a equação da parábola para o vértice diferente da origem.

35 Equação da Parábola Seja uma parábola de vértice V(h,k) 0,0, temos dois casos: Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x De modo análogo temos y k 2 = 2p x h)

36 Equação Geral da Parábola Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y: Ou x 2 + 2hx + h 2 2py + 2pk = 0 ax 2 + cx + dy + f = 0 Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x: by 2 + cx + dy + f = 0

37 Equação Explícita da Parábola Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y: y = ax 2 + bx + c Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x: x = ay 2 + by + c

38 Exercícios

39 Exercícios

40 Equação Paramétricas da Parábola Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y: Observe que x pode assumir qualquer valor real, se fizermos x=t, teremos y=(1/2p)t² Daí temos as equações paramétricas da parábola: x = t y = 1 2p t2, t R

41 Equação Paramétricas da Parábola Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x: Analogamente temos as equações paramétricas da parábola: x = 1 2p t2, t R y = t

42 Equação Paramétricas da Parábola